Método do Lugar das Raízes

Método do Lugar das Raízes 1. Esboçando o Lugar das Raízes (LR) pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

O procedimento para esboçar o gráfico do Lugar das Raízes é realizado em 12 passos ordenados a seguir Passo 1 Escreve-se a EC na forma 1 + F(s) = 0 e, se necessário, esta é re-arranjada de forma que o parâmetro de interesse, K, apareça como fator multiplicador, ie 1 + KP(s) = 0 pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Passo 2 Fatora-se P(s), se necessário, e escreve-se o polinômio na forma de ganho, pólos e zeros M (s + z i ) 1 + K i=1 n (s + p j ) j=1 = 0 Passo 3 Marcam-se os pólos e zeros no plano-s com símbolos próprios ( e, respectivamente). Normalmente está-se interessado em determinar o LR quando 0 K e a EC pode ser reescrita da forma n (s + p j ) + K j=1 M (s + z i ) = 0 i=1 pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Para K = 0, as raízes da EC são os pólos de P(s) Quando K, as raízes da EC se aproximam dos zeros de P(s) O Lugar das Raízes da EC, 1 + KP(s) = 0, começa nos pólos de P(s) e termina nos zeros de P(s) quando K é variado de 0 a pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Como normalmente P(s) pode ter vários zeros em infinito, ie, n > M, então n M ramos do LR tenderão a n M zeros em Passo 4 Localizam-se os seguimentos do LR que recaem sobre o eixo real O Lugar das Raízes no eixo real recae sempre sobre um trecho do eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros (Verificado pela condição de ângulo...) pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Exemplo (Passo 1) EC: 1 + F(s) = 1 + K(1 2 s + 1) s( 1 4 s + 1) = 0 (Passo 2) F(s) é reescrita na forma ganho-pólo-zero 1 + 2K(s + 2) s(s + 4) = 0 (Passo 3) Marcam-se os pólos (0, 4) e zero ( 2) com a simbologia adotada Zero 4 2 0 Pólos θ p1 pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

(Passo 4) O critério de ângulo é satisfeito no segmento do eixo real entre os pontos 0 e 2 (veja que o pólo p 1 = 0 contribui com 180 0, o zero z = 2 contribui com 0 0 e o pólo em p 2 = 4 contribui com 0 0...). Entre o zero, z = 2, e o pólo p 2 = 4 obtém-se 0 0 (contribuição de 180 0 de p 1, 180 0 de z e 0 0 de p 2 ). Por outro lado, entre p 2 e a contribuição total é de 180 0. Portanto os trechos entre p 1 e z e p 2 e sobre o eixo real, fazem parte do LR Veja ainda que n M = 2 1 = 1 ramo tenderá a Segmentos do LR 4 2 0 pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Passo 5 Determina-se o número de curvas do LR que é igual ao número de pólos (já que o número de pólos é maior ou igual ao número de zeros) Passo 6 O lugar das raízes é simétrico com relação ao eixo real já que raízes complexas sempre aparecem em pares complexos conjugados Passo 7 Se houver zeros em, o LR tende a aproximando-se de assíntotas centradas em σ A (ponto este denominado centróide) e com ângulo φ A, sendo σ A = pólos dep(s) zeros dep(s) n p n z = n M ( p j ) ( z i ) j=1 i=1 n p n z pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

E o ângulo das assíntotas em relação ao eixo real é φ A = (2q + 1) n p n z 180 0, q = 0, 1, 2,..., (n p n z 1) A equação acima é obtida usando o fato que, a um ponto muito distante dos pólos e zeros, pode-se considerar que os ângulos de cada pólo e zero, φ, são praticamente iguais e, portanto, o ângulo ĺıquido (de 180 0 ) é simplesmente φ(n p n z ). Ou, de forma alternativa, φ = 180 0 /(n p n z ), o que resulta na forma acima aplicável a cada ramo do LR em pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Passo 8 Determina-se, quando for o caso, o ponto em que o LR cruza o eixo imaginário usando o critério de Routh-Hurwitz Passo 9 Determina-se o ponto de partida ou de chegada do eixo real (se houver). O LR deixa o eixo real no ponto em que, para pequenas variações do parâmetro em consideração, o ângulo ĺıquido é zero Veja que o LR deixa de pertencer ao eixo real nos casos em que há multiplicidade de raízes, tipicamente duas Em geral, para obedecer à condição de ângulo, as tangentes do LR no ponto de partida/chegada são igualmente espaçadas sobre os 360 0 pag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

MASTER 86 1 j1 Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. Breakaway point 4 3 2 (a) 0 j1 45 2 45 0 j1 1 j1 (b) Figure 7.8 Illustration of the breakaway point (a) for a simple second-order system and (b) for a fourth-order system

O ponto de partida/chegada pode ser avaliado graficamente ou analiticamente. A maneira mais direta de se determinar o ponto de partida/chegada requer que se re-arranje a EC isolando o fator multiplicador K para que a EC apareça na forma p(s) = K Exemplo Para um sistema de 2a. ordem em malha aberta G(s) = a EC é da forma K (s+2)(s+4) 1 + G(s) = 1 + K (s + 2)(2 + 4) = (s + 2)(s + 4) + K = 0 K = p(s) = (s + 2)(s + 4) pag.12 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Para este caso em particular, espera-se pelo esboço do LR que o ponto de partida esteja próximo a s = σ = 3 Traçando-se o gráfico de p(s) versus σ determina-se o ponto de máximo (veja tabela abaixo). Além disso o gráfico gerado é simétrico em relação a σ = 3, ie, o valor de máximo corresponde ao ponto de partida/chegada s -2-2.25-2.5-2.75-3 -3.25-3.5-3.75-4 p(s) 0 0.44 0.75 0.94 1 0.94 0.75 0.44 0 pag.13 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Analiticamente, o mesmo resultado pode ser obtido a partir da determinação do máximo de K = p(s). Como? Derivando p(s) e igualando a zero... dk ds = dp(s) ds = 0 Exemplo Do exemplo anterior com K = p(s) = (s + 2)(s + 4) = (s 2 + 6s + 8) dp(s) ds = (2s + 6) = 0 s = σ = 3 pag.14 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Exemplo Para um sistema com EC dada por 1 + G(s)H(s) = 1 + K(s + 1) s(s + 2)(s + 3) = 0 Obtém-se n p n z = 3 1 = 2. Número de assíntotas? Duas (dois pólos tenderão a zeros em ), com φ A = (2q + 1) n p n z 180 0 = (2(0) + 1) 2 180 0 = 90 0 φ A = (2(1) + 1) 2 180 0 = 270 0 = 90 0 pag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

n M σ A = ( p j ) j=1 i=1 n p n z ( z i ) = [0 + ( 2) + ( 3)] [ 1] 2 = 2 Particularmente, K = p(s) = s(s+2)(s+3) (s+1) e o ponto de partida é calculado de dk ds = 2s3 + 8s 2 + 10s + 6 (s + 1) 2 = 0 com raízes = { 2.4656; 0.7672 ± j0.7926} s = 2.4656 pag.16 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

G(s) R(s) K(s 1) s(s 2) Y(s) Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. Asymptote Figure 7.10 H(s) 1 s 3 Closed-loop system 3 2 1 0 3 2.45 2 0 p(s) 0.50 0.25 Figure 7.11 (a) Evaluation of the (a) asymptotes and (b) breakaway point (b) MASTER 87

Passo 10 Determina-se o ângulo de partida do LR de um pólo e o ângulo de chegada em cada zero, usando a condição de ângulo. O ângulo de partida (ou chegada) corresponde à diferença entre o ângulo ĺıquido devido a todos os outros pólos e zeros e a condição de ângulo de ±180 0 (2q + 1). Pólos (ou zeros) complexos... Exemplo Para um sistema de 3a. ordem em malha aberta com 2 dois pólos complexos p 1 e p 2 F(s) = G(s)H(s) = K (s + p 3 )(s 2 + 2ζω n s + ω 2 n ) tem-se que, em um ponto de teste, s 1, a uma distância infinitesimal de p 1, pela condição de ângulo (vide figura a seguir) θ 1 + θ 2 + θ 3 = θ 1 + 90 0 + θ 3 = +180 0 θ 1 = 90 0 θ 3 pag.18 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

A point a small distance from p 1 1 s 1 p 1 p 1 3 Departure vector MASTER 88 Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. p 3 3 p 2 2 p 3 3 0 0 p 2 3 (a) (b) Figure 7.12 Illustration of the angle of departure (a) Test point infinitesimal distance from p 1 (b) Actual departure vector at p 1

Passo 11 Determinação da localização das raízes que satisfazem a condição de ângulo P(s) = 180 0 ± q360 0, q = 1, 2,... na raiz s x, x = 1, 2,..., n p Passo 12 Determinação do valor do parâmetro K x para uma raiz específica s x aplicando a condição de ganho n (s + p j ) j=1 K x = m (s + z i ) i=1 s=s x pag.20 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

Exemplo (Passo 1) Deseja-se traçar o gráfico do LR da EC (com 0 < K < ) do seguinte sistema 1 + K s 4 + 12s 3 + 64s 2 + 128s = 0 (Passo 2) Determinando os pólos 1 + K s(s + 4)(s + 4 + j4)(s + 4 j4) = 0 os zeros estão em... pag.21 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

(Passo 3) Localizar os pólos no plano-s (Passo 4) O LR tem um segmento sobre o eixo real entre s = 0 e s = 4 (Passo 5) Como o número de pólos é n p = 4, há 4 curvas no LR (Passo 6) O gráfico é simétrico em relação ao eixo real pag.22 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

(Passo 7) Os ângulos das assíntotas são φ A = (2q + 1) n p n z 180 0, q = 0, 1, 2, 3 O centro das assíntotas é φ A = 45 0, 135 0, 225 0, 315 0 σ A = n M ( p j ) ( z i ) j=1 i=1 n p n z = [0 + ( 4) + ( 4 j4)( 4 + j4)] [0] 4 = 3 pag.23 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

(Passo 8) Cruza o eixo imaginário? A EC é s 4 + 12s 3 + 64s 2 + 128s + K = 0 O arranjo é dado por s 4 1 64 K s 3 12 128 s 2 b 1 K s 1 c 1 s 0 K b 1 = c 1 = 12(64) 128 = 53.33 12 53.33(128) 12K > 0 53.33 Logo para manter estabilidade K < 568.89, o que leva, pela eq. auxiliar, a obter raízes em ±j3.266 pag.24 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

(Passo 9) Ponto de partida é calculado fazendo e K = p(s) = s(s + 4)(s + 4 + j4)(s + 4 j4) dk ds = 4s3 + 36s 2 + 128s + 128 = 0 com raízes em { 1.5767, 3.7117 ± j2.5533}. Portanto o ponto de partida ocorre em s = 1.5767 pag.25 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

(Passo 10) O ângulo de partida de um dos pólos complexos, p 1, é obtido a partir da contribuição de cada pólo, na vizinhança de p 1 usando a condição de ângulo, o que resulta em Logo θ p1 + θ p2 + θ p= 4 + θ p=0 = θ p1 + 90 0 + 90 0 + θ p=0 = 180 0 θ p1 = θ p=0 [ ( )] 4 = 90 0 + tan 1 4 = (90 0 + 45 0 ) = 135 0 = 225 0 pag.26 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

(Passo 11) Determinam-se as localizações das raízes que satisfazem a condição de ângulo... (Passo 12) Determina-se o valor do ganho K em ponto de teste s = s 1... E o gráfico? pag.27 Controle de Sistemas Lineares Aula 9

MASTER 89 TABLE 7.2 Step The Twelve Steps of the Root Locus Procedure Related Equation or Rule 1. Write the characteristic equation so that the parameter of interest K appears as a multiplier. 1 KP(s) 0. n z (s z i) i 1 2. Factor P(s) in terms of n p poles and n z zeros. 1 K n p 0. (s p ) j 1 j 3. Locate the open-loop poles and zeros of F(s) in the s-plane with selected symbols. 4. Locate the segments of the real axis that are root loci. poles, zeros, or roots of characteristic equation. Locus begins at a pole and ends at a zero. Locus lies to the left of an odd number of poles and zeros. 5. Determine the number of separate loci, SL. SL n p when n p n z ; n p number of finite poles, n z number of finite zeros. 6. The root loci are symmetrical with respect to the horizontal real axis. 7. The loci proceed to the zeros at infinity along ( p j) ( z i) asymptotes centered at A and with angles A. A. np nz (2q 1) A 180, q 0,1,2,...(n p n z 1). n n p z 8. By utilizing the Routh Hurwitz criterion, determine the point at which the locus crosses the imaginary axis (if it does so). 9. Determine the breakaway point on the real axis (if any). See Section 6.2. a) Set K p(s). dp(s) b) Obtain 0. ds c) Determine roots of (b) or use graphical method to find maximum of p(s). 10. Determine the angle of locus departure from complex poles and the angle of locus arrival at complex zeros, using the phase criterion. / P(s) 180 q360 at s p j or z i. 11. Determine the root locations that satisfy the phase criterion. 12. Determine the parameter value K x at a specific root s x. / P(s) 180 q360 at a root location s x. K j 1 n p (s p ) j x nz (s z i) i 1 s s x. Table 7.2 The 12 Steps of the root locus procedure Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.