Simplificação de expressões booleanas através dos diagramas de Veitch-Karnaugh Aprendemos até aqui, simplificação de expressões mediante a utilização dos postulados, propriedades e identidades da álgebra de boole. Neste item, vamos tratar da simplificação de expressões por meio dos diagramas de Veitch-Karnaugh. Estes mapas ou diagramas permitem a simplificação de maneira mais rápida dos casos extraídos de tabelas verdade.
Simplificação de expressões booleanas através dos diagramas de Veitch-Karnaugh Mapa de Karnaugh é um método de simplificação gráfico criado por Edward Veitch(1924-2013) em 1952, ele foi um matemático e cientista da computação dos Estados Unidos. Maurice Karnaugh (nascido1924) foi quem aperfeiçoou o método, é um físico, cientista da computação e engenheiro de telecomunicações norte-americano..
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis A figura abaixo mostra um diagrama de Veitch-Karnaugh para duas variáveis
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Todas as possibilidades assumidas entre as variáveis: a) Região onde A = 1 b) Região onde A = 0 A ҧ = 1 c) Região onde B = 1 d) Região onde B = 0 തB = 1
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Com 2 variáveis, podemos obter 4 possibilidades na tabela verdade. A B CASO 0 0 Caso 0 0 1 Caso 1 1 0 Caso 2 1 1 Caso 3 Agora vamos replicas esta informação para o mapa de Karnaugh
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Região ҧ A. തB A B CASO 0 0 Caso 0 0 1 Caso 1 1 0 Caso 2 1 1 Caso 3
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Região ҧ A. B A B CASO 0 0 Caso 0 0 1 Caso 1 1 0 Caso 2 1 1 Caso 3
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Região A. തB A B CASO 0 0 Caso 0 0 1 Caso 1 1 0 Caso 2 1 1 Caso 3
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Região A. B A B CASO 0 0 Caso 0 0 1 Caso 1 1 0 Caso 2 1 1 Caso 3
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Redistribuindo, então, as 4 possibilidades neste diagrama, da seguinte forma. A B CASO 0 0 Caso 0 0 1 Caso 1 1 0 Caso 2 1 1 Caso 3 Logo, notamos que cada linha da tabela verdade possui sua região própria no diagrama de Veitch-Karnaugh.
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Para entendermos melhor o significado destes conceitos vamos utilizar osexemplos: Passamos para o mapa oscasos da tabela verdade. ҧ A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Obtemos a expressão característica da função: S = A. B + A. തB + A. B
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Uma vez entendida a colocação dos valores assumidos pela expressão em cada caso no diagrama de Veitch-Karnaugh, vamos verificar como podemos efetuar as simplificações.
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Tentamos agrupar as regiões onde S é igual a 1, no menor número possível de agrupamento. As regiões onde S é 1, que não puderem ser agrupadas, serão consideradas isoladamente.
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Para um diagrama de 2 variáveis vamos entender os agrupamentos possíveis: a) Quadra: é o agrupamento máximo, onde todos os casos valem 1. Expressão final: S = 1
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis a) Pares: tem um lado emcomum, são vizinhos. PAR A Expressão final exclusivamente na região A: S = A PAR തB Expressão final exclusivamente na região B: S = ഥB
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis a) Termos isolados: região onde S é 1, sem vizinhança para agrupamento. São os próprios casos de entrada, sem simplificação. Expressão final: S = ഥA. B + A. ഥB
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Voltando aoexemplo emestudo, temos: Notamos que o mesmo 1 pode pertencer a mais de um agrupamento
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Para obter a expressão simplificada, basta somarmos os termos obtidos nos agrupamento: S = A + B Expressão verdade. é menor que a extraída diretamente da tabela
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Outro exemplo: ҧ ҧ A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Obtemos a expressão característica da função: S = A. തB + A. B + A. തB
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis Agora, vamos agrupar: ҧ Escrevendo a expressão dos pares: S = A + തB Aplicando o teorema de Morgan, após a simplificação: S = A. B
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis No mapa, encontramos todas as possibilidades assumida entre 3 variáveis A,B e C.
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis Todas as possibilidades assumidas entre as variáveis:
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis a) Região onde A = 1 b) Região onde A ҧ = 1 c) Região onde B = 1
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis d) Região onde ഥB = 1 e) Região onde C= 1 f) Região onde C ҧ = 1
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis Com 3 variáveis, podemos obter 8 possibilidades na tabela verdade. A B c Casos 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis Vamos utilizar um exemplo, para a melhor compreensão: A B C S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 S = ഥA. ഥB. ഥC + ഥA. B. ഥC + ഥA. B. C + A. ഥB. ഥC + A. B. ഥC
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis Para a simplificação, vamos entender como funciona o agrupamento com 3 variáveis: a) Oitava: é o máximo agrupamento, onde todas as localidades valem 1 S = 1
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis a) Quadra: são os agrupamentos de 4 regiões, onde S é igual a 1, adjacentes ou em sequência. a) S = ഥA b) S = ഥB c) S = ഥC
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis b) Pares: abaixo dos exemplos entre os 12 possíveis em um diagrama de 3 variáveis S = ഥA. ഥC + A. C
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis c)isolados: exemplo de termos isolados S = ഥA. ഥB. C + A. B. C + ഥA. B. ഥC
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis Voltando ao nosso exemplo, podemos agrupar: S = ഥC + ഥA. B
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis Outro exemplo: A B c S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 S = ഥA. ഥB. C + ഥA. B. C + A. ഥB. ഥC + A. ഥB. C + A. B. ഥC
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis Efetuando o agrupamento S = ഥA. C + A. ഥC + A. ഥB
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis Efetuando osagrupamentos de forma diferente: S = ഥA. C + A. ഥC + ഥB. C
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis S = ഥA. C + A. ഥC + A. ഥB S = ഥA. C + A. ഥC + ഥB. C Estas duas expressões, aparentemente diferentes, possuem o mesmo comportamento em cada possibilidades, fato este comprovado, levando-se as respectivas tabelas verdade.
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis Com 4 variáveis, podemos obter 16 possibilidades na tabela verdade. A B C D Caso 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 1 0 1 5 0 1 1 0 6 0 1 1 1 7 1 0 0 0 8 1 0 0 1 9 1 0 1 0 10 1 0 1 1 11 1 1 0 0 12 1 1 0 1 13 1 1 1 0 14 1 1 1 1 15
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis Todas as possibilidades assumidas entre as variáveis:...
... Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 Casos possíveis: variáveis A B C D Caso 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 1 0 1 5 0 1 1 0 6 0 1 1 1 7 1 0 0 0 8 1 0 0 1 9 1 0 1 0 10 1 0 1 1 11 1 1 0 0 12 1 1 0 1 13 1 1 1 0 14 1 1 1 1 15
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis Caso isolado, exemplo: S = A. ഥB. ഥC. ഥD
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis a) Pares: exemplo S = ഥA. B. ഥD + ഥB. ഥC. D
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis b) Quadras: exemplos a) S = B. ഥD+D. ഥB b) S = ഥB. ഥD
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis c) Oitavas: representam as próprias regiões das variáveis e seus complementos. a) S = ഥD b) S = ഥB
ҧ ҧ ҧ ҧ ҧ ҧ ҧ Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis Expressão algébrica: S = A. ҧ തB. C. D + A. തB. C. ഥD + A. തB. C. D + A. ҧ B. C. D + A. B. C. D + A. തB. C. ഥD + A. തB. C. ҧ D + A. തB. C. D + A. B. C. ഥD + A. B. C. ҧ D + A. B. C. D A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis Transpondo a tabela para o diagrama A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
Diagramas de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis Simplificando S = A. ҧ C + D + ҧ A. തB. C
Exercícios 3.10.7) Simplifique através da álgebra de boole: S = A. ҧ B + C. ഥD + A. D. തB. C D + A. ҧ തB + C ҧ + A. തB. ҧ C + ҧ A 3.10.8) Demonstre que: A B C = A (B C) Não precisa entregar... Estudar para a prova
Exercícios 3.10.9) Através dos diagramas de Veitch-Katnaugh, determine a expressão simplificada de S 1 e S 2 da tabela abaixo A B S1 S2 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 Não precisa entregar... Estudar para a prova
Exercícios 3.10.10) Através dos diagramas de Veitch-Katnaugh, determine a expressão simplificada de S 1, S 2, S 3 e S 4 da tabela abaixo A B C S1 S2 S3 S4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 Não precisa entregar... Estudar para a prova
Exercícios 3.10.11) Através dos diagramas de Veitch-Katnaugh, determine a expressão simplificada de S 1, S 2, S 3 e S 4 da tabela abaixo ENTREGAR NA PRÓXIMA AULA A B C D S1 S2 S3 S4 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1