Colectânea de Exercícios

ÁLGEBRA Colectânea de Exercícios P. Milheiro de Oliveira 1998/1999 Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

A presente colectânea de exercícios foi elaborada para acompanhamento das aulas da disciplina de Álgebra da Licenciatura em Engenharia Civil da FEUP. Ela surge como consequência, em grande parte, de uma recolha de manuscritos pertencentes a docentes das Faculdades de Ciências e de Engenharia da Universidade do Porto, referentes a anos lectivos entre 1981 e 1992, de autoria difícil de identificar. Muitos deles parecem ter sido retirados das obras habitualmente usadas para referência numa cadeira deste tipo, mas muitos há que são certamente originais. A autora contribuiu com alguns. Na elaboração da secção 1 contribuiram os Assistentes da cadeira no ano lectivo de 1998/99, Dr. Rui Gonçalves e Dra. Isabel M. Silva. 2

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 1 1 Cálculo Vectorial no Espaço, Geometria Analítica e Números Complexos: Exercícios de revisão 1. Considere os seguintes vectores de R 3 : u =(1, 2, 0), v =( 1, 4, 1), w =( 1, 1, 3). (a) Calcule z = u + v. Represente estes 3 vectores. (b) Calcule x = 3 v. Represente ambos os vectores. 4 (c) Calcule u v e v w. (d) Verifique se u é paralelo a v. (e) Verifique se v e w são ortogonais. (f) Determine a família de vectores paralelos a v. (g) Calcule as normas de u ede v, respectivamente. (h) Calcule a distância do ponto A( 1, 1, 0) ao ponto B( 2, 5, 1). (i) Represente o triângulo cujos vértices são A, B e C( 3, 4, 4). Calcule o seu perímetro. Calcule a sua área. (j) Escreva a equação da recta r que tem a direcção de v e que passa pelo ponto A i. vectorial ii. paramétrica iii. cartesiana. Represente-a. (k) Escreva a equação do plano π que contém os vectores u e v e o ponto B i. vectorial ii. paramétrica iii. cartesiana. Represente-o. (l) Será que a recta r pertence ao plano π? (m) Escreva o vector w à custa da sua norma e dos ângulos α e θ, representados na figura. W τ α

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 2 A par deste exercício, resolva as mesmas questões com os vectores u =(1, 2), v =( 1, 4) e w =( 1, 1) e os pontos A( 1, 1), B( 2, 5) e C( 3, 4). Pressupõe-se que R 3 está munido de um referencial ortonormal. 2. Dados os pontos A( 1, 3, 2) e B(1,a, 1), determine a de modo que a distância entre os pontos seja igual a 7. 3. Represente na forma trigonométrica (ou polar) os seguintes complexos: (a) 1,i; (b) 1 i,2i. 4. Represente, na forma algébrica, os complexos: (a) 2 cis π 3 ; (b) 2 e i 7π 4. 5. Calcule: (a) (2 + 3i)+(5 9i); (b) (2 + 3i) (5 9i); (c) 2+3i; 5 9i (d) ( 3+i) 6 ; (e) as raízes de 1 1/4.Faça a sua representação geométrica. 6. Verifique se 1 2 + i 3 2 é uma raíz cúbica da unidade. 7. Sendo z =2cis( π)ew =3cis( π ), determine na forma algébrica: 3 2 (a) z w; (b) z ; w (c) z 3. 2 Espaços vectoriais 1. Verifique quais dos seguintes conjuntos V definem espaços vectoriais reais: (a) Seja I [0, 1]. Considere o conjunto V de todas as funções reais definidas em [0, 1] tais que f(x 1 )=f(x 2 ), x 1,x 2 I e a definição natural de adição e de multiplicação por um escalar; (b) Considere o conjunto V = R 2. Defina a adição usual e a seguinte operação de multiplicação por um escalar: α (u 1,u 2 )=(0,αu 2 ) (c) Considere o conjunto V da alínea anterior com as novas operações: (u 1,u 2 )+(v 1,v 2 ) = (0,u 2 + v 2 ) α (u 1,u 2 ) = (αu 1,αu 2 )

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 3 2. Verifique quais dos seguintes conjuntos V definem espaços vectoriais reais, com a adição e multiplicação por um escalar usuais: (a) Considere o conjunto V = {(x 1,x 2,x 3 ) R 3 : x 1 =1}; (b) Considere o conjunto V = {(x 1,x 2,x 3 ) R 3 : x 1 x 2 =0}; (c) Considere o conjunto V = {(x 1,x 2,x 3 ) R 3 : x 1 x 2 =2}; (d) Considere o conjunto V das funções reais de variável real que são pares. 3. Verifique quais dos seguintes conjuntos V definem espaços vectoriais sobre o corpo C: (a) o conjunto V = R n, com as operações usuais de adição e de multiplicação por um escalar; (b) o conjunto V = C 2, com a operação usual de adição e a seguinte operação de multiplicação por um escalar; α (z 1,z 2 )=(ᾱz 1, ᾱz 2 ). 4. Considere o subconjunto S do espaço vectorial real V (com as operações usuais). Averigue se S éounão um subespaço de V, sendo: (a) V = R 3 e S = {(x, y, z) R 3 : x 2 y 2 =0} (b) V = R 2 e S = {(x, y) R 2 : y =2x} (c) V = R 2 e S = {(x, 1 2x) :x R} (d) V = R 2 e S = {(x, y) R 2 : x/2 y 3x/2} 5. Considere o conjunto das funções reais de variável real, munido das operações usuais de adição e de multiplicação por um escalar. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços deste espaço: (a) S é o conjunto das funções reais de variável real que admitem pelo menos os zeros 1 e 2, (b) T é o conjunto das funções reais de variável real que admitem somente os zeros 1 e 2. 6. Mostre que se S é um subespaço vectorial de T e T é um subespaço vectorial de V então S é um subespaço vectorial de V. 7. Determine o subespaço de R 3 gerado pelos seguintes vectores: (a) u =(1, 0, 0) e v =(0, 1, 0) (b) u =(1, 2, 3) (c) u =(1, 2, 1), v =(2, 1, 1) (d) v 1 =(1, 1, 1), v 2 =(1, 1, 0) e v 3 =(1, 0, 0). 8. Escreva o polinómio p(t) =t 2 +4t 3, como uma combinação linear em R dos polinómios p 1 (t) =t 2 2t +5,p 2 (t) =2t 2 3t e p 3 (t) =t +3. 9. Mostre que os números complexos 2 + 3i e1 2i geram C como espaço vectorial sobre o corpo R, estando definidas as operações usuais entre complexos. 10. Verifique se o vector w =(1, 8, 17/4, 21/4) pertence ao subespaço de R 4 gerado por u = (1, 5, 2, 0) e v =(0, 2, 3/2, 7/2), sobre R.

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 4 11. Considere o subconjunto F = {cos x, sin x} do espaço vectorial das funções reais de variável real. Mostre que qualquer combinação linear dos elementos de F é solução da equação y (x)+y(x) = 0. Interprete o resultado. 12. Mostre que o espaço vectorial real R 2 pode ser gerado pelos seguintes conjuntos: (a) G 1 = {(3, 1), (5, 2)}, (b) G 2 = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}. 13. Considere os vectores v 1 =(1, 3, 2) e v 2 =(2, 4, 1) de R 3 enquanto espaço vectorial sobre R (munido das operações usuais). (a) Mostre que v =(4, 3, 6) não é combinação linear de v 1 e v 2. (b) Determine uma condição necessária e suficiente para que o vector (x, y, z) seja combinação linear de v 1 e v 2. 14. Averigue se os seguintes vectores são linearmente independentes: (a) (1, 1, 2), (1, 2, 1) e (3, 1, 1), em R 3 ; (b) ( 1, 2, 0, 3), (2, 1, 0, 0) e (1, 0, 0, 0), em R 4 ; (c) 1 + 2x x 2,2 x +3x 2 e3 4x +7x 2, no conjunto dos polinómios P 2 (x); (d) 1, x 2 e(1+x) 2, no espaço das funções reais de variável real sobre R. 15. Seja P 3 = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 : a 0,a 1,a 2,a 3 R} o espaço vectorial real dos polinómios de grau inferior ou igual a 3, sobre R. Verifique se os vectores u, v e w que se seguem são linearmente independentes: (a) u = x 3 3x 2 +5x +1,v = x 3 x 2 +8x +2ew =2x 3 4x 2 +9x +5; (b) u = x 3 +4x 2 2x +3,v = x 3 +6x 2 x +4ew =3x 3 +8x 2 8x +7. 16. Sejam b 1 e b 2 dois vectores do espaço vectorial real R n. Mostre que b 1 +b 2,3b 1 2b 2 e b 1 +4b 2 são linearmente dependentes. 17. Seja E um espaço vectorial e sejam u e v vectores de E linearmente independentes. Mostre que então u + v e u v também são linearmente independentes. 18. Considere o espaço vectorial das funções reais de variável real. Determine se os vectores de cada um dos seguintes subconjuntos são ou não linearmente independentes e calcule a dimensão do subespaço por eles gerado: (a) {1,e ax,xe ax },(a 0) (b) {e ax,xe ax,x 2 e ax },(a 0) (c) {cos x, sin x}, (d) {e x cos x, e x sin x}. 19. Verifique se o conjunto de vectores {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)} formam uma base de R 3, enquanto espaço vectorial sobre R, munido das operações usuais.

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 5 20. Determine a dimensão do espaço gerado, em R 4, pelo conjunto de vectores {(1, 1, 1, 2), ( 1, 2, 3, 1), (2, 3, 3, 2), (1, 1, 1, 6)}. 21. Considere o espaço vectorial real R 4 e o subespaço vectorial Determine: S = {(x, y, z, t) R 4 : x + y z + t =0}. (a) uma base B 1 de R 4 que contenha os vectores (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) e (0, 2, 3, 0), (b) uma base B 2 de R 4 que contenha os vectores (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 1, 1), (c) uma base B 3 de S que contenha o vector (1, 0, 1, 0), (d) as coordenadas do vector (1,1,1,-1) nas bases B 1, B 2 e B 3, respectivamente. 22. Mostre que E = {(x, y, z, t) R 4 : x = y 2z z =3t} é um subespaço de R 4 e determine, caso exista, uma base de E formada por 2 vectores. 23. Verifique se os vectores (1, 1,i), ( 1,i,1) e (i, 1, 1) formam uma base de C 3, enquanto espaço vectorial sobre C. Em caso afirmativo, exprima o vector (1 + i, 1 i, i) naquela base. Repita o problema considerando o espaço vectorial C 3 sobre o corpo R. 24. Determine uma condição necessária e suficiente para que os vectores u =(u 1,u 2 )ev =(v 1,v 2 ) formem uma base de R 2. 25. Determine uma base para o subespaço de R 5 gerado pelo conjunto {(0, 1, 1, 2, 3), ( 6, 1, 11, 4, 9), (1, 1, 1, 1, 1)}. 26. Sejam S = {(x, y, z) R 3 : x =2y z =0} e T = {(x, y, z) R 3 : x = y z =3x} subconjuntos de R 3, munido da estrutura usual de espaço vectorial real. (a) Mostre que S e T são subespaços vectoriais. (b) Defina S + T e verifique se esta soma éounão directa. (c) Verifique se o vector u =(1, 0, 4) pertence ou não a S + T. Em caso afirmativo exprima-o como soma de um vector de S com um vector de T. 27. Escreva R 3 como soma directa de dois subespaços, de modo que um deles seja S = {(x, y, z) R 3 : x =2y z =0}. 28. Determine uma base para V + W, onde V é o subespaço gerado pelos vectores (1, 1, 0, 0) e (1, 0, 1, 0) e W é o subespaço gerado pelos vectores (0, 1, 0, 1) e (0, 0, 1, 1). Determine também a dimensão de V W e calcule uma base deste espaço. 3 Aplicações lineares 29. Verifique se as aplicações que se seguem são ou não lineares: f : R 2 R 3 (x 1,x 2 ) (x 1 + x 2, 2x 1 +3x 2,x 1 )

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 6 g : R 2 R 3 (x 1,x 2 ) (x 1 + x 2, 2x 1 +3x 2, 0) h : R 2 R 3 (x 1,x 2 ) (x 1 + x 2, 2x 1 +3x 2, 1). 30. Para as aplicações lineares do exercício anterior, defina o seu Núcleo e Imagem. 31. Considere a seguinte aplicação: Verifique que: t w : V V v v + w. (a) se w =0 V a aplicação t w é linear (diz-se o automorfismo idêntico), (b) se w 0 V a aplicação t w não é linear. 32. Verifique se as aplicações que se seguem são ou não lineares: f : R 4 R 2 g : R R (x, y, z, t) (x y + z t, 3x 4y) x x 2, h : R 2 R l : R 2 R 2 (x, y) sin(x + y) (x, y) (x + y, x y +2). 33. Calcule o Núcleo e a Imagem da aplicação linear f definida no exercício anterior. O que pode dizer sobre a injectividade e sobrejectividade de f? 34. Considere os espaços vectoriais reais V = R 3 e W = R 4 e a aplicação f de V em W, definida por: f(x, y, z) =(4x + y +3z,10x + y +7z, x y z, 2x + y z), (x, y, z) V. (a) Calcule a imagem, por f, do vector (1, 2, 3); (b) Mostre que f é um homomorfismo; (c) Determine uma base para o Núcleo de f e uma base para a Imagem de f. Verifique que dimv = dimn(f)+dimim(f). (d) Obtenha uma base para V, completando a base obtida para N(f); Forneça uma base para W. (e) Determine o conjunto A dos vectores x V tais que f( x) =(1, 2, 1, 1); (f) Seja S um subespaço do espaço vectorial V. Mostre que o conjunto f(s) ={f( x) : x S} é um subespaço vectorial de W. (g) Chama-se imagem recíproca, por f, do conjunto B (de vectores de W) ao conjunto f 1 (B) = { x V : f( x) B}. Mostre que se B é um subespaço vectorial de W então f 1 (B) é um subespaço vectorial de V. (h) Seja g uma aplicação linear de W em V definida por: g(x, y, z, t) =(x +2y +3t, x + y + z +2t, x + y + z +2t), (x, y, z, t) W.

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 7 i. Calcule (g f)(2, 1, 1); ii. Defina o endomorfismo f g. 35. Determine, se existir, uma aplicação linear f : R 2 R 2 tal que f(1, 1)=(1, 2) e f(1, 1) = (1, 0). Será que ela éúnica? 36. Responda à mesma questão para f : R 3 R 4 tal que f(1, 0, 1) = (1, 0, 0, 1) e N(f) = {(1, 1, 0)}. 37. Considere o espaço vectorial real P 3 (t) ={a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 : a 0 a 1,a 2,a 3 R} e o seu subespaço U gerado pelos polinómios p 1 (t) = 1+t + t 3 e p 2 (t) =1+t 3 ; considere a aplicação f : U P 3 (t) p(t) tp (t) p(t). (a) Mostre que se trata de uma aplicação linear. (b) Calcule o seu núcleo e imagem e indique bases para estes dois subespaços. 38. Considere os espaços vectoriais reais R 4 e R 3 e a aplicação linear f : R 4 R 3 definida por f(1, 1, 0, 0) = (0, 1, 2), f(0, 1, 1, 0) = (0, 2, 4), f(0, 0, 1, 1) = (2, 1, 0) e f(0, 0, 0, 1) = ( 1, 1, 3). (a) Calcule a imagem, por f, do vector (1, 1, 1, 1); (b) Determine uma base para o Núcleo de f e uma base para a Imagem de f. (c) Determine os conjuntos A = { x R 4 : f( x) =(1, 1, 1)} e B = { x R 4 : f( x) = f(1, 2, 1, 0)}. Trata-se ou não de subespaços? (d) Determine uma base para R 4, completando a base que obteve para o Núcleo e, em seguida, determine a imagem por f de cada um dos vectores desta base. (e) Dê exemplo de uma aplicação linear g : R 4 R 3 cuja imagem é gerada pelo conjunto {(1, 0, 1), (1, 2, 1)}. (f) Seja h o endomorfismo definido por h(x, y, z) =(x +2y z,y + z,x + y 2z), (x, y, z) R 3. i. Verifique se a aplicação linear h f : R 4 R 3 é injectiva; ii. Determine (h f)(1, 1, 3, 2). (g) Dê exemplo de uma aplicação linear de R 4 em R 3 cujo núcleo seja gerado por {(2, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)}. (h) Considere o endomorfismo l : R 3 R 3 definido por l(1, 0, 0) = (1, 2, 3), l(0, 1, 0) = (3, 2, 1) e l(0, 0, 1) = (0, 4, 8). Verifique se R 3 = N(l) Im(l). 39. Considere a aplicação linear f : R 3 R 3 (x, y, z) ( 3x z 2 (a) Verifique que f é um projector; (b) Determine a imagem, por f, do vector (1, 3, 1);,x+ y z, 3x z ). 2

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 8 (c) Determine a imagem recíproca, por f, do vector (2, 5, 2); (d) Determine uma base para Im(f) e uma base para N(f); (e) Determine um projector g de R 3 que tenha imagem idêntica àdef. 40. Seja V um espaço vectorial e p um projector. Mostre que V pode ser expresso como soma directa do Núcleo de p com a Imagem de p. 41. Considere a aplicação linear f : C 3 C 3 (C 3 esp. vec. sobre C) tal que f(1, 0, 0) = (1,i,0), f(0, 1, 0) = (0, 1,i)ef(0, 0, 1) = (1, 0,i). Verifique que f é invertível e calcule a sua inversa. 42. Mostre que a aplicação linear f : R 3 R 3 não é invertível, sendo: (a) f(x, y, z) =(x y, x + z,x + y +2z); (b) f(x, y, z) =(x y + z,x + y, 3x + y + z). 43. Mostre que o espaço vectorial R 2 é isomorfo ao subespaço N = {(x, y, z) R 3 : z =0} de R 3. 44. Calcule AB e BA, sendo: ( ) 1 2 4 5 (a) A =, B = 3 1 0 2 (b) A = (c) A = (d) A = 1 2 4 2 0 7 5 6 9 1 0 7 8, B = 1 4 8 9 ; 10 2 0 7 1 3 4 5 6 ; B = ( 2 4 9 6 5 10 ) ; ( 2 0 1/2 1 2 3 4 3 ), B = 3 1/5 7 0 1 0 1/2 0 0 1/2 1 1 5 1 1 1 45. Escreva a transposta de todas as matrizes que figuram no exercício anterior. 46. Calcule a matriz C = 1 2 A 2B A2 +3I, onde A e B são as matrizes da alínea (b) do exercício anterior. 47. Considere os espaços vectoriais reais R 3 e R 2 e as bases < (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) > e < (1, 2), (2, 1) > de R 3 eder 4, respectivamente. Considere a aplicação. f : R 3 R 2 (x, y, z) (x + y, 2z). (a) Verifique que se trata de uma aplicação linear; (b) Determine a sua matriz com respeito às bases consideradas;

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 9 (c) Utilize a matriz encontrada para calcular f((1, 0, 1)). 48. Encontre a matriz associada a cada uma das aplicações lineares seguintes, relativamente às bases canónicas. (a) f : R 4 R 2 sendo f(x 1,x 2,x 3,x 4 )=(x 1,x 2 ); (b) g : R n R n sendo g(x) =7X; (c) h : R 4 R 4 sendo h(x 1,x 2,x 3,x 4 )=(x 1,x 2, 0, 0). 49. Suponha que ( 1 1 2 1 0 1 é a matriz representativa da aplicação linear g, com respeito às bases < (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) > e < (1, 2), ( 2, 1) > de R 3 e R 2, respectivamente. Determine a matriz representativa de g com respeito às novas bases < (1, 1, 2), (1, 0, 0), (0, 1, 1) > e < (1, 1), (1, 0) >. 50. Em cada um dos casos seguintes determine a matriz associada à aplicação identidade relativa às bases B 1 e B 2 de R 3 : (a) B 1 =< (1, 1, 0), ( 1, 1, 1), (0, 1, 2) > e B 2 =< (2, 1, 0), (0, 0, 1), ( 1, 1, 1) > (b) B 1 =< (3, 2, 1), (0, 2, 5), (1, 1, 2) > e B 2 =< (1, 1, 0), ( 1, 2, 4), (2, 1, 1) > (c) B 1 =< (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) > e B 2 =< (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) > (d) B 1 =< (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) > e B 2 =< (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) > 51. Dadas as bases B 1 =< (1, 1), (1, 0) > de R 2 e B 2 =< (1, 2, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 3) > de R 3, determine a aplicação linear f : R 2 R 3 cuja matriz em relação a estas bases é 2 0 1 2 1 3 52. Considere a aplicação linear f : R 3 R 2 tal que f(1, 1, 1) = f(1, 0, 1) = (1, 1) e f(1, 1, 1) = (1, 2). (a) Verifique que esta aplicação linear está bem definida; (b) Determine a matriz de f relativamente às bases B 1 =< (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) > de R 3 e canónica de R 2 ; (c) Obtenha uma nova matriz de f, agora para as bases B 1 e B 2 =< (1, 1), (1, 2) > de R 2. 53. Considere a rotação de um ângulo α, aplicada a cada vector v do plano (no sentido anti-horário), como uma aplicação (0 α<2π). ). (a) Verifique que se trata de uma plicação linear r : R 2 R 2 ; (b) Analise a injectividade e sobrejectividade de r; (c) Determine a sua matriz com respeito às bases canónicas; (d) Escreva a expressão da transformação;

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 10 (e) Qual o vector que resulta da aplicação de uma rotação de π/3 ao vector (3, 1). 54. Sejam f e g aplicações lineares de R 2 em R 3 tais que: Determine f(x, y) = (x +2y, 2x y, x) g(x, y) = ( x, y, x + y). (a) f + g (b) 3f 2g (c) a matriz com respeito às bases canónicas de 3f 2g; verifique que M 3f 2g =3M f 2M g. 55. Sejam f e g aplicações lineares de R 2 em R 2 tais que: Determine f(x, y) = (x + y, x) g(x, y) = (x, 2y). (a) f g, g f, f f e g g; (b) 3f 2g (c) a matriz com respeito às bases canónicas de f g; verifique que M f g = M f.m g. 56. Calcule, se existir, as matrizes inversas de: A = ( 1 2 3 1 ), B = ( 1 2 3 6 ), C = 1 1 3 1 0 1 1 2 1, D = 2 1 0 0 0 1 3 0 1/2 1 0 0 0 0 2 3 57. Determine o endomorfismo cuja matriz na base canónica é a matriz C 1 do exercício anterior. Quais as suas propriedades?. 4 Determinantes 58. Calcule os determinantes das matrizes A, B, C e D do penúltimo exercício. 59. Calcule os seguintes determinantes: 1 i 2 (a) 1 i 2i 4 1 1 3 2 7 2 3 5 2 (b) 4 2 0 1 5 5 1 3 1 0 2 4

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 11 2 3 1 2 1 0 1 2 (c) 3 1 4 1 2 2 3 1 2i 1+i 0 (d) 4 i 2 1 i 1 i a a a a a b b b (e) a b c c a b c d 0 3 2 1 0 0 2 0 9 0 (f) 1 1 10 1 0 1 1 1 0 0 3 3 1 15 2 60. Sabendo que a, b e c são tais que A = a b c 6 3 0 1/2 1 1/2 a b c 2 1 0 1 2 1, B = 61. Quais das seguintes matrizes são singulares: A = 2 0 1 3 0 5 1 2 7, B = = 1, calcule o determinante das seguintes matrizes: a 1 b 2 c 1 3 3 1 1 2 1 2 1 0 1 3 5 1 0 1 3 1 1 1 0 7 4, C =, C = 17 0 0 0 1 a b c 14 2 1 0 169 1 2 1 2 1 3 4 0 2 2 3 1 1 3 6 0 1 7 19 62. Mostre que se A é uma matriz invertível então, qualquer que seja a matriz B, det(aba 1 )= det(b). 63. Usando determinantes, averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes: (a) (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1); (b) (2, 1, 2, 1), (3, 1, 1, 3), (1, 2, 2, 2), (0, 1, 2, 3); (c) (2, 0, 5, 1), (3, 1, 7, 2), (0, 2, 1, 1).?. 5 Sistemas lineares 64. Resolva, em R, os seguintes sistemas:

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 12 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) x + y + z = 11 2x 6y z = 0 3x +4y +2z = 0 x + y + z = 5 3x 2y = 7 3y 2z = 6 3z 2x = m x + y + z + t = 1 3x + y +2z 3t = 2 4x +2y +3z 2t = a 6x +4y +5z = 2a + b +1 2x 1 +4x 2 = 0 16x 1 8x 2 = 0 12x 1 8x 2 = 0 u +2v +3t w s = 1 3u +2v + t w 3s = 1 2u +3v + t + w 2s = 1 2u +2v +2t w +2s = 1 5u +5v +2t +3s = 2 u 2v 3t + w = 1 x + z + t = 1 y + z + t = 1 x + y +3z = 0 y +2z + t = 1 x y + z = 2 x +3y + z = 10 4x + y z = 7 x + y +2z +3t = 1 3x y z 2t = 4 2x +3y z t = 6 x +2y +3z t = 4 x + y +2z +3t = 1 3x y z 2t = 4 3/2x 1/6y +2/3z +13/6t = 14 x + y +2z +3t = 1 3x y z 2t = 4 3/2x 1/6y +2/3z +13/6t = 5/6 x + y z = 2 2x + y 3z = 7 4x 5y 13z = 35 3x +2y +8z = 21

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 13 (l) (m) x + y z = 2 2x + y 3z = 7 4x 5y 13z = 35 3x +2y +8z = 20 6x +4y +3z +3t = 1 2y +4z t = 0 2x y + z + t = 1 65. Discuta, em função dos parâmetros a e b os seguintes sistemas: (a) (b) (c) ax + y + z = 0 x z = 0 x + ay = 0 y +2z = b x + ay + a 2 z = 1 x + ay + abz = a bx + a 2 by + a 2 bz = a 2 b bx + by + bz = b 2 b(b +2)y + b(b +2)z = b 2 b(b +2)y + bz = 1 66. Estude o sistema 3x +2y z = 0 x + y 3z = 0 2x + y 4z = 0 7x +2y 3z = 0. 67. Determine k R de modo que o sistema que se segue admita, em R, pelo menos uma solução não nula: 2x + ky + z = 0 x y z = 0. x 2y 2z = 0 68. Usando o que aprendeu sobre sistemas de equações lineares, determine as soluções do sistema: 6 Polinómios 3u 2 + v 2 + w 2 = 8 u 2 +2v 2 3w 2 = 6 u 2 + v 2 5w 2 = 12 69. Determine as raízes complexas dos seguintes polinómios: (a) 3x 3 +5x 2 +5x +2 (b) x 5 +5x 4 +13x 3 +19x 2 +18x +8 (c) 4x 4 +20x 3 +33x 2 +20x +4 (d) x 6 4.

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 14 70. Factorize os polinómios: (a) x 4 +4x 3 +4x 2 1, em R[x] (b) x 6 + 27, em R[x] eemc[x] (c) x 6 + x 3 +1,emR[x] eemc[x] (d) x 4 +4x 3 +4x 2 1, em R[x] eemc[x] 71. Resolva as equações: (a) z 3 6z +4=0 (b) z 4 16z 12 = 0 (c) z 4 6z 3 +12z 2 12z +4=0 72. Decomponha em factores irredutíveis (a) x 4 x 3 +2x 2 x +1,emR[x] eemc[x] (b) x 4 8x 3 +12x 2 +4x 8, em R[x] 7 Valores próprios e vectores próprios 73. Determine os valores próprios e os vectores próprios das aplicações lineares: (a) (b) (c) f : R 3 R 3 (x, y, z) (x +2y 2z,2y +4z,3z) f : R 3 R 3 (x, y, z) (3x y + z, x +5y, x y +3z) f : R 2 R 2 (x, y) (4x 5 y, 4x 2y). 2 74. Considere a matriz A = 1 2 0 0 1 1 1 1 1 associada a um endomorfismo de R 3. Determine os seus valores próprios e vectores próprios. Diagonalize a matriz. 75. Determine um endomorfismo f de R 2 que tenha como valores próprios os reais 3e4ecomo respectivos vectores próprios os vectores (0, 1), (1, 1). Poderá dizer que esta aplicação é única? 76. Determine os valores próprios e os vectores próprios do endomorfismo f de R 2 cuja matriz nas bases canónicas é ( ) 1 2 A =. 2 4 Verifique que a soma dos valores próprios é igual à soma dos elementos na diagonal de A e que o seu produto é igual ao determinante de A.

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 15 77. Determine os valores póprios e os vectores próprios para cada uma das matrizes seguintes, indicando a dimensão dos respectivos subespaços próprios. 1 0 0 (a) 0 1 0 0 0 0 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 [ ] cos θ sin θ, θ R sin θ cos θ 1 0 0 7 1 0 4 3 1 2 3 1 3 20 3 1 3 2 4 2 1 6 4 3 6 6 5 2 3 1 0 6 4 3 0 6 6 5 0 0 0 0 14 2 3 1 0 6 4 3 0 6 6 5 1 0 0 0 14 78. Diagonalize, nos casos em que for possível, as matrizes que se seguem, indicando as matrizes de transformação: 1 2 0 (a) 0 1 1 1 1 1 (b) 17 18 6 18 19 6 9 9 2

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 16 (c) (d) 8 0 0 0 0 17 18 6 0 18 19 6 0 9 9 2 2 0 1 0 6 4 0 0 0 0 5 1 0 0 0 4 79. Considere a matriz A = ( 1 0 2 3 ). (a) Determine os seus valores próprios e os seus vectores próprios. (b) Mostre que a matriz ( ) 1 0. 0 3 é semelhante a A. 80. Considere o endomorfismo f de R 3 cuja matriz nas bases canónicas é: 2 1 2 A = 0 2 1. 0 0 2 (a) Determine os seus valores próprios e os seus vectores próprios. Verifique se f pode ou não ser representado por uma matriz diagonal. Em caso afirmativo, quais são as novas bases? (b) Determine bases de R 3 para as quais a matriz de f seja da forma Indique o valor do escalar λ. A = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ 81. Suponha que u é um vector próprio da matriz A associado ao valor próprio λ. Mostre que, então, u também é vector próprio da matriz A 2, estando associado ao valor próprio λ 2. 82. Suponha que a matriz A 2 tem como valor próprio o real positivo (no sentido lato) α. Mostre que, então, ou α ou α é valor próprio de A.. 8 Espaços euclidianos 83. Sendo u =(2, 1, 1) e v =(1, 1, 2), determine um vector w R 3,não nulo, tal que u w = v w =0. 84. Determine um vector unitário ortogonal, simultaneamente, a u =(2, 6, 3) e a v =(4, 3, 1). Será que existe um único vector nestas condições?

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 17 85. Dados os vectores u =(1, 2, 3, 4, 5) e v =(1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5) de R 5, calcule os vectores w e x tais que w é paralelo a u, x é ortogonal a u e v = w + x. 86. Considere o espaço euclidiano R 3 munido do seguinte produto interno: x y = α 1 β 1 + α 1 β 2 + α 2 β 1 +3α 2 β 2 α 2 β 3 α 3 β 2 + α 3 β 3, onde x =(α 1,α 2,α 3 )e y =(β 1,β 2,β 3 ). Determine: (a) o produto interno dos vectores e 1 =(1, 0, 0) e e 2 =(0, 1, 0) (b) a norma do vector a =(1, 2, 3) (c) os vectores de norma 2 colineares com o vector a (d) o coseno do ângulo entre a e e 2 (e) o conjunto A dos vectores de R 3 cujo produto interno com a dá 1. 87. Seja < e 1, e 2, e 3 > uma base do espaço vectorial euclidiano V = R 3, tal que: e 1 =1, e 2 =2, e 3 =1, ( e 1, e 2 )= 2π 3, ( e 1, e 3 )= ( e 2, e 3 )= π 2. (a) Calcule e 1 e 1, e 1 e 2, e 2 e 2, e 3 e 2, e 2 e 3, e 1 e 3. (b) Determine o conjunto S dos vectores de V que são ortogonais ao vector v =3 e 1 e 3. Verifique que S é um subespaço vectorial V (c) Determine uma base de S (d) Escreva o vector a = e 1 2 e 2 + e 3 como soma de um vector colinear com o vector v ede um vector ortogonal a v. 88. Seja V = R 3 um espaço vectorial euclidiano e φ a aplicação de V V em R definida por: φ( x, y) =3α 1 β 1 + α 1 β 2 + α 2 β 1 +2α 2 β 2 + α 3 β 3, onde x =(α 1,α 2,α 3 )e y =(β 1,β 2,β 3 ). (a) Verifique que φ é um produto interno; (b) Considere os vectores u =(1, 0, 1), v =(0, 1, 0) e w =(1, 1, 0). Determine os vectores de norma igual a 2 ortogonais a w e que pertencem ao subespaço gerado por u e v; (c) Construa uma base ortogonal para V. 89. Mostre que, quaisquer que sejam os vectores u e v de R n, se tem: (a) u + v 2 u v 2 =4 u v, (b) u v = 0 sse u + v = u v. 90. Calcule o produto externo dos vectores u =(1, 2, 1) e v =(5, 0, 3). 91. Mostre que, em R 3, o produto vectorial verifica a identidade de Jacobi, ie. (x y) z +(y z) x +(z x) y =0, x, y, z R 3. 92. Considere o paralelogramo definido como tendo 2 dos 4 lados coincidentes com os vectores u e v. É posssível demonstrar que a área deste paralelogramo é dada pela norma do produto externo de u e v. Com base neste resultado, calcule a área do paralelogramo formado com os vectores (1, 2, 3) e (4, 3, 5).

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 18 9 Geometria Analítica 93. Escreva uma equação cartesiana do plano definido por: x = 1 2α +3β y = 1 3α + β z = α 2β Indique 3 pontos deste plano, não colineares., α,β R. 94. Considere a família de rectas do espaço tridimensional que contêm o ponto (2, 4, 1). Destas rectas quais obedecem às condições que se seguem? (a) Passam também pelo ponto ( 1, 10, 6); (b) São paralelas a uma recta que contem os pontos (1, 3, 4) e ( 2, 2, 3). 95. Escreva a equação cartesiana do plano que passa pelos pontos P 1 (1, 2, 3), P 2 (2, 3, 4) e P 3 (3, 5, 8). 96. Diga se a recta pertence ao plano de equação x = 4+t y = 2 3t z = 4+5t x +2y + z =4. 97. Determine as interseções dos subespaços afins definidos pelas seguintes equações: (a) (b) { y = 2x 3 z = 3 x = 3+t y = t z = 1 2t e e x = 1 3t y = 4 6t z = 3t x +2 2 = y 3 1 = z 1 (c) (x, y, z) =(1, 1, 1) + λ(3, 4, 5) e (x, y, z) =(3, 1, 2) + ε(1, 2, 2) + δ(0, 3, 1), onde λ, ε e δ são parâmetros reais. (d) 2x 3y + z =6 e x +2y 6z +4=0 (e) 2x 3y + z =6, x+2y 6z +4=0 e x 7y + z =0. 98. Determine a posição da recta relativamente ao plano r : x 1= y +2 2 = z 3 4 π :6x +7y 5z 8=0.

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 19 99. Escreva uma equação cartesiana da recta que passa pelo ponto A(3, 1, 4) e é paralela aos planos definidos por 2x 3y + z =6ex +2y 6z +4=0. 100. Escreva uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A(3, 1, 4) e que é paralelo ao plano de equação 2x 3y + z =6. 101. Calcule o ângulo entre as rectas x = 3+t r 1 : y = t z = 1 2t e r 2 : x +2 2 = y 3 1 = z 1. 102. Mostre que as rectas r 1 : x +5 3 = y 7 4 = z +2 2 e r 2 : x 3 6 = y +5 5 = z 2 são perpendiculares. 103. Determine uma equação do plano (a) que contém o ponto (0, 4, 3) e é ortogonal ao vector ( 2, 2, 3), (b) que contém o ponto (2, 3, 4) e é paralelo ao plano de equação 3x ky 3z =5. 104. Dadas as rectas r 1 : x +2 2 = y 3 1 = z 1 x = 3t +10 e r 2 : y = 2t +4 z = 1 2t, (a) mostre que estas são complanares e determine uma equação cartesiana do plano por elas definido (b) determine uma equação cartesiana do plano que contém a recta r eé perpendicular ao plano da alínea anterior. 105. Determine uma equação do plano que contém o ponto (2, 3, 8), é paralelo à recta de equação x = y 4 = z e ortogonal ao plano de equação x 3y +3z 8=0. 8 106. Calcule a distância: (a) do ponto A(2, 0, 7) à recta r : y = x +2ez = x/2 3, { y = 2x +3 (b) entre as rectas r 1 : e r z = 2x 2 : (c) entre as rectas s 1 : { y = 1 x +2 = z 4 2 e s 2 : x = 1 2t y = 1+4t z = 3 4t x = 3 y = 2t 1 z = t +3 (d) do ponto B( 4, 2, 5) ao plano π :2x + y +2z +8=0. 107. Considere os planos de equações x 2z +1=0e3x 6z 8=0.

FEUP Departamento de Engenharia Civil Álgebra 20 (a) Verifique que estes planos são paralelos. (b) Calcule a distância entre eles. 108. Considere o ponto P ( 1, 2, 4) e o plano de equação x 3y +2z + 132 = 0. (a) Determine a equação da recta r que passa pelo ponto P eé perpendicular a este plano; (b) Determine o plano π definido pela recta r e pelo ponto Q(1, 2, 3); (c) Determine a distância do ponto R(0, 0, 5) ao plano π. 109. Determine uma equação da esfera de centro (1, 2, 3) e de raio 2. 110. Determine uma equação da esfera que passa pelos pontos A(1, 2, 3), B( 1, 2, 0), C(0, 0, 4) e D(1, 1, 1). 111. Determine a esfera tangente ao plano OXY no ponto P (2, 4, 0) e que passa pelo ponto Q(0, 0, 4). 112. (*) Determine a equação da superfície esferérica que contém os pontos A(1, 2, 3) e B( 1, 2, 0) eé tangente ao plano de equação x y + z =1. 113. Chama-se paraboloíde elíptico ao conjunto de pontos que verificam a equação ( x a )2 +( y b )2 =2cz, onde a, b e c são parâmetros reais não nulos. Determine a equação do paraboloíde elíptico que passa pelos pontos (1, 2, 3), ( 1, 1, 2) e (3, 1, 2). 114. Determine uma equação e identifique o conjunto de pontos equidistantes dos pontos A = (2, 1, 3) e B =( 1, 5, 1). 115. Determine uma equação que identifique o conjunto de pontos equidistantes dos pontos A = (2, 1, 3, 1) e B =( 1, 5, 1, 1). 116. Determine a equação da superfície esférica cujos pontos A =(1, 4, 2) e B =( 7, 1, 2) são pontos extremos de um diâmetro. 117. Considere a superfície de equação x 2 1 + 1 5 x2 2 + 4 5 x2 3 4 5 x 2x 3 8x 1 2x 2 +4x 3 +12=0 no referencial < (0, 0, 0) ; (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) >. (a) Verifique que esta eq. pode ser escrita na forma X T AX +2BX + d =0. (b) Determine um novo referencial de tal forma que a equação anterior se torne mais simples. 118. Qual é a interseção da superfície algébrica de equação x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 2x 1 x 3 + x 1 2=0 com o plano x 3 =3?