Sumário Apresentação da Coleção... 23 INTRODUÇÃO... 25 O que é lógica?... 25 Divisão da Filosofia... 29 Lógica de Aristóteles... 30 Lógica Moderna... 30 Raciocínio lógico matemático... 32 Objeto da lógica... 33 Divisão da lógica... 33 Lógica formal... 33 Enunciados Categóricos... 35 Tipos de lógica... 38 Capítulo 1 NOÇÕES DE CONJUNTOS... 41 Representação... 41 Por enumeração... 41 Por propriedade... 41 Por diagrama... 41 Conjunto Vazio... 41 Igualdade de Conjuntos... 42 Subconjuntos ou partes de um conjunto... 42 Triângulo de Pascal... 42 Curiosidades do Triângulo de Pascal... 47 Curiosidade Matemática... 47 Outra dica: podemos usá-lo na resolução de análise combinatória!... 48 Propriedades do Triângulo de Pascal... 54 Propriedades... 56 Números quadrados... 57 Propriedades... 58 Números Figurados... 58 Números triangulares... 58 Números quadrados... 59 Números pentagonais... 59 Retângulo Áureo e o Nautilus... 62 11
12 VALÉRIA LANNA Cálculo do número Φ... 64 Definição algébrica... 64 Série de frações... 65 Série de raízes... 66 Proporção áurea na natureza... 67 Figuras geométricas... 67 Vegetais... 67 Animais... 68 Corpo humano... 69 Aplicações... 70 Arte... 70 Música... 70 Objetos atuais... 71 Operações... 71 Interseção... 71 Propriedades... 72 União... 72 Propriedades... 72 Diferença... 72 Propriedade... 73 Princípio das gavetas de Dirichlet... 81 Capítulo 2 DESAFIOS... 95 Capítulo 3 ESTRUTURAS LÓGICAS... 109 Definição de Lógica... 109 Divisão da Lógica... 110 Resumo da estrutura lógica... 113 Definição... 113 Objeto da Lógica... 113 Divisão da Lógica... 114 Partes da lógica... 114 Ideia... 114 Compreensão da ideia... 114 Extensão da ideia... 115 Divisão das ideias... 115 Ideias quanto à perfeição... 115 Ideia quanto à compreensão... 116 Ideias quanto à extensão... 116 Termo... 116 Termos quanto à perfeição na representação da ideia... 116 Termo quanto à Compreensão... 117
SUMÁRIO Juízo... 117 Premissa... 117 Silogismo... 117 Proposição... 118 Paradoxo do Mentiroso... 121 Um verdadeiro Paradoxo do Mentiroso... 122 Capítulo 4 CONECTIVOS LÓGICOS... 123 As tabelas verdade... 123 Conjunção... 124 Disjunção... 125 O uso do ou (disjunção)... 126 Condicional ou subjunção... 134 Termo intermediário... 144 Negação... 149 Regras de Morgan... 150 I. Negação da conjunção... 150 II. Negação da disjunção... 150 III. Negação de uma condicional... 151 IV. Negação de uma bicondicional... 152 V. Negação do Maior ou menor... 153 Capítulo 5 USO DE DIAGRAMAS... 169 Capítulo 6 BICONDICIONAL OU BIJUNÇÃO... 175 Dicas importantes... 177 Valoração lógica em linguagem corrente... 185 Valoração em linguagem simbólica (tabelas-verdade)... 187 Valoração com uso exclusivo de tabelas... 189 Condição suficiente e necessária... 191 Capítulo 7 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA... 193 Leis de Morgan... 196 Equivalências e suas aplicações... 197 Capítulo 8 TAUTOLOGIAS... 211 Redundâncias... 212 Contradições... 213 Exclusivamente ou preferencialmente?... 214 13
14 VALÉRIA LANNA Capítulo 9 ARGUMENTAÇÃO... 215 Cálculo Proposicional - Conectivos... 221 Capítulo 10 LÓGICA INDUTIVA E DEDUTIVA... 237 Tipos de lógica... 237 Capítulo 11 SOFISMAS... 255 Espécies de sofismas... 255 Lei das oposições... 256 Falácia da afirmação da consequente... 257 Falácia da negação da antecedente... 257 Falácia da inconsistência... 258 Pseudosilogismos... 258 Falácia dos quatro termos... 259 Capítulo 12 SEQUÊNCIAS... 261 Capítulo 13 ANÁLISE COMBINATÓRIA... 287 FATORIAL... 287 Princípio fundamental de contagem... 288 Tabuleiro de Xadrez... 291 Anagramas... 294 Anagramas com repetição... 295 Combinação e Pascal... 297 Soluções inteiras não negativas de uma equação linear... 305 Fatorial... 306 Análise combinatória simples... 306 Capítulo 14 PROBABILIDADES... 319 Espaço amostral... 319 Probabilidade de um evento elementar... 319 Probabilidade de um evento qualquer... 320 Adição de Probabilidades... 321 Eventos Complementares... 322 Eventos Mutuamente Exclusivos... 322 Probabilidade Amostrais Equiprováveis... 322 Probabilidade Condicional... 323
SUMÁRIO Eventos Independentes... 324 Lei de Murphy... 324 Probabilidade de ocorrer a união de eventos... 325 Probabilidade de não ocorrer um evento... 325 Distribuição Binominal... 326 Propriedades... 329 Teorema de Bayes... 330 Capítulo 15 CONJUNTOS NUMÉRICOS... 345 Números Naturais... 345 Números Inteiros (Z)... 358 Adição... 359 Subtração... 359 Valor absoluto... 359 Defi nição... 360 Números simétricos... 360 Operações com números inteiros (z)... 361 Adições e subtrações com números inteiros... 361 Multiplicação... 362 Divisão inteira... 363 Multiplicações e divisões com números inteiros... 364 Divisibilidade e números primos... 368 Múltiplo de um número... 368 Divisor de um número... 369 Critérios de divisibilidade... 369 Divisibilidade por 2... 369 Divisibilidade por 5... 369 Divisibilidade por 10, 100, 1000, etc... 369 Divisibilidade por 4... 370 Divisibilidade por 8... 370 Divisibilidade por 25... 370 Divisibilidade por 3... 370 Divisibilidade por 9... 370 Divisibilidade por 6... 371 Divisibilidade por 12... 371 Divisibilidade por 7... 371 Divisibilidade por 11... 373 Divisibilidade por 13... 373 Regra geral de divisibilidade... 373 Números primos... 382 Números compostos... 383 Teorema fundamental da aritmética... 383 Reconhecimento de números primos... 384 15
16 VALÉRIA LANNA Decomposição de um número em fatores primos... 384 Número de divisores... 385 Roteiro para obter todos os divisores naturais de um número... 385 Roteiro para obtermos o número de divisores naturais de um número: nd(x)... 386 Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum... 387 Múltiplos comuns e mínimo múltiplo comum... 387 Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)... 388 Determinação do MMC pelo processo simplifi cado... 389 Divisores comuns e máximo divisor comum... 389 Determinação do MDC por decomposições em fatores primos... 390 Máximo Divisor Comum (M.D.C)... 390 Determinação do MDC pelo processo simplifi cado... 391 Propriedades do MMC e do MDC... 404 Números racionais... 406 Operações e propriedades... 406 Conceito... 406 Subconjuntos Importantes... 407 Representação fracionária... 408 Representação decimal de um número racional... 409 Inteiro... 409 Expansão Decimal Finita... 409 Expansão Decimal Infi nita Periódica... 409 Determinação de uma fração geratriz... 409 Como determinar uma fração geratriz... 409 Números mistos... 412 Adição e subtração de frações... 412 Com Denominadores Iguais... 412 Com Denominadores Diferentes... 412 Multiplicação de frações... 412 Divisão envolvendo frações... 414 Potenciação e radiciação... 417 Potenciação... 417 Propriedades Operatórias com Potências... 417 Regras de sinais nas potenciações... 418 RADICIAÇÃO... 418 Cálculo de Raízes quadradas Exatas de números entre 100 e 10.000... 419 Propriedades operatórias com radicais... 420 Capítulo 16 EQUAÇÕES E SISTEMAS... 439 Equação do 1º grau... 439 Sistemas de equações de 1º grau com duas equações e duas incógnitas... 441 1º Método Substituição... 441
SUMÁRIO 2º Método Adição... 442 Equações do 2º grau... 450 Resolução das equações completas... 450 Inequações envolvendo funções do 1º grau... 456 Inequações envolvendo funções quadráticas... 457 Função polinomial do 2 0 grau ou função quadrática... 459 Condição de existência das raízes... 459 Intersecção com os eixos... 460 Intersecção com o eixo dos y... 460 Intersecção com o eixo dos x... 460 Coordenadas do vértice... 461 Valor mínimo e valor máximo... 462 Capítulo 17 SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS... 469 Sistemas MKS... 469 Transformação de unidades... 469 Notação científi ca... 469 Unidades de comprimento... 470 Unidades de superfície... 470 Unidades de volume... 470 Medida de volume (litro)... 470 Relação entre m 3 e litro... 471 Unidades de massa... 471 Sistema sexagesimal... 471 Sistema decimal... 471 Capítulo 18 RAZÃO E PROPORÇÃO... 479 RAZÃO... 479 Escala... 482 Grandezas diretamente proporcionais... 486 Grandezas inversamente proporcionais... 486 Relação entre proporção inversa e proporção direta... 487 Divisão em partes diretamente proporcionais... 487 1º caso: Divisão em partes diretamente proporcionais... 487 2º caso: Divisão em partes inversamente proporcionais... 488 3º caso: Divisão composta direta... 489 4º caso: Divisão composta mista... 490 Grandezas direta e inversamente proporcionais... 491 Capítulo 19 REGRA DE TRÊS... 503 Relação de proporção direta... 503 Relação de proporção inversa... 504 17
18 VALÉRIA LANNA Grandezas proporcionais a várias outras... 505 Propriedade... 506 Capítulo 20 PORCENTAGEM... 517 Variação percentual... 518 Operações com mercadorias... 527 Acréscimos e descontos sucessivos... 529 Capítulo 21 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS... 539 Juros simples... 540 Cálculo de Juro simples... 541 Montante... 542 Casos particulares: capital, taxas e prazo médios... 542 Juro composto ou capitalizado... 544 Análise comparativa entre juros simples, Juros compostos e desconto bancário... 553 Juros Compostos x Juros Simples... 553 Capítulo 22 DESCONTOS E TAXAS... 559 Taxas proporcionais... 559 Taxas Equivalentes... 560 Taxa Nominal e Efetiva... 560 Taxa Real... 561 Taxa Aparente... 561 Taxa Interna de Retorno (TIR)... 565 Descontos... 568 Desconto composto... 576 Desconto comercial composto... 577 Desconto racional composto... 578 Taxa efetiva para desconto comercial... 580 Capítulo 23 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS... 591 Sequência numérica... 591 Progressão Aritmética (PA)... 591 Definição... 591 Propriedades... 591 Fórmula do termo geral de uma PA... 592 Representações especiais... 593 Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A.... 593 Progressão Geométrica (PG)... 597 Definição... 597
SUMÁRIO Propriedades... 597 Fórmula do termo geral... 598 Representações especiais... 598 Fórmulas da soma dos n termos de uma PG finita... 598 Soma dos termos de uma PG infinita... 599 Capítulo 24 ÁLGEBRA LINEAR... 619 Matrizes... 619 Introdução... 619 Elementos... 619 Matriz quadrada... 619 Matriz unidade ou matriz identidade... 619 Igualdade de matrizes... 620 Matriz transposta... 620 Matriz simétrica... 620 Operações com matrizes... 620 a) Adição... 620 b) Multiplicação de matriz por escalar... 621 c) Produto de matrizes... 621 Inversa de uma matriz... 622 Determinantes... 622 Introdução... 622 Determinantes de 2ª ordem... 622 Determinantes de 3ª ordem... 623 Propriedades dos determinantes... 623 Sistemas lineares... 642 Classificação dos sistemas quanto ao número de soluções... 642 Matriz escalonada ou sistema escalonado... 642 Princípios de equivalência de sistemas... 642 Capítulo 25 GEOMETRIA BÁSICA... 651 Introdução à geometria plana... 651 Ponto reta, plano, semi-reta, segmento, ângulo... 651 Segmentos consecutivos, colineares, adjacentes... 651 Ponto médio de um segmento... 652 Mediatriz de um segmento... 652 Ângulos reto, raso, agudo, obtuso... 652 Ângulos complementares e ângulos suplementares... 653 Triângulos e polígonos... 655 Elementos de um polígono... 655 Nº de diagonais de um polígono... 655 Classificação dos triângulos... 655 Bissetriz de um ângulo... 656 19
20 VALÉRIA LANNA Ângulos formados por duas paralelas e uma transversal... 656 Classificação dos triângulos... 656 Segmentos e pontos notáveis do triângulo... 657 1. Medianas... 657 2. Alturas... 657 3. Bissetriz internas e externas... 657 4. Mediatrizes... 658 Desigualdades entre os elementos de um triângulo... 658 Soma dos ângulos internos de um triângulo... 658 Teorema do ângulo externo de um triângulo... 659 Ângulo interno e ângulo externo de um polígono regular... 659 Quadriláteros... 659 Defi nição e classifi cação... 659 Paralelogramo... 660 Base média... 661 1. Do triângulo... 661 2. Do trapézio... 662 Circunferência e disco... 662 Definição... 662 Retas e Circunferências... 663 Ângulos em um disco... 663 1. Ângulo central: vértice no centro... 663 2. Ângulo inscrito: vértice no círculo, 2 lados secantes... 664 Quadrilátero inscritível... 664 Quadrilátero circunscritível... 665 Segmentos proporcionais... 665 Teoria de Tales... 665 Teorema da bissetriz interna... 665 Teorema de bissetriz externa... 666 Semelhança de triângulos e polígonos... 666 Triângulos semelhantes... 666 Relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo... 667 Elementos do triângulo retângulo... 667 Principais relações métricas... 667 Razões trigonométricas... 667 Seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis... 668 Lei dos co-senos... 668 Lei dos senos... 668 Relações métricas no círculo... 669 Relações métricas... 669 Polígonos regulares... 669 Elementos principais de um polígono regular... 670 Comprimento... 670 Áreas das figuras planas... 670 Noções de geometria espacial... 672
SUMÁRIO Paralelepípedo reto retângulo... 672 Cubo... 673 Cilindro circular reto... 673 Cone reto... 673 Esfera... 673 Capítulo 26 ESTATÍSTICA... 711 População... 711 Gráficos estatísticos... 711 Características... 711 Gráficos de informação... 711 Gráficos de análise... 712 Classificação dos gráficos... 712 Média... 719 Medidas separatrizes... 720 Mediana... 720 Relação entre a mediana e as demais medidas separatrizes... 720 Propriedades da Mediana... 721 Capítulo 27 DICAS E MACETES... 737 Conectivos lógicos: não, e, ou, se...então e se e somente se... 737 Equivalências Tautológicas... 738 Simbologia... 739 Alfabeto grego... 740 Dicas de Raciocínio Lógico... 740 Dicas de Matemática... 753 Capítulo 28 QUESTÕES DIVERSAS... 767 Capítulo 29 PROVAS DIVERSAS... 889 Capítulo 30 CITAÇÕES... 915 Capítulo 31 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 919 Capítulo 32 PALAVRAS-CHAVES... 921 Capítulo 33 ALGUMAS QUESTÕES COMENTADAS... 927 21