89 9.3.10 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS De acordo com sua posição no espaço, um plano e uma reta podem ser: paralelos, concorrentes ou a reta pode estar contida no plano. Reta Paralela a Plano Uma reta r é paralela a um plano α quando é paralela a uma das retas desse plano. Se o plano α for vertical, a reta r será paralela ao plano α se sua projeção r for paralela ao traço α π. Se o plano α for horizontal, a reta r é paralela a α quando for paralela a uma das horizontais de α e possuir cota diferente da cota do plano. EXERCÍCIO Conduzir pelo ponto P, uma reta r, paralela ao plano α, definido pelos pontos A, B e C. A(10, 10, 20) B(70, 30, 50) C(40, 80, -10) P(60, 10, 30). Reta concorrente com plano Uma reta concorrente a um plano pode ser: Perpendicular ao plano; Oblíqua ao plano.
90 a) Reta Oblíqua ao plano Definição: Uma reta é oblíqua a um plano, quando forma com o mesmo, ângulo diferente de 0 o ou 90º. b) Reta perpendicular a plano Se r é uma reta vertical, então qualquer plano α horizontal é perpendicular à reta; Se r é uma reta horizontal, então um plano α, perpendicular a esta reta, é vertical e α π é perpendicular à r ; Se a reta r é qualquer, então um plano α, perpendicular à reta r, é qualquer e é perpendicular às retas de declive do plano α. Para que a reta r seja perpendicular ao plano α é necessário e suficiente que suas escalas de declive estejam situadas em retas paralelas, que seus intervalos sejam inversos um do outro e que as graduações das escalas de declive cresçam em sentidos opostos. EXERCÍCIO Conduzir pelo ponto P(100, 30, 40) uma reta r, perpendicular ao plano α (A, B, C). Onde A(0, 70, 10), B(80, 80, 50) e C(70, 0, 25)
91 9.4 PROBLEMAS FUNDAMENTAIS DE POSIÇÃO Os problemas fundamentais de posição são: O ponto definido por uma reta e um plano; A reta definida por dois pontos; O plano definido por um ponto e uma reta; A reta definida por dois planos. 9.4.1 O PONTO DEFINIDO POR UMA RETA E UM PLANO Um ponto pode ser definido pela interseção de uma reta e um plano não paralelos. Para determinar o traço de uma reta r sobre um plano α, considera-se um plano auxiliarβ pertencente à reta r, determina-se então a reta αβ, interseção do plano α com o planoβ. O traço da reta r sobre a reta αβ é o ponto (r αβ ), comum à reta r e ao plano α. Em geral o plano auxiliarβ é o plano projetante da reta r. β r rαβ αβ α
92 EXERCÍCIOS 1) Dado o plano α pelos pontos A(0,60,20), B(30,0,30) e C(70,50,70), determinar o traço da reta r (D, E), onde D(0,40,90) e E(70,30,10) sobre o mesmo. 2) Dado o plano α, por sua reta de declive d(a,b), determinar o traço da reta r(c, D) sobre o mesmo. Onde A(10,10,10), B(40,30,50), C(70,10,20) e D(50,20,40). 9.4.2 A RETA DEFINIDA POR DOIS PLANOS Uma reta pode ser definida por dois planos. Problema: Sejam os planos α e β distintos, determinar a reta αβ. a) Se os planos α e β são verticais e não paralelos, então a reta αβ é uma reta vertical e ( αβ ) é a interseção de απ com βπ. b) Se o plano α é vertical e o plano β é qualquer, a reta αβ é uma reta qualquer e ( ) αβ απ. c) Se os planos α e β são quaisquer, a reta αβ é uma reta qualquer. EXERCÍCIOS 1) Representar a projeção cotada da reta αβ, interseção dos planos α (A, B, C) e β (D, E, F). Onde: A(0, 40,70), B(80, 80, 30), C(50, 0, 10), D(20, 90, 20), E(-10, 10,40) e F(70, 20, 30) 2) Representar a projeção cotada da reta αβ, interseção dos planos α (d α ) e β (d β ). Onde: A(20, 20, 40), B(40, 50, 70), C(70, 10, 10), D(50, 40, 50)
93 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 01. Determinar a VG, a inclinação, o módulo e o declive do segmento AB A ( 0, 0, -2 ) B ( 5, 6, 4 ) 02. O segmento AB tem inclinação de 45º AH e mede 5 cm: Determinar a cota do ponto B, a VG, a inclinação e o módulo do segmento AB. A ( 1, 3, 2 ) B ( 5, 6, ) 03. Conhecendo as coordenadas pontos A e B, determinar: VG do segmento AB: As projeção do ponto P pertencente à reta AB; O ângulo do segmento AB com o π1 ( plano horizontal de projeção); Completar as coordenadas do ponto P Dados: A ( 0. 5, 0 ) B ( 4, 2, 7 ) P(,, 6) 04. Determinar a VG do triângulo ABC contido no plano vertical com inclinação de 60ª H. A ( 0; 1; 1 ) B ( 4,, 5 ) C ( 5,, 2 ) 05. Determinar a VG do triângulo ABC. A ( 0, 3, 1 ) B ( 3, 1, 0 ) C ( 4, 3, 3 ) 06. Determinar a VG do triângulo ABC. A ( 0, 6, 0 ) B ( 5, 3, 3 ) C ( 3, 0, 6 ) 07. Dados: Plano α(a, B, C). Pede-se: a reta de declive do plano (d α) e o intervalo do mesmo, sabendo que ele forma um ângulo de 30º com o plano de projeção (π ). A (5, 0, 2,0) B (6, 6, 2,0) C (0, 5,? )
94 08. Dados: as projeções cotadas das retas r(a, B) e s(c, D). Pede-se: a intersecção (αβ) dos dois planos, sabendo-se que: - as retas r e s pertencem aos planos α e β, respectivamente; - o plano (α) faz um ângulo de 30º com o plano de projeção (π ); - o plano (β) também faz um ângulo de 30º com o plano de projeção (π ). A (1, 6) 3,0 B (6, 1) 3,0 C (6, 6) 3,0 D (11, 11) 3,0 09. Dados os planos α(a, B, C) e β definido pelo seu traço βπ (M, N). Pede-se: a) a graduação da reta (αβ) intersecção dos dois planos; b) indicar o ângulo (θ) que esta faz com o plano de projeção (π ). A (9, 6) -1,0 B (-3, -3) 3,2 C (0, 8) 7,0 M (0, 3) 0,0 N (13, 0) 0,0 10. Dados: plano α definido pela sua reta de declive d α(a, B) e a reta r(c, D). Pedese: determinar o ponto onde a reta r fura o plano α. A (2, 0) 1,0 B (0, 5.5) 4,0 C (5.5, 1) 1,0 D (6.5, 5.5) 5,0 11. Dados os planos α(a, B, C) e a reta m(m, N). Pede-se: a projeção do ponto onde a reta m fura o plano α. A (0; 4,9) 2,0 B (2,5; 0) 3,0 C (5,8; 4.0) 7,0 M (0; 3,3) 9,1 N (5,8; 1,4) 1,0 12. Dados os planos α(a, B, C) e β(e, F, G). Pede-se: a intersecção dos dois planos (αβ). A (0, 8) 1,7 B (11, 10) 6,2 C (6, -2) -1,0 D (3, 11) -1,0 E (-2, 4) 2,0 F (12, 2) 7,0 13. Determinar a VG, a inclinação e o declive do segmento AB A ( 0, 0, -2 ) B ( 5, 6, 4 )
95 14. O segmento AB tem inclinação de 45º AH e mede 5 cm. Determinar a cota do ponto B, a VG e a inclinação do segmento AB. A ( 1, 3, 2 ) B ( 5, 6,? ) 15. Conhecendo as coordenadas pontos A e B, determinar a VG do segmento AB, as projeção do ponto P pertencente à reta AB, o ângulo do segmento AB com o π e as coordenadas do ponto P. A ( 0. 5, 0 ) B ( 4, 2, 7 ) P(?,?, 6) 16. Dado o plano α(abc), encontrar as coordenadas do ponto P que pertence à reta de declive que passa pelo ponto D. A ( 0, 3, 1 ) B ( 3, 1, 0 ) C ( 4, 3, 3 ) D ( 2, 3, 2 ) P (?,?, 4 ) 17. Dado o segmento AB, determinar o plano que passa por AB e que forma um ângulo de 30 com π. A ( 3, 5, 6 ) B ( 7, 3, 2 ) 18. Dados os pontos A ( 0, 6, 0 ) D ( 4, 6, 2 ) G ( 3, 2, 6 ) B ( 5, 3, 3 ) E ( 1, 8, 5 ) H ( 3, 3, 2 ) C ( 3, 0, 6 ) F ( 5, 7, 5 ) I ( 1, 4, 5 ) Determine: a) Se o ponto E pertence ao plano CGI; b) Se o ponto H pertence ao plano ABD; c) A cota do ponto P ( 8, 5,? ) que pertence ao plano BCI; d) A reta de maior declive do plano BDF; e) As coordenadas dos pontos M ( 1,?,? ) e N ( 2,?,? ) da reta horizontal de cota 5 do plano que passa por DH e que forma um ângulo de 75 com π ; f) A declinação da reta de declive do plano BDH; g) A VG do triângulo DGQ, sabendo que o ponto Q ( 5,?,? ) pertence ao plano que passa por EF e forma ângulo de 60 com π ; h) O ângulo que o plano ADI forma com π ; i) O ângulo que o plano CEI forma com π ; j) O plano definido pela reta de declive AC.