ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 9 Geometria Analítica A noção de recta em R e R ; tal como a noção de plano em R já foram abordados no ensino secundário. Neste capítulo faz-se um revisão desses conceitos e generaliza-se ao espaço R n estas noções e outras associadas. Rectas no plano Em geometria euclidiana existe uma única recta que passa por dois pontos dados. Para se saber se um ponto está ou não sobre uma recta é necessário encontrar uma propriedade que só os pontos que estão sobre essa recta possuem. Comecemos com um exemplo. Considere-se no plano a recta que passa nos pontos 1; ) e ; ) : O vector u = ; ) 1; ) = 1; 1) é um vector que tem a direcção dessa recta, representada na gura abaixo. Qualquer ponto da recta pode ser obtido a partir de um dos pontos dados somando múltiplos deste vector. Assim, podemos, por exemplo, de nir esta recta através da igualdade: x; y) = 1; ) + 1; 1) ; R 1) A uma equação desta forma chama-se equação vectorial da recta. A equação 1) dá lugar a um sistema de duas equações: x = 1 + y = + As equações deste sistema têm o nome de equações paramétricas da recta. Explicitando o valor de na primeira equação e substituindo na segunda obtém-se: = x 1 y = + x 1 ou seja, obtém-se a equação x + y = 1 a que se chama equação geral ou equação cartesiana da recta. Se nesta equação explicitarmos o valor de y obém-se: y = x + 1
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 90 a que se chama equação reduzida da recta. Em geral, se quisermos a equação da recta que passa no ponto A = a 1 ; a ) e tem a direcção do vector u = ; u ) temos que repetir este procedimento. Seja X = x; y) um ponto geral sobre a recta, então existe um número real tal que x; y) = a 1 ; a ) + ; u ): Donde passamos para as equações paramétricas: x = a 1 + y = a + u Explicitando agora o valor de na primeira equação e substituindo na segunda vem >< = x a 1 y = a + x a 1 ) u e nalmente y = u u x + a a 1 A equação reduzida de uma recta é da forma y = mx + h, em que m = u e h = a u a 1 : Como se vê facilmente m = u é o valor da tangente do ângulo que a recta faz com o eixo dos xx. A este valor chama-se declive da recta. Por outro lado o valor h = a u a 1 é o que se obtém para y quando se faz x = 0: A este valor chama-se ordenada na origem.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 91 Na gura acima estão representadas rectas de diferentes declives todas a passar na origem. É fácil perceber que as rectas que passam na origem têm equação reduzida y = mx com excepção do eixo dos yy que tem equação x = 0) Rectas paralelas y 5 4 1 1 1 4 1 x Rectas paralelas fazem todas o mesmo ângulo com o eixo dos xx, logo têm todas o mesmo declive. As rectas da gura têm todas declive 1 e têm ordenada na origem diferente. Pode-se então escrever que a equação geral desta família de rectas é da forma y = x + h, variando o h consoante o ponto onde a recta intersecta o eixo dos yy: 1. Determinar a equação da recta paralela à recta x + y = 6 que passa na origem. Começamos por escrever a equação da recta na forma reduzida: y = x +. Vemos assim que a recta dada tem declive : Procuramos agora entre todas as rectas com declive qual é a que passa no ponto 0; 0) : A equação geral das rectas paralelas
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 9 à recta dada é y = x + h. É claro que para a recta passar na origem terá que ser h = 0: A recta pretendida é y = x ou seja, x + y = 0:. A recta r passa nos pontos 4; 9) e 1; ) : A recta s é paralela à recta r e passa no ponto 5; 4) : Determine uma equação da recta s: Um vector com a direcção da recta r é u = 4; 9) 1; ) = 5; 11) ; daqui se conclui que o declive da recta r é 11 11 : Qualquer recta paralela a r tem declive, ou seja terá 5 5 equação reduzida da forma y = 11 x + h. Para que a recta passe no ponto 5; 4) tem que ser h = 4 11 5 Rectas ortogonais 5 11 5 = 7: Então a equação da recta pretendida é y = 5 x 7: Considere-se a recta r = fa + u; Rg e a recta s = fb + v; Rg. Estas rectas são ortogonais se os vectores u e v forem ortogonais. Ou seja as rectas são ortogonais se u v = 0 A recta r tem equação reduzida y = u x + y = v v x + b b 1 : v 1 v 1 u a a 1 e a recta s tem equação reduzida Como os vectores u e v são ortogonais é u v = v 1 + u v = 0: Desta última igualdade conclui-se que u = v 1 : v Então, tendo as equações reduzidas de duas rectas y = mx + h e y = m 0 x + h 0, reconhece-se que elas são ortogonais se m = 1 m 0 : Rectas no espaço O processo de de nir uma recta no espaço é idêntico ao que foi usado para de nir uma recta no plano. Comecemos com um exemplo. Considere-se no espaço R a recta que passa nos pontos 1; ; ) e ; ; 1) : O vector u = ; ; 1) 1; ; ) = 1; 1; ) é um vector que tem a
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 9 direcção dessa recta. Um ponto X = x; y; z) está sobre a recta se existir um real tal que x; y; z) = 1; ; ) + 1; 1; ). >< x = 1 + Esta equação pode ser transformada no sistema y = +. z = >< = x 1 Agindo de modo análogo ao descrito no plano temos: y = 1 + x z = 5 x y = 1 + x Ou seja a equação cartesiana da recta é z = 5 x ou z = 7 z = 5 Vemos assim que para caracterizar uma recta no espaço precisamos de duas condições. Como veremos mais à frente cada uma das condições corresponde a um plano, sendo portanto a recta de nida como intersecção de dois planos. y x z 10 0 4 y 0 4 4 0 x 4 1. Encontrar uma equação da recta perpendicular à recta x + y = 6 que passa na origem. Já vimos que esta recta tem declive : Qualquer recta perpendicular a esta terá declive : Como a recta deve passar na origem a sua equação tem que ser y = x:. A recta r passa nos pontos 4; 9) e 1; ) : A recta s é ortogonal à recta r e passa no ponto 5; 4) : Determine uma equação da recta s: Um vector com a direcção da recta r é u = 4; 9) 1; ) = 5; 11) ; daqui se conclui que o declive da recta r é 11 5 : Qualquer recta ortogonal a r tem declive 5, ou seja 11 terá equação reduzida da forma y = 5 x + h. Para que a recta passe no ponto 5; 4) 11 tem que ser h = 4+ 5 69 5 = 11 11 : Então a equação da recta pretendida é y = 5 69 x+ 11 11 :
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 94 Ângulo de duas rectas Duas rectas de nem quatro ângulos, iguais dois a dois ângulos verticalmente opostos). A soma de dois dos ângulos diferentes é. De ne-se ângulo de duas rectas como o menor destes ângulos. A determinação do ângulo de duas rectas passa pelo cálculo do ângulo entre dois vectores, um de cada recta. O ângulo obtido pode ser o maior ou o menor dos ângulos, conforme a escolha do sentido dos vectores foi feita. Como os ângulos são suplementares, obtido o valor de um dos ângulos facilmente se obtém o valor do outro. 1. Encontrar o ângulo entre as rectas de equações y = x + 1 e x + y = 6 y 6 4 5 4 1 1 4 5 x 4 Temos que encontrar um vector com a direcção de cada uma das rectas. Uma maneira fácil de o fazer é encontrar dois pontos sobre uma recta e calcular um vector de nido por esses dois pontos. Para a recta y = exemplo, u = 1; 0) 0; 1) = 1; 1) : x + 1 temos, por exemplo, 0; 1) e 1; 0), donde se obtém, por Para a recta x + y = 6 temos, por exemplo, 0; ) e ; 0), donde se obtém, por exemplo, v = ; 0) 0; ) = ; ) : Temos que calcular o ângulo entre u e v para o que podemos recorrer à fórmula Temos então: cos ^ u; v) = u:v = kuk kvk cos ^ u; v) 1; 1) ; ) k1; 1)k k; )k = 5 p p donde se conclui que 1 ^ u; v) = arccos 5 p p 1 ' 0:19740 Neste caso veri ca-se facilmente, pelo sentido dos vectores escolhidos, que este é realmente o menor ângulo.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 95 Rectas em R n Embora não admitindo representação grá ca, a noção de recta generaliza-se de modo natural a R n. Uma recta r em R n que passe num ponto P e tenha a direcção de um vector u é de nida pelo conjunto de pontos X que satisfaz a equação vectorial X = P + u; R. A partir da equação vectorial determinam-se, de modo análogo ao que foi feito atrás, as equações paramétricas da recta. Tendo de nido recta em R n, podem-se generalizar outras de nições da geometria usual no plano e no espaço: Três ou mais pontos em R n são colineares se existir uma recta que os contenha. Duas rectas em R n com equações X = P + u e X = Q + v são paralelas se os vectores u e v forem linearmente dependentes, isto é, se um for múltiplo de outro e são ortogonais se os vectores u e v forem ortogonais. 1. Para determinar, em R 4, a equação da recta que passa pelos pontos A = 1; ; ; 4) e B = ; 1; 4; 0) ; escolhemos um destes pontos, por exemplo A; para assumir, na equação o lugar do ponto P e determinamos um vector u que tenha a direcção de nida pelos dois pontos. Podemos escolher o vector u =! AB = B A = ; 1; 4; 0) 1; ; ; 4) = 1; ; 1; 4) : A recta pretendida tem, assim, equação vectorial x 1 ; x ; x ; x 4 ) = 1; ; ; 4) + 1; ; 1; 4) ; R. As equações paramétricas desta recta são x 1 = 1 + >< x = x = + x 4 = 4 4 ; R.. Os pontos 1; ; ; 4) ; ; 4; 5; 4) e 0; 5; ; ) são colineares, pois pertencem todos à recta de nida no exemplo 1:. Considerem-se as rectas r; s e t em R 5, com equações vectoriais: r : x 1 ; x ; x ; x 4 ; x 5 ) = 0; 0; 0; 0; 0) + 1; 1; ; ; 0) ; R.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 96 s : x 1 ; x ; x ; x 4 ; x 5 ) = 1; ; ; 4; 5) + ; ; 4; 6; 0) ; R. t : x 1 ; x ; x ; x 4 ; x 5 ) = 0; 0; 0; 0; 0) + 1; 1; ; ; 0) ; R. A recta r e a recta s são paralelas pois ; ; 4; 6; 0) = 1; 1; ; ; 0) : A recta r e a recta t são ortogonais pois 1; 1; ; ; 0) 1; 1; ; ; 0) = 0: Planos no espaço Para determinar um plano em R são necessários três pontos não colineares, ou um ponto e dois vectores linearmente independentes, ou um ponto e um vector ortogonal ao plano. Repare-se que se tivermos três pontos A; B e C não colineares, podemos construir dois vectores linearmente independentes u = C A e v = B A), assim como com um ponto e dois vectores linearmente independentes se podem obter três pontos não colineares. Um plano em R é um conjunto de pontos da forma M = fp + u + v; ; Rg, em que u e v são linearmente independentes. Um ponto do plano X = x; y; z) pode assim ser obtido >< x = p 1 + + v 1 fazendo x; y; z) = p 1 ; p ; p ) + ; u ; u ) + v 1 ; v ; v ) ou seja y = p + u + v ; z = p + u + v para algum par de valores reais para e para : As equações deste sistema têm o nome de equações paramétricas do plano. A partir destas equações pode-se obter uma equação da forma ax+by +cz = d cujas soluções são exactamente as coordenadas dos pontos que pertencem ao plano. Esta equação chama-se equação geral ou equação cartesiana.do plano. 1. Encontrar o plano que contém os pontos A = 1; 1; 0); B = 0; 1; 1) e C = 1; 0; 1) : De nir dois vectores linearmente independentes: u = B A = 0; 1; 1) 1; 1; 0) = 1; 0; 1); v = C A = 1; 0; 1) 1; 1; 0) = 0; 1; 1); O plano pretendido é o conjunto dos pontos da forma x; y; z) = 1; 1; 0) + 1; 0; 1) + 0; 1; 1) >< x = 1 para algum par de valores reais e : Esta igualdade conduz ao sistema y = 1 : z = + Para que este sistema seja possível os valores de x; y e z têm que obedecer a uma certa condição. É essa condição que vai conduzir à equação cartesiana do plano. Vejamos em que condições é que este sistema, nas incógnitas e ; tem solução: 1 0 x 1 1 0 x + 1 6 7 6 7 4 0 1 y 1 5! 4 0 1 y + 1 5 : 1 1 z 0 0 x + y + z
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 97 Para que este sistema seja possível é obrigatório que seja x + y + z = 0: Esta condição é aquela a que devem obedecer todos os pontos sobre o plano.e é a equação cartesiana do plano representado na gura seguinte: z 10 0 5 5 0 0 y 5 5 x Tem particular importância conhecer-se as intersecções dos planos com os eixos e com os planos coordenados. Para este exemplo vê-se facilmente que as intersecções com os eixos são ; 0; 0) ; 0; ; 0) e 0; 0; ) : Quanto às intersecções com os planos coordenados temos: Intersecção com o plano xoy : x + y + z = 0 x + y =! z = 0 z = 0 Intersecção com o plano xoz : x + y + z = 0 x + z =! y = 0 y = 0 Intersecção com o plano yoz : x + y + z = 0 y + z =! x = 0 x = 0. É também possível de nir um plano através de um ponto por onde o plano passe e um vector ortogonal ao plano. Com efeito, se um vector é ortogonal a um plano então é ortogonal a todos os vectores do plano. Seja P um ponto que se sabe pertencer ao plano e n um vector ortogonal ao plano. Sendo X um ponto genérico do plano, então n é ortogonal ao vector X P, ou seja X P ) n = 0: Vejamos como utilizar este conhecimento para encontrar uma equação do plano do exemplo anterior. Já determinámos dois vectores do plano u = 1; 0; 1) e v = 0; 1; 1): Um vector ortogonal ao plano será simultaneamente ortogonal a ambos os vectores e pode ser facilmente obtido efectuando o produto externo de u e de v: u v = 1; 0; 1) 0; 1; 1) = e 1 e e 6 7 = " det " 4 1 0 1 5 = det " = 1; 1; 1) : 0 1 1 # " 0 1 e 1 det 1 1 1 1 0 1 # e + det " 1 0 0 1 # e =
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 9 Assim, X P ) n = 0 ) x; y; z) 1; 1; 0)) 1; 1; 1) = 0 ) x 1; y 1; z) 1; 1; 1) = 0 ) x 1 + y 1 + z = 0; obtendo-se a equação do plano x + y + z = 0: Note-se que na última equação os coe cientes de x; y e z são as coordenadas de um vector ortogonal ao plano e este facto é geral: na equação cartesiana de um plano ax + by + cz = d, o vector de coordenadas a; b; c) é sempre um vector ortogonal ao plano. Ângulo de dois planos no espaço O ângulo entre dois planos é de nido pelo ângulo entre duas rectas que sejam, respectivamente, ortogonais a cada um dos planos. Exemplo Para calcular o ângulo entre os planos com equações cartesianas x + y = 1 e y z = ; identi cam-se vectores com as direcções de rectas ortogonais a cada um dos planos, por exemplo os vectores 1; 1; 0) e 0; 1; 1) : O ângulo entre estes dois vectores é 1; 1; 0) 0; 1; 1) 1 arccos k1; 1; 0)k k0; 1; 1)k = arccos = Como este ângulo é maior do que ; o ângulo entre os dois planos é o seu suplementar, isto é, Planos em R n = Tal como a recta, também no espaço R n se pode de nir plano. Um plano em R n ; que passe num ponto P e tenha a direcção de dois vectores linearmente independentes u e v é o conjuntos dos pontos X que satisfaz a equação X = P + u + v; ; R. Tal como no espaço usual um plano pode ser de nido por três pontos não colineares, pois a partir destes podem-se obter dois vectores linearmente independentes. À semelhança do que foi feito atrás, a partir da equação vectorial determinam-se as equações paramétricas do plano.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 99 1. Para determinar, em R 4, a equação do plano que passa pelos pontos A = 1; ; ; 4) e B = ; 1; 4; 0) e C = 0; ; 5; 1) ; escolhemos um destes pontos, por exemplo A; para assumir, na equação o lugar do ponto P e determinamos os vectores u e v a partir dos três pontos. Podemos escolher o vectores u = AB! = B A = ; 1; 4; 0) 1; ; ; 4) = 1; ; 1; 4) : v = AC! = C A = 0; ; 5; 1) 1; ; ; 4) = 1; 0; 1; 5) O plano procurado tem, assim, equação vectorial x 1 ; x ; x ; x 4 ) = 1; ; ; 4) + 1; ; 1; 4) + 1; 0; 1; 5) ; ; R. As equações paramétricas deste plano são x 1 = 1 + >< x = x = + + x 4 = 4 4 5 ; ; R. Este plano contém a recta de nida no exemplo 1 da página 95.. O ponto ; 5; 4; ) pertence ao plano de nido atrás. Isto pode ser veri cado resolvendo, em ordem a e ; o sistema que se obtém substituindo as coordenadas do ponto nas equações paramétricas do plano. = 1 + >< 5 = 4 = + + = 4 4 5, = 1 =. O plano de nido em 1. não passa na origem. De facto, substituindo as coordenadas do ponto 0; 0; 0; 0) nas equações paramétricas do plano, obtém-se um sistema impossível: >< 0 = 1 + 0 = 0 = + + 0 = 4 4 5 ><, = 5 = 7 = 11 = 4