IFMG-Formiga Introdução Lógica para Ciência da Computação O que é Lógica? É a formalização de linguagem e raciocínio, além de meios para expressar (dar significado) a essas formalizações. Profª. Danielle Costa Mundo Sintático Alfabeto e Regras sintáticas: Sentenças bem formadas Interpretação Mundo Semântico Significado: Valor verdade Material adaptado: Souza, João N. Lógica para Ciência da Computação. Uma introdução concisa 2 História Surgiu com o filósofo Aristóteles (Grécia 342 a.c.) que tentava descobrir com funcionava o raciocínio humano. Aristóteles estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados. Princípio da não contradição diz que nenhuma afirmação (proposição) pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. História Em meados do século XIX Booletrabalhou no que hoje é a base matemática para hardware de computadores. No início do século XX Frege tentou derivar toda a matemática através de princípios lógicos (lógica de 2ª ordem). Russel encontrou falhas no trabalho de Frege direcionou seu trabalho a fim de reparar as falhas no que deu origem a lógica matemática de hoje. 3 4 1
Divisão da lógica Lógica Formal Lógica Formal clássica: lógica Dual de Aristóteles Lógica Formal não clássica Lógica Matemática Lógica Matemática Simbólica clássica: lógica Dual de George Boole Lógica Matemática não clássica Linguagens Formais De maneira informal, podemos definir uma linguagemcomo sendo uma forma de comunicação. Elaborando um pouco mais esta definição, podemos definir uma linguagem como sendo "um conjunto de elementos (símbolos) e um conjunto de métodos (regras) para combinar estes elementos, usado e entendido por uma determinada comunidade". São exemplos as linguagens naturais (ou idiomas), linguagens de programação" e os "protocolos de rede"... A lógica Proposicional e a lógica de Predicados tem como ponto de partida a linguagem formal. 5 6 Fundamentos da lógica Capítulo 1 A linguagem da Lógica Proposicional 7 Os itens básicos os quais a lógica lida são as proposições. As proposições são utilizadas para expressar crenças. Em linguagem natural elas são representadas por sentenças declarativas o qual pode ser atribuído, sem ambiguidade, um dos valores lógicos (v-verdadeiro ou f-falso). Ex.: Está frio hoje. 3+4 A rua está molhada. Tudo bem? 3+7=10 Pare! 8 2
Introdução Alfabeto da Lógica Proposicional Definição 1.1 (alfabeto) O alfabeto da Lógica Proposicional é constituído por: símbolos de pontuação: (; ); símbolos de verdade: true, false; símbolos proposicionais: P; Q; R; S; P 1 ; Q 1 ; R 1 ; S 1 ; P 2 ; Q 2 ;...; conectivos proposicionais:,,,,. Definição 1.2 (fórmula ou sentença) As fórmulas são construídas, de forma indutiva, a partir dos símbolos do alfabeto conforme as regras a seguir. O conjunto das fórmulas é o menor conjunto que satisfaz as regras: todo símbolo de verdade é uma fórmula; todo símbolo proposicional é uma fórmula; se H é uma fórmula, então ( H), a negação de H, é uma fórmula; Ex.: (H) O café está muito quente Negação ( H) : O café nãoestá muito quente 9 10 Definição 1.2 (fórmula ou sentença) se H e G são fórmulas, então a disjunção de H e G; dada por: (H G); é uma fórmula; Ex.: (H) José vai estudar (G) José vai para a festa Disjunção (H G): José vai estudar ou José vai a festa se H e G são fórmulas, então a conjunção de H e G; dada por: (H G); é uma fórmula; Ex.: (H) João vai trabalhar (G) Maria vai as compras Conjunção (H G): João vai trabalhar emaria vai as compras Definição 1.2 (fórmula ou sentença) se H e G são fórmulas, então a implicação de H em G; dada por: (H G); é uma fórmula. Nesse caso, H é o antecedente e G o conseqüenteda fórmula (H G); Ex.: (H) Eu como muito (G) Eu engordo Implicação (H G): Seeu como muito então eu engordo. se H e G são fórmulas, então a bicondicional de H e G; dada por: (H G); é uma fórmula. Nesse caso, H é o lado esquerdo e G o lado direito da fórmula (H G). Ex.: (H) Um triângulo é retângulo (G) Um triângulo tem ângulo reto Bicondicional (H G): Um triângulo é retângulo se e somente se tem ângulo reto 11 12 3
Variações Estilísticas: Negação Disjunção Conjunção Implicação Bicondicional 13 Notação: Os parênteses das fórmulas são omitidos quando não há problemas sobre a sua interpretação. Além disso, as fórmulas podem ser escritas em várias linhas para uma melhor leitura. Assim, a fórmula: (((P R) true) (Q S)) pode ser escrita como (P R) true Q S ou ainda como ((P R) true) (Q S). 14 Ordem de Precedência Elementos Sintáticos das Fórmulas Definição 1.3 (ordem de precedência) Na Lógica Proposicional, a ordem de precedência dos conectivos proposicionais é definida por: maior precedência: ; precedência intermediária:, ; menor precedência:,. Definição 1.4 (comprimento de uma fórmula) Seja H uma fórmula da Lógica Proposicional. O comprimento de H, denotado por comp[h], é definido como se segue. Se H = P ou é um símbolo de verdade, então comp[h] = 1; Comp[ H] = comp[h] + 1; comp[h G] = comp[h] + comp[g] + 1; comp[h G] = comp[h] + comp[g] + 1; comp[h G] = comp[h] + comp[g] + 1; comp[h G] = comp[h] + comp[g] + 1. 15 16 4
Elementos Sintáticos das Fórmulas Definição 1.5 (subfórmula) Seja H uma fórmula da Lógica Proposicional, então: H é uma subfórmula de H; se H é uma fórmula do tipo ( G), então G é uma subfórmula de H; se H é uma fórmula do tipo: (G E), (G E), (G E) ou (G E), então G e E são subfórmulas de H; se G é subfórmula de H, então toda subfórmula de G é subfórmula de H. 1) Quais das concatenações de símbolos a seguir constituem sentenças bem formadas: A) R10iftruethen B) trueiff(p iftruethen) C) if(p orq) thentrue D) if(p ande) thenfalseiffq ors E) if(p andq) then((q iffp) orr) F) notnotp G) orq 17 18 2)Formalize as seguintes sentenças: A)Fleming descobriu a penicilina ou não a descobriu. P v P B)Se eu não trabalho então não sou feliz. P Q C)Jô Soares é artista se e somente se não é verdade que Jô Soares é artista. P P D)Se está chovendo então a estrada está molhada e perigosa. (P Q) R 3)Qual o comprimento da sentença: A) (if (P or Q)) then true) P v Q true comp[h] = comp[p] + comp [Q] + 1= 3 comp[h true]= comp[h] + comp[true] + 1= 5 19 20 5