UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE TORRES METÁLICAS ESTAIADAS RENATO CÉSAR GAVAZZA MENIN DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL FACULDADE DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE TORRES METÁLICAS ESTAIADAS ENG o CIVIL RENATO CÉSAR GAVAZZA MENIN ORIENTADOR: JOSÉ LUIS VITAL DE BRITO COORIENTADOR: ATHAIL RANGEL PULINO FILHO DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL PUBLICAÇÃO: E.DM 009A/00 BRASÍLIA / DF: ABRIL DE 00.

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE TORRES METÁLICAS ESTAIADAS ENG o CIVIL RENATO CÉSAR GAVAZZA MENIN DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL. APROVADA POR: JOSÉ LUIS VITAL DE BRITO, Douor (UnB) (ORIENTADOR) ATHAIL RANGEL PULINO FILHO, Douor (UnB) (COORIENTADOR) LINEU JOSÉ PEDROSO, Dr.Ing (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) ACIR MÉRCIO LOREDO SOUZA, PhD (UFRGS) (EXAMINADOR EXTERNO) DATA: BRASÍLIA/DF, 8 de Abril de 00 ii

FICHA CATALOGRÁFICA. MENIN, RENATO CÉSAR GAVAZZA Análise Esáica e Dinâmica de Torres Meálicas Esaiadas [Disrio Federal] 00. xx, 8 p., 97mm (ENC/FT/UnB, Mesre, Esruuras, 00). Disseração de Mesrado Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Deparameno de Engenharia Civil e Ambienal.. Torres Esaiadas. Análise Esruural 3. Análise Dinâmica 4. Não Linearidade. I. ENC/FT/UnB II. Tíulo (série) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA. MENIN, R.C.G. (00). Análise Esáica e Dinâmica de Torres Meálicas Esaiadas, Publicação E.DM 009A/00, Deparameno de Engenharia Civil e Ambienal, Universidade de Brasília, Brasília, DF, xx, 8 p.. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Renao César Gavazza Menin TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Análise Esáica e Dinâmica de Torres Meálicas Esaiadas GRAU: Mesre em Esruuras e Consrução Civil ANO: 00 É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desa disseração de mesrado e para empresar ou vender ais cópias somene para propósios acadêmicos e cieníficos. O auor reserva ouros direios de publicação e nenhuma pare desa disseração de mesrado pode se reproduzida sem a auorização por escrio do auor. Renao César Gavazza Menin SHIN, QI 0, Conjuno 0, Casa 07 Lago Nore CEP: 755-00 Brasília/DF, Brasil. iii

DEDICATÓRIA Gosaria de dedicar ese rabalho aos meus pais César e Sonia, ao meu irmão Eduardo, à minha avó Anonia, à Karine e à Ilma, que esiveram sempre ao meu lado nos bons e maus momenos, me dando o apoio e compreensão necessários para que eu pudesse chegar ao fim de mais uma difícil jornada. iv

AGRADECIMENTOS Gosaria de agradecer primeiramene aos professores da Pós-Graduação em Esruuras da UnB: Luciano Mendes Bezerra, Lineu José Pedroso, Paul Willian Parridge, Graciela Doz de Carvalho, Willian Mahias Taylor e Eldon Londe Mello, que muio me incenivaram nesses dois anos vividos na comunidade da UnB, desperando o meu ineresse pela pesquisa. Em especial gosaria de agradecer à dedicação, amizade e paciência demonsradas pelos professores José Luis Vial de Brio e Ahail Rangel Pulino Filho, que assumiram a orienação dese rabalho, conduzindo-o de forma segura e ranqüila, mesmo nos momenos mais difíceis, sendo de fundamenal imporância para a sua conclusão. Finalmene, gosaria ambém de agradecer à amizade e compreensão dos meus colegas de mesrado e douorado: Jonahan, Neres, Nélvio, Márcio, Milon, Miguel, Andréia, Gusavo, Ricardo, Glauceny, Jonas, Frederico, Carlos Magno, Cleyon, Ludimar, Parícia, Danielle, Donaldson, Nilo, Alessandro, Felipe, Shefan, Alexandre, Diogo, Luiz Oávio, Aarão, Arlindo, Carla, Renaa, Parícia, Gláucio, João Pedro, Nielsen, Perúcio e Vladimir. Em especial gosaria de agradecer ao Marlos José Ribeiro Guimarães, pela grande amizade e ajuda, sempre dando conselhos consruivos para o melhor andameno e esruuração do rabalho, bem como reirando uma grande quanidade de dúvidas de ordem práica à respeio de orres em geral, além de disponibilizar uma grande quanidade de exos e maeriais de referência sobre o assuno. v

ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE TORRES METÁLICAS ESTAIADAS RESUMO Ese rabalho descreve um esudo do comporameno de orres meálicas esaiadas submeidas à carregamenos de veno, considerando-se faores consruivos e de esabilidade. Inicialmene é feio um esudo esáico do principal carregameno, represenado pelo veno, segundo o procedimeno descrio na norma NBR 63 (988), uilizando-se modelos maemáicos lineares e não lineares que permiem alongamenos nos elemenos de cabo para a inrodução das forças de pré-ensionameno. Na análise modal, as freqüências e os modos naurais de vibração da esruura são deerminados a parir de uma expressão linearizada da equação de equilíbrio dinâmico, admiindo-se pequenas oscilações em orno da posição de equilíbrio esáico. Compleando o esudo, é empregado o méodo de simulação de Mone Carlo, para o desenvolvimeno de uma análise dinâmica do veno que permia compuar o efeio da parcela fluuane do veno (rajadas) e com isso ober uma avaliação mais realisa do comporameno e do desempenho esruural. vi

STATIC AND DYNAMIC ANALYSIS OF GUYED METALLIC TOWERS ABSTRACT The research described here considers he behavior of guyed meallic owers subjeced o wind loads, aking ino consideraion sabiliy and consrucive facors. Iniially, a saic analysis of he wind load is carried ou, according o he procedure described in he Brazilian Wind Code - NBR 63 (988). The owers are modeled using linear and nonlinear approaches, admiing sreching of cables o describe he iniial ension. In he modal analysis, he naural frequencies and modal shapes are calculaed by linearizaion of he dynamic equilibrium equaion, admiing small oscilaions around he saic equilibrium configuraion. Besides he saic and modal analysis, a dynamic wind analysis is also performed, making use of he simulaion mehod of Mone Carlo, which permis he compuaion of he flucuaing porion of he wind (guss). This ecnique allows a more realisic evaluaion of he srucural response of owers. vii

ÍNDICE Capíulo Página. INTRODUÇÃO. GENERALIDADES. MOTIVAÇÃO.3 NATUREZA DO TRABALHO.4 OBJETIVOS 3.5 CONTEÚDO 3. TIPOLOGIA ESTRUTURAL. TIPOS DE TORRES DE SUSTENTAÇÃO 5. PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DAS TORRES ESTAIADAS QUADRADAS 7.3 CABOS DE ESTAIS.4 TIPOS DE ANTENAS 4 3. MODELOS MATEMÁTICOS 3. ANÁLISE ESTÁTICA 5 3.. Modelo Não Linear para Cabo Tensionado 6 3... Deformação Longiudinal 6 3... Energia Poencial Toal 9 3...3 Gradiene da Energia Poencial Toal 9 3.. Modelo Linear para Cabo Tensionado 3 3... Deformação Longiudinal 3 3... Energia Poencial Toal 4 3...3 Gradiene da Energia Poencial Toal 4 3..3 Modelo Linear Clássico de Treliça Espacial 7 3..3. Energia Poencial Toal 7 3..3. Gradiene da Energia Poencial Toal 7 viii

3. ANÁLISE MODAL 9 3.. Equação de Equilíbrio Dinâmico 9 3.. Problema de Auovalores e Auoveores 30 3..3 Mariz Hessiana do Elemeno 3 3..4 Normalização dos Auoveores 36 3.3 ANÁLISE DINÂMICA 37 3.3. Inegração da Equação de Movimeno 37 3.3. Mariz de Amorecimeno 39 3.3.3 Mariz de Massa Consisene 40 3.3.4 Esforços Inernos 4 4. ANÁLISE ESTÁTICA DO VENTO SEGUNDO NBR 63 4. FORÇA DE ARRASTO 4 4. PERFIL CONTÍNUO E DECOMPOSIÇÃO DA FORÇA DE ARRASTO 43 4.3 DETERMINAÇÃO DE FORÇAS ESTÁTICAS 48 4.4 TEORIA ELÁSTICA DE DIMENSIONAMENTO 48 4.5 DIMENSIONAMENTO DOS PERFIS 50 4.6 DIMENSIONAMENTO DOS CABOS 53 5. ANÁLISE DINÂMICA DO VENTO MÉTODO DE MONTE CARLO 5. HISTÓRICO DO ESTUDO DOS EFEITOS DINÂMICOS DO VENTO 55 5. MÉTODO DE MONTE CARLO 57 5.. Resumo do Processo 57 5.. Veno Médio e Rajadas 58 5..3 Especro de Velocidades Fluuanes 60 5..4 Especro de Pressões Fluuanes 6 5..5 Decomposição da Pressão Fluuane 63 5..6 Correlação Espacial de Velocidades e Pressões Fluuanes 68 5..7 Análise no Tempo e Resposa Caracerísica 70 5.3 ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXTREMOS 7 ix

6. PROGRAMAS COMPUTACIONAIS 6. PROGRAMA GTEQ 73 6. PROGRAMA AETEQ 75 6.3 PROGRAMA FMVTEQ 79 6.4 PROGRAMA ADTEQ 8 6.5 PROGRAMA RAJADA 84 7. EXEMPLOS NUMÉRICOS 7. ANÁLISE ESTÁTICA 86 7. ANÁLISE MODAL 93 7.3 ANÁLISE DINÂMICA 95 8. CONCLUSÕES 8. CONCLUSÕES FINAIS 00 8. SUGESTÕES 0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 03 APÊNDICES: A BANCOS DE DADOS DE PERFIS E DE CABOS 05 B BITOLAS DOS PERFIS 06 C PRÉ-TENSIONAMENTOS NOS CABOS 08 D ESFORÇOS NOS PERFIS ESTRUTURAIS 09 E ESFORÇOS NOS ELEMENTOS DE CABO 4 F REAÇÕES DE APOIO 5 G RESULTADOS DA ANÁLISE MODAL 7 H ANÁLISE DINÂMICA NA TORRE DE 0 METROS 8 x

LISTA DE TABELAS Tabela Página. Especificações das erminações com grampos 3 4. Faores de redução φ f 54 7. Caracerísicas geoméricas das orres 87 7. Parâmeros de veno conforme NBR 63 88 7.3 Discreização da orre de 0 m para NEC =, ou 4 88 7.4 Cargas nos cabos (KN) para NEC =, ou 4 88 7.5 Número de ierações e empo de processameno das orres 89 7.6 Deslocameno médio do opo das orres (cm) 9 7.7 Roações na anena mais ala das orres (graus) 9 7.8 Freqüências naurais das orres (Hz) 93 7.9 Componenes harmônicas para analise dinâmica da orre de 0 meros 95 7.0 Deslocamenos de referência máximos por bloco 97 7. Parâmeros esaísicos uilizados na disribuição de Gumbel 97 A. Banco de dados de perfis 05 A. Banco de dados de cabos 05 B. Biolas dos perfis na orre de 0 meros 06 B. Biolas dos perfis na orre de 30 meros 06 B.3 Biolas dos perfis na orre de 50 meros 06 B.4 Biolas dos perfis na orre de 70 meros 07 B.5 Biolas dos perfis na orre de 90 meros 07 C. Pré-ensionamenos nos cabos 08 D. Esforços nos perfis da orre de 0 meros 09 D. Esforços nos perfis da orre de 30 meros 0 D.3 Esforços nos perfis da orre de 50 meros D.4 Esforços nos perfis da orre de 70 meros D.5 Esforços nos perfis da orre de 90 meros 3 xi

E. Esforços nos elemenos de cabo 4 F. Reações de apoio na orre de 0 meros 5 F. Reações de apoio na orre de 30 meros 5 F.3 Reações de apoio na orre de 50 meros 6 F.4 Reações de apoio na orre de 70 meros 6 F.5 Reações de apoio na orre de 90 meros 6 G. Freqüências e períodos das orres 7 H. Esforços nos elemenos de cabo 8 H. Esforços nos elemenos de perfis 8 xii

LISTA DE FIGURAS Figura Página. Torres de susenação 5. Torre meálica esaiada quadrada 7.3 Disposição de barras em uma seção 8.4 Disposiivo ani-orção e dealhe da exremidade 9.5 Região de ancoragem de cabos na orre 0.6 Ancoragem normal e em ani-orçor.7 Cabo de aço de see fios.8 Terminação de cabo com laço, sapailho e grampos 3 3. Modelo não linear de elemeno de cabo no espaço e sua represenação veorial 6 3. Deslocamenos de um elemeno de cabo no espaço 0 3.3 Represenação veorial do modelo linear de elemeno de cabo 3 4. Decomposição horizonal da força de arraso Fa 4 4. Força de Arraso à parir do perfil conínuo 43 4.3 Decomposição verical para as forças de arraso 46 4.4 Comprimeno dos elemenos para o cálculo do índice de esbelez 53 5. Especro da velocidade longiudinal do veno (Van der Hoven) 59 5. Equivalência enre veno horário e veno médio em segundos 60 5.3 Especro de veno e especro reduzido 6 5.4 Decomposição especral da pressão fluuane 64 5.5 Perfil de pressões do veno 67 5.6 Rajada equivalene (reangular e riangular) 69 5.7 Coeficiene de decaimeno linear da pressão fluuane (cdl) 70 6. Fluxograma do programa GTEQ 73 6. Fluxograma do programa AETEQ 76 6.3 Fluxograma do programa FMVTEQ 79 6.4 Fluxograma do programa ADTEQ 8 xiii

6.5 Fluxograma do méodo de Newmark 83 6.6 Fluxograma do programa RAJADA 84 7. Torres de 0 e 30 meros de alura 86 7. Torres de 50, 70 e 90 meros de alura 86 7.3 Análise comparaiva do número de ierações e empo de processameno 89 7.4 Número de ierações em função do modelo maemáico 90 7.5 Análise comparaiva no empo de processameno das orres 90 7.6 Deslocameno de opo 9 7.7 Análise comparaiva das roações 9 7.8 Freqüências naurais das orres (Hz) 94 7.9 Número de varreduras no procedimeno Jacobi Generalizado 94 7.0 Deslocameno x Tempo na combinação caracerísica 98 7. Faixas de freqüências naurais e do Especro de Poência 99 xiv

LISTA DE SÍMBOLOS a ij a j A g A n : Mariz dos auoveores do sisema não normalizados. : Veor modal j não normalizado. : Área brua da seção ransversal dos perfis esruurais. : Área líquida da seção ransversal dos perfis esruurais. b;f r ;p : Parâmeros meeorológicos conforme NBR 63. c C C a C ar C c Cdl C k c k Coh : Veor que represena o ensionameno do elemeno de cabo. : Mariz de amorecimeno do sisema. : Coeficiene de arraso. : Coeficiene aerodinâmico. : Índice de esbelez limie enre flambagem elásica e inelásica - AISC. : Coeficiene de decaimeno linear usado no méodo de Mone Carlo. : Coeficiene de área da componene harmônica. : Coeficiene de área relaivo da componene harmônica. : Coeficiene de correlação espacial. cos η : Cosseno direor do elemeno de cabo associado à direção X. cos γ : Cosseno direor do elemeno de cabo associado à direção Y. cos ξ : Cosseno direor do elemeno de cabo associado à direção Z. d dn E f Fa Fa i Fa s F adm : Mariz dos modos de vibração da esruura. : Faixa de freqüência uilizada no méodo de Mone Carlo. : Módulo de elasicidade do maerial. : Veor das forças nodais exernas análise esáica. : Força de Arraso. : Força de arraso na exremidade inferior do módulo. : Força de arraso na exremidade superior do módulo. : Força admissível à compressão nos perfis esruurais. F adm F adm FS F u F y : Força admissível à ração rupura da seção líquida. : Força admissível à ração escoameno da seção brua. : Faor de segurança uilizado no dimensionameno das peças. : Tensão úlima do maerial. : Tensão de escoameno do maerial. xv

g(x) : Veor gradiene da Energia Poencial Toal do sisema. G; L : Marizes auxiliares uilizadas no cálculo da mariz Hessiana. H(x * ) : Mariz Hessiana do sisema. ha K K ;K K m K S l : Alura de aplicação da força de arraso. : Parâmero uilizado no cálculo do comprimeno de flambagem. : Parâmeros do perfil conínuo de veno. : Mariz de rigidez do elemeno de reliça em relação aos eixos de membro. : Mariz de rigidez do elemeno de reliça em relação aos eixos da esruura. : Veor que represena o comprimeno inicial do elemeno de cabo. l : Veor que represena a configuração deformada do elemeno de cabo. L : Comprimeno do elemeno de cabo com efeio érmico. l (z) : Largura da edificação na coa z. m M : Número de funções harmônicas uilizadas no méodo de Mone Carlo. : Mariz de massa consisene do sisema. M k : Momeno de ombameno produzido pela força de arraso de cada módulo k. M n ndf p p 3 P 600 p ' ( ) : Mariz de massa modal. : Número de graus de liberdade oal da esruura. : Veor que represena os deslocamenos nodais da exremidade inicial do cabo. : Pressão de pico em 3 segundos. : Pressão média do veno em 0 minuos. : Pressão fluuane ao longo de empo; p ' ( ) : Valor médio da pressão fluuane. p P ' P pf q ( ) : Valor quadrado médio da pressão fluuane. : Veor de forças variáveis ao longo do empo na equação de movimeno. : Porcenagem da parcela fluuane do veno. : Veor que represena os deslocamenos nodais da exremidade final do cabo. q(z) : variação da pressão dinâmica do veno ao longo da alura da esruura. Q i r r mín R S d S n : Função das forças generalizadas. : raio de giração do perfil esruural. : raio de giração mínimo do perfil esruural. : Mariz de roação de eixos. : Capacidade resisene do cabo segundo o criério das ensões admissíveis. : Capacidade resisene nominal do cabo conforme informado pelo fabricane. xvi

S(n) : Densidade especral de poência em função da freqüência n da exciação. S : Faor opográfica segundo NBR 63. S : Faor que considera o efeio combinado da rugosidade do erreno, da variação da velocidade do veno com a alura acima do erreno e das dimensões da edificação. S 3 : Faor esaísico segundo NBR 63. T T T máx u u * U 0 : Energia Cinéica do sisema. : Tensão nos cabos devido a cargas permanenes e pré-ensionameno. : Tensão nos cabos devido a cargas permanenes, pré-ensionameno e cargas de veno. : Inervalo de empo uilizado na análise dinâmica. : Veor dos cossenos direores do elemeno de cabo na configuração indeformada. : Velocidade de fricção (função da rugosidade do erreno). : Velocidade média do veno no méodo de Mone Carlo. U z : Velocidade médio do veno na alura z. V V 0 V 3 V 600 V k W x x c x * : Volume do elemeno de cabo ou reliça. : Velocidade básica do veno : Velocidade de pico em 3 segundos. : Velocidade média do veno em 0 minuos. : Velocidade caracerísica do veno. : Poência do especro. : Veor conendo os deslocamenos nodais do sisema. : Valor caracerísica da análise combinada. : Veor que represena um esado de equilíbrio esável da esruura. x : Moda uilizado na disribuição de Gumbel (Tipo ). x& x& & : Veor conendo as velocidades das coordenadas nodais do sisema. : Veor conendo as acelerações das coordenadas nodais do sisema. Y i : Termo auxiliar uilizado no cálculo da mariz G. z : Veor auxiliar para o cálculo da deformação no elemeno de cabo. α : Coeficiene de dilaação érmica. α ~ : Medida da dispersão na disribuição de Gumbel (Tipo ). α c β ;β δ : Área da seção ransversal do elemeno de cabo. : Coeficienes do méodo de Newmark. : Veor uilizado no cálculo da deformação no elemeno de cabo. xvii

ε : Deformação longiudinal do elemeno de cabo. φ : Índice de área exposa. φ d φ f φ ij γ γ λ λ c λ : Faor de redução devido ao ipo de erminação do cabo. : Faor de redução devido à uilização de defleores. : Mariz dos auoveores normalizados. : Consane de Euler. : Efeio érmico (γ = α. T). : Índice de esbelez do perfis esruural. : Veor que represena a disância enre nós na configuração indeformada do cabo ensionado. : Veor que represena a configuração indeformada do cabo com efeio érmico. µ : Módulo do veor c. µ : Módulo do veor γ.l. π : Energia de deformação do elemeno de cabo ou reliça. θ k : Ângulo de defasagem ( 0 θ k π ). ρ : Massa específica do elemeno. σ : Desvio padrão. σ σ(ε) σ adm σ lim σ solic ω ω : Variância. : Tensão no elemeno de cabo. : Tensão admissível - criério das ensões admissíveis. : Tensão limie para um deerminado ipo de soliciação (σ lim = σ adm. FS). : Tensão soliciane devida à cargas em serviço - criério das ensões admissíveis. : freqüências naurais circulares (rad/seg). : auovalores do sisema. ζ n : razão de amorecimeno do modo n. L : Variação real do comprimeno do elemeno no modelo linear de cabo. : Passo de empo uilizado no méodo de Newmark. T : Variação de Temperaura. z ok Γ Π 0 Π(x) : Exensão da rajada riangular equivalene. : Veor auxiliar para o cálculo da aceleração no insane +. : Energia Poencial Inicial do sisema. : Energia Poencial Toal do sisema. xviii

ÁÁ ÁÁ : Denoa norma do veor. : Denoa a primeira derivada em relação aos deslocamenos nodais. ( ) : Denoa a primeira derivada em relação aos deslocamenos nodais, assim como. ( ) : Denoa segunda derivada me relação aos deslocamenos nodais. ( ) T : Denoa a ransposa do veor. ( ) : Denoa a primeira derivada em relação ao empo. ( ) : Denoa a segunda derivada em relação ao empo. x ; x& ; x& : deslocamenos, velocidades e acelerações no empo. x x x& + + ; x& + ; : deslocamenos, velocidades e acelerações no empo +. p p p x& + + ; & x + ; : deslocamenos, velocidades e acelerações predios no empo +. xix

LISTA DE ABREVIAÇÕES A : Análise Esáica sem veno. A : Análise Esáica com veno. AT : Barras do disposiivo ani-orção siuadas no plano horizonal. AT : Barras do disposiivo ani-orção siuadas no plano inclinado. CRE-EHS : Carga de rupura efeiva do cabo ipo Exra High Srengh. CRE-HS : Carga de rupura efeiva do cabo ipo High Srengh. CRE-SM : Carga de rupura efeiva do cabo ipo Siemens-Marins. D : Barras diagonais na face da orre. DAT : Número de disposiivos ani-orção da esruura. H : Barras horizonais na face da orre. LMOD : Comprimeno do módulo. LT : Largura da seção ransversal da orre no plano horizonal. M : Barras dos monanes da orre. M : Modelo maemáico não linear de cabo e não linear de reliça (Pulino, 99). M : Modelo maemáico linear de cabo e linear de reliça (Pulino, 998). M3 : Modelo maemáico 3 não linear de cabo (Pulino, 99) e linear clássico de reliça (Gere e Weaver, 987). NCE : Número de elemenos de cabo da esruura. NEC : Número de elemenos de cabo por esai. NMOD : Número de módulos da esruura. NN : Número de nós da esruura. NS : Número de seções por módulo. NTE : Número de elemenos de reliça da esruura. T : Barras de ravameno horizonais. TEA : Torre Esaiada Classe A. TEB : Torre Esaiada Classe B. TEC : Torre Esaiada Classe C. VLC : Vão livre enre cabos. VLTT : Vão livre no opo da orre. xx

- INTRODUÇÃO. GENERALIDADES Nos úlimos anos ocorreram grandes avanços na área de elecomunicações, acompanhados por inúmeros invesimenos feios no seor por pare dos governos ou mesmo da iniciaiva privada, resulando em um aumeno da uilização deses serviços e na ampliação da sua velocidade de expansão, diversidade e alcance. Enre os grandes avanços no seor pode-se desacar: a Inerne, TV a cabo, a diversificação dos sisemas de elefonia fixa, o sisema móvel celular, as ransmissões via cabo óico, as rádios comuniárias, as ransmissões via-saélie, denre ouros. Nese conexo, o presene rabalho concenra as aenções nos sisemas de rádio difusão, em especial na área que compreende as ransmissões de rádio e elevisão, no qual o Brasil recebeu grande desaque à nível mundial no ano de 998, devido à privaização da TELEBRAS. Invesimenos desa naureza implicam na expansão de sisemas exisenes ou mesmo na implanação de novos sisemas, que por sua vez, implicam no aparecimeno de novos produos que se adapem às exigências ecnológicas e necessidades de mercado, de modo a se ornar um produo mais compeiivo, que aenda criérios de segurança, durabilidade e funcionalidade e que acima de udo seja economicamene viável.. MOTIVAÇÃO A expansão no sisema de elecomunicações, em especial os sisemas de rádio difusão, em levado à insalação de uma quanidade considerável de orres, desde as zonas pouco povoadas aé os grandes cenros urbanos, aproveiando-se muias vezes as coberuras dos edifícios como base de susenação. A moivação dese rabalho vem do fao de er sido observado que, embora o número de orres enha aumenado basane, ainda exisem enormes dificuldades na concepção, cálculo, projeo, fabricação, insalação e reforço de orres e de elemenos esruurais dos sisemas de radio difusão, não exisindo muios exos em poruguês disponíveis sobre o assuno.

Ese rabalho foi enão desenvolvido no senido de conribuir com o aperfeiçoameno do projeo desas esruuras, quer por implemenar uma análise que raramene é uilizada, ou ainda por esudar ipologias e endências de comporamenos, mosrando a dimensão e as dificuldades em se manipular as variáveis relevanes ao se efeuar a análise proposa. Vale ressalar que, ese esudo não em o inuio de ser conclusivo a pono de definir parâmeros absoluos para reger a concepção dos modelos esruurais, nem mesmo de quesionar a eficácia das direrizes ou normas écnicas exisenes, buscando apenas conhecer um pouco mais ese ipo de esruura e evenualmene servir como mais um maerial de referência à écnicos e projeisas, os quais, mesmo não dispondo de bibliografia écnica específica, êm a obrigação de esabelecer criérios seguros de projeo..3 NATUREZA DO TRABALHO Embora exisa uma grande variedade de orres de susenação de anenas, nese rabalho é feio apenas o esudo de orres meálicas esaiadas, que recenemene êm sido largamene empregadas em odo o erriório nacional. Inicialmene é efeuada uma análise esáica dese ipo de orre, submeendo-a ao carregameno de veno proposo na NBR 63 (988), levando-se em cona faores consruivos e de esabilidade. Na discreização das esruuras são empregados elemenos finios reos (cabos ou reliças), considerando-se apenas a rigidez axial e uilizando uma formulação que admie alongamenos nos elemenos de cabo para a inrodução das forças de pré-ensionameno, segundo rês modelos maemáicos disinos: Modelo não linear de cabo e não linear de reliça (Pulino, 99); Modelo linear de cabo e linear de reliça (Pulino, 998); Modelo não linear de cabo (Pulino, 99) e linear clássico de reliça (Gere e Weaver, 987). Eses modelos descrevem basicamene a obenção da função Energia Poencial Toal do sisema, sendo a posição de equilíbrio esáico esável obida minimizando-se esa função aravés de um algorimo Quasi-Newon.

Em seguida, as freqüências e os modos naurais de vibração da esruura são deerminados a parir de uma expressão linearizada da equação de equilíbrio dinâmico, admiindo-se pequenas oscilações em orno da configuração de equilíbrio esáico, e uilizando-se um algorimo do ipo Jacobi Generalizado. Por úlimo é feia a análise dinâmica da esruura sob a ação do veno com o méodo de Mone Carlo, uilizado por Franco (993) e Guimarães (000), no qual o veno é subdividido em duas parcelas, sendo uma consane (veno médio) e a oura variável ao longo do empo (rajadas). A resposa dinâmica da esruura é obida pela inegração explícia da equação de equilíbrio dinâmico ao longo do empo aravés do méodo de Newmark (959)..4 OBJETIVOS Os principais objeivos dese rabalho são: Esudar o comporameno de orres meálicas esaiadas submeidas ao carregameno esáico de veno proposo na NBR 63, segundo cada um dos rês modelos maemáicos comenados aneriormene; Deerminar as freqüências e os modos naurais de vibração das orres esudadas na análise esáica; Avaliar a resposa desas esruuras na direção do veno, submeidas à carregamenos fluuanes (rajadas) com as pressões fluuanes obidas a parir do especro de veno local por meio dos méodos de simulação de Mone Carlo..5 CONTEÚDO Nesa seção, descreve-se de maneira geral o coneúdo de cada um dos capíulos que compõem o resane dese rabalho. No Capíulo comena-se sobre os principais ipos de orres de susenação de anenas uilizados no mercado, cenrando a aenção nas orres meálicas esaiadas com seção ransversal quadrada, descrevendo-se as principais caracerísicas dos masros cenrais, cabos e anenas. 3

O Capíulo 3 é desinado a explicar de forma dealhada os modelos maemáicos uilizados. Inicialmene é descrio cada um dos modelos maemáicos uilizados na análise esáica e em seguida são apresenadas as formulações para as análises modal e dinâmica. O carregameno esáico do veno conforme a NBR 63 (988) é comenado no Capíulo 4, junamene com o dimensionameno dos cabos e o criério das ensões admissíveis uilizado para o dimensionameno dos perfis. O méodo de Mone Carlo é descrio no Capíulo 5, iniciando-se com um hisórico do esudo dos efeios dinâmicos do veno e em seguida enrando na apresenação do méodo propriamene dio. No final do capíulo é dada uma breve explicação sobre os parâmeros esaísicos uilizados na disribuição de Gumbel (Tipo ). No capíulo 6 são apresenados cada um dos programas compuacionais desenvolvidos para se fazer as análises proposas. Os programas são apresenados individualmene na forma de fluxogramas, acompanhados de explicações dos principais blocos que os consiuem. Os exemplos numéricos esudados são descrios no Capíulo 7, subdividindo-os em função do ipo de análise (esáica, modal ou dinâmica), sendo acompanhados por explicações e gráficos comparaivos dos resulados, indicando-se as semelhanças ou diferenças observadas. No capíulo 8 são apresenadas as conclusões finais e sugesões para rabalhos fuuros. No final do rabalho exisem ainda vários apêndices, apresenados na forma de abelas, conendo informações necessárias para a realização das análises, bem como mosrando os principais resulados das analises efeuadas. 4

- TIPOLOGIA ESTRUTURAL. TIPOS DE TORRES DE SUSTENTAÇÃO As orres uilizadas para a susenação de anenas variam principalmene quano à geomeria, ao modelo e ao maerial uilizado, porém, de uma forma geral, pode-se consaar see formas básicas: Torres Esaiadas Quadradas, Torres Esaiadas Triangulares, Torres Auoporanes Quadradas, Torres Auoporanes Triangulares, Poses de Concreo ou Meálicos e Torres Tubulares (Concreo). a) b) c) d) Figura. Torres de susenação As orres esaiadas (Figura.-a) são consiuídas por um corpo meálico esbelo e modulado, chamado de masro, fixo por esais ao longo de sua exensão. Ese corpo meálico é formado por módulos com cerca de 5 m cada, conendo monanes, diagonais, horizonais e barras de ravamenos, com ligações aparafusadas ou soldadas, possuindo seção ransversal quadrada ou riangular. Os esais são consiuídos por cordoalhas de aço fixadas ao longo do masro da esruura e às fundações laerais de ancoragem. Esas orres são as mais econômicas e fáceis de monar, porém, exigem um erreno relaivamene grande para sua insalação, na ordem de dez vezes a área daquele uilizado em uma esruura auoporane de mesma alura. 5

As orres auoporanes (Figura.-b) se compõem de um corpo meálico formado por uma pare rea superior desinada a fixar as anenas e uma pare inferior ronco-piramidal. São formadas por módulos e composas por monanes, diagonais, horizonais, barras de conravenameno e ravameno. As ligações são aparafusadas e feias por meio de chapas de ligação. Podem er seções ransversais quadradas ou riangulares e possuir os seguines acessórios: ubulões de opo, plaaformas de opo, plaaformas exerna e inerna (de rabalho ou descanso), escada, supores de anena, ec. Podem ser consiuídas por perfis laminados e/ou chapa dobrada. Os poses meálicos e de concreo (Figura.-c) são pré-fabricados e largamene uilizados aé aluras de cerca de 40 m. Os módulos são ligados aravés de flanges, permiindo que sua monagem se dê de forma exremamene rápida. Possuem seções circulares ou hexagonais, com diâmeros máximos de cerca de 50 cm. As orres ubulares de concreo (Figura.-d) são esruuras com seção ransversal em forma de anel circular, com diâmeros exernos acima de 4 m e paredes com cerca de 5 cm de espessura. Possuem escada helicoidal e paamares inernos. Uilizam o sisema de formas deslizanes. Sua insalação é um pouco rabalhosa e é uilizada quando se requer uma rigidez elevada para a esruura. Nese rabalho, concenra-se o esudo nas orres meálicas esaiadas de seção ransversal quadrada, consiuídas por perfis laminados com ligações aparafusadas. Ese ipo de esruura vem sendo largamene uilizado ano em regiões pouco urbanizadas como em cenros densamene povoados, com as insalações feias no próprio erreno (solo ou rocha) ou no alo de edificações já exisenes. A Figura. apresena a ipologia básica desas esruuras, sendo mosrada uma orre esaiada com masro cenral consiuído por quaro módulos numerados de cima para baixo, conendo dez seções cada, ao qual são ancorados os cabos ou esais. Próximo ao opo da esruura exise um conjuno de barras que se projeam para fora, chamado de disposiivo ani-orção. Enre o disposiivo ani-orção e o opo da esruura exise uma região sem ponos de ancoragem de cabos, desinada a colocação de anenas e sendo conhecida por vão livre no opo da orre. Nesa figura, é mosrado ambém o vão livre enre cabos, correspondendo à disância verical ao longo da orre enre dois ponos de ancoragem sucessivos. 6

Módulo Vão livre no opo da orre Vão livre enre cabos Ani-Torção Masro Módulo Módulo 3 Esais Módulo 4 Figura. Torre meálica esaiada quadrada. PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DAS TORRES ESTAIADAS QUADRADAS: Não exise um maerial único de referência para caracerizar ou mesmo padronizar odos os elemenos e modelos de orres meálicas esaiadas, aé mesmo pelo fao desas orres serem projeadas, inúmeras vezes, de modo a aender necessidades específicas. As caracerísicas das orres meálicas esaiadas de seção ransversal quadrada descrias nese capíulo foram baseadas em: experiência práica de projeisas; caálogos comerciais de fabricanes de orres; procedimeno do sisema Telebrás 40-40-600 Padrão (996); norma canadense de orres CSA S37-94; e norma americana de cabos esruurais ASCE 9-96. O masro cenral das orres esaiadas é consiuído de módulos, com comprimenos que, em geral, variam de cinco a seis meros, com exceção de orres com alura inferior à dez meros, para os quais se uilizam módulos com menor comprimeno. Eses módulos são monados individualmene na fábrica e no local da insalação é feia apenas a união dos mesmos aravés de chapas de aço aparafusadas nas exremidades dos monanes. Os módulos, por sua vez, são subdivididos em seções composas por barras (perfis esruurais) com ligações aparafusadas que, de acordo com o seu posicionameno e função são chamadas de: monanes, horizonais, diagonais e barras de ravameno inerno. Exisem algumas configurações mais usuais para o posicionameno das barras principais, sendo uma delas apresenada na Figura.3: 7

Figura.3 Disposição de barras em um seção Na Figura.3, não são mosradas as barras de ravameno inerno, uma vez que as mesmas são colocadas apenas nas exremidades de módulo em forma de X, em um plano horizonal em relação à orre e porano não podem ser visas na figura acima que mosra uma visão fronal de uma das faces da orre. Os perfis esruurais mais comumene uilizados são as canoneiras simples com abas iguais de aço ASTM A36, conhecido comercialmene no Brasil como MR50, com ensão de escoameno de 50 MPa, ensão de rupura enre 400 e 500 MPa e módulo de elasicidade de aproximadamene 0000 MPa. É imporane ressalar que, conforme comenado aneriormene, as barras de um mesmo módulo são classificadas conforme o ipo e posicionameno em: monanes, horizonais, diagonais e ravamenos inernos, sendo que cada um deses consiui o que se convencionou chamar de sie das barras. Porano, odas as barras horizonais de um mesmo módulo consiuem um primeiro sie, os monanes consiuem um segundo sie e assim por diane, de modo que cada módulo possuirá quaro sies disinos, à não ser que ele possua disposiivo ani-orção, para o qual serão incluídos dois sies exras, conforme será comenado poseriormene. Na eapa de dimensionameno, deermina-se o maior esforço de ração e de compressão por sie, sendo odas as barras de um mesmo sie dimensionadas para eses esforços solicianes. Consequenemene, odas as barras perencenes ao mesmo módulo e de um mesmo sie possuirão a mesma seção ransversal. 8

Em orres meálicas esaiadas, deve-se insalar próximo ao opo da esruura um disposiivo especial que aravés da uilização de cabos adicionais num mesmo nível e afasados dos monanes formando braços de alavancas adequados, absorvam os esforços de orção, sendo porano conhecidos por disposiivos ani-orção. No caso de orres com mais de 60 meros de alura é recomendado a uilização de dois disposiivos ani-orção, sendo um próximo ao opo e o ouro à meia alura da esruura. O disposiivo ani-orção é usualmene consiuído por um conjuno de quaro barras por face da orre, sendo duas delas em posição horizonal e absorvendo esforços de ração e as duas ouras em posição inclinada sendo submeidas à esforços de compressão, o que jusifica a adoção de dois sies disinos conforme comenado aneriormene. Na Figura.4 é mosrado um disposiivo ani-orção acompanhado de um dealhe da sua exremidade. Figura.4 Disposiivo ani-orção e dealhe da exremidade Na Figura.4, não são mosradas as duas barras em posição inclinada, por se raar de uma visa em plana, sendo esas barras encoberas pelas barras horizonais do ani-orçor. Esas barras inclinadas são aparafusadas nas barras horizonais do ani-orçor na exremidade superior e nos monanes na exremidade inferior. A ligação da exremidade do disposiivo é geralmene feia com uma barra de aço soldada nas canoneiras horizonais do ani-orçor. 9

Enre o opo da esruura e o disposiivo ani-orção, exise uma região sem ponos de ancoragem de cabos, cujo comprimeno varia de 50 cm à 300 cm. Ese é o chamado vão livre no opo da esruura, sendo desinado à colocação das anenas. Abaixo desa região, os cabos são ancorados ao longo do masro da orre, sendo recomendado que o vão livre na verical enre dois ponos de ancoragem sucessivos eseja enre 8 e meros, com exceção de orres com alura inferior à 0 meros, para as quais é uilizada uma disância menor. Nas regiões onde ocorrem ponos de ancoragem de cabos, as barras horizonais apresenam prolongamenos conhecidos vulgarmene como orelhas para que possa ser colocado um pino de fixação do sapailho que permia o encaixe do cabo. Na Figura.5 é mosrada a região de ancoragem de cabos na orre. Figura.5 Região de ancoragem de cabos na orre Pela Figura.5, pode-se ver que em cada alura de ancoragem chegam quaro cabos disinos em direções inclinadas de 45 graus em relação às faces da orre sendo os mesmos ancorados nas orelhas das barras horizonais na exremidade superior e em ponos de fundações laerais na exremidade inferior. No caso da exisência de disposiivos ani-orção no pono de ancoragem (ver Figura.4), exisem oio cabos e não apenas quaro como descrio aneriormene. Nese caso, em cada exremidade do ani-orçor são ancorados dois cabos. A Figura.6 apresenada à seguir, mosra uma visa em plana de uma orre meálica esaiada, sendo indicados separadamene os cabos ancorados em disposiivos ani-orção (8 cabos) e em ancoragens normais (4 cabos). 0

Cabo 8 Cabo 7 Cabo 6 Cabo 5 Cabo 4 Face 3 Cabo 3 Pono de Fundação Face Cabo Cabo Cabo 3 Cabo 4 Face 4 Cabo Face Cabo Masro da Torre Ancoragem em Ani-Torçor Ancoragem Normal Figura.6 Ancoragem normal e em ani-orçor Não exise uma regra para a deerminação do número de ponos de fundação laeral desinados à ancoragem de cabos em nenhuma das normas e procedimenos comenados aneriormene. Porém, exise uma recomendação práica que sugere, que não se use mais de rês ponos de fundação laeral por monane, e que sejam ancorados aé rês cabos por pono de fundação ou no máximo quaro quando se raar de cabos de disposiivo ani-orção. Esa recomendação é baseada na experiência em orres já projeadas, além de possibiliar a redução de cusos financeiros com as fundações. A disância do pono de fundação mais afasado da orre é deerminada em função da alura da orre, de modo que o ângulo enre o cabo e o plano horizonal que represena o erreno seja de aproximadamene 60 graus. Os demais ponos de fundação são deerminados dividindo-se a disância do pono de fundação mais afasado em inervalos iguais. Uma vez deerminado o número de ponos de ancoragem ao longo da orre e o número de fundações laerais, os cabos são disribuídos enre os ponos de fundação, iniciando-se com os cabos ancorados nas aluras mais baixas e com os ponos de fundação mais próximos da orre. As fundações laerais de ancoragens de cabos e as fundações do masro da orre devem er a sua superfície superior projeada acima do erreno no mínimo 0 cenímeros, devendo ser inclinada e desempenada a fim de eviar o acúmulo de água na base, conforme recomendação do procedimeno Telebrás.

.3 CABOS DE ESTAIS O procedimeno Telebrás e os caálogos de fabricanes recomendam a uilização de cabos de aço de see fios (+6) com alma de aço e proegidos conra corrosão com capa proeora de zinco. Os cabos devem ser do ipo HS (High Srengh) ou EHS (Exra High Srengh) com diâmero máximo de 6 mm. A Figura.7 mosra a seção ransversal deses cabos: Alma de Aço 7 fios ( + 6) Figura.7 Cabo de aço de see fios Os cabos de aço esão sujeios à dois ipos de deformação longiudinal: a elásica e a esruural. A deformação elásica é direamene proporcional à carga aplicada e ao comprimeno do cabo de aço e inversamene proporcional ao seu módulo de elasicidade e área meálica, ocorrendo ambém nos perfis esruurais. A deformação esruural, por sua vez, ocorre apenas nos cabos, sendo permanene e começando logo que é aplicada uma carga no cabo. Esa deformação é causada pelo ajusameno dos fios do cabo, ou seja, pelo acomodameno das pernas em relação à alma do mesmo. A maior pare da deformação esruural ocorre nos primeiros dias ou semanas de serviço do cabo, dependendo da carga aplicada e pode ser quase oalmene removida por uma operação que se convencionou chamar de pré-esirameno que consise em submeer o cabo à uma força de ração de acordo com um programa de carregameno pré-deerminado. A norma americana de cabos ASCE 9-96 especifica que odos os cabos esruurais devem ser submeidos à uma força de pré-esirameno não inferior à 50% da capacidade resisene nominal do cabo. Além do pré-esirameno do cabo que é feio no local de fabricação do mesmo, os cabos de esais são submeidos à uma força de pré-ensionameno no local onde será implanada a orre.

De acordo com a norma canadense de orres CSA S37-94, o pré-ensionameno dos cabos na região da ancoragem na fundação laeral é normalmene definido como sendo em orno de 0% da capacidade resisene nominal do cabo, admiindo-se pré-ensionamenos enre os limies de 8 e 5%. Nos ponos de ancoragens de cabos nas orres e nas fundações laerais, devem-se uilizar as erminações de cabos, que são disposiivos fixados nas exremidades dos mesmos, de modo a ransferir a ensão do cabo para o pono de ancoragem. Exisem vários ipos de erminação uilizados no mercado, ais como: soquees, erminais prensados, laços com sapailho fixos por grampos, ec. No caso do presene rabalho, o ipo de erminação uilizado foi o laço feio com o próprio cabo ao redor do sapailho e fixo com grampos. Os sapailhos são peças meálicas uilizadas para eviar a deformação e o desgase excessivo do cabo na região dos olhais onde é feio o laço. Os grampos (clips) são peças feias de aço e fixadas ao longo do cabo de modo a eviar que o laço se abra. A Figura.8 mosra ese ipo de erminação: Figura.8 Terminação de cabo com laço, sapailho e grampos No ipo de erminação mosrado na Figura.8, o número de grampos, o espaçameno enre eles ao longo do cabo e o orque aplicado nos mesmos é deerminado em função da biola do cabo, seguindo-se as recomendações dos fabricanes conforme apresenado na Tabela.: Tabela. Especificações das erminações com grampos Biola do Cabo N o de Grampos Espaçameno (mm) Torque (N.m) 3/6" 9 8.0 /4" 38 0.0 5/6" 48 40.0 3/8" 57 40.0 7/6" 67 75.0 /" 3 76 75.0 9/6" 3 95 5.0 3

.4 TIPOS DE ANTENAS As anenas uilizadas em orres meálicas esaiadas apresenam uma grande variação quano à geomeria, posições na esruura, parâmeros aerodinâmicos, esruuras de apoio, ec. Geralmene são definidas quano ao ipo, coa de insalação e direcionameno, com base em seu diagrama de irradiação que pode ser enconrado nos caálogos comerciais de fabricanes. Neses caálogos são apresenadas as especificações de carregameno a considerar para uma deerminada direção de veno, as dimensões e a forma de fixação das anenas e dos supores, os elemenos componenes e o peso do conjuno (anena e supore). O procedimeno Telebrás classifica as orres esaiadas em rês caegorias da seguine forma: -Torre Esaiada Classe A (TEA) Para supore de anenas na freqüência SHF; -Torre Esaiada Classe B (TEB) Para supore de anenas na freqüência UHF; e 3-Torre Esaiada Classe C (TEC) Para supore de anenas na freqüência VHF. Na classificação acima, SHF é a faixa de freqüência que vai de 3000 à 30000 MHz e uiliza as anenas parabólicas cheias, UHF é a faixa de freqüência que varia de 300 à 3000 MHz e uiliza as anenas helicoidais, log-periódicas, parabólicas vazadas e yagi, e VHF é a faixa de freqüência que varia de 30 à 300 MHz uilizando as anenas yagi e log-periódicas. No presene rabalho, foi admiido que as orres apresenavam anenas do ipo yagi, uma vez que ese é o ipo mais uilizado no mercado para o caso de orres esaiadas, além de permiir a ransmissão de sinais nas freqüências UHF e VHF. Na deerminação da área exposa de anenas para cálculo da força de veno, foi admiido que as anenas se enconram no primeiro módulo (módulo do opo da orre), com área exposa igual à 7.5% da área de conorno do módulo e coeficiene aerodinâmico igual a.. O procedimeno Telebrás especifica limies para a roação no plano horizonal e para a deflexão em relação ao eixo verical (medida como sendo o ângulo enre a verical e a angene à posição deformada da esruura), na alura da anena mais ala, conforme a caegoria da orre. Eses valores limies são de o 40 00 para orres do ipo TEB e 4 o 00 00 para orres do ipo TEC. Nese rabalho foi admiido que a anena mais ala se enconra sempre na exremidade superior da erceira seção à parir do opo da esruura. 4

3 - MODELOS MATEMÁTICOS 3. ANÁLISE ESTÁTICA No presene capíulo serão apresenados os modelos maemáicos uilizados na análise esáica de orres meálicas esaiadas quando submeidas à ações exernas devidas ao veno. Na discreização das esruuras foram empregados elemenos finios de dois nós (cabos ou reliças), sendo considerada apenas a rigidez axial. Os elemenos são considerados reos enre coordenadas nodais e as forças exernas auam somene nos nós da esruura. Para fazer as análises foram uilizadas combinações dos rês modelos maemáicos descrios abaixo: Modelo não linear de elemeno de cabo ensionado no espaço (Pulino, 99); Modelo linear de elemeno de cabo ensionado no espaço (Pulino, 998); Modelo linear clássico de elemeno de reliça no espaço (Gere e Weaver, 987). As duas primeiras formulações admiem alongamenos nos elemenos de cabo para a inrodução das forças de ensionameno, podendo ambém ser usadas para modelar os elemenos de reliça (canoneiras simples que compõem o corpo da orre), basando definir o ensionameno do elemeno como sendo nulo. Eses dois modelos ambém permiem considerar o efeio érmico causado por um aumeno ou diminuição de emperaura ( T). O erceiro modelo deve ser uilizado apenas para os elemenos de reliça que compõem o corpo da orre uma vez que não permie o pré-ensionameno necessário na modelagem dos cabos. Os modelos maemáicos comenados acima descrevem basicamene, a obenção da função Energia Poencial Toal para um arranjo de cabos ou reliças uilizados na discreização das orres. As configurações que represenam uma posição de equilíbrio esáico esável são obidas como ponos de mínimo local da função Energia Poencial Toal, uilizando-se um algorimo do ipo Quasi-Newon. Nas seções subsequenes serão apresenados individualmene cada um dos rês modelos maemáicos comenados acima. 5

3.. Modelo Não Linear para Cabo Tensionado No presene capíulo será apresenado um modelo não linear que admie deslocamenos e deformações finias para discreizar elemenos de cabos ensionados. Nesa formulação são assumidas as seguines considerações básicas: Os elemenos de cabos são considerados reos enre coordenadas nodais. As forças exernas auam somene nos nós dos cabos. Só é considerada a rigidez axial dos elemenos. O maerial dos cabos será considerado de comporameno linear. 3... Deformação Longiudinal A Figura 3. mosra um elemeno de cabo no espaço com sua respeciva represenação veorial. Nesa figura a configuração indeformada do elemeno é represenada pelo segmeno AB, o ensionameno pelo segmeno BC e o efeio érmico por BD, de modo que o cabo indeformado após sofrer o efeio érmico é represenado pelo segmeno AD. Já a configuração deformada do elemeno, ou seja, após sofrer o efeio dos carregamenos nodais exernos, é represenada pelo segmeno A C. Os deslocamenos nodais AA e CC são indicados pelos veores p e q respecivamene. Z Y X D B C Tensionameno do Cabo Efeio Térmico Elemeno Indeformado com efeio érmico C ' Elemeno Deformado λ c -γ.l q l' A A' p Figura 3. Modelo não linear de elemeno de cabo no espaço e sua represenação veorial 6

Sendo: λ c l γ.l = α. T.l λ : veor que represena a disância enre nós (segmeno AC); : veor que represena o comprimeno inicial do cabo (segmeno AB); : efeio érmico, sendo α o coeficiene de dilaação érmica; : veor que represena a configuração indeformada com efeio érmico; l : veor com a configuração deformada; p,q : deslocamenos nodais nas exremidades inicial e final; µ = c : módulo do veor c; µ = γ. l : módulo do veor γ.l. Pode-se verificar a parir da Figura 3. que: p + l = λ - γ l + c + q (3.) Fazendo: Tem-se: l = λ - γ l + c + q - p (3.) z = q - p + c - γ l (3.3) l = λ + z (3.4) A deformação longiudinal do elemeno pode enão ser dada por: ε = l' λ λ (3.5) Lembrando que: l' T = ( λ + z).( λ z) (3.6) + Sendo: λ = (λ c -c+γ l) = L u λ = L u = L u = L (3.7) Onde: u = veor dos cossenos direores do elemeno de cabo na configuração indeformada. L = comprimeno do elemeno de cabo com efeio érmico. 7

Porano, subsiuindo-se (3.7) em (3.6): l' = ( L u + z).( L u T + z) + T T T T l' = L u u + L u z + z L u z z (3.8) Sabendo que: u = (cosη,cosγ,cosξ) (3.9) Enão: u T u = cos η + cos γ + cos ξ = e L u T z = z T L u (3.0) Subsiuindo (3.0) em (3.8): l' T = L +. L z u + z T z (3.) Subsiuindo-se (3.7) e (3.) em (3.5): ε = L +. L z T L u + z T z L T ε = + L z (u + L z) (3.) Fazendo: T δ = L z (u + L z) (3.3) Tem-se que a deformação longiudinal de um elemeno de cabo será: ε = + δ (3.4) 8

3... Energia Poencial Toal A energia de deformação de um elemeno de cabo com deformação consane é dada por: π = onde: σ ( ε) = E. ε : ensão no elemeno de cabo; V ε σ ( ε). dε dv (3.5) 0 E ε V : modulo de elasicidade do maerial; : deformação longiudinal; : volume do elemeno de cabo. Para um cabo com seção consane (α c ) e comprimeno L : π = L. α c ε σ ( ε) d ε (3.6) 0 A Energia Poencial Toal para um conjuno de n elemenos de cabo será enão: sendo: π f x Π 0 n Π( x) = π f T x + Π (3.7) i= : energia de deformação de cada elemeno de cabo; : veor que coném as forças nodais exernas; : veor com deslocamenos nodais livres do sisema; : Energia Poencial Inicial do sisema. 0 3...3 Gradiene da Energia Poencial Toal Uma vez escria a Energia Poencial Toal do sisema como função dos deslocamenos livres, as possíveis configurações de equilíbrio esáico podem ser enconradas aravés de écnicas de oimização, uma vez que esas posições correspondem a ponos de mínimo local da função Π (x). 9

O gradiene da função Energia Poencial Toal de um arranjo de cabos ensionados é dado pela derivada em relação aos x i deslocamenos livres do sisema como: n Π( x) Π( x) = = π f (3.8) x i i= Precisa-se, enão, calcular o gradiene da energia de deformação de um elemeno de cabo: π = α c L ε. σ ( ε) dε 0 π = α L c. σ ( ε). ε (3.9) Para esabelecer o gradiene da energia de deformação da Equação (3.9), será necessário deerminar o gradiene da deformação ( ε ) de um elemeno de cabo. Como cada elemeno de cabo em no máximo seis graus de liberdade (rês ranslações por nó), conforme pode ser viso na Figura 3., a deformação longiudinal será função desses seis deslocamenos (x k, k =,,..,6). x6 x5 x4 nó final x3 x x nó inicial Figura 3. Deslocamenos de um elemeno de cabo no espaço Conforme demosrado na equação (3.4): ε = + δ 0

Consequenemene: ε δ ε = = / ( + δ ). x K x K (3.0) Lembrando das equações (3.3), (3.3) e (3.9) que: T T T δ= L z (u + L z) = L z u + L z z z = q - p + c - γ l = [ (x 4 -x +(µ-µ )cosη), (x 5 -x +(µ-µ )cosγ), (x 6 -x 3 +(µ-µ )cosξ) ] u = (cosη, cosγ, cosξ ) Fazendo k = : Mas: δ x =. L. x ( z T u) + L. x ( z T z) (3.) z T u = (x 4 -x +(µ-µ )cosη)cosη + (x 5 -x +(µ-µ )cosγ)cosγ + (x 6 -x 3 +(µ-µ )cosξ) cosξ z T z = (x 4 -x +(µ-µ )cosη) + (x 5 -x +(µ-µ )cosγ) + (x 6 -x 3 +(µ-µ )cosξ) Porano: x ( z T u) = cosη (3.) x T ( z z) = ( x4 x + ( µ µ ) cosη) (3.3) Subsiuindo as Equações (3.) e (3.3) na Equação (3.): δ =. L [cosη + L.( x4 x + ( µ µ ) cosη] x (3.4)