UFG/CAC 19/09/2013
Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Chamamos de Z o conjunto dos números inteiros Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}
Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Chamamos de Z o conjunto dos números inteiros Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Os números racionais são os números da forma a b onde a e b são inteiros e b 0. O conjunto dos números racionais é indicado por Q. { a } Q = b a, b Z, b 0
Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Chamamos de Z o conjunto dos números inteiros Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Os números racionais são os números da forma a b onde a e b são inteiros e b 0. O conjunto dos números racionais é indicado por Q. { a } Q = b a, b Z, b 0 Observe que N Z Q. Todo natural é um inteiro e todo inteiro é racional.
Operações Com Racionais Sejam a b e c d dois racionais quaisquer. A soma e o produto destes racionais são obtidos da seguinte forma: a b + c d = ad+bc bd a b c d = ac bd
Operações Com Racionais Sejam a b e c d dois racionais quaisquer. A soma e o produto destes racionais são obtidos da seguinte forma: a b + c d = ad+bc bd a b c d = ac bd A operação que a cada par de números racionais associa a sua soma chama-se adição, e a que associa o produto chama-se multiplicação.
Ortem Nos Racionais O número racional a b se diz positivo se a b N \ {0}.
Ortem Nos Racionais O número racional a b Definição se diz positivo se a b N \ {0}. Sejam r, s dois racionais; dizemos que r é menor do que s (ou que s é maior do que r) e escrevemos r < s (respectivamente s > r) se existe um racional t positivo tal que s = r + t. A notação r s (leia-se: r é menor ou igual a s) é usada para indicar a afirmação r < s ou r = s. Analogamente para s r.
Propriedades Da Adição Adição 1 (x + y) + z = x + (y + z) (associativa)
Propriedades Da Adição Adição 1 (x + y) + z = x + (y + z) (associativa) 2 x + y = y + x (comutativa)
Propriedades Da Adição Adição 1 (x + y) + z = x + (y + z) (associativa) 2 x + y = y + x (comutativa) 3 x + 0 = 0 + x = x, x Q (existência de elemento neutro)
Propriedades Da Adição Adição 1 (x + y) + z = x + (y + z) (associativa) 2 x + y = y + x (comutativa) 3 x + 0 = 0 + x = x, x Q (existência de elemento neutro) 4 x Q, y Q tal que x + y = 0. (existência de oposto). Chamamos y = x o oposto de x.
Propriedades Da Multiplicação Multiplicação 1 (x y) z = x (y z) (associativa)
Propriedades Da Multiplicação Multiplicação 1 (x y) z = x (y z) (associativa) 2 x y = y x (comutativa)
Propriedades Da Multiplicação Multiplicação 1 (x y) z = x (y z) (associativa) 2 x y = y x (comutativa) 3 x 1 = 1 x = x, x Q (existência de elemento neutro)
Propriedades Da Multiplicação Multiplicação 1 (x y) z = x (y z) (associativa) 2 x y = y x (comutativa) 3 x 1 = 1 x = x, x Q (existência de elemento neutro) 4 x Q, x 0, y Q tal que x y = 1. (existência de inverso). Chamamos y = x 1 o inverso de x.
Propriedades Da Multiplicação Multiplicação 1 (x y) z = x (y z) (associativa) 2 x y = y x (comutativa) 3 x 1 = 1 x = x, x Q (existência de elemento neutro) 4 x Q, x 0, y Q tal que x y = 1. (existência de inverso). Chamamos y = x 1 o inverso de x. Adição e Multiplicação 1 x (y + z) = x y + x z (distributiva) Um conjunto com uma soma e um produto que satisfazem as 9 propriedades anteriores é chamado de corpo
Propriedades Da Ordem Ordem 1 x x (reflexiva)
Propriedades Da Ordem Ordem 1 x x (reflexiva) 2 x y e y x x = y (anti-simétrica)
Propriedades Da Ordem Ordem 1 x x (reflexiva) 2 x y e y x x = y (anti-simétrica) 3 x y e y z x z (transitiva)
Propriedades Da Ordem Ordem 1 x x (reflexiva) 2 x y e y x x = y (anti-simétrica) 3 x y e y z x z (transitiva) 4 x, y Q, x y ou y x
Propriedades Da Ordem Ordem 1 x x (reflexiva) 2 x y e y x x = y (anti-simétrica) 3 x y e y z x z (transitiva) 4 x, y Q, x y ou y x Ordem e Adição 1 x y x + z y + z
Propriedades Da Ordem Ordem 1 x x (reflexiva) 2 x y e y x x = y (anti-simétrica) 3 x y e y z x z (transitiva) 4 x, y Q, x y ou y x Ordem e Adição 1 x y x + z y + z Ordem e Multiplicação 1 x y e 0 z x z y z
Corpo Ordenado Um corpo com uma relação de ordem que satisfaça as últimas 6 propriedades é chamado de corpo ordenado. Temos que (Q, +,, ) é um corpo ordenado.
A Reta Numérica Os números racionais podem ser representados geométricamente como pontos de uma reta. Para isto, escolhemos dois pontos distintos da reta, um representando 0 e o outro (à direita) representando 1. Tomamos o segmento de extremidades 0 e 1 como unidade de medida, com isso marcamos os demais números racionais.
A Reta Numérica Os números racionais podem ser representados geométricamente como pontos de uma reta. Para isto, escolhemos dois pontos distintos da reta, um representando 0 e o outro (à direita) representando 1. Tomamos o segmento de extremidades 0 e 1 como unidade de medida, com isso marcamos os demais números racionais. 2 1 0 1 2 1 3 2 9 3 2 4
Todo número racional é um ponto na reta, agora nem todo ponto na reta é um número racional.
Todo número racional é um ponto na reta, agora nem todo ponto na reta é um número racional. Lema Seja a um número inteiro, então a é par se e somente se a 2 é par.
Todo número racional é um ponto na reta, agora nem todo ponto na reta é um número racional. Lema Seja a um número inteiro, então a é par se e somente se a 2 é par. Teorema 2 não é racional. Ou seja, não existe número racional x com x 2 = 2.
Admitimos que todo ponto da reta tem uma abscissa real x. Se x não é racional, diremos que x é irracional. O conjunto formado pelos números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais e será denotado por R.
Admitimos que todo ponto da reta tem uma abscissa real x. Se x não é racional, diremos que x é irracional. O conjunto formado pelos números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais e será denotado por R. Em R estão definidas duas operações, adição (+) e multiplicação ( ) e uma relação de ordem ( ). Quando restritas a Q as operações e a relação de ordem coincidem com as que tínhamos. Adimitimos que (R, +,, ) é um corpo ordenado.
Proposição Quaisquer que sejam os números reais x, y, z, w. Se x y e z w então x + z y + w.
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z 2 z > 0 z 1 > 0
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z 2 z > 0 z 1 > 0 3 z > 0 z < 0
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z 2 z > 0 z 1 > 0 3 z > 0 z < 0 4 Se z > 0, x < y x z < y z
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z 2 z > 0 z 1 > 0 3 z > 0 z < 0 4 Se z > 0, x < y x z < y z 5 Se z < 0, x < y x z > y z
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z 2 z > 0 z 1 > 0 3 z > 0 z < 0 4 Se z > 0, x < y x z < y z 5 Se z < 0, x < } y x z > y z 0 x < y 6 xz < yw 0 z < w
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z 2 z > 0 z 1 > 0 3 z > 0 z < 0 4 Se z > 0, x < y x z < y z 5 Se z < 0, x < } y x z > y z 0 x < y 6 xz < yw 0 z < w 7 0 < x < y 0 < 1 y < 1 x
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z 2 z > 0 z 1 > 0 3 z > 0 z < 0 4 Se z > 0, x < y x z < y z 5 Se z < 0, x < } y x z > y z 0 x < y 6 xz < yw 0 z < w 7 0 < x < y 0 < 1 y < 1 x 8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condições abaixo se verifica x < y ou x = y ou x > y
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z 2 z > 0 z 1 > 0 3 z > 0 z < 0 4 Se z > 0, x < y x z < y z 5 Se z < 0, x < } y x z > y z 0 x < y 6 xz < yw 0 z < w 7 0 < x < y 0 < 1 y < 1 x 8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condições abaixo se verifica x < y ou x = y ou x > y 9 (Anulamento do Produto) xy = 0 x = 0 ou y = 0
Propriedades Para quaisquer números reais x, y, z, w, tem-se 1 x < y x + z < y + z 2 z > 0 z 1 > 0 3 z > 0 z < 0 4 Se z > 0, x < y x z < y z 5 Se z < 0, x < } y x z > y z 0 x < y 6 xz < yw 0 z < w 7 0 < x < y 0 < 1 y < 1 x 8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condições abaixo se verifica x < y ou x = y ou x > y 9 (Anulamento do Produto) xy = 0 x = 0 ou y = 0
Módulo Definição Seja x um número real, definimos como módulo (ou valor absoluto) de x por: { x se x 0 x = x se x < 0
Módulo Definição Seja x um número real, definimos como módulo (ou valor absoluto) de x por: { x se x 0 x = x se x < 0 Pela definição para todo x R, x 0.
Módulo Definição Seja x um número real, definimos como módulo (ou valor absoluto) de x por: { x se x 0 x = x se x < 0 Pela definição para todo x R, x 0. Exemplo 5 = 5
Módulo Definição Seja x um número real, definimos como módulo (ou valor absoluto) de x por: { x se x 0 x = x se x < 0 Pela definição para todo x R, x 0. Exemplo 5 = 5 3 = 3
Proposição Para todo número real x, x 2 = x 2
Proposição Para todo número real x, x 2 = x 2 Demonstração. Se x 0 então x = x e x 2 = x 2. Agora, se x < 0 então x = x e x 2 = ( x)( x) = x 2
Raiz Quadrada Lembre que a indica a raiz quadrada não negativa de a (a 0). Segue da proposição acima que x 2 = x (1)
Propriedades Do Módulo Propriedade Seja r > 0 temos que x < r r < x < r
Propriedades Do Módulo Propriedade Seja r > 0 temos que x < r r < x < r
Propriedades Do Módulo Propriedade Seja r > 0 temos que x < r r < x < r Propriedade Para quaisquer números reais x, y temos que xy = x y
Propriedades Do Módulo Proposição (Desigualdade Triangular) Quaisquer que sejam os reais x e y temos que x + y x + y (2)
Intervalos Os intervalos são certos subconjuntos de R bastante úteis [a, b] = {x R a x b}
Intervalos Os intervalos são certos subconjuntos de R bastante úteis [a, b] = {x R a x b} a b
Intervalos Os intervalos são certos subconjuntos de R bastante úteis [a, b] = {x R a x b} a b (a, b) = {x R a < x < b} a b
(a, b] = {x R a < x b}
(a, b] = {x R a < x b} a b
(a, b] = {x R a < x b} a b [a, b) = {x R a x < b}
(a, b] = {x R a < x b} a b [a, b) = {x R a x < b} a b
(, a] = {x R x a}
(, a] = {x R x a} a
(, a] = {x R x a} a (, a) = {x R x < a}
(, a] = {x R x a} a (, a) = {x R x < a} a
[a, ) = {x R x a}
[a, ) = {x R x a} a
[a, ) = {x R x a} a (a, ) = {x R x > a} a
[a, ) = {x R x a} a (a, ) = {x R x > a} a
Os intervalos (a, b), (, a), (a, ) e (, + ) são chamados de intervalos abertos. [a, b] denomina-se intervalo fechado de extremidades a e b.