Expressão Gráfica II EXPRESSÃOGRÁFICA. Departamento de. Unidade I - GEOMETRIA DESCRITIVA

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1 Expressão Gráfica II Unidade I - GEOMETRIA DESCRITIVA Departamento de EXPRESSÃOGRÁFICA Material elaborado por: Profª MSc.Andrea Faria Andrade Curitiba, PR / 2011

2 I Introdução A Geometria Descritiva (também denominada de Método Mongeano) foi desenvolvida pelo desenhista francês Gaspard Monge ( ), uma figura política do final do século XVIII e início do século XIX. Foi um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa e professor da Escola Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris, pode ser considerado o pai da geometria diferencial de curvas e superfícies do espaço. Definição: Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões. II Sistemas de Projeção Dizemos que uma figura F do espaço se projeta de um ponto C sobre um plano, que não contém o ponto C, quando determinamos, sobre o plano, as intersecções dos vários raios projetantes, determinados pelo centro de projeção C e pelos pontos da figura. C F F1' F ' ' F1 De acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção (finita ou no infinito), os sitemas de projeção classificam em: (a) sistema de projeção central (ou cônico); (b) sistema de projeção cilíndrico. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 1

3 Sistema de Projeções Cônico Este sistema de projeção é determinado pelo ponto C, centro de projeção (posição finita) e pelo plano de projeção. A figua F considerada é o triângulo ABC, cuja projeção sobre o plano, a partir do centro de projeção C, é o triângulo A B C, que é a figura F. O centro de projeção C, ocupando uma posição finita, as projetantes resultam convergentes, razão pela qual este sistema é denominado de sistema de projeção central ou cônica. C A F C B A' F' C' ' B' Sistema de Projeções Cilíndrico Este sistema de projeção é determinado por: a) uma direção de projeção ; b) um plano de projeção, não paralelo a direção. O centro de projeção C está situado no infinito (ponto impróprio) e as projetantes são as retas paralelas à direção. Podemos ter dois tipos de projeção cilíndrica: oblíqua (a) e ortogonal (b). Quando a direção das projetantes for perpendicular ao plano de projeções, o sistema é denominado cilíndrico ortogonal. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 2

4 III O método Mongeano O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção cilíndrico-ortogonal, onde dois planos, um horizontal e um vertical, se interceptam no espaço, sendo portanto, em função de suas posições, perpendiculares entre si. A intersecção desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra (). Esses planos determinam no espaço quatro diedros numerados no sentido anti-horário. Monge idealizou um sistema de projeções no qual um ponto P é representado por duas projeções, P e P, nos dois planos de projeções e, perpendiculares entre si (Figura XXXa). O plano (ou PH) é denominado de plano horizontal de projeções; e (ou PV) é denominado de plano vertical de projeções. Os pontos P e P projetam-se sobre a em um mesmo ponto, denotado de P 0. A linha de terra divide cada plano de projeções em dois semi-planos, conforme Figura XXXXa: PHA plano horizontal anterior; PHP - plano horizontal posterior; PVS - plano vertical superior, e; PVI - plano vertical inferior. Uma vez efetuada as projeções de P sobre e, fazemos um rebatimento do PH sobre o PV, até que ambos coincidam (rotação de 90 graus em torno da ). Desta forma, ambas as projeções do ponto P ficam no mesmo plano. O desenho assim obtido é denominado de épura. Na épura, as projeções de um ponto qualquer estão sobre uma reta perpendicular à linha de terra, chamada de linha de chamada. Na Figura XXXb temos a épura de um ponto P situado no 1o diedro. Em épura representamos um ponto através da sua abscissa, seu afastamento e sua cota. A abscissa é a distância de um plano considerado como origem que passa por (O), até a projeção do ponto na. A cota de um ponto P do espaço é a distância entre P e a sua projeção sobre o. Logo, a cota de P é igual a medida do segmento P P 0, uma vez que d(p, ) = d(p,p ) = d(p,p 0 ). GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 3

5 O afastamento de um ponto P do espaço é a distância entre P e plano. Logo, o afastamento de P é igual a medida do segmento P P 0, uma vez que d(p, ) = d(p,p ) = d(p,p 0 ). Exercício 01: Obter a épura dos pontos cujas coordenadas são dadas abaixo e identifique a sua posição o espaço. A (1, 5, 3), está no B (3, 1, -4), está no C (5, -2, -3), está no D (7, -5, 1), está no E (8, 0, 2), está no F (9, 4, 0), está no G (4, 0, 0), está no 0 GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 4

6 Exercício 02: Identifique a posição no espaço dos pontos cujas projeções são dadas abaixo: P, está no Q, está no R, está no S, está no T, está no U, está no V, está no IV Estudo da Reta Conceitualmente não possui espessura, só possui uma dimensão: sobre ela só podemos medir comprimentos. Pode ser definida por dois pontos. São indicadas por letras minúsculas e normalmente são utilizadas as últimas letras no nosso alfabeto: r, s, t, etc. Obtemos a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano, projetando-se dois pontos dessa reta sobre o plano. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 5

7 TIPOS DE RETAS Em geral, de acordo com sua posição em relação aos planos de projeção, as retas podem ser paralelas ou não aos planos de projeções e. Retas paralelas ao plano horizontal de projeções : 1) Reta Horizontal Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de projeção e inclinada em relação ao Plano Vertical de projeção. 2) Reta de Topo Essa reta é paralela ao PH e perpendicular ao PV. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 6

8 3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela à ) Essa reta é paralela ao PH e PV. Retas paralelas ao plano vertical de projeções : 1) Reta Frontal Essa reta é paralela ao Plano Vertical de projeção e inclinada ao Plano Vertical de projeção. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 7

9 2) Reta Vertical Essa reta é paralela ao PV e perpendicular ao PH. 3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela a ) (já visto anteriormente) Retas inclinadas em relação aos planos de projeções e : 1) Reta de Perfil A reta de perfil é toda aquela que se encontra situada num plano de perfil (plano perpendicular ao PH, PV e ainda à linha de terra, como pode ser visto na figura abaixo. Não se projeta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeção. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 8

10 2) Reta Qualquer A reta qualquer, por estar inclinada em relação aos planos de projeção PH e PV, não se projeta em verdadeira grandeza em nenhum desses planos. Exercício 01: Representar a reta r (vertical), pertencente a um ponto dado A(50, 30, 40)mm. Representar um ponto B pertencente a esta reta, tal que AB seja um segmento de 2cm. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 9

11 Exercício 02: Dada a reta a(a, B) e os pontos A(4, 1, 5) e B(4, 5, 2), pede-se: a) o comprimento em mm de AB; b) o ângulo que a reta faz com o PHP. Exercício 03: Representar a reta frontal f, pertencente a um ponto A(40, 15, 30) e que faz um ângulo de 45º com o plano horizontal de projeções. Representar o ponto B desta reta, tal que o segmento Ab seja de 20mm. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 10

12 TRAÇO DE RETAS Denomina-se traço de uma reta sobre um plano, o ponto em que essa reta intercepta ou fura este plano. Traço Horizontal É o ponto onde a reta intercepta o plano horizontal de projeções. Possui cota=0. Traço Vertical É o ponto onde a reta intercepta o plano vertical de projeções. Possui afastamento=0. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 11

13 Exercício 01: Representar a épura das retas a(a, B), b(c, D), c(e, F), defini-las quanto a posição no espaço, seus nomes e obter as projeções dos seus traços. A(4, 1, 2) B(4, 4, 2) C(1, 2, 1) D(4, 2, 3) E(-3, -2, -2) F(0, -2, 3) GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 12

14 Exercício 02: Dada a reta de perfil p(p, Q), encontrar as projeções dos traços horizontal e vertical da reta. P(0, 3, 1) Q(?, 1, 3). Exercícios Propostos Exercício 1: Dada a reta AB A(0, -20, -10)mm B(60, 20, 25)mm, pede-se: a) sua posição no espaço; b) os traços horizontal e vertical da reta. Exercício 2: Dada a reta CD C(10, 20, 10)mm D(40, 10, 30)mm, pede-se: a) sua posição no espaço; b) os traços horizontal e vertical da reta. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 13

15 PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA Condição: Para um ponto pertencer a uma reta, ele deve ter suas projeções sobre as projeções de mesmo nome da reta. OBS. Esta condição não vale para a reta de perfil! Exercício 01: Obter as projeções do ponto P, que pertence à reta qualquer dada abaixo, sabendo que o mesmo possui cota=2. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 14

16 Exercício 02: Verificar se o ponto A pertence à reta de perfil EF. E(4, 1, 5) F( 4, 5, 2) A(4, 4, 4) Exercício 03: Obter as projeções do ponto B, que pertence à reta EF do exercício anterior, e tem cota =3cm. B(?,?, 3) GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 15

17 V Métodos Descritivos A solução de um problema pode ser facilitada quando pelo menos um de seus elementos ocupa uma posição particular (seja paralelo a um dos planos de projeção). Para que, no método mongeano (dupla projeção ortogonal) uma figura ou objeto ocupe uma posição desejada podemos recorrer a artifícios que visem deslocar a figura (ou objeto) ou deslocar o sistema de representação adotado. A estes artifícios denominamos, genericamente, de métodos descritivos, que são: Rotação - rotação - mudança de planos de projeção. Quando conservamos o sistema de representação adotado e giramos a figura (ou objeto), em torno de um eixo. Mudança de Planos de Projeção Quando a figura (ou objeto) é conservada e um dos planos de projeção (ou ambos) são substituídos, mantendo a ortogonalidade entre eles. Quando um objeto possui uma face inclinada em relação aos planos principais de projeção, esta face não aparece em verdadeira grandeza. Para obter a verdadeira grandeza desta face, é preciso projetá-la em um plano auxiliar que lhe seja paralelo. Para isso, é preciso mudar a posição de um dos planos de projeção, plano horizontal de projeção ou plano vertical de projeção, ou os dois; um após o outro; de forma que fique paralelo à face inclinada. Assim o objeto permanece fixo e os planos de projeção mudam de posição. Fonte: adaptado de Barison. Disponível em: < GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 16

18 Exercício 01: Obter a verdadeira grandeza (VG) da reta qualquer dada abaixo: a) utilizando o método da rotação. b) pelo método da mudança de planos. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 17

19 Exercício 03: Tornar vertical a reta qualquer dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção. Exercício 01: Exercícios Propostos Submeter a reta qualquer dada ao processo de mudança de planos de projeção, de modo a torná-la uma reta fronto-horizontal. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 18

20 Exercício 02: Dada a reta PQ = qualquer pede-se obter a distância em mm entre os pontos P e Q, utilizando o método da mudança de planos de projeção. P(10, 70, 20) Q(80, 10, 50) Exercício 03: Obter as projeções do ponto A, que pertence a reta do exercício anterior, e tem cota=3cm. Exercício 04: Tornar de topo a reta qualquer dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 19

21 Quando COPLANARES podem ser: Podem pertencer ao mesmo plano: VI Posições Relativas de duas Retas Ou as retas podem pertencer a planos distintos: Quando NÃO COPLANARES podem ser: Retas PARALELAS Duas retas coplanares, que não possuem ponto comum são denominadas, retas paralelas. Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projeções paralelas. Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: OBS. Estas condições não valem para a reta de perfil! GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 20

22 Exercício 01: Dados: reta r(p, Q) e ponto A. Pede-se: conduzir pelo ponto A, uma reta s(a, B) que seja paralela à reta r. Resolver o exercício utilizando duas soluções: - pelo processo da rotação; - apoiando duas retas auxiliares concorrentes. Q" P" A" Q' A' P' Q" P" A" Q' A' P' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 21

23 Exercício 02: Dados: reta r(a, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PARALELA à reta r. A" B" P" A' P' B' Exercício 01: Exercícios Propostos Dados: reta r(e, F) e ponto H. Pede-se: conduzir pelo ponto H, uma reta s(h, I) que seja paralela à reta r, e tenha 3cm. Resolver o exercício utilizando o processo da MUDANÇA DE PLANOS. E" F" H" E' H' F' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 22

24 Exercício 02: Dados: pontos A, B e C. Pede-se: encontrar as projeções do paralelogramo ABCD. C" A" B" B' C' A' Retas CONCORRENTES Duas retas coplanares que possuem um único ponto comum são denominadas concorrentes ou incidentes. Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projeções concorrentes. Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: OBS. Esta condição não vale para quando uma das retas é a reta de perfil! GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 23

25 Exercício 01: Dados: retas r(a, B) e s(b, C), e o ponto F. Pede-se: pelo ponto F, inserir uma reta f (F, G) = (FRONTAL) que seja concorrente às retas r e s. Obter a segunda projeção do ponto F, ou seja, e o valor da sua cota. C" A" B" B' A' F' C' Exercício 02: Dados: reta r(a, B)=de perfil, reta s(c, D). Pede-se: verificar se as retas r e s são concorrentes. A" D" C" B" A' D' C' B' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 24

26 Exercícios Propostos Exercício 01: Obter as projeções da reta HORIZONTAL (AB), apoiada nas retas FRONTAIS paralelas (MN) e (PQ). A(6, 3,?) B(10,?,?) M(3, 2, 1) N(9,?, 8) P(7, 5, 2) Q(11,?,?) N" M" P" M' A' P' Exercício 02: Obter as projeções das retas AB e CD CONCORRENTES, e obter as projeções dos TRAÇOS (horizontal e vertical) de cada uma das retas. A(-25, 10, 30) B(60, -20, -20) C(60, 15, 30) D(0,?, -40) Exercício 03: Conhecida a projeção horizontal da reta AB e a projeção vertical do ponto A, determinar a projeção vertical da reta, sabendo-se que o outro ponto pertence a uma reta de perfil FG. A(-10, 50, 30) B(50, 15,?) F(?, 30, -30) G(?, -20, 35) GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 25

27 Retas REVERSAS Duas retas são reversas quando não possuírem ponto comum e não forem paralelas; portanto, poderemos identificá-las por exclusão, ou observando os dois casos abaixo. Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: Retas COINCIDENTES Duas retas são coincidentes quando suas projeções de mesmo nome se confundem. Na prática, é uma única reta com dois nomes. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 26

28 Retas PERPENDICULARES/ORTOGONAIS Teorema de Monge: "Quando duas retas são perpendiculares entre si no espaço, sendo uma delas paralela a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as projeções destas duas retas sobre o plano são perpendiculares entre si. Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: Observação: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço (casos particulares de retas concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblíquas a um plano dado, serão identificadas como tal, quando da aplicação de métodos descritivos, que envolvem conteúdos avançados; mas por hora poderemos identificá-las como concorrentes ou reversas (FERREIRA, E. N.). GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 27

29 Exercício 01: Dados: reta r(a, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PERPENDICULAR à reta r. A" B" P" A' P' Exercício 02: Obter a distância do ponto P a reta AB, em cm, do exercício anterior. B' Exercício 03: Dados: reta a(a, B) e o ponto P. Pede-se obter pelo ponto P, uma reta PERPENDICULAR à reta a. P" B" A" B' P' A' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 28

30 Exercício 04: Dados: reta a, e um ponto P. Pede-se conduzir pelo ponto P, uma reta ORTOGONAL a reta dada. Obter as 3 soluções possíveis. P" P" a" a" a' P' a' P' P" a" a' P' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 29

31 Exercício 01: Exercício Proposto Dados: reta r(p, Q) e o ponto A. Pede-se conduzir pelo ponto A, uma reta DE PERFIL que seja ORTOGONAL a reta dada. Utilizar o método da mudança de planos para resolver o problema. P(5, 1, 6) Q(5, 7, 1) A(1, 2, 1 ) GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 30

32 VII Estudo do Plano O plano tem duas dimensões: sobre ele podemos medir comprimentos e larguras. Elementos Definidores Um plano pode ser definido por: a) três pontos não colineares b) Uma reta e um ponto fora dela c) Duas retas paralelas GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 31

33 d) Duas retas concorrentes e) Pelos seus TRAÇOS: Horizontal e Vertical Tipos de Planos Grupo 1 - Grupo dos planos que são paralelos a um dos planos de projeção, e conseqüentemente, perpendiculares (projetantes) aos outros dois. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 32

34 Grupo 2 - Grupo dos planos que são perpendiculares a somente um dos planos de projeção, e conseqüentemente, oblíquos aos outros dois. Grupo 3 - Grupo dos planos que são oblíquos aos três planos de projeção, conseqüentemente, jamais será paralelo ou perpendicular a qualquer um dos planos de projeção. 1 Plano HORIZONTAL Retas do plano: - horizontal - // a - de topo GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 33

35 Épura: ( ") B" A" C" ( ") A' B' VG C' 2 Plano FRONTAL Retas do plano: Épura: - frontal - // a - vertical v" A" VG B" C" ( ') B' v' A' C' ( ') GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 34

36 3 Plano DE PERFIL Retas do plano: Épura: - de perfil - de topo - vertical ( ") ( ') VG através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 35

37 4 Plano VERTICAL Retas do plano: Épura: - vertical - qualquer - horizontal A" B" C" ( ") B' ( ') A' C' ( ') VG através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 36

38 5 Plano DE TOPO Retas do plano: Épura: - frontal - de topo - qualquer C" ( ") ( ") A" B" A' ( ') B' C' VG através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 37

39 6 Plano PARALELO À Retas do plano: - // à - de perfil - qualquer Épura: ( ") ( ") A" B" C" A' ( ') B' ( ') C' VG através da utilização dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudança de planos de projeção. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 38

40 7 Plano QUALQUER Retas do plano: - qualquer - de perfil - horizontal - frontal Épura: ( ") ( ") B" A" C" A' C' B' ( ') ( ') VG através da utilização dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudança de planos de projeção. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 39

41 Exercício 01: VIII Construção de Figuras Planas Dados: um plano (A, B, C) = Horizontal. Pede-se: as projeções do triângulo eqüilátero ABD pertencente ao plano. Sabe-se que o ponto D é o de maior abscissa possível. A" B" C" A' C' Exercício 02: Obter as projeções de um quadrado ABCD pertencente a um plano de perfil, definido pelos pontos ABR, utilizando-se do método de mudança de planos de projeção. Sabe-se que os pontos C e D possuem as maiores cotas possíveis. B" B' A" R" A' B' R' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 40

42 Exercício 03: Transformar o plano DE TOPO, definido pelos pontos ABC, em um plano HORIZONTAL, utilizando-se do método da rotação. A" B" B' C" C' A' Exercício 04: Obtenha as projeções de um quadrado ABCD, inscrito na circunferência que contém os pontos P, Q e R. Um dos vértices do quadrado coincide com o ponto Q, e o plano PQR corresponde a um plano DE TOPO. P" Q' R" P' R' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 41

43 Exercício 05: Obter as projeções de um triângulo eqüilátero ABF, pertencente a um plano QUALQUER, definido pelos pontos ABC, utilizando-se do método da dupla mudança de planos de projeção. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 42

44 Exercício 01: Exercícios Propostos Dados: um plano (A, B, C) = Vertical. Pede-se: as projeções do triângulo eqüilátero PQR inscrito na circunferência que passa pelos pontos A, B e C. Sabe-se que o ponto Q coincide com o ponto A. A(1, 7, 2) B(5,?, 7) C(8, 1, 4) Exercício 02: Obter a verdadeira grandeza (VG) do triângulo ISÓSCELES contido em um plano VERTICAL, utilizando o método da mudança de planos de projeção. A(1, 4, 1) B(4, 1, 4) Exercício 03: Determinar as projeções de um quadrado ABCD, situado em um plano DE TOPO, tendo o vértice A pertencente ao plano vertical de projeções. Sabe-se que o plano está inclinado de 45º em relação ao plano horizontal de projeções ( ), e que a diagonal do quadrado mede 6cm. Utilizar o método da mudança de planos de projeção na solução do exercício. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 43

45 VIII Rebatimento de Plano O rebatimento é um método particular da Rotação de um plano onde uma de suas retas serve como eixo. Esta reta é denominada de eixo de rebatimento ou charneira (ch). Rebater um plano é fazer girar em torno de uma de suas retas, até que o mesmo fique paralelo ou coincidente a um dos planos principais de projeção. A figura abaixo representa o rebatimento de um plano genérico sobre o plano horizontal de projeção. Observa-se que: a) O ponto A descreve uma circunferência cujo plano é perpendicular à charneira e cujo raio é à distância ao ponto rebatido A 1, denominado de raio de rebatimento ; b) A 1ª projeção do ponto A (A ) e o ponto rebatido (A 1 ) estão em uma perpendicular à charneira; c) O raio de rebatimento é a hipotenusa do triângulo de rebatimento, em que um dos catetos é a distância da 1ª projeção do ponto A (A ) ao eixo, e o outro cateto a distância do ponto A ao plano horizontal de projeções; d) Pontos pertencentes ao eixo de rebatimento não mudam de posição. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 44

46 COTA COTA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Rebatimento do Plano genérico ou qualquer: " ( ") B B " ( ') r " B' H " r ' ' B'1 r '1 = vg H=H'=H'1 r eixo (charneira) B " r " B0 H " =eixo " B ' r ' B'1 r'1 = vg H ' eixo ' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 45

47 Exercício 01: Obtenha a verdadeira grandeza (VG) do triângulo ABC, utilizando o processo do rebatimento (pelo triângulo de rebatimento). B " A " C " B ' A ' C ' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 46

48 Exercício 02: Dados: a reta r (R, S), e o ponto P fora dela. Pede-se: as projeções de um quadrado com um lado apoiado na reta r, e um vértice no ponto P. R (3, 4, 0) S (11, 8, 4) P (8, 9, 7) P " S " R " R ' P ' S ' GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 47

49 Exercício 01: Exercícios Propostos Dado o plano (A, B, C). Obter as projeções de um triângulo ABD, assim como a sua verdadeira grandeza. Sabe-se que o ponto D é o de maior abscissa. A(20, 20, 10) B(50, 0, 40) C(86, 40, 0) Exercício 02: Dado o plano (A, B, C), pede-se as projeções do quadrado inscrito na circunferência que passa pelos pontos dados, sabendo que um dos seus vértices é o ponto B. A(40, 60, 30) B(70, 10, 10) C(110, 40, 20) GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 48

50 IX Projeção de Poliedros Poliedros são sólidos com faces planas. São classificados em regulares e irregulares. Regulares quando todas as suas faces são constituídas por polígonos regulares e iguais. - Tetraedro 4 triângulos eqüiláteros regulares - Hexaedro (cubo) 6 quadrados - Octaedro 8 triângulos eqüiláteros - Dodecaedro 12 pentágonos - Icosaedro 20 triângulos eqüiláteros Irregulares - Prismas: arestas laterais paralelas. Podem ser retos ou oblíquos. - Pirâmides: arestas laterais se encontram em um ponto. Podem ser retas ou oblíquas. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 49

51 Retas perpendiculares aos planos Plano Frontal Vertical Plano de Perfil Horizontal Paralelo a Qualquer Reta perpendicular Reta de topo Horizontal Fronto-horizontal Vertical Reta de perfil Qualquer Exercício 01: Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3, 1) B( 4, 4, 1) a) Base ABC, pertencente a um plano horizontal; b) Altura=5cm; c) Vértice C com menor afastamento possível. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 50

52 Exercício 02: Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3,?) B( 4, 4, 1) a) Base ABC, pertencente a um plano de topo, inclinado de 30º no sentido horário; b) Altura=5cm; c) Vértice C com menor afastamento possível. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 51

53 Exercício 03: Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 4, 3, 4) B( 4, 4, 1) a) Base ABC, pertencente a um plano de perfil; b) Altura=5cm; c) Vértice C com menor afastamento possível. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 52

54 Exercício 04: Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 5, 1) B( 3, 2, 4) a) Vértice C com a maior cota possível; b) Altura=5cm; c) A face oposta à ABC, deverá ter o maior afastamento possível. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 53

55 Exercício 05: Obter as projeções de um hexaedro ABCDEFGH, sabendo-se que as faces adjacentes à aresta AB dada, estão inclinadas de 30º em relação ao plano horizontal de projeções. A(10, 10, 10) B(30, 35, 10)mm GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 54

56 Exercício 01: Exercícios Propostos Determinar as projeções de uma pirâmide de base triangular, apoiada no plano horizontal de projeções, e tendo uma das arestas da base perpendicular ao plano vertical de projeções. Dados: altura = 4cm; aresta= 3cm. A (3, 1, 1) Exercício 02: Determinar as projeções de um hexaedro com uma face ABCD horizontal. A(2, 1, 1) B(6, 4, 1). Exercício 03: Determinar as projeções de um prisma triangular regular, sabendo que: A(3, 3, 2) B(6, 1, 5) a) Sua base ABC pertence a um plano paralelo a ; b) Altura=5cm; c) A face oposta à ABC, deverá ter o maior cota possível. Exercício 04: Determinar as projeções do octaedro regular ABCDEF, sabendo-se que: A(5, 5, 1) B(5, 5, 6) a) O segmento AB é a diagonal do octaedro; b) Outra das diagonais está inclinada de 60º em relação ao plano vertical de projeções. X Seções Planas em Poliedros As seções planas em sólidos são dadas pela intersecção entre um sólido e um plano gerando um elemento geométrico plano fechado (polígono) podendo este em épura ter ou não verdadeira grandeza (VG). GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 55

57 Exercício 01: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar as projeções e hachurar a VG da seção plana produzida no mesmo por um plano de tôpo que contém a reta r. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 57

58 Exercício 02: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar as projeções e hachurar a VG da seção plana produzida no mesmo por um plano vertical que contém a reta r. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 58

59 Exercício 03: Dadas Dadas as projeções mongeanas dos sólidos abaixo representadas, pede-se achar as projeções mongeanas da seção plana produzida nos mesmos pelos planos de tôpo que contém a reta r e de tôpo que contém a reta s. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 59

60 Exercício 04: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar e hachurar a VG da seção plana produzida no mesmo por um plano frontal. GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 60