Cálculo III-A Módulo 3

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo 3 Aula 5 Aplicações da Integrais uplas Objetivo Estudar algumas aplicações físicas como massa, centro de massa e momento de inércia 1 Massa Seja R, uma região compacta, representando uma lâmina plana delgada Suponhamos que a função contínua e positiva δ : R R representa a densidade superficial de massa massa por unidade de área) R R ij i,y j ) Considerando-se ) n subretângulos R ij de algum retângulo R que contém e uma escolha i,yj Rij, observamos que a soma δ i j),y A j=1 é uma aproimação da massa M de, onde δ i j),y = se i,yj) / Logo, é razoável definir a massa M de com M = δ,y)ddy

Cálculo III-A Módulo 3 OBS: Se δ,y) for constante e igual a k, então a massa M será igual a ka) Neste caso, dizemos que a lâmina é homogênea Centro de Massa a) Seja um sistema finito de partículas P 1 = 1,y 1 ),P =,y ),,P n = n,y n ), com massas m i,i = 1,,n, respectivamente Lembrando da Física que os momentos de massa desse sistema, em relação aos eios e y, são definidos por: M = m i y i e M y = m i i O centro de massa do sistema é o ponto,y), que se comporta como se a massa total M = do sistema estivesse concentrada nesse ponto Logo, m i M = My e My = M ou = M y M = m i i e y = m i M M = m i y i m i b) Se considerarmos no lugar de um sistema finito de partículas, uma lâmina plana, com densidade superficial de massa dada por uma função contínua e positiva δ, y), fazemos uma partição de algum retângulo R contendo, obtendo subretângulos R ij Escolhemos i,y j) Rij Logo, a massa de R ij pode ser aproimada por δ i,y j) A, onde δ i,y j) = se δ i,y j) / Então M yjδ i,yj) A e My i,j=1 iδ i,yj) A i,j=1 Logo, definimos M e M y por M = yδ,y) da e M y = δ,y) da O centro de massa,y) da lâmina é definido por δ,y) da = e y = M yδ,y) da M

Cálculo III-A Módulo 3 3 OBS: Se δ,y) = k, k constante, o ponto,y) é dito centroide e temos as seguintes fórmulas ddy yddy = e y = ddy ddy 3 Momento de Inércia O momento de inércia de uma lâmina em relação a um eio E é dado por I E = r,y)δ,y)ddy onde r,y) é a distância de,y) ao eio E Assim, os momentos de inércia de em relação aos eios e y, respectivamente, são dados por I = y δ,y)ddy e I y = δ,y)ddy O momento de inércia polar em relação à origem é dado por I = +y ) δ,y)ddy = I +I y Eemplo 1 etermine o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eio, da região, limitada por = y e y =, sendo δ,y) = 3 Solução: As curvas se interceptam quando y y =, logo y =, y = Assim, o esboço de é:

Cálculo III-A Módulo 3 4 y = y 4,) 1, ) 4 = +y escrevemos como tipo II : = {,y); y, y +y} A massa de é: M = δ,y)da = +y 3dA = 3 ddy = 3 y +y y )dy [ ] = 3 y + y y3 3 = 3 [ 4+ 8 3) + 1 + 1 3 = 7 )] O centro de massa,y) é dado por δ,y) da yδ,y) da = M, y = M Cálculo de δ,y)da: +y δ,y)da = 3 ddy = 3 y Cálculo de [ ] +y dy = 3 y 4+4y +y y 4) dy = 3 = 3 [ ] 4y +y + y3 3 y5 5 [ 8+8+ 8 3 3 ) 5 4+ 1 3 + 1 )] 5 = 3 7 5 = 18 5 yδ,y)da:

Cálculo III-A Módulo 3 5 +y yδ,y)da = 3 yddy = 3 y y +y y ) dy = 3 y +y y 3) dy ] = 3 [y + y3 3 y4 4 = 3 [ 4+ 8 3 4) 1 1 3 1 4 )] Logo, = 18 5 7 = 8 7 5, y = 4 7 Assim, o centro de massa,y) está localizado em 8 5, 1 ) = 1 O momento de inércia em relação ao eio é: +y I = y δ,y)da = 3 y da = 3 y ddy = 3 y = 7 4 y +y y ) dy = 3 y +y 3 y 4) dy [ ] = 3 y 3 3 + y4 4 y5 5 = 3 [ 16 3 +4 3 ) 5 3 + 1 4 + 1 )] 5 = 189 Aula 6 Simetria em Integral upla Objetivo Eplorar simetrias em integrais duplas Simetria em Integral upla 1) Seja R, simétricaem relação ao eio y e f,y) ímpar na variável, isto é, f,y) = f,y) Então, f,y)ddy = Com efeito, como tem simetria em relação ao eio y, observamos que está limitada à direita pela curva = y) e à esquerda pela curva

Cálculo III-A Módulo 3 6 y d = y) c = y) = y) Supondo que a projeção de sobre o eio y seja o intervalo [c,d], temos o seguinte esboço para : Então, f,y)ddy = d c [ ] y) f,y)d y) }{{} = ) dy = d c dy = ) Aqui, usamos um fato do Cálculo II: a a g)d = se g) é uma função ímpar ) Analogamente, se tem simetria em relação ao eio e f,y) é ímpar na variável y, então f,y)ddy = Veja o esboço para na figura que se segue y y = y) a b y = y) Eemplo 1 Calcule I = y 6 + 4 +y 4 )seny +1 ) ddy, onde é o disco +y a,a > ) Solução:

Cálculo III-A Módulo 3 7 Por propriedade da integral dupla, temos que I = y 6 ddy+ 4 +y 4 )senyddy + ddy } {{ } I 1 } {{ } I }{{} I 3 Como f,y) = y 6 é ímpar na variável e tem simetria em relação ao eio y, então I 1 = Como g,y) = 4 +y 4 )seny é ímpar na variável y e tem simetria em relação ao eio, então I = Como ddy = A), então I 3 = πa Logo, I = ++πa = πa RECOMENAÇÃO Nas integrais duplas, busque as simetrias e as funções ímpares Não calcule cegamente!!! OBS: 1 Se a densidade δ,y) é uma função par na variável isto é, δ,y) = δ,y)), então δ,y) é ímpar na variável Se tem simetria em relação ao eio y, então δ,y)ddy = e, portanto, = Analogamente, se δ,y) é uma função par na variável y e se tem simetria em relação ao eio, então y = Se é uma lâmina homogênea e tem simetria em relação ao eio y, então = Analogamente, se é homogênea e tem simetria em relação ao eio, então y = Eemplo Uma lâmina delgada ocupa a região +y 1, y, de modo que a densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto à origem etermine a) a massa M de ; b) o centro de massa Solução: O esboço de é:

Cálculo III-A Módulo 3 8 y 1 1 Como a distância de,y) à origem é +y então a densidade é dada por δ,y) = k +y onde k é uma constante a) Como M = δ,y)ddy, então M = k +y ddy Passando para coordenadas polares, temos: Além disso, rθ é dado por: Então, = rcosθ y = rsenθ ddy = rdrdθ +y = r rθ : M = k r rdrdθ = k r drdθ = k rθ rθ { r 1 θ π 1 π r dθdr = kπ 1 r dr = kπ 3 um b) Como δ,y) é uma função par e tem simetria em relação ao eio y, então = Sabemos que yδ, y) ddy y = M,

Cálculo III-A Módulo 3 9 onde yδ,y)ddy = k y +y ddy = k rsenθ r rdrdθ rθ = k r 3 senθdrdθ rθ = k 1 π r 3 senθdθdr = k [ cosθ ] π 1 r 3 dr = k [ r 4 4 ] 1 Logo, y = = k k kπ 3 = 3 π Portanto, o centro de massa está localizado em, 3 π) Eercício 1: Calcule a massa total M, o centro da massa,y) de uma lâmina triangular, com vértices,), 1,) e,) se a função densidade é δ,y) = 1+3+y Eercício : A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo etermine o centro de massa da lâmina Eercício 3: etermine os momentos de inércia I, I y e I do disco homogêneo, com densidade δ,y) = δ, centro na origem e raio a Eercício 4: Uma lâmina delgada tem a forma da região, que é interior à circunferência ) + y = 4 e eterior à circunferência + y = 4 Calcule a massa da lâmina se a densidade é dada por δ,y,z) = +y ) / Eercício 5: Uma placa fina está limitada pela circunferência +y = a etem densidade δ,y) ) = a = a + +y Mostre que o seu momento de inércia polar é dado por I = Ma 1 ln, onde ln M é a sua massa Eercício 6: Uma lâmina tem a forma semicircular + y a, com y A densidade é diretamente proporcional à distância do eio Ache o momento de inércia em relação ao eio

Cálculo III-A Módulo 3 1 Eercício 7: Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isósceles, com lados iguais de comprimento a Ache a massa, se a densidade em um ponto P é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P ao vértice oposto à hipotenusa