Sinais e Sistemas Aplicações das séries e transformadas de Fourier Séries de Fourier Aplicações em Geral Transformada de Fourier (TF) Aplicações específicas da TF Conclusões Baseado no seguinte material: http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/1/transformadadef ourier.pdf ALLapolli
Séries de Fourier Exponencial Complexa: t j C e t x ) ( dt e t x T C T t j ) ( 1 T Trigonométrica: ) cos ( ) ( 1 t sen b t a a t x ) )cos( ( T dt t t x T a ) ( ) ( T dt t sen t x T b C C a ) ( C C j b ) ( 1 jb a C ) ( 1 jb a C ) Re( C a ) Im( C b Transformada de Fourier
Harmônica: 1 ) cos( ) ( t C C t x a C b a C a b arctg Séries de Fourier Transformada de Fourier
Séries de Fourier Transformada de Fourier Funções Periódicas são representadas por séries de Fourier Funções não periódicas são representadas por transformadas de Fourier (espectro do sinal) Uma representação de x(t) é uma decomposição em componentes que também são funções trigonométricas
Aplicações em Geral Transformada de Fourier Física Química Teoria dos números Análise Combinatória Processamento de sinais Teoria das probabilidades Estatística Criptografia Sinal Fenômeno variável no tempo e no espaço. Os sinais são funções de uma ou mais variáveis independentes contendo informações acerca do comportamento ou natureza de um fenômeno físico. Exemplos: f(x) => Som F(x,y) => Imagem F(x,y,t) => Vídeo
Transformada de Fourier dt X ( ) x( t) x( t) e jt x( t) 1 1 ( ) ( ) X X e j t d
Propriedades da Transformada de Fourier Propriedade Sinal x(t) x 1 (t) x (t) Transformada de Fourier X() X 1 () X () Linearidade a 1 x 1 (t)+a x (t) a 1 X 1 ()+a X () Deslocamento de tempo x(t-t ) e jωt X(ω) Deslocamento de frequência e jωt x(t) X(- ) Escalamento de tempo x(at) 1 a X ω a Inversão de tempo x(-t) X() Dualidade X(t) x(-) Diferenciação no tempo dx(t) dt jx()
Propriedades da Transformada de Fourier Propriedade Sinal Transformada de Fourier Diferenciação em frequência Integração (-jt)x(t) dx(ω) dω x τ dτ πx δ ω + 1 jω X(ω) Convolução x 1 (t)*x (t) X 1 ()X () Multiplicação Sinal Real t x 1 (t)x (t) 1 π X 1(ω) X (ω) x(t)=x p (t)+x i (t) X()=A()+jB() X(-)=X()* Componente par x p (t) Re[X()]=A() Componente impar x i (t) jim[x()]=jb()
Propriedades da Transformada de Fourier Relações de Parseval Propriedades x 1 λ X λ dλ = x 1 t x t dλ = 1 π x(t) dt = 1 π X 1 λ x λ dλ X 1 λ x λ dλ X(ω) dω A propriedade da dualidade, em destaque é normalmente utilizada para transformada em casos em que se conhece a transformada em um dos sentidos e que a transformada inversa é exige calculo complexo como integral de resíduo.
Alguns Pares de Transformada de Fourier x(t) X() d(t) 1 d(t-t ) e jωt 1 d() e jω t d(- ) cos t [d(- )+d(- )] sen t j[d(- )-d(- )] u(t) πδ(ω) + 1 jω u(-t) πδ ω 1 jω 1 e -at u(t),a> jω + a
Alguns Pares de Transformada de Fourier sgn t = x(t) 1 a + t e at, a > = 1 t < a t > a senat πt 1, t <, t = 1, t > δ(t T ) ω X() e -a π a e ω /4a a senωa ωa 1 w < a w > a = jω δ(ω ω )
Aplicações específicas da TF Descrição Filtragem Segmentação Compressão Reconstrução Reconhecimento de Padrões
Aplicações específicas da TF Decomposição de um sinal unidimensional Transformada de Fourier Função composta: Constituída da superposição de vários harmônicos Descrição das componentes da função f x = sen x + 7sen x + 5sen(3x) + 4cos(5x)
Aplicações específicas da TF 3 Onda Quadrada Transformada de Fourier Expansão em série de Fourier de uma onda quadrada: Amplitude 1-6 -4-4 6 x(t) A = ; a = 1; T = 4a; ω = π T ; C = A π Amplitude 3 1-1 - -3-6 -4-4 6 t(s) x t = C + C cos ω t cos 3ω t 3 Amp Amp Amp Amp Amp - -6-4 - 4 t(s) 6 - -6-4 - 4 t(s) 6 - -6-4 - 4 t(s) 6 - -6-4 - 4 6 t(s) - C =A/ C.cos( t) C.cos(3 t)/3 C.cos(5 t)/5 C.cos(7 w *t)/7-6 -4-4 t(s) 6 + cos 5ω t 5 cos(7ω t) 7
Aplicações específicas da TF A utilização de um número infinito de amostras no domínio do tempo, consequentemente, um número infinito de pontos no domínio da frequência é um problema para a implementação da transformada de Fourier na prática (utilização de computadores). Dessa forma, utiliza-se a Transformada Discreta de Fourier (DFT) que utiliza um número finito de pontos no domínio do tempo e define uma representação discreta do sinal no domínio da frequência.
Transformada Discreta de Fourier (DFT) Transformada de Fourier n n j e n x n x X ] [ ] [ ) ( d e X X n x t j 1 ) ( 1 ) ( ] [
Exemplos: Sistema de comunicação (modulação) Multiplica-se um sinal f(t) por um sinal senoidal. Transladar o espectro de frequência
Exemplos: Filtragem (Domínio da Frequência) No domínio original: Convolução No domínio da Frequência: Transformada, seguida de um produto e uma transformada inversa.
Exemplos: Sinais Biológicos O eletrocardiograma é realizados em uma largura de banda menor: o interesse principal é medir o ritmo desprezando pormenores morfológicos.
Exemplos: Imagem O coeficiente F(,) denota a intensidade média da imagem. Os Coeficientes de baixos índices (frequências) são componentes da imagem que variam pouco. Os coeficientes de alta frequência são associados a variações bruscas de intensidade.
Exemplos: Imagem Espectros de Fourier de impressão digital. Sem ruído Com ruído
Exemplos: Imagem Filtragem Passa-Alta Filtragem Passa-Baixa
Exemplos: Filtragem
Exemplos: Transformada de Fourier
Exemplos: Filtragem: minimização de ruído
Exemplos: Transformada de Fourier Filtragem Passa-Alta (Realce de contornos, bordas)
Exemplos: Imagens Médicas Transformada de Fourier Filtragem Passa-Alta (Realce de contornos, bordas)
Conclusões Fenômenos periódicos ocorrem de maneira recorrente em várias aplicações. Estes podem ser modelados pelas séries de Fourier. As séries de Fourier podem ser estendidas para funções não periódicas utilizando-se as Transformadas de Fourier. Tanto as séries como as transformadas de Fourier são eficientes para resolução de problemas em diversas áreas.