Equação de Dirac e o Átomo de Hidrogênio

Equação de Dirac e o Átomo de Hidrogênio Rodrigo Andrade e Silva Mecânica Quântica 2 Introdução A equação de Dirac fornece o análogo da equação de Schrodinger para uma mecânica quantica relativistica, isto é, uma equação diferencial covariante no espaço-tempo de Minkowski que descreve os estados quânticos de uma partícula. Neste texto a equação de Dirac será introduzida, mas a enfase será dada em alguns de seus resultados ao inves das suas motivações. Como uma simples aplicação, mostrarei como o conceito de spin /2 surge naturalmente desta equação, e como o fator giromagnético pode ser diretamente obtido quando consideramos a presença de um campo eletromagnético. Por fim, e mais importante, desenvolverei a solução exata dentro de algumas hipóteses para um atomo hidrogenóide, e assim poderemos comparar os niveis de energia exatos com os niveis obtidos atraves de teoria de perturbação, no limite pouco relativistico. Equação de Dirac Na mecanica classica a energia de uma particula livre, com massa m e momento linear p é simplesmente E = p2 o que se traduz num hamiltoniano quântico operador hermitiano atuando no espaço de Hilbert dos estados quanticos, H = P 2 sendo P o operador vetorial momento linear, que na representação de posição fica 2 P = i 3 e H, pela equação de Schrodinger, H = i t 4 Desta maneira, se H atuar num autoestado do momento linear, ele retornará uma energia dada pela relação de disperção classica, dada na equação. No caso relativistico devemos

modificar a equação de Schrodinger para torna-la covariante e para que ela forneça a relação de dispersão relativistica, E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 5 A equação de Klein-Gordon foi uma tentativa de se fazer isto, simplesmente substituindo E por H, dado em 4, e p por P, dado em 3. Assim obtemos uma equação hiperbólica de segunda ordem que, em coordenadas inerciais, fica [ µ µ + m 2] Ψ x, t = 6 Na equação acima foi usado um sistema de unidades em que c = =. Este sistema de unidades será adotado ao longo de todo o texto, a partir daqui. Também consideraremos a assinatura da metrica como +,,,. Um dos problemas da equação de Klein-Gordon é que a quantidade conservada isto é, que satisfaz a equação de continuidade não é necessariamente positiva, o que torna dificil de interpreta-la como densidade de probabilidade, como se faz na mecanica quantica nãorelativistica. Também podemos notar que esta equação depende da segunda derivada temporal, e especificar o estado quantico numa dada seção espacial não é suficiente para saber como ele evolui no tempo, o que é essencialmente diferente do caso não relativistico. Dirac então buscou uma equação de primeira ordem no tempo, covariante, que satisfizesse a relação de dispersão relativistica para partículas livres e que possuisse uma quantidade conservada positivo-definida. Vamos tentar algo da forma, [iγ µ µ m] Ψ x, t = 7 em que os objetos γ µ e m devem ser determinados. Supondo que m comute µ ou seja, m é um objeto independente das coordenadas, e atuando com iγ ν ν m na equação acima, obtemos, [ γ ν ν γ µ µ + m 2] Ψ x, t = 8 que é extramamente semelhante à equação de Klein-Gordon, se m for identificada com a massa da particula. Mas sabemos que a equação de Klein-Gordon satisfaz a relação de dispersão relativistica, então, supondo que γ µ comuta com a derivada, e impondo que γ ν γ µ ν µ = µ µ, temos que 2 γν γ µ + γ µ γ ν = η µν 9 sendo η µν = diag,,, a metrica de Minkowski. Da equação acima então obtemos, γ µ 2 = ± sendo que o sinal + se aplica para o caso µ = e o para os outros. e também, γ ν γ µ = γ µ γ ν e com esta relação vemos que γ µ não podem ser numeros complexos, pois eles não comutam. De fato, se estes objetos puderem ser realizados com matrizes, então elas teriam traço nulo, já que trγ µ = ±trγ ν γ ν γ µ = ±trγ ν γ µ γ ν = trγ µ γ ν γ ν = trγ µ =. Portanto estes 2

γ µ também não poderiam ser realizados por matrizes bidimensionais, uma vez que matrizes 2x2 de traço nulo cobrem um espaço tridimencional apenas. A primeira realização possivel é com matrizes quadridimensionais. Neste caso, Ψ pode ser pensado como um vetor coluna de 4 componentes, e m seria m, sendo a matriz identidade mas isto será omitido. Usando as definições usuais do hamiltoniano e do momento, dadas em 4 e 3, podemos reescrever a equação de Dirac como ou, alternativamente, multiplicando esta equação por γ, γ µ p µ m = 2 H = α p + βm 3 sendo α i = γ γ i e β = γ. Note que este conjunto de matrizes é completamente equivalente ao conjunto γ µ. Para que o hamiltoniano acima seja hermitiano, α e β também devem ser e podemos escolhe-los como, σ α = 4 σ e β = sendo que cada entrada das matrizes acima são matrizes 2x2, com os σ indicando as matrizes de Pauli. Pode-se verificar que os γ µ correspondentes satisfazem as equações e. Antes de terminar esta seção introdutória, vale citar que a quantidade Ψ Ψ satisfaz a equação da continuidade e é claramente positiva, podendo ser naturalmente interpretada como densidade de probabilidade. Particula Livre Para entender o significado das componentes da função de onda vamos considerar uma solução do tipo onda plana para uma particula livre, isto é, proporcional a e ipµ x µ. Note que aqui p µ é um 4-vetor comum, e não um operador. Por simplicidade, consideremos que o seu momento está na direção ẑ, ou seja, sua função de onda é proporcional a e iet pz. A equação para as auto energias então fica m pσz pσ z m ψ ψ 2 ψ 3 ψ 4 = E ψ ψ 2 ψ 3 ψ 4 5 6 e podemos ver que só há acoplamento entre as componentes ψ e ψ 3 ou ψ 2 e ψ 4. As autoenergias são E = ± p 2 + m 2, ou seja, consistentes com a relação de dispersão relativistica, mas há possibilidade de estados com energia negativa. Para energia positiva podemos ter uma superposição dos estados, u + R = p p 2 +m 2 +m, u+ L = A 4-corrente associada é j µ = Ψ γ γ µ Ψ e satisfaz µj µ =. p p 2 +m 2 +m 7 3

e para energia negativa temos algo similar, p p u R = 2 +m 2 +m, u L = p p 2 +m 2 +m 8 Podemos observar que no limite pouco relativistico p m a função de onda para energia positiva é praticamente apenas constituida das duas componentes superiores. Podemos pensar no spinor Ψ como tendo as duas primeiras componentes associadas a uma função de onda de energia positiva e as duas ultimas componentes associadas a energia negativa. Isto não é perfeitamente verdade pois, como vimos, sempre há um acoplamento da parte superior e inferior de Ψ. Este aspecto dos autoestados da equação de Dirac leva à ideia de anti-particulas: uma anti-particula é um buraco no mar de particulas de energia negativa. Particula num Campo Eletromagnético Da mesma maneira que se faz em mecanica quantica não-relativistica, em que se obtem o hamiltoniano classico e então o promove para operadoes, podemos fazer aqui. Se há um campo eletromagnetico caracterizado pelo 4-potencial A µ, então o hamiltoniano de uma particula de carga e é obtido pela substituição p µ p µ ea µ, ou seja, H eφ = α p e A + βm 9 Como eφ é proporcional à identidade, as auto-energias deste hamiltoniano são m σ p ea ψ + ψ + σ p ea m ψ = E eφ ψ onde ψ + e ψ são spinores de dimensão dois. No limite pouco relativisticos, para energias positivas, E m, de modo que uma das equações fica σ p e Aψ + ψ, e a outra fica σ p ea 2 ψ + = [ p e A 2 2 + i σ p ea p ea ] ψ + E eφ mψ + 2 com um calculo bastante simples podemos mostrar que p ea p eaψ = ie Aψ = iebψ, de modo que [ m + p e A ] 2 µ B + eφ ψ + = Eψ + 22 sendo µ = e / σ. Portanto, a menos da massa de repouso, este é exatamente o hamiltoniano que se obteria na mecanica quântica não relativistica. Além disto, observamos que S = /2 σ atua em ψ + exatamente como o operador de spin, então reescrevendo a expressão para o momento magnético µ = g e S 23 4

com g = 2. Ou seja, o fator g de Landé surge naturalmente das equações. Este exemplo então ilustra de maneira bastante clara o surgimento do spin /2, diretamente da equação de Dirac. Particula num Potencial Central Considere uma partícula num campo eletrico estático, então existe um referencial no qual A =, e neste sistema de coordenadas o hamiltoniano discutido acima fica H = α p + βm + eφ x. Conforme sugerido por esta expressão, vamos considerar uma particula sob efeito de uma interação tal que em algum sistema de coordenadas possamos escrever H = α p + βm + V x 24 sendo que V faz o papel de uma energia potencial. Vale ressaltar que esta expressão só possui esta aparência num referencial particular, como pode ser visto no caso eletromagnético em qualquer outro referencial a particula sentirá também um campo magnético, além do elétrico. Vamos supor que V é esfericamente simétrico em relação a origem 2, na esperança que possamos encontrar algumas quantidades conservadas, isto é, operadores que comutem com o hamiltoniano. Podemos esperar que o momento angular total e o operador paridade sejam fortes candidatos. Primeiro notamos que o momento angular orbital L = x p obviamente comuta com V, pois L só atua nas coordenadas angulares, e com mβ, pois β = γ comuta tanto com x quanto com p = i. Então [H, L i ] = [ α p, L i ], que é ɛ ijk α l [p l, x j ]p k = iɛ ijk α j p k, sendo que somas de a 3 estão subentendidas nos indices repetidos. Defina agora o operador de spin S como S = 2 σ σ Então, S claramente comuta com V e mβ, de modo que [H, S i ] = [ α p, S i ] = iɛ ijk α j p k. Portanto temos que J = L + S comuta com H. Segundo, como V automaticamente terá simetria de inversão pela origem, esperamos que os autoestados desse hamiltoniano também possua essa simetria. Deve existir então algum operador associado a esta simetria, que portanto comute com o hamiltoniano. Seja Π o operador de inversão espacial, que troca x x. Consequentemente Π p = pπ, e portanto Π não comuta com o hamiltoniano. Suponha que exista um operador U, que comute com x e p, e tal que ΠU comute com o hamiltoniano. Então U deve ser tal que ele não afetará o termo com V, deve comutar com β e deve anticomutar com α. Pedindo algumas propriedades interessantes ao operador de paridade, como o fato de ele ser igual ao seu proprio inverso, temos que o próprio β satisfaz estes requerimentos. Portanto Πβ também comuta com o hamiltoniano. Desta maneira, existe uma base de autoestados do hamiltoniano que também são simultaneamente autovetores do momento angular numa dada direção J z, do momento angular quadrado J 2 e do operador paridade Πβ. Então escrevendo Ψ como um vetor composto por dois spinores, ψ Ψ x = + x ψ 26 x 2 V x = V x 25 5

e impondo que ele é autoestado do operador paridade que só possui autovalores ±, temos ψ + x ψ ψ = ± + x x ψ 27 x então, em cada caso, ψ + e φ tem paridade bem definida. Impondo que eles também são autovetores de J z e J 2 eles devem ser spinores do tipo j, m; l, /2, que podem ser escritos em termos de produtos tensoriais de kets associados ao momento orbital l, m l e kets de spin ±. Os primeiros kets são harmonicos esféricos na representação de coordenadas e os segundos são spinores T ou T. Temos l±/2, M = ] [± l ± M + 2 l l, /2; M /2, + + M + 2 l, /2; M + /2, 2l + que em notação spinorial fica, Υ j=l±/2,m l = 2l + ± l ± M + Y m /2 2 l θ, φ l M + Y m+/2 2 l θ, φ 28 29 Desta maneira, a solução para Ψ deve ter o formato urυ j,m l /2 Ψ x = ivrυ j,m l±/2 A equação de Dirac para este problema então resulta, θ, φ θ, φ 3 Investigando o termo com a matriz de Pauli, E m V r ψ + x σ pψ x = 3 E + m V r ψ x σ pψ + x = 32 σ p = r 2 σ x σ x σ p = σ ˆr [ ˆr p + i σ L ] r E vemos que ˆr p = i / r atua apenas na parte radial, σ L = 2S L = J 2 L 2 S 2 não atua na parte radial, j,m σ LΥl = jj + ll + 3 Υ j,m l 34 4 mas no nosso caso há apenas duas possibilidades: l = j + /2 ou l = j /2 e temos que o autovalor na equação acima pode ser λ + ou λ, respectivamente, sendo λ = j + /2. Por fim calculamos o efeito de σ ˆr, que não atua na parte radial, σ ˆrΥ j,m j±/2 θ, φ = e iφ sin θ cos θ e iφ sin θ cos θ Aplicando isto às equações 3 e 32 obtemos 6 33 Υ j,m j±/2 θ, φ = Υj,m j /2 θ, φ 35

d E m V r ur E + m V r vr dr + ±λ + r d dr ±λ r vr = 36 ur = 37 sendo que o sinal ± que aparece nestas equações vem dos autovalores do operado de paridade, mais especificamente da equação 27. Vamos agora considerar um átomo hidrogenoide, com Z protons no nucleo e apenas um elétron. Supondo que o nucleo seja muito mais pesado que o eletron de modo que possamos tratar o problema como o de um elétron sob efeito do potencial central Vamos introduzir os parametros adimensionais V r = Ze2 r 38 ɛ = E m 39 x = mr 4 e a constante de estrutura fina α = e 2 /37, de modo que as equações 36 e 37 fiquem ɛ + Zα d ux x dx + ±λ + vr = 4 x ɛ + + Zα d vx x dx ±λ ur = 42 x Aproximando a solução no infinito x, obtemos ux vx e ɛ 2 x 43 que é uma exponencial decrescente 3. Propomos então soluções do tipo de Frobenius, mas evidenciando este carater no infinito, ux = e ɛ 2x x η k a k x k 44 e analogamente para vx, mas com coeficientes b, ao invés de a. Tentaremos encontrar uma solução assumindo que possamos usar o mesmo η em ambas as expressões. O termos de menor ordem em x fornecem as equações, sendo que o sinal ± foi embutido no λ. Para as outras ordens, Zαa η + λ + b = 45 η λ + a + Zαb = 46 ɛa k Zαa k ɛ 2 b k + λ + + η + kb k = 47 3 Note que como estamos procurando estados ligados, E < m, o que implica ɛ <. 7

+ ɛa k + Zαb k ɛ 2 a k λ η ka k = 48 então vemos que nãp pode ocorrer a = b =, pois senão todos os coeficientes serão nulos. Deste modo, devemos impor que o sistema de equações 45 e 46 admite soluções não-triviais, ou seja, seu determinante é nulo. Isto corresponde a uma equação do segundo grau para η, cuja solução é η = ± λ 2 Zα 2 49 note que o sinal de λ não faz diferença nesta expressão. Supondo que Zα 2 é pequeno bem menor que, e lembrando que λ é maior que /2, devemos sempre pegar o caso +, para que a função de onda não exploda de uma maneira não-normalizael na origem, isto é, queremos que a função não cresça mais rapidamente que /r. Se Zα então η poderia ser complexo, mas nesse regime o campo elétrico poderia ser grande o suficiente para tornar provavél criação de pares eletron-positron, o que fugiria da equação de Dirac, então não devemos confiar no nosso resultado neste regime. A partir das relações de recorrencia 47 e 48 podemos obter a razão entre os coeficientes a e b, b k = Zα + ɛ + λ η k ɛ a k Zα ɛ + λ + + η + k 5 + ɛ e para k muito grandes, temos a k /a k, o que caracteriza um crescimento exponencial e, portanto, não normalizavél. Como de costume, devemos truncar as series. Supondo que para algum n tenhamos a n + = b n + =, então ɛa n ɛ 2 b n = 5 + ɛb n ɛ 2 a n = 52 como o determinante destas equações já é automaticamente nulo, elas fornecem a razão b n /a n. Comparando com 5 obtemos e podemos resolver para ɛ, que já determina as autoenergias E, + η + n ɛ 2 = Zαɛ 53 E = + mc 2 54 Zα 2 2 j+/2 2 Zα 2 +n E vemos que esta energia depende de n e j, apenas. Isto é capaz de explicar a estrutura fina do atomo de hidrogenio, mas não a hiperfina. Por exemplo, os niveis 2s /2 e 2p /2 possuem a mesma energia de acordo com a expressão acima, já que possuem o mesmo numero quantico principal e mesmo momento angular total j = /2. No entanto sabemos que estes niveis se degeneram devido ao Lamb shift. É esperado que não tenhamos obtido isto, já que despresamos qualquer outro efeito do nucleo, fora o eletrotático, e portanto perdemos no nosso modelo a interação spin-spin, do nucleo com o eletron. Alem disto também tem as limitações da propria equação de Dirac, que não leva em conta, pelo menos não nesta nossa descrição, a criação de pares particulas-antiparticulas: nós consideramos o eletron como a unica particula relevante do nosso universo. 8

Conclusão Neste trabalho então foram discutidas as ideias básicas da equação de Dirac, bem como alguns de seus resultados mais imediatos. Interessantemente, estes resultados imediatos e completamente naturais foram, na realidade, extremante profundos, evidenciando a beleza da equação de Dirac. Pudemos ver facilmente que ela prevê a existencia de antiparticulas, prevê a existencia do spin e fornece naturalmente o fator g de Landé para particulas de spin /2 interagindo apenas com um campo eletromagnético e também explica as correções finas para os niveis de energia de atomos hidrogenóides. Portanto, apesar da teoria de Dirac ser incompleta e ser necessario considerar teorias mais precisas, como teoria quantica de campos, ela se mostrou demasiadamente elegante. 9