Matemática Computacional Equações não lineares Universidade de Coimbra 13 pages Professor João Soares 2008/2009 1. Localize graficamente (à mão ou em matlab) as soluções das seguintes equações e demonstre, de forma algébrica, a sua unicidade nos intervalos fechados encontrados, x 2 cos 2 x = 0, ln(x 1) 1/(x 1) = 0, ln(4 x 2 ) = x, x e x = 0. 2. Considere a equação sin x + 1 ax = 0, onde a é um número real conhecido. Diga, justificando, para que valores de a esta equação tem uma única raiz no intervalo [0, π/2]. 3. Modele a questão de obter um valor aproximado para a distância mínima medida na vertical entre as curvas definidas por y = e x e y = ln(x), para x > 0. 4. Uma sucessão {x (k) } R converge de forma quadrática para x R se existirem um inteiro k 0 e um escalar c [0, 1) tais que x (k+1) x c x (k) x 2, para todo k k 0. Averigúe se as sucessões {1/k} e {1 + (0.5) 2k } convergem de forma quadrática para 0 e 1, respectivamente. 5. (Exercício 2.4, p68) Seja I 0 [a, b] o intervalo inicial para o método da bissecção. Mostre que o menor número de iterações que reduz este intervalo a uma amplitude inferior a ɛ é o menor inteiro maior do que log 2 ( b 1 ɛ ) 1. 6. Quantas iterações precisa efectuar pelo método da bissecção de modo a alcançar uma aproximação da única raiz de x 3 x 1 no intervalo [1, 2], com uma precisão de 10 1? Determine essa aproximação. 7. Use o método da bissecção para aproximar a única solução da equação x + 0.5 + 2 cos(πx) = 0 no intervalo [0.5, 1.0] com erro inferior a 10 2, 8. A componente forçada de uma tensão transitória para um dado circuito pode ser traduzida pela expressão E(t) = e 0.06πt sin(2t π). Use o método da bissecção duas vezes para aproximar o valor da tensão máxima deste circuito.
Equações não lineares 2 9. Pretende construir-se um tanque cúbico com a capacidade de 25000 litros. Calcule uma aproximação para o comprimento do lado do tanque usando o método da bissecção quatro vezes e indique a precisão do resultado. 10. Um avião em voo vertical descreve uma trajectória que, para t [0, 1] dado em minutos, pode ser traduzida pela expressão h(t) = (t 1)e t t + 3. (a) Calcule um valor aproximado do instante em que o avião esteve mais próximo do solo, aplicando o método de Newton duas vezes. (b) Aproxime a diferença máxima de altitude que o avião atinge no mesmo intervalo. 11. Considere a função f definida por f(x) = e x ln x, x > 0. Utilizando o método de Newton, aproxime a abcissa do seu ponto de inflexão, em segunda aproximação, partindo de um intervalo com amplitude inferior ou igual a 1. Indique uma estimativa para o erro cometido. 12. Use o método de Newton para aproximar, com erro inferior a 10 4, o valor de x correspondente ao ponto do gráfico de y = x 2 mais próximo de (1, 0). 13. Mostre que a relação x = 1 2 cos x tem uma solução α. Obtenha, um intervalo [a, b] que contenha α e tal que, para todo o x (0) [a, b], a sucessão {x k } gerada pela relação de recorrência x (k+1) = 1 2 cos x(k), k = 0, 1, 2,..., convirja para α. Justifique. 14. Determine os extremos locais da função f(x) = x3 3 10 4, usando o método iterativo do ponto fixo. + 10 sin x, com um erro inferior a 15. Determine uma aproximação para a maior raiz de e x 4x 2 = 0, usando o método do ponto fixo. Indique um majorante do erro da aproximação obtida. 16. A equação de Kepler, usada para calcular as órbitas dos satélites, é M = x E sin x. Dado E = 0.2, resolva a equação para M = 0.5 e M = 0.8 com quatro casas decimais correctas. 17. Pretende construir-se uma ponte entre duas margens de um rio que, por razões económicas, seja o mais curta possível. Sabendo que, na região onde se pretende construir a ponte, as margens do rio têm a forma das curvas y = e x e y = ln (x), determine o comprimento da ponte.
Equações não lineares 3 18. Considere a equação x 6 4x 5 + 6x 4 2x 3 kx 2 + mx n = 0, onde m, n e k denotam parâmetros. (a) Determine um valor para (m, n, k) de modo a que a equação admita 1 como raiz tripla. (b) Para (m, n, k == (,, ), localize e separe as raízes. Determine, pelo método mais conveniente, a menor raiz da equação. 19. Considere a equação polinomial x 3 + kx 2 + 2x 1 = 0, com k um parâmetro real não negativo. (a) Determine o conjunto de todos os valores de k para os quais a equação tem uma única raiz no intervalo [0, 1]. (b) Tome para k o menor valor inteiro positivo do conjunto obtido na alínea anterior e: faça a separação completa das raízes da equação dada; aproxime a menor raiz real daquela equação pelo método de Newton. 20. Localize e separe os valores próprios reais de uma dada matriz A, sabendo que a sua equação característica é λ 3 0.4λ 2 + 0.06λ 0.004 = 0. 21. Para resolver o sistema de equações diferenciais de segunda ordem { x + x + 2y + y = f (t), x x + y = g (t), com x (0) = x (0) = y (0) = 0, pelo método das transformadas de Laplace, torna-se necessário factorizar a expressão ( S 2 + 1 ) S (2S + 1) ( S 2 1 ), por forma a obter a transformação inversa. Quais são os referidos factores? 22. Pretende construir-se um depósito semi-esférico, de raio r, para armazenar um líquido até uma altura h. Sabendo que o volume do referido líquido é dado pela expressão V = π ( 2r 3 3r 2 h + h 3) /3, qual o raio com que se deve construir o depósito se se pretender guardar no máximo 250 litros de líquido a uma altura de 2 metros? 23. Um corpo de massa 1 kg, que se move apenas ao longo de uma linha recta e que inicialmente se encontra em repouso no ponto de coordenadas x = 2, fica sujeito a uma força cuja intensidade em cada instante t é dada por F (t) = 1+2t 3t 2. Localize e separe os instantes de tempo em que o corpo passa pela origem do referencial.
Equações não lineares 4 24. (Exercício 2.5, p68) Explicar porque é que no Programa 2.1 se usou a fórmula x(2) = x(1)+(x(3)-x(1))*0.5 em vez da fórmula mais natural x(2) = (x(1)+x(3))*0.5, para calcular o ponto médio. 25. (Exercício 2.7, p68) Aplicar o método de Newton ao cálculo da raiz quadrada de um número posiivo a. Proceder de maneira análoga para calcular a raiz cúbica de a. 26. (Exercício 2.11, p69) Utilizar o método de Newton para calcular o zero de f(x) = x 3 3x 2 2 x + 3x4 x 8 x em [0, 1] e explicar porque é que a convergência não é quadrática. 27. (Exercício 2.15, p69) Seja φ N a função iteradora do método de Newton considerado como uma iteração de ponto fixo. Mostrar que φ N (α) = 1 1/m, onde α é um zero de f de multiplicidade m. Deduzir que o método de Newton converge quadraticamente se α for uma raiz simples de f(x) = 0, e linearmente no caso contrário. 28. (Exercício 2.16, p70) Deduzir a partir do gráfico de f(x) = x 3 + 4x 2 10 que esta função tem um único zero real α. Para calcular α utilizar as seguintes iterações do ponto fixo: dado x (0), definir x (k+1) tal que e analisar a sua convergência para α. x (k+1) = 2 ( x (k)) 2 ( + 4 x (k) ) 2 + 10 3 ( x (k)) 2, k 0 + 8x (k) 29. Uma norma vectorial real é uma função de R n em R que satisfaz três propriedades: x + y x + y, para todo x, y R n, αx = α x, para todo x R n e para todo α R, x 0, para todo x R n, x = 0 se e só se x = 0. (1a) (1b) (1c) (1d) Prove que as seguintes funções são normas vectoriais reais, n x 1 x i, x 2 n x 2 i, x max x i. 1 i n i=1 i=1
Equações não lineares 5 30. Seja x R n. Mostre que as seguintes relações entre as normas da alínea anterior, x x 2 x 1, x 1 n x 2, x 2 n x. 31. Diz-se que uma sucessão {x (k) } R n converge de forma quadrática para x se existirem um inteiro k 0 e um escalar c 0 tais que x (k+1) x c x (k) x 2, para todo k k 0. Será possível que se tenha convergência de forma quadrática para uma das normas l 1, l 2 e l e não para uma das outras duas? Explique sumariamente. 32. O seguinte sistema de equações não lineares possui duas soluções, uma das quais é (x, y) = (3, 0), { x 2 2x + y 2 3 = 0 x(6 x) + y 9 = 0. Localize e determine a outra solução efectuando duas aproximações do método de Newton. 33. Localize graficamente as duas soluções do seguinte sistema de equações não lineares { x(x + 2) + 2y = 7 x 2 + (y 3) 2 = 9 e determine uma aproximação da solução de maior abcissa usando o método de Newton e iterando duas vezes. 34. Identifique uma das raízes x da seguinte função F : R 2 R 2, [ x F (x) = 2 1 + x2 2 2 ] exp(x 1 1) + x 3 2 2 e efectue uma iteração do Método de Newton para aproximar x a partir do ponto inicial x (0) = (2, 1/2). 35. Aplique duas iterações do método de Newton ao sistema de equações não lineares: { e x 1 1 = 0 e x 2 1 = 0 começando com x (0) = ( 10, 10). O que é que aconteceria se continuasse a aplicar o método de Newton?
Equações não lineares 6 36. Um avião em voo vertical descreve uma trajectória que, para t [0, 1] dado em minutos, pode ser traduzida pela expressão h(t) = (t 1)e t t + 3. (a) Calcule um valor aproximado do instante em que o avião esteve mais próximo do solo, aplicando o método de Newton duas vezes. (b) Aproxime a diferença máxima de altitude que o avião atinge no mesmo intervalo. 37. Considere a função f(x) = ln(4 x 2 ) x. Localize graficamente as suas raízes reais e aproxime o valor da maior delas efectuando duas iterações do método de Newton. 38. Considere o problema de determinar uma solução x da equação x 2 α = 0 dispondo de uma calculadora muito elementar que só faz somas, subtracções, multiplicações e divisões de números reais. (a) Deduza a expressão geral do método de Newton, exprimindo x k+1 em função de x k. (b) Distintamente, para α > 0 e α = 0, escreva x k+1 x em função de x k x. (c) Como é que interpreta a diferença nos resultados da alínea anterior? (d) Assuma que α = 1. Calcule 7 iterações do método de Newton começando em x 0 = 2. Que lhe parece estar a acontecer? (Sugestão: efectue os cálculos em Excel) (e) Para α > 0, mostre que a sequência {x k } gerada pelo método de Newton converge sempre para uma raíz da equação x 2 α = 0 qualquer que seja x 0 0. Para que valores de x 0 é que o limite é α? E α? 39. Diz-se que uma sucessão {x k } R converge de forma quadrática para x se existirem um inteiro k 0 e um escalar c [0, 1) tais que x k+1 x c x k x 2, para todo k k 0. Averigue se as sucessões {1/k} e {1 + (0.5) 2k } convergem de forma quadrática para 0 e 1, respectivamente. 40. Seja f uma função real de variável real contínua à Lipschitz em ]a, b[ com constante de Lipschitz γ > 0. Prove que f(y) f(x) f (x)(y x) γ y x 2 2
Equações não lineares 7 para todo o x, y em ]a, b[. (Sugestão: ver página 22 do livro de Dennis e Schnabel 83) 41. Mostre que a seguinte função f : R R é contínua à Lipschitz em qualquer intervalo fechado e limitado de R mas não é diferenciável em x = 0, { x sin 1 f(x) = x, x 0, 0, x = 0. 42. Considere as hipóteses do teorema da convergência (local) quadrática do método de Newton: 1. f : [a, b] R tal que f é contínua à Lipschitz em [a, b] com constante de Lipschitz γ > 0. 2. Existe x ]a, b[ tal que f(x ) = 0. 3. f (x) ρ > 0, para todo o x em [a, b]. Prove que a hipótese 3 pode ser substituída por f (x ) 0 sem que o resultado do teorema referido seja alterado. 43. Para cada uma das funções f(x) = x, f(x) = x 2 + x e f(x) = e x 1, responda às seguintes questões: (a) Quanto vale a derivada de f na raiz x = 0? (b) Determine uma constante de Lipschitz para a derivada de f no intervalo [a, b] (com a < 0 < b). (c) Encontre um intervalo [a, b] nas condições do teorema da convergência (local) quadrática do método de Newton. (d) Caracterize todos os pontos iniciais tais que sucessão gerada pelo método de Newton é convergente para x = 0? 44. Seja f uma função real de variável real definida em [a, b] tal que a segunda derivada é contínua em [a, b]. Seja ainda x ]a, b[ uma raíz da equação f(x) = 0 para a qual f(x ) = f (x ) = 0 e f (x ) 0. Assuma que a sequência {x k } gerada pelo método de Newton está bem definida (isto é que f (x k ) 0 para todo o k) e que converge para x. Prove que existe uma constante β ]0, 1[ tal que x k+1 x β x k x
Equações não lineares 8 para todo k N suficientemente grande. 45. Considere a equação unidimensional x 3 x 1 = 0. (a) Mostre que a equação dada possui uma única solução no intervalo [1, 2]. (b) Determine o número de iterações necessárias para aproximar a solução com erro absoluto inferior a 10 4 pelo método da bissecção. Efectue duas iterações. (c) Efectue duas iterações do Método de Newton Modificado para obter uma aproximação da solução no intervalo [1, 2]. 46. Seja P (x) um polinómio de grau n e x uma das suas raízes reais. (a) Mostre que se x é uma raiz real de multiplicidade 2 se e só se P ( x) = P ( x) = 0, P ( x) 0. (b) Mostre que, x é uma raiz real de multiplicidade k se e só se P ( x) = P ( x) =... = P (k 1) ( x) = 0, P (k) ( x) 0. 47. em Exame-Modelo 96/97: (a) Efectue duas iterações do Método da Bissecção para obter a solução da equação x 2 2 = 0 pertencente ao intervalo [0, 3]. Será que este método alguma vez consegue determinar de forma exacta a raíz da equação? (b) Compare, do ponto de vista da convergência local da resolução de uma equação não linear, os Métodos de Newton e da Bissecção. Em que situação é que tiraria partido das vantagens de ambos? 48. em Exame 23/7/97: Considere a seguinte função real de variável real: f(x) = { x 2 + 1 se x 0, 1 x 2 se x > 0. (a) Calcule, se possível, duas iterações do Método de Newton para resolver a equação f(x) = 0, começando com x 0 = 1. (b) Quais são todos os valores de x 0 para os quais o Método de Newton converge para uma raíz de f?
Equações não lineares 9 (c) Seja {x k } a sucessão gerada pelo Método de Newton para x 0 > 0. Escreva x k+1 x em função de x k x para x = 1 e k N. A partir desta fórmula, deduza a convergência quadrática do Método de Newton aplicada a este exemplo. 49. em Exame 21/7/98: Seja f uma função real de variável real a satisfazer todas as condições do teorema da convergência local do Método de Newton aplicado a f(x) = 0. (a) De que modo é que o valor da constante de Lipschitz de f influencia a taxa de convergência local do Método de Newton? Considere agora as seguintes funções reais de variável real: f 1 (x) = x 2 x, f 2 (x) = 100x 2 100x. (b) Calcule as constantes de Lipschitz de f 1 e f 2 em R. (c) Escreva, em ambos os casos, a fórmula do Método de Newton que permite calcular x k+1 em função de x k (k N). (d) Porque é que o resultado das alíneas b) e c) não contradiz a resposta dada na alínea a)? (Considere a raíz x = 1.) 50. em Exame 15/9/99: Considere a seguinte função real de variável real: f(x) = ex + e x 2 2. (a) Esboce o gráfico de f. (b) Considere também a equação não linear f(x) = 0. Efectue, se possível, uma iteração dos métodos i. de Newton, com x 0 = 0. ii. de secante, com x 0 = 0 e x 1 = 1. (NOTA: Indique apenas os cálculos.) Que conclusões é que retira? Indique dois pontos iniciais para os quais não seria possível efectuar uma iteração do método de secante. (c) Calcule a constante de Lipschitz de f no intervalo [a, b] com 0 < a b.
Equações não lineares 10 (d) Considere a aplicação do método de Newton com x 0 [a, b]. Diga, justificando a sua resposta com o resultado da alínea anterior, para que valores de a e de b é que o método de Newton seria em princípio mais lento: a = 5, b = 10 ou a = 500, b = 1000? (NOTA: Se não respondeu à alínea c, pode justificar a sua resposta através de argumentos geométricos.) 51. em Exame 19/6/2000: Considere a equação unidimensional f(x) = sin x cos 3x = 0, x R. (a) Determine um intervalo [a, b] [0, 2π] que contenha uma única raiz x de f. (b) Mostre que f é contínua à Lipschitz em [a, b] e que f (x ) 0. (c) Apresente a relação recursiva do método de Newton que define uma sucessão {x k } que se espera vir a convergir para x. Se houver convergência para x, será a taxa de convergência quadrática? 52. em Exame 10/7/2000: Considere uma matriz simétrica A R 3 3 cujo polinómio característico é definido por p(λ) = λ 3 + 2λ 2 λ 2. (a) Mostre que a matriz A tem três valores próprios reais distintos. (b) Sem efectuar quaisquer cálculos, justifique que p é contínua à Lipschitz em qualquer intervalo fechado e limitado [a, b] e que p não se anula em qualquer dos valores próprios de A. (c) Apresente a relação recursiva do método de Newton que define uma sucessão {λ k } que se espera vir a convergir para um dos valores próprios de A. Se convergência ocorrer de facto, será a taxa de convergência quadrática? 53. em Exame 11/6/2001: (a) Determine um intervalo [a, b] que contenha unicamente a maior raiz x da equação f(x) = 0, com f(x) = e x 4x 2. (b) Determine a fórmula recursiva do método de Newton que permite aproximar o valor de x. Se o método de Newton gerar uma sucessão convergente para x será a taxa de convergência quadrática? Justifique.
Equações não lineares 11 (c) Quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para aproximar o valor de x com um erro absoluto inferior a 10 4 começando com o intervalo [a, b] determinado? (Se não resolveu (a) apresente a sua resposta em função dos parâmetros a e b) 54. em Exame 9/7/2001: Para obter a solução de uma equação unidimensional f(x) = 0, com f : R R, usou-se o seguinte processo iterativo, a partir de um ponto inicial x 0, x k+1 = 1 ) (x k + axk, k = 0, 1, 2,..., (2) 2 onde a > 0 é dado. (a) Identifique uma função f tal que (2) seja a fórmula recursiva do método de Newton. (b) Com base na sua resposta à alínea anterior responda ao seguinte. Admitindo que a sucessão {x k } converge, para que valor converge? Com que taxa de convergência? Justifique.
Equações não lineares 12 Exercícios de iniciação ao Matlab (Folha 1) Estes exercícios têm por objectivo iniciar a utilização do pacote de software Matlab, desenvolvido para Cálculo Científico e Álgebra Linear Numérica. O Matlab é uma marca registada pela The MathWorks, Inc. (endereço de correio electrónico info@mathworks.com e endereço na Web http://www.mathworks.com). O comando help pode ser utilizado para descobrir o modo de utilização de qualquer outro comando. Executando o comando doc tem-se acesso a uma página contendo o manual de utilização. Para cada exercício, pode gravar o diário da sua sessão de Matlab num ficheiro através do comando diary. Utilize format compact para poupar espaço. Em alguns exercícios deverá recorrer a format long. 1. Obtenha o gráfico da função f : [0, 1] R definida por f(x) = exp(10t(t 1)) sin(12πt) executando os seguintes comandos em Matlab: t = 0:0.005:1; z = exp(10*t.*(t-1)).*sin(12*pi*t); plot(t,z) 2. Escreva um subprograma em Matlab ou construa uma folha de cálculo em Excel que leia do utilizador os valores α e x 0 e produza como output as primeiras 10 iterações do método de Newton aplicado a x 2 α = 0. 3. Mostre que a equação x + 0.5 + 2 cos πx = 0 possui uma única solução no intervalo [0.5, 1.0] e obtenha uma aproximação com erro absoluto inferior a 10 2 usando o método da bissecção numa implementação em Matlab. 4. Considere o problema de determinar as raízes reais de cada uma das seguintes equações não lineares a uma variável: f 1 (x) = x 4 12x 3 + 47x 2 60x = 0 f 2 (x) = x 4 12x 3 + 47x 2 60x + 24 = 0 f 3 (x) = x 4 12x 3 + 47x 2 60x + 24.1 = 0. Efectue várias iterações do método de Newton a partir de x 0 = 2 e x 0 = 1 numa implementação em Matlab. 5. Obtenha um valor aproximado do ponto inicial c > 0 a partir do qual o método de Newton entra em ciclo quando aplicado a arctan(x) = 0.
Equações não lineares 13 6. O polinómio p(x) = x 3 + 94x 2 389x + 294 tem raízes em 1, 3 e 94. O ponto x 0 = 2 deveria portanto ser um bom ponto inicial para calcular (através do método de Newton) um dos dois primeiros zeros indicados. Corra o método de Newton com x 0 = 2 e explique os resultados.