Fundamentos de Controle Análise de resposta transitória. Sistemas de primeira e segunda ordem. Prof. Juliano G. Iossaqui Engenharia Mecânica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Londrina, 2017 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 1 / 14
Objetivos 1 Análise de resposta transitória Sistemas de primeira ordem Sistemas de segunda ordem Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 2 / 14
Sinais de teste As características mais importante em projetos de sistemas de controle são: estabilidade; desempenho. O desempenho pode ser verificado por meio da resposta do sistema a sinais de entrada de teste. Em geral, os sinais de entrada de teste utilizados são as funções: degrau; rampa; impulso; senoidais; ruído branco. A resposta de um sistema de controle consiste em duas partes: a resposta transitória; a resposta estacionária. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 3 / 14
Resposta ao degrau unitário de sistemas de primeira ordem Considere o sistema de primeira ordem cuja relação entrada-saída seja R(s) = 1 Ts + 1 Considere que a entrada seja uma função degrau unitário R(s) = 1/s, então = 1 1 Ts + 1 s Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se c(t) = 1 e t/t, para t 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 4 / 14
Resposta à rampa unitária de sistemas de primeira ordem Considere o sistema de primeira ordem cuja relação entrada-saída seja R(s) = 1 Ts + 1 Considere que a entrada seja uma função rampa unitária R(s) = 1/s 2, então = 1 1 Ts + 1 s 2 Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se c(t) = t T + T e t/t, para t 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 5 / 14
Resposta ao impulso unitário de sistemas de primeira ordem Considere o sistema de primeira ordem cuja relação entrada-saída seja R(s) = 1 Ts + 1 Considere que a entrada seja uma função impulso unitário R(s) = 1, então = 1 Ts + 1 Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se c(t) = 1 T e t/t, para t 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 6 / 14
Resposta ao impulso unitário de sistemas de primeira ordem Mostrou-se que para uma entrada em rampa unitária, a saída é c(t) = t T + T e t/t, para t 0 Para uma entrada em degrau unitário, a saída é c(t) = 1 e t/t, para t 0 que é a derivada da entrada em rampa unitária. Para uma entrada em impulso unitário, a saída é c(t) = 1 T e t/t, para t 0 que é a derivada da entrada em degrau unitário. Esta é uma propriedade dos sistemas lineares invariantes no tempo. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 7 / 14
Sistemas de primeira ordem Exemplo 1 Análise o sinal de erro estacionário de um sistema de primeira ordem com entrada dada por uma função rampa unitária. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 8 / 14
Sistemas de segunda ordem Considere o sistema de segunda ordem cuja relação entrada-saída seja R(s) = ω 2 n s 2 + 2ξω n s + ω 2 n onde ω n é a frequência natural do sistema e ξ é o fator de amortecimento. Conforme o valor de ξ, o sistema de segunda ordem pode ser classificado em: subamortecido quando 0 < ξ < 1; criticamente amortecido quando ξ = 1; superamortecido quando ξ > 1. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 9 / 14
Resposta ao degrau unitário de sistemas de segunda ordem: caso subamortecido No caso do sistema subamortecido, /R(s) pode ser reescrita como R(s) = ω 2 n (s + ξω n + jω d )(s + ξω n jω d ) onde ω d = ω n 1 ξ2 é a frequência de vibração amortecida. Considere que a entrada seja uma função degrau unitário R(s) = 1/s, então = ω 2 n (s + ξω n + jω d )(s + ξω n jω d )s Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se ( c(t) = 1 e ξωnt 1 ξ2 cos ω d t + ξ sen ω d t), para t 0 1 ξ 2 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 10 / 14
Resposta ao degrau unitário de sistemas de segunda ordem: caso criticamente amortecido No caso do sistema criticamente amortecido, /R(s) pode ser reescrita como R(s) = ω 2 n (s + ω n ) 2 Considere que a entrada seja uma função degrau unitário R(s) = 1/s, então = ω 2 n (s + ω n ) 2 s Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se c(t) = 1 e ωnt (1+ω n t), para t 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 11 / 14
Resposta ao degrau unitário de sistemas de segunda ordem: caso superamortecido No caso do sistema superamortecido, /R(s) pode ser reescrita como R(s) = ωn 2 (s + s 1 )(s + s 2 ) com s 1 = (ξ + ξ 2 1)ω n e s 2 = (ξ ξ 2 1)ω n. Considere que a entrada seja uma função degrau unitário R(s) = 1/s, então = ω 2 n (s + s 1 )(s + s 2 )s Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se c(t) = 1+ 1 s 1 s 2 ( s2 e s1t s 1 e s2t), para t 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 12 / 14
Resposta ao degrau unitário de sistemas de segunda ordem: caso superamortecido Curva de reposta ao degrau unitário do sistema de segunda ordem. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 13 / 14
Sistemas de segunda ordem Exemplo 2 Determine a resposta ao impulso do sistema de segunda ordem R(s) = ω 2 n s 2 + 2ξω n s + ω 2 n Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 10 Londrina, 2017 14 / 14