POTÊNCIA CONTEÚDOS Potência Propriedades de potência Notação científica AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Vamos retomar o conceito de potência. Para tanto, iniciaremos a análise da tabela a seguir. Observe na coluna da esquerda a multiplicação de n fatores iguais, o produto desses fatores é identificado como uma potência, e sua escrita pode ser representada conforme vemos na coluna da direita. x x x x x x 4 x x x x x x x x x 6 Em uma potência de a n,,tem-se: a n expoente base A base representa o fator que se repete, o expoente o número de vezes que ele se repete. Vejamos mais um exemplo: ³ expoente x x = 7 base
Para trabalhar com as potências, é importante conhecer as seguintes definições: Seja a um número real, tem-se: a 0 = ( sendo a 0) a¹ = a Exemplos: 0 = 0 ¹ = (- )¹ = - (- ) 0 = Para as potências de base real não nula e expoente inteiro negativo, define-se: n a n = a n a Exemplo: 6 - = 6 6 = 6 Para as potências de base real não nula e expoente inteiro, são válidas as seguintes propriedades: a m.a n = a m + n a a m n a mn (a n ) m = a n.m m a.b a m.b m a b m a b m m Acompanhe algumas aplicações dessas propriedades: ³. 4 = + 4 7 ³ ² ¹ (²)³ =. 6
Potências de base Para expressar algumas grandezas, é comum o uso das potências. Isso ocorre quando deseja-se escrever um número de muitos algarismos, como por exemplo o número 0.000.000.000. Esse mesmo número pode ser representando da seguinte forma: ¹¹. Números como, 0,.000,.000, 0.000 podem ser escritos como potências de base. 0.000.000 4 0.000.000.000 6 Veja como representar a potência para alguns decimais. 0, = 0,0 = 0,00 =.000 = - = - ¹ - 0 ² 0,00 =.000 0,000 = 4.000 0,0000 = 0.000 0,00000 = 6.000.000 - -4 - -6
Curiosidade A potência 0 0 foi batizada em 98. Neste ano, o matemático Edward Kasner pediu ao sobrinho de nove anos que pensasse em um nome para um número muito grande. Diante da missão, o garoto sugeriu ao tio que esse número tão grande fosse chamado de GOOGOL. Devido a sua ordem de grandeza, o nome dado a potência de 0¹ 00 foi inspiração para o nome da grande ferramenta de busca Google. Notação científica Em algumas ciências, é muito comum o estudo de dados que apresentam uma escrita muito extensa, de muitos algarismos. Como por exemplo, a distância entre a Terra e o Sol, algo em torno de 0.000.000 de quilômetros. Figura - Distância Média entre a Terra e o Sol Fonte: Wikimedia Commons Para facilitar a escrita de números como esse, podemos fazer o uso da notação científica, ou seja, os números são escritos como uma potência de base, tornando a escrita menor. Utilizando a notação científica, podemos escrever um número considerando o seguinte modelo: x. y x deve ser um número menor que e maior ou igual a. y é um número inteiro No caso da distância média entre a Terra e o Sol,temos: 0.000.000 = x.000.000 0.000.000 =. 7
Para a notação cientifica, é necessário que o fator seja representado como um número menor que. Temos então:,.. 7, =,.. 7 = 8 A distância média entre a Terra e o Sol representada em notação científica, tem a seguinte escrita:,. 8 Vejamos outros exemplos de números representados em notação científica 6.000 6 x.000 6 x ³ 40.000.000 4 x.000.000 = 4. 7 4 =,4 x,4 x 8 6.000.000 6 x.000.000 6 = 6,. 6, x 7 0,00 x 0,00 0,00 = - x - 0,0000 x 0,0000 0,0000 = - x - Você já ouviu falar em átomo? Os átomos são partículas muito pequenas, um átomo é constituído de prótons, elétrons e nêutrons. Figura -Átomo Fonte: Wikimedia Commons Essas partículas possuem massa pouco significativas. Um próton, por exemplo, tem massa igual a 0,000.000.000.000.000.000.000.000.0067 kg. Expressa em notação científica essa massa pode ser representada por,67 x -7
O coração de uma pessoa que viveu até aproximadamente os 80 anos, bateu, ao longo desses anos, aproximadamente.00.000.000 de vezes Figura -Coração Fonte: Wikimedia Commons Esse número pode ser representado por, x 9. Observe algumas regularidades na representação de um número em notação científica. Vamos representar os números 0,06 e 6.000.000 em notação científica. 0,06 = 6 x 0,00 0,00 = - 6 6, 6 = 6,.¹ 6,.. -. - = - - = - 0,06 = 6, x - 6.000.000 = 6 x.000.000.000.000 = 6 6,6 6 =,6.,6.. 6. 6 = + 6 + 6 = 7 6.000.000 =,6. 7
Dica: Para representar um número em notação científica, você pode fazer uso das seguintes regras: No caso do decimal 0,06 observe que após a vírgula há três casas decimais. Porém é preciso considerar que para representá-lo em notação científica ele deve apresentar a seguinte estrutura x. y, onde x deve ser um número maior ou igual a e menor que. Neste caso, se o valor que ocupará o lugar da variável x deve ser seja menor que, vamos considerar o decimal 6,. Acompanhe: 0,06 ---------------- 6,. - casas decimais No caso do número 6.000.000 observe que considerando apenas os algarismos diferentes de zero, temos o número 6, conforme já mencionado, para representar qualquer número em notação científica, é preciso considerar a estrutura x. y, se x deve ser maior ou igual a e menor que, devemos transformar o inteiro 6 no decimal,6. Agora, é hora de saber qual será o expoente da potência de base que multiplicará o decimal,6, acompanhe: 6.000.000 -----------------,6. 7 Para obter,6, basta dividir os 6.000.000 por.000.000 ATIVIDADES.Determine o valor das seguintes potências: a) ² b) 6³ c) d) -4
e) (0,)² f) (- )² g) ( - ) h). Aplique as propriedades de potência e escreva na forma de uma só potência.conforme exemplo. 4 : = 4 = a) 7. b) : 6 c) (8³)³ d) 4. e) ¹. -. 6 f) ².. g). h) 9.7.8. Transforme em notação científica. a) 6.800 km b) 0,0 c) 7.000.000 d) 0,00000006 4. (ENEM 0) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 0. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela lua em torno da Terra. Na figura, está indicado a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU passou da superfície da Terra é igual a a), x ² km. b), x ³ km. c), x 4 km. d), x km. e), x 6 km.. Leia os dados do IBGE sobre o Brasil. O Brasil está localizado no continente americano e ocupa a parte centro-oriental da América do Sul. É cortado pelo Equador e Trópico de Capricórnio. (...) (...)Com uma área de 8.4.876,99 km², o Brasil configura-se como o maior País do Continente Sul-americano e, no mundo só é superado pela Rússia, Canadá e República Popular da China, se consideradas apenas as terras contínuas, e pelos Estados Unidos, levadas em conta as terras descontínuas. (...) Disponível em: <http://teen.ibge.gov.br/mao-na-roda/posicao-e-extensao.html>. Acesso em: 6 jan. 06. 6h40. Considere a extensão territorial do Brasil como 8.00.000 km² e representa-a em notação científica. 6. (FUVEST/PASUSP 008) As células da bactéria Escherichia coli têm formato cilíndrico, com 8. 7 metros de diâmetro. O diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente. -4 metros. Dividindo-se o diâmetro de um fio de cabelo pelo diâmetro de uma célula de Escherichia coli, obtém-se, como resultado, a) b) 0 c) 00
d) 00 e) 8000 LEITURA COMPLEMENTAR SÃO PAULO Dados territoriais O estado de São Paulo possui 64 municípios espalhados por uma área territorial de 48.09, km², o que representa,9% do território brasileiro. Figura 4 - São Paulo Fonte: Wikimedia Commons São Paulo é o estado brasileiro em área. O maior estado é o Amazonas, com uma área territorial de mais de, milhões de km². Com uma população estimada em 4.67.86 de habitantes (04) a densidade demográfica de São Paulo é de 7,9 habitantes por km². 68,% da população vivem nas cidades que compõem as regiões metropolitanas do estado. Disponível em: <http://www.bibliotecavirtual.sp.gov.br/temas/sao-paulo/sao-paulo-aspectosterritoriais.php>. Acesso em: 6 jan. 06. h. A densidade demográfica é a relação entre o número de habitantes e o espaço territorial. No caso do estado de São Paulo, tem-se: Densidade demográfica = 4.67.86 48.09, Calculando a densidade: Utilize a calculadora, divida o número de habitantes pela extensão territorial. Você encontrará o número 7,9 aproximadamente. Ou seja, conforme já mencionado, o estado apresenta uma densidade demográfica de 7,9 hab/km².
Agora, sem o uso da calculadora, vamos utilizar a notação científica para representar esses valores e calcular, novamente, a densidade demográfica do estado. Para facilitar a manipulação dos dados, vamos considerar os seguintes valores: População do estado em 04: 4.600.000 4.600.000 = 46. 46 = 4,6. 4,6.. = 4,6. 7 4.600.000 = 4,6. 7 Área territorial = 48.000 48.000 = 48.³ 48 =,48.,48.. =,48. Densidade demográfica = 4,6.,48. 7 = 4,6.,48 7,777. Densidade demográfica = 7,77 Considerando as aproximações, o resultado obtido, ao utilizar a notação científica foi muito próximo ao resultado real. INDICAÇÕES Para saber um pouco mais sobre as potências e a notação científica, consulte os materiais indicados a seguir. Livro: Matemática Mortífera. Col. Saber horrível Autor: Poskittkjartan Editora: Melhoramentos Jogo Potências. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/8/potencias.swf.
REFERÊNCIAS CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnologias Módulo I/ Matemática. Rio de Janeiro, 0. FUVEST, PASUSP - 009. Disponível em: http://www.fuvest.br/vest009/provas/pasusp008v.pdf>. Acesso em: 7 jan. 06. h. IBGE. Mapa Físico do Brasil. Disponível em:<http://teen.ibge.gov.br/mao-naroda/posicao-e-extensao.html>. Acesso em: 6 jan. 06. 6h40. INEP, ENEM 0. Disponível em:<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/0/caderno_enem 0_dom_amarelo.pdf>. Acesso em: 6 jan. 06. 9h4. SÃO PAULO (Estado). Secretária da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: <http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/conteudoceeja.aspx?materiaid=78&tipo =Aluno>. Acesso em: 8 jan. 0. h. SÃO PAULO, Governo do Estado. Biblioteca Virtual. São Paulo: aspectos territoriais. Disponível em:<http://www.bibliotecavirtual.sp.gov.br/temas/saopaulo/sao-paulo-aspectos-territoriais.php>. Acesso em: 6 jan. 06. h. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v : livro do professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 0. p. -. WIKIMEDIA COMMONS, 008. Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/s%c%ao_paulo_(city)#/media/file:marginal_ Pinheiros_(CENU-Globo).jpg>. Acesso em: 6 jan. 06. h40min. WIKIMEDIA COMMONS, 0. Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/file:%c%8tomo.jpg?uselang=pt-br>. Acesso em: jan. 06. h. WIKIMEDIA COMMONS. Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/heart#/media/file:gray0.png>. Acesso em: 6 jan. 06. h0. GABARITO. a). = b) 6.6.6 = 6 c).. 8 d)... e) 0,.0, = 0,06 f) ( -).(-) = + 4 8 4
g) ( -).( -).( -) = - 8 h)...000. a) 7+ = 8 b) -6 = 4 c)8. =8 9 d) 4 9 6 e) +(-) +6 = f) ( ) 0 g) Para representar a expressão como uma única potência, o primeiro passo é transformar o número em uma potência de base. = ³. 4 h) Para representar a expressão como uma única potência, o primeiro passo é transformar os números 9, 7 e 8 em uma potência de base. 9 = ² 7 =³ 8= 4.. 4 4 8. a) 68 x 68 = 6,8.¹ 6,8.. = 6,8. b) 0,0 =. - c) 7..000.000 = 7. 6 d) 6. - 6 =,06.,06.. - =,06-8 4. Alternativa D..000 =. =,.,.. =,.. 8. 8 = 8,. 8,.. = 8,. 6
6. Alternativa A.. -4 : 8. -7. 8 4 7-4- (-7) = 0,. 0,. -4 +7 = 0,.³ 0,.00 =