LISTA DE EXECÍCIOS DE GEOMETIA NO PLANO E NO ESPAÇO E INTEGAIS DUPLAS POFESSO: ICADO SÁ EAP (1) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção 1.1.4: 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b), 2(d) (2) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção 1.2.5: 2(f), 4(c), 4(d). 5(a), 5(b), 5(e). (3) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção 2.1.4: Exercs 1(b), 4(a), 4(b). (4) Considere as curvas definidas implicitamente pelas equações cartesianas abaixo. Determine a equação polar destas, nos intervalos indicados, fazendo um desenho. Além disso, lembrando do Cálculo II, determine, em cada caso, vetores normais às curvas escolhendo três pontos quaisquer destas. (a) (Lemniscata de Bernoulli). (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 ( π/4 θ π/2) (b) (Limaçon de Pascal). (x 2 + y 2 x) 2 = x 2 + y 2 (0 θ 2π) (c) (Cardióide) (x 2 + y 2 ) 2 2x(x 2 + y 2 ) y 2 = 0 (0 θ 2π) (5) Considere as superfícies dadas abaixo. Determine: Interseção com os planos coordenados, xy, xz, yz. Estude as interseções com os planos z = c, c, quando tais interseções forem círculos. Identifique as superfícies de revolução (e seus eixos). Explicite também os planos de simetria π das superfícies: Isto é, reflexão em π, deixa a superfície invariante, levando uma metade desta na outra metade. Lembrando de Cálculo II, escreva a equação do plano tangente ao gráfico quando pedido. Esboce um desenho de cada superfície com apuro. (a) x 2 + y 2 + z 2 = 1. (b) x 2 + y 2 /4 + z 2 /9 = 1. (c) x 2 +y 2 z 2 = 1 (hiperbolóide com 2 folhas. Veja Figura 1 ). Escreva a equação do plano tangente ao hiperbolóide no ponto (2, 0, 5). (d) x 2 + z 2 y 2 = 1. (e) x 2 +y 2 z 2 = 1 (hiperbolóide com 1 folha. Veja Figura 2). 1
2 POFESSO: ICADO SÁ EAP (f) (x 1) 2 + (y + 1) 2 (z 3) 2 = 1. (g) x 2 + y 2 + z 2 /4 = 1. (h) x 2 + y 2 = 9z 2. (i) x 2 + z 2 = 9y 2. (j) x 2 y 2 = z. (k) y 2 = z Escreva a equação do plano tangente ao gráfico no ponto (1, 1, 1). (l) z = xy (Sela. Veja Figura 3). Escreva a equação do plano tangente ao gráfico no ponto (1, 1, 1). (m) cosh z = x 2 + y 2 (catenóide. Veja Figura 4). Escreva a equação do plano tangente ao gráfico no ponto (1, 1, arccosh( 2)). Lembrete: cosh z = ez + e z. 2 2 (n) z =. Procure encontrar um cilindro para o 1 x2 y2 qual a superfície converge quando z. Veja Figura 5. ( cos y ) (o) z = log, π/2 < x < π/2 π/2 < y < π/2. cos x (Superfície de Scherk. Veja Figura 6). Figura 1: Hiperbolóide com 2 folhas
LISTA 1 DE CÁLCULO ESPECIAL INTEGAL A VÁIAS VAIÁVEIS 3 Figura 2: Hiperbolóide com 1 folha Figura 3: Sela
4 POFESSO: ICADO SA EAP Figura 4: Cateno ide Figura 5
LISTA 1 DE CÁLCULO ESPECIAL INTEGAL A VÁIAS VAIÁVEIS 5 Figura 6: Superfície de Scherk (6) Considere a regiões do plano 1 = {(x, y) 2 ; 1 y x 2 + 1, 0 x 1} e 2 = {(x, y) 2 ; 1 y x/3 + 7/3, 1 x 4}. Seja := 1 2. Considere a integral dupla: I = F (x, y) dxdy (a) Esboce um desenho de. Escreva, sem fazer cálculos, uma soma de duas integrais iteradas, usando integrais do tipo b f2 (x) a f 1 (x) F (x, y) dydx, que seja igual a I. (b) Escreva, sem fazer cálculos, uma integral iterada, usando integrais do tipo d g2 (y) c g 1 (y) F (x, y) dxdy, que seja igual a I. (c) Calcule a área de e calcule a coordenada y do centróide de. esposta: A = área() = 11 6, y = 73/55.
6 POFESSO: ICADO SÁ EAP (7) Considere as superfícies D, D 1 e S 1 definidas a seguir (esboce um desenho) : D = {(x, y, z) 3 ; x 2 + y 2 9, z = 0} D 1 = {(x, y, z) 3 ; z = x + y + 7, x 2 + y 2 9} S 1 = {(x, y, z) 3 ; 0 z x + y + 7, x 2 + y 2 = 9} Considere S := D S 1 D 1 a superfície fechada, que é fronteira de um sólido U 3. (a) Desenhe corretamente S. (b) Escreva o volume de U usando coordenadas retangulares. Escreva o volume de U [ usando coordenadas polares. 2 (c) Calcule (x + y + 7) (x 2 + y 2 + 1) + 1 ] dxdy. esposta: 2 10 D 189π/10. Sugestão: Use coordenadas polares (8) Considere a região do plano xy cuja fronteira dada por := [1/2, 1] [1, 3]. Calcule f(x, y)dxdy onde (a) f(x, y) = x log x cos(πy)sen 2 (πy) (b) f(x, y) = 2y x cos(πx) 1+y 2 (c) f(x, y) = 2x e y 1 x 2 y (d) f(x, y) = 2xe x log y (e) f(x, y) = y3 +y 2 y 1 y+1 2x+10 (f) f(x, y) = e y sen y x 4 e 7x5. (g) f(x, y) = y y + 1 sen x cos 2 x. (espostas (a): 0 (b): log 5(1/(2π)+1/π 2 ) (c): 2 3(e 1 e 3 ) (d): (3 log 3 2) e (e): (20/3 + log 2) log(12/11)/2) (9) Em cada sub-item do item anterior, interprete a integral dupla em termos de volume de uma região U do espaço, determinando rigorosamente U usando inequações. (10) Considere as regiões U 1, U 2 do espaço dadas por: U 1 ={(x, y, z) 3 ; 0 z 9 x 2 y 2, 0 x y} U 2 = {(x, y, z) 3 ; 0 z 9 (x 1) 2 (y 3) 2 } (a) Escreva o volume V 1 da região U 1 usando integrais iteradas, via coordenadas cartesianas ou retangulares usuais x, y.
LISTA 1 DE CÁLCULO ESPECIAL INTEGAL A VÁIAS VAIÁVEIS 7 (b) Escreva o volume V 1 da região U 1, usando coordenadas polares e calcule V 1. (c) Calcule o volume V 2 de U 2. esposta: V 1 = 81π/16, V 2 = 81π/2. Sugestão: use os itens precedentes. (11) Considere a região U do espaço dada por U := {(x, y, z) 3 ; 0 z y 2 + x; 0 y sen x, 0 x π}. (a) Escreva o volume de U usando uma integral iterada nas variáveis x, y. (b) Calcule o volume de U. esposta: volume(u) = 4/9 + π. (c) Seja W := {(x, y, z) 3 ; 0 z y 2 + x; sen x y sen x, 0 x π}. Calcule o volume de W. Sug: Faça o mínimo de contas possível, justificando corretamente a sua resposta. (12) Considere a região = {(x, y) 2 ; x 2 + y 2 2}. Seja A o número real positivo determinado pela integral dupla : A = [ 4 (x 2 + y 2 ) 4] dxdy. Calcule as seguintes integrais duplas em termo de A. Não é preciso calcular A, mas é preciso dar uma justificativa matemática correta. (a) Usando desigualdades, determine U 3 tal que A = volume(u). [ Calcule I 1 = 4 ( (x 1) 2 + (y + 1) 2) ] 4 dxdy, onde, 1 1 = {(x, y) 2 ; (x 1) 2 + (y + 1) 2 2}. Justifique sua resposta. [ (b) I 2 = 4 (x 2 + y 2 ) 4] dxdy, onde 2 = {(x, y) 2 ; x 2 + 2 y 2 2, 0 x y}. Justifique sua resposta. [ (c) I 3 = 7 (x 2 + y 2 ) 4] dxdy. Justifique sua resposta. (13) Determine o volume do sólido delimitado pelos parabolóides z = 4x 2 + 2y 2 e z = 12 + x 2 y 2. Idem com respeito aos parabolóides z = x 2 + 3y 2 e z = 4 y 2 (espostas: 24π e 4π). 4 16 x 2 (14) Seja V := 8 16 x2 dydx. Interprete V como sendo x=0 y=0 o volume de uma certa região do espaço delimitada por dois cilindros. Calcule V (esposta: 1024/3). Veja Figura 7.
8 POFESSO: ICADO SÁ EAP Figura 7 (15) Considere a região do plano delimitada pelas parábolas y = x 2 + 1 e y = x 2 + 9. (a) Calcule a área de (esposta: 64/3). (b) Calcule o centróide de (esposta: 5). (c) Calcule o valor médio da função f(x, y) = x 2 em (esposta: 12/5). (16) Considere as regiões 1, 2 do plano dadas por: 1 ={(x, y) 2 ; 0 x y 1} 2 = {(x, y) 2 ; 1 x 2 y 2 } Seja := 1 2. Considere a integral dupla I := y x 2 + y 2 dxdy. (a) Faça o desenho da região. Escreva, usando coordenadas retangulares x, y, sem fazer cálculos, uma integral iterada, que seja igual a I. (b) Escreva sem fazer cálculos, usando coordenadas polares uma fórmula, que seja igual a I. (c) Calcule I. esposta: π/4 2/2. (17) Seja := {(x, y) 2 ; 0 x y, x 2 + (y 1) 2 1}.
LISTA 1 DE CÁLCULO ESPECIAL INTEGAL A VÁIAS VAIÁVEIS 9 (a) Determine usando coordenadas polares. Sug: esboce um desenho. (b) Escreva a integral dupla I = 4(x 2 + y 2 ) dxdy, usando coordenadas polares. (c) Usando que π/2 π/4 sen 4 θdθ = 3π/32 + 1/4, deduza que I = 3π/2 + 4 (18) Considere U a região sólida interior à esfera dada por x 2 + y 2 + z 2 = 16, que está também no interior do cilindro dado por x 2 + (y 2) 2 = 4. (a) Determine U usando desigualdades e faça um desenho da região. (b) Calcule o volume de U (esposta: 128π/3 + 512/9). (19) Considere a região A delimitada pelo cardióide dado em coordenadas polares por r = 2 + cos θ. Calcule a área da região obtida removendo-se de A o disco de raio 1/2 centrado na origem. (esposta: 4π + π/4). Veja Figura 8. Figura 8 (20) Considere a região A delimitada pelo cardióide dado em coordenadas polares por r = 1 + cos θ. Calcule a área da região
10 POFESSO: ICADO SÁ EAP obtida removendo-se de A, a parte que está contida em A do disco de raio 1/2 centrado na origem. (21) Seja 1 a região do plano dada em coordenadas polares por 0 r sen 2θ, 0 θ π/2. Veja Figura 9. Considere := 1 {(x, y) 2 ; x 2 + y 2 3/4}. Veja Figura 10. Figura 9 Figura 10 (a) Seja I := F (x, y)dxdy. Escreva I usando coordenadas polares. OBS: (Mini-tabela). sen π/4 = cos π/4 = 2/2, sen π/6 = cos π/3 = 1/2, sen π/3 = cos π/6 = 3/2. (b) Calcule a área de. esposta: área() = π/48+ 3/16. (22) Calcule I determinando as regiões de integração e interpretando o resultado I = 2 2 x x2 + y dydx + 2 1 x2 y 2 /4 dxdy x=0 y=x onde é a região do plano dada por x 2 +y 2 /4 1 (esposta: 2 2 2 + 2π/3). (23) Seja := {(x, y) 2 ; x 2 /4 + y 2 /9 1}. Calcule o volume da região U de 3 delimitada pelo gráfico da funções z = x 2 +y 2 +1 e z = 2xy restritas à região (esposta: 51π/2).
LISTA 1 DE CÁLCULO ESPECIAL INTEGAL A VÁIAS VAIÁVEIS 11 (24) Calcule a integral I = 1 x2 /a 2 y 2 /b 2 dx dy, a > b > 0 onde é a região delimitada pela elipse x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. (25) Encontre a área da região delimitada pelas curvas x 2 + 2y 2 = 1, x 2 + 2y 2 = 4, y = 2x, y = 5x, fazendo uma mudança de variáveis adequada. (26) Seja = {(x, y) 2, 1 xy 2, 1 x 2 y 2 4, x 0}. Calcule I = xy(x 2 + y 2 ) x 2 y 2 dx dy fazendo uma mudança de variáveis adequada. (27) Considere T o toro sólido (região do espaço) gerado pela rotação do disco no plano yz de raio r centrado em (, 0), > r > 0, em torno do eixo z. (a) Escreva T, usando coordenadas cartesianas (x, y, z) na forma implícita f(x, y, z) = 0, onde f(x, y, z) é uma função a determinar. (b) Escreva a fronteira de T como união de duas superfícies S 1 e S 2 que são geradas pela rotação em torno do eixo z de dois gráficos horizontais y = f(z) e y = g(z), explicitando tais funções f, g e seus respectivos domínios. Explicite também S 1 e S 2 como gráficos de funções, determinando estas funções, exibindo as fórmulas e os domínios. (c) Considere a região do espaço U = {(x, y, z) 3 ; x 2 + y 2 f 2 (z), a z b}, onde f é uma função contínua positiva definida no intervalo [a, b]. Levando em consideração a fórmula do volume de um sólido de revolução em torno do eixo z, dada por volume(u) = π b a f 2 (z) dz; calcule o volume de T. (d) Confira a resposta do item anterior aplicando o teorema de Pappus. (28) Aplique o teorema de Pappus para encontrar o centro de massa do semi-disco homogêneo D de raio. (29) Considere a integral I abaixo: I = 1 2 2y 0 0 e (x 2y)/(x+2y) dx dy
12 POFESSO: ICADO SÁ EAP (a) Interprete I como volume de uma certa região U de 3, determinando U usando desigualdades. (b) Encontre uma mudança de coordenadas linear da forma u = ax+b, v = cx+d de maneira que separe as variáveis do integrando, i.e e (x 2y)/(x+2y) = e f(u)g(v). Calcule I. (30) Seja a região do primeiro quadrante dada por x 4 + y 4 1, x 0, y 0. Seja I = x 3 y 3 1 x 4 y 4 dx dy Descubra uma mudança de variáveis inspirada nas coordenadas polares da forma x = f(r, θ), y = g(r, θ) e calcule I.