Capítulo 0 Excitação Senoidal e Fasores
0. Propriedades das Senóides: Onda senoidal: ( t) sen( t) v ω Aplitude Freqüência angular ω [rad/s] - π/ω π/ω t Senóide é ua função periódica: Período: T π/ω Freqüência: f /T ω/π ( t T ) v( t) v Expressão geral: v ( t) ( ωt φ) sen onde φ é o ângulo de fase.
Curva de ua senóide defasada de φ radianos: v ( t) ( ωt φ) sen ( t) sen( t) v ω φ/ω π/ω π/ω t Note que: π cos ωt sen ωt ( ) π sen ωt cos ωt ( )
Exeplo: Deterinação de quanto ua senóide antecede ou segue outra da esa freqüência. ( ω ) v 4cos t 30 v sen( ω 8 ) v sen( ωt 8 80 ) t ( ω 8 80 ) v cos t 90 ( ω ) v cos t 08 Portanto, v antecede v de 30º 08º 78º, ou v está defasada e relação a v de 78º. Soa de ua senóide co ua cossenóide de esa freqüência: Acos ( ) ( ) A B ωt Bsen ωt A B cos( ωt) sen( ωt) A B A B
B A B θ A Acos ( ) ( ) ωt Bsen ωt A B [ cos( ωt) cos( θ) sen( ωt) sen( θ) ] ou Acos ( ) ( ) ωt Bsen ωt A B [ cos( ωt θ) ] θ tan B A Obs.: cos(a)cos(b) sen(a)sen(b) cos(a b) cos(a)cos(b) sen(a)sen(b) cos(a b)
Exeplo: 5cos ( ) ( ) ( ) 3t sen 3t 5 [ cos( 3t θ) ] θ tan 5,6 ( 3t ) sen( 3t ) 3[ cos( 3, )] 5cos t 6
0. Exeplo de u Circuito Encontrar i f. v g cos(ωt) i di i cos ω dt ( t) Por tentativa, teos: i f ( ωt) B ( ωt) Acos sen d ω dt [ Acos( ωt) Bsen( ωt) ] [ Acos( ωt) Bsen( ωt) ] cos( t) ( ωt) ωbcos( ωt) Acos( ωt) Bsen( ωt) cos( t) ωasen ω Então: ωb A ωa B 0
Assi, A ω Portanto, B ω ω as i f ω cos ω ω sen Acos ( ωt) ( ωt) ( ) ( ) ωt Bsen ωt A B [ cos( ωt θ) ] Portanto, θ tan B A i f ω cos ωt tan ω
Então, podeos escrever a corrente forçada coo: i f cos t [ ω φ] onde ω esposta natural: φ tan i n ω A exp t A corrente se estabiliza e seu valor de regie peranente c.a. dado pela corrente forçada. Método uito trabalhoso para a obtenção das equações de corrente!
0.3 Método Alternativo utilizando Núeros Coplexos Para a análise de circuitos co excitação senoidal. Propriedades dos núeros coplexos: epresentação na fora retangular de u núero coplexo: A a jb onde j, a parte real de A e b parte iaginária de A. epresentação na fora polar: A jα Ae A α A a jb onde A a b α tan b a b A α a e
Exeplo: A 4 j 3 A 4 3 5 α tan ( 3 ) 36,9 4 A 5 36, 9 Exeplo: A 5 j A ( 5) ( ) 3 α 80º tan ( ) 47,4 5-5 α e A 3 47, 4 A 5 j A -
Outras relações úteis: j 90 Fórula de Euler: j 80 cos ( ωt) j sen( ωt) e e e jωt jωt cos sen ( ωt) ( ωt) e jωt
etoando o exeplo do circuito : v g cos(ωt) i Seja v e jωt a excitação coplexa do circuito, então v g cos(ωt) e{v } Coponente forçada da corrente i na fora coplexa deve resolver a equação: di dt i v onde v e jωt
Para resolver a equação vaos tentar: i Ae jωt Então, di dt i jωt e jωae jωt Ae jωt e jωt ogo, ( j ω ) Ae jω t e jωt A jω ω e ω j tan
EA-53 Circuitos Elétricos Então: as i f e{i }, assi Portanto, se i é a resposta coplexa para a função excitação coplexa v, então i f e{i } é a resposta para a excitação v g e{v }. t j j t j e e Ae i ω ω ω ω tan t j e i ω ω ω tan ω ω ω ω ω ω t e i t j f tan tan cos e
Note que: di e i dt e e jωt pode ser escrita coo: e, portanto, de teos: Portanto, é ais fácil usar a função excitação coplexa v para encontrar a resposta coplexa i. d e ω dt ( { i }) ( e{ i }) cos( t) di i cos ω dt i i f { } e i ( t) A função excitação real é e{v } a resposta real é e{i }.
0.4 Excitações Coplexas Se perda da generalidade, vaos considerar a entrada coo sendo ua fonte de tensão e a saída coo sendo ua corrente através de u eleento. E geral, a excitação é da fora: vg cos t ( ω θ) Enquanto que a resposta forçada é da fora: i i cos t f ( ω φ) Portanto, sabendo-se os valores de ω, θ e, podeos calcular e φ.
v g cos t ( ω θ) Circuito i cos t ( ω φ) Para resolver i no circuito, vaos considerar a excitação coplexa: v j e ( ωtθ) v j e ( ωtθ) Circuito i Pois sabeos que { } i e i
A equação representativa do circuito pode ser resolvida para a resposta forçada, visto que v jθ jωt e e a solução tentativa é: i jωt Ae Coparando i cos ( ωt φ) { } co i e i, teos Assi, cos ( ωt φ) jωt e Ae A jφ e e i jφ jωt e e e{ } i cos t ( ω φ)
Exeplo: Cálculo da resposta forçada i f de d i di 8i cos t 5 dt dt Troca para a excitação coplexa: j v e ( t 5 ) ( ) esposta coplexa i deve satisfazer: d i di 8i dt dt Então, i pode ter a seguinte fora: j e ( t 5 ) Substituindo, obteos i jt Ae d dt ( jt ) d ( jt ) ( jt ) j( t 5 Ae Ae 8 Ae e ) dt
Assi, jt j5 jt ( 4 j4 8) Ae e e ogo, Portanto, j5 e A 4 j4 4 5 45 3 30 E a resposta real é: jt i Ae 3 jt j ( ) ( t30 3 30 e e ) i e { } 3cos( 30 ) j { } ( t30 i e 3e ) t
Exercício: Calcular a resposta forçada v: a) 0 Ω i v g 0e j8t [ ] 5 Ω /0 F v - v vg 0 i 0 dv dt 0 5i v v vg 0 v 5 0 dv dt 0 dv 6 v dt v g dv j t 6 v 0e 8 dt
esposta forçada: v j8t Ae dv j t 6 v 0e 8 j8t j8t j8t j8 Ae 6Ae 0e dt j8t j8t ( 6 j8) Ae 0e 0 0 0 A 53, 6 j8 0 53, v j53, j8t e e j e ( 8t53, ) b) Se v g 0 cos(8t) [], então: v e { j( 8t53, )} e cos( 8t 53, )
0.5 Fasores Fasores perite colocar os resultados obtidos anteriorente e ua fora ais copacta. Tensão senoidal: Fora fasorial v cos t ( ω θ ) jθ e θ azão para a definição de fasor (fórula de Euler): Assi, v e ( ) { j θ j ω t } ωt θ e e e cos { jω t } e
Exeplo: Dado v ( 4 30 ) [ ] 0 cos t epresentação fasorial: 0 30 [ ] isto que ω 4 rad/s, v é prontaente obtida de. epresentação fasorial para corrente: i cos t ( ω φ) jφ e φ Exeplo: Dado ω 6 rad/s, e 5º, então teos: ( 6 ) i cos t 5
epresentação fasorial para tensão e corrente é feita a partir da representação teporal na fora de cosseno. Exeplo: Dada a função: Podeos udá-la para: v v ( 3 30 ) [ ] 8 sen t 8cos 8cos ( 3t 30 90 ) ( 3t 60 ) Assi, a representação fasorial é: 8 60 [ ]
Exeplo: v g cos(ωt) i di i cos ω dt ( t) v jω t e jω t e pois θ 0 e portanto, 0º. Substituindo este valor e fazendo i i na equação representativa, teos: onde i e{i } di i dt jω t e
EA-53 Circuitos Elétricos Tentando a solução: obteos: Assi, Substituindo na expressão de i, obteos Toando a parte real desta expressão teos: t j e i ω t j t j t j e e e j ω ω ω ω jω j ω ω ω ω ω tan tan 0º t j i ω ω ω tan exp t i ω ω ω tan cos
Note que podeos ir da equação característica do circuito: direto para a equação fasorial: di i cos ω dt ( t) jω
0.6 elações Tensão-Corrente para Fasores Tensão-Corrente para resistores: v i onde v i cos t cos t ( ω θ ) ( ω φ) Tensão e corrente coplexas: j( ω t θ v ) e j( ω t φ ) i e Substituindo na lei de Oh e eliinando o fator e jωt : j e ( ω t θ ) j( ω t φ ) e jθ jφ e e
Da equação: podeos verificar que jθ jφ e e θ φ Portanto, a tensão e a corrente senoidais para u resistor possue o eso ângulo de fase, isto é, estão e fase. v,i v i t
Exeplo: 5 Ω, v 0 cos(00t 30º) [] i v 5 Ω 5 Ω 0 30 [ ] 0 30 5 30 [ A] No doínio do tepo: i ( 00 30 ) [ A] cos t
Tensão-Corrente para indutores: i v di/dt jω jω di v dt Tensão e corrente coplexas: j( ω tθ v ) e j( ω tφ ) i e e j ( ωt θ ) j( ωt φ ) d dt [ ] j( ωt φ e jω e ) jθ jφ e jωe jω
Se a corrente no indutor é dada pela a equação Então, coo j 90º, teos: jω ω jω ( φ) ( φ 90 ) i cos t ( ω φ) Portanto, no doínio do tepo teos: v ( ωt φ ) ω cos 90 Coparando co i cos ω t φ, verificaos que a corrente está atrasada da tensão de 90º. ( ) v,i v i t
Tensão-Corrente para capacitores: i Cdv/dt jωc v C /jωc i C dv dt Tensão e corrente coplexas: j( ω tθ v ) e j( ω tφ ) i e e j d C dt ( ωt φ ) j( ωt θ ) [ ] j( ωt θ e jωc e ) jφ jθ e jωce jωc
Se a tensão no capacitor é dada pela a equação Então, coo j 90º, teos: jωc ωc jωc( θ ) ( θ 90 ) v cos t ( ω θ ) Coparando co v cos ω t θ, verificaos que a corrente está adiantada da tensão de 90º. ( ωt θ ) Portanto, no doínio do tepo teos: i ωc cos 90 ( ) v,i v i t
Exeplo: Capacitor C µf e tensão igual a ( 00 30 ) [ ] v 0 cos t i Cdv/dt v C µf jω C 0 ( ) ( 6) j00 0 ( 0 30 ) [ A] [ A] Corrente no doínio do tepo: ( 00 0 ) [ A] i cos t
0.7 pedância e Aditância Circuito geral co grandezas fasoriais: _ Circuito Fasorial θ pedância Z do circuito: Z Z θ z φ Z ( θ φ) [Ω] θ Z z θ φ
pedância Z segue as esas regras dos resistores e circuitos. A ipedância é u núero coplexo as não é u fasor. pedância na fora retangular: Z jx onde e{z} coponente resistiva (resistência) X {Z} coponente reativa (reatância) E geral, Z Z(jω) é ua função coplexa de jω as (ω) e X X(ω) são funções reais de ω. Note que Z θ z tan X X Z θ z X
Exeplo: 0 56,9º e 0º _ Circuito Fasorial Z 0 56,9 0 5 36,9 [ Ω] Fora retangular: Z 5 cos 4 [ ( 36,9 ) jsen( 36,9 )] j3 [ Ω]
pedância Z de resistores, indutores e capacitores: Z Z jω Z C j 90 jω C ω C ω C No caso do resistor, a ipedância é puraente resistiva, sendo a reatância zero. No caso do indutor e do capacitor, a ipedância é reatância pura, se coponente resistiva. eatância indutiva: eatância capacitiva: X ω X C ω C Z jx ZC jx C
A reatância indutiva é positiva e a reatância capacitiva é negativa. No caso geral, Z jx podeos ter as seguintes situações: X 0 circuito resistivo. X > 0 circuito indutivo. X < 0 circuito capacitivo. A recíproca da ipedância é chaada de aditância: Y Z Y G jb onde G e{y} é a condutância e B {Y} é a susceptância. Y G jb Z jx
elação entre as coponentes de Y e Z: G jb jx jx jx Assi, G jb jx X G X B X X portante: e G (X e B) não são recíprocos!!!
Exeplo: Z 4 j 3 Então, Y 4 j3 4 4 j3 3 4 5 j 3 5 Portanto, G 4 5 B 3 5
0.8 eis de Kirchhoff e Associações de pedâncias As leis de Kirchhoff são válidas para fasores, assi coo para as tensões e correntes correspondentes no doínio do tepo. A lei de Kirchhoff de tensões aplicada e u laço típico resulta na equação: Dividindo por e jωt, teos: ( ωt θ ) j( ωt θ ) j( ωt θ ) j e N N e e 0 N 0 onde n n θn, n,,, N
A lei de Kirchhoff de correntes aplicada e u nó típico resulta na equação: ( ωt φ ) j( ωt φ ) j( ωt φ ) j e e N Ne 0 Dividindo por e jωt, teos: N 0 onde n n φn, n,,, N Se as excitações são senoidais co freqüência cou e u circuito, podeos encontrar as tensões e correntes fasoriais para todos os eleentos e utilizar as leis de Kirchhoff para a análise. A análise e regie peranente c.a. é idêntica à análise para circuitos resistivos, co a ipedância no lugar da resistência.
Exeplo: Z Z Z N N Z eq Z Z N ZN ei de Kirchhoff de tensões: N ( Z Z Z ) Z eq N Z eq Z Z Z N
De aneira análoga, teos para N aditâncias e paralelo: N Y Y Y N Y Y eq N YN Y ei de Kirchhoff de correntes: N ( Y Y YN ) Y eq Y Y Y eq Y N
No caso particular de apenas dois eleentos e paralelo, teos: Z eq Y eq Y Y ZZ Z Z Obs.: egras de divisão de tensão e de corrente tabé são válidas para circuitos fasoriais, co a ipedância e as quantidades no doínio da freqüência.
Exeplo: Circuito. v g cos(ωt) i 0º jω ei de Kirchhoff de tensões no circuito fasorial: Z 0 ( jω) 0 0 ω tan jω ω
No doínio do tepo: 0 jω ω tan ω ω i cos ωt tan ω Método alternativo de solução: pedância vista pelos terinais da fonte é: Z jω e a corrente: coo obtida anteriorente. Z 0 jω
0.9 Circuitos Fasoriais Equação representativa de u circuito fasorial é ua equação fasorial. esolvendo esta equação obteos ua resposta na fora de fasor, que é convertida para ua resposta no doínio do tepo. Exeplo: Cálculo de i no circuito. i Ω i v g 5 cos(3t) 3 Ω H /9 F
Ω 5 0º 3 Ω j3 Ω j3 Ω pedância vista dos terinais da fonte: Portanto, teos: ( 3 j3)( j3) Z 4 j3 3 j3 j3 5 0 5 0 36, 9 4 j3 5 36,9 Por divisão de corrente, teos: 3 j3 j 36,9 3 j3 j3 45 36,9 8, 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ A] Corrente no doínio do tepo: i cos 3t 8,9
Exeplo: Cálculo de i no circuito co fonte de tensão dependente. v /8 F a i 3cos(4t) [A] 4 Ω (/)v a -j Ω 3 0º [A] 4 Ω (/) ei de Kirchhoff de correntes e a: 3 0 j 3 j 0
Pela lei de Oh, teos 4, logo 4Ι Ι 3 j 0 jι Ι j6 Portanto, teos: Ι j6 6 90 3 45 j 45 3 i cos t ( 4 45 ) [ A] Obs.: O étodo fasorial de obter i, calculando prieiraente /Z e trocando por i, não funciona se Z(jω) 0. Pois, neste caso, o circuito é excitado na freqüência natural jω.