Título NiuAleph 12 - Manual de Matemática para o 12º ano de Matemática A Autores Jaime Carvalho e Silva Joaquim Pinto Vladimiro Machado Capa e Design Elisa Silva Conceção Técnica Vítor Teodoro João Fernandes Imagens e fontes As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/) ou Creative Commons Attribution 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvolvidas pela GUST http://www.gust.org.pl/projects/e-foundry/lm-math/index_html ISBN 978-989-97839-0-4 Edição 1.ª edição/versão 1 Data 2012 Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é permitida a impressão deste ficheiro.
Índice geral Volume 1 Capítulo 1 É possível? É provável? Capítulo 2 Probabilidade Capítulo 3 Probabilidade condicionada Capítulo 4 Distribuição de probabilidades Volume 2 Capítulo 5 Análise Combinatória Capítulo 6 Triângulo de Pascal e Binómio de Newton Capítulo 7 Função exponencial Capítulo 8 Função logarítmica Volume 3 Capítulo 9 Teoria de Limites Capítulo 10 Cálculo Diferencial Capítulo 11 Aplicações do Cálculo Diferencial Capítulo 12 Teoremas elementares do Cálculo Diferencial (*) Volume 4 Capítulo 13 Funções trigonométricas Capítulo 14 A História dos números complexos Capítulo 15 A Álgebra dos números complexos Capítulo 16 A Geometria dos números complexos Capítulo 17 Demonstrações de Geometria usando números complexos (*)
Índice Capítulo 5 - Análise Combinatória 6 Arranjos completos 11 Arranjos simples 13 História(s) - Razões Indianas para se Estudar Matemática 16 Permutações 17 Modelo Binomial 22 Leitura(s) - Como escolher a namorada pelos horários do comboio suburbano 23 Síntese 24 Exercícios globais 26 Conselhos para os Exames n.º 5 28 Itens de exame 30 Prova global 38 Capítulo 6 - Triângulo de Pascal e Binómio de Newton 40 Binómio de Newton 45 História(s) - Origem da Análise Combinatória 47 História(s) - O Triângulo de Pascal é chinês 54 Leitura(s) - Ciência e Arte 55 Síntese 58 Exercícios globais 60 Conselhos para os Exames n.º 6 61 Itens de exame 62 Prova global 64 Capítulo 7 - Função exponencial 65 Crescimento exponencial 70 Propriedades da função exponencial 74
História(s) - Thomas Malthus e a demografia 77 Leitura(s) - Evolução da População Humana 79 Síntese 81 Exercícios globais 83 Conselhos para os exames n.º 7 87 Itens de exame 87 Prova global 90 Capítulo 8 - Função Logarítmica 91 Crescimento logarítmico 95 Escalas logarítmicas 96 Propriedades da função logarítmica 100 História(s) - História dos logaritmos 103 Escala de Richter 104 Leitura(s) - O que importa é a forma de refletir 107 Síntese 109 Exercícios globais 111 Conselhos para os exames n.º 8 114 Itens de exame 115 Prova global 120 Soluções 122
5. Análise Combinatória Quando estás zangado, conta até dez antes de falares. Se estás muito zangado conta até cem. Thomas Jefferson (1743-1826) Contagem Contagem maluca assim ninguém viu, um pouco difícil chegamos a mil. in Site de poesias, Nelson Moreira No cálculo da probabilidade de um acontecimento tivemos muitas vezes de contar um a um todos os casos em que esse acontecimento se verificava; isto equivale a contar pelos dedos, o que pode ser muito moroso e desanimador. Uma ideia interessante é encontrar técnicas que nos permitam contar sem ser pelos dedos. A área da Matemática que se dedica a estudar modos eficazes de efetuar uma contagem é a Análise Combinatória. Neste capítulo vamo-nos limitar a estudar algumas técnicas de contagem em conjuntos finitos. A Rádio Escola assegura a programação musical na Escola Secundária Anastácio da Cunha. Suponhamos que tu és responsável pela sua programação e que tens à tua disposição 5 músicas de bandas portuguesas e 3 de bandas estrangeiras. O problema vai ser o de saber quantos programas musicais diferentes vais poder apresentar com a música que tens à tua disposição. A situação ir-se-á complicando à medida que formos avançando, o que te vai permitir descobrir várias técnicas de contagem. Tarefa resolvida 1 Tr No intervalo entre o turno da manhã e o da tarde, que é de 5 minutos, apenas podes colocar uma música de entre as 5 músicas de bandas portuguesas e as 3 de bandas estrangeiras. De quantas formas podes fazer a tua escolha? Resolução Claro que a resposta é comuns a ambos os conjuntos., pois podes escolher qualquer das músicas e não existem músicas 6 5. Análise Combinatória
A não esquecer Quando tens de efetuar uma contagem que envolva apenas elementos de conjuntos distintos que não têm elementos comuns, basta adicionares o número de elementos de cada um. Tarefa 2 T Um restaurante oferece um menu especial formado apenas por água e um prato à escolha entre dois tipos de pratos: de frango (F1 frango assado, F2 frango de caril) e de porco (P1 porco no espeto, P2 Secredos de porco e P3 Porco grelhado). De quantos modos diferentes podem ser servidas estas refeições? Vejamos agora o que se passa com umas condições diferentes. Tarefa resolvida 3 Tr Passemos à programação da rádio num intervalo entre duas aulas. Para isso tens ao teu dispor 5 músicas de bandas portuguesas e 3 músicas de bandas estrangeiras. Como o intervalo não é muito grande só podes passar uma música de uma banda portuguesa seguida de uma de uma banda estrangeira. De quantos maneiras o podes fazer? Resolução Com o traçado de um diagrama de árvore vamos conseguir resolver facilmente o problema. Para simplificar vamos designar as músicas portuguesas por P1, P2, P3, P4 e P5 e as músicas estrangeiras por E1, E2 e E3. Obtemos o seguinte diagrama, conforme a primeira música for P1, P2, P3, P4 ou P5: Radio Viking por Per Ola Wiberg, http://www.flickr.com/photos/43446613@n00/1620506715 P1 P2 P3 P4 P5 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 5. Análise Combinatória 7
Feita a contagem ( pelos dedos ) obtemos 15 maneiras de passar duas músicas no intervalo, sendo a primeira uma das 5 músicas portuguesas e a segunda uma das 3 músicas estrangeiras. Uma alternativa à construção do diagrama de árvore é a construção de uma tabela de dupla entrada, onde cada quadrículo representa uma possibilidade para a ordem de passagem das músicas: Primeira Segunda P1 P2 P3 P4 P5 E1 P1,E1 P2,E1 P3,E1 P4,E1 P5,E1 E2 P1,E2 P2,E2 P3,E2 P4,E2 P5,E2 E3 P1,E3 P2,E3 P3,E3 P4,E3 P5,E3 Agora contamos ( pelos dedos ) também 15 maneiras de combinar os dois tipos de músicas. Podes escolher o método que achares mais prático, mas obterás sempre o mesmo resultado, claro. Com um método ou com outro estamos na realidade a procurar pares ordenados (uma música primeiro e depois outra) de elementos de dois conjuntos (o primeiro conjunto é o das músicas portuguesas e o segundo conjunto o das músicas estrangeiras). Tínhamos 5 possibilidades para o primeiro elemento do par e 3 possibilidades para o segundo elemento do par; no total temos 5 3 =15 possibilidades. Este é um raciocínio válido sempre que escolhermos elementos sucessivamente de vários conjuntos. Princípio básico da Análise Combinatória Para pares ordenados: Se queres saber quantos pares ordenados consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses e para o segundo elemento do par tens n hipóteses, então o número total de pares ordenados é dado por. O que fizemos para pares ordenados podemos fazer para ternos ordenados: Princípio básico da Análise Combinatória Para ternos ordenados: Se queres saber quantos ternos ordenados consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses, para o segundo elemento do par tens n hipóteses e para o terceiro elemento do par tens p hipóteses, etc., então o número total de ternos ordenados que podes formar é dado por m n p. Mais geralmente podemos enunciar o 8 5. Análise Combinatória
Princípio básico da Análise Combinatória Sejam, conjuntos de cardinalidades (número de elementos), respectivamente. A cardinalidade (número de elementos) m do produto cartesiano é dada pelo produto das cardinalidades dos conjuntos que o constituem, isto é. Tarefa resolvida 4 Tr Quantos números diferentes de três algarismos podemos obter ao lançar três dados, com as faces numeradas de 1 a 6, um verde, um azul e outro vermelho, sabendo que o dado verde corresponde às centenas, o dado azul corresponde às dezenas e o dado vermelho às unidades do número a obter? Resolução Cada número obtido corresponde a um terno ordenado: o dígito das centenas é o primeiro elemento do terno, o segundo dígito o segundo elemento do terno e o terceiro dígito é o terceiro elemento do terno ordenado. Como cada um dos dados está numerado de 1 a 6, temos 6 hipóteses para cada elemento do terno e assim o número total de resultados é resultados. A não esquecer Se o resultado pretendido corresponde a escolher elementos de forma ordenada de três conjuntos (iguais ou diferentes) então o número total de escolhas é dado pelo produto do número de elementos (cardinalidade) de cada conjunto. 5. Análise Combinatória 9
Tarefa 5 T Um restaurante oferece um menu especial formado por duas sopas diferentes (S1 - sopa de legumes e S2 - creme de marisco), e por três pratos principais (P1 - frango assado, P2 - febras de porco e P3 - peixe grelhado). De quantos modos diferentes podem ser servidas estas refeições? (adaptado de brochura Probabilidades e Combinatória, ME-DES, 1999) Exercícios 1. A Joana tem no roupeiro, 6 blusas, 3 saias e 3 pares de ténis. De quantas maneiras diferentes se pode vestir? 2. Existem 4 estradas diferentes que ligam as cidades A e B, 3 estradas diferentes que ligam as cidades B e C e 2 estradas diferentes que ligam as cidades A e C. Todas as estradas são distintas entre si. 2.1 De quantas formas diferentes se pode ir de A para C via B? 2.2 Quantas formas diferentes existem, no total, para ir de A para C? 2.3 Quantas formas diferentes existem para ir de A para C e voltar? 3. Num restaurante são servidas refeições, a preço fixo, constituídas por uma sopa, um prato principal e uma sobremesa. A escolha pode ser feita entre 3 sopas, 4 pratos principais e 2 sobremesa. De quantos modos diferentes posso escolher uma refeição? 10 5. Análise Combinatória
Arranjos completos Vejamos agora um problema diferente com a Rádio Escola da Escola Secundária Anastácio da Cunha. Tarefa resolvida 5 Tr Num dos dias em que tinhas de gerir a música no intervalo tinhas só as 5 músicas de bandas portuguesas. Além do mais precisavas de ir à secretaria da escola pelo que usaste o aparelho de reprodução automática para passar as 3 músicas no intervalo. Como o aparelho de reprodução automática permite repetições, de quantas maneiras podem ter passado as 3 músicas? Resolução Para a primeira música existem 5 músicas possíveis, para a segunda existem na mesma 5 músicas possíveis pois é possível repetir a mesma música e para a terceira existem também 5 músicas possíveis. Usando o Princípio Básico da Análise Combinatória podemos concluir imediatamente (sem contar pelos dedos ) que o número de modos de passarem as músicas é de 5 5 5 = 125. DCS Paganini por J Iannone, http://www.flickr.com/photos/jiannone/1579677512/ Arranjos completos - Quando, de um conjunto com n elementos, escolhemos p elementos admitindo repetições, dizemos que estamos em presença de arranjos completos (com repetição). Representamos por, o número total de arranjos completos (com repetição) que podemos formar com p elementos escolhidos entre os n elementos dados. De acordo com o Princípio Básico da Análise Combinatória temos a fórmula:. Tarefa resolvida 6 Tr Para desbloqueares o teu telemóvel necessitas de um número constituído por quatro algarismos. a) Se te esqueceres da combinação qual o número máximo de tentativas que tens de realizar? b) E se demorares 3 segundos a realizar cada uma das tentativas, qual será o tempo máximo gasto 5. Análise Combinatória 11
em horas minutos e segundos? Resolução a) Existem dez algarismos e temos de encontrar um conjunto de quatro deles sabendo que podem ser repetidos os algarismos. Ou seja, estamos perante arranjos completos de 10 elementos escolhidos 4 a 4. Donde, isto é, temos de no máximo realizar 10000 tentativas. b) Demorando 3 segundos a testar cada uma das 10000 tentativas, o tempo gasto será de 3 10000 = 30000 segundos, ou seja, 8 horas e 20 minutos. A não esquecer Para reconhecer que se trata de um arranjo completo é preciso identificar que pretendemos escolher p elementos e podemos fazer essa escolha de um conjunto com n elementos, sendo permitidas repetições. Tarefa 7 T Uma pessoa tem três possibilidades de ir para o trabalho: a pé, de metro ou de carro. De quantas maneiras diferentes é que ela pode viajar durante os cinco dias da semana? (adaptado de brochura Probabilidades e Combinatória, ME-DES, 1999) Exercícios 4. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9? 5. Admitindo que a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino é igual à de nascer uma criança do sexo feminino. Quantas são as possíveis composições de uma família de 5 filhos? 6. Num teste existem 5 questões de escolha múltipla, cada uma delas com quatro possibilidades de resposta. De quantas formas diferentes pode um aluno responder a esta parte do teste, sabendo que responde a todas as questões? 12 5. Análise Combinatória
Arranjos simples Vejamos outro problema com a Rádio Escola da Escola Secundária Anastácio da Cunha. Tarefa resolvida 8 Tr Continuemos a nossa tarefa de gerir a programação da Rádio Escola. Desta vez tens apenas as 5 músicas de bandas portuguesas, e só podes passar 3 dessas músicas durante o intervalo, sem repetires músicas. De quantas escolhas distintas podes realizar o intervalo musical? Resolução Um modo de realizar esta contagem é através de um diagrama. Designemos as músicas por M1, M2, M3, M4 e M5. Se a música M1 passar em primeiro lugar, a segunda música apenas pode ser escolhida entre M2, M3, M4 ou M5. Se a música M1 passar em primeiro lugar e a música M2 passar em segundo lugar, a terceira música apenas pode ser escolhida entre M3, M4 ou M5. M5 M4 M3 M2 M1 M5 M4 M3 M2 M5 M4 M3 Assim, temos 5 escolhas para a primeira música, para cada uma dessas escolhas temos 4 escolhas para a segunda música e para cada uma dessas escolhas temos 3 escolhas para a terceira música e assim o número total de arranjos possíveis de músicas é de 5 4 3 = 60. Claro que podemos pensar sem elaborar o diagrama. Para primeira música há 5 resultados possíveis. A segunda música já só tem 4 resultados possíveis e para terceira música só temos 3 resultados possíveis. Assim, os resultados possíveis serão no total 5 4 3 = 60. O que fizemos foi calcular o número de sequências de três músicas distintas de um conjunto de 5 músicas dadas, sem permitir repetições. Este tipo de contagem designa-se por arranjos simples e representa-se por que se lê arranjos simples de 5 elementos tomados três a três. Assim, obtemos a fórmula: 5. Análise Combinatória 13
Arranjos simples - Em geral dado um conjunto de n elementos o números de arranjos simples (sem repetição) de p desses elementos é igual ao produto dos p números naturais consecutivos, por ordem decrescente, a partir de n. Assim, podemos escrever a fórmula:. Tarefa resolvida 9 Tr Temos vários rolos de tecido cada um com uma das 7 cores do arco íris. Quantas bandeiras diferentes de 3 faixas horizontais podemos fazer? Resolução Para respeitarmos o enunciado não podem existir duas faixas consecutivas com a mesma cor. Assim, as bandeiras ou são constituídas por três faixas horizontais de cores todas diferentes, ou têm apenas duas cores sendo as faixas superior e a inferior da mesma cor. Rainbow por mcol, http://openclipart.org/detail/5455/rainbow-by-mcol No primeiro caso das três faixas de cor diferente a ordem pela qual aparecem as cores conduz a bandeiras diferentes. Assim, trata-se de saber quantos conjuntos de 3 cores se podem constituir a partir de 7 cores, em que a ordem interessa. Portanto são. No segundo caso de as faixas superior e inferior terem a mesma cor, claro que aqui a ordem da cor da faixa central e da cor faixas superior e inferior conduzem as ter bandeiras diferentes. Assim, trata-se de saber quantos conjuntos de duas cores se podem constituir em que a ordem interessa. Portanto são. O total de bandeiras que podemos fazer é. 14 5. Análise Combinatória
A não esquecer Para reconhecer que se trata de um arranjo simples é preciso descobrir que pretendemos escolher um certo número de elementos, que podemos fazer essa escolha de um conjunto com um número dado de elementos e que não são permitidas repetições. Tarefa 10 T Numa turma com 20 alunos a Diretora de Turma quer escolher três para os três cargos de delegado, sub-delegado e suplente. De quantas maneiras distintas é que ela pode fazer essa escolha? (adaptado de brochura Probabilidades e Combinatória, ME-DES, 1999) Exercícios 7. Numa turma com 24 alunos vão ser eleitos dois alunos, um para delegado e o outro para subdelegado. Quantos são os resultados possíveis da eleição? 8. Numa prova de atletismo participam 6 atletas, que concorrem para as três medalhas (ouro, prata e bronze). De quantas formas pode ser feita a distribuição das medalhas? 9. Com os algarismos do conjunto constituído pelos números 1,2,3,4,5 e 6, quantos números de 3 algarismos diferentes podemos escrever? 5. Análise Combinatória 15
História(s) H Razões Indianas para se Estudar Matemática Por que é que os estudiosos indianos desde há muito tempo se interessaram de alguma forma pela matemática? Podemos obter algumas respostas a esta pergunta olhando para o tipo de problemas incluídos nos seus trabalhos, embora muitos desses problemas não sejam, de modo nenhum, práticos. Por exemplo: Três comerciantes encontram uma bolsa com dinheiro caída na estrada. Um comerciante diz: Se eu ficar com a bolsa, terei duas vezes mais dinheiro que vocês os dois juntos. Dêm-me a bolsa e eu terei três vezes mais do que vocês, disse o segundo comerciante. O terceiro comerciante disse: Eu vou ficar muito mais rico do que qualquer um de vocês se ficar com a bolsa, vou ter cinco vezes mais do que vocês os dois juntos. Quanto dinheiro está na bolsa? Quanto dinheiro é que cada comerciante tem? Uma resposta mais geral a esta questão encontra-se na introdução ao livro Ganita Sara Samgraha (Compêndio sobre a Essência da Matemática) de MahãvIra (séc IX). Este Matemático indiano escreveu um tratado contendo toda a Matemática conhecida na sua época, incluindo também algumas inovações, nomeadamente na contagem de permutações e combinações. Nesse livro escreveu: Em todas estas transações que se relacionam com assuntos correntes, védicos ou... religiosos, o cálculo tem a sua utilidade. Na ciência do amor, na ciência da riqueza, na música, no drama, na arte da cozinha e, semelhantemente, na medicina e em coisas como o conhecimento da arquitetura; na prosódia, na poética, na poesia, na lógica, na gramática, e em outras coisas tais... a ciência da computação é altamente estimada. É utilizada... na relação com os movimentos do Sol e outros corpos celestes, em conexão com os eclipses e conjunção de planetas.... O número, o diâmetro e o perímetro das ilhas, oceanos e montanhas, as dimensões extensas de filas de habitações e casas pertencendo aos habitantes do mundo... tudo isto é feito por meio de cálculos. (adaptado de História da Matemática de Victor J. Katz) 16 5. Análise Combinatória
Permutações Vejamos ainda outro problema com a Rádio Escola da Escola Secundária Anastácio da Cunha. Tr Tarefa resolvida 11 Voltemos à nossa programação da rádio: agora tens só as 3 músicas de bandas estrangeiras; de quantas formas as podes passar todas durante o intervalo sem as repetires? Resolução Como podemos escolher 3 músicas de um conjunto de 3 músicas sem as repetir estamos em presença de arranjos simples com 3 elementos tomados 3 a 3, pelo que o número de formas de passar as 3 músicas é dado por Este caso é um caso particular dos arranjos simples pois tratamos de determinar todos os arranjos sem repetição de todas as músicas disponíveis. A este tipo de cálculo, que envolve todos os elementos de um conjunto dado, chamamos permutação dos elementos do conjunto e representamos por.. que se lê permutações de 3 elementos. Assim, Rock n Roll Guitarist por Amarvudol, https://commons.wikimedia.org/wiki/file:rocknrollguitarist.svg Naturalmente que as permutações são sempre um caso particular dos arranjos simples em que estão envolvidos todos os n elementos de um conjunto. Assim, temos que A este último produto chama-se fatorial de n e escreve-se n! Podemos dizer que o fatorial de n conta o número de maneiras de ordenar todos os elementos de um conjunto com n elementos (sem repetições). Representa assim o número de permutações que é possível fazer com n elementos distintos. Tem-se então.. 5. Análise Combinatória 17
Permutações Dado um conjunto de n elementos chamam-se permutações dos n elementos aos arranjos desses elementos, n a n, o que se escreve como. Tarefa resolvida 12 Tr De um baralho de cartas retiram-se 3 reis, 2 damas e 4 valetes. De quantas maneiras podemos dispor em fila as 9 cartas sabendo que as do mesmo tipo ficam sempre juntas? Resolução Os 3 reis podem ser dispostos de 3! maneiras, podemos dispor as damas de 2! maneiras e dispor os valetes de 4! maneiras. Ou seja, para uma ordenação em que estejam primeiro os reis, seguidos das damas e dos valetes temos 3! 2! 4! maneiras. Mas o conjunto dos reis, das damas e dos valetes podem trocar de posição entre si de 3! maneiras (são permutações de 3 grupos), logo existem 3! 2! 4! 3! = 1728 maneiras de dispor as 9 cartas em fila nas condições enunciadas. A não esquecer Estamos em presença de uma permutação se pretendemos ordenar todos os elementos de um conjunto (sem repetições). Tarefa 13 T Numa turma com 20 alunos a Diretora de Turma quer escolher uma Comissão de festas com três elementos. De quantas maneiras distintas é que ela pode fazer a escolha? 18 5. Análise Combinatória
Exercícios 10. De quantos modos se podem dispor em fila 5 pessoas para tirar uma fotografia? 11. De quantos modos podes colocar 4 pulseiras distintas no teu braço direito? 12. Quantos números de três algarismos podemos escrever com os algarismos do número 425? Combinações Voltemos mais uma vez à nossa Rádio Escola. Tarefa resolvida 14 Tr Desta vez tens um pedido dos teus colegas para que passes num dado intervalo quaisquer três músicas das 5 que tens de bandas portuguesas sem que lhes importe a ordem como as vais emitir. De quantos modos o podes realizar? Resolução Esta tarefa é semelhante à da tarefa 8. A diferença está no fato de antes interessar a ordem e agora não contar a ordem por que são apresentadas as músicas. Na tarefa 8 as duas sequências seguintes M 1, M 2, M 3 M 1, M 3, M 2 eram consideradas diferentes mas agora já são iguais (ou indiferentes ). Ou seja, para cada conjunto de sequências de 3 músicas da tarefa 8, apenas nos interessa um caso neste novo contexto. Temos portanto de dividir cada sequência distinta da tarefa 8 pelo número de elementos de cada conjunto de músicas (que corresponde a permutações de 3 elementos). Assim, o valor é pretendido é:. http://openclipart.org/detail/164299/elvis-by-luchapress Tens assim apenas 10 modos de passar 3 músicas. 5. Análise Combinatória 19
Neste caso procurámos determinar todos os arranjos desordenados de todas as músicas disponíveis. No essencial o que estivemos a fazer foi considerar sequências de 3 elementos escolhidos de um conjunto de 5 em que não nos interessa a ordem. Combinações Chamamos combinações a um qualquer subconjunto de p elementos escolhidos de um conjunto com n elementos em que a ordem não interessa. As combinações representam-se por ou ou ainda que se lê combinações de n elementos tomados p a p. Claro que encontrar um modo que nos facilite os cálculos é um aspeto a considerar; vejamos com o que acabamos de verificar o que conseguimos obter. Temos que Mas podemos obter uma fórmula mais simples se observarmos que Assim, uma fórmula simplificada para o cálculo das combinações é: Tarefa resolvida 15 Tr No Euromilhões de 2010 cada aposta consistia em escolher 6 números dos primeiros 50 números e duas estrelas de entre 9 numeradas de 1 a 9. Quantas são as apostas possíveis? Resolução Dos 50 números temos de escolher 6; como não interessa a ordem temos que as escolhas são 20 5. Análise Combinatória
Para a escolha das estrelas, como também não interessa a ordem, as escolhas são. Assim, para cada escolha dos números temos escolhas para as estrelas, donde, pelo princípio básico da Análise Combinatória, o número total de apostas é de A não esquecer. apostas. Para reconhecer que se trata de uma combinação é essencial concluir que a ordem não interessa. Rollover por Garry Knight, http://www.flickr.com/photos/garryknight/5754089875/ Tarefa 16 T Numa turma com 20 alunos a Directora de Turma quer escolher uma Comissão de festas com três elementos. De quantas maneiras distintas é que ela pode fazer a escolha? Exercícios 13. De quantos modos se pode escolher uma comissão de 3 alunos de uma turma de 24 alunos? 14. Com os números 2, 3, 5, 7 e 11 quantos produtos diferentes de três fatores diferentes existem? 15. Considera sete pontos do plano, em que não há três pontos colineares. Quantas retas ficam definidas por esses pontos? 5. Análise Combinatória 21
Modelo Binomial No capítulo 4 quando estudámos a Distribuição Binomial vimos que se a variável aleatória X tem Distribuição Binomial de parâmetros n e p, então para onde representa o número de vezes em que temos sucessos e insucessos. Não podíamos na altura apresentar uma fórmula simples para mas agora já podemos fazê- -lo como aplicação do nosso estudo da Análise Combinatória. Este número representa o números de vezes em que podemos formar um grupo com elementos a partir de n elementos; como a ordem não interessa estamos em presença de combinações; será então Podemos então dizer que a Distribuição Binomial de parâmetros n e p da variável aleatória X se pode escrever como Tarefa resolvida 17 Tr Sabe-se que numa determinada escola 70% dos estudantes votaram a favor da Associação de Estudantes eleita, 5% votaram contra e 25% abstiveram-se. Qual a probabilidade de num grupo de 8 alunos, escolhidos ao acaso (a) 5 terem votado? (b) 2 terem-se abstido? (c) 5 terem votado a favor? Resolução Estamos em presença de distribuições binomais; em cada caso é preciso determinar uma probabilidade de sucesso e de insucesso do acontecimento pretendido. a) Como queremos ver quem votou e quem não votou, temos que p = 0,75 e 1 p = 0,25. A distribuição de probabilidades neste caso será pelo que b) c) (adaptado de brochura Probabilidades e Combinatória, ME-DES, 1999) 22 5. Análise Combinatória
Leitura(s) Como escolher a namorada pelos horários do comboio suburbano Le João amava Lúcia que amava João. Só que João além de amar Lúcia também amava Letícia e tentava namorar as duas ao mesmo tempo. Durante a semana, até que dava, mas quando chegava ao sábado à noite era terrível. As duas queriam João e este não possuía o dom da presença ao mesmo tempo em dois lugares. Assim, alternadamente ou Lúcia ou Letícia ficavam sem sair com o João, nos embalos de sábado à noite. HONESTO (?), João decidiu contar à Lúcia a existência de Letícia e à Letícia sobre Lúcia. Claro que houve choros e lamúrias de todos os lados. E João continuou dividido, sem saber como escolher entre as duas. É importante acrescentar aqui um detalhe: João morava próximo de uma estação ferroviária de um subúrbio. Para visitar Lúcia, João tomava comboios que iam no sentido da direita a cada meia hora, e para visitar Letícia, João tomava comboios que iam para a esquerda a cada meia hora também. Quanto a horários não havia dúvidas. Comboios para cada lado de meia em meia hora. Mas voltemos à dúvida existencial afetiva do nosso amigo João. Como escolher entre Lúcia e Letícia? A solução foi dada por Letícia que era professora de Matemática. Letícia propôs a João um critério justo, equilibrado, salomónico para escolher quem ir namorar. A proposta foi: João sairia de casa sem saber com quem se iria encontrar. Ao chegar à estação tomaria o primeiro comboio que passasse, fosse para a direita, fosse para a esquerda. Proposta aceite. João começou a usar esse critério aparentemente justo e aleatório. Depois de usar o critério durante cerca de três meses, descobriu que visitara a Letícia muito mais do que a Lúcia, e se a sorte quis assim ficou com Letícia e com ela se casou sem nunca haver entendido porque a sorte a privilegiara tanto. Só nas bodas de prata do seu casamento é que a Letícia contou ao João a razão do mistério, de o comboio a ter escolhido a ela preferencialmente à concorrente. Letícia estudara os horários dos comboios e verificara que os horários eram: Última chamada para o suburbano por Antero Pires, http://www.flickr.com/photos/anttails/5024374718 Letícia 8h00 8h30 Lúcia 8h05 8h35 5. Análise Combinatória 23
Letícia 9h00 9h30 COMBOIOS P/ ESQUERDA Lúcia 9h05 9h35 COMBOIOS P/ DIREITA Desta forma, em qualquer intervalo de 30 minutos, a probabilidade de João tomar o comboio que vai para a esquerda é de 25/30 e para a direita é de 5/30. No amor como na guerra tudo vale..., até usar Matemática. (adaptado de um texto de Manuel Henrique C. Botelho) Síntese O essencial passado em revista O seguinte princípio é de utilização frequente, embora por vezes não pareça: Princípio básico da Análise Combinatória Para pares ordenados: O número total de pares ordenados que consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóteses e para o segundo elemento do par tens n hipóteses, é dado por m x n. Formulação geral: Sejam, conjuntos de cardinalidades (número de elementos), respectivamente. A cardinalidade (número de elementos) m do produto cartesiano é dada pelo produto das cardinalidades dos conjuntos que o constituem, isto é Arranjos Completos Quando, de um conjunto com n elementos, escolhemos p elementos admitindo repetições, dizemos que estamos em presença de arranjos completos (com repetição). Representamos por, o número total de arranjos completos (com repetição) que podemos formar com p elementos escolhidos entre os n elementos dados. De acordo com o Princípio Básico da Análise Combinatória temos a fórmula:.. 24 5. Análise Combinatória
Arranjos Simples Em geral dado um conjunto de n elementos o números de arranjos simples (sem repetição) de p desses elementos é igual ao produto dos p números naturais consecutivos, por ordem decrescente, a partir de n. Assim, podemos escrever a fórmula: Permutações Dado um conjunto de n elementos chamam-se permutações dos n elementos aos arranjos desses elementos, n a n, o que se escreve como. Combinações Chamamos combinações a um qualquer subconjunto de p elementos escolhidos de um conjunto com n elementos em que a ordem não interessa. As combinações representam-se por ou ou ainda que se lê combinações de n elementos tomados p a p: 5. Análise Combinatória 25
Exercícios globais Pratica Eg 1. Num saco há 6 bolas de cores distintas. Calcula de quantas maneiras podemos retirar duas bolas se a extração se realiza: 1.1 De modo simultâneo 1.2 De modo sucessivo. 2. Um teste de escolha múltipla consta de 40 questões das quais se tem de responder a 30. Sabendo que as 10 primeiras são obrigatórias, de quantas distintas podemos responder ao teste? 3. De quantos modos diferentes se podem colocar dois anéis diferentes nos dedos mínimo, anelar e médio de ambas as mãos, não ficando nunca dois anéis no mesmo dedo. 4. Quantos pares diferentes se podem formar com 4 rapazes e 5 raparigas, sendo cada par constituído por um rapaz e uma rapariga? 5. De quantas maneiras diferentes se podem sentar 3 pessoas num banco de cinco lugares? E num banco de três lugares? 6. Com os algarismos 2, 4, 5, 6, 7 quantos números ímpares representados com três algarismos diferentes se podem escrever? 7. Quantos números, de algarismos todos diferentes, há entre 100 e 1000? 8. De quantos modos podemos misturar 8 cores distintas? 9. De quantos modos diferentes, podemos extrair 10 cartas de um baralho de 40 cartas, de modo a saírem sempre 3 reis e duas damas? 10. Com 7 teclas de um piano, correspondentes às 7 notas musicais, de quantos modos diferentes podemos tocar duas delas: 10.1 uma a seguir à outra. 10.2 simultaneamente. Pensa e Resolve 11. Numa empresa com 100 trabalhadores, 68 homens e 32 mulheres, quer-se formar uma comissão de festas de 5 membros, na qual devem figurar pelo menos 2 mulheres. De quantas maneiras e pode formar a comissão? Piano keys por chloester, http://www.flickr.com/photos/etherealdawn/4000020864/ Two rings por Count Rushmore, http://www.flickr.com/photos/countrushmore/1447205451/ 26 5. Análise Combinatória
12. Quantos produtos distintos de três fatores diferentes se pode obter com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9? 13. Uma escola tem 23 turmas e 55 professores. Dos professores, 4 não podem ser diretores de turma, e dos restantes, só 15 podem ser diretores de turma do secundário. Sabendo que existem 6 turmas do secundário, de quantos modos podem ser repartidas as direções de turma? 14. De quantas maneiras é possível tocar sucessivamente os 92 sinos dos dois carrilhões do Convento de Mafra? 15. Consideremos 10 pontos no plano, 3 dos quais são colineares. Quantas retas se obtêm unindo esses 10 pontos, dois a dois? 16. No início de uma reunião cada um dos participantes cumprimentou cada um dos outros com um aperto de mão. Ao todo foram dados 78 apertos de mão. Quantos eram os participantes? 17. De um conjunto de 14 livros, a Vera pretende levar para férias, 6 livros. De quantas maneiras pode efetuar a escolha de modo a: 17.1 incluir sempre um determinado livro? 17.2 excluir sempre um determinado livro? 18. Quantos números de 7 algarismos se podem escrever com 3 algarismos pares e quatro ímpares diferentes? Reflete 19. Na sala do professor Eis Perto existem dez alunos. Certo dia, o professor resolveu escolher três dos alunos para resolver um problema muito difícil. A pergunta é: De quantas maneiras ele pode fazer isto? Joãozinho, o aluno mais dedicado da sala respondeu da seguinte forma: Temos 10 maneiras de escolher o primeiro, 9 de escolher o segundo e 8 para o terceiro. Logo, temos 10 9 8 = 720 maneiras de escolher um trio de alunos. O Joãozinho estará correto? 20. De quantas maneiras pode ser formada uma comissão com 4 homens e 6 mulheres: 20.1 Com pelo menos 2 homens e pelo menos o dobro de mulheres do que de homens? 20.2 A comissão tem 4 membros, dos quais pelo menos dois são mulheres e o Sr. e a Srª. Silva não podem estar juntos? Mafra convento por Francisco Antunes, http://www.flickr.com/photos/franciscoantunes/1459725039 5. Análise Combinatória 27
21. Determina uma expressão que permita determinar o número de diagonais de um polígono convexo de n lados. 22. As diagonais espaciais de um cubo são 4 e a sua contagem é simples. Quantas diagonais tem um dodecaedro regular? 23. O Pedro tem um certo número de amigos e convida todas as noites, durante um ano (365 noites), grupos diferentes de 4 amigos para ir a sua casa. Qual é o número mínimo, n, de amigos que o Pedro precisa de ter? 24. Formandos e dispostos por ordem crescente todos os números inteiros que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 3, 5, 8, que lugar ocupa nessa sucessão o número 52183? 25. De todos os números maiores que 500000 e menores que 1500000, quantos não têm nenhum algarismo 3? Conselhos para os Exames n.º 5 Como resolver questões de Análise Combinatória Nestas questões, é essencial identificar se nas sequências de elementos que são pedidas a ordem interessa ou não. Isto exige uma análise cuidada do problema enunciado. O enunciado deve por isso ser lido e relido. Nos problemas mais complexos pode ser necessário decompor o problema dado em vários pequenos problemas. Em cada um destes problemas mais pequenos a situação pode variar muito, podendo nuns interessar a ordem e noutros não. Em qualquer caso, identificar se a ordem interessa ou não é a chave para a resolução do problema proposto. Podemos ver isso no seguinte esquema: Compound of dodecahedron and first stellation of icosahedron por fdecomite, http://www.flickr.com/photos/fdecomite/3603254667/ A ordem interessa? Sim Não Arranjos Combinações Se a ordem interessa então estaremos em presença de Arranjos (completos, simples ou permutações). Se a ordem não interessa então são sempre Combinações. Os Arranjos de n elementos p a p podem por sua vez ser de vários tipos, conforme se podem repetir os elementos dados ou não: Arranjos com repetição? Sim Arranjos completos Não Arranjos simples ou permutações 28 5. (n Análise = p) Combinatória
Não Combinações Arranjos com repetição? Sim Arranjos completos Não Arranjos simples ou permutações (n = p) Se podemos repetir os n elementos dados então estamos em presença de Arranjos Completos, caso contrário serão Arranjos Simples (ou Permutações no caso em que n = p). 5. Análise Combinatória 29
Itens de exame Ie Escolha Múltipla 1. A Maria gravou nove CD, sete com música rock e dois com música popular, mas esqueceu-se de identificar cada um deles. Qual é a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, um ser de música rock e o outro ser de música popular? (A) 7 18 (B) 2 9 (C) 1 4 (D) 7 36 2. Admite que um estudante tem de realizar dois testes no mesmo dia. A probabilidade de ter classificação positiva no primeiro teste é 0,7, a de ter classificação positiva no segundo teste é 0,8, e a de ter classificação negativa em ambos os testes é 0,1. Qual é a probabilidade de o estudante ter negativa no segundo teste, sabendo que teve negativa no primeiro teste? (A) 1 2 (B) 1 3 (C) 1 7 (D) 1 8 3. De um baralho com 40 cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros, Espadas e Paus), em que cada naipe contém um Ás, uma Dama, um Valete, um Rei e seis cartas (do Dois ao Sete), foram dadas sucessivamente, ao acaso, seis cartas a um jogador, que as coloca na mão, pela ordem que as recebe. Qual é a probabilidade de o jogador obter a sequência 2-4 - 6 7 Dama Rei, nas cartas recebidas? (A) 46 (B) 4 6 (C) 1 (D) 40 A 6 40 C 6 40 A 6 1 40 C 6 4. O código de acesso a uma conta de e-mail é constituído por quatro letras e três algarismos. Sabe-se que um código tem quatro letras a, dois 5 e um 2, como, por exemplo, o código 2aa5a5a Quantos códigos diferentes existem nestas condições? (A) 105 (B) 210 (C) 5040 (D) 39 5. Para assistirem a um espetáculo, o João, A Margarida e cinco amigos sentam-se, ao acaso, numa fila com sete lugares. 30 5. Análise Combinatória
Qual é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro? (A) 2 5! 7! (B) 5! 7! (C) 2 7 (D) 5 7 6. Numa caixa com 12 compartimentos, pretende-se arrumar 10 copos, com tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento, pode ser arrumado apenas um copo. De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa? (A) 12 A 7 3! (B) 12 A 7 5 C 3 (C) 12 C 7 5 A 3 (D) 12 C 7 12 A 3 7. Lança-se cinco vezes consecutivas um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e regista-se, em cada lançamento, o número inscrito na face voltada para cima. Considera os acontecimentos seguintes. I: sair face ímpar em exatamente dois dos cinco lançamentos ; J: sair face 4 em exatamente dois dos cinco lançamentos. Qual dos acontecimentos seguintes é mais provável: (A) acontecimento I (C) acontecimento J (B) acontecimento (D) acontecimento 8. Ao disputar um torneio de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabe- -se que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é 0,8. Qual a probabilidade de o João acertar sempre no alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar? (A) 0,0016 (B) 0,0064 (C) 0,0819 (D) 0,4096 9. Uma caixa A contém duas bolas verdes e uma bola amarela. Outra caixa B contém uma bola verde e três bolas amarelas. As bolas colocadas nas caixas A e B são indistinguíveis ao tacto. Lança-se um dado cúbico perfeito, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair o número 5, tira- -se uma bola da caixa A; caso contrário tira-se uma bola da caixa B. Qual a probabilidade de a bola retirada ser verde, sabendo que saiu o número 5 no lançamento do dado? (A) 1 4 (B) 1 3 (C) 3 7 (D) 2 3 10. Admite que a variável peso, expressa em gramas, das maçãs de um pomar é bem modelada por uma distribuição normal N(60;5), em que 60 é o valor médio e 5 é o valor do desvio padrão da distribuição. 5. Análise Combinatória 31
Retira-se, ao acaso, uma dessas maçãs. Considere os acontecimentos: A: o peso da maçã retirada é superior a 66 gramas B: o peso da maçã retirada é inferior a 48 gramas Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) P(A) + P(B) = 1 (C) P(A) < P(B) (B) (B) P(B) < P(A) (D) P(A) = P(B) 11. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte: 0 1 2 3 2a a Qual das igualdades seguintes é verdadeira, considerando os valores da tabela? (A) P(X = 0) = P(X > 1) (B) P(X = 0) = P(X = 2) (C) P(X = 0) = P(X = 3) (D) P(X < 2) = P(X = 3) 12. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte: 0 1 2 3 4 5 2a a b b b Sabe-se que: a e b são números reais Qual o valor de b? (A) 1 10 (B) 4 15 (C) 7 30 (D) 1 5 32 5. Análise Combinatória
Resposta Aberta 13. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos tais que e, com Mostra que P A B B ( ) = P A B 14. Considera as 13 cartas do naipe de copas: ás, três figuras (rei, dama e valete) e mais nove cartas (do 2 ao 10). 14.1 As cartas vão ser dispostas, ao acaso, sobre uma mesa, lado a lado, de modo a formarem uma sequência de 13 cartas. Determina o número de sequências diferentes que é possível construir, de modo que as três figuras fiquem juntas. 14.2 Determina a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, 4 das 13 cartas do naipe de copas, obter pelo menos duas figuras. Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. 15. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis (A Ω e B Ω). 15.1 Prova que: P(A B) = P(A) P(B) + P(A B) (P designa a probabilidade, A designa o acontecimento contrário de A e B designa o acontecimento contrário de B). 15.2 Numa determinada cidade, das 160 raparigas que fizeram o exame nacional de Matemática, 65% tiveram classificação positiva, e, dos 120 rapazes que fizeram o mesmo exame, 60% também tiveram classificação positiva. Escolhendo, ao acaso, um dos estudantes que realizaram o exame, qual é a probabilidade de o estudante escolhido não ser rapaz ou não ter tido classificação positiva? Apresenta o resultado em forma de dízima, com aproximação às centésimas. Nota: Se o desejares, utiliza a igualdade referida em 15. Neste caso, deverás começar por caraterizar claramente os acontecimentos A e B, no contexto da situação apresentada; no entanto, podes optar por resolver o problema por outro processo. 16. Numa caixa temos três fichas com o número 1 e quatro fichas com o número 2, indistinguíveis ao tacto. Retiram-se, ao acaso e de uma só vez, duas fichas. 5. Análise Combinatória 33
Seja X a variável aleatória: a soma dos números inscritos nas duas fichas. 16.1 Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. 16.2 Indica, justificando, o valor mais provável da variável X. Apresenta as probabilidades na forma de fração irredutível. 17. Uma turma do 12.º ano de uma Escola Secundária está a organizar uma viagem de finalistas. 17.1 Os alunos da turma decidiram vender rifas, para angariarem fundos para a viagem. A numeração das rifas é uma sequência de três algarismos (como, por exemplo, 099), iniciando em 000. De entre as rifas, que foram todas vendidas, será sorteada uma, para atribuir um prémio. Qual é a probabilidade de a rifa premiada ter um único algarismo 5? Apresenta o resultado na forma de dízima, com aproximação às centésimas. 17.2 A turma é constituída por doze raparigas e dez rapazes, que pretendem formar uma comissão organizadora da viagem. Sabe-se que a comissão terá obrigatoriamente três raparigas e dois rapazes. A Ana e o Miguel, alunos da turma, não querem fazer parte da comissão em simultâneo. Explique, numa composição, que o número de comissões diferentes que se pode formar é dado por: 18. Em duas caixas, A e B, introduziram-se bolas indistinguíveis ao tacto: Na caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis; Na caixa B: três bolas verdes e quatro bolas azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B. De seguida, retira-se, também ao acaso, uma bola da caixa B. Sabendo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul é igual a a bola que foi retirada da caixa A e colocada na caixa B tinha cor verde., mostra que 19. Considera todos os números de três algarismos que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 19.1 Escolhe-se, ao acaso, um desses números. Sejam os acontecimentos: 34 5. Análise Combinatória
A: O número escolhido é múltiplo de 5 ; B: O número escolhido tem os algarismos todos diferentes. Averigua se A e B são, ou não, acontecimentos independentes. 19.2 Considera o seguinte problema: De entre todos os números de três algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em quantos deles o produto dos seus algarismos é um número par? Uma resposta correta a este problema é:. Numa pequena composição explica porquê. 20. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A, B e C três acontecimentos tais que. Sabe-se que e que. Calcula, utilizando as propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das probabilidades. 21. De um baralho de cartas, selecionaram-se 16 cartas ( 4 Ases, 4 Reis, 4 Damas e 4 Valetes). Dividiram-se as 16 cartas em dois grupos: um com os Ases e os Reis e outro com as Damas e os Valetes. Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada grupo (sem reposição). Qual é a probabilidade de obter um conjunto formado por um Ás, um Rei, uma Dama e um Valete, não necessariamente do mesmo naipe? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. 22. Considera um espaço de resultados finito, Ω, associado a uma certa experiência aleatória. A propósito de dois acontecimentos X e Y, sabe-se que X e Y são independentes 22.1 Mostra que a probabilidade de que não ocorra X nem Y é igual a 5. Análise Combinatória 35
22.2 Num frigorífico, há um certo número de iogurtes e um certo número de sumos. Tiram- -se do frigorífico, ao acaso, um iogurte e um sumo. Sabe-se que a probabilidade de o iogurte ser de pêssego é e a probabilidade de o sumo ser de laranja é. Admite que os acontecimentos tirar um iogurte de pêssego e tirar um sumo de laranja são independentes. Utilizando a expressão mencionada em 22.1, determina a probabilidade de, ao tirar, ao acaso, um iogurte e um sumo do frigorífico, o iogurte não ser de pêssego e o sumo não ser de laranja. Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. 23. Uma coluna com a forma de um prisma hexagonal regular está assente no chão de um jardim. Dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, dourado, encarnado e verde) para pintar as sete faces visíveis ( as seis faces laterais e a base superior) desse prisma. Admite que se pintam de verde duas faces laterais opostas. 23.1 Determina de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas as restantes cinco faces, de tal modo que: - duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes. - duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor. 23.2 Considera um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das suas bases está contida no plano de equação z = 2. Escolhendo ao acaso dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de eles definirem uma reta paralela ao eixo Oz? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. 24. A figura seguinte representa, respetivamente, as planificações de dois dados cúbicos equilibrados, A e B. 0 1 1 0 2 0 1 1 1 1 0 1 A B 36 5. Análise Combinatória
Lançam-se, simultaneamente, os dois dados. 24.1 Seja X a variável aleatória soma dos números saídos nas faces voltadas para cima, em cada um dos dados. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresenta as probabilidades na forma de fração. 24.2 Considera que o número da face voltada para cima no dado A é a abcissa de um ponto Q do referencial o.n. xoy, e que o número da face voltada para cima no dado B é a ordenada desse ponto Q. Considera agora os acontecimentos: J: o número saído no dado a é negativo ; L: o ponto Q pertence ao terceiro quadrante. Indica o valor de, sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada. Apresenta o resultado na forma de fração. Numa composição, explica o teu raciocínio, começando por referir o significado de no contexto da situação descrita. 5. Análise Combinatória 37
Pg Prova global 90 minutos 1. Um casal e os seus quatro filhos, ao posarem para uma fotografia, ficaram em pé, um ao lado do outro. Qual é o número de modos em que eles se poderão dispor, se os pais ficarem sempre juntos? (A) 60 (B) 36 (C) 240 (D) 720 2. Num programa de rádio transmitido diariamente, durante 360 dias por ano, são tocadas sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca pela mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências serão necessários aproximadamente: (A) 10 anos (B) 1 século (C) 10 séculos (D) 100 séculos 3. Num prédio os moradores têm de eleger o administrador do condomínio e quatro membros para o conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha é feita de entre dez moradores. De quantos modos diferentes é possível fazer a escolha? (A) 126 (B) 252 (C) 640 (D) 1260 4. Um professor deu um teste com 7 questões, das quais os alunos só tinham de responder exatamente a 5 questões.sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Qual o número máximo de alunos dessa turma? (A) 15 (B) 21 (C) 25 (D) 30 5. Supõe que a probabilidade de um casal ter um filho(a) com cabelos loiros é de 1. Se tiverem 4 6 crianças na família qual é a probabilidade de metade terem cabelos loiros? (A) 0,125 (B) 0,13 (C) 0,5 (D) 0,75 6. Num torneio de ténis de mesa em que cada participante enfrenta todos os outros, são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes? 7. Quatro bolsas de estudo vão ser sorteadas entre 30 alunos, dos quais 12 são do Ensino Básico e 18 do ensino secundário. Qual a probabilidade de que haja entre os sorteados: 7.1 um aluno do básico? 7.2 no máximo um aluno do secundário? 7.3 pelo menos um aluno de cada ciclo? 38 5. Análise Combinatória