Erros e Medidas Professor: Carlos Alberto Disciplina: Física Geral e Experimental
Medindo grandezas Físicas Medir é comparar duas grandezas sendo uma delas previamente definida como padrão e a outra desconhecida. Grandezas fundamentais (SI) GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO DA UNIDADE Comprimento Metro m Massa Quilograma kg Tempo Segundo s Intensidade de Corrente Elétrica Ampère A Temperatura Termodinâmica Kelvin K Quantidade de Matéria Mol mol Intensidade Luminosa Candela cd
Medindo grandezas Físicas Podemos medir o comprimento de vários objetos da figura com a régua através do processo de comparação, isto é, comparando o comprimento indicado na régua com o objeto.
Medindo grandezas Físicas Na figura anterior, estimamos o comprimento do clipe em 6 cm. No detalhe ampliado do final do clipe, mostrado na figura, percebemos que o clipe vai um pouco além dos 5,7 cm.
Medindo grandezas Físicas Não existe uma medida exata! Exemplos do dia-a-dia: Dosagem de medicamentos; Rosca de porcas; 1 kg de arroz; Medida dos sapatos; Velocímetro do automóvel. Medidas experimentais não são absolutas. Sempre existe uma dúvida no resultado obtido. Como expressar essa dúvida? Supondo que exista um valor verdadeiro, que nunca saberemos qual é, como avaliar a qualidade da medida efetuada?
Medindo grandezas Físicas Podemos dizer que a medida de uma grandeza m é dada por: m é o resultado da medida; M é o valor medido; ΔM é o incerteza (desvio) associado à medida. Ex: (24,50 + 0,05) cm Forma compacta Ex: 24,50(5) cm ERRO não é a mesma coisa que INCERTEZA!!! Erro = valor verdadeiro - valor medido Pode-se afirmar que toda medida experimental apresenta um erro, que precisa ser estimado e compreendido. O valor do erro NUNCA pode ser conhecido! Incerteza = melhor estimativa do valor do erro
O que são Algarismos significativos? São, como o próprio nome diz, algarismos que tem significado! Exemplo: (2,746 + 0,050) cm 2 tem significado (eu tenho certeza dele). O mesmo com 7; 4 é um número incerto mas é uma estimativa plausível, sendo assim, também tem significado; 6 não faz sentido, pois se o 4 já é um chute, qual a importância do 6? Então ele não tem significado.
Algarismos significativos Quando realizamos uma medida devemos sempre nos preocupar em apresentar o resultado com o número correto de algarismos significativos.
Algarismos significativos 2 3 (2,74 + 0,05) cm Incerteza! Em geral, metade da menor divisão Tenho certeza Estou em dúvida
Regras para algarismos significativos: Algarismos significativos são todos aqueles que temos certeza na medida mais o primeiro algarismo incerto (chute) Pode-se utilizar dois algarismos incertos quando o primeiro algarismo correspondente na incerteza é 1 ou 2 Ex: (1,452 + 0,018) cm Zeros à esquerda não são significativos enquanto à direita podem ser. Ex: 0,000043 tem apenas 2 algarismos significativos Ex: 2,3500 tem 5 algarismos significativos
Operação com algarismos significativos Multiplicação ou divisão: O resultado não pode ter mais algarismos significativos que no número com menores algarismos significativos; Adição ou subtração (0,745 x 2,2)/3,885 = 0,42 (1,32578 x 10 7 ) x (4,11 x 10-3 ) = 5,45 x 10 4 O resultado é determinado pelo algarismo com maior incerteza (i.e., os menores dígitos à direita do ponto decimal) 27,153 + 138,2 11,74 = 153,6 É importante salientarmos aqui, que a quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Por exemplo: 8,7 cm: 2 algarismos significativos 8,7 x 10-3 m = 0,0087 m: 2 algarismos significativos 8,7 x 10-5 km = 0,000087 km: 2 algarismos significativos 8,7 x 10 mm = 87 mm: 2 algarismos significativos
Classificação de erros Erros sistemáticos: Os erros sistemáticos podem ter diversas origens como as citadas a seguir: - Instrumentais; - Teóricos; - Ambientais; - Observacionais; sempre para mais ou sempre para menos do valor verdadeiro.
Classificação de erros Erros grosseiros: Estes são causados, como o próprio nome sugere, por inexperiência do experimentador. Ele comete esses erros quando lê 10ml e a leitura certa seria 1,00 ml, ou então, quando a unidade certa seria kg, ele a lê em g. Erros de escala: É o máximo erro aceitável cometido pelo operador, devido ao limite de resolução da escala do instrumento de medida. Erros aleatórios (acidentais): É aquele que decorre de perturbações estatísticas imprevisíveis, acontecendo, portanto, em qualquer sentido. Os erros aleatórios não seguem qualquer regra definida. Assim sendo, não podemos evitá-los.
Classificação de erros O erro máximo na medida, também chamado de desvio da medida (Δx), é a soma de todos os erros, ou seja Existem situações em que um dos tipos de erro predomina sobre os demais. Nesses casos, é usual assumir como desvio o erro predominante. Em medidas estáticas, por exemplo, geralmente o erro de escala é muito maior que os outros dois. Nesse caso, o desvio cometido na medida pode ser considerado como sendo somente o devido ao erro de escala.
Estatística dos valores das medidas Vamos supor que uma determinada grandeza física x seja medida n vezes. O espaço amostral das medidas será então formado pelos pontos experimentais: x 1, x 2, x 3,..., x n = {x i }, onde i = 1,2,3,...n. Valor médio de uma grandeza (mais provável) O valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética das diversas medidas da grandeza: Desvio de uma medida Desvio é a diferença entre um valor medido e o valor adotado que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio). Desvio padrão Indica a tendência das medidas de se distribuírem em torno do seu valor mais provável.
Medidas indiretas e propagação de incertezas Nem sempre é possível determinar certas grandezas por medição direta, para se determinar a densidade de um objeto, por exemplo, é preciso medir a sua massa e o seu volume, que por sua vez é determinado pela medida de suas dimensões. Todas estas medidas estarão afetadas de incertezas, que na determinação da densidade se propagarão e darão origem a uma incerteza na densidade. Incerteza em uma soma ou diferença Suponha que vamos determinar a grandeza S = A B + C +... e foram feitas as medidas A ± A, B ± B, C ± C,... Mais rigorosamente
Medidas indiretas e propagação de incertezas Exemplo: Na determinação do perímetro de um quadrilátero, mediram-se os seus lados a, b, c, e d com instrumentos diferentes obtendo-se a = ( 5,03 ± 0,05 ) cm, b = ( 6,8 ± 0,5 ) cm c = ( 0,673 ± 0,001) cm d = ( 2,36 ± 0,05 ) cm Qual o perímetro? Incerteza em uma multiplicação ou divisão Seja y uma grandeza dependente de outras grandezas x 1, x 2, x 3,..., x n. Pode-se escrever A incerteza na medida de y é dada por:
Medidas indiretas e propagação de incertezas Exemplo: Calcular o volume de um cilindro de comprimento L = (5,00 ± 0,02) cm e diâmetro D = (2,00 ± 0,01)cm, com seu respectivo erro propagado. O volume do cilindro é dado por
Parte experimental (a) Paquímetro A Figura abaixo mostra um paquímetro, com escalas em centímetros. Há vários tipos de paquímetros disponíveis comercialmente, sendo suas características gerais bastante semelhantes. O paquímetro normalmente é utilizado para medidas de comprimentos de até aproximadamente 15 cm, com precisão de dezenas de micrômetros (10 μm = 10-6 m). O objeto a ser medido é colocado entre as esperas. Existem dois tipos de esperas, para diâmetros internos e externos.
Parte experimental (b) Micrômetro O micrômetro destina-se a medidas de até alguns centímetros e precisão de 0,01 mm (10 μm). Os cuidados são os mesmos que devem ser tomados para se operar o paquímetro: destravar o aparelho antes da medida e não apertar demais o objeto a ser medido.
Parte experimental (b) Micrômetro
Procedimento experimental 1. Iniciar fazendo medidas do diâmetro (D) da esfera utilizando o micrômetro, no mínimo 10 vezes (calcular o volume médio da esfera, e a incerteza no volume); 2. Encher o tubo milimetrado até uma quantidade conhecida de volume, inserir a esfera no tubo com água e, em seguida, calcular o seu volume pelo volume do líquido deslocado; 3. Medir o diâmetro (D) e a altura (h) do cilindro maciço utilizando o micrômetro, no mínimo 10 vezes (calcular o volume médio do cilindro, e a incerteza no volume); 4. Medir o diâmetro interno, o diâmetro externo e a altura (h) cilindro com o paquímetro, mínimo de 10 vezes. (Calcular o volume médio do cilindro, e a incerteza no volume); 5. Pesar a esfera na balança (uma única vez); 6. Calcular a densidade da esfera. De que material a esfera é feita (olhar tabela no livro do Halliday, página 338).
Procedimento experimental Volume da esfera: Volume do cilindro: