Cinemática de Robôs Móveis

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1 Cinemática de Robôs Móveis A cinemática é a área da Física que estuda o movimento dos corpos. Em robótica móvel a cinemática estabelece relações entre o deslocamento (locomoção) do robô e a atuação a ele imposta. A cinemática direta estabelece modelos que estimam o deslocamento do robô dada uma atuação, por exemplo, velocidades imposta às suas rodas. A cinemática reversa estabelece modelos que estimam a atuação necessária para que o robô realize um determinado deslocamento, por exemplo, percorrer uma trajetória. Comumente, os modelos cinemáticos são baseados em equações diferenciais de primeira ordem não lineares. Tais modelos são linearizados e discretizados no tempo quanto utilizados em aplicações robótica. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 1 Cinemática de Robôs Móveis O modelo cinemático não leva em conta a inércia do robô, deformações em sua estrutura, forças oriundas do deslocamento (atrito, escorregamento, etc.), e demais fatores internos e externos que possam afetar a locomoção. Os modelos dinâmicos são capazes de incorporar estas variáveis, mas são muito mais complexos que os modelos cinemáticos. Os modelos cinemáticos são suficientes quando a locamoção se dá a baixas velocidades e em piso plano e horizontal que propicie contato adequado para não haver escorregamento. Apesar do modelo cinemático ser inerentemente um modelo aproximado, podemos corrigir seus resultados a partir dos sensores do robô. Os algoritmos de localização robótica fazem exatamente isto. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 2

2 Referenciais O deslocamento de um robô deve ser expresso em relação a um sistema de coordenadas (referencial) inercial (global). No plano, utilizamos coordenadas cartesianas (eixos X e Y). Este é um referencial fixo no piso. Usualmente sua origem é posicionada em um ponto "notável" do ambiente, por exemplo, em um canto de parede, no centro geométrico do ambiente ou na posição que o robô se encontra quando é ligado. Y I y θ ξ I = p = [x, y, θ] T x X I IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 3 Referenciais Em muitas situações é cômodo expressar posições em um referencial centrado no robô. Este referencial é denominado local e comumente posicionado no centro de rotação do robô. Exemplos de tais situações: determinar a posição dos sensores estão instalados no robô; obter as leituras de sensores instalados no robô (distâncias, imagens, etc.); determinar o movimento de atuadores instalados no robô (por exemplo, braço robótico). Y R OBS: O referencial local pode ser expresso por um sistema de coordenadas espacial. X R IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 4

3 Mudança de Referencial Y I y I Y R y R X R y θ x R x x I X I IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 5 O Robô Diferencial eixo transversal eixo longitudinal Um robô diferencial possui 2 rodas tracionadas independentemente e um ou mais pontos de contato usualmente propiciados por rodas castor sem tração. A única forma de atuação em um robô diferencial é pela imposição de velocidades independentes em cada roda. O robô diferencial possui estabilidade estática mas não é um robô omnidirecional dado que é incapaz de se deslocar sobre o seu eixo transversal. O centro de rotação do robô está localizado na intersecção dos eixos transversal e longitudinal. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 6

4 Restrições Cinemáticas Um modelo cinemático deve levar em conta as restrições que cada tipo de roda impõe à locomoção do robô (restrições cinemáticas). Por exemplo, podemos dizer que uma roda castor sem tração não impõe nenhuma restrição à movimentação do robô. Certamente trata-se de uma simplificação pois ao girar o atrito da roda com o piso faz com que seu movimento produza forças no chassi do robô que impactam na sua locomoção (lembre-se que o modelo cinemático não leva em conta estas forças). Vamos estabelecer as restrições cinemáticas apenas para uma roda fixa com tração. Estas restrições são suficientes para estabelecer o modelo cinemático de um robô diferencial. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 7 Restrições Cinemáticas Restrições impostas por uma roda fixa com tração: caso particular. Uma roda fixa com tração pode ser representada por seu raio (r), sua posição angular (φ) e sua posicionamento no referencial local (L). No caso particular do referencial local posicionado no centro de rotação do robô: Y I y Y R A r L v θ X R A contribuição da roda em questão para o movimento do robô é dada por: Considerando que: Podemos escrever a restrição da roda como: x X I IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 8

5 Restrições Cinemáticas Restrições impostas por uma roda fixa com tração: caso geral. Y I β v X R R(θ) Y R α L θ X I IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 9 Restrições Cinemáticas Uma segunda restrição estabelece que o movimento da roda no sentido perpendicular ao eixo deve ser nulo (ou seja, ausência de escorregamento). Y R Y I C X R y L θ B Para que não haja escorregamento lateral os vetores B e C devem ter a mesma norma, ou seja: x IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 10

6 Restrições Cinemáticas Caso particular: Caso geral: IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 11 Restrições Cinemáticas As restrições cinemáticas impostas por uma dada configuração de chassi é a combinação das restrições impostas por cada roda, ou seja, a locomoção do robô deve satisfazer as restrições impostas por cada roda individualmente. Restrições de Rolamento Restrições de Escorregamento 0 IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 12

7 O Robô Diferencial Seja um robô diferencial com centro de rotação no ponto médio entre as rodas: Roda esquerda: α = π/2, β=0 Roda direita: α = -π/2, β=π OBS: Para um robô diferencial, a restrição de escorregamento da segunda roda é dependente da primeira, razão pela qual não foi incluida. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 13 O Robô Diferencial Modelo cinemático do robô diferencial: IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 14

8 O Robô Diferencial Pelo modelo cinemático deduzido anteriormente temos: Onde V é a velocidade linear do robô (ao longo de seu eixo longitudinal) e ω é a velocidade rotacional do robô ao longo de seu eixo de rotação. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 15 O Robô Diferencial Variantes do modelo cinemático para o robô diferencial: IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 16

9 Robô Diferencial com Centro de Rotação à Frente Neste robô o centro de rotação é deslocado para a frente do eixo. Isto ocorre quando o centro de massa do robô está localizado à frente do eixo do robô. Exemplo: cadeira de rodas motorizada. L L 2 L 1 CR IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 17 Robô Diferencial com Centro de Rotação à Frente Y I Y R y L V y L 2 ω θ V x X R X I x IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 18

10 Grau de Mobilidade Quanto maior o número de restrições impostas pelas rodas mais difícil é manobrar o robô posto que todas as restrições independentes devem ser satisfeitas simultaneamente. Uma métrica desta mobilidade é o número de restrições independentes das rodas que restringem a locomoção. Este número dita o grau de mobilidade e dado pelo rank da matriz de restrições à locomoção: Restrições de Rolamento Restrições de Escorregamento 0 IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 19 Grau de Mobilidade Para o robô diferencial: Este rank significa que robô pode se locomover no máximo em linha reta ou em círculo, nunca sobre o eixo transversal. Um robô omnidirecional possui rank zero, ou seja, nenhuma restrição de locomoção. O rank máximo é 3. Quanto menor este rank maior a mobilidade do robô. Definimos grau de mobilidade como: IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 20

11 Graus de Esterçabilidade e de Manobrabilidade O grau de esterçabilidade (steerability) é uma métrica dos graus de liberdade que o robô tem para mudar de orientação. O grau de esterçabilidade é dado pelo número de rodas direcionais que podem ser orientadas independentemente. O grau de esterçabilidade é representado por δ s. Note que 0 δ s 2 pois no plano temos no máximo 2 graus de liberdade de esterçamento. O grau de manobrabilidade δ M é dado pelos número de graus de liberdade que o robô tem para alterar sua pose ao longo do tempo, alterando a velocidade das rodas, a direção das rodas, ou ambas simultaneamente. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 21 Grau de Manobrabilidade = n : pode-se atuar simultaneamente em n das 3 variáveis da pose (x, y, θ). As (3-n) variáveis restantes serão dadas pelas restrições cinemáticas do robô. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 22

12 Modelo Cinemático: ICR Se aplicarmos um controle no robô diferencial (Vr e Vl) com Vr Vl o robô realizará um movimento circular. O centro deste círculo no referencial global é denominado centro de rotação instantâneo (ICR). O termo instantâneo é no sentido que varia instantaneamente com as velocidades Vr e Vl. ICR R Δl L Δr IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 23 Modelo Cinemático Diferencial No modelo cinemático diferencial a pose do robô é computada em intervalos Δt. É um modelo mais adequado para o processamento em computador. YI ICR Δθ Δθ Δθ/2 R θ' y' Δl Δy θ Δs Δr y Δx x x' XI IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 24

13 Relação Entre ICR e δ M ICR Em robôs com δ M igual a 2 o ICR deve variar em uma linha contínua, ou seja, é impossível variar o ICR abruptamente. Em robôs com δ M igual a 3 o ICR pode variar arbitrariamente no plano, ou seja, é possível variar o ICR abruptamente. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 25 Graus de Liberdade O número de graus de liberdade (DOF) de um robô define sua capacidade de operar no ambiente. Um robô com DOF = 3 pode atingir qualquer pose (x, y, θ) do ambiente (mesmo que seja necessário manobrar para a atingir a pose). Um robô com DOF = 2 pode se deslocar no plano com uma dada orientação ou se deslocar em uma única direção e se orientar nesta direção. Um robô com DOF = 1 pode se locomover em uma única direção ou girar em torno de si. Graus de liberdade diferenciais (DDOF) de um robô define sua capacidade de não só atingir determinada pose como também variar incrementalmente esta pose. DDOF é sempre igual a δ m. Temos sempre DDOF δ M DOF. DDOF = 1 DOF = 3 DDOF = 2 DOF = 3 DDOF = 3 DOF = 3 IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 26

14 Holonomicidade Um robô é dito holonômico se e somente se DDOF = DOF. Isto é, o robô possui exatos graus de liberdade diferencial (DDOF) para manobrar no ponto/pose que deve atingir. Se DDOF = DOF = 3, o robô é holonômico e omnidirecional (estes termos são comumente usados como sinônimos). Um robô holonômico pode, por exemplo, percorrer uma trajetória arbitrária enquanto gira em torno de si. Atualmente os robôs holonômicos mais comuns são baseados em chassi com 4 rodas suecas tracionadas independentemente. Nestes robôs é possível variar incrementalmente e simultaneamente x, y, e θ variando-se as velocidades nas 4 rodas. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 27 Uso de Modelos Cinemáticos Modelos cinemáticos são utilizados tanto em localização quanto controle de locomoção. Neste ponto vamos ilustrar como um robô pode percorrer uma trajetória utilizando seu modelo cinemático. Uma trajetória é uma lista ordenada de poses (x, y, θ) ou posições (x, y): o primeiro elemento da lista é a pose/posição corrente do robô; o último elemento da lista é o alvo que o robô deseja atingir. Uma trajetória pode ser aproximada por segmentos de retas e de círculos. Ao percorrer uma trajetória o robô se locomove da pose/posição corrente para a próxima, ou percorre cada segmento em sequência. Isto pode ser feito em malha aberta ou malha fechada: Malha aberta: o erro (distanciamento da trajetória) não é levado em conta; Malha fechada: o erro é corrigido ao longo do deslocamento do robô. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 28

15 Uso de Modelos Cinemáticos Dead Reckoning P k+1 Inicialmente o robô se orienta em direção ao próximo ponto. Isto se dá pela aplicação de velocidades opostas nas rodas durante o tempo necessário para o robô se orientar. Δ θ P k D P k+1 Uma vez orientado o robô imprime uma dada velocidade nas rodas um tempo necessário para percorrer a distância D. A cada iteração (Δt) a pose do robô é corrigida de acordo com o modelo cinemático incremental até que a pose alvo seja atingida. P k OBS: Na prática controladores P/PI/PID são empregados na orientação e deslocamento do robô. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 29 Uso de Modelos Cinemáticos R1 R2 ICR 1 ICR 2 Nesta trajetória o robô pode manter uma velocidade linear constante. Nos segmentos circulares o robô varia as velocidades das rodas de modo a perfazer o raio desejado. O modelo cinemático diferencial é utilizado para determinar se o arco de circunferência ou o segmento de reta foram percorridos integralmente. IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 30

16 Uso de Modelos Cinemáticos O problema de percorrer uma trajetória em malha aberta é que os erros produzidos pelo uso de um modelo cinemático vão se acumulando ao longo da trajetória. Trajetória real Trajetória pretendida IA368N/ Prof. Eleri Cardozo 31