Eletrônica Digital. Lógica Booleana e Circuitos Lógicos FACULDADE FUCAPI

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1 FACULDADE FUCAPI Eletrônica Digital Lógica Booleana e Circuitos Lógicos, M.Sc. Doutorando em Informática (UFAM) Mestre em Engenharia Elétrica (UFAM) Engenheiro de Telecomunicações (FUCAPI)

2 Introdução 2

3 Introdução O mundo é analógico e não digital. Tensões, correntes e outras quantidades físicas em circuitos reais assumem valores infinitos. Valores reais de grandezas físicas pertencem a variáveis contínuas, e podem representar um número real. Exemplo: O valor de tensão contínua V representa a constante matemática pi com precisão de 14 dígitos decimais. 3

4 Introdução Em circuitos reais é difícil se obter estabilidade e precisão nas quantidades físicas. As quantidade físicas podem ser afetadas por variações produzidas pela temperatura, tensão da fonte de alimentação, raios e ruídos criados por outros circuitos. Muitas operações matemáticas e lógicas podem ter dificuldades ou serem impossíveis de realizar com quantidades analógicas. Exigem circuitos grandes e complexos. Como realizar operações lógicas com precisão sem a necessidade de circuitos complexos? 4

5 Sinais e Circuitos Lógicos 5

6 Sinais Digitais Lógica Digital: esconde as armadilhas do mundo analógico através do mapeamento do conjunto infinito de valores reais para um novo conjunto com apenas 2 números possíveis ou valores lógicos: 0 e 1. Dígito Binário (BIT): é a denominação dada para o valor lógico 0 ou 1. Quando se chega ao detalhamento do projeto, especificamente no circuito lógico, são usados os termos LOW e HIGH no lugar de 0 e 1. Isso acontece, pois em circuitos lógicos trabalhamos com níveis de tensão. 6

7 Sinais Digitais LOW: sinal na faixa algébrica de tensões baixas, que é interpretado como nível lógico 0. HIGH: sinal na faixa algébrica de tensões altas, que é interpretado como nível lógico 1. Lógica Positiva: atribuição natural para associar os termos LOW e HIGH, respectivamente, para 0 e 1 Lógica Negativa: atribuição oposta a lógica positiva que associa os termos LOW e HIGH, respectivamente, para 1 e 0. Raramente usada. 7

8 Sinais Digitais Representação faixas de tensão de entrada e saída para os níveis lógicos 0 (LOW) e 1 (HIGH). 8

9 Sinais Digitais Estados físicos representando bits em diferentes tecnologias. Tecnologia Representação do estado do Bi 0 1 Lógica Pneumática Pressão do fluído baixo Pressão do fluído alto Lógica de Relé Circuito aberto Circuito fechado Lógica CMOS 0 1,5 V 3,5 5,0 V Lógica TTL 0 0,8 V 2,0 5,0 V Fibra Óptica Luz desligada Luz Acessa Memória Dinâmica Capacitor descarregado Capacitor carregado Memória Bipolar Somente Leitura Fusível aberto Fusível intacto Disco ou Fita Magnética Direção Fluxo Norte Direção Fluxo Sul CD (Compact Disc) Somente Leitura Sem sulco Com sulco 9

10 Circuitos Lógicos O circuito lógico pode ser representado com o mínimo de detalhes, simplificado como uma caixa preta com um certo número de entradas e saídas. Esta representação simplificada é útil para em uma análise preliminar no projeto de sistemas digitais, para que a análise seja focada no comportamento, listando em uma tabela todas as possibilidades de níveis lógicos 0 e 1. 10

11 Circuitos Lógicos Tabela Verdade: descreve o comportamento de um circuito combinacional, listando as combinações de entradas e os valores de saídas produzidos por cada uma combinação. X Y Z F

12 Circuitos Lógicos O circuito digital, ou lógico, é construído com dispositivos lógicos chamadas portas lógicas. As portas lógicas implementam funções lógicas, como as operações AND, OR e NOT, definidas na lógica booleana. Circuito Combinacional: circuito lógico cujas saídas dependem unicamente dos níveis lógicos atuais das entradas. Circuito Sequencial: circuito lógico com memória, cujas saídas dependem dos níveis lógicos atuais das entradas, e da sequência de entradas passadas. 12

13 Circuitos Lógicos A combinação de várias portas lógicas básicas produz o comportamento do circuito, que pode ser expresso pela tabela verdade. X Y Z F

14 Representando Sinais em Circuitos Lógicos Diagrama de Tempo: mostra como o circuito responde às entradas ao longo do tempo. No diagrama é possível observar a mudança de níveis lógicos 0 e 1. 14

15 Portas Lógicas 15

16 Portas Lógicas Portas Lógicas: são dispositivos que operam com um ou mais níveis lógicos digitais (1 s e 0 s) para produzir uma e somente uma saída. Depende da função implementada no circuito. O comportamento das porta lógicas é conhecido pela Tabela Verdade que apresenta os estados lógicos das entradas e das saídas. Em 1938, o engenheiro americano Claude Shannon, do Bell Laboratories, utilizou as teorias de álgebra de Boole para a solução de problemas de circuitos de telefonia e relés, introduzindo assim a Eletrônica Digital. 16

17 Portas Lógicas A implementação de um sistema lógico é a definição de um função lógica que associa uma ou mais portas lógicas. Um porta lógica é o sistema lógico mais básico. LÂMPADA ACESSA V CHAVE FECHADA V LÂMPADA APAGADA F CHAVE ABERTA F CHAVE 1 CHAVE 2 LÂMPADA F F V V F V F V F F F V 17

18 Portas AND e OR Porta Lógica AND: é um circuito que produz um 1, ou valor lógico V (HIGH), em sua saída somente quando todas as suas entradas forem 1. ENTRADAS SAÍDA A B Y Y = A AND B Y = A. B Y = AB Produto Lógico

19 Exemplo 1: Qual a tabela verdade para a porta AND de 3 entradas? Y = A AND B AND C Y = A. B. C Y = ABC Eletrônica Digital Portas AND e OR ENTRADAS SAÍDA A B C Y

20 Portas AND e OR Porta Lógica OR: é um circuito que produz um 1, ou valor lógico V (HIGH), em sua saída quando pelo menos uma de suas entradas for igual a 1. ENTRADAS SAÍDA A B Y Y = A OR B Y = A + B Soma Lógica

21 Exemplo 2: Qual a tabela verdade para a porta OR de 3 entradas? Y = A OR B OR C Y = A + B + C Eletrônica Digital Portas AND e OR ENTRADAS SAÍDA A B C Y

22 Propriedades das Funções AND e OR Comutativa: a ordem das entradas não altera o resultado lógico na saída. Y = AB = BA Y = A + B = B + A Associativa: considerando 3 entradas, podemos realizar a soma (ou produto) lógico a cada 2 entradas, independente da ordem, e obter a mesma saída lógica. Y = (AB)C = A(BC) Y = (A + B) + C = A + (B + C) Distributiva: é possível distribuir o fator comum (entrada) na soma lógica. Y = A(B + C) = AB + AC 22

23 Exemplo 3: Utilize portas AND e OR, de 2 entradas (A e B), para representar a propriedade distributiva. O circuito lógico deve ter apenas 1 saída (Y). Y = A(B + C) Eletrônica Digital Propriedades das Funções AND e OR Y = AB + AC 23

24 Portas NOT ou INVERSORA Porta Lógica NOT: é um circuito de 1 entrada cuja saída é o complemento (inverso) da entrada. ENTRADA A SAÍDA Y Y = NOT A Y = A O pequeno círculo na saída é chamado indicador de inversão ou negação

25 Portas NOT ou INVERSORA Porta Lógica NOT com Lógica Invertida: é uma porta NOT cuja entrada possui o indicador de inversão. Y = NOT A Y = A Y = A ENTRADA A 0 1 SAÍDA Y

26 Portas NAND e NOR Porta Lógica NAND: é um circuito que produz um 0, ou valor lógico F (LOW), em sua saída somente quando todas as suas entradas forem 1. ENTRADAS SAÍDA A B Y Y = A. B Y = AB

27 Portas NAND e NOR Porta Lógica NOR: é um circuito que produz um 0, ou valor lógico F (LOW), em sua saída quando pelo menos uma de suas entradas for igual a 1. ENTRADAS SAÍDA A B Y Y = A + B

28 Simbologia Além do símbolo de lógica convencional, o International Electrotechnical Commission (IEC) e o Institute of Electronics Enginner (IEEE) desenvolveram um sistema de símbolos que mostra o relacionamento entre entradas e saída, sem mostrar o circuito interno. Tipo Símbolo (Norma ANSI) Símbolo (Norma IEC) AND OR 28

29 Simbologia Tipo Símbolo (Norma ANSI) Símbolo (Norma IEC) NOT NAND NOR 29

30 Família de Circuitos Lógicos Circuito Integrado (CI) : é um circuito eletrônico miniaturizado (composto principalmente por dispositivos semicondutores) que é produzido na superfície de um substrato fino de material semicondutor. 30

31 Família de Circuitos Lógicos Os componentes principais que constituem as portas lógicas são os transistores TTL e CMOS, que se comportam como interruptores eletrônicos que estão em condução (nível lógico 1) ou em corte (nível lógico 0). Exemplo de circuito elétrico (porta lógica que implementa a função AND), utilizando a tecnologia TTL. 31

32 Família de Circuitos Lógicos Família TTL (Transistor-Transistor Logic): desenvolvida pela Texas Instrument Company, é a família lógica mais usada para montar circuitos digitais discretos. Existe 2 séries (prefixos): 54 para uso militar, que pode operar de -55 C a +125 C; 74 para uso civil de custo menor e pode operar de 0 a 70 C. Opera com uma tensão de alimentação de 5V. Família CMOS (Complementary Metal-Oxide- Semiconductor): é a mais utilizada para a fabricação de circuitos digitais complexos em CI. Opera com uma tensão de alimentação de 5 a 15 V. Possuem baixo consumo de energia, tendo uma resposta mais rápida que a família TTL. 32

33 Família de Circuitos Lógicos Número Família Símbolo (Norma IEC) 7404 TTL Seis inversores (NOT) 4069 CMOS Seis inversores (NOT) 7432 TTL 4 portas OR 2 entradas 4072 CMOS 2 portas OR 4 entradas 74ALS08 TTL Schottky avançado de baixa potência 4 portas AND 2 entradas 4081 CMOS 4 portas AND 2 entradas 7430 TTL NAND de 8 entradas 4011 CMOS 4 portas NAND 2 entradas 74ALS27 TTL Schottky avançado de baixa potência 3 portas NOR 3 entradas 4001 CMOS 4 portas NOR 2 entradas 33

34 Família de Circuitos Lógicos 34

35 Exemplo 4: Desenvolva um circuito digital para atender as expressões abaixo. Y = AB + BC Eletrônica Digital Exemplo 35

36 Álgebra Booleana 36

37 Introdução As técnicas de análise formal para circuitos digitais têm suas origens, em 1854, nos trabalhos do matemático inglês George Boole, que definiram um sistema algébrico de apenas dois valores. Em 1938, Claude E. Shannon, pesquisador dos laboratórios Bell, adaptou a álgebra de Boole para análise e descrição do comportamento de circuitos construídos com relés (Álgebra de Comutação Switching Algebra). Nos dias de hoje, a tecnologia mudou, mas ainda são utilizados os estudos de Boole e Shannon. 37

38 Axiomas da Álgebra Booleana Na álgebra booleana, é definido a variável simbólica (lógica) X para representar um sinal lógico. O sinal lógico é uma de duas condições possíveis: Low ou High, off ou on, e assim por diante. A variável X tem o valor 0 para uma das condições possíveis e 1 para a outra condição. Axiomas (ou Postulados): são entes matemáticos básicos que nós assumimos como verdadeiros. A partir dos axiomas qualquer outra definição pode ser derivada. 38

39 Axiomas da Álgebra Booleana Axioma (A1): base do princípio da dualidade. Define que a variável lógica pode assumir o valor 0 ou o valor 1, nunca os 2 valores ao mesmo tempo. A1 X = 0 se X 1 A1 X = 1 se X 0 Axioma (A2): na função inversora, representado pela porta NOT, a saída é oposta (complementar) à entrada. A2 Se X = 0 então X = 1 A2 Se X = 1 então X = 0 39

40 Axiomas da Álgebra Booleana Axiomas (A3 A5): definem as funções básicas AND e OR. A3 0 0 = 0 A = 1 A4 1 1 = 1 A = 0 A5 0 1 = 1 0 = 0 A = = 1 O símbolo (.) é denominado produto lógico, o símbolo (+) é a soma lógica. A operação AND tem precedência de prioridade em expressões lógicas: W X + Y Z W X + Y Z 40

41 Teoremas da Álgebra Booleana Teoremas de Uma Variável: são instruções que permitem analisar e sintetizar expressões algébricas. T1 X + 0 = X T1 X 1 = X (Identidade) T2 X + 1 = 1 T2 X 0 = 0 (Elemento Nulo) T3 X + X = X T3 X X = X (Idempotência) T4 X = X (Involução) T5 X + X = 1 T5 X X = 0 (Complemento) Indução Perfeita: permite provar os teoremas utilizando os axiomas. Provando (T1) X = = 0 verdadeiro, de acordo com o axioma A4 X = = 1 verdadeiro, de acordo com o axioma A5 41

42 Teoremas da Álgebra Booleana Teoremas de Duas ou Três Variáveis: são instruções que permitem analisar e sintetizar expressões algébricas que possuem mais de 1 variável. T6 X + Y = Y + X T6 X Y = Y X (Comutativa) T7 X + Y + Z = X + Y + Z T7 X Y Z = X Y Z (Associativa) T8 X Y + X Z = X Y + Z T8 X + Y X + Z = X + Y Z (Distributiva) T9 X + X Y = X T9 X X + Y = X (Absortiva) T10 X Y + X Y = X T10 X + Y X + Y = X (Combinando) T11 X Y + X Z + Y Z = X Y + X Z (Consenso) T11 X + Y X + Z Y + Z = X + Y X + Z 42

43 Teoremas da Álgebra Booleana Provando (T9) X + X Y = X 1 + X Y (de acordo com o T1 ) = X 1 + Y (de acordo com o T8) = X 1 (de acordo com o T2) = X (de acordo com o T1 ) 43

44 Teoremas da Álgebra Booleana Exemplo 5: Utilizando a álgebra booleana, reduza a expressão abaixo: Pelo Teorema T8 Pelo Teorema T5 Pelo Teorema T1 Pelo Teorema T8 Pelo Teorema T8 Pelo Teorema T5 Pelo Teorema T1 44

45 Exercícios Exercício 1: Reduza a expressões abaixo utilizando os teoremas fundamentais da álgebra booleana. a) 1 + B + C b) D. C. 0 c) A + B + A d) A + A B C e) A B C + A B C f) C B A + C B A + C B A 45

46 Teoremas da Álgebra Booleana Teoremas de n-variáveis: Os teoremas abaixo são verdadeiros para um número arbitrário n de variáveis. T12 X + X + + X = X (Idempotência generalizada) T12 X X X = X T13 X 1 X 2 X n = X 1 + X X n (Teorema de DeMorgan) T13 X 1 + X X n = X 1 X 2 X n T14 F X 1, X 2,, X n, +, = F X 1, X 2,, X n,, + (Teorema Generalizado de DeMorgan) Indução Infinita: é um método de 2 passos que permite provar os teoremas de n-variáveis. Primeiro provar para n=2, se TRUE provar para n=i, e se TRUE para n=i

47 Teorema de DeMorgan Provando (T12) X + X + X + + X = X + X + X + + X (i + 1 X s em ambos os lados) = X + X (se T12 é verdadeiro para n = i) = X (então está de acordo com T3) Teoremas de DeMorgan: O complemento de uma expressão lógica, denotada por F, é uma expressão cujo valor é o oposto de F s para cada possível combinação de entrada. T13 X 1 X 2 X n = X 1 + X X n T13 X 1 + X X n = X 1 X 2 X n 47

48 Teorema de DeMorgan Circuitos lógicos equivalentes que expressam os teoremas de DeMorgan. T13 X 1 X 2 X n = X 1 + X X n 48

49 Teorema de DeMorgan Circuitos lógicos equivalentes que expressam os teoremas de DeMorgan. T13 X 1 + X X n = X 1 X 2 X n 49

50 Teorema de DeMorgan Teoremas de DeMorgan Generalizado (T14): Dado qualquer expressão lógica de n-variáveis, seu complemento pode ser obtido pela troca entre os operadores (+) e (.), e complementando todas as variáveis. T14 F X 1, X 2,, X n, +, = F X 1, X 2,, X n,, + Exemplo: F(W, X, Y, Z) = (W X) + (X Y) + (W X + Z ) = ( W X) + (X Y) + (W ((X) + (Z) )) F(W, X, Y, Z) = ( W + X ) (X + Y ) (W + ((X ) (Z ) )) = (W + X ) (X + Y ) (W + (X Z)) 50

51 Dualidade Teorema ou identidade em álgebra booleana é verdadeiro se 0 e 1 são trocadas e e + são todos trocados. Todos os axiomas são verdadeiros em seus pares (dualidade), logo todos os teoremas também são verdadeiros. Representação de expressão lógica e a dualidade entre expressões. F D X 1, X 2,, X n, +,, = F X 1, X 2,, X n,, +, 51

52 Dualidade Dualidade em circuitos lógicos a partir de funções elétricas representadas pelos blocos type 1 e type 2. Z = X Y 52

53 Dualidade Circuito para função lógica, com portas type 1 e type 2 usando lógica positiva. 53

54 Dualidade Circuito para função lógica, com portas type 1 e type 2 usando lógica negativa. F X 1, X 2,, X n = F D X 1, X 2,, X n 54

55 Representação de Função Booleana Representação Padrão de Funções Lógicas: determinam a nomenclatura e a notação necessárias para a análise e síntese de circuitos lógicos combinacionais. Representação Básica: Tabela Verdade Linha X Y Z F Linha X Y Z F F(0,0,0) F(0,0,1) F(0,1,0) F(0,1,1) F(1,0,0) F(1,0,1) F(1,1,0) F(1,1,1)

56 Algumas definições necessárias Eletrônica Digital Mintermo e Maxtermo Literal: variável ou o complemento de uma variável. X Y X Y Termo de Produto: é um simples literal ou um produto lógico de 2 ou mais literais. Z W X Y X Y Z W Y Z Soma de Produtos: é uma soma lógica de termos de produtos. Z + W X Y + X Y Z + W Y Z 56

57 Mintermo e Maxtermo Algumas definições necessárias (continuação) Termo de Soma: é um simples literal ou uma soma lógica de 2 ou mais literais. Z W + X + Y X + Y + Z W + Y + Z Produto de Somas: é um produto lógico de termos de soma. Z (W + X + Y) (X + Y + Z) (W + Y + Z) 57

58 Mintermo e Maxtermo Algumas definições necessárias (continuação) Termo Normal: é um termo produto ou soma onde uma variável não aparece mais de uma vez. Um termo não normal pode ser simplificado pelos teoremas T3, T3, T5 e T5. T3 X + X = X T3 X X = X T5 X + X = 1 T5 X X = 0 1) W X X Y 2) W + W + X + Y 3) X X Y Termos não normais 1) W X Y 2) W + X + Y Termos normais 58

59 Mintermo e Maxtermo Algumas definições necessárias (continuação) Mintermo de n-variáveis: é um termo normal de produtos com n literais. Existem 2 n de tais termos de produtos. W X Y Z W X Y Z W X Y Z Maxtermo de n-variáveis: é um termo normal de somas com n literais. Existem 2 n de tais termos de somas. W + X + Y + Z W + X + Y + Z W + X + Y + Z 59

60 Mintermo e Maxtermo Correspondência entre a tabela verdade e os mintermos e maxtermos. Linha X Y Z F Mintermo Maxtermo F(0,0,0) X Y Z X + Y + Z F(0,0,1) X Y Z X + Y + Z F(0,1,0) X Y Z X + Y + Z F(0,1,1) X Y Z X + Y + Z F(1,0,0) X Y Z X + Y + Z F(1,0,1) X Y Z X + Y + Z F(1,1,0) X Y Z X + Y + Z F(1,1,1) X Y Z X + Y + Z 60

61 Mintermo e Maxtermo Número mintermo: é uma n-variável que pode ser representada por um inteiro de n bits. As entradas com valor lógico 0 são representadas por seu complemento. Na linha 5, o binário 101 corresponde ao mintermo X Y Z Número maxtermo: é uma n-variável que pode ser representada por um inteiro de n bits. As entradas com valor lógico 1 são representadas por seu complemento. Na linha 5, o binário 101 corresponde ao maxtermo X + Y + Z 61

62 Soma e Produto Canônicos Soma Canônica: é a representação algébrica de uma função lógica. Corresponde a soma dos mintermos de uma tabela verdade cuja combinação de entrada produz 1 na saída. Conhecido também como on-set. F = X,Y,Z 0,3,4,6,7 = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z Produto Canônico: é a representação algébrica de uma função lógica. Corresponde ao produto dos maxtermos de uma tabela verdade cuja combinação de entrada produz 0 na saída. Conhecido também como off-set. F = X,Y,Z 1,2,5 = X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z 62

63 Soma e Produto Canônicos Forma Canônica da Soma de Produtos (FCSP): termo dado para a soma canônica. Forma Canônica do Produto das Somas (FCPS): termo dado para ao produto canônico. Padronização da Forma Canônica: a expressão deve conter todas as variáveis para cada termo (soma ou produto). Conversão entre FCSP e FCPS: é a lista de entradas não incluídas na outra forma. Conjunto complementar. a) A,B,C 0,1,2,3 = A,B,C 4,5,6,7 b) X,Y 1 = X,Y 0,2,3 c) 0,1,2,3,5,7,11,13 = 4,6,8,9,10,12,14,15 W,X,Y,Z W,X,Y,Z 63

64 Exercícios Exercício 2: Use os teoremas da álgebra booleana para simplificar cada função lógica a seguir: (a) F = W X Y Z W X Y Z + W X Y Z + W X Y Z + W X Y Z (b) F = A B + A B C D + A B D E + A B C E + C D E (c) F = M N O + Q P N + P R M + Q O M P + M R Exercício 3: Escreva a soma e o produto canônicos para cada função lógica seguinte: (a) F = X,Y (1,2) (c) F = A,B,C (2,4,6,7) (b) F = A,B(0,1,2) (d) F = W,X,Y(0,1,3,4,5) (e) F = X + Y Z (f) F = V + W X 64

65 Exercícios Exercício 4: Escreva a tabela verdade para cada função lógica seguinte: (a) F = X Y + X Y Z (c) F = W + X (Y + Z) (e) F = V W + X Y Z (g) F = (W X) (Y + Z ) (b) F = W X + Y Z + X Z (d) F = A B + B C + C D + D A (f) F = (A + B + C D) (B + C + D E ) (h) F = (( A + B + C ) + D) (i) F = (A + B + C) (A + B + D ) (B + C + D ) (A + B + C + D) 65

66 Análise de Circuitos Lógicos 66

67 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Análise de Circuito Combinacional: ocorre mediante a obtenção de uma descrição formal de sua função lógica permitindo: Determinar o comportamento do circuito lógico para várias combinações de entrada. Manipular a descrição algébrica para sugerir diferentes estruturas de circuitos para a função lógica. Descrever o comportamento funcional de circuitos na análise de um sistema maior. 67

68 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Dado o diagrama lógico para um circuito combinacional como abaixo. Existe um número de caminhos para obter uma descrição formal da função do circuito. 68

69 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos A descrição funcional mais básica é a Tabela Verdade. 2 n combinações de entrada Linha X Y Z F Linha X Y Z F

70 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos A partir da Tabela Verdade podemos escrever a expressão lógica utilizando a soma ou produto canônico. Linha X Y Z F Qual a expressão lógica na forma canônica FCSP? E na forma canônica FCPS? 70

71 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Descrição Lógica Exponencial: o número de combinações de entrada de um circuito lógico cresce exponencialmente com o número de entradas. A abordagem pela Tabela Verdade, com o aumento de entradas, torna-se exaustiva e complexa para descrever a função lógica do circuito. Descrição Lógica Linear: complexidade para descrever a função lógica torna-se linear com o aumento de entradas. O método consiste em expressar algebricamente a saída de cada operador lógico, começando pelas entradas até a saída do circuito lógico. 71

72 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Aplicando a técnica da descrição linear para o circuito anterior. Circuitos diferentes Mesma Função Lógica 72

73 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Aplicando DeMorgan repetidamente para transformar o circuito anterior de 2 níveis AND-OR para circuito de 2 níveis OR-AND. Aplicando DeMorgan 73

74 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Qual é o ponto inicial para projetos de circuitos lógicos combinacionais? Normalmente é dado uma descrição literal do problema, e então o projetista desenvolve o circuito. As linguagens de descrição de hardware (HDL) permitem facilitar o desenvolvimento de projetos de sistemas digitais. O projetista ainda precisa realizar a descrição e síntese de projetos digitais: é necessário conhecimentos prévios para a síntese de circuitos. 74

75 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos A descrição de um circuito lógico é simplesmente uma lista de combinações de entrada com sinal em ON (FCSP) ou OFF (FCPS). Dado um combinação de entrada de 4 bits de N=N 3 N 2 N 1 N 0, o sistema produz 1 na saída para N=1,2,3,5,7,11,13 e 0 para outros casos. A função lógica que descreve o problema pode ser uma expressão de soma canônica. F = N3,N2,N1,N0 1,2,3,5,7,11,13 = N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 75

76 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos A função lógica anterior descreve um detector de números primos de 4 bits. F = N3,N2,N1,N0 1,2,3,5,7,11,13 76

77 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos São utilizados conectivos lógicos E (AND), OU (OR) e NÃO (NOT) para descrever literalmente um problema a ser solucionado. Exemplo: A saída do ALARME é 1 se a entrada PANIC é 1 OU se a entrada ENABLE é 1 E a entrada EXITING é 0 E a casa não é segura (SECURE). A casa é segura se as entradas WINDOW E DOOR E GARAGE são todos 1. ALARM = PANIC + ENABLE EXITING SECURE SECURE = WINDOW DOOR GARAGE ALARM = PANIC + ENABLE EXITING WINDOW DOOR GARAGE Como realizar o circuito (tornar real) para a expressão ALARM? Realizar circuito também é chamado de realização de função. 77

78 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Circuito do Alarme derivado da expressão lógica ALARM = PANIC + ENABLE EXITING WINDOW DOOR GARAGE Versão soma de produtos (FCSP) do circuito de alarme 78

79 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Manipulação de Circuitos: permite converter circuitos descritos com portas AND, OR e NOT em circuitos com portas NAND e NOR. Circuito 2 níveis AND-OR para NAND-NAND. Acrescentar portas NOT sem modificar a função lógica. 79

80 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Circuito soma de produtos AND-OR para NAND-NAND. 80

81 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Circuito 2 níveis OR-AND para NOR-NOR. 81

82 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Exemplo de circuito arbitrário com AND e OR para NAND e NOR

83 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Exercício 5: Projete um circuito lógico para a Tabela- Verdade abaixo. Simplifique o circuito. Entradas Saída D C B A Y Entradas Saída D C B A Y

84 Exercício 5: Solução. Y = D,C,B,A Eletrônica Digital Análise e Descrição de Circuitos Lógicos 1,3,4,6,7,9,11 = (D + C + B + A ) (D + C + B + A ) (D + C + B + A) (D + C + B + A) (D + C + B + A ) (D + C + B + A ) (D + C + B + A ) Aplicando DeMorgan Y = D C B A + D C BA + D CB A + D CBA + D CBA + DC B A + DC BA Simplificando Y = D C A B + B + D CA B + B + DC A B + B + D CBA Y = D C A + D CA + DC A + D CBA 84

85 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Exercício 5: Solução. Continuando a simplificando Y = D C A + DC A + D CA + D CBA Y = C A(D + D) + D C(A + AB) Y = C A + D C (A + A) (A + B) = C A + D CA + D CB D C B Y A 85

86 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Exercício 6: Projete um circuito lógico para informar se um processo de fabricação específico está funcionando corretamente. CALDEIRA S1 S2 MISTURA S3 AQUECEDOR FABRICAÇÃO 1 Quando o aquecedor estiver ligado na caldeira, a água aquecida não poderá ir para a mistura. 2 O uso da mistura na fabricação só será possível se o aquecedor e a caldeira estiverem desligados. 86

87 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Exercício 6: Solução Linha S1 S2 S3 F F = 0,1,2,4 S1,S2,S3 = S1 S2 S3 + S1 S2 S3 + S1 S2 S3 + S1 S2 S3 = S1 S2 + S1 S3 + S2 S3 87

88 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Exercício 7: Desenvolva um circuito lógico que avise ao supervisor de produção, através de um sinal luminoso (S1), quando a linha de produção parou, ao ocorrer uma ou mais das seguintes situações: A) Os insumos acabaram B) Os insumos estão com defeitos ou trocados C) É horário de almoço D) Terminou o turno de trabalho O circuito deve também informar (outro sinal luminoso S2) que a linha parou por problemas de insumo. Considere que: nível lógico 1 (sinal ligado) e nível lógico 0 (sinal desligado). As situações A e B são excludentes (não podem acontecer simultaneamente), assim como as situações C e D. Caso aconteça (A e B) ou (C e D), o sistema deve acionar o sinal S3, e apagar S1 e S2. 88

89 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Exercício 7 (Solução): Montando a Tabela Verdade Entradas A = Os insumos acabaram B = Os insumos estão com defeitos ou trocados C = É horário de almoço D = Terminou o turno de trabalho Linha A B C D S1 S2 S Saídas S1 = Ocorreu uma ou mais das situações A ou B e C ou D S2 = Problemas de Insumos ( A ou B ) S3 = Situação Indefinida Linha A B C D S1 S2 S

90 Análise e Descrição de Circuitos Lógicos Exercício 7 (Solução): Definindo as funções. Realize (desenvolva) o circuito lógico para cada soma canônica. A B C D S1 = A,B,C,D (1,2,4,5,6,8,9,10) S1 S2 = A,B,C,D (4,5,6,8,9,10) S2 S3 = A,B,C,D (3,7,11,12,13,14,15) S3 90

91 Minimização de Circuitos Lógicos Mapa de Karnaugh 91

92 Minimização de Circuitos Combinacionais Realizar (construir) circuito lógico diretamente da primeira expressão de soma ou produto canônico possui custo alto. O número de mintermos ou maxtermos cresce exponencialmente com o número de variáveis. A minimização reduz o número e o tamanho de portas que são necessárias para construir circuitos combinacionais. Métodos tradicionais de minimização utilizam como ponto de partida a tabela verdade ou uma lista de mintermos ou maxtermos. 92

93 Minimização de Circuitos Combinacionais Os métodos de minimização reduzem o custo de um circuito de 2 níveis (AND-OR, OR-AND, NAND-NAND ou NOR-NOR) em 3 caminhos: 1. Pela minimização do número de portas no primeiro nível. 2. Pela minimização do número de entradas para cada porta no primeiro nível. 3. Pela minimização do número de entradas nas portas do segundo nível em consequência da primeira redução. 93

94 Minimização de Circuitos Combinacionais Métodos de minimização não consideram o custo de entradas inversoras. A quantidade de inversores nas entradas permanecem inalteradas após a minimização. Muitos métodos de minimização utilizam a generalização dos teoremas combinados T10 e T10 Termo de produto Y + Termo de produto Y = Termo de produto (Termo de soma + Y) (Termo de soma + Y ) = Termo de Soma 94

95 Minimização de Circuitos Combinacionais Dado o circuito detector de número primo de 4 bits pela expressão F = 1,2,3,5,7,11,13 N3,N2,N1,N0 95

96 Minimização de Circuitos Combinacionais Podemos aplicar repetidamente métodos algébricos para reduzir o circuito anterior F = N3,N2,N1,N0 1,2,3,5,7,11,13 = N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + = N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N1 N0 + N3 N2 N N0 + = N3 N2 N0 + N3 N2 N0 + = N3 N0 + 96

97 Minimização de Circuitos Combinacionais Mapa de Karnaugh: é uma representação gráfica das funções lógicas da tabela verdade. Linha X Y Z Mapa com 3 variáveis Mapa com 2 variáveis Mapa com 4 variáveis 97

98 Minimização de Circuitos Combinacionais Um mapa de n entradas é um arranjo com 2 n células, um para cada combinação de entrada ou mintermo. As variáveis são rotuladas com letras do alfabeto a partir da esquerda para a direita (por exemplo: X, Y, Z) Cada célula é identificada com um número pequeno que corresponde a contagem binária da tabela verdade. Total de Colunas: 2 n 2 Total de Linhas: 2 n n 2 98

99 Minimização de Circuitos Combinacionais Cada célula pode ter o valor 0 ou 1 dependendo da saída correspondente à combinação das entradas. Linha X Y Z F F = X,Y,Z 1,2,5,7 99

100 Minimização de Circuitos Combinacionais A ordem dos números (sequência binária) das colunas e linhas indica que cada célula correspondente difere de cada célula adjacente em somente uma variável. As células 5 e 13 são adjacentes pois diferem apenas na variável W. As células 12 e 14 são adjacentes pois diferem em apenas uma variável (Y). Qual a sequência de bits para as colunas com 5 variáveis?

101 Minimização de Circuitos Combinacionais Cada combinação de entrada que produz 1 na saída corresponde a um mintermo na função lógica da soma canônica. O par de células adjacentes com 1 possuem mintermos com variação em apenas uma variável. Linha X Y Z F

102 Minimização de Circuitos Combinacionais Linha X Y Z F

103 Minimização de Circuitos Combinacionais O mapa de Karnaugh pode chegar a uma solução imediata e mais simplificada que a iteração algébrica. F = X,Y,Z 0,1,4,5,6 F = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z F = X Y Z + Z + X Y Z + Z + X Y Z F = X Y + X Y + X Y Z F = Y X + X + X Y Z = Y + X Y Z 103

104 Minimização de Circuitos Combinacionais Regra Geral: Podemos agrupar as células adjacentes em 2 i, onde i = 0, 1, 2 n. As variáveis com valores 0 ou 1 que não variam formam o novo mintermo da função simplificada. Quanto maior o valor dei para células agrupadas mais variáveis serão eliminadas no processo. A variável é complementada quando tem valor mapeado igual a 0 A variável não é complementada quando tem valor mapeado igual a 1 A variável que, em células adjacentes agrupadas, possui os 2 valores ( 0 e 1 ) não aparecem no termo do produto 104

105 Minimização de Circuitos Combinacionais Exemplo 6: circuito detector de números primos de 4 bits. F = N3,N2,N1,N0 1,2,3,5,7,11,13 105

106 Minimização de Circuitos Combinacionais Exemplo 6 (continuação): Utilizando Mapa de Karnaugh para simplificar o circuito. 106

107 Minimização de Circuitos Combinacionais Exemplo 6 (continuação): Resultado da simplificação utilizando Mapa de Karnaugh. 107

108 Minimização de Circuitos Combinacionais Condições Don t Care : Refere-se as combinações de níveis de entrada em que não importa se a saída está em ALTO ou BAIXO. Uma condição don t care pode surgir por várias razões; a mais comum é a existência de algumas situações nas quais certas combinações de entrada não podem nunca ocorrer, e portanto não existe saída específica para estas condições. Uma variável, normalmente a variável x, representa uma condição don t care. O projetista tem a liberdade de escolher se a saída deve ser 0 ou 1, para uma condição don t care, de forma a produzir o melhor grupo no mapa de Karnaugh. 108

109 Minimização de Circuitos Combinacionais Exemplo de condição Don t Care Linha A B C Z X X Don t Care AB C X 1 0 X 1 1 AB C Z = A 109

110 Minimização de Circuitos Combinacionais Exercício 8: Use o mapa de Karnaugh para simplificar as funções abaixo: a) F = X,Y,Z (1,3,4,6,7) b) F = W,X,Y,Z (1,4,5,6,7,9,14,15) c) F = W,X,Y(0,1,3,4,5) d) F = W,X,Y,Z (0,2,5,7,8,10,13,15) e) F = A,B,C,D(1,7,9,13,15) f) F = A,B,C,D (1,4,5,7,12,14,15) g) F = A,B,C (0,1,2,4) h) F = W,X,Y,Z (1,4,5,6,11,12,13,14) i) F = A,B,C(1,2,6,7) j) F = W,X,Y,Z (0,1,2,3,7,8,10,11,15) k) F = W,X,Y,Z (1,2,4,7,8,11,13,14) l) F = A,B,C,D(1,3,4,5,6,7,9,12,13,14) 110