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Conteúdo Operações com frações... Adição e subtração... Frações com denominadores iguais... Frações com denominadores diferentes... Passo :... Passo :... Passo :... Passo :... Exemplo:... Exercícos... Multiplicação e divisão de frações... Multiplicação... Exercícios... Praticando... Potenciação... 6 Tipos de potenciação... 7 Base real e expoente inteiro... 7 Propriedades da potenciação... 8 Produto de potências de mesma base... 8 Divisão de potências de mesma base:... 8 Potência de potência:... 9 Potência de um produto... 9 Exercícios... 9 Radiciação... Propriedades da radiciação.... Exercícios... 6 Porcentagem... 8 Exercícios... 8 Respostas...
Adição e subtração Operações com frações Uma fração é uma ou mais parcelas de um todo que foi dividido em partes iguais. Desse modo, somá-las ou subtraí-las é um pouco diferente das mesmas operações envolvendo números inteiros. Existem dois casos para adição ou subtração de frações: o primeiro para aqueles objetos que foram divididos em uma mesma quantidade de partes e o segundo para aqueles objetos que foram divididos em um número diferente de partes. Lembre-se de que o número de partes em que um objeto foi dividido é representado pelo denominador de uma fração. Desse modo, os dois casos de adição de frações são: frações com denominadores iguais e frações com denominadores diferentes. Primeiro caso Frações com denominadores iguais Quando for necessário somar ou subtrair frações com denominadores iguais, some (ou subtraia) apenas os numeradores e mantenha o denominador intacto. Observe o exemplo a seguir: 6 = 6 = Segundo caso Frações com denominadores diferentes Quando as frações possuem denominadores diferentes, é necessário encontrar outras frações equivalentes a essas que possuam denominadores iguais. Veja: 0 + 6
Passo : Calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. O valor encontrado será o denominador comum que possibilitará substituir as frações dadas por outras com denominadores iguais. No exemplo, temos:,,6,,,,,,,, 60 Passo : Reescrever as frações com o novo denominador, deixando o espaço do numerador para os números que serão encontrados no passo seguinte. 0 + = + 6 60 60 60 Passo : Encontre os numeradores das novas frações. Para isso, o seguinte cálculo deverá ser feito: Para encontrar o numerador da primeira fração, divida o MMC pelo denominador da primeira fração e multiplique o resultado pelo seu numerador. O resultado obtido por esse cálculo será o numerador da primeira fração que possui denominador igual ao MMC. Repita o procedimento para todas as frações presentes na soma ou subtração. 0 + = 0 + 0 6 60 60 60 Observe que o novo numerador da primeira fração é 0, pois 60 dividido por é, e vezes 0 é 0. Repita o procedimento para cada fração separadamente: 60 dividido por é, e vezes é numerador da segunda fração. Por fim, 60 dividido por 6 é 0, e 0 vezes é 0. Logo, os numeradores do lado direito da igualdade, em ordem, são: 0, e 0. Passo : Somar as novas frações utilizando o caso anterior (de denominadores iguais). Após encontrar as novas frações, basta repetir o procedimento anterior, no qual somamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador intacto. 0 + = 0 + 0 = 0 + 0 = 6 6 60 60 60 60 60
Exemplo: Lúcio comprou duas pizzas pequenas, uma de calabresa, outra de frango com catupiri. Da primeira, comeu metade e, da segunda, conseguiu comer apenas a sexta parte. Que fração representa a quantidade total de pizzas que Lúcio comeu, considerando que as pizzas possuem o mesmo tamanho? Solução: Basta observar que a metade é representada pela fração um meio (/) e que a sexta parte é representada por um sexto (/6). Somando essas frações, teremos a quantidade ingerida por Lúcio. + 6 Pelo primeiro passo, teremos: MMC (,6) = 6. De fato,, 6,, 6 Pelo segundo passo, teremos: + = + 6 6 6 Pelo terceiro passo, teremos: (6:) = e (6:6) = + = + 6 6 6 Pelo quarto passo, teremos: + = + = 6 6 6 6 Logo, Lúcio comeu quatro sextos, número que, simplificado, é equivalente a dois terços (/) da quantidade total de pizza disponível.
Exercícos ) Usando a equivalência de frações, descubra o número que deve ser colocado no lugar da letra x para que se tenha: a) b) 7 9 x 7 x c) d) 6 8 9 x x e) f) g) h) 7 0 8 x 8 x x 0 0 0 x
) Calcule as operações com frações: 7 a) 9 0 b) 9 c) 0 0 d) 8 e) 0 7 e) 7 f) 6 6 7 c) 6 7 d) f) = g) 6 h) g) 6 6 6 k) 7 = 8 ) Calcule as operações com frações: a) 7 s) 0 b) d)
Multiplicação e divisão de frações Multiplicação A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe: Divisão A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz: repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. ) Efetue as multiplicações: Exercícios a). 8 c).. 6 9 e).. 9 b). 7 9 d).. 7 6 6 7 f).. 8
8 7 g). 8 8 i).. 6 8 k).. 8 9 7 h). 7 7 j).. 7 9 7 9 l).. 8 9 ) Efetue as divisões: a) : b) : 9 c) : 9 8 7 d) : 7 e) : 9 0 f) : 9 6 8 g) : 7 8 h) : i) : 8 6 j) : k) : l) : 7 m) : 00 n) : 7 7 o) :
p) q) 7 6 r) 6 s) t) 8 Praticando Calcule o valor das expressões numéricas: a) i) 8 7 7 8. b) 9 7 9 8 6 8 7 j) 7... =
c) 7 k). 7 = d) 6 l). 6... =
e) 6 7 = m).. = f) 8 n). 7 0.. 7. =
g) 0 7 o).. :. 7 Potenciação O resultado de uma potenciação é obtido pelo produto de fatores iguais e a sua representação é dada por an = a. a. a. a... A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma: a n = a. a. a. a a = base n = expoente a. a. a. a = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência. Para compreender melhor, acompanhe os exemplos abaixo: =.. = 8 = base = expoente.. = produto de fatores 8 = potência (resultado) 6
Como o expoente é, tivemos que repetir a base, que é três vezes, em um produto. =... = 6 = base = expoente... = produto de fatores 6 = potência (resultado) Como o expoente é, tivemos que repetir a base, que é quatro vezes, em um produto. 0 = 0. 0 = 00 0 = base = expoente 0. 0 = produto de fatores 00 = potência (resultado) Como o expoente é, tivemos que repetir a base, que é 0 duas vezes, em um produto. Tipos de potenciação Base real e expoente inteiro Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo. Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Acompanhe alguns exemplos: + =. = 0, + = 0,. 0,. 0, = 0,07 (½ ) + = ½. ½ = ¼ Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Observe alguns exemplos: - = =. = + 0, = () - = (0) + = 0. 0. 0 = 000 = 7,07 (0) - () +.. 7 (½ ) - = (/) + =. = 7
Expoente igual a Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo: a = a = = 00 = 00 Expoente igual a 0 Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será. Acompanhe os exemplos: a 0 = 000 0 = 0 = Propriedades da potenciação As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades: Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos: a n. a m = a n + m. = + =. = + = 7 Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos: a n : a m = a n = a n m a m 6 : = 6 = 6 = 9 : 9 = 9 = 9 = 9-9 8
Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos: (a n ) m = a n. m (7 ) = 7. = 7 8 ( ) =. = 6 Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos: (a. b) n = ( a n. b n ) (. ) = (. ) (. 9) = (. 9 ) Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo: a n. b n = (a. b) n. 6 = (. 6) 7. = (7. ) Exercícios )Calcule: a) e) i) 7 m) 8 9
0 b) f) j) 7 n) c) 0 g) k) o) 7 d) h) 0 9 l) 6 p) 6
) Reduza a uma só potência a) ³ x ² = b) 7⁴ x 7⁵ = c) ⁶ x ² = d) 6³ x 6 = e) ⁷ x ² = f) 9³ x 9 = g) x ² = h) 7 x 7⁴ = i) 6 x 6 = j) x = l) 9² x 9⁴x 9 = m) x ² x = n) x x = 0) m⁰ x m x m³ = p) x ³ x ⁴x = ) Reduza a uma só potência a) ⁴ : ² = b) 8⁷ : 8³ = c) 9⁵ : 9² = d) ³ : ² = e) 9⁶ : 9³ = f) 9⁵ : 9 = g) ⁴ : ³ = ) Reduza a uma só potência: a) (⁴)² = b) (7²)⁴ = c) (²)⁵ = d) (³)² = e) (9⁴)⁴ = f) (²)⁷ = g) (6³)⁵ = h) (a²)³ = i) (m³)⁴ = j) (m³)⁴ = EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem : ) Potenciação ) Multiplicações e divisões ) Adições e Subtrações
Exemplos ) exemplo + ² x = + 9 x = + 8 = ) exemplo 7² - x + = 9 8 + = + = ) Calcule o valor das expressões: a) 7² - = b) ³ + 0 = c) ² - 6 = d) ² + 7⁰= e) ⁰+ ³= f) ³+ ⁴ = g) 0³ - 0² = h) 80¹ + ⁸⁰ = i) ² - ² = j) ⁸⁰ + 0⁷⁰ = ) Calcule o valor das expressões a) ³ x + ² = b) 70⁰+ 0⁷⁰ - = c) x 7¹ - x ⁰ = d) ⁴- ⁴: 8 x = e) ² + x = f) x ² + 8 =
) calcule o valor das expressões: a) ² : ( + -)+ x = (R: ) b) ( +)² + x - 0⁰ = (R: ) c) c) ²: ( ) + x ² = (R: ) d) 70 [ x (² : ) + ²] = (R: 6) e) ( 7 + ) x ( ² - ³) = (R: ) f) ² + ³ - x ( + 9) = (R: 9) g) 6² : ² + x 0 = (R: ) h) (7² - ) : + x = (R: 6)
Radiciação A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e analisar suas propriedades. Dados um número real não negativo x e um número natural n, chama-se raiz enésima de x o número real não negativo y tal que y n = x. O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é radicando e n é o índice. e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o Pela definição de radiciação, temos que: Exemplo Propriedades da radiciação. Exemplo Simplifique a expressão
Exemplo Racionalize as seguintes frações:racionalizar a fração é fazer com que no denominador não exista uma raiz enésima de um número. Exemplo Verifique as propriedades da radiciação. Exemplo Obtenha a forma mais reduzida possível da expressão: Solução: Podemos reescrever cada uma das raízes utilizando as propriedades da radiciação.
) Calcule o valor da expressão: Exercícios R = ) Calcule o valor da expressão: R = 6
) Simplifique a expressão: R = ) Utilizando o macete visto na primeira aula, calcule as seguintes raízes. 76 = 89 = 6 = 0 = 8 = = 88 = 9 = 7
Porcentagem A porcentagem está frequentemente ligada a situações de: correção monetária, investimentos, cálculos de juros, descontos, dentre outras. O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à Matemática Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação de valores de impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x% corresponde à razão centesimal x/00. O símbolo % significa porcento ou divisão por cem. Observe: % (quinze por cento) = 00 = = 0, 0 Um número que possui a característica de porcentagem pode ser expresso das seguintes formas: fração centesimal ou número decimal, a forma ficará a critério do estudante. Exercícios ) Uma determinada loja de eletrodomésticos vende seus produtos em até 0 vezes, incluído os juros. No caso de pagamento à vista a loja oferece um desconto de % sobre o preço da mercadoria. Na compra à vista de uma geladeira que custa R$.00,00, qual o valor do desconto? 8
) O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até mesmo de prestações particulares gera multas que são calculadas com base em índices percentuais, regularizados pelos órgãos competentes. Qual o valor de uma prestação de R$ 0,00 que foi paga com atraso de 0 dias, sabendo que sobre o valor deverá ser acrescentado % de multa? ) Por um descuido meu, perdi R$ 6,00 dos R$.00,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia? ) Ao comprar um produto que custava R$.00,00 obtive um desconto de %. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido? 9
) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 0 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas % das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei? 6) Dos 8 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 7%. Quantos bombons ainda me restam? 7) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu quintal botaram 0% da quantidade dos ovos que eu tinha na cesta e nela os coloquei, mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 0% dos ovos foram quebrados. Eu tenho mais ovos agora ou inicialmente? 0
8) Comprei 0 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e consegui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi? 9) Dos candidatos que prestaram um concurso, 8 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados? 0) O preço de um computador é de R$ 00,00. Qual será o preço do computador caso ele sofra um reajuste de 8%? a) R$.96,00 b) R$.96,00 c) R$.96,00 d) R$.69,00 e) R$.699,00
) Uma compra foi efetuada no valor de R$00,00. Obteve-se um desconto de 0%. Qual foi o valor pago? ) 0% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 7.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? a) 77 b) 77 c) 77 d) 7 e) 77
) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$.0,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de % sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$.97,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido? a),00% b) 0,00% c) 0,% d),0% e) 0,0% ) Quanto é 60% de 00% de 80%?
) O salário de Luiz Cláudio era de x reais em janeiro. Em maio, ele recebeu um aumento de 0% e outro de % em novembro. Seu salário atual é de R$08,00. Calcule o salário de Luiz em janeiro. 6) (Faee) Um funcionário de uma empresa recebeu a quantia de R$,00 a mais no seu salário, referente a um aumento de,%. Sendo assim, o seu salário atual é de: a) R$.0,00 b) R$.0,00 c) R$.8,00 d) R$.9,00 e) R$.00,00
7) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 0% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido? a) 7,0% b) 7,00% c),0% d),00% e) 0,00% Respostas 6 7 8 9 0 6 7 a x b x c x x d e x
) Questão 7) Questão O desconto é de R$ 80,00 Inicialmente tinha mais ovos do que tenho agora ) Questão 8) Questão O valor pago foi de R$ 7,00 Eu vendi 8 peças 9) Questão ) Questão Foram aprovados 80% Perdi 8% ) Questão ) Questão O valor pago foi de R$.00,00 Paguei ao produto R$.0,00 O valor do desconto foi de R$ 80,00 ) Questão 96% ) Questão Sobraram 6 garrafas ) Questão Quebraram garrafas R$.600,00 6) Questão Dos 8 bombons ainda me restam 7