NÃO-LINEARIDADES NA DINÂMICA DOS CONTATOS ENTRE ROTOR E ESTATOR EM MÁQUINAS ROTATIVAS

PROJETO DE GRADUAÇÃO NÃO-LINEARIDADES NA DINÂMICA DOS CONTATOS ENTRE ROTOR E ESTATOR EM MÁQUINAS ROTATIVAS Por, André A. T. Brandão Brasília, 30 de Novembro de 2011 UNIVERSIDADE DE BRASILIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA

UNIVERSIDADE DE BRASILIA Faculdade de Tecnologia Deartamento de Engenharia Mecânica PROJETO DE GRADUAÇÃO NÃO-LINEARIDADES NA DINÂMICA DOS CONTATOS ENTRE ROTOR E ESTATOR EM MÁQUINAS ROTATIVAS Por, André A. T. Brandão Relatório submetido como requisito arcial ara obtenção do grau de Engenheiro Mecânico. Banca Examinadora Prof. Aline Souza de Paula, UnB/ ENM (Orientador) Prof. Eugênio Fortaleza, UnB/ ENM Prof. Marcos Vinícius Girão de Morais, UnB/ ENM Brasília, 30 de Novembro de 2011 ii

RESUMO O trabalho relatado neste documento aresenta a metodologia utilizada e os resultados obtidos ara a simulação numérica de máquinas rotativas dando ênfase ao caso em que o rotor, devido a causas diversas, se choca com o estator, ou carcaça, do equiamento. São aresentados os modelos matemáticos utilizados ara os sistemas analisados, o método numérico emregado e uma análise do comortamento não-linear dos sistemas or meio de ferramentas adequadas como diagramas de bifurcação e seção de Poincaré. O objetivo rincial do trabalho é de analisar o comortamento dinâmico dos sistemas e comarar os resultados obtidos ara o modelo de turbina axial com resultados da literatura, uma vez que neste trabalho são utilizados outros métodos de integração numérica e de gestão do contato. ABSTRACT The study resented in this reort shows the methodology and the obtained results for the numerical simulation of rotating machinery, emhasizing the cases where the rotor, due to different causes, touches the equiment's casing - the stator. It is resented the mathematical models for the analyzed systems, the numerical method used for the simulation and an analysis of the non-linear behavior of the systems through secific tools such as bifurcation diagrams and Poincaré sections. The main goal of the study is to evaluate an analysis of system dynamics and to comare the obtained results with the ones available on the literature, since in this work it is emloyed methods for the numerical integration and the contact mechanics. v

A meus ais Roberta e Marcelo e meu mano Matheus. André Brandão. iii

Agradecimentos Agradeço à minha família, elo aoio e carinho que semre me deram em todas as etaas da minha vida e semre serão meu bem mais recioso. A meus amigos, os mais cometentes engenheiros mecânicos de que tenho notícia, Neil Martins, Marcel Vítor, Thales Barbosa, Vinícius Santana, Lucas Soncin, Felie Borges, Daniel Albuquerque, Henrique Ramos, Yuri Carvalho e Álvaro Camos elas risadas e os melhores momentos da minha vida. A meus rofessores Alberto Diniz, Mário Olavo e Aline Souza, no Brasil, e Fabrice Thouverez e Laurent Blanc, na França, or terem me mostrado o lindo universo da dinâmica de sistemas. André Brandão. iv

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO E OBJETIVOS... 1 1.1 Organização do Trabalho... 1 2. DINÂMICA DE MÁQUINAS ROTATIVAS... 2 2.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 2 2.2 DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DE UM SISTEMA DINÂMICO... 4 2.3 MÁQUINAS ROTATIVAS... 5 2.4 MECÂNICA DO CONTATO... 7 3. SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES... 10 3.1 ESPAÇO DE FASE... 10 3.2 SEÇÃO DE POINCARÉ... 11 3.3 DIAGRAMA DE BIFURCAÇÃO... 12 4. MODELOS DE VALIDAÇÃO... 14 4.1 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA... 14 4.1.1 O método das diferenças finitas centrais... 15 4.1.2 O Método de Runge-Kutta de quarta ordem... 15 4.1.3 Método de variação do asso de temo... 16 4.2 SISTEMA DE 1 GRAU DE LIBERDADE... 17 4.3 SISTEMA DE 4 GRAUS DE LIBERDADE... 21 4.3.1 Modelagem matemática... 21 4.3.2 Simulação Numérica... 23 5. MODELO COMPLETO... 37 5.1 MODELAGEM MATEMÁTICA... 37 5.1.1 Modelo de rotor com ás flexíveis... 37 5.1.2 Modelo de estator flexível... 39 5.1.3 Modelagem do contato... 41 5.2 O FENÔMENO DE INTERAÇÃO MODAL... 44 5.3 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS... 46 5.3.1 Sem atrito... 46 5.3.2 Baixo e médio atrito... 49 5.3.3 Alto atrito... 53 6. CONCLUSÃO... 61 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 64 vi

LISTA DE FIGURAS 2.1 Resresentação gráfica do modelo de rotor de Jeffcott.... 6 2.2 Sistema massa mola simles com contato... 7 3.1 Reresentação no esaço de fase. Órbita eriódica e órbita caótica... 11 3.2 Ilustração demonstrativa da Seção de Poincaré... 12 3.3 Exemlo de diagrama de bifurcação.... 13 4.1 Modelo de um grau de liberdade roosto or Sándor (2006)... 17 4.2 Comaração dos resultados deste estudo com os de Sándor (2006)... 19 4.3 Comaração dos resultados deste estudo com os de Sándor (2006)... 20 4.4 Ilustração do modelo eixo-mancal de quatro graus de liberdade... 21 4.5 Ilustração do contato entre rotor e estator... 22 4.6 Diagrama de bifurcação ara os arâmetros da Tabela 3.5... 24 4.7 Diagrama de bifurcação refinado indicando coexistência de órbitas ara o estator 25 4.8 Diagrama de bifurcação refinado indicando coexistência de órbitas ara o rotor... 25 4.9 Órbitas de eriodicidade 1 ara com condições iniciais nulas... 26 4.10 Órbitas de eriodicidade 3 com condições iniciais modificadas... 26 4.11 Gráfico da distância entre rotor e estator com transição de eriodicidade... 27 4.12 Órbita de eriodicidade 2 ara a ara o estator e o rotor... 27 4.13 Distância ara a frequência de 119rad/s, e de 135 rad/s... 28 4.14 Diagrama de bifurcação de ara o sistema com arâmetros da Tabela 4.6... 29 4.15 Diagrama de bifurcação de ara o sistema com arâmetros da Tabela 4.6... 29 4.16 Detalhe do diagrama da Fig. 4.13. Bifurcações global e local... 30 4.17 Órbitas e seção de Poincaré do estator ara duas frequências... 30 4.18 Órbitas e seção de Poincaré do rotor ara duas frequências... 31 4.19 Detalhe do diagrama da Fig. 3.13. Regiões caóticas e de eriodicidade 4... 31 4.20 Órbita no esaço de fase e seção de Poincaré ara a frequência de 134.2rad/s... 32 4.21 Distância, em, em função do temo ara a frequência de 134.2rad/s... 32 4.22 Detalhe da figura 4.14 evidenciando as janelas eriódicas... 33 4.23 Órbita eriódica ara 137.28/... 33 4.24 Seção de Poincaré do estator ara a frequência de 135rad/s... 34 4.25 Esaço de fase e seção de Poincaré do estator ara a frequência de 135rad/s... 34 4.26 Seção de Poincaré do estator ara a frequência de 140rad/s... 35 4.27 Esaço de fase e seção de Poincaré do estator ara a frequência de 140rad/s... 35 4.28 Seção de Poincaré do rotor ara a frequência de 140rad/s... 36 5.1 Ilustração do modelo de rotor com ás flexíveis... 37 5.2 Modelo de á como viga engastada com indicação de suas dimensões... 38 5.3 Ilustração do modelo n-diâmetros ara =2 e ara =3... 40 5.4 Ilustração do momento de contato entre a i-ésima á e o estator... 42 5.5 Ilustração do fenômeno de interação modal ara =2 (a) e =3 (b)... 45 5.6 Distâncias de cada uma das ás ao estator... 47 5.7 Série temoral das variáveis e de flexão do estator... 47 5.8 Deslocamento horizontal do rotor, tendendo a zero aós o acolamento modal... 48 5.9 Deslocamento ortonormal das ás... 48 5.10 Força tangencial atuando na onta de cada á... 49 5.11 Distâncias de cada uma das ás ao estator ara baixo atrito... 50 5.12 Série temoral das variáveis e de flexão do estator ara baixo atrito... 50 5.13 Deslocamento ortonormal das ás ara baixo atrito... 51 5.14 Força tangencial atuando na onta de cada á ara baixo atrito... 51 5.15 Deslocamento ortonormal das ás ara médio atrito... 52 5.16 Força tangencial atuando na onta de cada á ara médio atrito... 52 5.17 Distâncias de cada uma das ás ao estator ara alto atrito... 53 vii

5.18 Distância (em cm) e deslocamento (em m) da á contra... 53 5.19 Distância (em cm) e deslocamento (em m) da á a favor... 54 5.20 Posições das ás do rotor em função do temo... 54 5.21 Série temoral das variáveis e de flexão do estator ara alto atrito... 55 5.22 Órbita e seção de Poincaré ara a variável de estado... 55 5.23 Seção de Poincaré ara a variável... 56 5.24 Esaço de fase e seção de Poincaré ara o estator... 56 5.25 Esaço de fase e seção de Poincaré ara o rotor... 57 5.26 Esaço de fase e seção de Poincaré ara a á contra... 57 5.27 Esaço de fase e seção de Poincaré ara a á a favor... 58 5.28 Esaço de fase e seção de Poincaré ara o deslocamento horizontal do rotor... 58 5.29 Esaço de fase e seção de Poincaré ara o deslocamento horizontal do estator... 59 5.30 Série temoral do deslocamento horizontal do rotor... 59 5.31 Série temoral do deslocamento horizontal do estator... 60 5.32 Forças tangenciais na onta das ás ara alto atrito... 60 viii

LISTA DE TABELAS 4.1 Parâmetros ara o sistema de Sándor (2006)... 18 4.2 Primeiro conjunto de arâmetros testados ara o modelo de Sándor (2006)... 18 4.3 Segundo conjunto de arâmetros testados ara o modelo de Sándor (2006)... 18 4.4 Parâmetros das simulações numéricas... 23 4.5 Parâmetros ara o rimeiro caso analisado... 24 4.6 Parâmetros ara o segundo caso aresentado... 28 5.1 Parâmetros das ás utilizados nas simulações... 39 5.2 Parâmetros do estator flexível... 41 5.3 Parâmetros ara modelagem do contato... 44 ix

1. INTRODUÇÃO E OBJETIVOS A grande maioria, se não a totalidade, dos equiamentos de alicação de engenharia consistem em sistemas não-lineares comlexos. As aroximações lineares utilizadas ara o dimensionamento e descrição destes equiamentos são simlificações, or muitas vezes razoáveis em termos ráticos, que tem como objetivo facilitar o estudo e revisão do comortamento de tais equiamentos. Porém os sistemas não lineares são extremamente sensíveis às mais sutis erturbações, e revisões recisas de seus comortamentos necessitam de uma modelagem matemática robusta e uma análise arofundada. Neste estudo foi analisado o caso articular das máquinas rotativas. A vibração de máquinas rotativas ode, em rincíio, arecer simles. A maior fonte de esforços é roveniente da rotação do rotor, ortanto, há uma tendência natural à resença de excitações harmônicas; além disso, como a rigidez das estruturas é redominantemente linear e isotróica, devido à simetria das eças, as análises normalmente são suerficiais e consideram aenas comonentes lineares. Contudo, um fenômeno muito comum neste tio de máquinas ode mudar comletamente a análise: o contato. Os comonentes rotativos de uma máquina, chamados de rotores, tem semre uma interação muito róxima com comonentes fixos do equiamento, chamados de estatores. O contato entre estes dois elementos gera uma mudança reentina das características do sistema, e essa descontinuidade torna o sistema não-linear. É exatamente este caso que é analisado neste estudo. Muitos trabalhos já foram realizados nesta área. A maioria utiliza um mesmo rocedimento ara a integração numérica das equações de movimento e duas variações na consideração das forças de contato. O objetivo rincial deste trabalho é reconsiderar estes mesmos modelos já estudados or outros autores, orém utilizando outros métodos, tanto de integração numérica quanto de inclusão das forças de contato com o fim de encontrar resultados mais recisos e análises mais comletas. Também são utilizadas ferramentas esecíficas de sistemas não-lineares, como diagramas de bifurcação e seções de Poincaré, buscando uma melhor comreensão do comortamento destes sistemas. Com essas medidas é ossível uma análise com conclusões relevantes ara o estudo de máquinas rotativas. 1.1 Organização do Trabalho O trabalho é dividido em 6 caítulos. Neste rimeiro caítulo uma introdução é aresentada. No segundo, conceitos básicos da dinâmica de máquinas rotativas e mecânica do contato são aresentados. No terceiro, conceitos sobre a identificação, classificação e análise de sistemas nãolineares são descritos. No quarto, o método de integração utilizado é aresentado e a validação dos métodos emregados é feita através de dois modelos com diferentes graus de comlexidade. No quinto caítulo o modelo comleto de turbina axial é descrito e os resultados de sua simulação são aresentados e analisados. No sexto e último caítulo são aresentadas as conclusões e ersectivas futuras do trabalho. 1

2. DINÂMICA DE MÁQUINAS ROTATIVAS As máquinas rotativas são objeto recorrente do estudo de dinâmica. Toda e qualquer máquina que ossua ao menos um elemento que gira com determinada velocidade sofrerá uma vibração com elo menos um comonente de frequência, igual àquela de seu elemento rotativo, uma vez que um rotor nunca será erfeitamente balanceado (Adams, 2000). O objetivo da análise de engenharia é manter os efeitos de tais vibrações dentro de limites que não rejudiquem as demais funcionalidades e interfaces da máquina. Vibrações excessivas odem rejudicar a estrutura da máquina e causar desgastes acelerados, ocasionando a diminuição da vida útil do equiamento. Além disso, no caso de um roduto com interface humana, ode imossibilitar sua oeração ou torná-la extremamente desconfortável. Dentro dessa ersectiva, é imortante que sejam analisadas as interações entre os elementos rotativos e os demais elementos de uma máquina, sendo tais interações a via que transmitirá os efeitos do forçamento harmônico causado ela rotação ara todo o resto da estrutura. Um dos rinciais meios de interação entre o elemento rotativo - rotor - e as artes estáticas da máquina - estatores - é o contato. Como resultado de desbalanceamento do rotor ou de situações acidentais que causem vibrações excessivas, o rotor ode imactar o estator, gerando, em rimeira análise, forças de altíssima intensidade que odem solicitar a estrutura excessivamente e até levá-la à destruição. Analisando o fenômeno do imacto, tem-se que este reresenta a introdução de uma não-linearidade no sistema, odendo roduzir fenômenos interessantes do onto de vista do estudo da dinâmica do sistema. Neste caítulo são introduzidas as rimeiras noções que formam a base ara o estudo de máquinas rotativas. Inicialmente é aresentada uma breve revisão bibliográfica de alguns trabalhos que a análise da dinâmica de máquinas rotativas e de contatos entre rotor e estator, de maneira semelhante à que foi desenvolvida neste trabalho. Em seguida a modelagem matemática de máquinas rotativas é aresentada. 2.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Sándor (2006) desenvolveram um estudo do comortamento de um sistema não-linear com um grau de liberdade e contato intermitente. No trabalho são aresentadas análises teórica e exerimental do sistema roosto, e os resultados são comarados. Os esquisadores utilizaram um modelo articular ara a gestão do contato que envolve uma hier-suerfície de transição do estado sem contato ara o estado com contato. Mais adiante seus resultados são comarados com alguns dos resultados obtidos neste trabalho. Porath & Ecker (2007) aresentaram resultados ara um modelo de rotor de Jeffcott cilíndrico e um estator também cilíndrico e susenso or rigidezes nas duas direções, fornecendo ao sistema 2

combinado rotor/estator 4 graus de liberdade. Os autores aresentam no trabalho um modelo ara o cálculo das forças de contato e uma breve descrição da solução numérica utilizada ara resolver as equações de alta rigidez de contato. Lesaffre et al. (2007a) aresentam um modelo de um rotor de turbina com ás e eixo flexíveis que entram com contato com o estator cilíndrico também flexível. Os modelos matemáticos ara o sistema são descritos com alto rigor matemático e algumas análises de estabilidade são feitas. É verificado um fenômeno de interação modal entre as ás e o estator. Demailly (2003) e Lesaffre (2007b) aresentam como modelo ara validação de seus métodos um sistema de rotor Jeffcott com estator susenso, muito semelhante ao aresentado or Porath & Ecker (2007). Como método de cálculo da força de contato Demailly (2003) utiliza um método de enalidade, que na realidade considera a força de contato roorcional à enetração entre os coros através de uma alta rigidez de contato; enquanto Lesaffre (2007b) utiliza o método de multilicadores de Lagrange, que considera que a distância entre rotor e estator é semre maior ou igual a zero, ou seja, a enetração nunca assume valores ositivos. Em ambos os trabalhos, o método de integração utilizado é o de diferenças finitas centrais com aroximações de rimeira ordem na exansão em série de Taylor. Grolet & Thouverez (2010) aresentam um modelo detalhado de rotor com ás flexíveis. Aesar do modelo levar em consideração aenas o movimento da onta das ás, o que confere um grau de liberdade a cada uma, os valores de rigidez e inércia equivalentes são encontrados modelando a á como uma viga Timoshenko de seção retangular, conferindo ao modelo robustez satisfatória. Brandão et al. (2011) aresentam um modelo de um rotor com ás flexíveis, muito semelhante ao aresentado or Lesaffre et al. (2007) orém com a utilização do modelo de ás flexíveis aresentado or Grolet & Thouverez (2010) com algumas simlificações em sua dinâmica e também levando em conta os efeitos de contato entre rotor e estator flexível. O fenômeno de interação modal é verificado e, ara este caso, são estudados os efeitos térmicos desencadeados elo atrito entre as estruturas. Os modelos dinâmicos e térmicos são aresentados, bem como as estratégias numéricas ara a simulação e os resultados obtidos. O objetivo deste trabalho é de simular o sistema aresentado or Brandão et al. (2011) com modificações que tornem o modelo mais verossímil e a integração numérica com resultados mais confiáveis. Para isso, serão utilizados o método de enalidade na modelagem do contato, substituindo o método de multilicadores de Lagrange, e o método de Runge-Kutta de quarta ordem ara a integração numérica, ao invés do método de diferenças finitas centrais. 3

2.2 DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DE UM SISTEMA DINÂMICO A modelagem de um sistema dinâmico é a formalização matemática do comortamento de um sistema que evolui segundo uma regra fundamental que liga seu estado resente a seus estados assados. Esta regra, ou conjunto de regras, deve ser organizada e armazenada em uma ferramenta matemática que ossibilitará a revisão da evolução dos estados deste sistema no temo. A isto se chamam, resectivamente, de modelagem e simulação de um sistema dinâmico. Uma das ferramentas matemáticas utilizadas ara realizar simulações de sistemas dinâmicos é a reresentação em esaço de estados. Para que se comreenda o conceito desta ferramenta é necessário que seja introduzido o conceito de variáveis de estado. As variáveis de estado de um sistema são o menor conjunto de variáveis suficiente ara descrever comletamente o estado deste em determinado instante. Para a maioria dos sistemas mecânicos estudados - descritos or equações diferenciais de segunda ordem -, e a totalidade dos que são tratados neste trabalho, este conjunto é reresentado ela osição e velocidade de cada um dos graus de liberdade do sistema. Desta forma, se o sistema ossuir graus de liberdade, este será descrito obrigatoriamente or 2 variáveis de estado, e cada equação diferencial de segunda ordem será reescrita como duas equações diferenciais de rimeira ordem. É imortante mencionar que o conjunto que forma as variáveis de estado não é único, e deve ser escolhido da maneira mais conveniente ara o estudo desejado. Voltando à reresentação de sistemas dinâmicos utilizando variáveis de estados, esta abordagem estabelece a derivada temoral das variáveis de estado como função das rórias variáveis de estado. A forma básica de um sistema linear definido no esaço de estados é aresentada na Eq. 2.1. = + (2.1) onde e reresentam, resectivamente, o vetor de variáveis de estado e sua rimeira derivada, é a matriz que armazena todas as características internas do sistema e é a matriz de entrada, que reresenta os forçamentos externos imostos ao sistema e, no caso de sistemas não-lineares, introduz as não-linearidades da equação. Os sub-índices em cada um dos elementos da Eq. 2.1 reresentam a dimensão da matriz ou vetor, onde # é o número de variáveis de estado que o sistema ossui. Grande arte do trabalho de modelagem de um sistema dinâmico está em reresentar da maneira mais recisa ossível os elementos da matriz. Todas as características fundamentais de comortamento do sistema estão reresentadas nesta matriz e ela reresenta a base do rocesso de saber ara onde o sistema vai a artir do conhecimento de onde o sistema está. Essas características internas do sistema odem ser variáveis no temo, como em situações de envelhecimento de molas e amortecedores, or exemlo, orém, na maioria dos roblemas, a matriz é constante. Outra etaa imrescindível do rocesso de modelagem de um sistema é a definição das características externas a ele, ou seja, definir onde, quando e de que maneira o ambiente externo atua sobre o sistema. Este trabalho se traduz na definição da matriz, cujos elementos odem ser função 4

do temo e, or vezes, como em casos de contato intermitente, odem também ser função do estado do sistema. 2.3 MÁQUINAS ROTATIVAS No contexto da modelagem matemática de máquinas rotativas, é necessário ainda detalhar algumas nuances rórias do comortamento deste tio de sistemas, como as forças de excitação mais comuns e o conceito de velocidade crítica do rotor. O desbalanceamento constitui uma das causas de forçamento mais clássicas dentro do estudo de máquinas rotativas. Esta excitação é resultado da força gerada ela rotação de um rotor que tem seu centro de massa não-coincidente com seu eixo de rotação. Escrevendo a energia cinética de uma massa $ com uma excentricidade % em relação ao eixo de rotação, odemos, deois de alicar as equações de Lagrange, obter as exressões das forças em função do temo devidas a este desbalanceamento em um sistema de coordenadas ortonormal fixo, como mostra a Eq. 2.2. & F ( F ) *= $ %Ω + & cos(ωt+α) sen(ωt+α) * (2.2) onde 2 é osição angular do centro de massa do rotor em relação ao eixo das abscissas ara 3=0 e Ω é a velocidade angular de rotação do rotor, considerada constante. Uma outra imortante fonte de forçamento em turbomáquinas é o acolamento aeroelástico. Aesar destas forças aerodinâmicas não serem levadas em conta nos estudos aqui aresentados, o acolamento aeroelástico é um fenômeno que origina diversos desdobramentos no comortamento dinâmico de turbomáquinas. No entanto, este fenômeno não reresenta grandes efeitos quando se estudam casos com imacto, ois estes originam forças de magnitudes muito maiores. Além disso, também devem ser incluídas as cargas acidentais que odem vir a ocorrer durante o funcionamento das máquinas rotativas. Imacto de objetos estranhos, manobras anormais, entre outras situações acidentais se incluem nesta classificação. Um conceito imortante em máquinas rotativas é o de velocidade crítica. Como o desbalanceamento é a rincial fonte de forçamento em máquinas rotativas, que se trata, como vimos na seção anterior, de uma excitação harmônica de frequência Ω, devemos nos reocuar com fenômenos de ressonância da estrutura em certas velocidades de rotação. É recisamente isto que caracteriza a velocidade crítica de um elemento rotativo. Quando a velocidade de rotação coincide com a frequência natural de um dos modos de vibração do rotor temos um ico de amlitude de vibração da estrutura, que será limitada aenas elo amortecimento do sistema. O modelo mais simles e clássico de uma máquina rotativa é o rotor de Jeffcott, que é reresentado na Fig. 2.1. 5

Figura 2.1 - Resresentação gráfica do modelo de rotor de Jeffcott. O modelo de rotor de Jeffcott, reresentado, na Figura 1 é constituído or um disco rígido de massa susenso or rigidezes nas duas direções - 5 6 e 5 7 - do lano e gira em torno do seu eixo com velocidade Ω. Na Figura 2.1 vemos reresentado o eixo de rotação ela origem do sistema fixo de coordenadas xoy e o centro de massa do rotor reresentado elo onto marcado com 'CM'. A excentricidade % do rotor é a única fonte de excitação neste sistema. Na Figura 2.1, o ângulo 8 reresenta o ângulo de fase entre a força de desbalanceamento e o deslocamento do rotor. Este ângulo varia entre 0 e 9 de acordo com a velocidade de rotação Ω, de maneira que chega-se em 8=0 quando Ω=0, em 8=9 quando Ω e finalmente em 8= ; quando temos Ω igual à frequência natural + do sistema. Para reresentar o modelo da Figura 2.1 no esaço de estados, o conjunto de variáveis de estado reresentado na Eq. 2.3 é o mais conveniente. = = =< >? (2.3) > onde = e > reresentam, resctivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do rotor e = e > suas resectivas derivadas temorais. Alicando a segunda lei de Newton e considerando 5 6 =5 7 = 5 rigidezes lineares que geram forças elásticas roorcionais aos deslocamentos = e >, temos que a matriz que descreve as características internas do sistema é como mostra a Eq. 1.4. 0 1 0 0 B A 5 F 0 0 0E = A E A 0 0 0 1 A 0 0 5 E 0 E @ D (2.4) 6

Utilizando a exressão aresentada na Eq. 2.2 ara as forças devidas ao desbalanceamento, odese obter o vetor de forçamento reresentado no esaço de estados da maneira mostrada na Eq. 2.5. 0 %Ω + cos(ωt+α) =<? (2.5) 0 %Ω + sen(ωt+α) A gravidade ode ser considerada ou não neste caso, sendo que a única influência de sua inclusão é a mudança do onto de equilíbrio do sistema. Desta forma, o sistema da Fig. 2.1 está comletamente definido e as equações de movimento são aresentadas no esaço de estados, na forma da Eq. 2.1. Quando existem coros adjacentes ao rotor que odem se chocar com este, deve-se modelar a situação de contato. Assim, o estudo da mecânica do contato é essencial ara a descrição adequada do sistema. 2.4 MECÂNICA DO CONTATO Em roblemas comutacionais que envolvem contato entre coros sólidos, o onto crítico da análise é a transição entre os dois estados: com e sem contato. Esta transição reentina das características do sistema, fonte da não-linearidade do roblema, deve ser tratada com atenção. Para que esta transição seja modelada de maneira correta é necessário que se estabeleça recisamente a condição de contato, que é definida or uma inequação que estabelece o onto a artir do qual as forças de contato surgirão e farão efeito sobre os elementos do sistema. Por exemlo, na Fig. 2.2, temos um sistema massa mola simles com uma restrição rígida que limita o deslocamento da massa. Figura 2.2 - Sistema massa mola simles com contato. 7

Neste sistema ode-se criar uma função simles da osição K que reresente a distância entre a massa e o chão como (K)=h K. Assim, tem-se que haverá contato semre que 0, sendo esta a condição de contato que deve ser estabelecida ara o roblema. Assim sendo, as equações do movimento do sistema são descritas mostra a Eq. 2.6. KO +kk =0, >0 N U (2.6) KO +kk +S T =0, 0 onde o termo S T reresenta a força de contato que deve ser calculada. Wriggers (2002) aresenta dois diferentes métodos de cálculo da força de contato: o método de multilicadores de Lagrange e o método de enalidade. O método de multilicadores de Lagrange considera que a restrição 0 deve ser semre satisfeita, obtêm-se então a força de contato necessária ara atender tal condição. Assim, semre se verifica também a igualdade S T =0, uma vez que a força de contato é nula quando >0 e, quando há contato e S T >0 a distância chega a seu valor mínimo =0. Como mostrado em análises osteriores, este método oferece maior estabilidade numérica, or limitar exlicitamente o valor do deslocamento, orém não descreve o sistema real com a recisão que ode ser necessária. Este método negligencia a deformação dos coros durante o contato e não é caaz de reroduzir fenômenos de rebound, or exemlo, que é a situação na qual a intensa força no momento do imacto força a erda de contato, e, em seguida, um novo imacto, causando uma sucessão de imactos em um curto eríodo de temo, o que ode vir a aresentar um efeito imortante na resosta destes sistemas. O segundo método, chamado método de enalidade, é matematicamente mais simles, e descreve o sistema real com mais recisão. Neste caso, a força de contato é calculada como uma função da enetração - também chamada de indentação - entre os coros, onderada or um coeficiente de enalidade X. A indentação ode ser descrita como o negativo da distância, ou seja,. S T =X Y( ) (2.7) Para o caso da Fig. 2.2, onde as suerfícies em contato ossuem raios de curvatura muito diferentes, a teoria de contato de Hertz é valida e a relação S T =X ( ) Z [ ode ser utilizada (Wriggers, 2002). Porém, esta relação ode assumir diversas formas. Como Porath & Ecker (2007) mencionam em seu trabalho, ara suerfícies com raios de curvatura muito semelhantes, as relações da Eq. 2.8 odem ser utilizadas. S T =X () + ; S T =X ( ) (2.8) A segunda versão da força na Eq. (2.8), linear, é alicável ara menores valores de indentação e é também roosta or Wriggers (2002). Com estas equações, fica claro que o coeficiente de enalidade X atua como uma rigidez de contato, uma vez que a força de contato será roorcional à indentação multilicada or este coeficiente. Já Percebe-se que X aresentará valores muito altos já que tem o 8

ael de reresentar a rigidez de contato entre suerfícies sólidas. A descontinuidade do sistema combinada com mudanças bruscas de rigidez ode acarretar instabilidade numérica na simulação comutacional e consiste em um obstáculo a ser vencido. Existem alternativas ara evitar erros numéricos nas simulações do contato entre coros sólidos. Sándor et al. (2008) aresentam uma alternativa que inclui a utilização de uma suerfície de transição com o objetivo de reduzir o eso comutacional do roblema, outras técnicas e detalhamentos das técnicas aqui descritas são aresentadas or Wriggers (2002). 9

3. SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES Sistemas dinâmicos não-lineares são sistemas nos quais não se verifica o rincíio da suerosição, ou seja, um sistema no qual não se verificam as condições (1) e (2) abaixo, onde ],^ e _ são vetores quaisquer e 2 um escalar: 1. Y(]+^)=Y(])+Y(^) 2. Y(2 _)=2 Y(_) Sistemas não lineares são extremamente sensíveis a variações em suas condições iniciais e, or isso, demandam um método de integração robusto e uma escolha adequada de asso de integração ara que sejam simulados numericamente. Em sistemas cuja não-linearidade é devida à resença de contato intermitente os efeitos de sensibilidade às condições iniciais e outras articularidades de sistemas não-lineares ficam ainda mais notáveis. A alta rigidez no contato gera comonentes de alta frequência na solução, o que demanda um asso de integração equeno. Além disso, a transição reentina entre uma situação e outra, transforma o roblema em um caso singular em termos de simulação numérica, onde tanto o modelo quanto o método de integração devem ser escolhidos e alicados de forma adequada. Outro onto relevante nma análise de sistemas dinâmicos não-lineares é a utilização de ferramentas adequadas que ermitam conclusões relevantes sobre o comortamento do sistema. Neste caítulo são aresentadas algumas dessas ferramentas ara análise de sistemas não-lineares. As ferramentas aresentadas, utilizadas nas análises dos casos simulados neste trabalho, são qualitativas e tem o objetivo de aresentar uma noção geral do comortamento do sistema. 3.1 ESPAÇO DE FASE O esaço de fase é o esaço vetorial de um sistema dinâmico, reresentado no lano cartesiano or suas variáveis de estado. Cada onto no esaço de fase reresenta um estado do sistema, e a sucessão de estados de um sistema que evolui no temo forma uma curva no esaço de fase, definindo uma trajetória. Se o comortamento do sistema na situação estudada for eriódico esta trajetória se formará na configuração de um caminho fechado, assando semre elos mesmos ontos. Existe também o caso das resostas quase-eriódicas e caóticas, que devem são identificadas com mais recisão através da ferramenta de seção de Poincaré (vide seção 3.2). A Fig. 3.1 mostra duas órbitas no esaço de fase. Em ambos os casos os eixos = e > são reresentados ela osição e velocidade de um dos graus de liberdade de sistema resectivamente. 10

Uma análise imortante a ser feita a artir da reresentação no esaço de fase é a da eriodicidade da órbita. Quando uma órbita é eriódica, o eríodo desta ode não coincidir com o eríodo da força de excitação. Diz-se, ortanto, que uma órbita é de eríodo quando esta comleta um ciclo comleto a cada ciclos de forçamento. Este conceito será melhor comreendido na róxima seção, quando será exlicada a seção de Poincaré. (a) Figura 3.1 - Reresentação no esaço de fase. Órbita eriódica (a) e órbita caótica (b). (b) 3.2 SEÇÃO DE POINCARÉ A seção de Poincaré é uma ferramenta extremamente útil e muito utilizada na análise de sistemas não-lineares. Ela consiste, em essência, em uma redução dimensional do roblema, transformando-o de contínuo em discreto, ontual. Esta redução nos ermite avaliar a trajetória do esaço de fase em termos de algum outro arâmetro escolhido, originando uma informação organizada de maneira mais enxuta e que ermite determinadas análises muito imortantes. A Seção de Poincaré é o conjunto de interseções entre uma órbita definida no esaço de estados com um subesaço de menor dimensão. Portanto, define-se arbitrariamente um hierlano de acordo com algum arâmetro do sistema e encontram-se os ontos nos quais a trajetória de um dos esaços de fase interceta este hierlano. A coleção de ontos encontrados é chamada de seção ou maa de Poincaré. A Fig. 3.2 ilustra o rocessoo de construção da seção de Poincaré ara um sistema de um grau de liberdade com contato intermitente. Neste caso, como é de costume em casos com forçamento harmônico, o arâmetro utilizado ara construção do hierlano a ser intercetado ela órbita do esaço de fase é a rória fase da força de excitação. A osição exata do lano é arbitrária, mas o imortante é que ela define um onto esecífico do ciclo comleto de forçamentoo como, or exemlo, seu onto máximo ou seu ontoo mínimo, ou ainda em qualquer outro onto da senóide que define o forçamento. 11

A Fig. 3.2 aresenta o esaço de fase nos eixos horizontais = e > e o forçamento variando entre 1 e 1 no eixo vertical ` temos. O lano marcado como 'Seção 1' define uma seção onde o forçamento é igual a 0.4 e tem derivada ositiva, ou seja, define um onto esecífico no ciclo de forçamento. Por outro lado, o lano assinalado como 'Seção 2' define uma seção de Poincaré ara um forçamento de C0.4 e com derivada negativa. Desta forma, a construção da seção de Poincaré é definida elas interseções assinaladas em vermelho. A órbita traçada em azul na Fig. 3.2 é eriódica e se reete ad nfinitum. Percebe-se, ortanto, que enquanto o forçamento comleta dois ciclos, a órbita comleta aenas um, o que a configura como uma órbita de eriodicidade 2. Esta eriodicidade é facilmente identificada ela resença de dois ontos diferentes em cada uma das seções de Poincaré construídas. Esta é uma das rinciais funções desta ferramenta no caso de comortamentos eriódicos: a identificação da eriodicidade da órbita. Figura 3.2 - Ilustração demonstrativa da Seção de Poincaré. A seção de Poincaré ode assumir três diferentes formas rinciais: Número finito n de ontos: indica que a órbita tem eriodicidade n; Diversos ontos sem reetição: acusa um comortamento caótico ou hiercaótico; Diversos ontos sem recorrência que formam uma curva fechada: neste caso a órbita é chamada de quasi-eriódica. 3.3 DIAGRAMA DE BIFURCAÇÃO O termo bifurcação está associado a uma mudança qualitativa na natureza da resosta do sistema como consequência da variação de qualquer um de seus arâmetros. Os diagramas de bifurcação são 12

bastante utilizados ara analisar o comortamento global do sistema, avaliando onde e como ocorrem mudanças na sua resosta (de Paula, 2005). Assim sendo, na construção de um diagrama de bifurcação deve varia-se um dos arâmetros do sistema de maneira quasi-estática enquanto se monitora algum outro arâmetro de interesse. Nos diagramas de bifurcação construídos neste trabalho as características monitoradas são as variáveis de estado do sistema na seção de Poincaré, enquanto o arâmetro variável é a frequência de rotação do rotor. A função rincial do diagrama de bifurcação é identificar o comortamento global do sistema, incluindo ontos de interesse da chamada rota ara o caos, que ode aresentar bifurcações locais, como a transição de eriodicidade 1 ara eriodicidade 2, e bifurcações globais, como a transição de um comortamento eriódico ara um comortamento caótico ou vice-versa. Outra situação eculiar que o diagrama de bifurcação nos ermite identificar é a de coexistência de órbitas. Em alguns casos, ara um mesmo conjunto de arâmetros, existem mais de uma órbita estável ossível, o que gera comortamentos singulares que odem ser identificado elo diagrama de bifurcação. Figura 3.3 - Exemlo de diagrama de bifurcação. Região 1 indeterminada; região 2 bifurcação local. A Fig. 3.3 aresenta um exemlo de diagrama de bifurcação que usa como característica monitorada a velocidade de um dos gdl's na seção de Poincaré quando a frequência de forçamento é variada. Podemos ver duas regiões de interesse: Região 1: região sem definição suficiente dos ontos do diagrama. A disersão dos ontos sugere que seja uma região caótica ou, ossivelmente, uma região com coexistência de órbitas. Um diagrama mais detalhado devee ser construído ara que se chegue a uma conclusão definitiva; Região 2: Bifurcação local que evidencia a transição de uma órbita de eriodicidade 1 ara um comortamento de eriodicidade 2. 13

4. MODELOS DE VALIDAÇÃO Neste caítulo os métodos de simulação dos sistemas com contato mencionados nos caítulos anteriores são testados ara sistemas roostos na literatura ara que seja verificada sua validade. Desta forma, dois sistemas dinâmicos com contato são analisados. Além disso, neste caítulo são aresentados dois métodos de integração numérica relevantes ara o estudo deste trabalho: o método das diferenças finitas centrais e o método de Runge-Kutta de quarta ordem. O rimeiro sistema dinâmico analisado é o roosto or Sándor, (2006), que consiste em um sistema de 1 grau de liberdade com uma restrição de deslocamento. Esta restrição é dada or barreira com a qual o coro ode se chocar. O modelo aresentado elo autor é simulado numericamente e é validado or resultados exerimentais. A análise desse sistema tem como objetivo validar os métodos numéricos utilizados neste trabalho já que os resultados aresentados em Sándor (2006) são acomanhados de resultados exerimentais. O segundo modelo é o aresentado or Lesaffre, (2007b), e or Demailly, (2003), e consiste em um modelo de um rotor desbalanceado que entra em contato com um mancal susenso. 4.1 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Como exlicado na seção 2.2, um sistema dinâmico ode ser reresentado or uma equação diferencial de rimeira ordem na forma da Eq. 2.1, que traz toda a informação necessária ara obter a evolução temoral do sistema a artir de um conjunto de valores iniciais. O róximo asso a ser dado é definir uma ferramenta matemática adequada ara fazer essa integração numérica. Neste rocedimento realiza-se uma discretização temoral, ou seja, a evolução real contínua do sistema é aroximada or uma evolução discreta, na qual calcula-se onto a onto no temo o estado do sistema. Um cálculo deste tio nunca é exato, uma vez que, quando calcula-se a evolução de um onto a outro, faz-se um truncamento da série de Taylor que descreveria o caminho exato do sistema entre os ontos. Assim, é intuitivo que quanto menor for o asso de temo mais róximo este caminho será de uma reta, e melhor será a aroximação, uma vez que os termos de alta ordem da série de Taylor terão ouco imacto no valor da função. Também conclui-se daí que sistemas cuja resosta contiver comonentes de alta frequência - altos valores da derivadas de ordem suerior - demandarão um asso de temo menor. Desta forma, o estudo dos métodos numéricos ara solução de equações diferenciais é semre um domínio ao qual é dada atenção esecial em trabalhos de simulação numérica de sistemas dinâmicos. Diversas análises são feitas ara avaliar o comortamento destas ferramentas em determinadas situações. 14

Nesta seção aresentaremos dois destes métodos: o método das diferenças finitas centrais e o método de Runge-Kutta de quarta ordem. 4.1.1 O método das diferenças finitas centrais A idéia básica do método de diferenças finitas centrais é a de aroximar a derivada do vetor no temo 3 a através dos valores de nos temos 3 abc e 3 adc, como mostra a Eq. 4.1. e f f3 g a = ( adc abc ) +h(3 + ) (4.1) 2 3 onde 3 reresenta o asso de temo, os índices subscritos indicam a que onto no temo a variável se refere e h(3 + ) reresenta o erro de truncamento da série de Taylor que é da ordem de 3 +. Da mesma forma, odem-se calcular derivadas de ordens mais elevadas, se o roblema assim exigir. Mas ara um sistema reresentado na forma da Eq. 2.1 basta estimar a rimeira derivada. Assim, utilizando a Eq. 2.1, obtém-se a relação ara o cálculo do vetor adc a artir de a e abc como mostrado na Eq. 4.2. adc =2 3 i a + a j+ abc +h(3 k ) (4.2) Este método é utilizado nos trabalhos or Lesaffre (2007a, 2007b) e Demailly (2003). Porém, este método centrais não é tradicionalmente utilizado em sistemas não lineares como os roblemas de contato, que aresentam alta sensibilidade à equenas variações, devida à variações reentinas do comortamento e da alta rigidez de contato. O método das diferenças finitas centrais, que deriva do método de Euler, aresenta, or vezes, aresenta, de acordo com Dahlquist & Björk (2003), um comortamento localmente instável que ode rejudicar sistemas com alta sensibilidade como aqueles com contato. Como mencionam Conte & de Boor (1980) e Dahlquist & Björk (2003), os métodos mais frequentemente utilizados ara sistemas não-lineares de tal comlexidade, e que oferecem mais estabilidade ara tais, são os métodos de Runge-Kutta de quarta ordem. 4.1.2 O Método de Runge-Kutta de quarta ordem O método de Runge-Kutta de quarta ordem é um método que avalia a derivada da função a no temo 3 a, aqui denotada or l(3 a, a ), em quatro ontos estrategicamente localizados ara que se obtenha uma melhor recisão no cálculo. O rocedimento ara se obter o valor de adc é mostrado nas Eqs. 4.3 e 4.4. adc = a + 1 6 (m c+2m + +2m k +m n ) (4.3) r m c=3 l(3 a, a ) m + =3 ls3 a + t, + a+ m u v + qm k =3 ls3 a + t, + a+ m [ v + om n =3 l(3 a +3, a +m k ) (4.4) U 15

É imortante notar que as derivadas l(3 a, a ) são calculadas diretamente com o uso da Eq. 2.1. O método de Runge-Kutta aresentado nas Eqs. 4.3 e 4.4 são de fácil alicação em qualquer linguagem de rogramação e aresenta a vantagem de ser auto-iniciado, ou seja, necessita aenas de um onto w ra que os cálculos sejam iniciados. Outras variantes deste método também são utilizadas, como o método de Runge-Kutta-Fehlberg de quarta ordem, que utiliza coeficientes que otimizam a localização dos ontos de avaliação das derivadas, aumentando ainda mais a recisão do método. 4.1.3 Método de variação do asso de temo Como os sistemas estudados neste trabalho aresentam dois regimes diferentes bem definidos - com e sem contato -, é interessante que se utilize uma estratégia de variação do asso de temo ara que seja reduzido o custo comutacional das simulações realizadas. O método utilizado é semelhante ao aresentado or Conte & de Boor (1980), que faz o controle o asso de temo através do monitoramento do erro estimado ara o método de Runge-Kutta. A estimativa do erro é feita calculando-se osição adc de duas maneiras: a rimeira normalmente, utilizando-se um asso de temo 3 e a segunda utilizando-se dois assos de t. Como mostram Conte & de Boor (1980), o erro ara o método de Runge-Kutta de quarta ordem ode ser estimado ela Eq. (4.5). + x adc = y t z (3 + adc) t (3 adc )y 15 (4.5) onde t z (3 + adc) reresenta o valor calculado utilizando-se dois assos de temo t e + t(3 adc ) o cálculo utilizando aenas um asso de 3. Para casos de roblemas com contato este método de estimativa do erro funciona esecialmente bem, ois, na interface do contato a força só é levada em conta ara o calculo de adc quando já se verificou o contato ara a condição de a, negligenciando-se, assim, um trecho da situação de contato no caso em que a não satisfaz a condição de contato mas está muito róximo disso. Quando calculase o erro, orém, leva-se em conta, no segundo asso de t, a força de contato. Para os exemlos aqui descritos, o erro é estimado aenas nestas situações - quando a não acusa contato enquanto adc o faz. Neste onto, que é o mais crítico durante todo o ercurso, reduz-se o asso de temo, e mantêm-se esta redução ara todo o eríodo com contato, voltando ao asso de temo adrão aenas quando a condição de contato não mais se verifica. Desta forma, ode-se, semre que for necessário, estimar o erro e comará-lo com um erro máximo reviamente estiulado, e, a artir da distância entre erro calculado e erro máximo desejado, recalcula-se o novo asso de temo reduzido 3 de acordo com a Eq. 4.6. + 16

3 =3 e { ~ á6 g { a (4.6) Este é um rocesso iterativo, que é reetido até que a condição { a { á6 seja satisfeita. Onde { á6 reresenta o erro máximo estiulado, 3 o asso de temo anterior e { a o erro estimado ela Eq. 4.5. O exoente 2 é uma constante que determina a velocidade com a qual o asso de temo será diminuído a cada iteração, e ele é calibrado emiricamente de maneira a minimizar o temo de cálculo, que será na condição em que o mínimo ossível de iterações será feito sem que o asso de temo seja diminuído excessivamente. Na maioria das simulações realizadas neste trabalho obteve-se 2 1, sendo necessárias de 1 a 3 iterações ra que se atingisse o erro desejado. 4.2 SISTEMA DE 1 GRAU DE LIBERDADE O sistema aresentado or Sándor (2006) consiste em um sistema massa-mola-amortecedor simles e uma barreira sem massa inicialmente searada da massa or uma distância e que, quando se choca com a massa, a conecta a uma rigidez e um amortecedor. O sistema é ilustrado na Figura 4.1. Figura 4.1 - Modelo de um grau de liberdade roosto or Sándor (2006). Utilizando a mesma mudança de variáveis que é feita or Sándor (2006), os arâmetros do sistema se configuram como mostra a Eq. 4.7. ƒ w + = 2 ; ƒ + = ; = ; = ; S w= ; ==> (4.7) É imortante notar que, com esta nova configuração de vaiáveis, a condição de contato assa a ser = 1. O sistema da Fig. 4.1 ode ser modelado, quando não se verifica a condição de contato, da maneira aresentada na Eq. 4.8. = =& 0 1 + =O ƒ w * = 0 +ˆ, =<1 (4.8) = S w cos(ƒ3) 17

E, ara a situação de contato, basta que adicionemos à matriz de forçamento uma comonente S T corresondente à força de contato, como mostrado da Eq. 4.9. = =& 0 1 + =O ƒ w * = 0 +ˆ, = 1 = S w cos(ƒ3) S T (4.9) S T =(= 1) ƒ + += Este sistema foi testado emírica e numericamente or Sándor (2006). Os arâmetros do aarato exerimental foram identificado e são aresentados na Tabela 4.1. Tabela 4.1 - Parâmetros ara o sistema de Sándor (2006). (#/) (#/) (# / ) (# / ) ( ) ƒ 0 (/) 8.47 1210 0.87 0.60 0.838 4.60 Assim, nos resta aenas os arâmetros ajustáveis, que são a frequência do forçamento ƒ, a sua amlitude e o esaçamento inicial. É imortante notar que ode também assumir valores negativos, o que corresonde a uma situação em cujo equilíbrio estático a mola de rigidez se encontra comrimida.os resultados obtidos elo método utilizado neste trabalho foram comarados com os resultados de Sándor (2006) em dois casos distintos. O rimeiro deles, com arâmetros descritos na Tabela 4.2, a intensidade do forçamento foi variado. No segundo caso, cujos arâmetros são esecificados na Tabela 4.3, o arâmetro variado foi a distância inicial. Tabela 4.2 - Primeiro conjunto de arâmetros testados ara o modelo de Sándor (2006). Comaração de resultados na Figura 4.2. ƒ (/) () (#) 3.69 0.0045 Œ. Ž Œ. Tabela 4.3 - Segundo conjunto de arâmetros testados ara o modelo de Sándor (2006). Comaração de resultados na Figura 4.3. ƒ (/) () (#) 11.15 Œ.ŒŒ Œ.ŒŒ 0.33 O sistema foi simulado através de um algoritmo desenvolvido em Matlab. As Figuras 4.2 e 4.3 mostram a comaração entre os resultados obtidos or este estudo e aqueles obtidos ela simulação numérica de Sándor (2006), que foram em seu trabalho validados exerimentalmente.vemos que os resultados são muito róximos, o que valida o método utilizado neste trabalho. No entanto, no segundo caso os resultados são idênticos. Inclusive na bifurcação global onde o sistema se torna caótico, o método aqui utilizado conseguiu reetir os resultados com grande recisão. Vale ressaltar que as seções de Poincaré não coincidem devido ao fato de que o lano arbitrário utilizado ara a construção desta não foi o mesmo nos dois estudos, mas são igualmente válidos, vide Seção 3.2. 18

Figura 4.2 - Comaração dos resultados deste estudo (à direita) com os de Sándor (2006) (à esquerda). 19

Figura 4.3 - Comaração dos resultados deste estudo (à direita) com os de Sándor (2006) (à esquerda). 20

4.3 SISTEMA DE 4 GRAUS DE LIBERDADE O segundo modelo que será testado aqui é um roblema de muita imortância dentro da dinâmica de máquinas rotativas, que é o sistema de eixo - mancal. O eixo é modelado como um rotor de Jeffcott desbalanceado e o mancal é um estator cilíndrico rígido susenso or duas molas, assim como o rotor. A rincial diferença deste modelo ara o mostrado anteriormente, na Seção 4.2, é que sendo este bidimensional, não só a intensidade da força de contato nos interessa, mas também sua direção e sentido. Nesta seção será descrito este sistema que é de grande relevância ara a indústria e, or causa de sua simlicidade, foi largamente estudado na literatura. Lesaffre (2007b) utilizou este modelo ara validar os métodos aresentados, que eram um método de integração or diferenças finitas centrais e o método de multilicadores de Lagrange ara simular o contato. Demailly (2003) também estudou este mesmo sistema na etaa inicial da aresentação de seus estudos, utilizando o método de enalidade ara o cálculo das forças de contato e também o método de diferenças finitas centrais ara a integração numérica. Em seu trabalho ele analisa mais rofundamente alguns asectos da dinâmica não-linear do sistema, encontrando alguns ontos de comortamento quasi-eriódico. 4.3.1 Modelagem matemática A Fig. 4.4 ilustra o modelo descrito em sua osição de equilíbrio. As rigidezes 5 e 5 são conectadas ao rotor, de massa, e ao estator, de massa, resectivamente, e estes são inicialmente searados or uma distância radial, indicada na ilustração. Denota-se aqui os deslocamentos horizontal e vertical do rotor or = e > e os deslocamentos do estator or = e >. Figura 4.4 - Ilustração do modelo eixo-mancal de quatro graus de liberdade. 21

Pode-se então reresentar este sistema na forma de variáveis de estados, considerando que há um amortecimento associado a cada rigidez e um outro associado a cada, da maneira mostrada na Eq. 4.10. onde 0 1 0 0 0 0 0 0 B r = A F 0 0 0 0 0 0 E A E =O A 0 0 0 1 0 0 0 0 r = > A 0 0 E = 0 0 0 0 E > >O A = E > A q= 0 0 0 0 0 1 0 0 E A =O A 0 0 0 0 q = + (4.10) E 0 0 E = > A > E o>o A 0 0 0 0 0 0 0 1 A 0 0 0 0 0 0 E o> E @ D e outra de contato = + T é o vetor de forçamento comosto or um comonente de desbalanceamento o contato entre rotor e estator. T, que ara ser calculada necessita que antes sejam feitas considerações sobre Como mencionado na Seção 2.4, o rimeiro asso a ser dado em um roblema desta natureza é a condição de contato, ou seja, uma inequação que define, a artir das variáveis do roblema, o onto a artir do qual as força de contato começam a atuar. A Fig. 4.5 ilustra o momento do contato entre rotor e estator, e auxilia na comreensão da geometria do roblema. Nesta figura, as forças de contato indicadas or Y e Y t são, resectivamente, as forças normal e tangencial alicadas elo rotor sobre o estator, ara a rotação no sentido horário, e cujos módulos são relacionados elo coeficiente de atrito de maneira que Y t = Y. Figura 4.5 - Ilustração do contato entre rotor e estator. 22

Para a construção da condição de contato, será utilizada uma variável auxiliar que corresonde à enetração do rotor no estator,, que é calculada como mostra a Eq. 4.11. Assim, tem-se que, semre que >0, a comonente da força de contato é diferente de zero, T Œ, enquanto que, quando 0, tem-se que T =0. O vetor de força, da Eq. 3.10 é dada elas Eqs. 4.12 e 4.13. = (= = ) + +(> > ) + (4.11) = r q o 0 %Ω + cos(ωt+α) 0 %Ω + sen(ωt+α) œ 0 0 0 0, 0 (4.12) = r q o 0 %Ω + cos(ωt) 0 %Ω + sen(ωt) œ 0 0 0 0 Br 0 = A = r 0 > > F + A 0 0 E E T + A > > = + = E, >0 (4.13) Aq 0 q 0 E A= = > > E A 0 0 E @ o> > o= = D onde œ é a aceleração da gravidade. Nota-se que a grandeza + corresonde ao deslocamento relativo entre rotor e estator, e os vetores entre colchetes na Eq. 3.13, quando divididos or +, formam os conjuntos de cossenos diretores das forças Y e Y t. 4.3.2 Simulação Numérica Devido a seu menor custo comutacional, foi desenvolvido um algoritmo em linguagem Fortran ara a simulação do sistema. Para a aresentação dos resultados obtidos, são utilizadas algumas variáveis adimensionais aresentadas na Eq. (4.14). ƒ = ; ƒ = ; = 2 ; = 2 (4.14) Em todos os casos analisados foi utilizado o seguinte conjunto de arâmetros aresentado na Tabela 4.4. Tabela 4.4 - Parâmetros das simulações numéricas. ƒ e g ƒ e g () ( ) ( ) 540 140 0.05 0.02 0.006 0 50 50 Dois casos são analisados, em cada um são modificados aenas o desbalanceamento, %, a rigidez de contato, T, e o erro máximo admitido, { á6. Na rimeira situação, estes valores foram selecionados de maneira a coincidirem com uma região que aresenta bifurcações locais e um caso 23

articular de coexistência de órbitas. No segundo caso, os arâmetros foram escolhidos de forma a serem coincidentes aos da analise de Demailly (2003). A Tabela 4.5 mostra os arâmetros do rimeiro caso. Tabela 4.5 - Parâmetros ara o rimeiro caso analisado. %() Te # g { á6 () 0.0025 10 ž 10 bÿ Figura 4.6 - Diagrama de bifurcação ara os arâmetros da Tabela 3.5. A Figura 4.6 mostra o diagrama de bifurcação ara o intervalo de frequência de rotação de 116/ a 140/ com um asso de 0.03/. Para a construção do diagrama, em cada frequência de rotação o sistema é integrado or 5 e aenas os 10 últimos eríodos de integração são considerados ara cada frequência, descartando-se, assim, o regime transiente. Além disso, como condições iniciais ara cada frequência é considerado o último estado do sistema ara a frequência anterior, com exceção da rimeira frequência analisada quando todas as condições iniciais são nulas. O diagrama de bifurcação da Figura 4.6 aresenta no eixo das ordenadas a velocidade da coordenada = do estator na seção de Poincaré. Este intervalo de frequência não foi escolhido ao acaso, ele corresonde ao intervalo no qual o contato entre rotor e estator é intermitente. Para frequências inferiores a 116/ o deslocamento do rotor não é suficiente ara gerar contato, e ara frequências sueriores a 138/ o contato entre as artes é ermanente. Cabe ressaltar que é essa transição ausência de contato e contato ermanente que dá origem às não-linearidades. Nas situações sem contato e com contato ermanente o sistema é linear. Pode-se observar, na Figura 4.6, três diferentes comortamentos do sistema. Por vezes o diagrama de bifurcação aonta um comortamento eriódico de eriodicidade 1; na região entre 127/ até 137/ verifica-se uma eriodicidade 2; e de 118/ a 12/ verifica-se uma região indeterminada, que necessita de uma análise mais refinada ara que seja caracterizada com clareza. 24

Com este objetivo, três medidas são tomadas: diminuir o asso de variação da frequência, assando de acréscimos de 0.03/ ara 0.01/; aumentar o temo de relaxamento do sistema, deixando-o estabilizar-se or 10 ao invés de aenas 5, como realizado ara a Figura 4.6; e alicar uma interolação ara o aumento da recisão na construção da seção de Poincaré. A necessidade desta interolação vem do fato de que, sendo o temo discretizado, a seleção do onto da curva de forçamento corresondente à seção escolhida nunca é exato. Mas, como utiliza-se um asso de temo equeno, ode-se interolar os valores discretos calculados de maneira linear e obter-se o valor das variáveis de estado no onto exato da seção de Poincaré. Uma interolação linear simles é suficiente ra refinar os dados do diagrama de bifurcação. As Figuras 4.7 e 4.8 mostram uma região do diagrama da Figura 4.6 com as melhorias descritas. Figura 4.7 - Diagrama de bifurcação refinado indicando coexistência de órbitas ara o estator. Figura 4.8 - Diagrama de bifurcação refinado indicando coexistência de órbitas ara o rotor. 25

Pode-se erceber que aarentemente existem dois caminhos ossíveis a serem seguidos elo diagrama de bifurcação entre as frequências de 118/ e 119.7/: um com eriodicidade 1 e um segundo caminho com eriodicidade 3. Este segundo caminho não se manifesta além deste intervalo mencionado. Verifica-se também uma bifurcação local ara eriodicidade 2 ara valores róximos a 120/. Para verificar com mais clareza o que ocorre ara a região com aarente coexistência de comortamentos, aresenta-se o esaço de fase junto com a seção de Poincaré ara alguns valores de frequência dentro do intervalo de interesse. As Figuras 4.9 e 4.10 mostram as duas órbitas coexistentes, que foram obtidas na mesma frequência de rotação, orém uma delas utilizando-se condições iniciais nulas e a segunda utilizando Œ = 0,004 ; 0,6 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0,002 ; 0 ; 0. (a) Figura 4.9 - Órbitas de eriodicidade 1 ara a frequência de 119rad/s ara o estator (a) e o rotor (b) utilizando-se condições iniciais nulas. (b) (a) Figura 4.10 - Órbitas de eriodicidade 3 ara a frequência de 119.2rad/s ara o estator (a) e o rotor (b) utilizando-se condições iniciais modificadas. Como mostram os esaços de fase aresentados, verifica-se de fato o fenômeno de coexistência de órbitas no intervalo da Figura 4.7. Foi verificada também uma maior instabilidade da órbita de (b) 26

eriodicidade 3, sendo muito mais difícil encontrá-las em uma varredura manual na frequência. Para valores maiores de { á6, quando os erros numéricos se tornam exressivos, verificam-se casos em que uma órbita inicialmente estabilizada em eriodicidade 3 sofria uma transição esontânea ara eriodicidade 1, como mostra a Figura 4.11. Figura 4.11 - Gráfico da distância entre rotor e estator com transição de eriodicidade. Na Figura 4.11 está reresentado o gráfico da distância entre rotor e estator em função do temo. Verifica-se que, até a faixa dos 3, o comortamento do sistema está estabilizado em um movimento tíico da órbita de eríodo 3 mostrada na Figura 4.10, mas ela sofre uma transição esontânea ara uma órbita de eriodicidade 1 or volta dos 4 e se estabiliza neste estado. (a) Figura 4.12 - Órbita de eriodicidade 2 ara a frequência de 135rad/s ara o estator (a) e o rotor (b). (b) 27

A Figura 4.12 mostra a órbita no esaço de fase e a seção de Poincaré ara a frequência de 135/ associada à outra região de interesse da Figura 4.6. Pode-se ver nesta situação que a órbita é eriódica de eriodicidade 2 e aresenta uma aarência bem diferente das órbitas anteriormente aresentadas. Percebe-se que as órbitas aresentadas nas Figs. 4.9 e 4.10 ossuem estruturas recorrentes em forma de uma esiral que converge ara a origem. Estas estruturas corresondem à arcela da trajetória na qual não há contato entre rotor e estator e, consequentemente, as estruturas vibram em movimento harmônico livre sub-amortecido, fonte das esirais. Já na órbita aresentada ara a frequência de 135/ o sistema está muito róximo do onto de contato ermanente, e o trecho da trajetória onde não se verifica contato é muito curto. Por isso não se vêem as estruturas esiraladas na órbita da Figura 4.11. A Figura 4.13 ratifica este fato, mostrando, através do gráfico da distância ara as frequências de 119/ e 135/, que o temo com contato, ou seja, o temo que assa tendo valores negativos, no segundo caso é muito maior. (a) (b) Figura 4.13 - Distância em função do temo ara a frequência de 119rad/s (a), e de 135 rad/s (b). Para o segundo caso a ser estudado, foram utilizados os arâmetros das simulações aresentadas or Demailly (2003). Neste caso, a simulação do sistema exige a alicação de um erro { á6 bem menor ara que a solução seja correta devido à alta rigidez de contato utilizada. A Tabela 4.6 mostra os arâmetro utilizados na simulação. Tabela 4.6 - Parâmetros ara o segundo caso aresentado. %() T e # g { á6 () 0.001 10 10 b Aesar de ser muito semelhante ao rimeiro caso aresentado, o segundo sistema aresenta um comortamento muito mais comlexo. A começar elo fato de sua alta rigidez de contato, que gera comonentes de alta frequência na resosta do sistema quando há contato e isso exige a utilização de baixíssimos assos de temo. Além disso, or este sistema aresentar o mesmo valor de =0.006 com um valor de desbalanceamento % menor, as velocidades de rotação que gerarão o contato serão obrigatóriamente maiores, gerando mais um obstáculo à simulação numérica. 28

Analisando o comortamento dinâmico deste segundo sistema, ode-se erceber ainda mais eculiaridades. Como mostram as Figs. 4.14 e 4.15, que aresentam os diagramas de bifurcação ara a varredura em frequência do sistema, o comortamento dinâmico neste caso aresenta vastas regiões de caoticidade, aresentando também, am alguns ontos, bifurcações locais que indicam eriodicidade 4. Figura 4.14 - Diagrama de bifurcação de ara o sistema com arâmetros da Tabela 4.6. A Figura 4.14 aresenta o diagrama de bifurcação ara a velocidade da coordenada = do estator enquanto a Figura 4.15 aresenta o mesmo diagrama ara a coordenada = do rotor. Pode-se observar diversos comortamentos nesta faixa de frequência. Existem regiões de eriodicidade 1, regiões de eriodicidade 2, regiões de eriodicidade 3, regiões de eriodicidade 4, regiões de comortamento caótico e a ocorrência de janelas eriódicas. Figura 4.15 - Diagrama de bifurcação de ara o sistema com arâmetros da Tabela 4.6. 29

A Figura 4.16 mostra um detalhe do diagrama da Figura 4.14 aonde odem ser vistas uma região caótica curta e, logo em seguida, uma bifurcação local de eriodicidade 2. A Figura 4.17 mostra duas órbitas situadas nesta região, a rimeira de eriodicidade 1 a 131.7/ e a segunda de eriodicidade 2 a 132.2/. Figura 4.16 - Detalhe do diagrama da Fig. 4.13. Bifurcações global e local. (a) (b) Figura 4.17 - Órbitas e seção de Poincaré do estator ara as frequências de 131.7rad/s (a) e 132.2rad/s (b). 30

(a) (b) Figura 4.18 - Órbitas e seção de Poincaré do rotor ara as frequências de 131.7rad/s (a) e 132.2rad/s (b). Percebe-se na Figura 4.18 que as órbitas corresondentes ao rotor assumem uma forma elítica ara todos os casos. E inclusive em eriodicidades mais altas, como a região de eriodicidade 4, e até mesmo em regiões caóticas este comortamento é recorrente. Isto se dá elo fato de que os deslocamentos induzidos elas forças de imacto, sobretudo neste caso de alta rigidez de contato, são muito equenos quando comarados aos deslocamentos rovocados ela força de desbalanceamento que se imõe sobre o rotor. Esta força de desbalanceamento, além de resente durante todo o temo da simulação, também se dá, nesta faixa de frequência analisada, muito róximo da frequência natural do rotor - 140rad/s-, roduzindo, assim, grandes deslocamentos. Figura 4.19 - Detalhe do diagrama da Fig. 3.13. Regiões caóticas e de eriodicidade 4. A Figura 4.18 exibe o detalhe da região de eriodicidade 4. Além disso, algumas regiões de caos também se mostram na mesma faixa de frequência. As figuras 4.19 e 4.20 mostram resectivamente a 31

órbita do sistema no esaço de fase e um detalhe do gráfico da distância em função do temo ara esta mesma situação, onde odemos verificar a eriodicidade 4 do movimento. Figura 4.20 - Órbita no esaço de fase e seção de Poincaré ara a frequência de 134.2rad/s. Figura 4.21 - Distância, em, em função do temo ara a frequência de 134.2rad/s. A Figura 4.21 mostra em detalhe a ocorrência do fenômeno de janelas eriódicas no diagrama da Figura 4.14. 32

Figura 4.22 - Detalhe da figura 4.14 evidenciando as janelas eriódicas. O fenômeno de janelas eriódicas consiste em curtos trechos de eriodicidade que se manifestam entre regiões caóticas. Estes são fenômenos muito instáveis e sensíveis às condições iniciais. A Figura 4.22 mostra a órbita eriódica da janela situada em 137.28/. Figura 4.23 - Órbita eriódica ara. ª«/. As Figuras 4.23 e 4.24 mostram a seção de Poincaré e a órbita no esaço de fase ara a frequência de 135/, que tem comortamento aarente caótico se forem analisados os diagramas de bifurcação aresentados. Porém, como mostra a seção de Poincaré, o comortamento nesta frequência é quasi-eriódico. 33

Figura 4.24 - Seção de Poincaré do estator ara a frequência de 135rad/s. Percebe-se que os ontos da seção de Poincaré ara a frequência de 135/ formam um caminho fechado, o que evidencia o comortamento quasi-eriódico do sistema. Já ara a frequência de 140/ os ontos da seção de Poincaré, mostrada na Fig. 4.25, não se disõem em forma de uma curva fechada, e sim de ontos esarsos. A figura 4.26 mostra a órbita caótica corresondente à frequências de 140/. Figura 4.25 - Esaço de fase e seção de Poincaré do estator ara a frequência de 135rad/s. 34

Figura 4.26 - Seção de Poincaré do estator ara a frequência de 140rad/s. Figura 4.27 - Esaço de fase e seção de Poincaré do estator ara a frequência de 140rad/s. 35

Figura 4.28 - Seção de Poincaré do rotor ara a frequência de 140rad/s. Os resultados aresentados or Demailly (2003) não incluem diagramas de bifurcação e nenhuma análise mais rofunda do comortamento caótico do sistema. Porém, através de um método de shooting, o autor encontra diversas órbitas eriódicas, de eriodicidade 1, na faixa de frequência aqui analisada. Estas órbitas eriódicas, encontradas, or vezes, em faixas de frequência que aqui se mostras caóticas, são altamente deendentes das condições iniciais imostas e uma análise mais rofunda exigiria a construção de bacias de atração ara que seja maeado o comortamento do sistema ara toda a faixa de condições iniciais. 36

5. MODELO COMPLETO Neste caítulo é aresentado o modelo comleto estudado neste trabalho, que consiste em um modelo de turbina axial com ás flexíveis e de um estator cilíndrico também flexível. Os métodos de integração numérica e de gestão do contato são os mesmos aresentados e validados nos caítulos anteriores. O modelo é de grande relevância ara alicações de engenharia, sobretudo ara o estudo de turbomáquinas de aeronaves em situações acidentais, já que a fonte de excitação utilizada ara obtenção dos resultados é um imacto ontual no estator, semelhante ao disaro de um rojétil. São aresentados a modelagem matemática comleta do sistema e os resultados obtidos, juntamente com a análise destes. 5.1 MODELAGEM MATEMÁTICA 5.1.1 Modelo de rotor com ás flexíveis Para a modelagem do rotor com ás flexíveis foi utilizado um modelo linear simlificado aresentado or Grolet & Thouverez (2010). Este modelo, ilustrado na Fig. 5.1, considera ás rígidas ligadas ao cubo do rotor através de rigidezes torcionais e ligadas entre si or rigidezes lineares. Figura 5.1 - Ilustração do modelo de rotor com ás flexíveis. O acolamento entre as ás se faz elas rigidezes lineares montadas entre elas. Este acolamento se verifica em turbinas devido ao fato das ás muitas vezes serem montadas or meio de um encaixe 37

no cubo, o que gera uma conexão com as ás adjacentes. Em turbinas que são fundidas como uma eça inteira esse acolamento não existe, ou é desrezível, sendo a =0. A Eq. 5.1 aresenta a matriz da reresentação no esaço de estados ara um rotor com 4 ás flexíveis. É imortante notar que as equações de movimento são escritas ara os deslocamentos ortonormais a das ontas de cada á - ositivos ara deslocamentos no sentido anti-horário -, e não de seus deslocamentos angulares. 0 1 0 0 0 0 0 0 B a a 0 0 F a A E 0 0 0 1 0 0 0 0 = 1 A E A a a a 0 0 E A 0 0 0 0 0 1 0 0 E A 0 0 a a a E A 0 0 0 0 0 0 0 1 E @ a 0 0 a ad (5.1) onde reresenta a rigidez torcional corrigida ara os deslocamentos ortonormais a ; reresenta as rigidezes lineares a, também corrigidas; reresenta o amortecimento associado a ; a o amortecimento associado a a e reresenta a massa corrigida da á. A Figura 5.2 ilustra a á com as dimensões utilizadas ara sua modelagem como uma viga engastada (Grolet & Thouverez, 2010). Figura 5.2 - Modelo de á como viga engastada com indicação de suas dimensões. Assim,, e se tornam função dos arâmetros geométricos e físicos da á. O desenvolvimento analítico realizado or Grolet & Thouverez (2010) chega às equações que são aresentadas na Eq. 5.2 ara os arâmetros da á. = h± 6± 7 5 ; = ± 6 + = {hk ± 7 3± 6 k (1 ² + ) ; = a ³ ± 6 (5.2) onde é a densidade do material da á, { é seu módulo de elasticidade, ² é seu coeficiente de Poisson e ³ é a distância entre a base da á e a rigidez a, como indicado na Fig. 5.1. A Tabela 5.1 aresenta os valores utilizados nas simulações aresentadas neste estudo, onde, é imortante ressaltar, o 38

arâmetro indicado como ƒ corresonde à frequência natural do modo de coro rígido, como utilizado na seção 4. Tabela 5.1 - Parâmetros das ás utilizados nas simulações. ± 6 ± 7 h { ² a ³ ƒ 0.5 0.3 1 7800 / k 210 µ 0.3 800 # / 2 140 / 0.05 Os arâmetros de amortecimento são calculados como mostra a Eq. 5.3. =2 ; a =2 (5.3) Além disso, tanto o rotor quanto o estator são modelados também como coros susenso nas duas direções, gerando modos de vibração de coro rígido e uma equação de movimento idêntica à aresentada na Eq. 4.10. 5.1.2 Modelo de estator flexível O estator foi descrito matematicamente or um modelo conhecido como n-diâmetros, que se descreve a casca cilíndrica a artir de suas coordenadas rinciais, isolando assim os modos de vibrações. Este modelo é bastante conveniente ara os fins deste estudo, ois ermite que o movimento do estator seja descrito em função de aenas um de seus modos searadamente, o que se mostrará bastante útil ara o fenômeno de interação modal, descrito mais adiante. O modelo n-diâmetros considera rimeiramente a deformação tangencial (8,3) da casca cilíndrica como descreve a Eq. 5.4, sendo 3 o temo e 8 a osição angular de um onto do estator. (8,3)= (3)cos( 8)+ sin( 8), N, 2 (5.4) Utilizando ainda a condição de inextensibilidade ara a estrutura, tem-se como condição que K (8,3)=f(8,3) f8, onde K (8,3) reresenta o deslocamento radial de um onto do estator. Desta forma, obtem-se a exressão de interesse que descreve a deformação do estator como mostra a Eq. 5.5. K (8,3)= (3)sin( 8)+ (3)cos( 8), N, 2 (5.5) É imortante notar que a restrição de 2 serve ara que sejam excluídos os modos de vibração de coro rígido do estator, que serão modelados searadamente. A Figura 5.3 ilustra dois modos de vibração do estator flexível modelado a artir da equação 5.5. A ilustração à esquerda utiliza =2 e à direita vê-se a deformação ara =3. Vale ressaltar que este modelo considera dois graus de liberdade - e - ara cada modo de vibração. Na realidade, se trata de uma situação de dois modos de vibração de mesma frequência, cada modo descreve o mesmo tio de deformação, orém em orientações diferentes. 39

(a) Figura 5.3 - Ilustração do modelo n-diâmetros ara (a)» «= e ara (b)» «=. Para a obtenção das equações do movimento do estator flexível, calcula-se as energias cinética ¼ e otencial ½ a artir das Eqs. 5.4 e 5.5. Deve-se integrar em toda a extensão do estator ara a obtensão da exressão das energias como mostram as Eqs. 5.6 e 5.7. ¼= 1 +; 2 ¾ t t t t ik(8,3) + +(8,3) + jà t t 8 (5.6) w +; ½= 1 2 ¾ { t tá t t w k À t t (b) & fk + f8 (8,3)+K (8,3)* 8 (5.7) onde t t, t t, { t t e Á t t são, resectivamente, a densidade volumétrica do estator, a área de seção transversal, o módulo de elasticidade de material e o momento de inércia da seção transversal. Utilizando as equações de Lagrange (Eq. 5.8) obtém-se então a equação do movimento ara as variáveis e como aresentado na Eq. 5.9. ±=¼ ½ ; f± fk 3 ef± g=0 (5.8) fk & ( + +1) 0 0 ( + *Â O Ã+& 2 + ( + +1)5 0 *ˆ +1) O 0 2 + ( + = 0 +1)5 0 (5.9) onde 5 = Ä ÅÆÇÆÈ ÅÆÇÆ ÉZ e =29 À t t t t. Assim, simlificando os termos de massa e rigidez de ÅÆÇÆ maneira que =( + +1) e 5 =2 + ( + +1)5, obtém-se a matriz da reresentação no esaço de estados como mostrado na Eq. 5.10. r 0 1 0 0 B A 5 F 0 0 0E r O = A E + (5.10) q oo A 0 0 0 1 A 0 0 5 E q @ 0 E o D 40

Também é imortante notar que uma força S w - em N - alicada em um onto 8 do estator elo lado interno deste será incluída ela uma matriz na forma aresentada ela Eq. 5.11. 0 = S w < sin( 8)? (5.11) 0 cos( 8) A Tabela 5.2 aresenta os dados do estator utilizados nas simulações aresentadas neste estudo. As roriedades mecânicas dos materiais utilizados são as mesmas da tabela 5.1 e um amortecimento roorcional foi incluído, com coeficiente de amortecimento t t. Table 5.2 - Parâmetros do estator flexível. t t Á t t À t t ƒ t t 4 10 bk + 5.3 10 bž n 0.5 0.5005 540/ 0.01 5.1.3 Modelagem do contato A mecânica do contato ara este modelo de turbina axial com ás e estator flexíveis deve ser estudada com esecial atenção. Como visto na seção 2.4, os ontos chave de uma análise de mecânica do contato é a definição recisa da condição matemática de contato e, osteriormente, da definição da direção da força de contato, ara que seu efeito seja sentido or cada um dos elementos envolvidos da maneira correta. No modelo aresentado, a sua geometria comlexa torna estes dois assos rinciais da análise ainda mais delicados, visto que a definição exata da distância da onta de uma á ao estator não é simles e a determinação da direção do contato e de sua contribuição ara o movimento de cada elemento é ainda mais comlexa. Como encontram-se normalmente valores muito equenos de - distância inicial entre ás e estator - odemos considerar diversas simlificações, já que temos ± 6 À t t. Assim, como é aresentado adiante, as equações ara a consideração das forças de contato são obtidas. A Figura 5.4 ilustra o momento do contato entre a á Ê e o osição angular 8 do estator. Na Figura 5.4 as osições não-deformadas do estator e da i-ésima á são mostradas em linhas ontilhadas, e as características geométricas da sistema nessa situação são indicadas. Assim, a indentação a aresentada ela á ode ser calculada através da Eq. 5.12. A restrição que servirá como condição de contato ara este caso é a >0. a =K (8 a )+ cos(8 a )+Ë sin(8 a ) cos(8 a ) Ë sin(8 a ) (5.12) onde K (8 a ) é calculado ela Eq. 5.5 e,ë, e Ë são resectivamente os deslocamentos de coro rígido horizontal e vertical do rotor e do estator. A osição 8 a angular da á Ê no temo 3 é dada ela Eq. 5.13. 8 a = 29 # (Ê 1)+tan bc e a ± 6 g+ω 3 (5.13) onde # é o número de ás do rotor e Ω sua velocidade angular de rotação, em /. 41

Figura 5.4 - Ilustração do momento de contato entre a i-ésima á e o estator. O angulo 2 a indicado na Figura 5.4 reresenta a inclinação do estator na osição angular 8 a em relação à seu estado não-deformado. Para equenas deformações, odemos descrever 2 a como função aenas de ÍÎ Å, como mostra a Eq. 5.14. ÍÏ 2 a =tan bc Ð 1 fk (8,3)Ñ (5.14) À t t f8 Nos diversos testes realizados com a simulação deste sistema, foi verificada a grande imortância da introdução de um amortecimento de contato no sistema. Como a força de contato é introduzida como uma rigidez de valor elevado, nos momentos durante o contato é verificada uma vibração de altíssima frequência e isso rejudica significativamente a estabilidade do método numérico. Sendo assim, a resença de um amortecimento de contato - resente em sistemas reais - foi considerada ara 42

dissiar arte da energia armazenada durante o contato e assim reduzir as comonentes de alta frequência da resosta, tornando a solução mais estável. Foi desenvolvido um modelo de amortecimento viscoso ara o amortecimento de contato, o que a necessita que seja calculada a velocidade relativa, Ò ÓÔ, entre a onta da á e a arede do estator no momento do contato. Neste calculo é imortante notar que deve ser considerada a derivada Ï t =Ω, referente à velocidade de rotação das ás. Isso dará origem, utilizando-se a regra da cadeia ara derivar a Eq. 5.12, à comonente Î Å Ï Ω resente na Eq. 5.15, onde foi considerado que e Ë Ë, devido ao reduzido valor de. a Ò ÓÔ = a 3 =K (8 a )+ K 8 Ω+ cos(8 a )+Ësin(8 a ) cos(8 a ) Ë sin(8 a ) (5.15) Define-se, então, um coeficiente de amortecimento de contato TÕ t como mostra a Eq. 5.16. TÕ t =2 TÕ t T e + g (5.16) 2 Onde TÕ t é um fator de amortecimento de contato, e são, resectivamente, as massas do rotor e do estator e T é a rigidez de contato do sistema. A Eq. 5.17 aresenta a exressão ara o cálculo da razão entre força de amortecimento e força de contato, Ö. Tal razão é conveniente ara a construção do vetor força, descrito mais à frente. Ö= S = a TÕ tò ÓÔ (5.17) S ÓÔ a T Para a inclusão das forças de atrito foi considerado que, devido às altas velocidades de rotação, a direção deste é semre a mesma, contrária à rotação. Sendo assim, ara os graus de liberdade de coro rígido, basta que as forças normais de contato sejam multilicadas elo coeficiente de atrito e sofram uma rotação de 90 do sentido anti-horário. Para as ás, a força de atrito tem efeito máximo, enquanto ára a flexão do estator, considerada semre radial, o atrito não causa efeito algum. Assim, com as informações de geometria e das outras informações ertinentes ao cálculo da força de contato, ode-se obter o vetor estados, como mostrado na Eq. 5.18. que introduz as forças de contato na reresentação em esaço de É imortante notar que o somatório na variável Ø considera todas as ás em contato em um determinado momento, somando as forças exercidas or todas cada uma delas ara que seja contabilizada a força resultante nos cálculos. A comonente tan (2 Ù ) de esforço nas ás leva o sinal negativo elo fato de os deslocamentos radiais do estator K são ositivos ara dentro e os deslocamentos ortonormais das ás Ù são ositivos no sentido anti-horário. As comonentes de força de atrito são mostradas ara Ω>0, no sentido anti-horário, ara uma inversão no sentido de rotação 43

devem-se trocar os sinais de todas as comonentes de atrito. Os arâmetros utilizados ara a modelagem dos contatos nas simulações são aresentados na Tabela 5.3. = r Ë Ë q Ë Ë c c Ù Ù ÛÇ oû Ç =Ý Ù T Ù r 0 (1+Ö)sinÞ8 Ù ß cosþ8 Ù ß q o 0 (1+Ö) sinþ 8 Ù ß 0 (1+Ö) cosþ 8 Ù ß 0 (1+Ö)cosÞ8 Ù ß+ sinþ8 Ù ß 0 (1+Ö)cosÞ8 Ù ß sinþ8 Ù ß 0 0 (1+Ö)sinÞ8 Ù ß+ cosþ8 Ù ß 0 0 0 (1+Ö)tanÞ2 Ù ß 0 Table 5.3 - Parâmetros ara modelagem do contato. T TÕ t 10 cw #/ 0.1 0 0.02 (5.18) 5.2 O FENÔMENO DE INTERAÇÃO MODAL No modelo de turbina axial aresentado o fenômeno de fricção entre as ontas das ás e a arte interna do estator é motivo de grande reocuação. Dadas as altíssimas velocidades envolvidas, a fricção ode ocasionar sérios danos à estrutura da turbina, elevadas temeraturas odendo ocasionar a fusão dos materiais e o desgaste acelerado das eças. Assim, o fenômeno de interação modal é articularmente interessante neste sistema, uma vez que roorciona o contato ermanente entre rotor e estator através de um acolamento modal entra os coros. Neste estado, as ás do rotor assumem uma osição que coincide com a deformação do estator 44

flexível, romovendo um encaixe dinâmico erfeito entre as estruturas. Três condições básicas devem ser satisfeitas ara que ocorra a interação modal: 1. As duas estruturas devem adquirir estados de deformação roícios ara uma troca de energia, ou seja, elas devem vibrar cada uma segundo um modo de mesma simetria diametral; 2. Cada uma das estruturas deve vibrar na frequência natural do modo considerado; 3. As velocidades de roagação dos modos rotativos devem coincidir no referencial fixo. Assim, quando essas condições forem satisfeitas, a troca de energia entre as estruturas sustentará o movimento com contato ermanente. A condição matemática ara este fenômeno é dada na Eq. 5.19. ƒ à = Ω ƒ áá (5.19) onde ƒ à e ƒ áá são, resectivamente, as frequências naturais do estator flexível e do modo corresondente das ás. Estas frequências são obtidas das equações do movimento descritas neste caítulo. (a) Figura 5.5 - Ilustração do fenômeno de interação modal ara» «= (a) e» «= (b). A Fig. 5.5 mostra a configuração que ocorre durante a interação. Através das ilustrações é ossível erceber a maneira como as estruturas se encaixam e como o movimento se dá. Nota-se também que, ara cada duas ás em contato ermanente existe semre uma que fica erde contato comletamente com o estator. Podemos então classificar as ás do rotor em situação de interação modal em três tios, que serão úteis ara futuras referências: Pá livre: a á que não tem contato com o estator; Pá a favor: a á que tem contato ermanente e cuja deformação natural se dá a favor do deslizamento entre as suerfícies; Pá contra: a á que tem contato ermanente e cuja deformação natural se dá contra o deslizamento entre as suerfícies. (b) 45

A á livre semre estará submetida aenas aos efeitos do movimento das ás adjacentes através do acolamento elástico, ois nenhuma força externa atuará nela. A á a favor tem a força normal de contato no mesmo sentido da força de atrito, tendo assim uma deflexão maior e um comortamento mais estável. A á contra é o onto crítico da dinâmica deste tio de sistema, como iremos confirmar nas seções seguintes. As forças normal e de atrito se dão em sentidos contrários, forçando a á ara fora de sua osição ideal ara a interação modal. Isso ode causar um comortamento articular que será estudado na seção 5.3.3. Na ocorrência deste fenômeno, o roblema dinâmico se transforma em um roblema estático e linear no referencial rotativo, no qual todas as variáveis de osição tendem a um valor fixo e todas as variáveis de velocidade tendem a zero. Exceto or situações articulares onde o atrito gera determinados comortamentos que fogem deste comortamento estático. Tais casos serão analisados na róxima seção. 5.3 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS Nesta seção são aresentados os resultados das simulações realizadas. Três casos rinciais foram analisados: 1. Sem atrito; 2. Com baixo e médio atrito; 3. Com alto atrito. O rimeiro caso mostra a interação modal na sua forma mais ura, com simetria erfeita e com resosta do sistema erfeitamente eriódica. O segundo caso mostra os efeitos da inclusão de um nível moderado de atrito, que quebra a simetria do fenômeno de interação modal, ainda que a eriodicidade do sistema se mantenha. No terceiro caso o nível de atrito chega a um onto crítico no qual é quebrada a situação de contato ermanente, e verifica-se um comortamento quasi-eriódico com contato intermitente. Para desencadear o início da interação modal, que deois se mantém sozinho, foi utilizado um imacto ontual de curta duração e de alta intensidade na suerfície externa do estator. Nas simulações aresentadas foi utilizado um imulso de 120#. na osição angular 8= ; de duração de um asso n de temo. O asso de temo base utilizado é de 3 â Ó =0.0005 e o erro máximo de { á6 =10 b. Em todos os casos a velocidade de rotação obtida através da Eq. 5.19 é Ω=496,43/ no sentido anti-horário. 5.3.1 Sem atrito Nesta rimeira situação são consideradas nulas as forças de atrito, sendo =0, =3 e o rotor com 9 ás. Assim, temos a ocorrência do fenômeno de interação modal ideal, com a troca de energia 46

se fazendo aenas através das forças normais de contato. A velocidade de rotação é ed Ω = 496,4/. Neste caso, as ás contra e a favor tem comortamentos simétricos e as demais variáveis de estado se estabilizam raidamente, como mostram as Figs. 5.6 a 5.10. Figura 5.6 - Distâncias de cada uma das ás ao estator. Figura 5.7 - Série temoral das variáveis e de flexão do estator. 47

Figura 5.8 - Distâncias Deslocamento horizontal do rotor, tendendo a zero aós o acolamento modal. Percebe-se, ela Fig. 5.6, que a interação modal inicia-se or volta de 0.006 aós o imacto inicial, quando duas das ás ficam em contato ermanente com o estator e a á livre se afasta, alcançando uma distência de 1.5=3. A Fig. 5.7 mostraa evolução das variáveis e que definem a deformação do estator. Aós o início da interação modal e assumem um movimento eriódico com uma equena defasagem, de aroximadamente 45. A Fig. 5.8 mostra que, aós o inicio da interação modal, o rotor se comorta aresenta vibração livre amortecida. O estator aresenta o mesmo comortamento. Figura 5.9 - Deslocamento ortonormal ã das ás. 48

Figura 5.10 - Força tangencial atuando na onta de cada á. A Fig. 5.9 mostra que as ás em contato tendem a um estado de equilíbrio diferente de zero e com sinais contrários. Como não há forças de atrito, as forças atuantes nas ás em contato deendem aenas da geometria do estator deformado, sendo, ortanto, simétricas e de sinais oostos. O deslocamento das ás se estabiliza em torno de 7. A Fig. 5.10 aresenta o gráfico das forças tangenciais atuantes na onta de cada uma das ás. Percebe-se que o momento em que esta força atinge os valores mais elevados é durante o início do acolamento modal, quando as estruturas entram em um rocesso de acomodação ara assumirem a configuração rória do acolamento. Neste momento as forças chegam a quase 2500#. Como já dito anteriormente, a fonte da não-linearidade neste sistema é a transição entre as situações com e sem contato. Neste caso de interação modal, na qual não ocorre a transição entre as duas situações, o sistema é erfeitamente linear, e deve se comortar como tal. Por isso verifica-se um comortamento eriódico - e or vezes até estático -nas variáveis de estado do sistema neste caso. 5.3.2 Baixo e médio atrito Neste segundo caso estudado será comreendida a influência do atrito sobre a simetria do fenômeno de interação modal. Dois níveis de atrito serão considerados: um baixo nível de atrito com =0.004 e um nível moderado de atrito com =0.01. A mesma configuração anterior de =3 e # =9 é utilizada. 49

Figura 5.11 - Distâncias de cada uma das ás ao estator ara baixo atrito. Através da Fig. 5.11 ercebe-se que a inclusão do atrito no sistema não modificou o temo necessário ara o início do acolamento modal. Na Fig. 5.12 ercebe-se que, neste nível de atrito, o comortamento das variáveis de estado e não é modificado. Figura 5.12 - Série temoral das variáveis e de flexão do estator ara baixo atrito. 50

Figura 5.13 - Deslocamento ortonormal das ás ara baixo atrito. Na Fig. 5.13 ercebe-se a assimetria gerada elo atrito. A á a favor se estabiliza agora em 12 no sentido negativo e a á contra or volta de 1.5 no sentido ositivo. A rotação estando no sentido ositivo (anti-horário) gera um atrito no sentido negativo das ás, assim gerando a assimetria ara o lado negativo. O mesmo se verifica no gráfico das forças na Fig. 5.14, onde ercebe-se que as forças são redominantemente negativas, o estado de equilíbrio é assimétrico ara o lado negativo e força máximo é em torno de 4000#. Figura 5.14 - Força tangencial atuando na onta de cada á ara baixo atrito. 51

Figura 5.15 - Deslocamento ortonormal ã das ás ara médio atrito. As Figs. 5.15 e 5.16 mostram os deslocamentos das ás e a força tangencial ara o caso com nível médio de atrito - =0.01. Percebe-se que a força de atrito na á contra é suficiente ara suerar a força normal, e o deslocamento líquido de ambas as ás em contato assa a ser negativo. A configuração de equilíbrio neste caso defere significativamente da situação ideal de interação modal mostrada na Fig. 5.5, mas ainda assim o contato se mantém. As forças negativas se tornam ainda mais redominantes e a força máxima assa dos 5000#. Figura 5.16 - Força tangencial atuando na onta de cada á ara médio atrito. 52

5.3.3 Alto atrito Para a análise de alto nível de atrito foram utilizados =0.02, =3 e # =9. Figura 5.17 - Distâncias de cada uma das ás ao estator ara alto atrito. Percebe-se através da Fig. 5.17 que o fenômeno de interação modal como foi visto até então não se verifica. O sistema não aresenta um contato ermanente entre rotor e estator. Se analisarmos o gráfico da Fig. 5.17 mais de erto, oderemos ver que, na realidade, semre há ao menos uma á em contato com o estator, mas elas se alternam, estando ora a á contra em contato, ora a á a favor em contato e ora ambas as ás tocam o estator. Figura 5.18 - Distância (em cm) e deslocamento ã (em m) da á contra. 53

Figura 5.19 - Distância (em cm) e deslocamento ã (em m) da á a favor. Analisando a Fig. 5.18odemos erceber o que acontece simultaneamente com o deslocamento e a distância da á contra. Percebe-se que, quando a á entra em contato com o estator, seu deslocamento vai ara o lado negativo, como consequência da intensa força de atrito, mas esse deslocamento a tira da osição de interação modal, e o contato se erde. A erda do contato ocasiona, or inércia e forças elásticas, a volta da á ara osições ositivas, e o contato é restabelecido. Este movimento se reete indefinidamente e ocorre na frequência natural da á, que entra em ressonância e mantém o movimento. A Fig. 5.19 aresenta o mesmo gráfico ara a á a favor. A análise é semelhante. Figura 5.20 - Posições ã das ás do rotor em função do temo. 54

Figura 5.21 - Série temoral das variáveis e de flexão do estator ara alto atrito. Na Fig. 5.21 ercebe-se que o comortamento das variáveis e não é tão regular quanto nos outros casos aresentados anteriormente.a defasagem de aroximadamente 45 ainda se verifica, orém uma equena variação na amlitude sugere um comortamento distinto. A Fig. 5.22 aresenta o esaço de fase e a seção de Poincaré ara a variável de estado. Figura 5.22 - Órbita e seção de Poincaré ara a variável de estado. 55

Figura 5.23 - Seção de Poincaré ara a variável. A Fig. 5.23 indica a quasi-eriodicidade da órbita no esaço de fase ara a variável. De fato, através da análise das demais resostas do sistema, este tem característica de quasi-eriódico. As Figs. 5.24 a 5.27 mostram outros esaços de fase com as resectivas seções de Poincaré que também indicam o comortamento quasi-eriódico. Figura 5.24 - Esaço de fase e seção de Poincaré ara as variáveis de deslocamento do estator. 56

Figura 5.25 - Esaço de fase e seção de Poincaré ara as variáveis de deslocamento do rotor. Figura 5.26 - Esaço de fase e seção de Poincaré ara a á contra. 57

Figura 5.27 - Esaço de fase e seção de Poincaré ara a á a favor. As Figuras 5.28 e 5.29 mostram os esaços de fase e seções de Poincaré ara as variáveis de osição e velocidade horizontais do rotor e do estator, onde também ode-se notar indícios de quasieriodicidade, ainda que não tão evidentes quanto nos exemlos acima. Para a caracterização do tio de comortamento aresentado, uma ferramenta quantitativa deve ser utilizada, como, or exemlo, o exoente de Lyaunov. Figura 5.28 - Esaço de fase e seção de Poincaré ara o deslocamento horizontal do rotor. 58

Figura 5.29 - Esaço de fase e seção de Poincaré ara o deslocamento horizontal do estator. Os caminhos traçados elas seções de Poincaré nas Figs. 5.28 e 5.29 não são tão claros quanto nos outros casos, mas as séries temorais de deslocamento do rotor e do estator aresentados nas Figs. 5.30 e 5.31 ratificam a característica quasi-eriódica. Figura 5.30 - Série temoral do deslocamento horizontal do rotor. 59