n. 11 Argumentos e Regras de Inferência

n. 11 Argumentos e Regras de Inferência A lógica formal lida com um tipo particular de argumento, denominado de argumento dedutivo, que nos permite deduzir uma conclusão Q, com base num conjunto de proposições P 1, P 2, P 3,, P n as quais representam fórmulas inteiras bemformadas da lógica proposicional (e não apenas proposições simples). Cabe à lógica matemática instituir os métodos e técnicas que possibilitem avaliar a legitimidade de quaisquer que sejam os raciocínios que possam ser formalizados segundo os pressupostos do cálculo proposicional. Tais métodos e técnicas constituem a base da teoria da argumentação à qual é condição necessária e suficiente para se estabelecer as regras de validade na chamada Análise Inferencial. ARGUMENTO Chama-se argumento toda afirmação de que uma dada sequência finita de proposições P 1, P 2, P 3,, P n tem como consequência uma proposição final Q. As proposições P 1, P 2, P 3,, P n são chamadas de premissas do argumento, ou hipóteses e a proposição final Q chama-se conclusão do argumento. Um argumento de premissas P 1, P 2, P 3,, P n e de conclusão Q é indicado de forma simbólica por P 1, P 2, P 3,, P n Q

O símbolo é chamado traço de asserção, ele afirma que se a proposição Q, à sua direita, pode ser deduzido utilizando como premissas somente as proposições que estão à sua esquerda: P 1, P 2, P 3,, P n. Formas de leitura: i. P 1, P 2, P 3,, P n acarretam Q ii. Q decorre de P 1, P 2, P 3,, P n iii. Q se deduz de P 1, P 2, P 3,, P n iv. Q se infere de P 1, P 2, P 3,, P n Um argumento de premissas P 1, P 2, P 3,, P n e conclusão Q pode também ser indicado através da forma: P 1 P 2 P n Q Argumentos Válidos Def.: Um argumento P 1, P 2, P 3,, P n Q diz-se válido se e somente se, a conclusão Q é verdadeira, todas as vezes que as premissas forem verdadeiras.

Portanto, todo argumento válido goza das seguintes propriedades A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Um argumento não válido é chamado de sofisma (ou falácia). A lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou falsidade das premissas e das conclusões. CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO Teorema: Um argumento P 1, P 2, P 3,, P n Q é válido se, e somente se a condicional (P 1 P 2 P 3 P n ) Q for tautológica. Dem. As premissas P 1, P 2, P 3,, P n são todas verdadeiras se e somente se a proposição (P 1 P 2 P 3 P n ) é verdadeira. Logo, o argumento P 1, P 2, P 3,, P n Q é válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que a proposição P 1, P 2, P 3,, P n é verdadeira, ou seja, se e somente se a proposição (P 1 P 2 P 3 P n ) implica logicamente a conclusão Q. (P 1 P 2 P 3 P n ) Q Ou, o que é equivalente a condicional ser tautológica. A validade de um argumento depende tão somente da relação existe entre as premissas e a conclusão. Logo, afirmar que

um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas forem verdadeiras. Por exemplo, do argumento válido p p q segue-se a validade dos argumentos: (~p r) (p r s) (~p r) (~s r) (p r s) (~r s) Pois, ambos tem a mesma forma de p p q. Portanto, a validade ou não-validade de um argumento depende apenas de sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade das proposições que o integram. A validade de um argumento pode ser verificada, demonstrada ou testada através das tabelas-verdade ou com o uso das regras de inferência. CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO Dado um argumento qualquer P 1, P 2,, P n Q a este argumento corresponde a condicional (P 1 P 2 P n ) Q, cujo antecedente é a conjunção das premissas e cujo consequente é a conclusão denominada condicional associada ao argumento dado. Reciprocamente, a toda condicional corresponde um argumento cujas premissas são as diferentes proposições cuja conjunção formam o antecedente e cuja conclusão é o consequente. Exemplificando:

A condicional associada ao argumento: p ~q, p ~r, q ~s ~(r s) É (p ~q) ( p ~r) (q ~s) ~(r s) E, o argumento correspondente à condicional: (p q r) ~s (q r s) (s p ~q) É p q r, ~s, q r s s p ~q ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente): I. Adição AD i. p p q ii. p q p II. Simplificação SIMP i. p q p ii. p q q III. Conjunção CONJ i. p, q p q ii. p, q q p IV. Absorção ABS p q p (p q ) V. Modus ponens MP p q, p q VI. Modus tollens MT p q, ~q ~ p VII. Silogismo Disjuntivo SD i. p q, ~p q ii. p q, ~q p VIII. Silogismo Hipotético SH p q, q r p r IX. Dilema Construtivo DC p q, r s, p r q s

X. Dilema Destrutivo DD p q, r s, ~q ~s ~p ~r Exercício 1. Verifique a validade dos argumentos fundamentais pela condicional associada: a. p p q b. p q p c. p q p d. p q q e. p, q p q f. p, q q p g. p q p (p q ) h. p q, p q i. p q, ~q ~ p j. p q, ~p q k. p q, ~q p l. p q, q r p r m. p q, r s, p r q s n. p q, r s, ~q ~s ~p ~r Resolução: n. p q, r s, ~q ~s ~p ~r (p q) (r s) (~q ~s) (~p ~r) Lembrando que: P 1, P 2,, P n Q (P 1 P 2 P n ) Q P 1 : (p q) P 2 : (r s) P 3 : (~q ~s)

Q: (~p ~r) (p q) (r s) (~q ~s) (~p ~r) P 1 P 2 P 3 Q p q r s ~p ~q ~r ~s p q (r s) (~q ~s) (~p ~r) V V V V F F F F V V F F V V V F F F F V V F V F V V F V F F V F V V F V V V F F F F V V V V V V V F V V F V F F F V V F V F V F F V F V F F V F V F F V F V V F F V V V V F F F F V V V F V V V F V V V V F F F V V F V F V V F V F F V V F V V F V F V V F V F V V F V F V F F V F V V V V V V F F V V V V F F V V V V F F V F V V F V V F V V F F F V V V V F V V V V F F F F V V V V V V V V Resposta: O argumento p q, r s, ~q ~s ~p ~r é válido, pois ~p ~r (a conclusão) é verdadeira todas as vezes que as premissas p q, r s, ~q ~s são verdadeiras. REGRAS DE INFERÊNCIA Os argumentos vistos anteriormente são usados para fazer inferências, ou seja, executar passos de uma dedução ou demonstração, por isso são chamadas de regras de inferência. Usualmente costuma-se escrevê-los colocando as premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a conclusão sob o mesmo traço.

I. Regra da Adição AD i. p p q ii. p q p II. Regra da Simplificação SIMP i. p q p ii. p q q III. Regra da Conjunção CONJ i. p q p q ii. p q q p IV. Regra da Absorção ABS p q p (p q ) V. Regra Modus ponens MP p q p q Forma de leitura: Se p é verdade e p q é verdade então necessariamente q é verdade. VI. Regra Modus tollens MT p q ~q ~p Forma de leitura: Se ~q é verdade e p q é verdade então necessariamente ~p é verdade. VII. Regra do Silogismo Disjuntivo SD i. p q ~p q ii. p q ~q p

VIII. Regra do Silogismo Hipotético SH p q q r p r IX. Regra do Dilema Construtivo DC p q r s p r q s X. Regra do Dilema Destrutivo DD p q r s ~q ~s ~p ~r EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA I. REGRA DA ADIÇÃO (AD): Dada uma proposição p, dela podese deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição. i. ii. iii. iv. p p q ~p q ~p p q (r s) (p q) p q (p q) r

II. REGRA DA SIMPLIFICAÇÃO (SIMP): Da conjunção p q de duas proposições pode-se deduzir cada uma das seguintes proposições p ou q i. (p q) r (p q) ou (p q) r r ii. p ~q p ou p ~q ~q iii. x > 0 x 1 x 1 ou x > 0 x 1 x > 0 III. REGRA DA CONJUNÇÃO (CONJ): Permite deduzir de duas proposições dados p e q (premissas) a sua conjunção p q ou q p (conclusão) i. p q ~r (p q) ~r ii. p q q r (p q) (q r) iii. x < 5 x > 1 (x < 5) (x > 1) IV. REGRA DA ABSORÇÃO (ABS): A partir de uma condicional (premissa) permite deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo consequente

é a conjunção p q das duas proposições que integram a premissa, isto é: p p q i. x = 2 x < 3 x = 2 (x = 2 x < 3) ii. x A x A B x A (x A x A B) V. REGRA MODUS PONENS (MP): Permite deduzir q (conclusão) a partir de p q e p (premissas) i. ~p ~q ~p ~q ii. iii. p q r p q r x 0 x + y > 1 x 0 x + y > 1 VI. REGRA MODUS TOLENS (MT): Permite a partir das premissas p q (condicional) a ~q (negação do consequente) deduzir como conclusão ~p (negação do antecedente). i. p r s ~s ~(p r)

ii. p q r ~(q r) ~p iii. x 0 x = y x y x = 0 VII. REGRA DO SILOGISMO DISJUNTIVO (SD): Permite deduzir da disjunção p v q de duas proposições e da negação ~p (ou ~q ) de uma delas a outra proposição q (ou p ). i. (p q) r ~r p q ii. ~p ~q ~(~p) ~q iii. x = 0 x = 1 x 1 x = 0 VIII. REGRA DO SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH): Dadas duas condicionais p q e q r (premissa) tais que o consequente da primeira coincide como antecedente da Segunda, esta regra permite deduzir uma terceira condicional p r ( conclusão) cujo antecedente e consequente são respectivamente o antecedente da premissa p q e o consequente da outra premissa.

i. ~p ~q ~q ~r ~p ~r ii. (p q) r r (q s) (p q) (q s) IX. REGRA DO DILEMA CONSTRUTIVO (DC): Nesta regra as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes, a conclusão é a disjunção dos consequentes dos condicionais. i. (p q) ~r s t (p q) s ~r t ii. x < y x = 2 x y x > 2 x < y x y x = 2 x > 2 X. REGRA DO DILEMA DESTRUTIVO (DD): As premissas são duas condicionais e a disjunção da negação dos seus consequentes, a conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes desta condicional. i. ~q r p ~s ~r ~~s ~~q ~p

ii. x + y = 7 x = 2 y x = 2 x = 3 x 2 x 3 x + y 7 y x 2 Exercícios:

Resoluções: 1) Construir a condicional associada a cada um dos seguintes argumentos: a) ~ p, ( ~ q p) q ~ p ( ~ q p) q b) p q ~ (p ~ q) (p q) ~ (p ~ q) c) p q, ~ q ( r s) r s (p q) (~ q ( r s)) r s d) x = y x = 5, x = 5 x < z x = y x < z (x = y x = 5) ( x = 5 x < z) (x = y x < z) 2) Construir o argumento (premissas e conclusão) correspondente a cada uma das seguintes condicionais: a) p ( q ~ p) q p, ( q ~ p) q b) (p q) (p ~q) s (p q), (p ~q) s c) ~ ( x < 0 y x) x 0 y = x ~ ( x < 0 y x) x 0 y = x 3) Indicar a Regra de Inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos: a) p q (p q) ~ r adição b) ~ p (q r) ~p simplificação c) p q, q ~ r p ~r Silogismo Hipotético d) p (q r), p q r Modus Ponens e) (q r) ~ p, p ~ (q r) Modus Tollens f) p q, r ~s (p q) (r ~s) Conjunção g) (p q) ( ~ p r), ~ (~ p r) p q Silogismo Disjuntivo h) p q r p p (q r) Absorção i) x + y = z y + x = z, x + y = z y + x = z Modus Ponens j) x > y x = z, x z x y Modus Tollens k) x 0, x 1 x 0 x 1 Conjunção

l) 3 < 5 3 <5 3 < 2 Adição m) x < 0 x = 1, x 1 x< 0 Silogismo Disjuntivo n) x = 1 x < 3, x < 3 x + y< 5 x = 1 x + y < 5 Silogismo Hipotético o) n > 3 n < 4 n < 4 Simplificação 4) Usar a regra Modus Ponens para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas: a) x = y y = z b) x + y = 0 x = 0 (x = y y = z ) x = z x + y = 0 x = z x = 0 c) ( x > y y > z ) x > z d) 2 > 1 3 > 1 x > y y > z 2 >1. x > z 3 > 1 e) x + 1 = 2 f) x + 0 = y x = y x + 1 = 2 y + 1 = 2 x + 0 = y. y + 1 = 2 x = y 5) Usar a regra Modus tollens para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas: a) x 0 x + y y b) x = z x = 6 x + y = y x 6 x = 0 x z b) (p q) ~ (r s) d) x > 3 x > y (r s) x y ~ (p q) x 3 6) Usar a regra do Silogismo Disjuntivo para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas: a) x + 8 = 12 x 4 b) y < b x + y < 10 x + 8 12. x + y 10 x 4 y < b b) s (r t) d) ~ p ~ q ~s. q ( r t ) ~ p 7) Usar a regra do Silogismo Hipotético para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas:

a) p r v ~s b) x = 3 x < y r ~s t x < y x z p t x = 3 x z c) s t r q d) xy = 6 xy + 5= 11 r q ~s t xy + 5=11 y = 2 s t (~s t) xy = 6 y = 2 8) Usar a regra do Dilema Construtivo para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes ternos de premissas: a) p r b) x = 5 x < y ~q ~s x = 5 x > 3 p ~q x < y x < 2. r ~ s x > 3 x < 2 c) y = 0 xy = 0 d) x = 2 x 2 = 4 y> 1 xy> 3 x = 2 y = 3 y = 0 y > 1 y = 3 y 2 = 9 xy = 0 xy > 3 x 2 = 4 y 2 = 9 9) Usar a regra do Dilema Destrutivo para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes ternos de premissas: a) p q r b) p ~ r q q r s ~(~r q) ~ s ~ r ~ (r s) ~ q s. ~ (p q) ~ q ~ p q c) x < 3 x y d) y 9 y 18 x > 4 x < y x = 2 y = 9 x= y x y. x = 8 y = 18 x 3 x 4 x 2 x ± 8

10) Demonstrar a não validade dos seguintes argumentos pelo Método de atribuição de valores lógicos : a) p q, r s, p s q r b) (p q), ~ p ~q r s, s r r c) p q r, q p r, r p q, ~p q r d) p q r, s r, ~p q ~ p q e) (p q) r, r ~ s t, (s t) u, u p q f) p (q r), s (t v), q s t, ~ (q v) p r Os exercícios a seguir foram retirados de: http://www.ppgia.pucpr.br/~fabricio/ftp/aulas/engenharia%20da%20computa%87%c6o/ Logica%20Matematica/Logica%20(Semanas%205%206%207%208).doc. Acesso em: 05 abr. 2017. 1. Verifique a validade de: (p q) (p q), (p q) p q P 1 : (p q) (p q) P 2 : ~ (p q) Q: (p q) Resposta: Q é dedutível de P 1 e P 2 pela Regra do silogismo disjuntivo. 2. Considere os argumentos a seguir e julgue sua validade. a. Se as uvas caem, então a raposa as come.

Se a raposa as come, então estão maduras. As uvas estão verdes ou caem. Logo, A raposa come as uvas se e somente se as uvas caem. p: as uvas caem q: a raposa as come r: estão maduras ~r: estão verdes P 1 : p q P 2 : q r P 3 : ~r p Q: q p 1. p q 2. q r 3. ~r p 4. r p (equivalência de 3) 5. q p (silogismo hipotético de 2 e 4) 6. (p q) (q p) (conjunção de 1 e 5) 7. p q (equivalência de 6) b. Carlos estuda ou não está cansado. Se Carlos estuda, então dorme tarde. Carlos não dorme tarde ou está cansado.

Logo, Carlos está cansado se e somente se estuda. p: Carlos estuda q: Carlos está cansado r: Carlos dorme tarde Tem-se: 1 p q 2 p r 3 r q 4 q p Equivalência 1 5 r q Equivalência 3 6 p q Silogismo Hipotético 2,5 7 (p q) (q p) Conjunção 4,6 8 p q Equivalência 7 3. Indicar a Regra de Inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos: a) p q (p q) r b) p (q r) p c) p q, q r p r d) p (q r), p q r e) (q r) p, p (q r)

f) p q, r s (p q) (r s) g) (p q) ( p r), ( p r) p q h) x + y = z y + x = z, x + y = z y + x = z i) x 0, x 1 x 0 x 1 4. A seguir são apresentadas premissas e suas conclusões em linguagem natural. Responda a conclusão obtida através das premissas e qual regra de inferência assegura a verdade das conclusões, admitindo a verdade das premissas. a) Se estou no Rio, fico em Copacabana. Estou no rio. A regra aplicada é Modus Ponens e a conclusão é Fico em Copacabana. b) Se não ensaio ou não estudo, então não obtenho bons resultados. Não ensaio ou não estudo. c) Se são 18 horas, o banco fechou. São 18 horas. d) Se tenho dinheiro, vou ao teatro ou ao cinema. Não vou ao teatro ou ao cinema. e) Se trabalho, consigo dinheiro para divertir-me. Não consigo dinheiro para divertir-me. f) Se o átomo fosse indivisível, não teríamos descoberto os prótons e elétrons. Estes últimos foram descobertos. g) Se estudo, não me sobra tempo para ganhar dinheiro. Se não me sobrar tempo para ganhar dinheiro, terei de viver com a mesada.

h) Se resolver curar os livros indicados, não me sobra dinheiro para levar minha namorada ao cinema. Se não sobrar dinheiro para levar minha namorada ao cinema, ela ficará triste. 5. Usar as regras de MP e MT para deduzir as conclusões a partir das premissas: a) p q, q, p r r b) p (q s), (q s), p r, r t t c) r s t, (s t), r p, p r 6. Deduzir utilizando a regra de SH. a) p q, q r, r s p s b) (p q) (r s), t u,( r s) t p q u c) p r, s t, r u, u s p t 7. Deduzir a conclusão a partir das premissas utilizando MP e SH. a) p q, p, q r r b) p q r, r s, p q, s t t c) t p, p s, t, s q q d) p q r, s p, q r t, t s 8. Deduzir através de MT e SH a) p q, q r, r p

b) p r s, t u, r s t, u p c) p h r, s s t, (s t), p u d) s, r t, t s, r s, p t s 9. Deduzir através de MP, MT e SH. a) p q, q r, r, p s s b) v r, u v, s p, s u, p r c) r t, p (q s), r p, (q s) t d) t u, s, (p q) r, r s, (p q) t u 10. Deduzir através de MP, MT, SH, SD. a) p q, q r, r, p s, s t t b) p q, p r, r s, q, t s t c) p q, p, q (r s), s t, t r 11. Deduzir envolvendo MP, MT, SH, SD e equivalências. a) p q, p q b) p q, p r, r s, q s c) p q, s r, q s r p 12. Indicar a conclusão que se pode obter a partir do conjunto de premissas a seguir aplicando-se a regra do Dilema Construtivo.

a) (p q) ((r s) t), p (r s) b) (p q) ( s t), p s c) ( p (r (s t))) ( q ( r ( t u))), p q 13. Indicar em linguagem natural a conclusão que se pode obter a partir da aplicação do dilema construtivo sobre as seguintes premissas: a) Se vou ao cinema alegro-me e se vou ao concerto educo-me. Vou ao cinema ou vou ao concerto. b) Se o marido pagou a prestação, a apólice está em vigor e se a mulher perdeu o recibo o prêmio não será pago. O marido pagou a prestação ou a mulher perdeu o recibo. 14. Deduzir a conclusão a partir das premissas através de MP, SD, e DC. a) (p q) (r s), p r, (q s) t t b) p ((q r) (s t)), q s, p r t c) ((p q) (r s)) ((t u) (v w)), (p q) (t u), (v w) r s 15. Indicar em linguagem natural a conclusão obtida através da aplicação da regra de Dilema Destrutivo sobre as premissas a) Se fico em São Paulo vou ao teatro e se fico no Rio vou à praia. Não vou ao teatro ou não vou à praia.

b) Se viajo para a Europa visito Paris e se viajo para os Estados Unidos visito New York. Não visito Paris ou não visito New York. 16. Indicar a conclusão que se pode obter aplicando a regra do Dilema Destrutivo sobre as seguintes premissas: a) ( p q r) (s t r), (q r) (t r) b) (p (q r)) ( s t), (q r) t c) ( (s t) p) (r s), p s 17. Deduzir a conclusão das premissas através de DD e equivalências. a) (p q) (r s), (q s) p r b) (q r p) (t u s), p s ( q r) ( t u) c) (p q) (p r), q r p d) (p q) (r s), q s (p r) 18. Deduzir a conclusão a partir das premissas utilizando MP, MT, SD, SH, DC, DD e equivalências: a) ( (q r) s) (p t), p, r u, t s r b) ((p q) (r s)) ( (t u) (v x)), p t, (r s) (v x) u

19. Deduzir as conclusões através do MP, Conjunções e Equivalências: a) p, q, (p q) (r s) r s b) p q, (p r), r q r c) p, q q, ( p q) r r 20. Deduzir através de MP, MT, SH, Conjunções e Equivalências: a) ((p q) r) s, (r s) (t u), u t b) (p q) r, s t, (p s), q t, u r u c) ( p q), q r, r s p s 21. Deduzir através de MP, MT, SH, SD, DC, DD, Conjunções e Equivalências: a) p q, r s, p r, s q q b) p q, r s, t r, r, q s p c) p q, p r, p p, r q 22. Deduzir utilizando qualquer Regra de Inferência: a) p q, q r, q r p b) p q, t, r s, q r ( s p) t c) (p q) r, s, p, q r 21. Deduzir a conclusão a partir das premissas expressas em linguagem natural:

a) A festa está animada, embora Mário esteja de saída e como ainda é cedo, Vera deverá chegar. Conclusão: Vera chegará, embora Mário esteja saindo. b) A teoria dos jogos e a teoria dos reticulados podem ser úteis para o aprendizado, embora alguns outros meios sejam igualmente interessantes. Conclusão: Mesmo havendo outros meios, os reticulados são de interesse para o aprendizado. c) Nosso aparelho de som funcionará à base de discos ou fiatas ou será quadrifônico e será o mais moderno existente. Não é fato que operará à base de discos ou será o mais moderno existente. Logo, funcionará com fitas. d) Se estudamos lógica, não se dá que: apreciemos o simbolismo e não nos impressionemos com a implicação material. Não acontece o seguinte: não apreciamos o simbolismo ou a simplificação obtida com os quantificadores, mas nos impressionamos com a implicação material. Estudamos lógica e não apreciamos a simplificação obtida com os quantificadores. Logo, ficamos impressionados com a implicação material se e somente se apreciamos o simbolismo. Referências Bibliográficas ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, 2002.

CARVALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado. V. 1. Rio de Janeiro: Elsevier. 2010 CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6 ed. São Paulo: Nobel, 1984. GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, 2008. Exercícios de Lógica. Disponível em: < http://www.ppgia.pucpr.br/~fabricio/ftp/aulas/engenharia%20da%20computa%87%c6o/ Logica%20Matematica/Logica%20(Semanas%205%206%207%208).doc.> Acesso em: 05 abr. 2017. BENEVIDES. Paula Francis. Raciocínio Lógico. Disponível em: <http://paginapessoal.utfpr.edu.br/paulabenevides/raciocinio-logicoquantitativo/raciocinio-logica-quantitativo/copy_of_raciociniologicoquantitativo.pdf> Acesso em: 06 abr. 2017.