Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra

Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra Elaborada por: Larissa de Sousa Moreira e Cíntia da Silva Gomes Orientada por: Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista NOVEMBRO/ 008

Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra Esta apostila de atividades foi elaborada por Cíntia da Silva Gomes e Larissa de Sousa Moreira sob orientação das professoras Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista. ATIVIDADE 1 1.1-Clique em Triângulo Retângulo I no menu. Observando o applet, anote o valor das razões entre: a) a medida do cateto oposto a α e a medida da hipotenusa: a b = b) a medida do cateto adjacente a α e a medida da hipotenusa: a c = c) a medida do cateto oposto a α e a medida do cateto adjacente: c b = 1.- Mova o seletor k e observe, inicialmente, o triângulo. Mova, novamente, o seletor k e observe as razões apresentadas. A seguir, anote o valor de: a) a b = b) a c = c) c b = 1.3- Movimente o seletor correspondente ao ângulo α. Observe o triângulo e as razões. Considere um determinado valor de e anote o valor de: α = b c b a) = b) = c) = a a c 1.4- Mantendo o mesmo valor de considerado no item 1.3, mova o seletor k, observe as razões e anote seus valores: a) a b = b) a c = c) c b = 1.5- Em um triângulo retângulo, do que depende o valor das razões entre seus lados? 1.6- Marque as três caixas no applet e visualize o nome dessas razões.

3 Razões Trigonométricas As razões consideradas na atividade 1 não dependem das medidas dos lados do triângulo retângulo, e sim do ângulo agudo α. Estas são chamadas razões trigonométricas e cada uma recebe um nome, conforme já visto no applet e mostrado, novamente, a seguir: b = a c = a medida do cateto oposto a = sen α (lê-se seno de α) medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a = cos α (lê-se cosseno de α) medida da hipotenusa b = c medida do cateto oposto a medida do cateto adjacente a = tg α (lê-se tangente de α) 1.7- No menu principal do applet, clique em Exibir e, a seguir, em Janela de álgebra (ativando-a). Utilizando o campo de entrada (na parte inferior do applet), solicite e anote o valor de: a) sen 47º (para tanto digite t = sin(47 )). b) cos 18º (para tanto digite u = cos(18 )). c) tg 31º (para tanto digite v = tan(31 )). 1.8- No menu principal do applet, clique em Exibir e, a seguir, em Janela de álgebra (desativando-a). Movendo o seletor adequado, identifique: a) um ângulo agudo cujo seno seja aproximadamente 0,34. b) um ângulo agudo cujo cosseno seja aproximadamente 0,88. c) o ângulo agudo cuja tangente é 1.

4 Relações As duas relações a seguir decorrem das razões trigonométricas: a) tg = sen cos Para demonstrar essa relação vamos considerar o triângulo ABC a seguir e que sen α = a b, cos α = a c e tg α = c b. Dessa forma, temos que: sen = cos b a b a b =. = = tg α c a c c a b) sen² α + cos² α = 1 Para demonstrar essa relação vamos considerar o triângulo retângulo ABC abaixo. A partir dele podemos afirmar que: sen α = a b, cos α = a c ; a² = b² + c² (teorema de Pitágoras). Dessa forma, temos que:

5 b c b c b c sen² α + cos² α = a a a a a Como a² = b² + c², podemos afirmar que: c a a 1 Ou seja, sen² α + cos² α = 1, que é chamada de relação fundamental b a 1.9- Sem utilizar os recursos do applet, calcule tg x, sabendo que cos x = 5 4 ( 0 < x < 90º). ATIVIDADE.1- Clique em Triângulo Retângulo II no menu. Observando o applet, anote os valores das razões trigonométricas, abaixo: a) sen α = b) cos α = c) tg α = d) sen β = e) cos β = f) tg β = Compare os valores encontrados nos itens acima..- Mova o seletor k, observe as razões e anote seus valores: a) sen α = b) cos α = c) tg α = d) sen β = e) cos β = f) tg β = Compare os valores encontrados nos itens acima..3- Movimente o seletor correspondente ao ângulo α, observe o triângulo e as razões. Considere um determinado valor de α, e anote o valor de: α = β = a) sen α = b) cos α = c) tg α = d) sen β = e) cos β = f) tg β =

Compare os valores encontrados nos itens acima. 6.4- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens.1,. e.3. Conclusão: Se dois ângulos α e β são complementares (α + β = 90º), então: sen α = cos β = a b cos α = sen β = a c tg α = 1 tg.5- Sem utilizar os recursos do applet, sabendo que sen (90 - a) = 1, calcule tg a, sendo 0º < a < 90º. ATIVIDADE 3 3.1- Clique em Medidas de Ângulo no menu (a medida do ângulo, que aparece na tela, está com aproximação de uma casa decimal) e: a) observando o applet, complete a tabela abaixo: comprimento do arco medida do raio comprimento do arco medida do raio b) considerando a medida de do item anterior, movimente o seletor correspondente à medida do raio e complete a tabela, para dois raios diferentes: comprimento do arco medida do raio comprimento do arco medida do raio 57,3º

7 c) descreva o que você observou a partir da resolução dos itens a e b 3.- No applet, marque a caixa que está ao lado dos seletores e observe o texto. 3.3- Altere a medida do ângulo, movendo o seletor correspondente. Para o valor de considerado preencha a tabela abaixo, utilizando três raios diferentes (para tanto, movimente o seletor correspondente ao raio). Comprimento do arco Medida do raio comprimento do arco medida do raio 3.4- Considerando três valores diferentes para e uma medida fixa para o raio, preencha a tabela abaixo: Comprimento do arco Medida do raio comprimento do arco medida do raio 3.5- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens 3.3 e 3.4. 3.6- Mova o seletor correspondente à medida do raio até obter raio = 1. a) Compare o comprimento do arco com a sua medida em radianos. b) Altere a medida do ângulo, movendo o seletor correspondente. Compare novamente o comprimento do arco com a sua medida em radiano. c) Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens a e b. 3.7- Utilizando o campo de entrada do applet e observando a razão apresentada na tela, converta para radianos a medida dos seguintes ângulos: a) = 150º b) = 31º

8 Conclusões: 1- Dado um ângulo central, é constante a razão entre o comprimento do arco determinado e a medida do raio. Logo, podemos definir que a medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo central de uma circunferência e a medida do raio dessa circunferência. Sendo assim, quando o comprimento do arco for igual à medida do raio, podemos afirmar que o ângulo central mede 1 radiano (1 rad). - Quando R = 1, a medida do ângulo central, em radianos, coincide com o comprimento do arco. Conversão grau/radiano Como o comprimento de uma circunferência é R (sendo R o raio), a medida em radianos de um ângulo de 360º é dada por π R, ou seja, rad. A medida do ângulo central em graus é R diretamente proporcional a sua medida em radianos. Isto nos permite fazer a conversão de unidades por meio de regra de três simples: Medida em graus Medida em radianos 180 x α Para 1 rad, temos: 180º ---- rad x = x 180 ---- 1 rad 180 314, 57,3º

3.8 Utilizando regra de três, complete a tabela abaixo: 9 Medida do ângulo em graus 45º 90º Medida do ângulo em radianos 3 3 75º Tabela Trigonométrica Ao longo da história, os matemáticos determinaram as razões trigonométricas por variados processos. Com os valores encontrados foram construídas tabelas ou tábuas trigonométricas para serem consultadas sempre que a resolução de um problema exigisse o conhecimento de um desses valores. Atualmente, as calculadoras e os computadores permitem obter as razões trigonométricas com várias casas decimais. No estudo da Trigonometria, os ângulos de 30º, 45º e 60º são freqüentemente utilizados. Para estes é comum utilizar os valores exatos das razões trigonométricas. O seno, o cosseno e a tangente de 30º e 60º são obtidos a partir de um triângulo eqüilátero, e o seno, o cosseno e a tangente de 45º, a partir de um quadrado. Para facilitar, colocamos estes valores na tabela abaixo:

ATIVIDADE 4 10 4.1- Clique em Circunferência Trigonométrica no menu. Marque a caixa 1, leia atentamente o texto correspondente e observe o applet. Repita o procedimento para as demais caixas, executando as ações solicitadas. 4.- Sem utilizar o applet, identifique os quadrantes da circunferência trigonométrica a que pertencem as extremidades dos arcos cujas medidas são: a) 18º d) 141º g) 3 rad 5 b) rad e) rad h) rad 6 3 4 c) - 5 rad f) 100º i) - rad 4.3- Determine, em radianos, a medida dos arcos com origem em A e extremidades nos vértices dos polígonos regulares inscritos nas circunferências trigonométricas abaixo. a) b) c)

11 Função de Euler Até aqui, o seno e o cosseno foram definidos para ângulos maiores que 0º e menores que 90º. Como esses ângulos podem ser medidos em radianos estão definidos o seno e o cosseno de números reais maiores que zero e menores que estudadas para todos os números reais.. Agora, vamos estender as definições Para isto imagine a circunferência trigonométrica C como um carretel no qual se enrola a reta IR, de modo que o zero fique sobre o ponto (1, 0). Assim, a reta real está sendo imaginada como um longo fio, que deverá ser enrolado no carretel considerado. Ao enrolar o fio no carretel, este coincidirá com algum arco da circunferência. Se convencionarmos que o zero da reta real estará no ponto (1, 0) e que, ao enrolar o fio no sentido anti-horário ele representará um número positivo (no sentido horário o fio representará um número negativo), poderemos associar o número real 1 (fio de comprimento 1) ao arco de comprimento 1 e também ao ângulo que subentende esse arco de comprimento 1. Como o raio da circunferência é unitário (mede 1 também), então cada arco de comprimento 1 mede 1 radiano, assim como o ângulo que o subentende. Dessa forma, conseguimos associar cada número real a um ângulo da circunferência. O número 1 associa-se ao ângulo de 1 rad, o número associa-se ao ângulo de rad, o número associa-se ao ângulo que mede rad, e assim por diante. O número associa-se ao ângulo de comprimento, que coincide com o ponto inicial (lembre-se de que o comprimento da circunferência unitária é ). Clique em Função de Euler no menu. Movimente o seletor e observe a correspondência entre números reais e pontos da circunferência trigonométrica no intervalo de [0, ]. A maneira mais natural de definir as funções trigonométricas tem como ponto de partida a função de Euler E: IR C, cujo contradomínio é a circunferência C de raio 1 e centro na origem do plano cartesiano. Esta função faz corresponder a cada numero real t o ponto E (t) = (x, y) da circunferência unitária obtido do seguinte modo (LIMA 1, 001): E (0) = (1, 0). Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo. O ponto final do caminho será chamado E (t). Se t < 0, E (t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento t, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo. 1 LIMA, E. L., Carvalho, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino Médio, v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 001.

1 Sendo t um número real e P = E (t) na circunferência trigonométrica, defini-se nesta circunferência: sen t = ordenada de P; cos t = abscissa de P. P = (cos t, sen t) ATIVIDADE 5 5.1- Clique em Seno e Cosseno (sentido anti-horário) no menu. Observe o applet. Altere a medida do ângulo, movendo o seletor correspondente, e complete, corretamente, com > ou <, os itens abaixo: a) Considerando no primeiro quadrante: sen 0 cos 0 c) Considerando no terceiro quadrante: sen 0 cos 0 b) Considerando no segundo quadrante: sen 0 cos 0 d) Considerando no quarto quadrante: sen 0 cos 0 5.- No campo de entrada digite = 0º, observe os valores de sen e cos que aparecem no applet e preencha a coluna correspondente da tabela abaixo. Repita o procedimento, alterando os valores de, de forma a preencher toda a tabela. 0º 90º 180º 70º 360º sen cos

13 5.3- Movimente o seletor, observe o valor de sen e cos e responda: a) Qual o valor máximo assumido pelo seno? E o mínimo? b) Qual o valor máximo assumido pelo cosseno? E o mínimo? Conclusão: O seno de um número real é a ordenada do seu ponto correspondente na circunferência trigonométrica. Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1º e os do º quadrante e os pontos de ordenadas negativas são os do 3º e os do 4º quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o seno: O cosseno de um número real é a abscissa da extremidade desse arco. Como os pontos de abscissas positivas são os do 1º e os do 4º quadrante e os pontos de abscissas negativas são os do º e os do 3º quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o cosseno: Como, para todo x IR temos sen x entre [-1, 1]. Então o valor mínimo para sen x é -1 e o máximo é 1. O mesmo ocorre para o cos x.

5.4- Identifique a quais quadrantes podem pertencer o ângulo apresentado em cada item (utilize o applet, se necessário): 14 a) sen = b) cos = 1 4 c) sen = 3 d) cos = - 1 5.5- Identifique o sinal de (utilize o applet, se necessário): c) sen 1,4 a) sen 5 d) cos b) cos 5 e) sen 4 f) cos 3,5 5.6- Nos parênteses, coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas: 5 a) ( ) cos < cos 7 6 b) ( ) cos 4 > cos 1 c) ( ) cos 4 < 0 d) ( ) sen 3 > sen e) ( ) sen > 0 ATIVIDADE 6 6.1- Clique em Seno e Cosseno (sentido horário) no menu. Movimentando o seletor, identifique o sinal de: a) sen, -90º < < 0º b) sen, -180º < < -90º c) sen, -70º < < -180º d) sen, -360º < < -70º e) cos, -90º < < 0º f) cos, -180º < < -90º g) cos, -70º < < -180º h) cos, -360º < < -70º 6.- Apresente um valor para, -360º < < 0º tal que: a) sen > 0 e cos < 0 b) sen < 0 e cos < 0

ATIVIDADE 7 15 7.1- Clique em Seno e Cosseno de Ângulos Complementares no menu. Observe o applet e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (90º - ) = d) cos = cos (90º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 7.- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 37º e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (90º - ) = d) cos = cos (90º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 7.3- Escolha um outro valor para, movendo o seletor correspondente e anote o valor de: = a) sen = b) cos = Compare os valores encontrados nos itens acima. c) sen = sen (90º - ) = d) cos = cos (90º - ) = 7.4- Descreva o que você observou.

16 Conclusão: Na atividade, no estudo de Trigonometria no triângulo retângulo, foi verificado que quando dois ângulos e são complementares, sen = cos ou sen = cos (90º - ) cos = sen ou cos = sen (90º - ) É possível provar que essa relação é verdadeira também na circunferência trigonométrica. Para tanto se observa na figura abaixo que o triângulo ABO é congruente ao triângulo CDO pelo caso LAA o. (Lado, Ângulo adjacente e Ângulo oposto). Essa relação pode ser escrita como: sen x = cos x, para x IR, ou cos x = sen x, para x IR. ATIVIDADE 8 8.1- Clique em Seno e Cosseno de Ângulos Suplementares no menu. Observe o applet e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º - ) = d) cos = cos (180º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 8.- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 7º e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º - ) = d) cos = cos (180º - ) =

Compare os valores encontrados nos itens acima. 17 8.3 - Escolha um outro valor para, movendo o seletor correspondente e anote o valor de: = a) sen = b) cos = Compare os valores encontrados nos itens acima. c) sen = sen (180º - ) = d) cos = cos (180º - ) = 8.4- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens anteriores desta atividade. ATIVIDADE 9 9.1- Clique em Seno e Cosseno de Ângulos Explementares no menu. Observe o applet e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º + ) = d) cos = cos (180º + ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 9.- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 35º e anote os valores representados na tela de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º + ) = d) cos = cos (180º + ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 9.3- Escolha um outro valor para, movendo o seletor correspondente e anote o valor de: = a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º + ) = d) cos = cos (180º + ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 9.4- Descreva o que você observou.

ATIVIDADE 10 18 10.1- Clique em Seno e Cosseno de Ângulos Replementares no menu. Observe o applet e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (360º - ) = d) cos = cos (360º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 10.- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 43º e anote os valores representados na tela de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (360º - ) = d) cos = cos (360º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 10.3- Escolha um outro valor para, movendo o seletor correspondente e anote o valor de: = a) sen = c) sen = sen (360º - ) = b) cos = d) cos = cos (360º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 10.4- Descreva o que você observou.

19 Simetrias Em uma circunferência trigonométrica, se um arco tiver sua extremidade no º, 3º ou 4º quadrante, sempre existirá um arco com extremidade no 1º quadrante e cujas funções trigonométricas terão, em módulo, o mesmo valor das do arco considerado. Simetria em relação ao eixo dos senos Dado o ângulo tal que 90º < < 180º, seja P a extremidade de na circunferência trigonométrica. Seja P o ponto simétrico de P em relação ao eixo dos senos, o ângulo correspondente ao arco e o ângulo correspondente ao arco. Observando a figura podemos afirmar que Além disso, + = 180º (I). Substituindo (II) em (I) temos que = (II), pois, P é simétrico de P em relação ao eixo dos senos. + = 180º (no sentido anti-horário). Portanto + = 180º ou = 180º - (III) Como P(cos, sen ) e P (cos, sen ) são simétricos em relação ao eixo dos senos estes pontos têm mesma ordenada e abscissas simétricas. Ou seja: sen = sen (IV) cos = - cos Substituindo (III) em (IV) temos que: sen (180º - ) = sen cos (180º - ).= - cos.

0 Logo, dois ângulos suplementares têm senos iguais e cossenos simétricos. Essas relações podem ser escritas como: sen x = sen x cos x = - cos x, para x IR, e, para x IR. Simetria em relação à origem Dado o ângulo tal que 180º < < 70º, seja P a extremidade de na circunferência trigonométrica. Seja P o ponto simétrico de P em relação à origem e o ângulo correspondente ao arco. Observando a figura podemos afirmar que Além disso, - = 180º (I). Substituindo (II) em (I) temos que = (II), pois, P é simétrico de P em relação à origem. - = 180º (no sentido anti-horário). Portanto - = 180º ou = 180º + (III) Como P(cos, sen ) e P (cos, sen ) são simétricos em relação à origem estes pontos possuem ordenadas e abscissas simétricas. Ou seja: sen = - sen sen = - sen cos = - cos cos = - cos (IV)

1 Substituindo (III) em (IV) temos que: sen (180º + ) = - sen cos (180º + ).= - cos. Logo, dois ângulos que somam 180º têm senos e cossenos simétricos. Essas relações podem ser escritas como: sen x = - sen x cos x = - cos x, para x IR, e, para x IR. Simetria em relação ao eixo dos cossenos Dado o ângulo tal que 70º < < 360º, seja P a extremidade de na circunferência trigonométrica. Seja P o ponto simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos e o ângulo correspondente ao arco. Observando a figura podemos afirmar que Além disso, + = 360º (I). = (II), pois, P é simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos. Substituindo (II) em (I) temos que + = 360º (no sentido anti-horário). Portanto + = 360º ou = 360º - (III)

Como P(cos, sen ) e P (cos, sen ) são simétricos em relação ao eixo dos cossenos estes pontos têm mesma abscissa e ordenadas simétricas. Ou seja: sen = - sen cos = cos (IV) Substituindo (III) em (IV) temos que: sen (360º - ) = - sen cos (360º - ).= cos. Logo, dois ângulos que somam 360º têm senos simétricos e cossenos iguais. Essas relações podem ser escritas como: sen x = - sen x cos x = cos x, para x IR, e, para x IR ATIVIDADE 11 No menu, clique em Definição da Função Seno e marque as caixas numeradas. 11.1- Clique em Transformação da Função Seno no menu. O applet apresenta o gráfico da função f(x) sen x. Observando-o, determine o conjunto imagem (Im) e o período (p) da função f. Im = p = 11.- Mova o seletor d até encontrar d =. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = 11.3- Mova o seletor d até encontrar d = -3. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = 11.4- Movimente o seletor d e observe a modificação ocorrida no gráfico. Descreva a transformação que o parâmetro d, das funções da forma função f(x) sen x. g (x)=d + sen x, causa sobre o gráfico da

3 11.5- Mova o seletor d até encontrar d = 0, para que o gráfico da função f coincida novamente com o gráfico da função g. Mova o seletor c até encontrar c =,9. Observando o gráfico, determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = 11.6- Mova o seletor c até encontrar c = - 3,7. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = 11.7- Movimente o seletor c e observe a modificação ocorrida no gráfico. Descreva a transformação que o parâmetro c, das funções da forma g (x)= sen (x + c), causa sobre o gráfico da função f(x) sen x. 11.8- Mova o seletor c até encontrar c = 0, para que o gráfico da função f coincida novamente com o gráfico da função g. Mova o seletor a até encontrar a = 0,5. Observando o gráfico, determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = 11.9- Mova o seletor a até encontrar a =. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = 11.10- Movimente o seletor de forma que a assuma apenas valores positivos e observe os gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma g (x)= a sen x, causa sobre o gráfico da função f(x) sen x, quando 0 < a < 1 e quando a > 1. 11.11- Mova o seletor a até encontrar a = -1. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Compare os gráficos das funções f(x) sen x e g(x) sen x e descreva o que você observou. 11.1- Movimente o seletor de forma que a assuma apenas valores negativos e observe os gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma causa sobre o gráfico da função f(x) sen x, quando -1 < a < 0 e quando a < - 1. g (x)= a sen x,

11.13- Mova o seletor a até obter a = 1, para que o gráfico da função f coincida novamente com o gráfico da função g. Mova o seletor b até encontrar b = 0,5. Observando o gráfico, determine o conjunto imagem e o período da função g. 4 Im = p = 11.14- Mova o seletor b até encontrar b = 0,5. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = 11.15 Mova o seletor b até encontrar b =. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = 11.16 Mova o seletor b até encontrar b = 4. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = 11.17- Movimente o seletor de forma que b assuma apenas valores positivos e observe os gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro b, das funções da forma causa sobre o gráfico da função f(x) sen x, quando 0 < b < 1 e quando b > 1. g (x)=sen bx, 11.18- Mova o seletor b até encontrar b = -1. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Compare os gráficos das funções f(x) sen x e g(x) sen ( x) e descreva o que você observou. 11.19- Mova o seletor de forma que b assuma apenas valores negativos e observe os gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro b, das funções da forma g (x)=sen bx, causa sobre o gráfico da função f(x) sen x, quando -1 < b < 0 e quando b < - 1.

5 Conclusões: Funções na forma g (x) = d + sen x A imagem é [-1 + d, 1 + d] e o período é π. Em relação à função f(x) = sen x: - quando d > 0, estas funções sofrem uma translação vertical de d unidades para cima. - quando d < 0, estas funções sofrem uma translação vertical de d unidades para baixo. Funções na forma g (x) = sen (x + c) A imagem é [-1, 1] e o período é π. Em relação à função f(x) = sen x: - quando c > 0, estas funções sofrem uma translação horizontal de c unidades para a esquerda. - quando c < 0, estas funções sofrem uma translação horizontal de c unidades para a direita. Funções na forma g (x) = a sen x A imagem é [-a, a] e o período é π. Em relação à função f(x) = sen x: - quando 0 < a < 1, estas funções sofrem uma contração vertical. - quando a > 1, estas funções sofrem uma dilatação vertical. - quando -1 < a < 0, estas funções sofrem uma contração vertical e uma reflexão em relação ao eixo x. - quando a < -1, estas funções sofrem uma dilatação vertical e uma reflexão em relação ao eixo x Funções na forma g (x) = sen bx A imagem é [-1, 1] e o período é Em relação à função f(x) = sen x: π. b - quando 0 < b < 1, estas funções sofrem uma dilatação horizontal. - quando b > 1, estas funções sofrem uma contração horizontal. - quando -1 < b < 0, estas funções em relação à função f(x) = sen x, sofrem uma dilatação horizontal e uma reflexão em relação ao eixo x. - quando b < -1, estas funções em relação à função f(x) = sen x, sofrem uma contração horizontal e uma reflexão em relação ao eixo x.

6 11.0- De acordo com o que foi estudado até aqui, determine o que se pede em cada item, sem utilizar o applet. a) Dadas as funções abaixo, determine o conjunto imagem e o período de cada uma: f: IR IR / f (x) = 3 sen x f: IR IR / f (x) = 1 sen x f: IR IR / f (x) = sen 3x f: IR I R / f (x) = + sen x b) Determine o valor de b sabendo que o período da função f(x)=1+cos b x é igual a 8 π : c) Determine o valor de a sabendo que a imagem da função f (x) =a sen x é [-3, 3]. EXERCÍCIOS 1- Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30º. O aparelho que mede o ângulo está a 1,6m do solo. Determine a altura do prédio. - (F. E. Edson Queiroz CE) É dada a expressão cos x = m 6. Os números reais m, de modo que existam x satisfazendo essa igualdade, são tais que: a) 5 m 7 b) -7 m 5 c) -1 m 5 d) -7 m 1 e) -1 m 1 3- (Unifor-CE) O valor de sen (-10º) é: a) 3 b) - c) 1 1 - d) e) 3 4- (Unifor CE) O valor de tg 150º + sen10º - cos 330º é igual a: a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 - e) 6 3 6

5- (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: 7 a) y = sen x x b) y = sen c) y = sen x d) y = sen x e) y = sen x 6- (Puccamp) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da função f, de IR em IR, dada por f(x)=k.cos(tx). Nessas condições, calculando-se k - t obtém-se: a) - 3 b) -1 c) 0 d) 3 e) 5