Bioestatística F Comaração de uas Médias Erico A. Colosimo eto. Estatística UFMG htt//www.est.ufmg.br/~ericoc/
.4 istribuicao Gaussiaa com e σ Tabela t-tudet fx).35.3.5..5. -).5 Graus de liberdade istribuição t -tudet Valores de t c tais que P-t c t t c ) - -4-3 - - 3 4 -t x ->9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % 5% 4% % %,%,%.58.35.5.77..376.963 3.78 6.34.76 5.894 3.8 63.656 38.89 636.578.4.89.445.67.86.6.386.886.9 4.33 4.849 6.965 9.95.38 3.6 3.37.77.44.584.765.978.5.638.353 3.8 3.48 4.54 5.84.4.94 3 4.34.7.44.569.74.94.9.533.3.776.999 3.747 4.64 7.73 8.6 4 5.3.67.48.559.77.9.56.476.5.57.757 3.365 4.3 5.894 6.869 5 6.3.65.44.553.78.96.34.44.943.447.6 3.43 3.77 5.8 5.959 6 7.3.63.4.549.7.896.9.45.895.365.57.998 3.499 4.785 5.48 7 8.3.6.399.546.76.889.8.397.86.36.449.896 3.355 4.5 5.4 8 9.9.6.398.543.73.883..383.833.6.398.8 3.5 4.97 4.78 9.9.6.397.54.7.879.93.37.8.8.359.764 3.69 4.44 4.587.9.6.396.54.697.876.88.363.796..38.78 3.6 4.5 4.437.8.59.395.539.695.873.83.356.78.79.33.68 3.55 3.93 4.38 3.8.59.394.538.694.87.79.35.77.6.8.65 3. 3.85 4. 3 4.8.58.393.537.69.868.76.345.76.45.64.64.977 3.787 4.4 4 5.8.58.393.536.69.866.74.34.753.3.49.6.947 3.733 4.73 5 6.8.58.39.535.69.865.7.337.746..35.583.9 3.686 4.5 6 7.8.57.39.534.689.863.69.333.74..4.567.898 3.646 3.965 7 8.7.57.39.534.688.86.67.33.734..4.55.878 3.6 3.9 8 9.7.57.39.533.688.86.66.38.79.93.5.539.86 3.579 3.883 9.7.57.39.533.687.86.64.35.75.86.97.58.845 3.55 3.85.7.57.39.53.686.859.63.33.7.8.89.58.83 3.57 3.89.7.56.39.53.686.858.6.3.77.74.83.58.89 3.55 3.79 3.7.56.39.53.685.858.6.39.74.69.77.5.87 3.485 3.768 3 4.7.56.39.53.685.857.59.38.7.64.7.49.797 3.467 3.745 4 5.7.56.39.53.684.856.58.36.78.6.67.485.787 3.45 3.75 5 6.7.56.39.53.684.856.58.35.76.56.6.479.779 3.435 3.77 6 7.7.56.389.53.684.855.57.34.73.5.58.473.77 3.4 3.689 7 8.7.56.389.53.683.855.56.33.7.48.54.467.763 3.48 3.674 8 9.7.56.389.53.683.854.55.3.699.45.5.46.756 3.396 3.66 9 3.7.56.389.53.683.854.55.3.697.4.47.457.75 3.385 3.646 3 35.7.55.388.59.68.85.5.36.69.3.33.438.74 3.34 3.59 35 4.6.55.388.59.68.85.5.33.684..3.43.74 3.37 3.55 4 5.6.55.388.58.679.849.47.99.676.9.9.43.678 3.6 3.496 5 6.6.54.387.57.679.848.45.96.67..99.39.66 3.3 3.46 6.6.54.386.56.677.845.4.89.658.98.76.358.67 3.6 3.373 if.6.53.385.54.675.84.36.8.645.96.54.37.576 3.9 3.9 if t
istribuição Normal Valores de tais que P Ζ z c ) Parte iteira e rimeira decimal de z c eguda decimal de z c....3.4.5.6.7.8.9...4.8..6.99.39.79.39.359...398.438.478.57.557.596.636.675.74.753...793.83.87.9.948.987.6.64.3.4..3.79.7.55.93.33.368.46.443.48.57.3.4.554.59.68.664.7.736.77.88.844.879.4.5.95.95.985.9.54.88.3.57.9.4.5.6.57.9.34.357.389.4.454.486.57.549.6.7.58.6.64.673.74.734.764.794.83.85.7.8.88.9.939.967.995.33.35.378.36.333.8.9.359.386.3.338.364.389.335.334.3365.3389.9..343.3438.346.3485.358.353.3554.3577.3599.36...3643.3665.3686.378.379.3749.377.379.38.383...3849.3869.3888.397.395.3944.396.398.3997.45..3.43.449.466.48.499.45.43.447.46.477.3.4.49.47.4.436.45.465.479.49.436.439.4.5.433.4345.4357.437.438.4394.446.448.449.444.5.6.445.4463.4474.4484.4495.455.455.455.4535.4545.6.7.4554.4564.4573.458.459.4599.468.466.465.4633.7.8.464.4649.4656.4664.467.4678.4686.4693.4699.476.8.9.473.479.476.473.4738.4744.475.4756.476.4767.9..477.4778.4783.4788.4793.4798.483.488.48.487...48.486.483.4834.4838.484.4846.485.4854.4857...486.4864.4868.487.4875.4878.488.4884.4887.489..3.4893.4896.4898.49.494.496.499.49.493.496.3.4.498.49.49.495.497.499.493.493.4934.4936.4.5.4938.494.494.4943.4945.4946.4948.4949.495.495.5.6.4953.4955.4956.4957.4959.496.496.496.4963.4964.6.7.4965.4966.4967.4968.4969.497.497.497.4973.4974.7.8.4974.4975.4976.4977.4977.4978.4979.4979.498.498.8.9.498.498.498.4983.4984.4984.4985.4985.4986.4986.9 3..4987.4987.4987.4988.4988.4989.4989.4989.499.499 3. 3..499.499.499.499.499.499.499.499.4993.4993 3. 3..4993.4993.4994.4994.4994.4994.4994.4995.4995.4995 3. 3.3.4995.4995.4995.4996.4996.4996.4996.4996.4996.4997 3.3 3.4.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4998 3.4 3.5.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998 3.5 3.6.4998.4998.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999 3.6 3.7.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999 3.7 3.8.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999 3.8 3.9.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 3.9
Comaração de duas médias oulacioais A hiótese ula ) de que as médias oulacioais são iguais ode ser escrita da seguite forma a a a
Valores Amostrais Estamos iteressados em comarar duas oulações com relação às suas médias. Os dados amostrais odem ser ideedetes ou deedetes. Cada caso orteia a formulação do teste. eedetes amostras Variâcias cohecidas Ideedetes Variâcias descohecidas Variâcias iguais Variâcias diferetes
Noções de eedêcia e Ideedêcia de amostras Vamos cotextualizar amostras deedetes e ideedetes da seguite forma Amostras Ideedetes quado os elemetos das amostras rovêm de idivíduos distitos diferetes) Amostras eedetes quado os elemetos das amostras rovêm dos mesmos idivíduos.
Amostras deedetes teste t - areado) Pg. 3, ex. Para se avaliar o ível de tesão ocasioado or exames escolares, doze aluos foram escolhidos e sua ulsação medida ates e deois do exame. Faça um teste, com ível de sigificâcia de % ara verificar se existe maior tesão isto é, maior ulsação) ates da realização dos exames. Idique as suosições ecessárias. Istate da Estudate medição 3 4 5 6 7 8 9 média desvio Ates 87 78 85 93 76 8 8 77 9 74 76 79 8.5 6. eois 83 84 79 88 75 8 74 7 78 73 76 7 77.75 5.4 A - 4-6 6 5-8 6 3 8 3.75 5.5
Teste Teste t-areado areado No caso de amostras areadas, em cada uidade amostral idivíduo), é realizado duas medições da característica de iteresse. Em geral, essas observações corresodem a medidas tomadas ates i ) e aós Y i ) à iterveção. O teste etão se reduz ao de uma úica amostra, a da difereça etre observações. Y ), ~ N σ i i i Y ), ~ i N σ a ) i i T
aula_exemlo.xls
aula_exemlo.xls Teste-t duas amostras em ar ara médias Ates eois Média 8.5 77.75 Variâcia 38.45455 9.9545 Observações Correlação de Pearso.69733 iótese da difereça de m gl tat t.57366 PT<t) ui-caudal.94 t crítico ui-caudal.795884 PT<t) bi-caudal.5883 t crítico bi-caudal.986
Pg. 344, exercício Num rograma de dimiuição da oluição soora em cidades grades, realizou-se uma camaha educativa durate meses. Verifique se a camaha surtiu efeito ao ível de sigificâcia de 4%. Potos da Cidade 3 4 5 6 7 8 9 média desvio Ates 3 44 56 34 5 67 3 73 58 4.4 9.88 eois 3 45 35 6 5 3 57 46 35.5 3.9 A - 4 - - 7-6 6.9 7.75
Comaração de Proorções Comaração de Proorções a ob o ) ), ~ N Z
Itrodução à Bioestatística Comaração de uas Médias Amostras Ideedetes Erico A. Colosimo eto. Estatística UFMG htt//www.est.ufmg.br/~ericoc/
Comaração de duas médias a as as médias médias oulacioais oulacioais são iguais ão são iguais a a a ) ou ~ N, σ ) Este é o caso geérico
Amostras Ideedetes, variâcias Amostras Ideedetes, variâcias iguais e descohecidas iguais e descohecidas, ~ N σ σ ) ) )] [ s x x t / variâcias iguais / variâcias iguais ) ) ~ t
Amostras Ideedetes Amostras Ideedetes Variâcias iguais e descohecidas Variâcias iguais e descohecidas ) ) x x x x s i j j i ) ) s s s gl - ou
Pg. 34 exercício 3 O desemeho em duas classes de Estatística está sedo comarado através do resultados dos dez melhores aluos de cada turma. A artir dos dados é ossível dizer que as duas classes têm o mesmo desemeho? Utilize α %. Notas Classe 3 4 5 6 7 8 9 Média esvio I 8.5 7.5 7 6.5 8.5 9.5 9 9 8.5 8.4. II 7 7.5 8.5 9.5 9 8.5 8 8.5 9.5 9.5 8.55.864 I - II.5. -.5-3. -.5...5 -..5 -.5.375 ν 7.4 aula3_exemlo.xls
Amostras Ideedetes com Amostras Ideedetes com Variâcias escohecidas e iferetes Variâcias escohecidas e iferetes σ Graus de liberdade Graus de liberdade ν σ ), ) t FR O ± ν α
Pg. 33 exercício 5 Para comarar as médias de duas oulações Normais, amostras aleatórias foram obtidas. abe-se que as variâcia oulacioais são diferetes, sedo seus valores descohecidos. O que ode ser dito a reseito das médias das oulações, com α,5. Amostra I 7 9 3 8 5 9 Amostra II 7 5 5 9 6 8
Pg. 8 exercício 5 &. ezeove criaças com diagóstico de AI foram searadas em dois gruos de acordo com a suscetibilidade à droga. Cosidera-se suscetível quado o vírus IV é iibido or cocetração de zidovudia AZT) meor que, g/l e resistete quado a iibição exige ível acima de g/l. A duração em meses da teraia com AZT relatada or Ogio 993) é mostrada a seguir Existe difereça sigificativa etre os dois gruos o que diz reseito ao temo de teraia com AZT? formule a hiótese de iteresse e teste-a ao ível de sigificâcia de 5%. Calcule o valor- e iterrete-o. uscetíveis Resistetes ) 9) 9 7 4 5 8 4 5 7 3 3 3 3 9 aula3_exemlo.xls
Comaração de Proorções Comaração de Proorções a c c ob o a ± ) ) Z FR O γ
Pg. 34 exercício A sequêcia de oerações executadas or um oerário ara realizar uma certa tarefa está sedo estudada. Para tato, 9 oerários foram sorteados e mediu-se o temo ecessário, em miutos, ara que cada um realizasse a tarefa, com os dois tios de sequêcias. uoha e o modelo Normal é adequado e baseado-se os dados forecidos, você diria que houve dimiuição o temo médio ara a realização da tarefa? Use α 5%. Oerário 3 4 5 6 7 8 9 Atual 4 5 7 3 8 6 8 9 Nova 3 8 7 4 6 5 3
Pg. 34 exercício 3 O desemeho em duas classes de Estatística está sedo comarado através do resultados dos dez melhores aluos de cada turma. A artir dos dados é ossível dizer que as duas classes têm o mesmo desemeho? Utilize α %. Classe Notas I 8,5 7,5 7, 6,5 8,5 9,5 9, 9, 8,5, II 7, 7,5 8,5 9,5 9, 8,5 8, 8,5 9,5 9,5
Pg. 345 exercício eseja-se comarar o temo de recueração ós-oeratória ara duas técicas cirúrgicas. Pacietes oerados, segudo cada uma das técicas, foram selecioado aleatoriamete e seu temo de recueração, em dias, registrado. Todos os acietes aresetavam o mesmo estado de saúde ates da cirurgia. Verifique se a Técica é mais eficiete com relação ao temo médio de recueração. Use α 5%. Técica 4 4 5 6 6 Técica 6 6 7 7 8
Pg. 346 exercício 7 Pacietes resolveram rocessar a clíica de emagrecimeto Liha Fia sob a alegação de que o tratameto emregado ão cotribuiu ara a dimiuição do eso. O advogado de defesa cotratou um estatístico que selecioou, aleatoriamete, rotuários que cotiham iformação a reseito dos esos dos acietes, tomados o iício e o fial do tratameto. Os dados obtidos foram em kg). Verifique se a alegação é verdadeira, use α 5%. Número do aciete 3 4 5 6 7 8 9 Iício 8 4 94 6 7 8 58 78 84 Fial 78 95 87 6 7 8 94 65 78 8
Tabela 9. g 39, Magalhães & de Lima) Tabela 9. g 39, Magalhães & de Lima) Amostras Pareadas Amostras Ideedetes Variâcias cohecidas i i ) i i ) ~ t Y ) VAR Y σ σ,) ~ N Y σ σ Amostras Ideedetes Variâcias descohecidas e iguais Amostras Ideedetes Variâcias descohecidas e diferetes Y Y ) ) ) ) Y c ) ) ~ c t Y Y σ ) ~ ν t Y ) ) ) Y Y ν