MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 13 Circunferência e Círculo
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são iguais a uma constante (raio). O ponto P pertence à circunferência de centro O e raio r OP r Três pontos não colineares determinam uma única circunferência.
Seja a circunferência λ de centro O e raio r, então: OP r é um raio CD 2r é um diâmetro AB é uma corda ABmenor é um arco de circunferência
O ponto B pertence ao interior da circunferência de centro O e raio r se, e somente se, OB r. O ponto P pertence à circunferência de centro O e raio r se, e somente se, OP r. O ponto A pertence ao exterior da circunferência de centro O e raio r se, e somente se, OA r.
EXEMPLO Seja uma circunferência de centro O e raio r = 3. Identifique a posição relativa entre os pontos A, B, C e a circunferência, sabendo-se que OA 2, OB 3 e OC 4.
RESOLUÇÃO O ponto A é interior à circunferência, pois OA 2 3 r. O ponto B pertence à circunferência, pois OB 3 r. O ponto C é exterior à circunferência, pois OC 4 3 r. Veja a figura a seguir, na qual esses pontos estão representados.
A reta s é à circunferência de centro O e raio r se, e somente se, d(o,s) < r. A reta t é à circunferência de centro O e raio r se, e somente se, d(o,t) = r. A reta u é à circunferência de centro O e raio r se, e somente se, d(o,u) > r.
EXEMPLO Seja uma circunferência de centro O e raio R = 3. Identifique a posição relativa entre as retas r, t, s e a circunferência, sabendo-se que as distâncias entre as retas e o centro da circunferência são, respectivamente, d(o,r) = 2, d(o,t) = 3 e d(o,s) = 4.
RESOLUÇÃO A reta r é secante à circunferência, pois d(o,r) = 2 < 3 = R. A reta t é tangente à circunferência, pois d(o,t) = 3 = R. A reta s é exterior à circunferência, pois d(o,s) = 4 > 3 = r. Veja a figura a seguir, na qual essas retas estão representadas.
Sejam duas circunferências de centros O e O, e raios r e R, respectivamente.
EXEMPLO Sejam duas circunferências λ 1 e λ 2 de raios R 1 = 2 e R 2 = 4 e centros O 1 e O 2, respectivamente. Identifique a posição relativa entre as circunferências em cada um dos casos a seguir: a) O1O2 1 b) O1O2 2 c) O1O2 3 d) O1O2 6 e) O1O2 9
RESOLUÇÃO a) As circunferências são interiores, pois O O 1 2 R R. 1 2 2 1 b) As circunferências são tangentes interiores, pois O O 1 2 R R. 1 2 2 1 c) As circunferências são secantes, pois R R 2 O O 3 6 R R. 2 1 1 2 1 2 d) As circunferências são tangentes exteriores, pois. O O 6 R R 1 2 1 2 e) As circunferências são exteriores, pois O O 9 6 R R. 1 2 1 2
Veja a figura a seguir onde foi feita uma representação esquemática das cinco situações.
O ponto M é o ponto médio da corda AB se, e somente se, OM AB.
EXEMPLO Calcule o comprimento de uma corda que dista 3 cm do centro de uma circunferência de raio 5 cm.
RESOLUÇÃO Seja AB a corda em questão e OM AB, então OM 3 e M é ponto médio de AB, ou seja, AM MB. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo OMB, temos: 2 2 2 OB OM BM 2 2 5 3 BM 2 BM 25 9 16 2 BM 4 Logo, AM BM e AB 8 cm.
Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
EXEMPLO Calcule o comprimento do segmento tangente a uma circunferência de raio 3 cm traçado a partir de um ponto que dista 5 cm do centro dessa circunferência.
RESOLUÇÃO Seja PT um segmento de reta tangente à circunferência, então PT OT. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OPT, temos: 2 2 2 PT OT OP 2 2 2 PT 3 5 2 PT 25 9 16 PT 4
Os segmentos tangentes a uma circunferência, traçados por um ponto exterior a ela, são congruentes.
EXEMPLO As circunferências da figura são tangentes externamente em T. As semirretas PB são tangentes à circunferência e a reta t é a tangente comum. Determine a medida do ângulo ATB ˆ, sabendo que APB ˆ 80. PA e
RESOLUÇÃO Sejam APT ˆ 2 e BPT ˆ 2, então APB ˆ 2 2 80 40. Sabemos que temos: PAT ˆ PTA ˆ 90 PBT ˆ PTB ˆ 90 PA PT PB, então os triângulos APT e BPT são isósceles. Assim, Portanto, ATB ˆ PTA ˆ PTB ˆ 90 90 180 180 40 140
Os segmentos determinados pelo círculo inscrito sobre os lados de um triângulo têm medidas iguais ao semiperímetro menos o lado oposto.
EXEMPLO Seja um triângulo de lados 5, 6 e 7, calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo círculo inscrito ao triângulo sobre seus lados.
RESOLUÇÃO O semiperímetro do triângulo é. As medidas dos segmentos determinados pelo círculo inscrito são AE AF p a 9 5 4 BD BF p b 9 7 2 CD CE 9 6 3 5 6 7 p 9 2
Seja 2p o perímetro do triângulo ABC a seguir: AD AE p
EXEMPLO Calcule o perímetro do triângulo PRS da figura, sabendo que PA 10 cm.
RESOLUÇÃO Sabemos que PA PB 2p 2p 10 cm. PRS PRS
O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo é igual ao semiperímetro menos a hipotenusa. r = p a
EXEMPLO Calcule o perímetro de um triângulo retângulo de hipotenusa 5 cm e raio do círculo inscrito 1 cm. Sabemos que o raio r do círculo inscrito em um triângulo retângulo de semiperímetro p e hipotenusa a é dado por r = p a. Substituindo os valores dados no enunciado, temos: 1 = p 5 p = 6. Logo, o perímetro do triângulo retângulo é 2p = 2. 6 = 12 cm.
r A p r p c B r p b C
EXEMPLO Calcule os raios dos círculos ex-inscritos a um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. O semiperímetro do triângulo retângulo 3 4 5 p 6 2 é. Os raios dos círculos ex-inscritos são dados por: ra p 6 rb p c 6 4 2 rc p b 6 3 3
O ângulo entre duas curvas é o ângulo entre as retas tangentes às curvas nos pontos de contato. Duas curvas são ditas ortogonais se o ângulo entre elas é reto.
Duas circunferências são ortogonais se, e somente se, a reta tangente a uma delas em um dos pontos de contato passa pelo centro da outra.
9. QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITÍVEL Um quadrilátero convexo é circunscritível se, e somente se, as somas das medidas dos lados opostos são iguais. # ABCD é circunscritível AB CD AD BC
EXEMPLO Determine o perímetro do quadrilátero circunscritível ABCD da figura.
RESOLUÇÃO Como o quadrilátero ABCD é circunscritível, então as somas dos lados opostos são iguais. Assim, temos: AD BC AB CD 3x 2x 3x 1 x 1 x 2 Portanto, o perímetro do quadrilátero é 2p 3x 1 2x x 1 3x 9x 2 9 2 2 20 ABCD