6 Definição: Chama-se matriz do tipo m x n toda tabela A formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas. Para exemplificar o uso de uma matriz, podemos visualizar a seguir uma tabela representando as notas de quatro alunos alunos em três matérias: Aluno Matemática Eletricidade Básica Desenho Técnico A 7 5 8 B 8 9 7 C 6 4 5 D 3 7 4 Você saberia identificar qual foi a nota do aluno B em Eletricidade Básica? Vamos considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como na tabela de notas, mas colocando as notas entre colchetes: Logo, a nota do aluno B em Eletricidade Básica é 9. Como já vimos, as matrizes têm m linhas e n colunas. com m linhas e n colunas ( m e n são números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela com as notas dos alunos temos, portanto, uma matriz 4 x 3 (4 linhas e 3 colunas). Veja mais alguns exemplos: Matriz 3x4 (3 linhas e 4 colunas): 1 9 3 15 6 1 8 4 3 2 11 Matriz 2x2 (2 linhas e 2 colunas): [ 1 1 2 6 3 2 Para encontrar a nota do aluno B na matéria de Eletricidade Básica, basta procurar na segunda linha e na segunda coluna: Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz C do tipo m x n é representada por: 21
C = a 11 a 12 a 13 a 14 a 15... a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 a 25... a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 a 35... a 3n......... a m1 a m2 a m3 a m4 a m5... a mn 6.1 Operações com 6.1.1 Adição As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. Ou seja, uma matriz 3x4 só pode ser somada com uma matriz 3x4. O resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem. Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a 11 +b 11 = c 11. 5 7 1 6 0 3 4 3 0 + 0 3 5 0 1 5 3 6.1.2 Subtração A subtração de matrizes é feita de forma similar a adição de matrizes. As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. Assim temos: Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A - C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a 21 b 21 = c 21. = 5 7 1 6 0 3 4 3 0 0 3 5 0 1 5 3 5 0 7 3 1 ( 5) 6 0 3 0 4 ( 1) 3 ( 5) 0 3 = 5 4 4 4 0 3 3 2 3 6.1.3 Multiplicação de um número real por matriz = 5+0 7+3 1+( 5) 6++0 3+0 4+( 1) 3+( 5) 0+3 = 5 10 6 8 0 3 5 2 3 22 Para multiplicar um número real k por uma matriz A, basta multiplicar cada elemento da matriz pelo número real k. Dada a matriz
Matriz 3x4 (3 linhas e 4 colunas): 1 4 12 5 6 1 0 8 3 7 2 1 A operação 3 A é feita da seguinte maneira: C = C = 3 A C = 3 1 3 9 3 3 3 15 3 6 3 12 3 0 3 8 3 4 3 3 3 2 3 11 3 6.1.4 Multiplicação de matrizes 1 9 3 15 6 1 8 4 3 2 11 = 3 27 9 45 18 36 0 24 12 9 6 33 A multiplicação de matrizes é realizada de acordo com a seguinte condição: o número de colunas da 1 a matriz deve ser igual ao número de linhas da 2 a matriz. Observe alguns modelos de matrizes que podem ser multiplicadas, considerando o formato m x n. Na multiplicação de matrizes precisamos ter muita atenção para resolver a multiplicação. Dada uma matriz A do tipo m x n e B uma matriz do tipo n x p, define-se produto da matriz A pela matriz B uma matriz C, do tipo m x p. Vamos por meio de exemplos, demonstrar como efetuar tais cálculos. A operação deverá ser feita multiplicando os membros da linha da 1 a matriz pelos membros da coluna da 2 a matriz, onde os elementos devem ser somados, constituindo um único item posicional da matriz. Observe a seguinte multiplicação: Dadas as matrizes A 3x3 e B 3x2 : 2 1 2 3 1 1 2 1 2 2 4 1 3 As matrizes A e B podem ser multiplicadas? A matriz A tem 2 colunas e a matriz B tem 2 linhas. Logo, a multiplicação é possível. 3 x 3 e 3 x 2 A 2 1 2 3 1 1 2 1 2 2 4 1 3 23
Agora vamos multiplicar cada elemento da primeira linha da matriz A, pelos elemento da primeira e da segunda coluna coluna da matriz B. 2 1+1 ( 2)+2 ( 1) 2 2+1 4+2 3 A 3 1+( 2) ( 2) 3 2+( 2) 4+0 3 = 1 1+( 1) ( 2)+2 ( 1) 1 2+( 1) 4+2 3 A 6.2 Exercícios 2 2 2 4+4+6 3+4+0 6 8+0 1+2 2 2 4+6 = 1. Dados os valores das matrizes A e B, calcule: (a) A B (b) B A (c) A 2 (d) B 2 [ 5 2 3 4 [ 1 1 2 5 2 14 7 2 1 4 2. Dadas as matrizes A e B, calcule: (a) A B (b) B A [ 1 4 0 1 3 1 1 1 1 1 5 0 3. Dadas as matrizes A, B e C encontre a matriz X tal que: X + 2C = A + 3B C = [ 1 3 0 2 [ 2 1 0 3 [ 1 2 3 0 4. Calcule a matriz C, sabendo que: [ 2 3 0 3 2 1 24
C = A 2B 5. Sabe-se que: [ 4 1 11 3 2 1 4 3 0 2 [ x y z w = [ 1 0 0 1 Determine o valor das variáveis x,y,z e w. 6. Dadas as matrizes A e B. Determine x e y de modo que a matriz A seja igual à matriz B. [ 4y 2 9 x 2 +4 [ 12 2 9 53 7. Calcule o valor de x para que as matrizes A e B sejam iguais: [ 3x 2 4x 3x 5 0 [ 1 1 5 0 25
e Determinantes 7 Operações entre linhas de matrizes 1. Trocar uma linha por outra L 2 L 3 2. Multiplicação de uma linha um escalar (número real) não nulo: L 3 2 L 3 10 2 3. Substituição de uma linha por ela mesma mais k vezes outra linha. L 2 L 2 +3 L 1 8 Inversão de 10 2 Definição: Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A, denotada por A 1, é aquela que satisfaz a condição: A A 1 = I Onde I é uma matriz identidade. Definições: Matriz quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Matriz identidade, definida como uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal valem 1 e os demais valem zero. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 8.1 Procedimento para achar a matriz inversa Seja a matriz A e desejamos saber sua inversa A 1. 2 1 1 1 1 1 2 3 2 O primeiro passo é acrescentar uma matriz identidade no lado direito de A. 2 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 2 3 0 1 26
e Determinantes 1. L 1 = L 1 +L 2 ( 1) 2. L 2 = L 2 +L 1 ( 1) 3. L 3 = L 3 +L 1 ( 2) 4. L 3 = L 3 +L 2 ( 3) 1 1 1 0 1 0 2 3 0 1 0 1 1 1 2 3 0 1 0 1 1 1 0 3 2 2 2 1 0 1 1 1 0 0 1 1 4 1 6. L 2 = L 2 +L 3 ( 1) 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 4 1 E a matriz inversa é a parte da direita. 1 1 0 A 1 = 0 2 1 1 4 1 8.2 Exercícios 1. Encontre a matriz inversa das seguintes matrizes: D = [ 6 2 11 4 G = 2 1 1 1 1 1 2 3 2 E = [ 3 1 2 1 H = F = 1 2 3 2 5 3 1 0 8 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 3 5. L 3 = L 3 ( 1) 0 1 1 1 0 0 1 1 4 1 27