ROSÁRIO LAUREANO 1 Cálc. Diferenc. em R n Regradacadeia [Elaborado por Rosário Laureano] [2012/13] Este ficheiro contém: 1. Tópicos de teoria- derivada direcional(p. 1 2. Exercícios resolvidos(p. 3 3. Exercício propostos(com solução(p. 3 1 Tópicos de teoria - regra de derivação da função composta(regra da cadeia Sejam F :D F R n R m e G :D G R m R p funçõesvectoriais tais que F ( D F D G (portanto a função composta G F está bem definidae(a 1,...,a n umpontointeriorad F. Regradacadeia Se F é diferenciável no ponto (a 1,...,a n e G é diferenciável em F (a 1,...,a n Int( F ( D F então a função composta G F tambémédiferenciávelem(a1,...,a n eéválidaaregradacadeia (ou regra da função composta que se traduz pela seguinte igualdade entre matrizes Jacobianas(definição no Capítulo 11 ( G J F (a 1,...,a n =J F G( (a1,...,a n J F (a 1,...,a n. }{{}}{{}}{{} matriz m n matriz p n matriz p m CASOPARTICULAR2: Se F :D F R R 2 éumafunçãovectorial devariávelrealdiferenciávelemaeg:d g R 2 Réumafunçãorealde duasvariáveisreaisdiferenciávelem(b,c= F(a=(F 1 (a,f 2 (a,então a função composta h definida por h(t=g(f 1 (t,f 2 (t g(u,v
ROSÁRIO LAUREANO 2 (representamos os argumentos F 1 (t e F 2 (t por u e v, respectivamente é diferenciávelemaeasuaderivada(totalé F 1 ] t (a h (a = dh [ dt (a= u (b,c v (b,c 1 2 = u (b,c F 1 t (a+ v (b,c F 2 t (a = u (b,c u t (a+ v (b,c v t (a. F 2 t (a 2 1 CASOPARTICULAR1:Se F :D F R 2 R 2 éumafunçãovectorial devariávelrealdiferenciávelem(a,beg:d g R 2 Réumafunçãorealde duasvariáveisreaisdiferenciávelem(c,d= F (a,b=(f 1 (a,b,f 2 (a,b, então a função composta h definida por h(x,y=g(f 1 (x,y,f 2 (x,y g(u,v (representamososargumentosf 1 (x,yef 2 (x,yporuev,respectivamente édiferenciávelem(a,beéválidaaigualdadematricial [ h h y ] 1 2 = [ u v sendo as derivadas parciais da primeira e da terceira matrizes calculadas no ponto(a,beasdasegundamatrizcalculadasnoponto(c,d= F (a,b= (F 1 (a,b,f 2 (a,b. Portanto, ] 1 2 F 1 F 2 F 1 y F 2 y 2 2 h (a,b = (c,d F 1 u (a,b+(c,d F 2 v (a,b = u (c,d u (a,b+ v (c,d v (a,b,
ROSÁRIO LAUREANO 3 e h (a,b = (c,d F 1 y u y (a,b+(c,d F 2 v y (a,b = u (c,d u y (a,b+ v (c,d v y (a,b. Para cada função que resulte da composição de outras funções é convenienteaconstruçãodeumesquemaem"árvore" queilustretodasasdependências entre as funções envolvidas. A leitura desse esquema permite a aplicação correcta da regra da cadeia: considera-se a soma das contribuições relativasacadacaminhoeacadaumdestesoprodutodederivadas. 2 Exercício resolvido Exercício Considere f(x,y = Ax 2 +2Bxy+cy 2, com x = uv, y = ln(u v,u=s 2 ev=s+1. Obtenhaaderivadaf (s. RESOLUÇÃO: Podemos considerar um esquema auxiliar (esquema em "árvore". Pela regra de derivação da função composta(ou regra da cadeia, obtemos f (s = df ds = f ( du u dv + f ( y ds y u du ds + y v ds + v ( 1 = (2ax+2by(v 2s+u+(2bx+2cy u 2s+ ( 2s = (2ax+2by(2vs+u+(2bx+2cy u 1 2 v dv ds ( 1 3 Exercícios propostos(com solução 1. Usearegradacadeiaparacalcular f e f y sendo ( f =ln xy 2 +x 2 y+ 1+(xy 2 +x 2 y 2.. 2 v
ROSÁRIO LAUREANO 4 2. Calcule z e z y sendo comu=xlnyev=xy. z= u+v u v 3. Calcule z e z y sendo z = f(uv com u = x2 y 2 e v = exp(xy, comf declassec 1. 4. Calcule z t e dz dt sendoz=xexp(yt,comx=t2 +1ey=sint. 5. Calculeu sendou= 6. Calculez nopontot=1emque z x2 +y 2 comx=rcost,y=rsintez=h. z= u 1+expv, comu=f(x,v=g(xy,x=t 2,y=ϕ(t 3,ondef,geϕsãofunções declassec 1,esabendoqueϕ(1=2,f(0= 1,g(0=0,f (0= 2, g (0=1eϕ (1=3. 7. Usearegradacadeiaparacalcular f e f y sendo 8. Considere a função f = ( x 2 +y 2 1 x 2 +y 2 1+ x 2 +y 2. ( uv f =ϕ +u 2 2u+v emqueϕéumafunçãodiferenciávelnoseudomínio, e u=y/ ( x 2 z 2 v=xyexp ( z 2 1. Sabendo que ϕ (3/2 = 2, calcule as derivadas parciais de primeira ordemdef emordemax,ayeaz nopontop( 2,3,1.
ROSÁRIO LAUREANO 5 9. Dada a função diferenciável g : R 3 R definida por z = g(x,u,v, considere a função Mostre que f(x,y=g(x,x+y,xy. f (2,1 f (2,1= y (2,3,2 v (2,3,2. 10. Sejaf :R 3 Rumafunçãodiferenciávelnoponto(0,e,0e g(x,y=f ( y 2 sinx,expy,ln ( 1+x 2 paratodoo(x,y R 2. SabendoqueamatrizJacobianadefnoponto (0,e,0éJ= [ e 1 e ] T,mostreque (0,1+ y (0,1=0. 11. Sendo f uma função diferenciável no seu domínio, mostre que ( x z=f y verifica a equação x z +y z y =0. 12. Sendo ϕ uma função diferenciável no seu domínio, mostre que ( y z=xy+xϕ x satisfaz a equação x z +y z y =xy+z. 13. SendoϕumafunçãodiferenciávelemR 2,mostrequez=yϕ(x 2 y 2 verifica a igualdade 1 z x +1 z y y = z y 2.
ROSÁRIO LAUREANO 6 14. Sendoϕumafunçãodiferenciávelemtodooseudomínio,mostreque z=ϕ (yexp x2 expy 2y 2 satisfaz a equação ( x 2 y 2 z +xy z y =xyz. 15. Mostrequeafunçãof(x,y,z=G(x 2 y 2,y 2 z 2,emqueGéuma funçãodiferenciávelemr 2,verificaaigualdade yz f +xz f y +xy f z =0. 16. Mostre que a função u = sinx+ϕ(siny sinx, em que ϕ é uma funçãodiferenciávelemr 2,verificaaigualdade u y cosx+ u cosy=cosxcosy. 3.1 Soluções dos exercícios propostos 1. 2. 3. f = y 2 +2xy e f 1+(u+v 2 y = x 2 +2xy sendou=xy 1+(u+v 2 ev=x 2 y 2 z z =0 e y =2(lny 1 (lny y 2 z =[yuexp(xy+2xv]f e z y =[xuexp(xy 2yv]f z 4. t 5. 0 6. 1 7. 8. =xyexp(yt e dz dt =(2t+xy+xtcostexp(yt f +2u 2 =x2u2 (1+u 2 e f y =y2u2 +2u 2 (1+u 2 parau= x 2 +y 2 f ( 2,3,1=113 12, f t ( 2,3,1=5 3 e f z ( 2,3,1=4 3