Introdução às Medidas em Física 11 a Aula * http://fge.if.usp.br/~takagui/4300152_2011/ Marcia Takagui Ed. Ala 1 * Baseada em Suaide/ Munhoz 2006 sala 216 ramal 6811 1
Cordas vibrantes Parte 1! Objetivos: Estudo da ressonância sonora em um fio tensionado Obtenção da expressão que relaciona os parâmetros experimentais com as freqüências de ressonância Análise de dados: Análise gráfica escala logarítmica; Fórmulas empíricas; 2
Oscilações Forçadas e Ressonância! Sistemas que podem oscilar tem suas frequências naturais de oscilação: tirados de suas posições de equilíbrio, passam a oscilar com a frequência natural, e na ausência de atrito, assim permanecem.! Podemos forçar um sistema a oscilar aplicando uma força periódica: o sistema irá oscilar com a frequência imposta, mas a amplitude da oscilação depende da relação entre a frequência imposta e a frequência natural.! Ressonância: é quando a frequência imposta coincide com a frequência natural. O sistema absorve a máxima energia e a amplitude da oscilação torna-se a máxima. 3
Ondas em uma corda! Onda é uma perturbação se propagando; deve-se notar que não é o meio que se desloca, é a perturbação. Conforme ela passa as partículas do meio saem da posição de equilíbrio mas retornam quando a perturbação se vai. Se o agente que produz a perturbação atua periodicamente temos um trem de ondas progressivas se propagando com velocidade v. λ = vt = v / f 4
Princípio da superposição! Se numa região do espaço houver mais de uma onda passando, o efeito global é a soma dos efeitos de cada onda.! Interferência construtiva: quando as ondas estão em fase a amplitude resultante é a máxima pois os deslocamentos das partículas em relação ao equilíbrio estão no mesmo sentido.! Interferência destrutiva: quando as ondas resultantes estão em oposição de fase, a amplitude resultante é a mínima pois os deslocamentos das partículas em relação ao equilíbrio devidos a cada onda individual estão em sentidos opostos. Se tiverem a mesma magnitude, a amplitude resultante é nula. 5
Ondas estacionárias numa corda! Quando uma corda presa nas duas extremidades é posta a vibrar, a onda caminhando para a direita se reflete ao chegar na extremidade direita, originando uma onda caminhando para a esquerda. Pelo princípio da superposição, os efeitos das duas ondas se somam algebricamente.! Em determinadas frequências, alguns pontos da corda estão permanentemente em repouso. São chamados nós. Entre os nós, os pontos onde a amplitude é máxima são chamados ventres. As ondas são chamadas estacionárias. As frequências, modos harmônicos. 6
Ressonância numa corda! Quando forçamos uma oscilação na corda, apenas algumas frequências, que coincidem com as frequências normais de oscilação da corda, produzem ondas estacionárias e quando isto ocorre a amplitude é máxima: a corda está em ressonância.! As frequências são ditas frequências de ressonância. 7
Modos de vibração de um fio! Fio preso nas duas extremidades Essa condição limita as configurações possíveis de ondas estacionárias Modos de vibração! Quais parâmetros influenciam a freqüência de vibração do fio? ventre L nó n = 1 λ = 2L n = 2 λ = L n = 3 λ = 2 L/3 8
As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?! Modo de vibração Aumento o n, diminuo o comprimento de onda, e aumento a frequência! Comprimento do fio Aumento o comprimento, maior o comprimento de onda para o mesmo modo de vibração, e diminuo a frequência ventre L nó f v = λ n = 1 λ = 2L n = 2 λ = L n = 3 λ = 2 L/3 9
As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?! Densidade do fio Fios de densidade diferentes vibram em freqüências diferentes (violão)! Tensão aplicada ao fio Variando-se a tensão, varia-se a freqüência (afinar um violão) ventre L nó f v = λ n = 1 λ = 2L n = 2 λ = L n = 3 λ = 2 L/3 10
As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?! Assim, os parâmetros principais são Modo de vibração (n) Comprimento do fio (L) Densidade (µ) Vamos usar a densidade linear µ = m / L Tensão aplicada (T) 11
As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?! Como correlacionar a freqüencia com esses parâmetros? Tomar os dados e analisá-los Método Fixar todos os parâmetros, menos um deles e, estudar como a freqüência depende do parâmetro que está variando 12
Análise dos dados experimentais! Como obter uma expressão para a freqüência de ressonância?! Hipótese Supor que a freqüência depende de um parâmetro como uma potência deste parâmetro f ( x) = Ax b No caso dos nossos parâmetros, supor uma combinação de potências f n α β = Cn L T γ µ δ 13
Atividades (casa)! Supondo que a expressão abaixo seja suficiente para determinar as freqüências de ressonância, faça uma análise dimensional e obtenha os valores dos coeficientes α, β, γ e δ f n α β = Cn L T γ µ δ! Dica: Lembre-se que a unidade de freqüência é Hz (1/s) e a unidade de tensão (N) pode ser dada em termos da massa e aceleração. Para saber se as potências são positivas ou negativas, lembre-se do violão, e que notas musicais mais agudas correspondem a frequências mais altas. 14
Como obter os valores destes coeficientes experimentalmente! A partir dos dados! Para um determinado parâmetro, com todos os outros fixos, podemos escrever que f ( x) = Ax b! Por exemplo: para todos os parâmetros fixos e variando apenas n f n α = Bn, onde B = cte = CL T β γ µ δ 15
Exemplo: determinar B e α! Fixar todos os parâmetros e variar somente n f n α β = Bn, onde B = cte = CL T! Como determinar B e α? Extrair log da expressão α log( f ) = log( Bn ) n log( f ) = α log( n) + log( B) reta!!!! n y = ax + b y = log (f ); a = α; b = log( B) n γ µ δ 16
Solução elegante: papel di-log! Usado para fazer gráficos do tipo y = ax b! O papel di-log já tem as escalas proporcionais a log(x) Dividido em décadas Cada década representa uma ordem de grandeza Leitura direta dos valores Coeficiente angular é a inclinação do gráfico Coeficiente linear diretamente lido da escala 17
Década (igualmente válido para o eixo X) ESCALA (sempre múltipla de 10) 0,1 0,2 0,3 1 2... 10 20 30 100 200... 1 2 3 10 20... 18
L y f n 100 Retas auxiliares para estimar incertezas (x 1, y 1 ) α Δy (cm) log y log y Δy / L log x log x Δx / L 1 2 = = 1 2 y x B 10 (x 2, y 2 ) Δx (cm) Lx 1 10 n 19
Arranjo experimental L ρ f T=mg T = m g 20
Procedimento experimental! Quatro parâmetros a serem estudados n, L, µ e T. Variar um parâmetro de cada vez, fixando os outros. Exemplo: Como a freqüência depende de n? Escolher um fio de nylon e montá-lo no arranjo experimental Fixar (e anotar, com a respectiva incerteza) todos os outros parâmetros Medir as freqüências de ressonância para vários valores de n Analisar os dados 21
Atividades - I! Estudar a dependência da frequência de ressonância com o modo de vibração n: Cada montagem tem um fio: não desmonte o fio escolha qual montagem você quer e anote o diâmetro ϕ do fio. Ajuste a distância entre a polia (fixa) e o alto-falante (móvel) para a máxima. Meça o comprimento L do fio = distância do ponto de tangência do fio com a polia até o eixo do alto-falante. Tensione o fio usando uma massa m de cerca de 100g, antes medindo-a. Anote também a massa do suporte de massas, escrita no mesmo. Ligue o gerador de audio na faixa das dezenas de Hertz (Hz) e procure a frequência que produz o primeiro harmônico (n=1) com a máxima amplitude. Anote a frequência e o modo de vibração numa tabela f versus n. Anote também a frequência mínima onde você enxerga o n=1 se formando e a máxima onde você enxerga o n=1 terminando. Sucessivamente procure as frequências para os modos seguintes até cerca de n=8, Em cada modo a frequência é sempre aquela de máxima amplitude. Anote também as frequências mínimas e máximas em que você enxerga cada modo se formando 22 e se desmanchando.
Atividades - II! Estudar a dependência da frequência de ressonância com o a tração T no fio: Mantenha o fio de nylon ϕ e o mesmo comprimento L do fio. Varie a massa m de tração entre 100g e 500g (5 pontos), não esquecendo de considerar a massa do suporte de massas. Se o fio for fino 500g pode ser demais: use outros limites tal que haja um fator 5 entre a menor massa e a maior. Planeje os 5 valores de modo que fiquem uniformemente distribuídos na escala logaritmica. Para cada massa procure a frequência de ressonância do modo n=2. Em cada massa procure a frequência de ressonância (máxima amplitude) anotando na tabela f versus m, bem como as frequências mínima e máxima em que o modo n=2 começa a se formar e começa a desaparecer, respectivamente. Os outros parâmetros mantidos constantes devem ser reescritos próximos à tabela ou, melhor ainda, na legenda da tabela, incluindo o modo de vibração. 23
Preparação dos dados! Em cada tabela, determinar a incerteza estatística das frequências medidas a partir de [f max f min ] = 6. A incerteza instrumental será fornecida em aula.! Certificar-se que as incertezas de todas as outras grandezas estejam anotadas.! Anotar o valor da densidade linear µ do fio utilizado, afixado na sala de aula.! Certificar-se que os valores dos parâmetros mantidos fixos (com as incertezas) estejam mencionados na legenda das tabelas. 24
Atividades: determinando as potências! Fazer o gráfico di-log das frequências de ressonância como função dos parâmetros medidos f vs n f vs m! Os dados realmente são uma reta no papel di-log? Quais os coeficientes angulares das retas com as suas incertezas? Os valores obtidos são compatíveis com a análise dimensional realizada? 25