Aula 3 Introdução à Robótica Móvel Cinemática Prof. Assoc. Marcelo Becker SEM - EESC - USP Laboratório de Robótica Móvel LabRoM
Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker 2017 2
Introdução Modelagem Cinemática Descrição do comportamento mecânico do robô para poder melhor projetá-lo e controlá-lo. Similar à cinemática de Manipuladores Robóticos. É necessário verificar as similaridades e diferenças entre a modelagem de manipuladores robóticos e robôs móveis. EESC-USP M. Becker 2017 3
Introdução Modelagem Cinemática Espaço de trabalho Para manipuladores, define as posições que podem ser atingidas por seus atuadores em relação à sua posição fixa no ambiente. Para robôs móveis, define as possíveis atitudes que ele pode atingis em seu ambiente. EESC-USP M. Becker 2017 4
Introdução Modelagem Cinemática Controlabilidade Para manipuladores, define o modo pelo qual o acionamento dos motores pode ser empregado para mudar de atitude no espaço de trabalho. Para robôs móveis, define os possíveis caminhos no espaço de trabalho. Deve considerar aspectos de Dinâmica, p.e.: um CG alto restringe o raio de curvatura admissível para se evitar capotamento. EESC-USP M. Becker 2017 5
Introdução Modelagem Cinemática Estimativa de Posição Manipuladores Fixos possuem uma posição no ambiente definida. Desse modo, dados dos sensores fornecem boas estimativas da posição. Robôs móveis movem-se em seu ambiente, logo a posição não pode ser estimada apenas observando os dados dos sensores. São necessários algoritmos dedicados para essa (não trivial) tarefa. EESC-USP M. Becker 2017 6
Introdução Modelagem Cinemática Passos necessários para a Modelagem Cinemática: 1. Adotar uma notação com um sistema de referências global {I} e outro acoplado no Robô Móvel {P}; 2. Empregar um modelo simples de cinemática de locomoção: Locomoção do robô é uma função de sua geometria e dos comportamentos de suas rodas; 3. Limitações cinemáticas do robô são expressas em função das limitações individuais das rodas. EESC-USP M. Becker 2017 7
Introdução Modelagem Cinemática Observa-se então que: O Robô pode mover-se no ambiente: Não há como medir a exata posição dele As posições tem de ser estimadas ao longo do tempo Sujeito a erros (grande desafio...) Robô com rodas entender como o comportamento das rodas influencia o comportamento do robô... EESC-USP M. Becker 2017 8
Introdução Modelagem Cinemática Tem-se: Robô modelado como corpo rígido DoFs internos são desprezados (rodas, juntas, etc.)! Adota-se um ponto P no chassis onde o sistema de coordenadas solidário ao robô é posicionado O robô opera em um plano horizontal definido por um sistema de coordenadas globais {I} T Postura do robô: ξ = [ x y θ ] y r y {I} P x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker 2017 9
Introdução Modelagem Cinemática Matriz de Rotação: Mapeia as transformações ao longo das coordenadas globais {I} e locais do robô {P} Assim: ξ = R( r θ ). ξ y r y {I} cθ sθ R( θ ) = sθ cθ 0 0 P x 0 0 1 v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker 2017 10
Introdução Modelagem Cinemática Estabelecer a velocidade do robô!ξ = [!x,!y, θ]! T como uma função da velocidade das rodas!ϕ i do ângulo de esterçamento β i, da velocidade de esterçamento!β e dos parâmetros geométricos i do robô y r y {I} x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker 2017 11
Introdução Modelagem Cinemática Cinemática Direta!ξ =!x!y!θ = f (!ϕ 1,...,!ϕ n,β 1,...,β m,! β 1,...,! β m ) Cinemática Inversa: x y = θ f ( ϕ,..., ϕn, β1,..., β 1 m ) y r y {I}? x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker 2017 12
Introdução Cinemática Direta: Dadas as posições dos atuadores, computa-se a posição e orientação do robô no espaço de trabalho Cinemática Inversa: Dadas as posições e orientações do robô no espaço de trabalho, qual deve ser a movimentação dos atuadores para atingila? EESC-USP M. Becker 2017 13
Introdução Modelagem Cinemática Representação da posição do robô: Sistema Inercial {x, y} Sistema Solidário ao Robô {x r, y r } Posição do robô: ξ = [ x y θ ]!ξ r = R(θ)! ξ = R(θ)!x!y!θ Assim, nos 2 sistemas de coordenadas: cθ sθ R( θ ) = sθ cθ 0 0 EESC-USP M. Becker 2017 14 T 0 0 1 T y r y {I} P x v(t) x r θ S(t)
Introdução Modelagem Cinemática Exemplo: Robô alinhado com o eixo y x r cθ sθ R( θ ) = sθ cθ 0 0!ξ r = R( π 2 )! ξ = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1!x!y!θ = y r!y!x!θ y {I} P x θ EESC-USP M. Becker 2017 15
Introdução Modelagem Cinemática Exemplo: Robô alinhado com o eixo y y r y {I} y y r {I} P x P x x r x r θ θ!ξ =!ξ = 0 5 0 2 2 0! ξ r = 5 0 0! ξ r = 2 2 0 EESC-USP M. Becker 2017 16
Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker 2017 17
Cinemática Modelagem Cinemática Seja o robô: y r y P v(t) x r θ S(t) Como obter:!ξ =!x!y!θ {I} x = f l,r,θ,ϕ 1,ϕ 2 ( )? EESC-USP M. Becker 2017 18
Cinemática Modelagem Cinemática Modelagem da roda: condições de contorno... Movimento em um plano horizontal Contato pontual Rodas não se deformam Rolamento Puro v = 0 no ponto de contato Não há escorregamento Ângulo de esterçamento é ortogonal à superfície do piso Corpos rígidos v(t) y r y {I} x v(t)!ϕr x r θ EESC-USP M. Becker 2017 19
Cinemática Modelagem Cinemática Assim: Determina-se a contribuição de cada roda no sistema de referência local {P}. Obtém-se: ξ r Determina-se a locomoção do robô no sistema de referências global {I} a partir do sistema loca {P}:!ξ = R(θ) 1! ξr Obter o modelo cinemático direto da velocidade do robô:!ξ =!x!y!θ = f l,r,θ,ϕ1,ϕ 2 T ( ) EESC-USP M. Becker 2017 20
Cinemática Exemplo: y r y {I} Dadas as condições de contorno abaixo, determine a velocidade de deslocamento do robô com acionamento diferencial no sistema inercial. P x v(t) x r θ S(t) Posição: x = 2 m y = 3 m θ = π/2 P 2.l r Velocidade: x r. ϕ 1!ϕ 1 = 4 rad / s!ϕ 2 = 2rad / s EESC-USP M. Becker 2017 21
Cinemática Solução do Exemplo 1/5 Movimento no eixo x r. ϕ 2 =0. ϕ 2 P 2.l P 2.l r r x r. ϕ 1 x r. ϕ 1!x r1 = r!ϕ 1 2!x r2 = r!ϕ 1 2 + r!ϕ 2 2!x r = r!ϕ 1 2 + r!ϕ 2 2 EESC-USP M. Becker 2017 22
Cinemática Solução do Exemplo 2/5 Movimento no eixo y r. ϕ 2 P 2.l r x r. ϕ 1 A rotação das rodas não produz movimento no sentido do eixo y r :!y r = 0 EESC-USP M. Becker 2017 23
Cinemática Solução do Exemplo 3/5 Movimento no eixo θ r. ϕ 2 =0. ϕ 2 P 2.l P 2.l r r x r. ϕ 1 x r. ϕ 1 =0 ω 1 = r!ϕ 1 2l ω 2 = r!ϕ 2 2l!θ r = r!ϕ 1 2l + r!ϕ 2 2l EESC-USP M. Becker 2017 24
Cinemática Solução do Exemplo 4/5 Assim: Velocidade no sistema do robô: Inversa da Matriz de Rotação:!ξ r = R( θ ) 1!x r!y r!θ r = = cθ sθ 0 r!ϕ 1 2 + r!ϕ 2 2 0 r!ϕ 1 2l r!ϕ 2 2l sθ cθ 0 0 0 1 EESC-USP M. Becker 2017 25
Cinemática Solução do Exemplo 5/5 Assim: Velocidade no sistema global:!ξ = R(θ) 1 ξr! = cθ sθ 0 sθ cθ 0 0 0 1 Numericamente:!x 0 1 0!ξ =!y = 1 0 0!θ 0 0 1 3r 0 r l!x r!y r!θ r = cθ sθ 0 sθ cθ 0 0 0 1!x!y!θ = 0 3r r l r!ϕ 1 2 + r!ϕ 2 2 0 r!ϕ 1 2l r!ϕ 2 2l EESC-USP M. Becker 2017 26
Cinemática Quais são as restrições existentes? Cada tipo de roda impõe diferentes restrições ao movimento; Modelando as restrições, pode-se combiná-las de modo a compreender o movimento do robô como um todo. Hipóteses: O plano da roda permanece sempre vertical e há apenas 1 ponto de contato com o solo; Não há escorregamento lateral no ponto de contato. EESC-USP M. Becker 2017 27
Cinemática Roda Padrão Fixa y r Movimenta-se sobre seu eixo horizontal. Não tem eixo vertical de rotação. Existe rolamento puro no ponto de contato. α Na direção do plano da roda: α x r k x1 k y1 k θ1 k x1 k y1 k θ1 V robô = V roda! ξ r = r!ϕ EESC-USP M. Becker 2017 28
Cinemática Roda Padrão Fixa k x1 k y1 k θ1! ξ r = r!ϕ! ξ r = R(θ)! ξ y r α s(α + β) c(α + β) lcβ α x r R(θ)! ξ r!ϕ = 0 Na direção do plano da roda: Rolagem pura!! EESC-USP M. Becker 2017 29
Cinemática Roda Padrão Fixa k x1 k y1 k θ1! ξ r = 0 Na direção ortogonal ao plano da roda: y r c(α + β) s(α + β) lsβ α α x r R(θ)! ξ = 0 Na direção ortogonal ao plano da roda. EESC-USP M. Becker 2017 30
Cinemática Roda Padrão Fixa Para α = 0º e β = 0º: se θ = 0º: y r v 1 0 0 x r 1 0 0 0 1 0 0 0 1!x!y!θ = 1 0 0!x!y!θ = 0 Não ocorre escorregamento lateral!! EESC-USP M. Becker 2017 31
Cinemática Roda Padrão Esterçável y r Quando comparada à roda padrão fixa, há a adição de um grau de liberdade. A roda gira em torno do eixo vertical que passa pelo centro da roda e o ponto de contato com o chão (β varia com o tempo...). α x r β(t) EESC-USP M. Becker 2017 32
Cinemática Roda Padrão Esterçável Na direção do plano da roda: Rolagem pura!! s(α + β) c(α + β) lcβ R(θ)! ξ r!ϕ = 0 y r c(α + β) s(α + β) lsβ α x r R(θ)! ξ = 0 β(t) Na direção ortogonal ao plano da roda. EESC-USP M. Becker 2017 33
Cinemática Rodas Pivotadas y r Capaz de girar sobre o eixo vertical que não passa pelo ponto de contato com o solo. O corpo rígido AB conecta a roda ao chassis. β e β variam com o tempo... α. x r d β(t) ϕ, r EESC-USP M. Becker 2017 34
Cinemática Rodas Pivotadas y r Configuração altera as restrições quanto ao escorregamento. Força lateral na roda atua no ponto A (chassis). Devido ao off-set a restrição de que o movimento lateral é nulo, não é válida! α x r d β(t) ϕ, r EESC-USP M. Becker 2017 35
Cinemática Rodas Pivotadas s(α + β) c(α + β) lcβ R(θ)! ξ r!ϕ = 0 y r c(α + β) s(α + β) d + lsβ α x r R(θ)! ξ r!ϕ = 0 d β(t) ϕ, r EESC-USP M. Becker 2017 36
Cinemática Rodas Pivotadas y r Todo movimento ortogonal ao plano da roda é compensado com um movimento equivalente e oposto Qualquer movimento lateral é permitido... Provoca movimento do chassis... α x r EESC-USP M. Becker 2017 37 d β(t) ϕ, r Robô com 4 rodas pivotadas é considerado omni-direcional
Cinemática Rodas Omni-direcionais (Suecas) y r Não possuem eixo de rotação vertical Possuem 1DoF adicional nas rodas Roda fixa padrão com roletes montados nos perímetros das rodas em um ângulo γ com o plano da roda Dependendo do ângulo γ, os movimentos no eixo principal e o eixo das rodas podem ser acoplados... α x r γ = 0º γ = 45º EESC-USP M. Becker 2017 38
Cinemática Rodas Omni-direcionais (Suecas) s(α + β + γ ) c(α + β + γ ) lc(β + γ ) R(θ)! ξ r!ϕcγ = 0 y r c(α + β + γ ) s(α + β + γ ) ls(β + γ ) α x r γ = 0º γ = 45º R(θ)! ξ r!ϕsγ r sw!ϕ sw = 0 EESC-USP M. Becker 2017 39
Cinemática Rodas Esféricas y r Não apresenta restrições diretas à locomoção Não têm eixo principal de rotação (nenhuma restrição ao rolamento e escorregamento) É omni-direcional e não estabelece restrições à cinemática do chassis. α x r BallBot - CMU EESC-USP M. Becker 2017 40
Cinemática Rodas Esféricas s(α + β) c(α + β) lcβ R(θ)! ξ r!ϕ = 0 y r c(α + β) s(α + β) lsβ R(θ)! ξ = 0 α x r BallBot - CMU EESC-USP M. Becker 2017 41
Cinemática Restrições Cinemáticas Dado um robô com m rodas Cada roda (dependendo do tipo) pode ou não impor alguma restrição cinemática ao movimento do robô. A posição das rodas no chassis do robô deve ser levada em conta para verificar as restrições impostas Dica: atenção com as rodas padrão e esterçáveis! EESC-USP M. Becker 2017 42
Cinemática Restrições Cinemáticas Qual é a manobrabilidade do robô considerando a combinação da diferentes rodas? Fixa Esterçável Supondo que se tem: N = N f + N s β s (t) é o ângulo de esterçamento das Rodas N s β f (t) é o ângulo de orientação das Rodas N f Ambas rodas têm posições rotacionais ϕ f (t) e ϕ s (t) em torno do eixo horizontal que variam em função do tempo: ϕ ( t) ϕ( t) = ϕ ( t) f s EESC-USP M. Becker 2017 43
Cinemática Restrições Cinemáticas Quanto ao Rolamento: J 1 (β s )R(θ)! ξ J 2!ϕ = 0 1 Semelhante às equações obtidas para uma única roda. 2 Ao invés de valores, matrizes são empregadas... J 1 (β s ): matriz com as projeções para todas as rodas de suas locomoções sobre os planos individuais J 2 : matriz diagonal N x N dos raios das rodas J 1 ( β s ) = J 1s EESC-USP M. Becker 2017 44 J 1 f ( β s )
Cinemática Restrições Cinemáticas Quanto ao Escorregamento (mov. lateral): C 1 (β s )R(θ)! ξ = 0 ( β C 1f e C 1s : matrizes (N f x 3) e (N s x 3) cujas colunas são os 3 termos k x, k y e k θ para todas as rodas fixas e esterçáveis. C 1 s ) = C1 f C1 ( β s 1 Semelhante às equações obtidas para uma única roda. 2 Ao invés de valores, matrizes são empregadas... s ) EESC-USP M. Becker 2017 45
Cinemática Restrições Cinemáticas Assim: J 1 (β s )R(θ)! ξ J 2!ϕ = 0 C1(β s )R(θ)! ξ = 0 J 1 (β s ) C 1 (β s ) R(θ)! ξ = J 2!ϕ 0 Na forma Matricial EESC-USP M. Becker 2017 46
Cinemática Restrições Cinemáticas Exemplo: Robô Omni-direcional y y r Palm Pilot Robot Kit - CMU {I} CIR x x r EESC-USP M. Becker 2017 47
Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker 2017 48
Manobrabilidade Manobrabilidade É uma combinação de: Restrições ao movimento DoFs adicionais obtidos através do esterçamento 3 rodas são suficientes para estabilidade estática Rodas adicionais devem ser sincronizadas Equacionada através das equações anteriores: Grau de Mobilidade (δ m ), Grau de Esterçamento (δ s ) e Manobrabilidade (δ M = δ m + δ s ) EESC-USP M. Becker 2017 49
Manobrabilidade Grau de Mobilidade Para se evitar escorregamento lateral o vetor R(θ)! ξ tem que satisfazer as seguintes condições: C 1 (β s )R(θ)! ξ = 0 C 1 ( β s ) = C1 f C1 ( β s s ) C 1 f R(θ)! ξ = 0 C 1s (β s )R(θ)! ξ = 0 EESC-USP M. Becker 2017 50
Manobrabilidade Grau de Mobilidade Matematicamente: R(θ)! ξ deve pertencer ao espaço nulo da matriz de projeção Ou seja: para um vetor n em N, o espaço nulo de no espaço N é: C ( β 1 s C1 ( β s ). n = 0 Geometricamente: ) C β ( 1 s Centro Instantâneo de Rotação (CIR) ) EESC-USP M. Becker 2017 51
Manobrabilidade Centro Instantâneo de Rotação (CIR) CIR Ângulos de Arckeman CIR Bicicleta EESC-USP M. Becker 2017 52
Manobrabilidade Grau de Mobilidade: A cinemática do chassis do robô é uma função do conjunto de restrições independentes rank(c 1 (β s )) Quanto maior o rank, mais limitada é a mobilidade!! Matematicamente: δ m [ C ( β )] = 3 rank[ C ( β )] = dim N s 1 1 s Sem rodas padrão: rank(c 1 (β s )) = 0 Restrição em todas direções: rank(c 1 (β s )) = 3 0 δ m 3 EESC-USP M. Becker 2017 53
Manobrabilidade Grau de Esterçamento DoF indireto [ ( )] δ = rank β s C1 s s 0 δ s 2 O controle do ângulo de esterçamento impõe uma restrição cinemática, porém aumenta o grau de manobrabilidade! EESC-USP M. Becker 2017 54
Manobrabilidade Grau de Manobrabilidade δ = δ + δ M m s Dois robôs (veículos) com o mesmo δ M não são necessariamente iguais! Pygmalion Acionamento Diferencial Piaggio Triciclo EESC-USP M. Becker 2017 55
Manobrabilidade Grau de Manobrabilidade Para um robô com δ M = 2, o CIR move-se ao longo de uma linha Para um robô com δ M = 3, o CIR pode estar em qualquer lugar no plano Ex.: Robô com acionamento Síncrono δ M = δ m + δ s = 1 + 1 = 2 EESC-USP M. Becker 2017 56
Manobrabilidade Exemplo: Acionamento Síncrono EESC-USP M. Becker 2017 57
Manobrabilidade 5 tipos básicos de Configuração de Rodas Omnidirecional Diferencial Omnidirecional Triciclo Duplo Esterçamento EESC-USP M. Becker 2017 58
Workspace Graus de Liberdade Manobrabilidade é equivalente a DoF? Mas, qual o DoF no ambiente? Exemplo: Carros Workspace: área de trabalho Como o robô pode se mover em sua área de trabalho? Differentiable Degrees of Freedom (DDoF): relacionado com a Mobilidade do Robô (δ m ) EESC-USP M. Becker 2017 59
Workspace Graus de Liberdade DoF: habilidade do robô atingir várias posições DDoF: habilidade do robô executar várias trajetórias DDoF δ m DoF Exemplo: Bicicleta: δ M = δ m + δ s = 1 + 1 = 2 DDoF = 1 e DoF = 3 Omni-drive: δ M = δ m + δ s = 1 + 1 = 2 DDoF = 3 e DoF = 3 EESC-USP M. Becker 2017 60
Workspace Robôs com acionamento Omnidirecional y Rodas fixas (esterçáveis ou não) impõem restrições não-holonômicas. {I} 0 3 1=2 x EESC-USP M. Becker 2017 61 0 DDoF = 3 DoF = 3
Workspace Robôs com Duplo-esterçamento y {I} 5 1=2=3=4 0 0 x DDoF = 3 DoF = 3 EESC-USP M. Becker 2017 62
Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker 2017 63
Controle Controle de Movimentação Objetivo: seguir a trajetória descrita pela posição e/ou perfis de velocidade em função do tempo. Não pode-se empregar cinemática inversa em robôs não-holonômicos. Muitos controladores não consideram a dinâmica do sistema pequenas velocidades de locomoção. EESC-USP M. Becker 2017 64
Controle Sistemas Não-holonômicos Equações diferenciais não são integráveis para se obter a posição final. Apenas a medida do S 1 deslocamento de cada roda não é suficiente para obter a posição final. É necessário saber como o movimento foi executado em função do {I} tempo! y S 1e S 1d x 1,y 1 S 2d S 2 S 2e x 2,y 2 x EESC-USP M. Becker 2017 65
Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática Robô móvel move-se ao longo da trajetória S(t). A cada instante de tempo a velocidade v(t) é: v( t) = S t = x t y cosθ + sinθ t ds = dx cosθ + dy sinθ y r y {I} P x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker 2017 66
Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática A função v(t) é dita integrável (holonômica) se há uma função trajetória S(t) que pode ser descrita apenas por valores de x, y e θ. S ( t) = S( x, y, θ ) y r y {I} P x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker 2017 67
Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática Assim: Com: 2 S x y = S ( t) = S( x, y, θ ) Obtém-se para ds: ds S = x dx 2 S ; y x + S y dy 2 S x θ + = S θ dθ 2 S ; θ x y r y {I} 2 S θ y P x = v(t) 2 S y θ x r θ S(t) EESC-USP M. Becker 2017 68
Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática No caso de um robô onde: ds = + dx cosθ dy sinθ Comparando com: Encontra-se: ds = S x S S S = cos θ; = sinθ; = 0 x y θ dx y {I} + y r S y dy P x S + θ dθ v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker 2017 69
EESC-USP M. Becker 2017 70 Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática Observando a condição para holomicidade: Verifica-se que o 2º e o 3º termo na equação não são satisfeitos!! 0 cos 0 sin = = θ θ e θ θ θ θ = = = y S y S x S x S x y S y x S 2 2 2 2 2 2 ; ;
Controle Controle em Malha Aberta Trajetória dividida em segmentos definidos em função de seu formato Segmentos de reta Arcos de circunferência Controle: calcular previamente uma trajetória suave baseada em segmentos de reta e arcos de circunferência {I} y x EESC-USP M. Becker 2017 71
Controle Controle em Malha Aberta Desvantagens: Não é uma tarefa fácil obter uma trajetória prédefinida possível; É necessário considerar as limitações e restrições do robô com relação a velocidades e acelerações; Não pode ser empregada em ambientes dinâmicos; Em geral, as trajetórias obtidas não são exatamente suaves. {I} y x EESC-USP M. Becker 2017 72
Controle Controle em Malha Fechada k ij =k(t,e) Deseja-se encontrar uma matriz de controle K: k = k t EESC-USP M. Becker 2017 73 K 11 21 Para que o controle de v(t) e ω(t) reduza o erro e a zero k k 12 22 k k 13 23 xr v( t) = = K. e K. yr ω( t) θr lim e( t) = 0
Controle Controle de Posição - Cinemática y g = y Δy y r Δx gol x r x g = x Modelo Cinemático de um Robô com Acionamento Diferencial!x!y!θ = cosθ sinθ 0 0 0 1 v ω EESC-USP M. Becker 2017 74
EESC-USP M. Becker 2017 75 Controle Controle de Posição Cinemática Coordenadas Polares: Sistema: ) ( ), tan 2( 2 2 α θ β θ α ρ + = Δ Δ = + Δ Δ = x y a y x Para α I 1 : (- π / 2, π / 2 ]!ρ!α!β = cosα sinα ρ sinα ρ 0 1 0 v ω
EESC-USP M. Becker 2017 76 Controle Controle de Posição Cinemática Coordenadas Polares: Sistema: ) ( ), tan 2( 2 2 α θ β θ α ρ + = Δ Δ = + Δ Δ = x y a y x Para α I 2 : (-π,- π / 2 ] ( π / 2, π]!ρ!α!β = cosα sinα ρ sinα ρ 0 1 0 v ω
Controle Controle de Posição Cinemática Conclusões: A transformação de coordenadas é indefinida para x = y = 0. Nesse ponto o determinante da Matriz Jacobiana da transformação é indefinido. Para α I 1, a orientação do robô móvel aponta para a posição desejada (gol) e para α I 2, a orientação é oposta à direção do gol. EESC-USP M. Becker 2017 77
Controle Controle de Posição Cinemática Conclusões: Definindo-se adequadamente a orientação do robô em sua configuração inicial, sempre é possível ter-se α I 1 para t = 0. Entretanto isso não significa que α I 1 para todo instante t de tempo. EESC-USP M. Becker 2017 78
Controle Controle de Posição Cinemática A Lei de Controle - Exemplo Sendo: v = k ρ ρ ω = k α + k α O sistema de controle em malha fechada:!ρ!α!β = Irá movimentar o robô para: (ρ,α,β)=(0,0,0) EESC-USP M. Becker 2017 79 β β k ρ ρ cosα k ρ sinα k α α k β β k ρ sinα
Controle Controle de Posição Cinemática A Lei de Controle - Exemplo Premissas: 1 O sinal de Controle v tem sempre o mesmo sentido (+ ou -); 2 A direção de movimento é mantida positiva ou negativa durante o trajeto 3 A manobra de aproximação final ( estacionar ) é realizada sempre sem inverter o movimento (não há balizas, etc.) EESC-USP M. Becker 2017 80
Controle Controle de Posição Cinemática Trajetória do robô Trajetória do robô Y [mm] X [mm] Y [mm] X [mm] EESC-USP M. Becker 2017 81
Controle Controle de Posição Cinemática Estabilidade!ρ!α =!β O sistema de controle em malha fechada é localmente estável se: k ρ > β α ρ 0 ; k < 0; k k > Prova: para x pq cos x = 1 e sin x = x k ρ ρ cosα k ρ sinα k α α k β β k ρ sinα!ρ!α!β = 0 k ρ 0 0 0 (k α k ρ ) k β 0 k ρ 0 ρ α β EESC-USP M. Becker 2017 82
EESC-USP M. Becker 2017 83 Controle Controle de Posição Cinemática Estabilidade Sendo a matriz A: O polinômio característico da matriz A: Tem soluções têm partes reais negativas, pois: = 0 0 ) ( 0 0 0 ρ β ρ α ρ k k k k k A ( )( ) β ρ ρ α ρ λ λ λ k k k k k + + ) (. 2 0 0; ; 0 > > > ρ α β ρ k k k k
Controle Controle de Posição Cinemática Estabilidade Para um Controle Robusto de Posição do Robô, é recomendável aplicar uma condição forte de estabilidade que garanta que o robô não alterará sua direção na aproximação final: k ρ 5 2 0 ; k < 0; k β α + β > 3 k π k > ρ 0 EESC-USP M. Becker 2017 84
Controle Controle de Posição Cinemática Estabilidade k ρ Assim: α α 5 2 0 ; k < 0; k β α + β > 3 k π k > ρ I I 1 2, para t, para t desde queα(0) I desde queα(0) I 1 2 0 EESC-USP M. Becker 2017 85
Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker 2017 86
Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker 2017 87
Bibliografia Recomendada LIVROS Siegwart, R. and Nourbakhsh, I.R., 2004, Introduction to Autonomous Mobile Robots, 1st Edition, MIT Press, ISBN 0-262-19502-X Sandin, P. E., 2003, Robot Mechanisms and Mechanical Devices Illustrated, McGraw-Hill, ISBN 0-07-141200-X SITES http://www.cs.cmu.edu/~pprk/ http://www.mobilerobots.org EESC-USP M. Becker 2017 88
Bibliografia Recomendada NOTAS DE AULA Siegwart, R. (ETHZ - Suíça): http://www.mobilerobots.org Simões, A. S. (UNESP - Brasil): http://www.sorocaba.unesp.br/professor/assimoes/rm/index.html Zufferey, J-C. (EPFL - Suíça): http://moodle.epfl.ch/course/view.php?id=261 EESC-USP M. Becker 2017 89