Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br http://www.pucrs.br/famat/viali/ Grades Cojutos de Dados Orgaização; Resumo; Apresetação. Amostra ou População Defeitos em uma liha de produção Lascado Meor Deseho Maior Torto Lascado Deseho Esmalte Torto Esmalte Lascado Lascado Torto Deseho Maior Meor Meor Maior Deseho Torto...... 1
Distribuição de freqüêcias Defeito Freqüêcia % Deseho 71 14,0 Esmalte 95 19,00 Lascado 97 19,40 Maior 70 14,00 Meor 83 16,60 Torto 57 11,40 Tricado 7 5,40 Total 500 100 Apresetação F R E Q Ü Ê N C I A S Simples Acumuladas Absoluta Relativa Absoluta Relativa Decimal Percetual Decimal Percetual Freqüêcias: represetação Valores f i F i fr i fr i Fr i 0 60 60 0,30 30 30 1 50 110 0,5 5 55 40 150 0,0 0 75 3 30 180 0,15 15 90 4 10 190 0,05 5 95 5 6 196 0,03 3 98 6 4 00 0,0 100 Total 00 1,00 100
Defeitos em uma liha de produção 11% 5% 14% 0% 17% 14% 19% Deseho Esmalte Lascado Maior Meor Torto Tricado Número de irmãos dos aluos da turma G Probabilidade e Estatística - UFRGS - 010/01 0 1 1 6 3 1 3 1 1 0 4 5 1 1 1 0 4 1 3 1 1 1 1 1 5 5 6 4 1 1 0 1 4 3 1 0 1 1 3 0 1 0 Distribuição de freqüêcias, por poto ou valores, da variável: Número irmãos dos aluos da de turma G da disciplia: Probabilidade e Estatística UFRGS - 010/01. N o de irmãos N o de aluos 0 7 1 1 8 3 5 4 4 5 3 6 50 3
Diagrama de coluas simples da variável: Número de irmãos dos aluos da turma G Disciplia: Probabilidade e Estatística, UFRGS - 010/01 5 0 15 10 5 0 0 1 3 4 5 6 A média Aritmética Neste caso, a média a dada por: f x f.x... f.x x 1+ + + k k f1+ f +... + f k 1 f i.xi 4
Exemplo x i f i f i x i 0 7 0 1 1 1 8 16 3 5 15 4 4 16 5 3 15 6 1 50 95 A média será, etão: x f.x 95 50 i i 1,90 irmãos A Mediaa Como 50 é par, tem-se: me x / + x( / x x( / ) x 5 + x 6 ) + 1 50 / + 1+ 1 1 irmão 50 + 1 Exemplo x i f i F i 0 7 7 1 1 8 8 36 3 5 41 4 4 45 5 3 48 6 50 50 Total de dados 50 (par) Metade dos dados / 5 A Moda Exemplo m o valor(es) que mais se repete(m) x i f i 0 7 1 1 8 3 5 4 4 5 3 6 50 Pois A moda ele se é repete igual a mais 1 (um) vezes 5
A Amplitude h x máx - x mí h 6-0 6 irmãos O Desvio Médio Neste caso, o dma será dado por: f 1 x x + x... 1 f x + + f k x dma f 1 + f +... + f k f i. xi x k x Exemplo x i f i f i x i - x 0 7 7. 0 1,90 13,30 1 1 1. 1 1,90 18,90 8 8. 1,90 0,80 3 5 5. 3 1,90 5,50 4 4 4. 4 1,90 8,40 5 3 3. 5 1,90 9,30 6. 6 1,90 8,0 50 64,40 A Variâcia O dma será, etão: Neste caso, a variâcia será: dma f i. xi x 64,40 1,9 irmãos 50 s f1(x1 x) + f (x x) +... + f f i (xi x) f i xi x k (xk x) 6
Exemplo x i f i f i x i 0 7 0.7 0 1 1 1.1 1 8.8 3 3 5 3.5 45 4 4 4.4 64 5 3 5.3 75 6 6. 7 50 99 A variâcia será, etão: s f x 99 i x 1,90 50,3700 irmãos i O Desvio Padrão O Coeficiete de Variação s O desvio padrão será dado por: f i x i x,3700 1,5395 1,54 irmãos Dividido a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiete de variação: 1,539480 g 1,90 81,03% Idade (em meses) dos aluos da turma G da disciplia: Probabilidade e Estatística UFRGS - 010/01 7
76 45 345 40 70 310 368 334 68 88 336 99 36 39 355 330 87 344 300 44 303 48 51 65 46 40 30 308 99 31 34 89 30 64 5 98 315 55 74 64 63 30 303 369 47 66 75 81 30 34 Distribuição por classes ou itervalos da variável idade dos aluos da turma G da disciplia: Probabilidade e Estatística da UFRGS - 010/01 Idades Número de aluos 30 --- 50 1 50 --- 70 9 70 --- 90 8 90 --- 310 7 310 --- 330 6 330 --- 350 5 350 --- 370 3 Total 50 Histograma de freqüêcias da variável Idade dos aluos da turma G de Probabilidade e Estatística da UFRGS - 010/01 8
fi / hi 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 3 0 - - - 50 50 - - - 70 70 -- - 9 0 9 0 - - - 3 10 3 10 - - - 3 3 0 3 3 0 - -- 3 50 3 50 - - - 3 70 Ates de apresetar as medidas, i. é, represetates do cojuto, é ecessário estabelecer uma otação para algus elemetos da distribuição. O Poto Médio da Classe x i poto médio da classe; f i freqüêcia simples da classe; li i limite iferior da classe; ls i limite superior da classe; h i amplitude da classe. x i f i x i 30 --- 50 1 40 50 --- 70 9 60 70 --- 90 8 80 90 --- 310 7 300 310 --- 330 6 30 330 --- 350 5 340 350 --- 370 3 360 50 9
A Média da Distribuição x i f i f i. x i 40 1 880 60 9 340 80 8 40 300 7 100 30 6 190 340 5 1700 360 3 1080 50 1460 A Mediaa A média será: x f i.x i 1460 85,0 50 meses Neste caso, utilizam-se as freqüêcias acumuladas para idetificar a classe mediaa, i. é, a que cotém o(s) valor(es) cetral(is). Exemplo x i f i F i 30 --- 50 1 1 50 --- 70 9 1 70 --- 90 8 9 90 --- 310 7 36 310 --- 330 6 4 330 --- 350 5 47 350 --- 370 3 50 50 Total de dados 50 (par) Metade dos dados / 5 Portato, a classe mediaa é a terceira. Assim i 3. A mediaa será obtida através da seguite expressão: 10
A Moda 50 Fi 1 1 70 0 me li i + hi + f i 8 50 1 4 70 + 0 70 + 0 80 meses 8 8 Neste caso é preciso iicialmete apotar a classe modal, i. é, a de maior freqüêcia. Neste exemplo é a primeira com f i 1. Assim i 1. Exemplo i x i f i 1 30 --- 50 1 50 --- 70 9 3 70 --- 90 8 4 90 --- 310 7 5 310 --- 330 6 6 330 --- 350 5 7 350 --- 370 3 50 Classe modal, pois f i 1. Portato, a moda poderá ser obtida por meio de uma das seguites expressões: Critério de Kig: f i+ 1 mo li i + hi f i 1+ f i+ 1 9 30 + 0. 50 meses 9 9 30 + 0. 0 + 9 Critério de Czuber: m o f i f i 1 li i + hi.f i (f i 1+ f ) i+ 1 1 0 30 + 0..1 (0 9) + 1 30 + 0. 4 9 30 + 16 46 meses 11
A Amplitude h x máx - x mí h 370-30 140 meses O Desvio Médio Absoluto Neste caso, o dma será dado por: f 1 x x + x... 1 f x + + f k x dma f 1 + f +... + f k f i. xi x k x Exemplo x i f i f i. x i - x 40 1 1. 40 85,0 54,40 60 9 9. 60 85,0 6,80 80 8 8. 80 85,0 41,60 300 7 7. 300 85,0 103,60 30 6 6. 30 85,0 08,80 340 5 5. 340 85,0 74,00 360 3 3. 360 85,0 4,40 50 161,60 A Variâcia O dma será, etão: Neste caso, a variâcia será: dma f i. x x 3,43 meses i 161,60 50 f1(x1 x) + f (x x) +... + f k (xk x) s f i (xi x) f i xi x 1
Exemplo x i f i f i. x i 40 1 1.40 69100 60 9 9.46 608400 80 8 8.80 6700 300 7 7.300 630000 30 6 6.30 614400 340 5 5.340 578000 360 3 3.360 388800 50 4 138 000 A variâcia será, etão: s f xi i x 4138000 85,0 50 140,96 meses O Desvio Padrão O desvio padrão será dado por: s f i x i x 140,96 37,6956 37,70 meses O Coeficiete de Variação Dividido o desvio padrão pela média, tem-se o coeficiete de variação: 37,69563 g 13,% 85,0 Primeiro Coeficiete ( de Pearso) a 1 (Média - Moda) / Desvio Padrão Segudo Coeficiete ( de Pearso) Skewess a 3.(Média - Mediaa) / Desvio Padrão 13
Coeficiete Quartílico Coeficiete 0 - Cojuto Simétrico CQA [(Q 3 - Q ) - (Q - Q 1 )]/(Q 3 - Q 1 ) Provão 000 Curso: Odoto Coeficiete do Mometo a 3 m 3 /s 3, ode m 3 Σ(X - x ) 3 / Coeficiete < 0 Cojuto: Negativamete Assimétrico Coeficiete > 0 Cojuto: Positivamete Assimétrico Provão 000 Curso: Joralismo Provão 000 Curso: Eg. Elétrica Coeficiete de Curtose (mometos) a 4 m 4 /s 4, ode m 4 Σ(X - x) 4 / (Kurtosis) 14
Coeficiete 3 ou 0 Cojuto: Mesocúrtico Provão 000 Curso: Odoto Coeficiete > 3 ou (> 0) Cojuto: Leptocúrtico Provão 000 Curso: Matemática Coeficiete < 3 ou (< 0) Cojuto: Platicúrtico Provão 1999 Curso: Eg. Civil Etão: Se y ax +b y ax + b s s y y a s a s x x 15