3. Alguns conceitos de cálculo

3. Alguns conceitos de cálculo 3. Derivada de uma função Para calcular a derivada de uma função, usa-se o comando diff. O primeiro argumento deverá ser uma função de uma ou mais variáveis, o segundo argumento é a variável em ordem à que vai ser derivada a função, e um terceiro argumento optativo, que indica a ordem da derivação (se não aparecer entender-se-á que se trata de uma derivada de primeria ordem). Alguns exemplos: (C) (D) diff(x^n, x); nx n Podemos usar o apóstrofo para que maxima nos mostre, em notação matemática, o cálculo que está a ser feito: (C2) (D2) diff(exp(a*x), x) = diff(exp(a*x), x); de ax dx = aeax (C3) diff(sin(x), x, 2) = diff(sin(x), x, 2); (D3) d 2 sin x dx 2 = sin x Se a função a ser derivada depende de várias variáveis, pode escrever-se uma lista de variáveis de derivação, seguida cada uma da sua ordem (nesse caso 2

não pode ser omitida a ordem de derivação), para calcular derivadas parciais. Por exemplo: (C4) diff(x^3/y, y,, x, 2) = diff(x^3/y, y,, x, 2); (D4) 3 ( x 3 /y ) 2 x y = 6x y 2 3.. Interpretação geométrica da derivada Em termos geométricos, a derivada de uma função é uma outra função que em cada ponto é igual ao declíve da função original nesse mesmo ponto. Por exemplo, a figura 3. mostra o gráfico da função log(x) e a sua derivada, /x, obtido com o comando: (C5) plot2d([log(x), /x], [x, 0., 0], [y, -, 4])$ Perto da origem, o declíve de log(x) tem um valor elevado, mas para valores maiores de x o declíve aproxima-se de zero. f(x) 3 2 log(x) /x 2 4 6 8 x - Figura 3.: Gráfico de log(x) e a sua derivada, /x. 22 Física dos Sistemas Dinâmicos

3..2 Algumas propriedades Se u e v forem duas funções que dependem de x, podemos usar o comando depends para definir essa dependência (C6) (D6) depends([u, v], x); [u (x), v (x)] e a seguir poderemos calcular propriedades gerais para quaisquer funções u e v. Por exemplo, a derivada do produto e do quociente das funções são : (C7) (D7) (C8) (D8) diff(u*v, x) = diff(u*v, x); d (uv) dx = u dv dx + du dx v diff(u/v, x) = ratsimp(diff(u/v, x)); d (u/v) dx = u dv dx du dx v v 2 A regra da cadeia usa-se quando queremos calcular a derivada de uma função composta, isto é, uma função y que depende de uma outra função x, que pela sua vez depende da variável t: (C9) (D9) depends(y, x, x, t); [y (x), x (t)] Assim, y depende implicitamente da variável t e a sua derivada em função de t será: (C0) (D0) diff(y, t) = diff(y, t); dy dt = dx dy dt dx A função ratsimp usa-se para agrupar as fracções sobre um denominador comum. Alguns conceitos de cálculo 23

Exemplo 3. Constrói-se uma caixa de altura x, a partir de uma lâmina quadrada, com aresta d = 30 cm, cortando quatro quadrados de aresta x nos cantos da lâmina. Encontre o valor que deverá ter x para que o volume da caixa seja o máximo possível. x x d d O volume da caixa, em função de x, será (C) (D) vol(x) := x*(30-2*x)^2; vol (x) := x (30 2x) 2 Podemos fazer uma tabela de valores para ter alguma ideia do comportamento da função vol(x). Primeiro criamos uma lista de possíveis valores de x, que pode estar compreendido entre 0 e 5 (C2) xi : makelist(i, i, 0, 5); (D2) [0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, 3, 4, 5] A seguir, vamos usar o comando map para aplicar a função vol a cada elemento da lista xi, e com a lista de valores de x e do volume criamos uma matriz onde cada linha representa um par de valores (x, vol(x)) 24 Física dos Sistemas Dinâmicos

(C3) (D3) yi : map(vol, xi); [0, 784, 352, 728, 936, 2000, 944, 792, 568, 296, 000, 704, 432, 208, 56, 0] (C4) (D4) transpose(matrix(xi, yi)); 0 0 784 2 352 3 728 4 936 5 2000 6 944 7 792 8 568 9 296 0 000 704 2 432 3 208 4 56 5 0 o comando matrix aceita uma ou várias listas com o mesmo número de elementos e cria uma matriz onde cada lista é uma linha. O comando transpose foi usado para que as linhas da matriz passem a ser colunas. Aparentemente o valor máximo obtem-se para x = 5. Podemos demonstrar em forma mais precisa que essa é a resposta do problema, se calcularmos os pontos onde a derivada da função vol é nula (C5) (D5) solve(diff(vol(x), x) = 0, x); [x = 5, x = 5] Para determinar quais desses pontos são máximos ou mínimos locais, calcula-se a segunda derivada Alguns conceitos de cálculo 25

(C6) diff2 : diff(vol(x), x, 2); (D6) 8x 8 (30 2x) no ponto x = 5 o valor da segunda derivada é (C7) (D7) diff2, x=5; 20 o seu valor negativo indica que a curvatura da função nesse ponto aponta para baixo e, portanto, a função tem um máximo local em x = 5. Exemplo 3.2 A posição de uma partícula, em função do tempo t, é definida pelo vector r = 5 cos(t) u x + 4 sin(t) u y + 2 e t u z calcule a velocidade e a aceleração da partícula em t = 3. Vamos representar as três coordenadas do vector posição por meio de uma lista (C8) (D8) pos: [5*cos(t), 4*sin(t), 2*exp(-t)]; [ 5 cos t, 4 sin t, 2e t ] A velocidade é a derivada do vector posição, em função do tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade. (C9) (D9) vel: map(lambda([u], diff(u, t)), pos); [ 5 sin t, 4 cos t, 2e t ] (C20) (D20) acel: map(lambda([u], diff(u, t)), vel); [ 5 cos t, 4 sin t, 2e t ] 26 Física dos Sistemas Dinâmicos

nos comandos anteriores definimos uma função anónima, por meio do comando lambda, que, dada uma função u, calcula a sua derivada em ordem a t. A seguir aplicámos essa função a cada uma das coordenadas do vector posição e do vector velocidade, usando o comando map do maxima. Em t = 3 a velocidade e a aceleração são (C2) (D2) vf : ev(vel, t=3, numer); [ 0.70560004029934, 3.95996998640782, 0.0995743673573] (C22) (D22) af : ev(acel, t=3, numer); [4.949962483002227, 0.56448003223947, 0.0995743673573] Os módulos da velocidade e da aceleração podem ser calculados, usando o produto interno entre vectores, representado por um ponto: (C23) (D23) modvel : sqrt(vf.vf); 4.0235742244392 (C24) (D24) modacel: sqrt(af.af); 4.983039363544433 3.2 Primitivas e integrais A primitiva de uma função é qualquer outra função que quando derivada dá como resultado a função original. Por exemplo, vamos encontrar as primitivas da função x n, onde n é um parâmetro constante Alguns conceitos de cálculo 27

(C25) integrate(x^n, x) = integrate(x^n, x); Is n+ zero or nonzero? nonzero; (D25) x n dx = xn+ n + Maxima perguntou-nos se n + é nula, isto é, se n é igual a. Para n diferente de, obtemos o resultado acima, que representa apenas uma das primitivas da função x n. Todas as outras primitivas obtêm-se somando uma constante arbitrária ao resultado anterior. Um integral definido, por exemplo (C26) integrate(/( + x^ 2), x, 0, ); (D26) x 2 + dx 0 representa a área entre a função e o eixo dos x, e entre os limites x = 0 e x = (ver a figura 3.2). Neste caso o valor do integral é: (C27) integrate(/( + x^ 2), x, 0, ) = integrate(/( + x^ 2), x, 0, ); (D27) 0 x 2 + dx = π 4 O valor infinito, representa-se em maxima pela variável inf. Por exemplo a função acima também pode ser integrada desde menos infinito até infinito: (C28) integrate(/( + x^ 2), x, -inf, inf) = integrate(/( + x^ 2), x, -inf, inf); (D28) x 2 + dx = π 28 Física dos Sistemas Dinâmicos

/( + x 2 ).0 0.5-0 x Figura 3.2: Integral de /( + x 2 ) entre 0 e. Exemplo 3.3 Calcule a área da região delimitada pela parábola y = 2x 2 3 e a recta y = 2x Primeiro temos que encontrar os pontos de intersecção entre a parábola e a recta (C29) parab(x) := 2*x^2-3$ (C30) recta(x) := 2*x$ (C3) solve(parab(x) = recta(x), x); (D3) [ ] 7 7 + x =, x = 2 2 A figura 3.3 mostra o gráfico das funções, obtido com: (C32) plot2d([parab(x), recta(x)], [x, -2, 3])$ Entre os dois pontos de intersecção, a recta está por cima da parábola. A área será Alguns conceitos de cálculo 29

f(x) 2 8 4-2 x Figura 3.3: Área entre y = 2x 2 3 e y = 2x. (C33) area : integrate(recta(x) - parab(x), x, (D33) 7 7 + 0 6 part(d3,,2), part(d3,2,2)); + 7 7 0 6 (C34) (D34) area, numer; 6.734972587378 3.3 Série de Taylor Uma função f(x) diz-se analítica num ponto a, se a função e todas as suas derivadas, f(x), f (x), f (x), f (x),... existirem no ponto a. Nesse caso 30 Física dos Sistemas Dinâmicos

a função pode ser escrita como uma série de potências f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) 2 + f (a) (a x) 3 +... (3.) 3! esse tipo de série é designada de série de Taylor. Em maxima, o comando powerseries dá a forma geral da série de Taylor de uma função analítica e o comando taylor pode ser usado para obter os primeiros termos da expansão de uma função em série de Taylor. 2 (C35) sin(x) = niceindices(powerseries(sin(x), x, 0)); (D35) ( ) i x 2i+ sin x = (2i + )! i=0 (C36) cos(x) = niceindices(powerseries(cos(x), x, 0)); (D36) ( ) i x 2i cos x = (2i)! i=0 Os quatro primeiros termos da série binomial são (C37) taylor((+x)^n, x, 0, 3); (D37) ( n 2 n ) ( x 2 n 3 3n 2 + 2n ) x 3 + nx + + + 2 6 Factorizando cada termo e reagrupando como uma série infinita (por meio do comando trunc) obtemos (C38) (D38) (C39) (D39) map(factor,%); (n 2) (n ) nx 3 + 6 ( + x)^n = trunc(%); (n ) nx2 2 + nx + (x + ) n = + nx + (n ) nx2 2 + (n 2) (n ) nx3 6 + 2 O comando niceindices substitui os índices I, I2,..., usados por omissão, por índices i, j,... Alguns conceitos de cálculo 3

Uma série de potências pode ser derivada ou integrada termo a termo. Por exemplo, o integral que calculámos em D2 pode ser calculado por separado para cada termo da série de potências da função e obtemos, assim, uma série que permite calcular π/4 (C40) (D40) serie : niceindices(integrate( i=0 ( ) i x 2i+ 2i + powerseries(/(+x^2),x,0),x)); (C4) integrate(/( + x^2), x, 0, ) = ev(serie, x=) - (D4) ev(serie, x=0); π 4 = ( ) i 2i + i=0 3.4 A transformada de Laplace A transformada de Laplace de uma função f(x) é uma outra função f(s) definida por f(s) = por exemplo, a transformada da função seno é: 0 f(x) e sx dx (3.2) (C42) (D42) laplace(sin(x), x, s); s 2 + Um outro exemplo: (C43) laplace(t^2*exp(3*t)*sin(4*t), t, s); 32 Física dos Sistemas Dinâmicos

(D43) 8 (2s 6) 2 (s 2 6s + 25) 3 8 (s 2 6s + 25) 2 A transformada inversa calcula-se usando o comando ilt. Por exemplo: (C44) (D44) ilt(/(s^2 + ), s, t); sin t 3.5 Problemas. Calcule as derivadas das funções seguintes: (a) y = e 2x cos(3x) sin(x) (b) y = 3x sinh(2/x) (c) y = x3 + 4x 2 x 2 2. Calcule os pontos estacionários (onde a derivada é nula) da função 3x 4 4x 3 24x 2 + 48x + 5 e diga quais desses pontos são máximos ou mínimos locais. 3. Calcule a primitiva de (log x) 20 e comprove o resultado por meio de derivação. 4. Calcule os seguintes integrais definidos: (a) (b) 2 0 π/3 0 ( 4x 4 5x 2 + 8 ) dx sin(3x) dx Alguns conceitos de cálculo 33

(c) e x2 dx 5. Calcule a derivada da função f(x), onde: (a) f(x) = (b) f(x) = x 5 sin(x) t2 + dt (t 2 + ) 3 dt 6. Em cada caso calcule a série de Taylor da função, no ponto a, e até o termo de ordem n. (a) f(x) = (x 4) 2 a = 5 n = 5 (b) f(x) = tan(x) a = π n = 6 (c) f(x) = x 3/2 a = n = 8 7. Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções: (a) ( + e t ) 2 (b) sin(2t) sinh(2t) (c) t 2 + e 2t 2 (d) t 2 e t sin(t) 34 Física dos Sistemas Dinâmicos