Trigonometria I Círculo Trigonométrico ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Trigonometria I Círculo Trigonométrico b) 6 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Qual dos arcos abaixo é côngruo de 90 o? a) 40 o. b) 440 o. c) 450 o. d) 460 o. c) d) 5 e) Exercício 6. Represente no ciclo trigonométrico as extremidades dos arcos cujas medidas são: e) 470 o. Exercício. Quais são os quadrantes do círculo trigonométrico no qual o cosseno é positivo? a) x π b) y π + kπ, k Z. + kπ, k Z. a) 1 o e o. b) 1 o e o. c) 1 o e 4 o. d) o e o. e) o e 4 o. c) z π 4 + kπ, k Z. Exercício 7. Os polígonos regulares das figuras estão inscritos nas circunferências trigonométricas. Determine em graus e em radianos as primeiras determinações positivas dos arcos cujas extremidades são vértices de cada polígono: Exercício. Qual dos arcos abaixo é côngruo de 11π? a) π. b) π. c) π. d) 4π. e) 5π. Exercício 4. Qual das alternativas abaixo apresenta o mesmo valor que sen 150 o? a) a) sen 10 o. b) sen 150 o. c) cos 150 o. d) cos 00 o. e) cos 10 o. f) sen 0 o. Exercício 5. Se sen α 1 5, para 0 < α < π, então cos α é: a) 6 b) http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br
c) sen α. Exercício 15. Calcule a medida do cateto AB no triângulo retângulo ABC abaixo, em que CB 40 e sen α c) Exercício 8. Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos de: a) 1.0 o. b).160 o. c) 7π 4. d) π. Exercícios de Fixação Exercício 9. Sendo sen x 6 5, com 90o < x < 180 o, calcule cos x. Exercício 10. a) sen 1.080 o. b) cos 1.50 o. c) sen(.850 o ). d) cos(.40 o ). Determine o valor de: Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 16. Determine x em função de α, na equação x + x + cos α 0 Exercício 17. O menor valor não negativo côngruo ao arco de 1π rad é igual a: 5 a) π 5 rad. b) 7π 5 rad. c) π rad. d) 9π 5 rad. e) π rad. Exercício 18. A figura a seguir representa uma circunferência trigonométrica em que MN é diâmetro e o ângulo α mede 5π 6 radianos. Exercício 11. Se x é um número real que verifica simultaneamente as equações sen a x + e cos a 10 x, para algum número real a, encontre o valor de x. Exercício 1. Determine o valor da expressão sen 6π + sen 7π 5π sen 6. Exercício 1. Calcule o valor numérico da expressão E sen x + sen(x) cos(4x) sen (x) cos, para x 90 o. x Exercício 14. Represente no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos α tal que: a) sen α 1. b) cos α. A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é: http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
a) 6. b). c). d). e) 11. Exercício 19. O ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 1 minutos é: a) 7 o. b) 0 o. c) 6 o. d) 4 o. e) 7 o. Exercício 0. Se k 1,,,..., o número de valores distintos de cos kπ 7 é: a). b) 6. c) 8. d) 16. e) infinito. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
Respostas e Soluções. 1. Os arcos côngruos de 90 o são 90 o + 60 o k, k Z. Para k 1, temos 450 o côngruo de 90 o. Resposta C.. C.. Temos 11π temos o arco π côngruo de 11π + kπ, k Z. Para k 11π côngruo de. Resposta B. 4. Como 150 o pertence ao o quadrante, então, além dos côngruos de 150 o, temos os simétricos de 150 o no primeiro quadrante, que são 180 o 150 o 0 o e seus côngruos. Resposta E. b) Seja n Z, temos então: 5. Usando o triângulo retângulo abaixo como apoio, temos que, se sen α 1, então podemos utilizar medidas 1 e 5, 5 respectivamente, para o cateto oposto, em relação ao ângulo α, e hipotenusa. c) Seja n Z, temos: Utilizando o Teorema de Pitágoras encontramos que o cateto adjacente é 4 6. Portanto, cos α 6. Resposta A. 5 6. a) Temos: 7. a) A 90 o, B 90 o + 10 o 10 o e C 90 o + 10 o 0 o ou A π rad, B 7π 11π rad e C rad. 6 6 b) O 0 o, B 0 o + 7 o 7 o, M 0 o + 7 o 144 o, E 0 o + 7 o 16 o e P 0 o + 4 7 o 88 o ou O 0 rad, B π 5 rad, M 4π 5 rad, E 6π 5 rad e P 8π 5 rad. http://matematica.obmep.org.br/ 4 matematica@obmep.org.br
c) G 0 o, E 1 0 o + 45 o 75 o, O 0 o + 45 o 10 o, M 0 o + 45 o 165 o, E 0 o + 4 45 o 10 o, T 0 o + 5 45 o 55 o, R 0 o + 6 45 o 00 o e A 0 o + 7 45 o 45 o ou G π 6 rad, E 1 5π 1 rad, 8. O π R 5π 11π rad, M 1 rad, E 7π 6 π rad e A 1 rad. rad, T 17π 1 rad, a) 1.0 o 60 o + 150 o. Portanto, a primeira determinação positiva é 150 o e seus arcos côngruos são 150 o + 60 o k, k Z. b).160 o 6 60 o. Portanto, a primeira determinação positiva é 60 o e seus arcos côngruos são 60 o k, k Z. c) 7π π + π. Portanto, a primeira determinação 4 4 positiva é π 4 e seus arcos côngruos são π + kπ, k Z. 4 d) π π + 5π positiva é 5π.. Portanto, a primeira determinação 9. (Extraído da Vídeo Aula) Como x pertence ao o quadrante, então cos x é negativo. Agora, usando o triângulo retângulo abaixo como apoio, temos que, se sen x 6 5, então podemos utilizar medidas 6 e 5, respectivamente, para o cateto oposto, em relação ao ângulo x, e hipotenusa. 11. (Extraído da Vídeo Aula) Tomando 10 x 10, temos: 1. (sen a) + (cos a) 1 ( ) (x + ) + 10 x 1 x + 6x + 9 + 10 x 1 sen 6π + sen 7π sen 5π 6 sen 0 + sen π sen π 6 1. (Extraído da Vídeo Aula) 14. 0 1 1 6x 18 x.. sen x + sen(x) cos(4x) E sen (x) cos x sen 90o + sen 180 o cos 60 o sen 70 o cos 90 o 1 + 0 1 ( 1) 0 0. a) Existem dois conjuntos de arcos côngruos para os quais sen α 1. Chamando-os de α e α e k Z, temos: Utilizando o Teorema de Pitágoras encontramos que o cateto adjacente é 1. Portanto, cos x 1 b) Existem dois conjuntos de arcos côngruos para os quais cos α. Chamando-os de α e α e k Z, temos: 10. a) sen 1.080 o sen 0 o 0. b) cos 1.50 o cos 90 o 0. c) sen(.850 o ) sen 0 o 1. d) cos(.40 o ) cos 0 o 1. http://matematica.obmep.org.br/ 5 matematica@obmep.org.br
c) Existem dois conjuntos de arcos côngruos para os quais sen α. Chamando-os de α e α e k Z, temos: 18. (Extraído do CEFET - MG) AB AC cos(α + 180 o ) sen α cos α ( sen α ) 5π cos 6 ( ) 5π sen 6 cos 150 o sen 150 o cos 0 o sen 0 o 15. (Extraído da Vídeo Aula) Como α e ACB são suplementares, então sen α sen( ACB). Vamos utilizar 5 um outro triângulo para calcular cos α: 1. Resposta B. Sendo assim, cos α 4 5 40, donde AC 50. Por fim, AC temos sen α 5 AB, segue que AB 0. 50 16. (Extraído da Vídeo Aula) x ± 4 4 cos α ± 4(1 cos α) ± 4 sen α ± sen α 1 ± sen α. 17. (Extraído da UFMA) 1π 0π + π 4π + π 5 5 Portanto, o menor arco côngruo não negativo de 1π é π 5 Resposta A. 19. (Extraído da FUVEST - SP) Vamos supor inicialmente que os ponteiros estejam ambos apontando para o 1, ou seja, exatamente 1h. O ponteiro dos minutos vai girar por uma hora (uma volta completa) e o ponteiro das horas já está apontando para o 1, marcando exatamente 1h neste momento. O ponteiro dos minutos continuará girando por mais 1 min, o equivalente a um ângulo, em graus, de 6 1 7 o. O ponteiro das horas vai girar 0o 1 6 o graus, lembrando 60 que este último ponteiro já se encontrava 0 o afastado do ponto de partida. Assim, o ângulo agudo formado pelos ponteiros é 7 o 6 o 6 o. Resposta C. 0. (Extraído da Cesgranrio) Temos cos 0 cos π, para k 0 (supondo que pudesse) e k 14, respectivamente. Sendo assim, teremos valores de cosseno iguais para k 1 e k 15, para k e k 16 e assim por diante. Vamos agora analisar apenas k 1,,..., 14: por simetria no círculo trigonométrico, temos os mesmos valores para k 1 e k 1, k e k 1 e assim por diante, formando pares, com exceção de k 7 e k 14, que não formam pares. Sendo assim, são 6 + 1 + 1 8 valores distintos. Resposta C. http://matematica.obmep.org.br/ 6 matematica@obmep.org.br
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