UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DO PARFOR LISTA DE EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS 1. Do alto de uma torre de 50 m de altura,localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45 o em relação ao plano horizontal. Pra transportar material até a ilha, um barqueiro cobra R$0, 50 por metro navegado. Quanto ele recebe por cada transporte que faz?. Um avião levanta vôo num ponto A e sobe fazendo um ângulo constante de 15 o com a horizontal. A que altura estará quando sobrevoar uma torre situada a km (000 m) do ponto de partida. (Dados: sen15 o = 0, 6; cos 15 o = 0, 97 e tg15 o = 0, 7). Duas pessoas A e B estão situadas na mesm margem de um rio, distante 60 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB sela perpendicular a AC e a medida do ângulo AĈB seja 60o. Determine a largura do rio. 4. Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 100m. Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60o ; quando em B, verifica que o ângulo N BA é de 45 o. Calcule a distância a que se encontra o navio da praia. 5. Calcular o valor da expressão: a) M = sen45o + sen90 o + sen15 o sen70 o +. cos 15 o b) sen 7π cos π tg 1π 6 c) cos 765o sen195 o tg1410 o 6. Determine cos x sabendo que π < x < π e senx =. (Lembre-se da relação 5 fundamental). 7. Se sec x = 5, x 1o quadrante,calcule o valor da A = 16(cot x + csc x). 8. Determine: a) sen105 o b) tg75 o
c) cos 15 o d) cos 9π 4 e) sen 1π 9. Verifique as seguintes identidades trigonométricas a) cosx.tgx. csc x = 1 b) tg x. csc x = 1 + tg x secx + tgx c) = tgx. sec x cosx + cot x d) senx csc x + cosx sec x = 1 e) 1 cos x 1 + cos x = (csc x cot x) 10. Resolva as equações trigonométricas a) senx = 1 b) cos x = c) cos x = d) sec x = sen π e) tgx = tgx ( f) cos x + π ) = 1 6 ( g) sen x π ) 4 h).sen x + senx 1 = 0 i). cos x cos x = 0 j) tgx = tgx k) senx + cos x = 1 l) senx cos x = 11. Sendo 0 x < π encontre a solução das seguintes inequações: a) sen < 1 b) cos x
c) tgx 1 d) cos < e) cos x + cos x 1 f) 4 cos x < g) senx + cos x 1. Calcule ( ) π sen x.sen(π + x) a) cos(π x). cos(π x) sen(π x) cos( π x) tg(π x) b) tg(π x) cos(π x) + sen( π x) [ ( )] π c) senx + cos x [cot(x π) cot(π x)] Leis do Cosseno e do Seno 1. Determine a medida do lado x do triângulo abaixo. A 4 7 B 70º 0º x C 14. Determine os valores de x,ĉ e B C X 8 B 6 45º A 15. Um topógrafo pretende medir a distância entre dois pontos (A e B) situados em margens opostas de um rio. Para isso, ele escolheu um ponto C na margem em que está e mediu os ângulos AĈB e CÂB, encontrando, respectivamente, 45o e 60 o. Determine AB.sabemdo que AC mede 16 m. 16. Um navio navega de um ponto A até um ponto B. Quando o navio está no ponto A, o comandante avista um farol que está num ponto C e calcula o ângulo AĈB que é igual a 0 o. Sabendo que o ângulo A BC é de 45 o e que AC = 4km e AB = 56km. Calcule a distância do farol ao ponto B.
4 17. Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos C BA = 57 e AĈB = 59. Sabendo que BC mede 0m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen(59 ) = 0, 87 e sen(64 ) = 0, 90) 18. Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura.calcule a distância d. 19. Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 0m da margem, na direção da reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40m de C, do qual ainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos DĈB e B DC medem, respectivamente, cerca de 15 e 10, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação 6 =, 4?
5 0. Num triângulo ABC cujos ângulos, supõe-se que.tgâ = tg B + tgĉ e 0 <  < π. Calcule tg B.tgĈ 1. Prove que, dado o triângulo ABC, tem-se a) b c a b) a + b c = = sen B Ĉ cos  cos  B sen Ĉ Números Complexos. Escreva oconjugado de cada complexo a) z = 1 i b) z = i + c) z = 4 59i d) z = 98 e) z = 7i. Efetue as divisões a) z = 4 + i 1 i b) z = 4 i i 5 c) z = 5 i 1 d) z = 4 i 1 4. Determine o número complexo z. a) z = i5 i 7 + i 41 i 18 + i 6 + 1 b) z = i + i 4 i 10 i 8 i 0 c) z = i7 + i 4 + i 1 4i 5 + i 8 + 7i 15 5. Determine os números complexos z tal que z + z = 4 e z.z = 1. 6. Resolva as equações a) z + zi 1 =
6 b) z z = 4 + 1 c) z.z + i = 7 + z d) zi = z 6 e) z + z.z = 7. Dado z 0, determine 1 z tal que z.1 z = 1 8. Calcule o valor de x nos seguintes casos: a) Para que o complexo z = (x 9x) + i seja imaginário puro. b) Para que o complexo z = + xi seja real. i c) Para que o complexo z = xi 1 + xi d) Para que o complexo z = 1 + i + xi seja imaginário puro. seja real. 9. Escreva na forma trigonométricas os seguintes números complexos a) z = + 1 b) z = i c) z = + i d) z = + i e) z = 4i f) z = 1 + i 0. Utilizando a fórmula de Moivre calcular as seguintes potências a) z = i b) z = ( 1 i) 100 ( 1 c) z = i ) 7 ( 1 + i ) 10 d) z = ( 1 i) 100 (1 i) 1. Determine a) as raízes quadradas de z 1 = 4, z = 4i,z = i b) As raízes cúbicas de z 1 = 1 + i e z = 8 c) As raízes quartas de Z = 8 + 8 i