Aula demonstrativa Apresentação... 2 Negação de proposições quantificadas... 10 Relação das questões comentadas... 14 Gabaritos... 15 1
Apresentação Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Esta é a aula demonstrativa de Raciocínio Lógico para o concurso da PC/PA. Para quem ainda não me conhece, meu nome é Guilherme Neves. Sou professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial (Editora Campus). Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a dar aulas para concursos, aqui em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE). No nosso curso, além de ter acesso à teoria completa e muitos exercícios resolvidos, você poderá tirar as suas dúvidas no nosso fórum. Nesta aula, que é demonstrativa, aprenderemos a negar proposições compostas pelo conectivo ou e pelo conectivo e. Essas fórmulas de negação são conhecidas como Leis de De Morgan, conforme veremos nesta aula. Esta aula, por ser demonstrativa, será bem mais curta que as posteriores. Nossas aulas terão uma média de 60 páginas. Seguiremos o seguinte cronograma: Aula 0 Aula 1 Leis de De Morgan 1 Estruturas lógicas. 3 Lógica sentencial (ou proposicional). 3.1 Proposições simples e compostas. 3.2 Tabelas-verdade. Aula 2 2 Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3.3 Equivalências. 3.4 Leis de De Morgan. 3.5 Diagramas lógicos. 4 Lógica de primeira ordem. Aula 3 Aula 4 Aula 5 Aula 6 5 Princípios de Contagem 5 Probabilidade 6 Operações com conjuntos. Problemas Aritméticos. 7 Raciocínio lógico envolvendo problemas, geométricos e matriciais. 2
Negação de Proposições Vamos agora aprender a negar proposições simples e algumas proposições compostas. - Guilherme, calma aí! Eu não sei o que são proposições, nem muito menos proposições simples e compostas. Fique tranquilo, pois todos esses conceitos serão explicados detalhadamente no nosso curso, ok? Por enquanto, assuma que proposições são frases (depois definiremos formalmente este conceito). Um exemplo de proposição é o seguinte: Guilherme Neves é torcedor do Náutico. Toda proposição pode ser classificada em V ou F, mas não os dois. Como eu realmente sou torcedor do Náutico, então a frase acima é verdadeira. Guilherme Neves é torcedor do Náutico. (V) Existe um operador lógico chamado de modificador. E para que serve o modificador? Bom, a principal função do modificador é negar a proposição dada. Por exemplo, a negação da proposição acima é a seguinte. Guilherme Neves não é torcedor do Náutico. Como a proposição original era verdadeira, a sua negação obrigatoriamente será falsa. Guilherme Neves não é torcedor do Náutico. (F) Por enquanto é isso. O operador modificador serve para negar a proposição dada. Se uma proposição é verdadeira, a sua negação será falsa. Se uma proposição é falsa, a sua negação será verdadeira. Vejamos mais um exemplo. Proposição dada: O Ponto dos Concursos não está sediado em Recife. 3
Esta é uma proposição verdadeira, já que o Ponto está sediado em Brasília. Como esta frase é verdadeira, a sua negação obrigatoriamente será falsa. E qual é a negação da proposição acima? Tudo bem até agora? O Ponto dos Concursos está sediado em Recife. De agora em diante, lembre-se que para negar uma proposição simples devemos apenas modificar o seu verbo. Considere a proposição: Guilherme jogou um livro na perna de João. A negativa, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da afirmação feita. Limita-se a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa falsidade pode recair em vários itens da afirmação. i) Não foi Guilherme quem jogou o livro, foi Alberto. ii) Não jogou, apenas encostou. iii) Não foi um livro, e sim um caderno. iv) Não foi na perna, foi na barriga. v) Não foi em João, foi em Paulo. Para englobar todas essas possibilidades, devemos apenas modificar o verbo. Assim, a correta negação desta proposição é Guilherme não jogou um livro na perna de João, ok? Aprendemos então como negar proposições simples, ou seja, que não fazem uso de conectivos lógicos. Agora que já sabemos negar uma proposição simples, vamos aprender um pouco sobre as Leis de De Morgan. - Guilherme, para que servem as Leis de De Morgan? É muito simples, meu amigo. As leis de De Morgan ensinam como negar proposições compostas pelos conectivos e e ou. 4
Você saberia, por exemplo, negar a proposição Vou à festa ou não me chamo Guilherme.? Bom, a negação de Vou à festa é Não vou à festa. A negação de não me chamo Guilherme é me chamo Guilherme. Afirmação Vou à festa ou não me chamo Guilherme Negação Não vou à festa me chamo Guiherme É agora que entra a primeira lei de De Morgan. Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, você deve negar as duas proposições simples que a compõe e TROCAR O CONECTIVO OU PELO E. Afirmação Vou à festa ou não me chamo Guilherme Negação Não vou à festa e me chamo Guiherme Pronto, só isso! Vamos fazer mais um exemplo? Negue a proposição O rato não chia ou o gato mia. Afirmação O rato não chia ou o gato mia Negação Vamos relembrar a lei. Devemos negar os dois componentes, para começar. Afirmação O rato não chia ou o gato mia Negação O rato chia O gato não mia Depois é só trocar o conectivo para e. Afirmação O rato não chia ou o gato mia Negação O rato chia e O gato não mia Pronto! Muito fácil, não? - Guilherme, você falou em LEIS de De Morgan, e não LEI de De Morgan? Qual é a outra? Caríssimo, se você aprendeu a primeira lei, você praticamente já aprendeu a outra. 5
A primeira lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo ou, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo e. Pois bem, a segunda lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. Vamos lá? Negue a proposição Lula foi presidente do Brasil e Bertrand Russell não era brasileiro. Ok, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. Afirmação Negação Lula foi presidente do Brasil Lula não foi presidente do Brasil e Bertrand Russel não era brasileiro. ou Bertrand Russell era brasileiro. LEMBRETE LEIS de DE MORGAN Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, negue os componentes e troque o conectivo pelo e. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, negue os componentes e troque o conectivo pelo ou. Por enquanto, não vamos aprender nenhum símbolo lógico, ok? Isto fica para as próximas aulas... Vamos resolver alguns exercícios para treinar? 01. (SUDECO 2013/FUNCAB) A negação de Arthur ou Paulo são agentes administrativos e Mauro mora em Brasília é: A) Arthur e Paulo não são agentes administrativos e Mauro mora em Brasília. B) Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro mora em Brasília. C) Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. D) Arthur ou Paulo não são agentes administrativos e Mauro não mora em Brasília. E) Arthur ou Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. Resolução 6
Aplicação direta das Leis de De Morgan. Para negar proposições com os conectivos e e ou, devemos modificar o verbo e trocar os conectivos. A negação pedida é Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. Letra C 02. (PC/ES 2013/FUNCAB) A negação da proposição Luciana é médica e legista da Polícia Civil é: A) Luciana é médica ou é legista da Polícia Civil. B) Luciana não é médica e é legista da Polícia Civil. C) Luciana não é médica ou é legista da Polícia Civil. D) Luciana não é médica e não é legista da Polícia Civil. E) Luciana não é médica ou não é legista da Polícia Civil. Resolução Novamente Lei de De Morgan. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. A negação pedida é Luciana não é médica ou não é legista da Polícia Civil. Letra E 03. (Pref. Armação dos Búzios 2012/FUNCAB) A negação da sentença Wanda não viajou para Búzios e foi ao Pão de Açúcar equivale a: A) Wanda não viajou para Búzios ou não foi ao Pão de Açúcar. B) Wanda não viajou para Búzios e não foi ao Pão de Açúcar. C) Wanda não viajou para Búzios ou foi ao Pão de Açúcar. D) Wanda viajou para Búzios ou não foi ao Pão de Açúcar. E) Wanda viajou para Búzios e não foi ao Pão de Açúcar. Resolução Novamente a lei de De Morgan. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. 7
A negação pedida é Wanda viajou para Búzios ou não foi ao Pão de Açúcar. Letra D Muito fácil, não? Vamos agora aprender como negar uma proposição que seja composta pelo conectivo se..., então..., que é o conectivo condicional. Aprenderemos que a proposição que fica entre se e então é chamada de antecedente. A proposição que fica depois de então é chamada de consequente. Por exemplo: Na proposição Se penso, então existo, penso é o antecedente e existo é o consequente. Pois bem, agora já podemos aprender a construir a negação de uma proposição composta pelo conectivo se..., então.... Basta que você afirme (copie, transcreva) o antecedente, troque o conectivo se..., então... pelo conectivo e e negue o consequente. Lembre-se: Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo e e negue o consequente. Veja um exemplo: Afirmação: Se bebo, então não dirijo. Negação: Bebo e dirijo. Observe que o antecedente Bebo foi repetido, copiado. Trocamos o conectivo se..., então... por e. Em seguida, negamos o consequente. Veremos o porquê desta fórmula durante o nosso curso. Vamos agora resolver duas questões envolvendo este tipo de negação. 04. (SUDECO 2013/FUNCAB) A negação da afirmação condicional Se estiver fazendo sol no feriado, eu vou ao clube é: A) Está fazendo sol no feriado e eu não vou ao clube. B) Se não estiver fazendo sol no feriado, eu vou ao clube. C) Se estiver fazendo sol no feriado, eu não vou ao clube. D) Não está fazendo sol no feriado e eu vou ao clube. E) Não está fazendo sol no feriado e eu não vou ao clube. 8
Resolução Para negar uma proposição composta pelo conectivo se..., então..., devemos afirmar o antecedente, colocar o conectivo e e negar o consequente. Afirmação Se estiver fazendo sol no feriado, então vou ao clube. Negação Está fazendo sol no feriado e não vou ao clube. A negação pedida é Está fazendo sol no feriado e eu não vou ao clube. Letra A 05. (SUDECO 2013/FUNCAB) Assinale a alternativa que contém a negação da sentença lógica Se fizer frio, eu compro um agasalho. A) Se não fizer frio, eu compro um agasalho. B) Faz frio e eu não compro um agasalho. C) Não faz frio e eu não compro um agasalho. D) Se fizer frio, eu não compro um agasalho. E) Não faz frio e eu compro um agasalho. Resolução Novamente negação de uma proposição composta pelo se..., então.... Devemos afirmar o antecedente, colocar o conectivo e e negar o consequente. Afirmação Se fizer frio, então eu compro um agasalho. Negação Faz frio e eu não compro um agasalho. A negação pedida é Faz frio e eu não compro um agasalho. Letra B 9
Negação de proposições quantificadas Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve quantificação. São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum, todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionários, de modo geral, não registram quantificador. Esse termo, no entanto, é de uso comum na Lógica. Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada por um quantificador seguido por uma classe ou de atributos, um elo e outra classe de atributos. Vejamos exemplos de proposições quantificadas. Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano. Proposição universal negativa Proposição particular afirmativa Nenhum recifense é pernambucano. Algum recifense é pernambucano. Proposição particular negativa Algum recifense não é pernambucano. Observe que a proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano equivale a dizer que Todo recifense não é pernambucano. Dessa forma, a expressão nenhum pode ser substituída pela expressão todo... não.... O quantificador universal é indicado pelo símbolo qualquer que seja, para todo., que se lê: todo, O quantificador existencial é indicado pelo símbolo, que se lê: algum, existe, existe pelo menos um, pelo menos um, existe um. 10
Negação de proposições quantificadas Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições quantificadas. Afirmação Particular afirmativa ( algum... ) Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Universal afirmativa ( todo... ) Particular negativa ( algum... não ) Negação Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Particular afirmativa ( algum... ) Particular negativa ( algum... não ) Universal afirmativa ( todo... ) Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua negação terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um quantificador PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIVERSAL. Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será AFIRMATIVA. Vejamos alguns exemplos: p : Algum político é honesto. p : Existe político honesto. A proposição dada é uma PARTICULAR AFIRMATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL NEGATIVA. ~ p : Nenhum político é honesto. ~ p : Todo político não é honesto. 11
q : Nenhum brasileiro é europeu. q : Todo brasileiro não é europeu. A proposição dada é uma UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR AFIRMATIVA. ~ q : Algum brasileiro é europeu. ~ q : Existe brasileiro que é europeu. r : Todo concurseiro é persistente. A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR NEGATIVA. ~ r : Algum concurseiro não é persistente. ~ r : Existe concurseiro que não é persistente. t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano. A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL AFIRMARTIVA. ~ t : Todo recifense é pernambucano. Observação: Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras: i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. 06. (SUDECO 2013/FUNCAB) Considere a afirmação: Existem agentes administrativos da SUDECO que não são concursados. Se essa afirmação é falsa, então é verdade que: A) Nenhum concursado é agente administrativo da SUDECO. B) Nenhum agente administrativo da SUDECO é concursado. C) Nem todos os agentes administrativos da SUDECO são concursados. 12
D) Todo agente administrativo da SUDECO é concursado. E) Todos os concursados são agentes administrativos da SUDECO. Resolução Quando o problema fornece uma afirmação falsa e pede uma verdadeira, devemos negar a proposição dada. A proposição dada utiliza um quantificador PARTICULAR NEGATIVO. A negação desta proposição deverá utilizar um quantificador UNIVERSAL AFIRMATIVO. Letra D Ficamos por aqui. Espero que tenham gostado. Um forte abraço, bons estudos e até a próxima aula. Guilherme Neves 13
Relação das questões comentadas 01. (SUDECO 2013/FUNCAB) A negação de Arthur ou Paulo são agentes administrativos e Mauro mora em Brasília é: A) Arthur e Paulo não são agentes administrativos e Mauro mora em Brasília. B) Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro mora em Brasília. C) Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. D) Arthur ou Paulo não são agentes administrativos e Mauro não mora em Brasília. E) Arthur ou Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. 02. (PC/ES 2013/FUNCAB) A negação da proposição Luciana é médica e legista da Polícia Civil é: A) Luciana é médica ou é legista da Polícia Civil. B) Luciana não é médica e é legista da Polícia Civil. C) Luciana não é médica ou é legista da Polícia Civil. D) Luciana não é médica e não é legista da Polícia Civil. E) Luciana não é médica ou não é legista da Polícia Civil. 03. (Pref. Armação dos Búzios 2012/FUNCAB) A negação da sentença Wanda não viajou para Búzios e foi ao Pão de Açúcar equivale a: A) Wanda não viajou para Búzios ou não foi ao Pão de Açúcar. B) Wanda não viajou para Búzios e não foi ao Pão de Açúcar. C) Wanda não viajou para Búzios ou foi ao Pão de Açúcar. D) Wanda viajou para Búzios ou não foi ao Pão de Açúcar. E) Wanda viajou para Búzios e não foi ao Pão de Açúcar. 04. (SUDECO 2013/FUNCAB) A negação da afirmação condicional Se estiver fazendo sol no feriado, eu vou ao clube é: A) Está fazendo sol no feriado e eu não vou ao clube. B) Se não estiver fazendo sol no feriado, eu vou ao clube. C) Se estiver fazendo sol no feriado, eu não vou ao clube. D) Não está fazendo sol no feriado e eu vou ao clube. E) Não está fazendo sol no feriado e eu não vou ao clube. 14
05. (SUDECO 2013/FUNCAB) Assinale a alternativa que contém a negação da sentença lógica Se fizer frio, eu compro um agasalho. A) Se não fizer frio, eu compro um agasalho. B) Faz frio e eu não compro um agasalho. C) Não faz frio e eu não compro um agasalho. D) Se fizer frio, eu não compro um agasalho. E) Não faz frio e eu compro um agasalho. 06. (SUDECO 2013/FUNCAB) Considere a afirmação: Existem agentes administrativos da SUDECO que não são concursados. Se essa afirmação é falsa, então é verdade que: A) Nenhum concursado é agente administrativo da SUDECO. B) Nenhum agente administrativo da SUDECO é concursado. C) Nem todos os agentes administrativos da SUDECO são concursados. D) Todo agente administrativo da SUDECO é concursado. E) Todos os concursados são agentes administrativos da SUDECO. Gabaritos 01. C 02. E 03. D 04. A 05. B 06. D 15