Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Transformadas de Laplace Câmpus Francisco Beltrão Disciplina: Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Transformada de Laplace da Derivada de uma Função Teorema 1: Transformada de Laplace de Derivada As transformadas das derivadas primeiras e segundas de f (t) satisfazem a L (f ) = s L (f ) f (0) (1) L (f ) = s 2 L (f ) s f (0) f (0) (2) A fórmula (1) verifica-se se f (t) for contínua para todo t 0, satisfazer a restrição de crescimento e se f (t) for contínua por intervalos em qualquer intervalo finito do semi-eixo t 0. Similarmente, (2) verifica-se se f e f forem contínuas para todo t 0, satisfazerem a restrição de crescimento e se f for contínua por intervalos em cada intervalo finito do semi-eixo t 0.
Teorema 2: Transformada de Laplace da Derivada de Ordem n Consideremos que f, f,..., f (n 1) sejam contínuas para todo t 0 e satisfazem a restrição de crescimento. Além disso, consideremos que f (n) seja contínua por intervalos em cada intervalo finito do semi-eixo t 0. Então, a transformada de f (n) satisfaz a L (f (n) ) = s n L (f ) s n 1 f (0) s n 2 f (0)... f (n 1) (0) (3)
Transformada de Laplace da Integral de uma Função Teorema 3: Transformada de Laplace da Integral Façamos F (s) representar a transformada de uma função f (t), que é contínua por intervalos para t 0 e satisfaz a restrição de crescimento. Então, para s > 0, s > k e t > 0, { t } L f (τ) dτ = 1 F (s) (4) s portanto, 0 L 1 { 1 s F (s) } = t 0 f (τ) dτ (5)
Solução de Problemas de Valor Inicial Consideremos o problema de valor inicial y + ay + by = r(t), y(0) = K 0, y (0) = K 1 (6) onde a e b são constantes. Aqui, r(t) é a entrada dada (força motriz), aplicada a um sistema mecânico ou elétrico e y(t) é a saída a ser obtida. Etapas para resolução pelo método de Laplace: Etapa 1: Aplicação da transformada de Laplace para determinação da equação subsidiária. Etapa 2: Solução algébrica da equação subsidiária. Etapa 3: Inversão de Y para obter a solução da EDO y = L 1 (Y)
Exemplo Resolva y y = t, y(0) = 1, y (0) = 1 Vantagens do Método de Laplace Exercício Resolva A resolução de uma EDO não-homogênea não requer que primeiro se resolva a EDO homogênea. Os valores iniciais são automaticamente tratados. É possível tratar as entradas complicadas r(t) (nos lados direitos das EDOs lineares) de modo bastante eficiente. (a) y y 6y = 0, y(0) = 6, y (0) = 13 (b) y + y = 2t, y( π 4 ) = π 2, y ( π 4 ) = 2 2
Exercício Usando (1) e (2), encontre L (f ) se f (t) for igual a: 1. f (t) = te kt 2. f (t) = t cos 5t 3. f (t) = sen 2 ωt 4. f (t) = cos 2 πt 5. f (t) = senh 2 at 6. f (t) = cosh 2 0,5t 7. f (t) = t sen 0,5πt 8. f (t) = sen 4 t Exercício Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. 10. y + 4y = 0, y(0) = 2,8 11. y + 0,5y = 17 sen 2t, y(0) = 1 12. y y 6y = 0, y(0) = 6, y (0) = 13
13. y 0,25y = 0, y(0) = 4, y (0) = 0 14. y 4y + 4y = 0, y(0) = 2,1, y (0) = 3,9 15. y + 2y + 2y = 0, y(0) = 1, y (0) = 3 16. y + ky 2k 2 y = 0, y(0) = 2, y (0) = 2k 17. y + 7y + 12y = 21e 3t, y(0) = 3,5, y (0) = 10 18. y + 9y = 10e t, y(0) = 0, y (0) = 0 21. y 6y = 0, y(2) = 4 22. y 2y 3y = 0, y(1) = 3, y (1) = 17 23. y + 3y 4y = 6e 2t 2, y(1) = 4, y (1) = 5 24. y + 2y + 5y = 50t 150, y(3) = 4, y (3) = 14
Respostas: 1. 1 (s k) 2 2. s 2 25 (s 2 + 25) 2 3. 2ω 2 s(s 2 + 4ω 2 ) 4. s 2 + 2π 2 s(s 2 + 4π 2 ) 5. 2a 2 s(s 2 4a 2 ) s 2 0,5 6. s(s 2 1) πs 7. (s 2 + 0,25π 2 ) 2 8. 24 s(s 2 + 4)(s 2 + 16)
Respostas: 10. y = 2,8e 4t 11. y = 7e 0,5t + 2 sen 2t 8 cos 2t 12. y = 5e 3t + e 2t 13. y = 4 cosh 0,5t 14. y = 2,1e 2t 0,3te 2t 15. y = e t (cos t 2 sen t) 16. y = 2e kt 17. y = 0,5e 3t + 2,5e 4t + 0,5e 3t 18. y = e t cos 3t + 1 3 sen 3t 19. y = (1 + t)e 1,5t + 4t 3 16t 2 + 32t 20. y = e t + 2e 5t + 0,2 cos 2t 2,4 sen 2t 21. y = 4e 6t 12 22. y = 2e (t 1) 5e 3(t 1) 23. y = 3e t 1 + e 2t 2 24. y = 10(t 3) 4 + 2e (t 3) sen 2(t 3)