INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA ª Lista MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA GABARITO DATA: 14/09/016 1) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (, 1), e a reta t é tangente a C no ponto Q ( 1, 5). a) Determine o raio da circunferência C. b) Encontre uma equação para a reta t. c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x. a) Como Q é tangente à circunferência C, então o segmento PQ é igual ao raio. Logo: r ( 1) 1 5 9 16 5 r 5 b) Como t é tangente à circunferência em Q, sabe-se então que t é perpendicular ao segmento PQ. Assim, os coeficientes angulares da reta t e do segmento PQ tem a seguinte relação: 1 αt α PQ 5 1 4 αpq αpq αt 1 4 Assim, a reta t é dada pela equação reta t y 5 x 1 x 4y 0 4 c) Se o ponto R intercepta o eixo x, então suas coordenadas são do tipo (a, 0). Para encontrar o valor de a, basta substituir na equação da reta: a 0 a R,0 Assim, a área S do triângulo PQR pode ser escrita como: 1 1 1 1 115 1 15 15 S 1 5 1 10 1 S 6 0 1 1
) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até 5 km do depósito. Para a distância que ultrapassar 5 km, medida em linha reta desde o depósito, a empresa cobra R$ 0,00 por quilômetro que ultrapasse os 5 km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma proporcional em caso de frações de quilômetros. Um consumidor do produto reside 0 km a leste do depósito e x km ao sul. Apresente uma figura representando a situação descrita e determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em seguida, determine o custo do frete C (em reais), em função de x, para o caso em que C(x) 0. Considere a figura, em que N denota Norte e L denota Leste. A região para a qual o consumidor tem direito ao frete gratuito corresponde a um disco de raio 5km centrado na origem (depósito), isto é, X Y 5 X Y 65. Em consequência, para X 0 Y 65 Y 15km. 0km, tem-se que Assim, o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência é igual a 15km. Por outro lado, sabendo que o consumidor mora no ponto (0, x), e que a distância desse ponto ao depósito é dada por 400 x, segue que a resposta é C(x) 0 ( 400 x 5), com x 15km.
) Considere a circunferência que passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, qual a equação das retas tangentes a essa circunferência, que passam pelo ponto (, ), Centro da circunferência (ponto médio do diâmetro). 0 4 6 0 C, C, Cálculo do raio da circunferência. (4 0) (6 0) 1 r 1 Equação da reta tangente à circunferência. y m x mx y m 0 Sabendo que a distância do centro à reta tangente é o raio, podemos escrever: m m 1 ( m 5) 1m 1 1m 10m 1 0 6m 5m 6 0 m 1 Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos: 5 169 m m ou m 6 Se m a equação da reta será dada por y (x ) x y 1 0 Se m a equação da reta será dada por y (x ) x y 0
4) A circunferência definida pela equação x y 6x y 6 está inscrita em um quadrado. Calcule a medida da diagonal desse quadrado. x y 6x y 6 x 6x 9 y y 1 6 1 9 (x ) (y 1) 16 Portanto, o centro da circunferência será o ponto (, 1) e o raio será 4. Considerando o quadrado a seguir circunscrito nessa circunferência de raio 4cm. Portanto, a 4 8cm E a diagonal d do quadrado será dada por: d a 8 5) Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x y 4 e à reta y (1 x), então calcule o valor do cosseno do ângulo POQ. Considerando que O é o centro da circunferência, iremos determinar os pontos P e Q através da resolução do seguinte sistema: x y 4 y (1 x) Substituindo a segunda equação na primeira temos: 8 x (1 x) 4 x 4 (1 x x ) 4 5x 8x 0 x 0 ou x 5 8 6 Se x 0, então y Se x, então y 5 5 8 6 Portanto, os pontos pedidos são P(0, ) e Q,. 5 5 Temos, então, a seguinte figura: No triângulo OQM, temos: 6 5 cos 5 cos 180. 5 α. Portanto, α 4
6) Uma reta r de equação ax by c 0 tangencia a circunferência β de equação x y x 6y 8 0 no ponto P (, 0). Qual é o valor de a b c? Sendo as coordenadas do centro da circunferência C( αβ, ), pode-se escrever: x y x 6y 8 0 Ax By Cxy Dx Ey F 0 D α α 1 C( αβ, ) C(1,) E 6 β β Assim, pode-se desenhar os gráficos das funções: Pode-se escrever: h mn n n Q(0, ) Logo, a reta r será do tipo: y x x y 0 Portanto, a b c 4. 5
7) Na figura tem-se a representação de λ, circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos pontos A e B. Se a equação de λ é x y 8x 8y 16 0, então qual a área da região hachurada, em unidades de superfície? Determinando o centro e o raio da circunferência. x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y 16 16 (x 4) (y 4) 4 O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4. Calculando a área do setor de π 4 AS 4π 4 Calculando, agora, a área do triângulo ABC. 4 4 AΔABC 8 Portanto, a área do segmento circular pedida é: A AS AΔABC A 4π 8 A 4 π 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos: 6
8) A circunferência de centro (8, 4) que tangencia externamente a circunferência x y 4x 8y 16 possui qual medida de raio? Desenvolvendo a equação: x y 4x 8y 16 0 x 4x 4 y 8y 16 16 16 4 (x ) (x 4) 6, temos então uma circunferência de centro C(, 4) e raio R 6. O raio r será a diferença entre a distância entre os centros P(8, 4) e C(, 4) e o raio R 6. Portanto, r d(pc) R r (8 ) (4 ( 4)) 6 r 4 9) Uma arruela, que é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões projetadas sobre um sistema de coordenadas cartesianas. A equação da circunferência externa é obtida e tem a forma x y 8x 8y 7 0. A distância da circunferência interna para a externa é de,5 cm. O furo interno, que está no meio da arruela, tem qual área? Determinando o raio de medida R da circunferência externa, temos: x y 8x 8y 7 0 x 8x 16 y 8y 16 7 16 16 (x 4) (y 4) 5 Portanto, o raio da circunferência externa é R 5 5. Logo, o raio da circunferência interna é 5 5,5,5. A área do furo interno será dada por: 5 5 π A π cm 4 7
10) A circunferência C tem equação x y 16. Seja C' uma circunferência de raio 1 que se desloca tangenciando internamente a circunferência C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, C' rola internamente sobre C. Define-se o ponto P sobre C' de forma que no início do movimento de C' o ponto P coincide com o ponto de tangência (4,0), conforme figura a. Após certo deslocamento, o ângulo de entre o eixo x e a reta que une o centro das circunferências é α, conforme figura b. a) Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C' em função do ângulo α. b) Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto P quando α varia no intervalo [0, π ). a) Se a circunferência C deslocou-se α, então ela percorreu uma distância d igual a: α d π πr απ4 d d 4α π Pode-se escrever: α α α α OP OO' O'P cos,sen cos, sen cosα 4cos α cos α,sen α sen α 4sen α Assim, P x, y 4cos α, 4sen α b) Da relação fundamental da trigonometria, tem-se: sen αcos α 1 x y 1 x y 16 4 4 8
11) Considere a circunferência C : (x 1) (y ) 9 a) Determine se o ponto A (4, ) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C. b) Encontre o(s) valor(es) de a para que a circunferência C e a reta y ax possuam dois pontos em comum. a) Considere f(x, y) (x 1) (y ) 9. Logo, como f(4, ) (4 1) ( ) 9 0, segue que o ponto A pertence a C. b) Para que a circunferência C e a reta y ax sejam secantes, a equação (x 1) (ax ) 9 (a 1)x (6a )x 1 0 deve possuir duas raízes reais e distintas, isto é, seu discriminante deve ser positivo. Logo, temos (6a ) 4 (a 1) 1 0 a a 0 4 a 0 ou a. 4 9
1) Considere as circunferências 1 : x u 8x 4y 0 e : x y x 8y 8. O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades: a) o lado AB coincide com a corda comum a 1 e ; b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante; c) o vértice C pertence a 1 e a reta que contém AC é tangente a. Determine as coordenadas do vértice C. A circunferência de equação x y 8x 4y 0 possui centro no ponto C 1(4, ) e a circunferência de equação x y x 8y 8 possui centro no ponto C (1, 4). Determinando os pontos A e B (pertencente ao primeiro quadrante) onde as circunferências se intersectam, temos o seguinte sistema. x y 8x 4y 0 Subtraindo as equações obtemos que: x y. x y x 8y 8 Substituindo o resultado acima na segunda equação do sistema, obtemos: 5y 0y 0. Resolvendo a equação, temos: y 0 x A(, 0) y 4 x 6 B(6, 4) (pertencente ao primeiro quadrante) Temos então a seguinte figura: Calculando o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e C, 1 temos: 4 0 4 m AC, portanto, o coeficiente angular da reta que passa 1 ( ) pelos pontos A e C será: m AC ; 4 Determinando agora, a equação da reta AC, temos: y 0 (x ) 4 Finalmente, resolvendo um sistema com as equações da reta que passa pelos pontos A e C da circunferência de equação x y 8x 4y 0, encontraremos as coordenadas do ponto C. Resolvendo o sistema temos os seguintes pontos: y (x ) 4 8 6 (, 0) e, x y 8x 4y 0 5 5 Como o ponto (, 0) já é o ponto A, concluímos que o ponto C é 8 6,. 5 5 10
1) Suponha que os pontos A(0, 0), B(, ) e C(9, ) representam três torres de observação ao longo de um anel viário circular, representado pelo círculo λ centrado no ponto P(6, 0). Uma nova torre será construída nesse anel, localizada num ponto D de modo que CD é um diâmetro do círculo λ.. Essas torres determinam um quadrilátero ABCD inscrito no circulo λ e, de cada torre, é possível enxergar as outras três torres segundo um ângulo de visão (ângulo interno do quadrilátero). Elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar: a) As coordenadas cartesianas do ponto que representa a torre D. b) Os valores, em graus, dos ângulos de visão DAB, ABC, BCD e CDA. a) Teremos: xd 9 6 x y D D 0 y D Portanto, o ponto D será dado por D(, ). b) Teremos: α α tg 60 α 10 e β 0 Observando que as retas AB e CD são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente angular: m m AB CD 0 0 DAB 10 9 ABC 90 0 10 BCD 180 10 60 CDA 180 10 60 11
14) Alice comprou um terreno de forma triangular e solicitou a um engenheiro civil que fizesse a planta da casa a ser construída, incluindo um gazebo e uma piscina na área de lazer. A proposta do engenheiro foi construir a casa em formato de L, um gazebo de forma trapezoidal e uma piscina com formato circular. Considere a seguir, no plano cartesiano, a planta feita pelo engenheiro, na qual constam o esboço do terreno, da localização da casa, do gazebo e da piscina. a) Determine a área representada pela região triangular ABC, em m, ocupada pelo terreno. b) Considerando que o ponto L pertence à circunferência do círculo de centro K e que é o ponto de interseção das retas t e s, em que t é a reta determinada pelos pontos P e O e s é a reta determinada pelos pontos E e K, determine a equação reduzida da circunferência de centro K, que representa a piscina no plano cartesiano. a) A área do triângulo ABC é igual a 1 0 1 0 (ABC) 4 0 1 0 64 768 1 686 4 m. b) A equação da reta t é dada por 14 1 y 1 (x 14) y x. 16 14 A equação da reta s é 0 1 y 1 (x 10) y x. 10 Assim, como L é o ponto de interseção de t e s, tem-se que L é a solução do sistema formado pelas equações dessas retas. Resolvendo o sistema, encontramos L (1, 10). Portanto, a equação pedida é dada por (x 10) (y 1) d (K, L) (x 10) (y 1) ( (1 10) (10 1) ) (x 10) (y 1) 8. 1
15) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro. Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x y x 4y 1 0. A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. Quais estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio? Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são: A(5,4) B(,1) C(4,) D( 4, ) Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas coordenadas na equação: x y x 4y 1 0 A 5 4 5 4 4 1 0 16 0 OK! B ( ) 1 ( ) 4 11 0 19 0 OK! C 4 4 4 1 0 7 0 OK! D ( 4) ( ) ( 4) 4 ( ) 1 014 0 FALSO! 1
16) No referencial cartesiano ortogonal usual, qual a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são as interseções de cada uma das retas x y 1 0 e x y 1 0 com a circunferência x y 5, calculada com base na unidade de comprimento (u.c) adotada no referencial cartesiano considerado? Do enunciado deduz-se: r1 y x 1 (reta 1) r y x 1 (reta ) x y 5 R 5 onde R é o raio da circunferência Percebe-se que as retas são paralelas e distam figura a seguir). entre si, o que representa a largura do quadrilátero (ver Para encontrar a área do quadrilátero formado pelos pontos de intersecção, é preciso determinar tais pontos. Para isso basta substituir o valor de y na equação da circunferência. Nesse caso, como as retas são paralelas e distanciam-se igualmente do centro da circunferência, utilizou-se o valor de y dado na reta 1, porém poderia ter sido utilizado o valor da reta obtendo-se os mesmos resultados. x ( x 1) 5 0 x x x 1 5 0 1 x x 4 0 x x 1 0 x 4 y 4, x y 4,4 A representação gráfica pode ser vista na figura a seguir. O comprimento do quadrilátero se dá pela distância entre as duas intersecções da reta 1. Assim, utilizandose a fórmula da distância entre dois pontos, têm-se: 14
d x x1 y y1 d ( ) 4 4 ( ) d ( 7) (7) d 98 A área S do quadrilátero, se dá pelo comprimento d multiplicado pela distância entre as retas. Ou seja: S 98 S 196 S 14 Quanto à unidade de comprimento, esta pode ser qualquer uma (metro, centímetro, etc.). Como o enunciado especifica como u.c., logo a unidade de área será (u.c). 15