Análise Sísmica de Estruturas Porticadas Tridimensionais Determinação da Interacção entre Esforços André Filipe Valério Belejo Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Professor Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira Orientador: Professor Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida Orientador: Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro Vogal: Professor Doutor João José Rio Tinto de Azevedo Outubro de 2010
Agradecimentos Tanto a execução desta Dissertação de Mestrado como todo o Curso de Engenharia Civil não seria possível concluir sem a ajuda de algumas pessoas, as quais tenho que agradecer: Aos Orientadores Doutor José Paulo Moitinho e Doutor Luís Guerreiro que se mostraram sempre prontos e disponíveis para ajudar com o que fosse preciso, com muito apreço e simpatia. À minha família, principalmente os meus Pais, que sempre me apoiaram, e tudo fizeram para que a realização do curso fosse possível. À minha namorada e amigos, tanto aqueles que fiz em Lisboa como os do Entroncamento, que fizeram com que fosse fácil a realização do curso. i
Resumo Na presente dissertação é exposta uma metodologia alternativa à aplicação de espectros de resposta aos resultados de uma Análise Modal com vista à determinação da combinação de esforços de dimensionamento relativos à acção sísmica, através de uma análise linear dinâmica no domínio da frequência. Trata-se de uma generalização da abordagem proposta para uma estrutura bidimensional por (Ferreira, 2009). Esta metodologia apresenta como principal contribuição, o desenvolvimento de um processo de cálculo que contabiliza a interacção entre esforços. A consideração desta interacção é potencialmente uma vantagem do método desenvolvido, quando comparado com os métodos de sobreposição modal (Combinação Quadrática Completa, CQC, e Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados, RQSQ), visto que fornece informação sobre a relação entre os sinais dos esforços. A aplicação deste método, que fora ilustrada através da análise de um pórtico plano, foi agora efectuada na análise de alguns pórticos tridimensionais. Numa primeira fase, obteve-se a resposta espectral da estrutura através do Método dos Elementos Finitos (MEF) para a componente espacial e aplicou -se o processo de combinação de esforços a uma secção, tendo-se obtido as várias superfícies de interacção entre os três esforços: esforço normal e momentos flectores segundo as direcções principais de inércia, englobando várias direcções de actuação da acção sísmica. Compararam-se posteriormente os resultados obtidos com resultados extraídos da aplicação do Método de Newmark (MN) na simulação de sismos aleatórios e com o método de sobreposição modal CQC. Obtiveram-se resultados algo conservativos, quando comparados com os extraídos dos outros métodos. No entanto, desenvolvendo estudos mais aprofundados sobre certos aspectos do método, este poderá no futuro vir a ser um procedimento a considerar no dimensionamento de estruturas. Palavras-Chave: Análise Dinâmica; Método dos Elementos Finitos; Resposta Espectral; Interacção de Esforços; MN; CQC. iii
Abstract An alternative methodology to Modal Analysis for obtaining the seismic design forces due to the seismic action is presented in the present work. This methodology is based on a linear dynamic analysis on the frequency domain, being a generalization of the approach proposal for a twodimensional structure. The main contribution of the present work is the numerical procedure that accounts for the interaction between internal forces. When compared to the methods of modal combination Complete Quadratic Combination (CQC) and Square Root of Sum of Squares (SRSS) the consideration of this interaction is potentially advantageous. This method, which was previously illustrated by the analysis of a plane frame, has now been applied to the analysis of some three-dimensional frame structures Initially, we obtained the spectral response of the structure by the finite element method (FEM) for the space component and applied the process of combining internal forces in one section, obtaining surfaces of interaction between three internal forces: axial force and bending moments according to the principal directions of inertia, encompassing various directions for the seismic action. After this, we compared the results with results from the application of the Newmark Method (NM) in the simulation of random earthquakes and the CQC modal superposition method. Conservative results were obtained when comparing with the results from the methods described, however, developing more detailed studies on certain aspects of the method, it may become a method to be considered in the design of structures. Keywords: Dynamic Analysis; Finite Element Method; Spectral Response; Interaction between Internal Forces; NM; CQC. v
Notação i. Abreviaturas CQC MEF MN RQSQ R.S.A. Combinação Quadrática Completa Método dos Elementos Finitos Método de Newmark Esforço Normal - Momento Flector Esforço Normal - Momento Flector Momento Flector - Momento Flector Esforço Normal - Momento Flector - Momento Flector Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados Regulamento Segurança e Acções ii. Simbologia Parcela real da amplitude do deslocamento do grau de liberdade Área da secção transversal de um elemento Área da Secção transversal; Operador diferencial de compatibilidade; Constante que depende das condições iniciais do problema Amplitude de uma série harmónica Parcela Imaginária da amplitude do deslocamento do grau de liberdade j Produto do Operador diferencial de compatibilidade com a matriz das funções de aproximação; Constante que depende das condições iniciais do problema Parcela real da amplitude do deslocamento do grau de liberdade Amortecimento de natureza viscosa do oscilador; Constante que depende das condições iniciais do problema [ Matriz de amortecimento da estrutura Amortecimento Crítico [ Matriz de amortecimento normalizada Matriz que define as propriedades mecânicas do Elemento Finito; Constante que depende das condições iniciais do problema Deslocamentos nodais do elemento; Parcela Imaginária da amplitude do deslocamento do grau de liberdade j Vector dos deslocamentos no referencial local vii
Vector dos deslocamentos generalizados Parcela real da amplitude do deslocamento do grau de liberdade Módulo de Elasticidade do oscilador Módulo de elasticidade de um elemento finito Valor esperado de Efeito da acção sísmica a actuar em Efeito da acção sísmica a actuar em Forças de massa; Parcela Imaginária da amplitude do deslocamento do grau de liberdade j Frequência de excitação da estrutura, expressa em Hz Frequência própria da estrutura (oscilador), expressa em Hz Forças Nodais Equivalentes em cada elemento Força aplicada, variável no tempo Força aplicada, periódica no tempo Configuração da acção, harmónica no tempo, aplicada à estrutura Forças dissipativas de atrito ou amortecimento Forças exteriores aplicadas Forças de inércia Forças de restituição ou ligação Forças Nodais equivalentes às forças de massa equivalentes Forças Nodais Equivalentes aplicadas na fronteira Forças aplicadas directamente nos nós do elemento Vector das Forças Nodais Equivalentes no Referencial local Vector das Forças Nodais Equivalentes generalizadas Vector de Forças Nodais equivalentes num elemento finito Transformada de Fourier de Inversa da transformada de Fourier de Condição de Incidência nodal Função de receptância Transposto do conjugado da função de receptância Matriz função de receptância Matriz função de receptância normalizada Vector do momento flector, calculado pelo MEF na secção da estrutura Vector do momento flector estrutura, calculado pelo MEF nas diversas secções da viii
Vector do momento flector, calculado pelo MEF na secção da estrutura Vector do momento flector, calculado pelo MEF nas diversas secções da estrutura Vector do esforço normal calculado pelo MEF na secção da estrutura Vector do esforço normal calculado pelo MEF nas diversas secções da estrutura Inércia do oscilador segundo Inércia do oscilador segundo Inércia de Torção do Oscilador Matriz identidade Inércia segundo Inércia segundo, de um elemento finito, de um elemento finito Parcela imaginária do momento flector da secção decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Parcela imaginária do momento flector da secção decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Parcela imaginária do esforço normal da secção s, decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Rigidez do oscilador Matriz de rigidez da estrutura Matriz de rigidez de um elemento finito Matriz de rigidez global da estrutura Matriz de rigidez normalizada Matriz de Rigidez do elemento finito no referencial local Matriz de Rigidez do elemento finito no referencial geral Comprimento do elemento estrutural Comprimento do elemento finito Massa do oscilador Matriz de massa da estrutura Matriz de massa normalizada Momento Flector segundo o eixo principal de Inércia Amplitude do momento flector Momento Flector segundo o eixo principal de Inércia Amplitude do momento flector Momento flector tempo numa qualquer secção da estrutura, num dado instante de ix
Momento flector na secção da estrutura, num dado instante de tempo Momento flector numa qualquer secção da estrutura, num dado instante de tempo Momento flector na secção da estrutura, num dado instante de tempo Valor esperado máximo do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação Valor esperado máximo do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação devido a um sismo Valor esperado do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação Momento flector, para efeitos de cálculo, na secção, dada uma frequência de excitação Contribuição da frequência de excitação, para o momento flector de dimensionamento na secção, devido à acção sísmica Valor esperado máximo do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação Valor esperado máximo do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação devido a um sismo Valor esperado do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação Momento flector, para efeitos de cálculo, na secção, dada uma frequência de excitação Contribuição da frequência de excitação, para o momento flector de dimensionamento na secção, devido à acção sísmica Matriz de massa consistente de um elemento finito Esforço normal; Matriz de Equilíbrio na Fronteira Amplitude do esforço normal Número de direcções analisadas da elevação no espaço tridimensional Número de direcções analisadas no plano de interacção no espaço tridimensional Valor esperado máximo do esforço normal na secção, dada uma frequência de excitação Valor esperado máximo do esforço normal na secção dada uma frequência de excitação devido a um sismo Valor esperado do esforço normal na secção, dada uma frequência de excitação devido a um sismo Esforço normal de dimensionamento na secção, devido à acção sísmica Contribuição da frequência de excitação, para o esforço normal de x
dimensionamento na secção, devido à acção sísmica Vector projecção segundo a direcção dos esforços no plano de interacção Vector projecção segundo a direcção, dada a combinação de todas as frequências de excitação Frequência própria da estrutura (oscilador), expressa em Frequência amortecida Factor de participação do modo Deslocamento do oscilador segundo a direcção Configuração da resposta da estrutura, harmonicamente variável no tempo Vector das amplitudes dos deslocamentos verificados nos graus de liberdade da estrutura Amplitude de oscilação da estrutura Campo de deslocamento do oscilador Vector dos deslocamentos verificados nos graus de liberdade da estrutura Deslocamento inicial do oscilador Configuração deformada do modo de vibração i Deslocamentos em coordenadas modais da estrutura do modelo numérico Vector dos deslocamentos verificados nos graus de liberdade da estrutura, segundo as suas coordenadas modais Solução particular da equação que define o movimento da estrutura Deslocamento relativo, para uma coordenada da estrutura, em função do tempo Deslocamento no solo em função do tempo Deslocamento verificado no modo de vibração Velocidade do oscilador Vector das velocidades verificadas nos graus de liberdade da estrutura Velocidade inicial do oscilador Velocidade relativa, para uma coordenada da estrutura em função do tempo Velocidade no solo em função do tempo Velocidade verificada no modo de vibração Aceleração do oscilador Vector das acelerações verificados nos graus de liberdade da estrutura Vector das acelerações iniciais verificados nos graus de liberdade da estrutura Aceleração verificada no modo de vibração Aceleração relativa, para uma coordenada da estrutura em função do tempo Aceleração no solo em função do tempo Vector de acelerações no solo xi
Auto matriz função autocorrelação de excitação Auto matriz função de autocorrelação de excitação dada uma resposta da estrutura Auto matriz função autocorrelação de resposta da estrutura Parcela real do momento flector da secção da estrutura, dada uma frequência de excitação Parcela real do momento flector da secção s da estrutura, dada uma frequência de excitação Parcela real do esforço normal da secção s da estrutura, dada uma frequência de excitação Parcela real do momento flector da secção, decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Parcela real do momento flector da secção, decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Parcela real do esforço normal da secção, decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Área da Secção do Elemento Valor do espectro de resposta de acelerações, para a frequência p e coeficiente de amortecimento Auto matriz função densidade espectral de potência da excitação Auto matriz função de densidade espectral de potências da excitação dada uma resposta da estrutura Vector função de densidade espectral do momento flector das diversas secções da estrutura Vector função da máxima densidade espectral do momento flector na secção da estrutura Vector função de densidade espectral do momento flector das diversas secções da estrutura Vector função da máxima densidade espectral do momento flector na secção da estrutura Vector função de densidade espectral do esforço normal das diversas secções da estrutura Vector função da máxima densidade espectral do esforço normal na secção da estrutura Auto matriz função de densidade espectral de resposta da estrutura Duração da acção sísmica Instante inicial Forças de Fronteira xii
Período de oscilação Período de oscilação amortecido Matriz de Transformação Deslocamento longitudinal de um elemento Campo de deslocamento longitudinal de um elemento Campo de deslocamentos longitudinal no espaço e no tempo de um elemento Configuração deformada da estrutura Vector do modo de vibração Matriz modal da estrutura Posição no instante Velocidade no instante Aceleração no instante Terceira Derivada de no instante Constante interveniente na definição da matriz de amortecimento segundo Caugnhey Aceleração equivalente que surge na base da estrutura, dada uma frequência de excitação, devido a um sismo, que origina Aceleração equivalente que surge na base da estrutura, dada uma frequência de excitação, devido a um sismo, que origina Aceleração equivalente que surge na base da estrutura, dada uma frequência de excitação, devido a um sismo, que origina Constante interveniente na definição da matriz de amortecimento segundo Caugnhey Factor de Amplificação Dinâmica Constante interveniente no Método de Newmark Quociente entre as frequências e Constante de Euler Constante interveniente no Método de Newmark Intervalo de tempo Intervalo de direcções analisadas que medem a elevação no espaço tridimensional Intervalo de direcções analisadas no plano no espaço tridimensional Intervalo de frequências Vector dos deslocamentos de um elemento finito obtido através do MEF Coeficiente de amortecimento Coeficiente de amortecimento do modo i Valor esperado do máximo de uma função de densidades de probabilidades xiii
Valor esperado do máximo da função de densidade espectral do momento flector Valor esperado do máximo da função de densidade espectral do momento flector Valor esperado do máximo da função de densidade espectral do esforço normal Coeficiente de correlação entre as frequências próprias e Densidade de uma barra por unidade de comprimento Densidade de um elemento finito por unidade de comprimento Estado de tensão no elemento Instante de tempo Direcção que mede a elevação no espaço tridimensional Vector do modo de vibração normalizado em relação à matriz de massa Matriz modal normalizada em relação à matriz de massa Matriz das funções de Aproximação Função de forma do elemento finito associado ao deslocamento generalizado Fase de uma série harmónica Direcção plano no espaço tridimensional Frequência de passagens ascendentes pelo nível 0 Frequência de excitação Frequência máxima de excitação Frequência discreta Frequência discreta Frequência correspondente a cada série harmónica Vector de valores unitários segundo a direcção e zero nas restantes direcções Matriz de acelerações unitárias no solo segundo as diferentes direcções xiv
Índice Geral Resumo... iii Abstract... v Notação... vii Índice Geral... xv Índice de Figuras... xix Índice de Tabelas... xxiii Capítulo 1 - Introdução... 1 1.1 Contextualização... 1 1.2 Objectivo... 1 1.3 Organização... 2 Capítulo 2 - Generalidades... 3 2.1 Dinâmica de Estruturas... 3 2.1.1 Equilíbrio Estático e Equilíbrio Dinâmico... 3 2.1.2 Solicitações em Regime Dinâmico... 4 2.1.3 Osciladores Lineares de Um grau de Liberdade... 5 2.1.3.1 Oscilação em Regime Livre... 6 2.1.3.2 Oscilação em Regime Forçado... 8 2.1.3.2.1 Acções Harmónicas... 9 2.1.3.2.2 Acções Periódicas... 10 2.1.3.2.3 Excitações Estocásticas... 11 2.1.4 Oscilador Linear de vários graus de Liberdade... 13 2.1.4.1 Análise Modal... 13 2.1.4.1.1 Frequências Próprias e Modos de Vibração... 14 2.1.4.1.2 Condições de Ortogonalidade... 15 2.1.4.1.3 Normalização dos modos de vibração... 16 2.1.4.1.4 Definição de Coordenadas Modais... 18 2.1.5 Resposta de Osciladores de Vários Graus de Liberdade... 20 2.1.5.1 Oscilação em Regime Livre... 20 2.1.5.2 Oscilação em Regime Forçado... 21 2.1.5.2.1 Resposta a uma Excitação Harmónica... 21 2.1.5.2.2 Resposta a uma Excitação Periódica... 22 xv
2.2 Acção Sísmica... 22 2.2.1 Resposta a um conjunto de Acelerações da Base... 22 2.2.2 Análise Sísmica por Espectros de Resposta... 24 2.2.3 Métodos de Sobreposição Modal... 25 2.3 Combinação de Esforços... 27 Capítulo 3 - Métodos Numéricos... 29 3.1 Método dos Elementos Finitos... 29 3.1.1 Método dos Elementos Finitos aplicado a um pórtico tridimensional... 29 3.1.1.1 Definição dos Referenciais... 29 3.1.1.2 Graus de Liberdade... 30 3.1.1.3 Matriz de Rigidez Elementar... 31 3.1.1.4 Vector de Forças Nodais Equivalentes... 34 3.1.1.5 Transformação de Coordenadas... 35 3.1.1.6 Equação Resolvente... 36 3.1.2 Método dos Elementos Finitos para uma Análise Temporal... 37 3.2 Método de Newmark... 39 3.2.1 Geração do Sismo e a sua aplicação no MN... 41 3.2.1.1 Geração do Sismo... 41 3.2.1.2 Aplicação no MN... 43 Capítulo 4 - Modelo Numérico Implementação para o caso tridimensional... 45 4.1 Combinação dos três esforços... 45 4.1.1 Análise da Interacção... 45 4.1.2 Cálculo das superfícies de Interacção... 48 4.1.3 Combinação das Curvas de Interacção... 52 4.2 Definição da Acção Dinâmica... 52 4.2.1 Resposta da Estrutura... 52 4.2.2 Calculo dos esforços devido à acção dinâmica... 53 Capítulo 5 - Casos de estudo... 59 5.1 Pórtico Regular... 59 5.1.1 Definição de Modelo... 59 5.1.2 Análise Modal... 61 5.1.2.1 Programa em Matlab... 61 5.1.2.2 Programa em SAP2000... 62 5.1.3 Resposta para uma Direcção fixa... 64 5.1.3.1 Interacção de Esforços Resultante da Modelação da Acção Sísmica a actuar na Estrutura... 64 xvi
5.1.3.1.1 Caracterização da acção Dinâmica... 64 5.1.3.1.2 Relação entre o Valor Máximo Esperado e o Valor Esperado da Resposta da Estrutura, dado um Sismo... 64 5.1.3.1.3 Determinação das Curvas de Interacção... 65 5.1.3.1.4 Combinação das Diferentes Curvas de Interacção... 66 5.1.3.1.5 Resultados... 66 5.1.3.2 Resultados obtidos da Simulação através do MN... 72 5.1.3.2.1 Estudo Estatístico do Número de Amostras viável... 72 5.1.3.2.2 Resultados da Simulação... 75 5.1.3.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000)... 76 5.1.4 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida... 77 5.1.5 Adição de um piso... 80 5.1.5.1 Resposta para uma Direcção fixa... 81 5.1.5.2 Resultados obtidos da Simulação através do MN... 88 5.1.5.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000)... 88 5.1.5.4 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida... 89 5.2 Pórtico Irregular... 91 5.2.1 Resposta para uma Direcção fixa... 93 5.2.1.1 Projecção em e... 93 5.2.1.2 Simulação através do MN... 102 5.2.1.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000)... 102 5.2.2 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida... 103 Capítulo 6 - Síntese e Análise dos Resultados obtidos pelos vários métodos... 107 6.1 Superfícies de Interacção dos Esforços... 107 6.2 Comparação entre os vários métodos... 108 Capítulo 7 - Conclusões... 113 7.1 Considerações Finais... 113 7.2 Considerações sobre o método desenvolvido... 113 7.3 Limitações do Método do Numérico... 114 7.4 Desenvolvimentos Futuros... 115 Referências Bibliográficas... 117 Anexos... i i. Definição da Estrutura... i ii. Geração da Estrutura... vi xvii
iii. Frequências Próprias, Modos de Vibração e Obtenção dos Esforços pelo MEF... vii iv. Determinação das Superfícies de Interacção... xvi v. Simulação através do Método de Newmark... xxi xviii
Índice de Figuras Figura 2.1 Modelo Estrutural... 3 Figura 2.2 Oscilador de um grau de Liberdade... 5 Figura 2.3 a) Movimento oscilatório de amortecimento sobre-crítico. b) Movimento oscilatório de amortecimento sub-crítico. c) Movimento oscilatório de amortecimento crítico (Ferreira, 2009)8 Figura 2.4 Normalização do valor esperado máximo em função do número de valores ascendentes no nível 0 (Clough & Penzien, 1995)... 13 Figura 2.5 Eixos locais de uma barra... 27 Figura 2.6 - Esforços actuantes numa barra... 27 Figura 3.1 Referencial Local e Geral do Elemento de Barra (Azevedo Á., 2003)... 29 Figura 3.2 Graus de Liberdade no nó de um Elemento de Barra (Azevedo Á., 2003)... 30 Figura 3.3 Forças Generalizadas que correspondem aos graus de liberdade (Azevedo Á., 2003)... 31 Figura 3.4 Graus de Liberdade e Respectivas Forças num elemento de Barra (Azevedo Á., 2003)... 31 Figura 3.5 Espectro de Potências dada a ocorrência de um sismo do tipo I num solo do tipo II 42 Figura 3.6 Acelerograma obtido duma acção sísmica do tipo I num solo de fundação do tipo II de acordo com o R.S.A.... 43 Figura 4.1 - Curva representativa, no plano complexo, de, dada uma frequência de excitação... 47 Figura 4.2 Sistema de coordenadas em que mede a orientação no plano e a elevação... 49 Figura 4.3 Definição de um conjunto de esforços numa dada superfície de interacção... 50 Figura 4.4 Contribuição de uma frequência de excitação, para o Esforço Normal de dimensionamento de uma secção, na ocorrência de um sismo... 56 Figura 5.1 Pórtico Tridimensional de um piso... 60 Figura 5.2 Eixos Locais de uma Barra... 61 Figura 5.3 - Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do Programa em Matlab... 62 Figura 5.4 Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do SAP2000... 63 Figura 5.5 Direcções de actuação da acção sísmica estudadas... 64 Figura 5.6 Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0 [Newtons e Newtons.metro]... 67 Figura 5.7 Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30 [Newtons e Newtons.metro]... 68 xix
Figura 5.8 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45 [Newtons e Newtons.metro]... 69 Figura 5.9 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 [Newtons e Newtons.metro]... 70 Figura 5.10 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar segundo y [Newtons e Newtons.metro]... 71 Figura 5.11 Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e Newtons.metro]... 78 Figura 5.12 Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e Newtons.metro]... 78 Figura 5.13 Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons.metro]... 79 Figura 5.14 - Superfície de interacção de esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e Newtons.metro]... 79 Figura 5.15 Pórtico Tridimensional Regular com dois pisos... 80 Figura 5.16 Primeiros modos de Vibração do Pórtico de 2 pisos obtidos através do programa em Matlab... 81 Figura 5.17 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0 no Pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]... 83 Figura 5.18 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]... 84 Figura 5.19 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]... 85 Figura 5.20 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]... 86 Figura 5.21 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]... 87 Figura 5.22 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]... 89 Figura 5.23 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]... 90 Figura 5.24 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons.metro]... 90 Figura 5.25 - Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]... 91 Figura 5.26 Pórtico simétrico com os pilares a apresentar diferentes direcções principais de Inércia e algumas massas concentradas... 92 Figura 5.27 Frequências próprias e respectivos modos de vibração do pórtico irregular... 92 Figura 5.28 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro]... 94 xx
Figura 5.29 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro]... 95 Figura 5.30 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro]... 96 Figura 5.31 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro]... 97 Figura 5.32 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro]... 98 Figura 5.33 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 120 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro]... 99 Figura 5.34 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 135 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro]... 100 Figura 5.35 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 150 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro]... 101 Figura 5.36 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro]... 104 Figura 5.37 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro]... 104 Figura 5.38 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons.metro]... 105 Figura 5.39 - Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro]... 105 xxi
Índice de Tabelas Tabela 5.1 Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do Programa em Matlab... 62 Tabela 5.2 - Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do SAP2000... 63 Tabela 5.3 Valores obtidos de, e para as direcções de actuação do sismo em estudo... 65 Tabela 5.4 Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0... 67 Tabela 5.5 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30... 68 Tabela 5.6 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 45... 69 Tabela 5.7 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 60... 70 Tabela 5.8 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica segundo y... 71 Tabela 5.9 Valores do Esforço Normal obtidos através da Simulação, variando o número de amostras... 72 Tabela 5.10 - Valores do Momento Flector M 1 obtidos através da Simulação, variando o número de amostras... 73 Tabela 5.11 - Valores do Momento Flector M 2 obtidos através da Simulação, variando o número de amostras... 74 Tabela 5.12 Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN... 76 Tabela 5.13 Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000... 77 Tabela 5.14 - Primeiras Frequências Próprias do Pórtico de 2 Pisos obtidas através do Matlab.. 81 Tabela 5.15 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0 no pórtico de 2 pisos... 83 Tabela 5.16 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30 no pórtico de 2 pisos... 84 Tabela 5.17 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 45 no pórtico de 2 pisos... 85 Tabela 5.18 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 60 no pórtico de 2 pisos... 86 Tabela 5.19 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 90 no pórtico de 2 pisos... 87 Tabela 5.20 - Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o pórtico de 2 pisos... 88 Tabela 5.21 - Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000... 88 Tabela 5.22 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0 no Pórtico Irregular... 94 Tabela 5.23 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30 no Pórtico Irregular... 95 Tabela 5.24 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 45 no Pórtico Irregular... 96 xxiii
Tabela 5.25 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 60 no Pórtico Irregular... 97 Tabela 5.26 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 90 no Pórtico Irregular... 98 Tabela 5.27 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 120 no Pórtico Irregular... 99 Tabela 5.28 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 135 no Pórtico Irregular... 100 Tabela 5.29 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 150 no Pórtico Irregular... 101 Tabela 5.30 - Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o Pórtico irregular... 102 Tabela 5.31 - Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000... 103 Tabela 6.1 Síntese dos Resultados obtidos pelos vários métodos... 110 Tabela 6.2 Diferenças medidas em relação à análise direccional de esforços... 111 Tabela 6.3 Diferença média de cada método em relação à análise direccional de Esforços... 111 xxiv
Capítulo 1 - Introdução 1.1 Contextualização A Dinâmica de estruturas é uma das matérias no âmbito da Engenharia Civil, que devido à implementação de novos métodos de cálculo com recurso à computação, têm tido uma enorme evolução nos últimos anos. Em particular, a engenharia sísmica tem sido uma das áreas mais desenvolvidas, sendo corrente proceder-se a análises dinâmicas para avaliar o desempenho sísmico de estruturas com um nível de detalhe que não era possível há poucos anos. Têm sido propostos diferentes métodos numéricos para modelar o comportamento dinâmico das estruturas, sendo que dependente da formulação, a análise realiza-se tanto no domínio do tempo como no domínio da frequência. A dificuldade que se coloca após obter uma solução numérica, é definir a forma como se devem combinar os diferentes resultados obtidos para determinar os esforços de dimensionamento da estrutura, tratando-se da principal preocupação de um engenheiro projectista. Para esse efeito diversas técnicas têm sido propostas, sendo correntemente os métodos de sobreposição modal com recurso a espectro de resposta, como são os casos da Combinação Quadrática Completa (CQC) e da Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados (RQSQ), a forma mais utilizada entre os engenheiros para análises sísmicas. Contudo esses métodos não dão informação sobre a interacção entre esforços actuantes, o que condiciona o dimensionamento estrutural. 1.2 Objectivo O objectivo deste estudo consiste em realizar a análise sísmica de uma estrutura porticada tridimensional, no domínio da frequência, tendo por base o Método dos Elementos Finitos (MEF), generalizando a abordagem proposta em (Ferreira, 2009) para uma estrutura bidimensional. Pretende-se definir uma combinação dos resultados obtidos a partir de um espectro de densidade de potências, que disponibilize a interacção entre o esforço normal e os momentos flectores segundo as direcções principais de inércia de uma secção e que contabilize as possíveis 1
direcções que possam assumir no espaço de interacção, sendo essa a principal contribuição do estudo efectuado e uma das limitações dos métodos de sobreposição modal. 1.3 Organização No sentido de realizar um estudo faseado e bem fundamento na procura dos objectivos propostos, a exposição do trabalho desenvolvido encontra-se divido em seis Capítulos: Capítulo 2- Generalidades; definição de acção dinâmica das diferentes solicitações que ocorrem em estruturas; estudo de solicitações em regime livre e forçado; estudo de osciladores lineares tanto de um como de vários graus de liberdade; análise modal; simulações sísmicas; combinações correntes com recurso a espectro de resposta como CQC e RQSQ. Capítulo 3- Métodos Numéricos; introdução ao MEF, os seus princípios básicos e a metodologia realizada para a construção das equações que definem o comportamento dinâmico de uma estrutura; introdução ao MN, os seus princípios básicos e posterior introdução da acção sísmica no seu conteúdo para obtenção de esforços devido à mesma. Capítulo 4- Modelo Numérico Implementação para o Caso Tridimensional; fundamentação dos princípios básicos inerentes ao processo de cálculo, definição da acção dinâmica, princípios essenciais à combinação de esforços pretendida; metodologia aplicada ao cálculo da superfície de interacção. Capítulo 5- Casos de Estudo; Definição dos vários modelos de estudo e Obtenção de Resultados inerentes à análise direccional de esforços e determinação das curvas de interacção e ainda obtenção de resultados pela simulação recorrendo ao MN assim como os obtidos do método de sobreposição modal CQC recorrendo ao SAP2000. Capítulo 6- Síntese e Análise dos Resultados obtidos pelos vários métodos; Análise das várias superfícies de interacção obtidas e comparação dos resultados obtidos através dos diferentes métodos. Capítulo 7- Conclusões; conclusões retiradas do estudo; desenvolvimentos futuros que possam dar contributo ao estudo realizado. 2
Capítulo 2 - Generalidades 2.1 Dinâmica de Estruturas A análise dinâmica de uma estrutura organiza-se pelas seguintes fases: Quantificação das solicitações dinâmicas aplicadas na estrutura Definição do modelo estrutural Definição de um modelo de cálculo que represente o comportamento da estrutura, nomeadamente no que se refere à deformabilidade e absorção de energia Estudo dinâmico do comportamento do modelo de cálculo. A análise dinâmica trata da determinação de deslocamentos, velocidades e acelerações nos vários elementos da estrutura, pois tendo definida a deformada dinâmica da estrutura, o cálculo prossegue recorrendo à teoria de estruturas. 2.1.1 Equilíbrio Estático e Equilíbrio Dinâmico Através do seguinte exemplo, que concretiza o que foi referido, faz-se evidência às diferenças entre equilíbrio estático e equilíbrio dinâmico. Figura 2.1 Modelo Estrutural A Figura 2.1 representa o modelo estrutural da estrutura de suporte de uma máquina que lhe transmite forças horizontais orientadas segundo x em que a massa das vigas e pilares é desprezável face à massa m, que engloba a massa da máquina em conjunto com a massa da laje. 3
Tendo quantificado a acção dinâmica e definido o modelo estrutural, procede-se à definição do modelo matemático. Aqui é necessário considerar a condição de equilíbrio de uma estrutura sob a acção de solicitações em regime estático e dinâmico, que preconiza que a resultante das solicitações actuantes deve ser nula em cada um dos elementos da estrutura. No caso de todas as solicitações serem Forças, em cada elemento da estrutura, deverá verificarse equilíbrio entre todas as forças actuantes, que de acordo com (Ravara, 1969) poderão ser dos seguintes tipos: Forças de Inércia - Forças dissipativas de atrito ou amortecimento - Forças de restituição ou ligação - Forças exteriores aplicadas Ou seja, deverá verificar-se, para cada elemento a condição (2.1) No entanto em regime estático as solicitações actuam muito lentamente até ao seu valor final de modo que se despreza a velocidade e a aceleração, reduzindo (2.1) a (2.2) que exprime a condição de equilíbrio estático. No caso em que as solicitações na estrutura variem ao longo do tempo e que os seus elementos adquirem velocidades e acelerações de valor considerável, o comportamento da estrutura rege-se por equações do tipo de (2.1) que exprimem as condições de equilíbrio dinâmico. O principal objectivo da análise dinâmica das estruturas é estabelecer e resolver equações do tipo de (2.1) que constituem o modelo matemático da estrutura. 2.1.2 Solicitações em Regime Dinâmico O carácter estático ou dinâmico de uma solicitação é relativo à estrutura sobre a qual esta actua. Assim uma dada solicitação apresenta carácter dinâmico relativamente a uma estrutura quando as 4
Forças de Inércia que se desenvolvem apresentam valores significativos em relação às restantes forças que intervêm no equilíbrio da estrutura. As solicitações dinâmicas são classificadas em determinísticas ou aleatórias, conforme é conhecido o seu valor num dado instante ou apenas a respectiva distribuição estatística. Por sua vez as solicitações determinísticas dividem-se em periódicas ou aperiódicas, conforme os seus valores se repetem ou não ao fim de um intervalo de tempo fixo,, designado por Período. A condição de periodicidade é expressa por: para inteiro (2.3) 2.1.3 Osciladores Lineares de Um grau de Liberdade De acordo com (Azevedo & Proença, 1991) um oscilador com um grau de liberdade é um sistema que pode ser reduzido a uma massa concentrada num único ponto e essa massa pode apresentar apenas uma componente do deslocamento. Considere-se a estrutura representada na Figura 2.2, constituída por uma consola vertical encastrada na base com uma massa concentrada no topo. Figura 2.2 Oscilador de um grau de Liberdade Admitindo que o amortecimento é proporcional à velocidade, ou seja que se trata de um amortecimento do tipo viscoso, os termos da equação (2.1) adoptam a forma: (2.4) Deduzindo assim a equação diferencial do movimento: (2.5) 5
Onde representa o coeficiente de proporcionalidade entre a força de amortecimento e a velocidade, ou seja, a força correspondente à velocidade unitária, designada por Amortecimento, e a relação entre a força de restituição e o deslocamento, designada por Rigidez. 2.1.3.1 Oscilação em Regime Livre Ao analisar a resposta dum oscilador de um grau de liberdade, na ausência de solicitação exterior, tem-se a equação diferencial do movimento definida da seguinte forma: (2.6) A qual, dividindo ambos os membros por, apresenta-se: (2.7) Em que se trata da frequência própria angular não amortecida. Esta traduz a frequência da resposta na ausência de amortecimento, definida pela expressão: (2.8) E é designado pelo coeficiente de amortecimento. Representa a percentagem de amortecimento em relação ao amortecimento crítico de tal modo que (2.9) A solução da equação (2.7) depende do valor, dependendo, como consequência, de três casos de análise segundo (Azevedo & Proença, 1991): Amortecimento sobre-crítico, Amortecimento sob-crítico, Amortecimento crítico, No caso de Amortecimento sobre-crítico ( dada da forma: ), a equação que define a resposta da estrutura é (2.10) 6
Em que as variáveis A e B traduzem as condições iniciais do movimento e frequência própria da estrutura,, pela expressão: relaciona-se com a (2.11) Nestas condições a resposta da estrutura é aperiódica e sem movimento vibratório (Figura 2.3a). Para o caso de Amortecimento sob-crítico ( ) obtém-se a resposta através da expressão: (2.12) Ou simplificadamente: (2.13) Em que, tratando-se da frequência amortecida, é obtida pela expressão: (2.14) As variáveis A e B ou e traduzem as condições iniciais, que no caso mais corrente destas corresponderem ao deslocamento e à velocidade inicial no instante, verifica-se: (2.15) (2.16) Ou, pela abordagem (2.13): (2.17) (2.18) 7
O movimento é definido como uma sinusóide de amplitude decrescente (Figura 2.3b). Embora não se trate em rigor dum movimento periódico, os máximos/mínimos relativos da resposta verificamse em instantes afastados de múltiplos de. consiste no período amortecido obtido da seguinte forma: (2.19) Finalmente para o caso de amortecimento crítico ( ) a resposta da estrutura corresponde à transição entre as respostas anteriores, sendo definida pela expressão (2.20) Em que A e B, tal como para os casos anteriores, definem as condições iniciais do movimento. Trata-se de um movimento aperiódico com o menor amortecimento possível, ou seja, é aquele em que a massa regressa à posição de repouso mais rapidamente, não ocorrendo movimento oscilatório (Figura 2.3c). Figura 2.3 a) Movimento oscilatório de amortecimento sobre-crítico. b) Movimento oscilatório de amortecimento sub-crítico. c) Movimento oscilatório de amortecimento crítico (Ferreira, 2009) 2.1.3.2 Oscilação em Regime Forçado Caracteriza-se neste subcapítulo a resposta da estrutura a excitações determinísticas (acções harmónicas e acções periódicas) e aleatórias (acções estocásticas). Tendo em conta apenas as acções deterministicas, note-se agora que equação do movimento continua a ser a (2.5), contudo o termo independente não nulo representa a excitação aplicada ao nível do grau de liberdade. 8
2.1.3.2.1 Acções Harmónicas Considera-se que a estrutura é actuada por uma acção harmónica aplicada da forma (2.21) Adoptando a equação do movimento a seguinte forma: (2.22) E dividindo a totalidade dos termos por, obtém-se a expressão (2.23) A solução desta equação diferencial é composta pela sobreposição da solução geral da equação homogénea (2.6) e da solução particular da equação não homogénea (2.23) que para o presente caso, se apresenta (2.24) Ou em alternativa (2.25) Ao substituir a equação (2.25) na (2.23) e identificando os termos em e, obtém-se os valores de C e D. (2.26) (2.27) Sendo (2.28) 9
Considerando a solução particular no formato da (2.25) tem-se (2.29) Onde se designa por factor de amplificação dinâmica, dado por (2.30) Finalmente o parâmetro representa o desfasamento entre a acção e a resposta, dado por (2.31) 2.1.3.2.2 Acções Periódicas Tendo obtida a solução para a resposta a acções harmónicas, pode-se facilmente deduzir a resposta de um oscilador a acções periódicas. Qualquer acção periódica com período e com um mínimo de regularidade, pode ser desenvolvida em Série de Fourier, ou seja, pode ser substituída pela soma de componentes harmónicas de períodos submúltiplos do período de referência como dita a seguinte expressão: (2.32) Onde os termos e são designados por coeficientes de Fourier e se calculam da seguinte forma: (com (2.33) (com (2.34) Da expressão (2.32) verifica-se que o termo representa a parcela estática e é responsável pelo valor médio não nulo da excitação. 10
A resposta do sistema pode ser obtida a partir da sobreposição das respostas a cada uma das componentes harmónicas de excitação. Tendo isto, a resposta em regime permanente é dada por (2.35) Em que E e correspondem a e respectivamente para. 2.1.3.2.3 Excitações Estocásticas Considere-se a estrutura sujeita a uma excitação aleatória que é caracterizada por um processo estocástico Gaussiano Ergódico. Neste caso, de acordo com (Azevedo & Proença, 1999) a excitação pode ser caracterizada pelas seguintes entidades: - auto matriz função de autocorrelação da excitação - auto matriz função densidade espectral de potência da excitação Que se definem e relacionam através das seguintes propriedades (2.36) (2.37) (2.38) Verifique-se que para representa o valor quadrático médio da solicitação. Por outro lado quando assume um valor não nulo, fornece uma medida da ligação entre os valores da solicitação em instantes múltiplos de. Por sua vez, trata-se da Transformada de Fourier da função de autocorrelação,em que os seus valores quantificam a contribuição das componentes elementares de frequência para o valor quadrático médio da solicitação. Note-se ainda que define o valor esperado da correlação entre as várias realizações e do processo estocástico, desfasados de um intervalo. 11
No caso de assumir um valor constante, designa-se esse processo por ruído branco. Na verdade, esse processo é meramente teórico, já que o seu valor quadrático médio é infinito. Assim sendo, para que tal seja fisicamente possível, é necessário definir um intervalo de frequências. Na sequência do raciocínio, segundo os mesmos autores, definem-se as matrizes de informação cruzada (excitação - resposta ou o recíproco) (2.39) (2.40) (2.41) Por fim a resposta da estrutura constitui também ela um processo estocástico ergódico estacionário caracterizado pelas seguintes auto matrizes função de autocorrelação da resposta. (2.42) (2.43) Por último, é ainda possível demonstrar que estas identidades se relacionam reciprocamente através matriz função de transferência. (2.44) (2.45) (2.46) Tratando-se o transposto do conjugado da função de transferência. Note-se que o integral de tais funções de densidade espectral de resposta dada por (2.44) define o valor quadrático médio da resposta da estrutura. No entanto numa análise dinâmica é importante conhecerem-se os valores máximos, já que a maior parte das vezes, são os valores máximos que condicionam a segurança estrutural. Para tal, segundo (Azevedo J, 1996) efectua-se uma análise da probabilidade de distribuição de máximos recorrendo a uma função de densidade espectral de Banda Estreita. Posteriormente como em qualquer processo é importante determinar com que frequências ocorrem os valores máximos. Tendo isto e analisando a sequência de passos explanada em (Ferreira, 2009) obtém-se o valor esperado do máximo que, se pode obter recorrendo à expressão: 12
(2.47) Em que: (2.48) Onde de acordo com (Clough & Penzien, 1995) corresponde, na prática, ao número de valores ascendentes no nível 0. O valor de obtém-se assim em função desse número, como se pode observar na Figura 2.4. Figura 2.4 Normalização do valor esperado máximo em função do número de valores ascendentes no nível 0 (Clough & Penzien, 1995) 2.1.4 Oscilador Linear de vários graus de Liberdade Em grande parte dos casos, o modelo matemático que melhor se adequa para representar o comportamento dinâmico de uma estrutura corresponde a um oscilador de vários graus de liberdade. No caso de edifícios é corrente localizar as massas ao nível dos pisos, no entanto a localização e quantificação das massas não deixa de ser um problema delicado. A formulação das equações de equilíbrio conduz a sistemas de equações diferenciais de 2ª ordem. E a integração desses mesmos sistemas pode-se efectuar decompondo-os em equações independentes por mudança de coordenadas. 2.1.4.1 Análise Modal Considerando uma estrutura com N graus de liberdade tem-se o sistema de equações que define o equilíbrio dinâmico na forma 13
(2.49) Ou, em linguagem matricial (2.50) Em que, e se verificam as matrizes de Massa, Amortecimento e Rigidez da Estrutura respectivamente de ordem N. Seguindo (Guerreiro, 1999), procede-se a uma pequena explicação do que trata a análise modal de uma estrutura. 2.1.4.1.1 Frequências Próprias e Modos de Vibração A determinação das frequências próprias de um determinado sistema é efectuada com base na análise do movimento em regime livre e sem amortecimento. De tal modo observa-se assim a equação de equilíbrio dinâmico mais simplificada (2.51) Admitindo um movimento da estrutura do tipo harmónico quando vibra com uma dada frequência, apresenta-se: (2.52) Onde representa a condição deformada da estrutura. Derivando duas vezes a expressão em ordem ao tempo, obtém-se a expressão das acelerações ao longo do tempo: (2.53) Posteriormente ao substituir as equações (2.52) e (2.53) na equação (2.51) e trabalhando esta última, obtém-se: (2.54) 14
Para que o sistema de equações (2.54) tenha uma solução não trivial, é necessário igualar o determinante da matriz a zero. Logo a determinação de frequências e modos de vibração resulta num problema de determinação de valores e vectores próprios, em que os valores próprios representam as frequências e os vectores próprios os modos de vibração. Assim, a cada frequência corresponde um modo de vibração. Recorde-se que a determinação das frequências próprias da estrutura e os seus respectivos modos de vibração foram calculados considerando Amortecimento nulo, no entanto em todas as estruturas ocorre amortecimento. Segundo (Ravara, 1969) Caughey demonstrou que os modos de vibração só subsistem se diagonalizada pela mesma transformação que diagonaliza e. for Uma solução possível consiste na aplicação do Amortecimento de Rayleigh que assume que a matriz de amortecimento se trata de uma combinação linear das matrizes de massa e de rigidez, em que os parâmetros e se apresentam como constantes. (2.55) 2.1.4.1.2 Condições de Ortogonalidade Os vectores que definem os modos de vibração apresentam propriedades que são designadas por condições de ortogonalidade traduzidas pelas equações: (2.56) (2.57) Que representam a ortogonalidade dos modos de vibração de uma estrutura em relação, à matriz de massa e de rigidez respectivamente. Com o intuito de demonstrar a ortogonalidade em relação à matriz de massa considere-se a equação (2.54) para os modos de vibração e : (2.58) (2.59) Multiplicando a equação (2.58) por obtém-se: 15
(2.60) Ao transpor a equação (2.59) e tendo em conta que as matrizes e são simétricas, obtémse a expressão: Multiplicando ambas as parcelas por (2.61) (2.62) Ao subtrair (2.62) à (2.60) tem-se: (2.63) Perante este resultado, está demonstrado o que se entende por ortogonalidade dos modos de vibração em relação à matriz de Massa uma vez que e são diferentes. E o mesmo se pode demonstrar para a matriz de Rigidez. Tirando então partido das condições de ortogonalidade, podem-se estabelecer as seguintes relações (2.64) (2.65) Em que é a matriz modal, onde cada coluna representa um modo de vibração e e são matrizes diagonais, como consequência das condições de ortogonalidade. Note-se que, se os modos de vibração são ortogonais às matrizes de massa e rigidez, também o serão em relação a qualquer matriz que resulte da combinação linear das duas como é o caso da matriz de Amortecimento como se viu atrás, logo também se pode estabelecer a seguinte relação (2.66) 2.1.4.1.3 Normalização dos modos de vibração Os modos de vibração como já foi referido anteriormente, representam apenas a configuração da estrutura, quando esta vibra com determinada frequência. Sendo assim, o valor absoluto das componentes do vector modo de vibração não apresenta qualquer interesse, e sim a relação entre 16
eles. Deste modo, procede-se à normalização do vector modo de vibração com o intuito de facilitar a sua interpretação. A forma de normalização dos modos de vibração mais usada, devido às simplificações na representação da equação de movimento é a normalização em relação à matriz de massa, que consiste em considerar os modos de vibração de modo a obter a relação: (2.67) E recordando que cada termo da matriz diagonal é obtido através da relação (2.68) Conclui-se que para obter a normalização pretendida, basta aplicar a seguinte relação ao vector de configuração modal. E de forma consequente verifica-se: (2.69) (2.70) Em que corresponde à matriz modal que contém os modos normalizados, e a matriz identidade. Tendo em conta esta normalização, centrando-nos na equação (2.58), multiplicando ambos os termos pela transposta do modo de vibração na sua forma normalizada, obtém-se a relação: (2.71) Considerando a condição apresentada em (2.67), e relembrando a designação indicada na (2.65), demonstra-se: (2.72) Isto denota que cada elemento da matriz diagonal, representa o quadrado da frequência de vibração do modo de vibração correspondente, desde que os modos estejam normalizados à matriz de massa. 17
Seguindo o mesmo raciocínio, também se obtém a matriz diagonal de amortecimento normalizada (2.73) Em que cada elemento da matriz diagonal modo de vibração. representa o amortecimento do correspondente 2.1.4.1.4 Definição de Coordenadas Modais O sistema de equações de equilíbrio dinâmico traduzido pela expressão (2.5) é constituído por equações diferenciais dependentes entre si uma vez que e não são obrigatoriamente matrizes diagonais. No entanto, de modo a facilitar a resolução do problema, pretende-se representar o sistema de equações diferenciais num novo referencial, de forma que estas sejam independentes entre si, tratando-se do referencial de coordenadas modais. Multiplicando os termos da equação (2.5) pela transposta da matriz global tem-se (2.74) Introduzindo o produto (2.75) Sendo, o elemento neutro da multiplicação obtém-se (2.76) Optando por normalizar à matriz de massa pois o sistema de equações fica mais simples e é mais fácil de interpretar o significado físico dos vários elementos envolvidos, ao contabilizar então as propriedades de ortogonalização dos modos de vibração em relação a, definidas nas equações (2.70), (2.72) e (2.73), tem-se (2.77) Ao interpretar-se o produto da matriz pelo vector como uma transformação de coordenadas, obtém-se o novo referencial designado por referencial das coordenadas modais ou generalizadas. 18
O sistema de equações de equilíbrio dinâmico, no referencial expressão seguinte: apresenta-se através da (2.78) Definindo-se as transformações de coordenadas: (transformação para coordenadas modais) (2.79) (transformação para coordenadas da estrutura) (2.80) Obtém-se assim um sistema de equações diferenciais independentes pois todas as matrizes presentes são matrizes diagonais, onde cada modo de vibração pode ser representado da seguinte forma: para o modo (2.81) A resolução deste sistema de equações permite obter a solução do problema dinâmico expressa em termos de coordenadas modais. Note-se que é clara a semelhança entre as equações (2.81) e a equação de equilíbrio dinâmico de um sistema de um grau de liberdade e é tirando partido dessa semelhança que se obtém a solução para um sistema de múltiplos graus de liberdade a partir da solução para sistemas de um grau de liberdade Note-se ainda que se for utilizada qualquer outra normalização modal, sem ser a normalização à matriz de massa, o sistema de equações de equilíbrio dinâmico apresenta-se da seguinte forma: (2.82) Em que (transformação para coordenadas modais) (2.83) (transformação para as coordenadas da estrutura) (2.84) 19
2.1.5 Resposta de Osciladores de Vários Graus de Liberdade 2.1.5.1 Oscilação em Regime Livre O sistema de equações do movimento em regime livre de um sistema com vários graus de liberdade referida ao sistema de coordenadas globais assume o seguinte aspecto para o modo (2.85) Por outro lado, de acordo com (Guerreiro, 1999) a resposta de um sistema de um grau de liberdade, em regime livre e com amortecimento sub-critico é traduzida por: (2.86) Em que e correspondem ao deslocamento inicial e à velocidade inicial respectivamente. Por analogia, a resposta dum sistema com vários graus de liberdade, para cada uma das coordenadas modais será a seguinte (2.87) É necessário ter em conta que se tem que efectuar a transformação das coordenadas para que se obtenha as condições iniciais referidas ao sistema de coordenadas modais (2.83), uma vez conhecidas as condições iniciais do movimento relativamente aos graus de liberdade da estrutura. (2.88) Após o cálculo da resposta nas coordenadas modais, efectua-se a transformação de coordenadas para obter a resposta expressa em coordenadas da estrutura. 20
2.1.5.2 Oscilação em Regime Forçado 2.1.5.2.1 Resposta a uma Excitação Harmónica Na análise da resposta dinâmica de um oscilador de vários graus de liberdade em regime forçado, pode-se considerar o sistema de equações (2.81). Num sistema de graus de liberdade, considerando a hipótese de existirem forças harmónicas aplicadas em todos os graus de liberdade da estrutura. Assim, segundo (Guerreiro, 1999), a equação (2.81) pode tomar a seguinte forma (2.89) Em que é referente ao modo e ao grau de liberdade. Tendo isto, a resposta no modo de vibração de um sistema de graus de liberdade é traduzida pela equação Em que (2.90) (2.91) (2.92) (2.93) Também aqui, após o cálculo da resposta nas coordenadas modais é necessário fazer a transformação de coordenadas para obter a resposta em coordenadas da estrutura. 21
2.1.5.2.2 Resposta a uma Excitação Periódica No caso da ocorrência de uma solicitação periódica numa estrutura de vários graus de liberdade, a sua resposta pode ser obtida por sobreposição modal, em que o raciocínio é em tudo idêntico à resposta a uma excitação periódica por um sistema de 1 grau de liberdade (2.94) É apenas necessária transformação de coordenadas para o sistema de coordenadas da estrutura. 2.2 Acção Sísmica 2.2.1 Resposta a um conjunto de Acelerações da Base Para uma estrutura solicitada por um conjunto de acelerações na base, como é o caso da acção sísmica, segundo (Guerreiro, 1999), a formulação da equação de equilíbrio dinâmico de acordo com é semelhante à utilizada para quando a solicitação é feita por um conjunto de forças de excitação com a diferença que as equações devem ser escritas em coordenadas relativas, ou seja, no sistema de coordenadas que permita obter o movimento da estrutura em relação ao movimento do solo. (2.95) Perante isto, como apenas as forças de inércia dependem das coordenadas absolutas, o sistema de equações de equilíbrio dinâmico assume a seguinte forma, escrito em coordenadas relativas (2.96) Pelo facto da probabilidade dos apoios da estrutura terem deslocamentos independentes uns dos outros ser muito reduzida em estruturas de dimensões correntes, admite-se a hipótese de haver apenas um deslocamento independente em cada direcção (, e ). Estes deslocamentos do solo, para serem introduzidos na equação, devem apenas ser considerados na posição do vector correspondentes às respectivas direcções. Para tal cria-se um vector com valor unitário nas posições correspondentes à direcção desejada e zero nas restantes. 22
Vector com valores unitários nas posições correspondentes à direcção e zero nas restantes Vector com valores unitários nas posições correspondentes à direcção e zero nas restantes restantes Vector com valores unitários nas posições correspondentes à direcção e zero nas Sendo assim, considerando movimentos no solo em todas as direcções tem-se: (2.97) Considerando somente movimentos do solo na direcção e escrevendo a equação nas coordenadas modais, admitindo uma normalização dos modos de vibração em relação a verifica-se (2.98) Podendo ser representada, para cada modo de vibração, pela seguinte equação para o modo (2.99) Nesta expressão, o factor que multiplica a aceleração do solo designa-se do Factor de Participação Modal segundo, para a direcção em que actua essa aceleração. (2.100) Analisando a equação (2.99) verifica-se que a resolução do problema dinâmico de imposição de acelerações na base pode ser resolvido de forma semelhante ao problema de imposição de forças dinâmicas nos graus de liberdade da estrutura. É apenas necessário efectuar a seguinte substituição (2.101) Neste caso apenas está a ser contabilizada a aceleração do solo na direcção anterior é válida para qualquer direcção. mas a expressão 23
2.2.2 Análise Sísmica por Espectros de Resposta Na maioria dos casos em que se pretende fazer a análise sísmica de estruturas com comportamento linear, o objectivo deixa de ser conhecer a evolução da resposta ao longo do tempo, mas apenas calcular os valores extremos desta resposta. Nestes casos é mais prático recorrer a uma análise sísmica por espectros de resposta. Espectros de resposta, citando (Guerreiro, 1999) são definidos como uma representação do valor máximo da resposta (medida em termos de deslocamento, aceleração, esforços, etc.) de um conjunto de osciladores de um grau de liberdade, quando solicitados por uma determinada acção sísmica. Estes valores máximos são representados em função da Frequência própria dos osciladores (ou do seu período) e do valor do coeficiente de Amortecimento considerado. Recordando que a equação de equilíbrio dinâmico para um oscilador de um grau de liberdade, quando solicitado por uma aceleração na base, é dada por: (2.102) Conhecendo-se o espectro de resposta de acelerações compatível com a serie de acelerações impostas na base ( ), obtem-se o valor máximo da resposta directamente a partir do espectro, que será a ordenada do espectro que corresponde à frequência própria do oscilador e ao amortecimento traduzido por. (2.103) Onde traduz o valor do espectro de resposta de acelerações, para a frequência e coeficiente de amortecimento. Ao se compararem as equações (2.102) e (2.99) verifica-se que a única diferença corresponde ao Factor de participação modal que corresponde simplesmente a um factor de escala. Logo: para o modo (2.104) Uma vez que se está a trabalhar em regime linear, também a solução será determinada para um oscilador de um grau de liberdade, afectada do mesmo factor de escala, ou seja: (2.105) Aqui corresponde ao valor espectral da aceleração para a direcção e o valor de corresponde ao valor máximo da aceleração na coordenada generalizada 24
correspondente ao modo de vibração. Verifica-se assim que é possível calcular os valores máximos da aceleração correspondentes a todos os modos. O cálculo pode ser igualmente efectuado tanto para deslocamentos como para velocidades, ao ter acesso aos respectivos espectros de resposta. (2.106) (2.107) Tratando-se do espectro de resposta de velocidades e, o espectro de resposta de deslocamentos para a direcção, frequência e coeficiente de amortecimento. Os valores das equações (2.105), (2.106) e (2.107) são obtidos em coordenadas modais o que implica a necessidade de efectuar a transformação de coordenadas para as coordenadas da estrutura. (2.108) (2.109) (2.110) Podendo os valores máximos da resposta da estrutura ser calculados a partir dos vectores de deslocamento, velocidades ou acelerações obtidos através equações anteriores. 2.2.3 Métodos de Sobreposição Modal Resta apenas definir como devem ser combinados os resultados obtidos para cada um dos modos, onde aqui se segue novamente (Guerreiro, 1999). Uma das regras de combinação modal usada usualmente é a Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados (RQSQ), em que como o nome indica, a resposta de uma determinada grandeza pode ser estimado através da raiz quadrada da soma dos quadrados da resposta dessa grandeza em cada modo. (2.111) 25
A regra em causa apresenta resultados satisfatórios desde que as frequências próprias da estrutura não se encontrem muito próximas entre si. Se tal acontecer, é mais adequado utilizar outra regra de combinação modal designada por Combinação Quadrática Completa (CQC) traduzida pela expressão: (2.112) Em que segundo (Azevedo & Proença, 1991) é dado por uma das expressões: Para amortecimento modal não constante (2.113) Para amortecimento modal constante (2.114) Em que (2.115) O método CQC garante melhores resultados para modos com frequências próprias próximas porque considera o efeito da correlação entre as respostas dos vários modos, enquanto o método RQSQ assume as respostas independentes o que não é verdade para modos com frequências próprias próximas. No entanto o facto de o CQC considerar a correlação entre os modos não significa que apresente valores resultantes da combinação superiores. Tal não acontece, por exemplo, no caso dos deslocamentos modais dos modos apresentarem sinais contrários, em que torna o coeficiente de correlação negativo. No entanto, estes métodos apenas permitem obter a resposta máxima de uma determinada variável, e em muitas situações, nomeadamente a situação em estudo, o que se pretende é avaliar a resposta em termos de duas ou mais variáveis simultaneamente. 26
Uma vez tratar-se de obter a resposta mais desfavorável em termos de três variáveis em simultâneo a componente direccional dos respectivos esforços assume uma importância primordial, sendo que ambas as combinações citadas, apresentam-se limitadas no que diz respeito a essa capacidade, e consequentemente as suas mais-valias podem ser postas em causa. 2.3 Combinação de Esforços Ao tratar-se de uma estrutura tridimensional, cada secção de uma barra é actuada de esforço Normal, momentos flectores segundo (, e segundo ( ), momento torsor e esforços transversos segundo e segundo, estando os eixos locais apresentados na Figura 2.5. Figura 2.5 Eixos locais de uma barra A Figura 2.6 apresenta todos esses esforços a actuar numa barra com a respectiva nomenclatura definida para os mesmos. Figura 2.6 - Esforços actuantes numa barra 27
No entanto no estudo desenvolvido apenas se estuda a interacção entre o esforço normal e momentos flectores segundo e segundo 2 nas secções extremas da barra, (3,4,5) ou (9,10,11) uma vez que são normalmente estes três esforços que condicionam o dimensionamento da estrutura. Os esforços numa dada secção são calculados com recurso ao MEF Quando a estrutura é excitada por uma determinada frequência,, como se apresenta no Capítulo 3. E o estudo da sua interacção é efectuado através duma análise direccional dos esforços, tratandose de uma alternativa aos métodos correntemente utilizados. 28
Capítulo 3 - Métodos Numéricos 3.1 Método dos Elementos Finitos 3.1.1 Método dos Elementos Finitos aplicado a um pórtico tridimensional. 3.1.1.1 Definição dos Referenciais Para a aplicação do método dos elementos finitos, numa primeira instância são definidos os referenciais. Pois num elemento de barra de eixo rectilíneo e de secção constante, a formulação da matriz de rigidez contempla dois referenciais ortonormados: o global e o local. No referencial geral encontram-se expressas as coordenadas de todos os nós que serão utilizados para definir a posição das barras e o referencial local é definido pelo eixo do elemento de barra ( ) e pelos eixos principais de inércia da secção transversal da barra ( ). Figura 3.1 Referencial Local e Geral do Elemento de Barra (Azevedo Á., 2003) Segundo (Azevedo Á., 2003), a transformação de coordenadas entre os referenciais global e local é efectuada através da seguinte expressão: (3.1) Em que traduz a matriz de transformação (3.2), as coordenadas de um ponto no referencial global e as coordenadas do mesmo ponto no referencial local. 29
T T T T T T T T T T 11 12 13 12 22 23 31 32 33 (3.2) 3.1.1.2 Graus de Liberdade Tendo definidos os referenciais, é necessário identificar os graus de liberdade na estrutura. Num ponto do espaço pertencente a um corpo sujeito a deslocamentos e deformações, podem ser considerados até seis graus de liberdade correspondendo a três translações e a três rotações. d1 d1 d d 2 2 d 3 d 3 d 1 d4 2 d 5 d 3 6 (3.3) Figura 3.2 Graus de Liberdade no nó de um Elemento de Barra (Azevedo Á., 2003) No estudo do pórtico 3D são considerados os seis deslocamentos generalizados em cada ponto nodal (do elemento ou da estrutura). E são consideradas seis forças generalizadas (3 momentos e 3 forças) de modo a corresponder aos seis deslocamentos. 30
Figura 3.3 Forças Generalizadas que correspondem aos graus de liberdade (Azevedo Á., 2003) Na Figura 3.4 encontra-se representada um elemento de barra definido pelos nós e. Em cada nó são considerados os seis graus de liberdade que correspondem aos seis deslocamentos generalizados, obtendo 12 graus de liberdade do elemento. Figura 3.4 Graus de Liberdade e Respectivas Forças num elemento de Barra (Azevedo Á., 2003) Note-se que aos doze graus de liberdade do elemento, correspondem forças e momentos que actuam nas extremidades da mesma. 3.1.1.3 Matriz de Rigidez Elementar Ao cálculo da matriz de rigidez elementar de um pórtico espacial, expressa no referencial local (Figura 3.1), estão associados algumas teorias que em norma são estudadas individualmente. São aqui aplicadas a teoria das vigas de Euler-Bernoulli segundo duas direcções, a teoria de barras treliçadas e ainda teoria de grelhas. No entanto a matriz de rigidez elementar é obtida sempre da mesma forma (3.4) em que as alterações correspondem a parâmetros que constituem as matrizes presentes no cálculo. 31
(3.4) Em que de acordo com (Castro, 2009) a matriz, de uma forma mais geral, pode dizer-se que contém as propriedades mecânicas do elemento finito que permitem caracterizar o comportamento elástico linear do material estrutural e relacionar os campos de esforços com os campos de deformações. Que para o caso tridimensional assume a seguinte forma EI1 0 0 0 0 EA 0 0 D 0 0 EI2 0 0 0 0 GIt (3.5) Em que as variáveis aqui em questão são: Módulo de Young, constante em todos os pontos do elemento Área da secção transversal do elemento de barra, considerada constante Módulo de Distorção, também ele constante em todos os pontos Momento de Inércia da secção transversal do elemento de barra em relação ao eixo Momento de Inércia da secção transversal do elemento de barra em relação ao eixo Momento de Inércia de torção da secção transversal do elemento de barra E é calculado através do produto do operador diferencial de compatibilidade, com a matriz das funções de aproximação uma vez que (3.6) e (3.7) E sabendo que Tem-se finalmente (3.8) 32
(3.9) Em que e para o pórtico 3D se encontram definidos respectivamente pelas seguintes matrizes: 2 d 0 0 0 2 dx d 0 0 0 dx A 2 d 0 0 0 2 dx d 0 0 0 dx (3.10) 0 2( x) 0 4( x) 0 0 0 8( x) 0 10( x) 0 0 0 0 3( x) 0 0 0 0 0 9( x) 0 0 0 1( x) 0 0 0 5( x) 0 7( x) 0 0 0 11( x) 0 0 0 0 0 0 6( x) 0 0 0 0 0 12( x) (3.11) Em que, segundo (Castro, 2009) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) (3.16) (3.17) Tendo tudo isto obtém-se por integração na barra, a matriz de rigidez elementar 33
K ( e) 12EI2 6EI2 12EI2 6EI2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 3 2 L L L L 12EI1 6EI1 12EI1 6EI2 0 0 0 0 0 0 0 3 2 3 2 L L L L EA EA 0 0 0 0 0 0 0 0 L L 4EI1 6EI1 2EI 1 0 0 0 0 0 0 2 L L L 4EI2 6EI2 2EI 2 0 0 0 0 0 2 L L L GIt GIt 0 0 0 0 0 L L 12EI2 6EI2 0 0 0 0 3 2 L L 12EI1 6EI 1 0 0 0 3 2 L L EA 0 0 0 L 4EI 1 sim. 0 0 L 4EI2 0 L GIt L (3.18) 3.1.1.4 Vector de Forças Nodais Equivalentes O vector das forças nodais equivalentes, de acordo com (Freitas, 2009) é obtido da expressão (3.19) Em que corresponde às forças nodais equivalentes às forças de massa (3.20) Onde representa as forças de massa representa as forças nodais equivalentes aplicadas na fronteira. (3.21) Onde corresponde às forças de fronteira E trata-se das forças aplicadas directamente nos nós do elemento. 34
3.1.1.5 Transformação de Coordenadas A transformação dos doze deslocamentos generalizados representados na Figura 3.4 é efectuada através da relação (3.22) em que a matriz de transformação 3x3 (3.2) passa a ser uma matriz 12x12 como se verifica em (3.23). d T l d g (121) (1212) (121) (3.22) l a T T T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a l a2 l a 3 l a4 l a 5 l a6 l a 7 l a8 l a9 l a 10 l a11 l a 12 g 11 12 13 1 T21 T22 T23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g a2 T31 T32 T33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g a3 g 0 0 0 T11 T12 T13 0 0 0 0 0 0 a4 0 0 0 T21 T22 T23 0 0 0 0 0 0 g a 5 g 0 0 0 T31 T32 T33 0 0 0 0 0 0 a 6 0 0 0 0 0 0 T11 T12 T1 3 0 0 0 g a 7 g 0 0 0 0 0 0 T21 T22 T23 0 0 0 a8 g 0 0 0 0 0 0 T31 T32 T33 0 0 0 a9 g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T11 T12 T13 a 10 g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T21 T22 T23 a11 g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T31 T32 T33 a 12 (3.23) Dispondo assim das matrizes de Rigidez no referencial local Equivalentes, estas relacionam-se através da equação: e das Forças Nodais (3.24) Sendo o vector dos deslocamentos generalizados num elemento no referencial local. As equações (3.22) e (3.23) também são válidas para o caso de forças generalizadas, tendo-se também (3.25) Visto que a matriz de transformação é ortogonal, ou seja 35
(3.26) Ao multiplicar ambos os termos da equação (3.25) por obtém-se: (3.27) Logo, ao substituir em (3.27) a equação (3.24), resulta: (3.28) E finalmente, substituindo a (3.22) nesta, chega-se a: (3.29) Sabendo que a relação de rigidez do elemento no referencial geral é (3.30) Verifica-se da sua comparação com (3.30) que a matriz de rigidez elementar de pórtico 3D no referencial geral é dada por (3.31) 3.1.1.6 Equação Resolvente Segundo (Freitas, 2009), a solução aproximada em cada elemento está sujeita à condição de ser cinematicamente admissível, sendo construída de maneira a satisfazer localmente a condição de fronteira cinemática (3.32) da estrutura. em (3.32) E ainda, a condição equivalente entre elementos; em (3.33) Em que os índices e identificam dois elementos que partilham a fronteira interior. 36
Essa condição é imposta relacionando os deslocamentos nodais dos elementos, deslocamentos nodais da estrutura,, através de uma condição de incidência nodal:, com os (3.34) As forças nodais equivalentes na estrutura definem as resultantes das contribuições das forças nodais equivalentes geradas em cada elemento: (3.35) E são utilizadas para estabelecer a equação resolvente do problema: (3.36) Este sistema de equações define as condições de equilíbrio das forças nodais equivalentes, impondo aproximadamente as condições de equilíbrio no domínio: em (3.37) e na fronteira estática em (3.38) ou as equações equivalentes (3.39) e (3.40) em (3.39) em (3.40) estendidas de modo a incluírem as condições de equilíbrio (3.41) nas fronteiras entre elementos. em (3.41) 3.1.2 Método dos Elementos Finitos para uma Análise Temporal Numa análise dinâmica de estruturas, como se trata o caso em estudo, a formulação das equações que regem os elementos finitos sofre alterações. 37
Comparativamente com uma análise estática, de acordo com (Ferreira, 2009) numa análise dinâmica é necessário entrar em linha de conta com a influência da massa da barra e a acção aplicada passa a ser dependente não só da coordenada longitudinal da barra como também do tempo. Ou seja na equação (3.39) passa a ser contemplada a influência da massa da barra. (3.42) Em que é a aceleração da barra que se apresenta multiplicada pela sua massa definida pelo parâmetro força de inércia., o produto da densidade da barra pela área da secção transversal, originando uma Falta apenas definir o campo de deslocamentos (3.42). que permite resolver a equação diferencial Para a determinação de valores próprios e vectores próprios, tratando-se das frequências próprias e modos de vibração, o problema pode ser directamente resolvido a partir da equação (3.42), considerando que a variável tempo do campo de deslocamentos é periódico e independente da variável espacial, verificando-se que a solução assume a forma (3.43) Onde corresponde à frequência de excitação da barra, e representa a configuração deformada da estrutura para um determinado valor de. Substituindo (3.43) na solução homogénea representada por (3.42) obtém-se (3.44) Chega-se portanto à seguinte equação para um elemento finito. (3.45) A matriz de Rigidez elementar não sofre qualquer alteração comparada com a definida em (3.18). Por sua vez para constantes ao longo do domínio do elemento finito deparamo-nos com a seguinte matriz de massa consistente 38
M SL 420 e e e e 156 0 0 0 22Le 0 54 0 0 0 13Le 0 156 0 22Le 0 0 0 54 0 13L 0 0 e 140 0 0 0 0 0 70 0 0 0 2 2 4Le 0 0 0 13Le 0 3Le 0 0 2 4Le 0 13Le 0 0 0 22L 0 e 0 0 0 0 0 0 0 156 0 0 0 22Le 0 156 0 22Le 0 0 140 0 0 0 2 sim 4Le 0 0 2 4Le 0 0 (3.46) Tendo isto é então necessário acoplar as equações de todos os elementos finitos, como descrito anteriormente, para determinar a solução global do problema de modo a obter as frequências próprias da estrutura e respectivos modos de vibração. 3.2 Método de Newmark O método de Newmark (MN) assume uma forma de integração implícita que procura satisfazer a equação diferencial no instante utilizando a solução do instante. Em cada instante a integração é feita através de um conjunto de equações lineares. Recorreu-se a este método tal como desenvolvido em (Santos, 2008), como ferramenta para validação não só pela facilidade de processamento numérico, como também pela possibilidade de utilização de uma maior gama de passos de integração. Para uma variável, geralmente a série de Taylor permite obter as seguintes equações: (3.47) No entanto Newmark apenas considerou as três primeiras derivadas, tendo obtido: (3.48) (3.49) (3.50) 39
Admitindo que a aceleração é linear no passo de integração: (3.51) Obtém-se (3.52) (3.53) Tendo isto, para obter as expressões a utilizar no processamento numérico, basta reescrever a equação fundamental da dinâmica. (3.54) Substituindo no conjunto de equações (3.52) e (3.53), a variável a integrar no tempo, verifica-se: (3.55) (3.56) Substituindo as equações (3.55) e (3.56) na equação (3.54) obtém-se a o valor de aceleração no instante, uma vez conhecidos os valores de deslocamento, velocidade e aceleração no instante e ainda (conhecida a sua variação). Obtido, recorre-se novamente às equações (3.55) e (3.56) para obter os valores da velocidade e deslocamento, tendo assim os valores necessários a utilizar na próxima iteração. Na atribuição dos valores dos parâmetros e, tal como em (Santos, 2008) procurou-se utilizar uma combinação estável, aplicando a regra dos trapézios. Recorreu-se a uma comparação entre as equações (3.55) e (3.56) com as expressões obtidas da simplificação de Taylor tendo em conta a aceleração média entre instantes: (3.57) (3.58) Obtendo valores de e. 40
No entanto há várias combinações possíveis para estes parâmetros: Método da Diferença Central, com e Método da aceleração linear, com e No entanto estes dois métodos apresentam-se condicionalmente estáveis, o que torna indesejável a sua utilização. De acordo com (Clough & Penzien, 1995) haveria ainda a hipótese de alterar o parâmetro mas isso implicaria alterar o amortecimento relacionado com o algoritmo o que também não é desejável. No entanto, com valores de e, está-se perante um algoritmo estável para qualquer passo de integração e não introduz amortecimento, ou seja, trata-se de um algoritmo energeticamente conservativo para o caso de vibração em regime livre. 3.2.1 Geração do Sismo e a sua aplicação no MN 3.2.1.1 Geração do Sismo Como já foi referido anteriormente, admite-se que as vibrações sísmicas podem ser representadas por um processo estocástico, estacionário e gaussiano, com densidade espectral de potência dada pela função. De tal modo que, segundo (Guerreiro, 1997) para gerar um sismo é então possível gerar acelerogramas através da sobreposição de séries harmónicas, recorrendo à seguinte expressão: (3.59) As amplitudes são definidas para que as acelerações representem o espectro de potências pretendido. Para isso é necessário que: (3.60) Note-se que representa as frequências correspondentes a cada série harmónica considerada, tendo definido um intervalo. Já corresponde à fase de cada série harmónica e que, com o objectivo de originar imprevisibilidade à acção sísmica, é definida como uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo. 41
Recorre-se directamente à função de densidade espectral da acção sísmica considerada e definindo um, são geradas séries de aceleração para a acção sísmica considerada com a duração de 10 segundos. A Acção Sísmica considerada neste caso é a acção sísmica do tipo I a actuar num solo de fundação do tipo II, de acordo com o R.S.A,. cuja função de densidade de espectral se representa na Figura 3.5. Figura 3.5 Espectro de Potências dada a ocorrência de um sismo do tipo I num solo do tipo II Não se teve em conta com a evolução das amplitudes do acelerograma ao longo do tempo, uma vez não se ter considerando uma envolvente do tipo beta nas séries geradas. Obtiveram-se assim acelerogramas semelhantes ao da Figura 3.6. 42
Figura 3.6 Acelerograma obtido duma acção sísmica do tipo I num solo de fundação do tipo II de acordo com o R.S.A. 3.2.1.2 Aplicação no MN Relembrando a equação (3.54), a introdução da acção sísmica no método numérico desenvolvido é efectuada com a simples substituição da parcela pela força produzida pelo efeito do produto da Massa da estrutura pela aceleração retirado do acelerograma obtido que define a acção sísmica para o espectro de potências pretendido para cada, juntamente com a introdução das equações (3.55) e (3.56) na mesma equação como já foi visto na descrição do Método. 43
Capítulo 4 - Modelo Numérico Implementação para o caso tridimensional Neste capítulo propõe-se uma generalização da técnica proposta por (Ferreira, 2009) utilizada para o caso bidimensional na qual os esforços são obtidos através de uma análise direccional. 4.1 Combinação dos três esforços Numa primeira etapa, pegando nos esforços obtidos do MEF, separando em parcela real e parcela imaginária, obtém-se a sua norma. De seguida analisam-se os conjuntos de esforços no espaço tridimensional, verificando a ocorrência de desfasamento nos vários pontos do espaço, traduzindo a interacção. Obtém-se o conjunto de esforços para cada frequência definido por um vector que traduz a soma direccional dos vectores de cada esforço, calculando posteriormente o conjunto de esforços máximo somando os vectores associados a cada frequência. 4.1.1 Análise da Interacção. Como já foi referido anteriormente, o estudo desenvolvido propõe uma análise direccional dos esforços. Recorrendo ao MEF, quando a estrutura é excitada por uma dada frequência, para a resposta em regime estacionário, os esforços obtidos numa dada secção s são: (4.1) (4.2) (4.3) Onde representa a parcela real, e a parcela imaginária dos respectivos esforços no domínio dos números complexos para uma frequência de excitação. Os valores obtidos dos esforços são variáveis ao longo do tempo como se pode verificar nas equações (4.1), (4.2) e (4.3). 45
Uma vez que a fase de cada esforço é dada por: (4.4) E que a norma dos mesmos é definida pelas expressões: (4.5) (4.6) (4.7) Podem-se redigir os esforços podem pelas expressões: (4.8) (4.9) (4.10) Como tal, tratando-se de número complexos,, e são representados por uma circunferência de raio, e. 46
A Figura 4.1 representa, no plano complexo dada uma frequência de excitação. Figura 4.1 1 - Curva representativa, no plano complexo, de, dada uma frequência de excitação Consequentemente, ao estudar a interacção entre os três esforços para uma frequência genérica, torna-se possível determinar os valores dos esforços em causa para uma dada direcção no espaço de interacção definido pelos ângulos e, conforme se explica à frente. Pode-se portanto, para uma dada frequência de excitação, obter a envolvente de todos os conjuntos de esforços numa secção ao longo do tempo em que decorre a acção. Ao analisar a interacção entre os três esforços em função dos ângulos e, é de esperar que seja definido uma superfície de interacção volumosa devido à existência de desfasamento entre as respostas da estrutura expressas nos três esforços, numa dada secção. Se apenas se verificar desfasamento nas respostas expressas em dois dos três esforços, a superfície de interacção passa a tender para uma elipse, tratando-se do resultado que se verificou para o caso bidimensional. E ainda na ausência de qualquer desfasamento, a resposta situa-se numa recta. 1 A Figura 4.1 representa, no plano complexo dada uma frequência de excitação, podendo representar analogamente e cujos raios seriam e respectivamente. 47
4.1.2 Cálculo das superfícies de Interacção Trabalhando as expressões dos esforços obtidos pelo MEF para uma dada secção s, ocorrendo uma frequência genérica de excitação do pórtico, tem-se: (4.11) (4.12) (4.13) Em que ao observar as equações (4.11), (4.12) e (4.13) verifica-se que os esforços podem ser obtidos tanto pela componente real como pela componente imaginária das amplitudes dos esforços dadas por, e. De tal modo, quando se estuda a interacção, o que se torna relevante é a análise de parcelas iguais nos diversos esforços ou seja, somente a parte real ou somente a parte imaginária. Sendo assim definiu-se que a interacção dos vários esforços é dada pela parcela real do mesmos. (4.14) (4.15) (4.16) 48
Pelo facto dos valores obtidos dos esforços se verificarem em função do tempo, os máximos dos esforços podem não ocorrer em simultâneo, existindo a necessidade de definir estes valores para as diversas direcções no espaço, as quais são definidas num sistema de coordenadas em que mede a orientação no plano e a elevação, conforme representada na Figura 4.2. Figura 4.2 Sistema de coordenadas em que mede a orientação no plano e a elevação A partir de tais direcções, obtêm-se os vários conjuntos de esforços. São assim definidos e com o intuito de definir as várias direcções no espaço: (4.17) (4.18) Sendo definidas da seguinte forma: (4.19) (4.20) 49
Ficam assim abrangidas todas as direcções para valores nos quatro octantes superiores do espaço dos esforços. Aplicando simples regras de simetria, obtêm-se os esforços máximos em todas as direcções nos restantes octantes. E reúnem-se assim as condições para calcular o conjunto de esforços na superfície de interacção duma secção quando a estrutura é excitada por uma frequência genérica, segundo as direcções e, recorrendo a um vector. Onde: (4.21) Que definido pelas parcelas reais dos esforços fica: (4.22) Figura 4.3 Definição de um conjunto de esforços numa dada superfície de interacção Tal como reflecte a equação (4.22), o vector estabelece a projecção da soma dos vectores dos esforços, e, sobre a recta definida pelos ângulos e, que passa na origem do sistema de eixos que caracteriza o espaço de interacção. 50
Logo, para definir um conjunto de esforços, é necessário obter os vectores dos esforços que produzem o maior vector projecção, para uma frequência de excitação. Para tal é necessário determinar a partir do ângulo o instante em que o vector de projecção é máximo, introduzindo-o posteriormente nas equações (4.14), (4.15) e (4.16). A expressão matemática que traduz esse raciocínio é dada por: ou seja, (4.23) (4.24) Como a parte real e imaginária desta expressão têm de se anular, esta define um sistema de duas equações, que são resolvidas em função de e, as componentes do versor correspondente ao instante. Conhecido o valor do ângulo o conjunto de esforços considerada. e substituindo-o nas equações (4.14), (4.15) e (4.16) define-se correspondente, para a frequência de excitação Repetindo o processo para as diversas direcções definidas por e obtém-se a interacção para a frequência em causa, que resulta numa superfície de interacção com algum volume. Por último, refazendo todo este processo para todas as frequências de excitação definidas anteriormente, obtêm-se todas as curvas de interacção para o espectro de frequências escolhido. Há ainda que ter em linha de conta que todo este processo é desenvolvido, com a acção sísmica a actuar apenas numa direcção. Ao repetir o processo para uma gama de direcções, visto ser desconhecida a direcção de actuação da acção sísmica, a superfície de interacção ganha volume, pois haverá direcções de actuação da acção sísmica em que existe mais desfasamento entre as três respostas que outras. 51
4.1.3 Combinação das Curvas de Interacção Obtidas as superfícies de interacção em todo o espectro de frequências, a questão que se coloca é como combiná-las de modo a obter os conjuntos de esforços de dimensionamento de uma secção. Visto não existir qualquer relação de dependência entre as frequências analisadas, o vector projecção que origina a máxima combinação possível de todas as frequências analisadas, é dada pelo somatório dos vectores projecção de cada frequência analisada. Assim sendo, calculados o máximo dos vectores para cada frequência discreta, determinam-se posteriormente os respectivos conjuntos de esforços, de tal modo que a soma dos vários conjuntos origina o conjunto de esforços de combinação que define o vector. Repetindo o procedimento para todas as direcções definidas por e obtém-se por fim a superfície de interacção de dimensionamento. A definição da acção para cada frequência é feita a partir do espectro de potência de aceleração do sismo, como se apresenta no próximo subcapítulo. 4.2 Definição da Acção Dinâmica Para se processar o estudo dinâmico do pórtico é ainda necessário definir a acção. Também aqui as técnicas utilizadas são as mesmas que as implementadas para o caso bidimensional em (Ferreira, 2009). O objectivo é obter os valores esperados do máximo de cada esforço partindo de uma função de densidade espectral de potência de aceleração definida para uma acção sísmica. 4.2.1 Resposta da Estrutura A resposta da estrutura é dada por um processo estocástico Gaussiano ergódico estacionário, de modo que as funções densidade espectral dos conjuntos de esforços verificados nas secções da estrutura são dadas por: (4.25) 52
(4.26) (4.27) Em que os vectores, e correspondem respectivamente aos vectores de, de e de que solicitam as secções da estrutura em função da frequência de excitação, que foram calculados pelo MEF. Note-se que tais vectores estão intimamente relacionados com as funções de receptância de cada grau de liberdade da estrutura, uma vez que são calculados para uma aceleração unitária. Assim sendo, na definição dos esforços que solicitam a estrutura devido a uma acção dinâmica, deve-se multiplicar os esforços obtidos para uma aceleração unitária pela aceleração associada à frequência de excitação da acção. Ora, sendo a acção dinâmica definida por uma função de densidade espectral de potência de aceleração,, é possível determinar uma função de densidade de esforços originados pela resposta da estrutura, tal como demonstrado nas equações (4.25), (4.26) e (4.27). Note que é uma função que define o quadrado do valor da aceleração por unidade de frequência, logo ao se estabelecer uma função de densidades espectral de esforços, para as diferentes secções da estrutura, os seus resultados para uma aceleração unitária também apresentarão o seu valor quadrático, justificando-se assim a multiplicação pelos respectivos conjugados nas respectivas equações (4.25), (4.26) e (4.27). 4.2.2 Calculo dos esforços devido à acção dinâmica Ao restringir o cálculo da resposta para uma determinada secção, tem-se as seguintes funções de densidade espectral: (4.28) (4.29) (4.30) 53
Os resultados obtidos destas equações, para uma aceleração unitária apresentam o seu valor quadrático. Por conseguinte a função de densidade espectral de resposta da estrutura define o quadrado do valor da resposta por unidade de frequência da excitação, ou seja as equações (4.28), (4.29) e (4.30) definem o quadrado do valor do esforço normal, o quadrado do momento flector e o quadrado do momento flector numa determinada secção. De tal modo, os valores esperados dos esforços, e numa determinada secção, são obtidos através das respectivas expressões: (4.31) (4.32) (4.33) Querendo obter o valor máximo de cada esforço numa dada secção, procede-se à multiplicação dos valores esperados dos esforços definidos anteriormente, por um valor constante definido para cada esforço. (4.34) (4.35) (4.36) Tal constante tem em conta o número de passagens ascendentes ( ) pelo nível 0, dependendo estas da frequência de excitação que solicita cada esforço, sendo obtido aplicando a expressão: (4.37) Onde, de acordo com (Clough & Penzien, 1995) corresponde à constante de Euler apresentando um valor igual a 0,5772, enquanto a parcela corresponde na prática ao número de passagens pelo nível 0 como já foi referido. 54
De modo a obter o valor mais aproximado possível para cada esforço actuante devido à acção sísmica, efectuou-se o cálculo analítico do parâmetro, que é posteriormente multiplicado pelo tempo de duração da acção sísmica ( ). (4.38) De acordo com os mesmos autores, para obter e para cada esforço actuante, recorre-se à expressão: (4.39) Ou seja: (4.40) (4.41) (4.42) e (4.43) (4.44) (4.45) Calculados todos estes parâmetros, facilmente são obtidos os valores de, e. No entanto para se obter a combinação de todas as interacções possíveis entre os esforços calculados, efectua-se a integração das derivadas dos respectivos valores esperados dos máximos de cada esforço em todo o espectro de frequências definido, obtendo-se a sua taxa de crescimento em função da frequência de excitação. A contribuição de cada frequência para a definição dos esforços de dimensionamento apresentase na Figura 4.4, e expressa-se nos esforços da seguinte forma: 55
(4.46) (4.47) (4.48) Figura 4.4 2 Contribuição de uma frequência de excitação, para o Esforço Normal de dimensionamento de uma secção, na ocorrência de um sismo Ao somar a contribuição de cada frequência dimensionamento devido à acção sísmica. obtém-se o conjunto de esforços de (4.49) (4.50) (4.51) 2 A Figura 4.4 retrata a contribuição de uma frequência de excitação para o Esforço Normal de dimensionamento de uma secção, no entanto poderia retratar uma frequência de excitação tanto para como para de dimensionamento de uma secção 56
Para uma resposta harmónica, com uma frequência de excitação, numa determinada secção s, os esforços, comparados com os esforços devido a uma aceleração unitária, apenas variam na sua fase de modo que para cada frequência de excitação estabelecem-se as seguintes relações: (4.52) (4.53) (4.54) Os parâmetros, e correspondem às acelerações equivalentes que surgem na base da estrutura quando esta é excitada por uma frequência, devido à acção sísmica, e que provocam numa determinada secção s, e respectivamente, definindo assim os esforços que caracterizam as superfícies de interacção. (4.55) (4.56) (4.57) 57
Capítulo 5 - Casos de estudo Neste capítulo estudaram-se dois exemplos concretos: Uma estrutura porticada regular bissimétrica com um piso, e posteriormente com dois pisos. Uma estrutura irregular de um piso, com duas massas concentradas excentricas. Obtiveram-se as superfícies de interacção de esforços e os valores máximos dos Esforços obtidos da análise direccional de esforços, do MN e do método de sobreposição modal CQC. 5.1 Pórtico Regular 5.1.1 Definição de Modelo Num primeiro Exemplo considerou-se um pórtico regular simétrico de Betão Armado com pilares de 3,5 metros de altura e vigas com vão de 6 m. Tanto as vigas como os pilares apresentam uma secção de 60x30 cm 2. Os pilares apresentam-se orientados com a sua maior direcção segundo y e as vigas segundo z.. O pórtico é assim definido em 8 macro-nós, que correspondem aos nós de ligação entre as barras, e consequentemente por 8 macro-barras, tratando-se estas das vigas e pilares, como se verifica na Figura 5.1. 59
Figura 5.1 Pórtico Tridimensional de um piso De modo a obter uma descritização razoável da estrutura optou-se por dividir cada macro-barra em 10 barras (10 elementos finitos). Cada macro-nó foi definido pelas suas coordenadas, pelas restrições aos deslocamentos que lhe estão associados e pela sua massa. Considerou-se que os pilares se encontram encastrados ao terreno, ou seja os macro-nós 1,2,3 e 4 apresentam todos os movimentos restringidos. Os restantes macro-nós não apresentam qualquer restrição a nenhum dos 6 deslocamentos, apresentando portanto os 6 graus de liberdade. Relativamente à massa, nenhum macro-nó apresenta massa associada pelo facto desta estar distribuída pelas barras como se viu atrás (na definição da matriz de massa). As macro-barras foram definidas pela sua secção pelos macro-nós que as definem e ainda por um vector auxiliar. Cada secção foi definida pelas rigidezes de flexão nas duas direcções, rigidez axial, rigidez de torção e pela sua massa. A única diferença na definição das secções das vigas, em relação aos pilares, foi o facto de se ter acrescentado uma sobrecarga de 40 kn/m à sua massa. O vector auxiliar permite definir a orientação da secção uma vez que este é definido de modo a fazer a mudança de coordenadas do eixo global para o eixo local. 60
Definição dos eixos de uma barra O eixo O eixo ). corresponde ao eixo da barra. é definido pelo produto externo entre o vector auxiliar da barra com o eixo da barra (eixo E finalmente o eixo é definido pelo produto externo do eixo com o eixo, definindo assim os eixos locais de cada barra. Figura 5.2 Eixos Locais de uma Barra 5.1.2 Análise Modal A realização da análise modal no âmbito deste trabalho tem o objectivo de transmitir uma noção do comportamento da estrutura face à acção sísmica através da observação dos modos de vibração da estrutura. A sua análise pode servir de apoio à interpretação dos esforços obtidos posteriormente e consequentemente a interacção entre eles. 5.1.2.1 Programa em Matlab Tendo definido o modelo, inclusive as matrizes de rigidez e massa da estrutura, são determinadas todas as frequências próprias da estrutura das quais apenas se deu importância às primeiras 12 (Tabela 5.1), tendo obtido ainda os respectivos modos de vibração da estrutura (Figura 5.3). 61
Tabela 5.1 Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do Programa em Matlab Modo Período (s) Frequência (Hz) 1 0,348 2,877 2 0,251 3,989 3 0,221 4,516 4 0,195 5,131 5 0,159 6,308 6 0,109 9,135 7 0,106 9,410 8 0,102 9,844 9 0,096 10,383 10 0,090 11,109 11 0,075 13,333 12 0,074 13,585 Figura 5.3 - Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do Programa em Matlab 5.1.2.2 Programa em SAP2000 A análise modal recorrendo ao SAP2000 foi efectuada com o intuito de validação do modelo já definido anteriormente. Na Tabela 5.2 pode-se observar os valores das primeiras 12 frequências da estrutura obtidas pelo SAP2000 e a Figura 5.4 os respectivos modos de vibração. 62
Tabela 5.2 - Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do SAP2000 Modo Período (s) Frequência (Hz) 1 0,348 2,871 2 0,253 3,957 3 0,223 4,485 4 0,205 4,878 5 0,160 6,251 6 0,112 8,935 7 0,106 9,399 8 0,104 9,656 9 0,096 10,367 10 0,092 10,882 11 0,075 13,284 12 0,074 13,452 Figura 5.4 Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do SAP2000 Verifica-se que os valores das primeiras 12 frequências da estrutura, obtidos pelo SAP2000, são semelhantes aos valores obtidos correndo o programa executado no Matlab. Também os modos de vibração são na sua quase totalidade idênticos, sendo desprezáveis as diferenças verificadas. Admitindo que a comparação com o SAP2000 é suficiente, conclui-se que o modelo de partida para uma posterior análise de esforços e sua interacção é válido. 63
5.1.3 Resposta para uma Direcção fixa 5.1.3.1 Interacção de Esforços Resultante da Modelação da Acção Sísmica a actuar na Estrutura Tendo o método numérico definido, procedeu-se à sua aplicação a alguns casos práticos, nomeadamente a uma estrutura porticada simples bissimétrica (Figura 5.1). Estudou-se o efeito na estrutura devido à ocorrência de uma acção sísmica do tipo I, considerando um solo de fundação da estrutura tipo II, segundo o R.S.A. Numa primeira etapa estudou-se os efeitos da acção numa única direcção, tendo sido estudado as várias direcções apresentadas na Figura 5.5. Figura 5.5 Direcções de actuação da acção sísmica estudadas Posteriormente estudou-se o efeito na estrutura devido à ocorrência da mesma acção a actuar em qualquer direcção. A análise do efeito da acção sísmica na estrutura recaiu nos esforços actuantes na base do pilar da estrutura porticada em causa. 5.1.3.1.1 Caracterização da acção Dinâmica A acção sísmica definida no método numérico é caracterizada por uma função de densidade espectral de potência do sismo já referido, disponível no R.S.A como se encontra representada na Figura 3.5.. 5.1.3.1.2 Relação entre o Valor Máximo Esperado e o Valor Esperado da Resposta da Estrutura, dado um Sismo Como se pode verificar em 4.1 e 4.2 os cálculos são efectuados considerando os valores máximos esperados, podendo ser calculado a partir do seu valor esperado como demonstra a equação 64
(2.47). Esse valor pode ser obtido através do gráfico representado na Figura 2.4 que traduz a expressão (2.48) em que o parâmetro é obtido através das expressões descritas em 4.2.2. Uma vez conhecida a resposta da estrutura ao longo do tempo, torna-se possível determinar quais os valores de, e que são considerados na determinação do valor esperado dos esforços na base do pilar em estudo, dada a resposta da estrutura. Note-se que o parâmetro, como já referido, representa o número de valores ascendentes do nível 0 o que implica que, sabendo o andamento dos esforços em função do tempo, é possível determinar directamente o seu valor. Após a obtenção de tanto por uma análise recorrendo à metodologia apresentada em 4.2.2 ou pela observação do andamento dos esforços, através do gráfico regido pela expressão (2.48) obtém-se os seguintes valores de. Tabela 5.3 Valores obtidos de, e para as direcções de actuação do sismo em estudo Direcção de actuação do sismo 0 2,814 2,838 2,814 30 2,854 2,965 2,814 45 2,893 2,965 2,814 60 2,929 2,965 2,814 90 2,964 2,965 3,084 Posteriormente, determina-se o valor máximo esperado das funções de densidade espectral dos três esforços em questão, como se viu nas expressões (4.34), (4.35) e (4.36). Sendo assim é possível prosseguir com os cálculos e determinar as superfícies de interacção, para cada frequência de excitação e por conseguinte, a superfície de interacção de dimensionamento para a secção de estudo, tendo em consideração a possibilidade de actuação da acção sísmica em qualquer direcção. 5.1.3.1.3 Determinação das Curvas de Interacção Tendo em conta o método descrito no ponto 4.1 e as especificidades definidas em 4.2, determinam-se as superfícies de interacção para as frequências de excitação, analisadas. Sabendo que a superfície de interacção é tanto mais precisa quanto maior for o número de direcções no espaço definidas no processo de cálculo, considerou-se como razoável o seguinte conjunto de direcções nos dois planos: 65
Sendo que as direcções e são dadas pelas equações (4.19) e (4.20). Todo o processo de cálculo da superfície de interacção 4.1.3. decorre tal como definido em 5.1.3.1.4 Combinação das Diferentes Curvas de Interacção Finalmente estabelece-se a combinação das diferentes superfícies de interacção para a frequência, a fim de determinar a superfície final para efeitos de dimensionamento. O processo numérico está descrito em 4.1.3. Na definição da superfície final de dimensionamento, é mais uma vez necessário ter em conta a possibilidade de actuação da acção sísmica na estrutura em qualquer direcção. 5.1.3.1.5 Resultados Tendo o modelo numérico implementado que descreve a análise direccional de esforços definido, executou-se o mesmo para a acção sísmica a actuar na estrutura somente numa direcção com o intuito de analisar os esforços actuantes e a sua interacção no pilar do pórtico. Foi-se alterando a direcção de actuação da acção sísmica, analisando novamente os resultados. As direcções de actuação da acção sísmica para a análise foram 0, 30, 45, 60 e 90. Verifica-se suficiente analisar os esforços para direcções entre os 0 e 90 pois qualquer direcção da acção sísmica entre e 90 e 360, solicita o mesmo pilar de forma semelhante. E as direcções descritas acima também são suficientes para análise da evolução dos esforços com a alteração da direcção de actuação da acção sísmica. 66
Acção sísmica a actuar a 0 Para a acção sísmica a actuar a 0 da direcção x, obtém-se a seguinte superfície de interacção de esforços. Figura 5.6 Superfície de Interacção Newtons.metro] para a acção sísmica a actuar a 0 [Newtons e Apresentando-se de seguida os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.4 Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0 [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] -67,51 0,40-236,67 67,51-0,40 236,67 67,51-0,40 236,67-67,51 0,40-236,67 Verifica-se apenas que o esforço Normal e Momento flector apresentam valores significativos, de modo que apenas entre estes dois esforços poderia haver interacção, no entanto analisando a Figura 5.6 não se verifica qualquer desfasamento no espaço de soluções, uma vez que a superfície de interacção se aproxima a uma recta. 67
Acção sísmica a actuar a 30 A Figura 5.7 apresenta a superfície de interacção de esforços para a acção sísmica a actuar a 30 da direcção x. Figura 5.7 Superfície de Interacção Newtons.metro] para a acção sísmica a actuar a 30 [Newtons e A Tabela 5.5 apresenta os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.5 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30 [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] -66,76 132,96-202,84-40,94 155,24-93,84 61,49 10,81 204,96 66,77-128,44 203,25 40,94-155,24 93,84-61,49-10,81-204,96 Neste caso já se verifica solicitação do pilar pelos três esforços de forma considerável. Ao analisar a Figura 5.7 verifica-se grande interacção e e alguma interacção. 68
Acção sísmica a actuar a 45 A interacção de esforços para a acção sísmica a actuar a 45 da direcção x pode ser observada na Figura 5.8. Figura 5.8 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45 [Newtons e Newtons.metro] Apresentam-se na Tabela 5.6 os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.6 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 45 [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] -65,77 195,55-164,74-46,99 219,55-75,99 52,18 14,91 167,35 65,79-195,46 164,52 46,99-219,55 75,99-52,18-14,91-167,35 Continua-se a verificar uma grande interacção entre os pares de esforços, e um aumento visível da interacção comparando com a acção sísmica a actuar segundo 30. 69
Acção sísmica a actuar a 60 A Figura 5.9 apresenta a superfície de interacção para a acção sísmica a actuar a 60 da direcção x. Figura 5.9 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 [Newtons e Newtons.metro] Os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo apresentam-se na Tabela 5.7. Tabela 5.7 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 60 [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] -64,55 252,89-114,23-53,70 268,89-53,49 37,83 17,19 118,33 64,58-251,15 114,32 53,70-268,89 53,49-37,83-17,19-118,33 Com a acção sísmica a actuar a 60 da direcção x, em que o momento assume valores muito superiores ao momento, verifica-se uma grande interacção entre os três pares de esforços, e. Note-se que a situação mais gravosa com a acção sísmica a actuar a 30, 45 e 60 da direcção x se verifica quando o Esforço Normal é máximo. 70
Acção sísmica a actuar a 90 A Figura 5.10 apresenta a superfície de interacção para a acção sísmica a actuar segundo y. Figura 5.10 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar segundo y [Newtons e Newtons.metro] A Tabela 5.8 apresenta os valores dos conjuntos de esforços em que cada esforço é máximo. Tabela 5.8 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica segundo y [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 63,07-310,49 0,24-63,07 310,49-0,24-63,07 310,49-0,24 63,07-310,49 0,24 De forma semelhante à acção sísmica a ocorrer na direcção segundo x (0 ), a acção, perante a acção sísmica segundo a direcção y verifica-se apenas dois esforços: Esforço Normal e Momento flector. E também aqui não se verifica qualquer interacção entre os dois esforços uma vez que a superfície de interacção se aproxima a uma recta como se pode observar na Figura 5.10. 71
5.1.3.2 Resultados obtidos da Simulação através do MN 5.1.3.2.1 Estudo Estatístico do Número de Amostras viável Para fins de comparação dos resultados obtidos da análise direccional de esforços, recorreu-se ao MN gerando sismos aleatórios e avaliando os seus resultados. Para isso foi necessário fazer um estudo estatístico dos resultados obtidos pelo MN com diferentes dimensões de amostragem. Executou-se o programa de simulação para um sismo a actuar numa direcção escolhida ao acaso, tendo sido de 45. Foram feitos testes para amostras 3 com 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000 e 2000 sismos. Como o que se pretende é estimar a média do máximo, as tabelas pretendem demonstrar o número de amostras que é necessário para obter com elevada probabilidade, uma boa estimativa dessa média. As tabelas e gráficos seguintes demonstram assim a variação de resultados com o aumento do tamanho da amostra. Esforço Normal Tabela 5.9 Valores do Esforço Normal obtidos através da Simulação, variando o número de amostras Número de Amostras Valor Mínimo [kn] Valor Máximo [kn] Valor Médio [kn] Desvio Padrão 200 Amostras com 1 sismo 38,16 96,78 64,44 11,63 200 Amostras com 2 sismos 46,46 96,59 63,86 7,26 200 Amostras com 5 sismos 52,59 80,04 63,86 4,89 200 Amostras com 10 sismos 55,61 75,02 64,46 3,63 200 Amostras com 20 sismos 58,58 72,64 64,46 2,55 200 Amostras com 50 sismos 60,37 68,38 64,32 1,40 200 Amostras com 100 sismos 61,35 67,38 64,13 1,09 200 Amostras com 200 sismos 61,13 66,62 64,10 0,82 96 Amostras com 500 sismos 63,11 65,65 64,15 0,50 48 Amostras com 1000 sismos 63,23 64,96 64,15 0,39 24 Amostras com 2000 sismos 63,55 64,69 64,15 0,31 3 Uma amostra com n sismos corresponde a efectuar uma média dos valores obtidos dos n sismos. Ou seja quando nas tabelas aparece 200 amostras com 100 sismos significa que os resultados dessa linha provêm das 200 médias dos máximos dos valores obtidos em 100 sismos 72
100,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 Valores Mínimos de N [kn] Valores Máximos de N [kn] Valores Médios de N [kn] 0,00 1 10 100 1000 Gráfico 5.1 Variação dos Valores de Esforço Normal com o aumento do número de amostras Momento Flector Tabela 5.10 - Valores do Momento Flector M 1 obtidos através da Simulação, variando o número de amostras Número de Amostras Valor Mínimo [knm] Valor Máximo [knm] Valor Médio [knm] Desvio Padrão 200 Amostras com 1 sismo 129,05 327,02 203,98 31,23 200 Amostras com 2 sismos 144,32 283,36 202,71 26,08 200 Amostras com 5 sismos 166,08 250,62 201,75 15,41 200 Amostras com 10 sismos 173,68 235,58 201,83 11,25 200 Amostras com 20 sismos 185,13 217,81 202,30 7,43 200 Amostras com 50 sismos 191,04 214,03 202,18 4,61 200 Amostras com 100 sismos 190,71 209,65 201,74 3,65 200 Amostras com 200 sismos 193,34 210,56 201,57 2,59 96 Amostras com 500 sismos 196,52 205,15 201,64 1,62 48 Amostras com 1000 sismos 198,51 203,53 201,64 1,13 24 Amostras com 2000 sismos 199,91 202,82 201,64 0,75 73
350,00 300,00 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 Valores Mínimos de M1 [knm] Valores Máximos de M1 [knm] Valores Médios de M1 [knm] 0,00 1 10 100 1000 Gráfico 5.2 - Variação dos Valores de Momento Flector com o aumento do número de amostras Momento Flector Tabela 5.11 - Valores do Momento Flector M 2 obtidos através da Simulação, variando o número de amostras Número de Amostras Valor Mínimo [knm] Valor Máximo [knm] Valor Médio [knm] Desvio Padrão 200 Amostras com 1 sismo 72,62 264,41 144,99 31,23 200 Amostras com 2 sismos 98,06 210,03 146,22 20,53 200 Amostras com 5 sismos 109,95 195,06 148,04 15,13 200 Amostras com 10 sismos 126,49 180,29 149,23 10,19 200 Amostras com 20 sismos 134,11 168,26 149,13 6,77 200 Amostras com 50 sismos 136,88 161,33 148,57 4,26 200 Amostras com 100 sismos 140,75 156,88 148,51 3,10 200 Amostras com 200 sismos 142,40 154,79 148,59 2,31 96 Amostras com 500 sismos 146,08 151,80 148,71 1,36 48 Amostras com 1000 sismos 146,76 151,33 148,71 1,07 24 Amostras com 2000 sismos 146,93 150,44 148,71 0,78 74
350,00 300,00 250,00 200,00 Valores Mínimos de M2 [knm] Valores Máximos de M2 [knm] Valores Médios de M2 [knm] 150,00 100,00 50,00 0,00 1 10 100 1000 Gráfico 5.3 - Variação dos Valores de Momento Flector com o aumento do número de amostras Da análise das tabelas e dos gráficos verifica-se que uma amostra com 500 sismos apresenta valores com elevado grau de confiança. Logo os resultados da Simulação pelo MN serão obtidos calculando a média dos resultados da simulação com 500 sismos. 5.1.3.2.2 Resultados da Simulação Recorreu-se ao MN com o objectivo de obter os esforços através da simulação de uma acção sísmica real tendo em conta o seu espectro de potências de aceleração. Os esforços que se obtêm da aplicação do método são os valores máximos devido a cada amostra. O estudo estatístico efectuado anteriormente apurou que a simulação com 500 sismos traria valores confiáveis. Sendo assim os esforços obtidos por este método serão então a média dos máximos dos 500 sismos que servirão de comparação com os valores máximos dos esforços obtidos através da análise direccional de esforços. 75
A Tabela 5.12 apresenta o conjunto de esforços máximos devido à acção sísmica a actuar em cada umas das direcções estudas. Tabela 5.12 Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN Direcção de actuação do sismo 0 59,59-208,92 30 64,40 141,99 185,04 45 63,81 201,64 147,88 60 62,42 246,52 102,23 90 57,83 284,62-5.1.3.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000) Tal como serviu de validação do modelo, também aqui se aplicou o SAP2000 para obtenção dos esforços, de modo a ter mais um elemento de comparação. Para tal recorreu-se directamente ao espectro de resposta definido no R.S.A que defina a acção o mais aproximadamente possível da acção definida nos métodos anteriores. O método de sobreposição modal que induzido no programa foi o CQC, sendo este o que melhor traduz a influencia da correlação entre frequências próprias de excitação no processo de cálculo. Na análise dos esforços para uma direcção fixa teve-se o cuidado de seguir a sugestão da Eurocódigo 8, Parte 1.1 que preconiza que a resposta em termos de esforços deve-se à combinação das duas componentes horizontais da acção sísmica, o que não se verifica nos outros métodos, e poderão ser calculados utilizando a combinação (5.1) no SAP2000 na definição da acção sísmica. (5.1) Em que aqui representa o efeito da acção sísmica na sua direcção de actuação e o efeito da acção na sua direcção ortogonal. 76
A Tabela 5.13 apresenta assim os esforços obtidos devido à acção sísmica a actuar nas direcções estudadas. Tabela 5.13 Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000 Direcção de actuação do sismo 0 62,75 67,75 171,88 30 62,82 171,83 174,58 45 62,36 206,67 157,95 60 61,69 228,42 130,56 90 60,39 224,91 51,76 5.1.4 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida Tendo feito uma análise da interacção dos esforços actuantes na base de um pilar da estrutura, para a acção sísmica a actuar numa direcção específica, procede-se agora à análise da interacção dos esforços actuantes perante a acção sísmica a actuar sobre qualquer direcção, de modo a obter assim a superfície de interacção de dimensionamento uma vez que, na ocorrência do sismo, a sua direcção de actuação é desconhecida. Correu-se o programa com um intervalo de direcções definido de 0 a 90 da direcção x, variando a direcção com intervalos de 10 e efectuou-se a sobreposição das projecções para as várias direcções. Como já foi explicado anteriormente não tem qualquer incremento de informação actuar o sismo numa direcção fora do intervalo referido. Nesta análise a obtenção de valores máximos de esforços não tem qualquer tipo de interesse, pois esses são obtidos quando o sismo actua com direcção coincidente às direcções principais de inércia da secção do pilar. O objectivo desta análise é a obtenção da superfície de interacção dos esforços global para a acção sísmica a actuar em qualquer direcção. 77
As Figuras 5.11, 5.12 e 5.13 apresentam as superfícies de interacção dos pares de esforços, e respectivamente e a Figura 5.14 a superfície de interacção, para a acção sísmica actuar em qualquer direcção. Figura 5.11 Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e Newtons.metro] Figura 5.12 Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e Newtons.metro] 78
Figura 5.13 Interacção do par de Esforços [Newtons.metro] para o sismo a actuar em qualquer direcção Figura 5.14 - Superfície de interacção de esforços [Newtons e Newtons.metro] para o sismo a actuar em qualquer direcção Efectuando a simulação através do MN ou os métodos de sobreposição modal aplicados através do SAP2000, os resultados que valem a pena considerar são apenas os máximos, o que daria 79
origem a superfícies de interacção superfícies paralelepipédicas, perdendo-se a informação pretendida nesta análise. 5.1.5 Adição de um piso Num segundo exemplo foi acrescentando um piso ao exemplo anterior mantendo todas definições do exemplo anterior. Foram acrescentadas 4 macro-nós e 8 macro-barras (4 vigas e 4 pilares) com a mesma descretização adoptada para o exemplo anterior. Figura 5.15 Pórtico Tridimensional Regular com dois pisos Tal como para o primeiro exemplo, também aqui se achou relevante efectuar uma análise modal de modo a servir de apoio à interpretação dos resultados obtidos posteriormente e consequentemente a interacção entre eles. Tendo definido o modelo, são determinadas as frequências da estrutura das quais, também aqui, apenas se deu importância às primeiras 12 (Tabela 5.14), tendo obtido ainda os respectivos modos de vibração da estrutura (Figura 5.16). 80
Tabela 5.14 - Primeiras Frequências Próprias do Pórtico de 2 Pisos obtidas através do Matlab Modo Frequência [Hz] Período [s] 1 1,649 0,606 2 2,457 0,407 3 2,475 0,404 4 3,613 0,277 5 4,463 0,224 6 4,475 0,223 7 5,653 0,177 8 6,048 0,165 9 6,296 0,159 10 8,411 0,119 11 8,555 0,117 12 9,399 0,106 Figura 5.16 Primeiros modos de Vibração do Pórtico de 2 pisos obtidos através do programa em Matlab 5.1.5.1 Resposta para uma Direcção fixa Para este caso, todo o método numérico é semelhante. A acção sísmica é mesma e caracterizada exactamente da mesma forma. O estudo foi feito para as mesmas direcções que o primeiro exemplo, tendo sido estudada também a acção para uma direcção aleatória. 81
A secção da qual são obtidos os esforços também se mantém. A determinação do valor esperado dos esforços da secção em causa, foi efectuada exactamente da mesma forma. Posteriormente a isto, determina-se o valor máximo esperado das funções de densidade espectral dos três esforços em questão, reunindo as condições para obter as superfícies de interacção. Também a sua determinação é feita de forma análoga ao que foi feito para o primeiro exemplo, mantendo as mesmas direcções no espaço assim como a combinação das várias superfícies de modo a obter a superfície de interacção de dimensionamento. Tendo agora definido desta feita um pórtico de dois pisos com características semelhantes ao caso anterior, efectuou-se o estudo dos esforços para as direcções de actuação da acção sísmica estudadas para o primeiro exemplo 0, 30, 45, 60 e 90. 82
Acção sísmica a actuar a 0 A Figura 5.17 apresenta a superfície de interacção de esforços para a acção sísmica a actuar segundo a direcção x. Figura 5.17 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0 no Pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] A Tabela 5.15 apresenta os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.15 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0 no pórtico de 2 pisos [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 204,97-0,20 312,06 203,76-0,24 315,16-204,97 0,20-312,19-203,76 0,24-315,16 Tal como se verificou no primeiro exemplo, no pórtico com apenas um piso, também aqui se verifica muito pouca interacção entre o par de esforços. 83
Acção sísmica a actuar a 30 Observa-se na Figura 5.18 a superfície de interacção de esforços para a acção sísmica a actuar 30 da direcção x. Figura 5.18 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] As tabelas que se seguem apresentam os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.16 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30 no pórtico de 2 pisos [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 215,22-197,88 268,38-133,06 242,84-122,34 190,46 17,41 272,93-215,02 205,87-268,92 133,06-242,84 122,34-190,46-17,41-272,93 Ao analisar a Figura 5.18 verifica-se de forma análoga ao exemplo do pórtico com apenas um piso, grande interacção e e uma interacção inferior. 84
Acção sísmica a actuar a 45 A Figura 5.19 apresenta a interacção de esforços para a acção sísmica a actuar a 45 da direcção x. Figura 5.19 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] As tabelas que se seguem indicam os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.17 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 45 no pórtico de 2 pisos [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 223,81-303,04 217,21-164,67 343,44-99,60 163,34 24,39 222,85-223,66 304,82-218,08 164,67-343,44 99,60-163,34-24,39-222,85 Tendo a acção sísmica a actuar a 45 da direcção segundo x, continua-se a verificar uma grande interacção entre os pares de esforços, e um aumento visível da interacção de forma semelhante ao exemplo do pórtico com um piso. 85
Acção sísmica a actuar a 60 A Figura 5.20 apresenta a superfície de interacção de esforços para a acção a actuar a 60 da direcção x. Figura 5.20 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] De seguida apresenta-se a tabela com os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.18 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 60 no pórtico de 2 pisos [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 231,36-390,70 150,65-197,45 420,63-70,31 117,70 29,22 157,58-231,22 386,70-152,43 197,45-420,63 70,31-117,70-29,22-157,58 Com a acção sísmica a actuar a 60 da direcção segundo x, verifica-se uma grande interacção entre os três pares de esforços, e. Note-se que, analogamente ao que se verificou para o exemplo do pórtico de um piso, a situação mais gravosa com a acção sísmica a actuar segundo 30, 45 e 60 da direcção x se verifica quando o Esforço Normal é máximo. 86
Acção sísmica a actuar a 90 Finalmente apresenta-se na Figura 5.21 a superfície de interacção para a acção sísmica a actuar segundo y. Figura 5.21 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] E na tabela seguinte estão indicados os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.19 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 90 no pórtico de 2 pisos [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 237,65-484,10 0,13 237,63 485,70 0,12-237,52 485,69-0,12-237,56-485,70-0,12 Perante a acção sísmica segundo a direcção y, a interacção entre os dois esforços existentes é muito reduzida uma vez que a superfície de interacção se aproxima a uma recta como se pode observar na Figura 5.21. 87
5.1.5.2 Resultados obtidos da Simulação através do MN Também para este exemplo se recorreu ao MN como ferramenta de comparação dos resultados obtidos pela análise direccional de esforços. A acção sísmica foi simulada da mesma forma que foi feita a simulação para o primeiro exemplo. Tendo em conta o estudo estatístico realizado para o primeiro exemplo, a simulação foi feita novamente para as 500 amostras. A Tabela 5.20 apresenta o conjunto de esforços máximos devido à acção sísmica a actuar em cada umas das direcções estudas agora num pórtico de dois pisos. Tabela 5.20 - Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o pórtico de 2 pisos Direcção de actuação do sismo 0 173,56-265,85 30 202,10 211,40 231,66 45 208,76 297,37 187,04 60 215,81 367,32 134,92 90 206,70 421,70-5.1.5.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000) Recorrendo ao SAP2000 aplicando a combinação modal CQC, também se determinaram os esforços na base do pilar para o pórtico como dois pisos. Os resultados obtidos apresentam-se na Tabela 5.21 Tabela 5.21 - Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000 Direcção de actuação do sismo 0 203,04 105,66 234,05 30 209,59 267,12 237,78 45 213,40 323,16 215,13 60 216,26 357,19 177,82 90 216,95 351,61 70,30 88
5.1.5.4 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida Tal como para o exemplo do pórtico com apenas um piso, também neste exemplo se determinou a superfície de interacção dos três esforços na base do pilar para qualquer direcção de actuação da acção sísmica, ou seja a superfície de interacção de dimensionamento. Correu-se o programa com as indicações já referidas no primeiro exemplo. As Figuras 5.22, 5.23 e 5.24 apresentam as superfícies de interacção dos pares de esforços, e respectivamente e a Figura 5.25 a superfície de interacção, para a acção sísmica actuar em qualquer direcção. Figura 5.22 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] 89
Figura 5.23 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] Figura 5.24 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons.metro] 90
Figura 5.25 - Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] 5.2 Pórtico Irregular Num terceiro exemplo, o objectivo foi fugir à regularidade que os exemplos anteriores apresentavam e estudar os esforços actuantes na mesma secção e a sua interacção assim como se viu para exemplos anteriores. Para tal concebeu-se uma estrutura a partir do primeiro exemplo, mas que apresentasse as primeiras frequências próprias bastante próximas. A estrutura resultante consiste então dum pórtico de um piso com dois dos pilares, que se encontram contidos no eixo y, com as direcções principais de inércia trocadas em relação ao primeiro exemplo e ainda com massas concentradas de 25 kn nos outros dois pilares ao nível do primeiro piso, tal como apresenta a Figura 5.26. 91
Figura 5.26 Pórtico simétrico com os pilares a apresentar diferentes direcções principais de Inércia e algumas massas concentradas Como referido, esta estrutura apresenta as primeiras frequências próprias bastante próximas como se pode concluir a partir da Figura 5.27. 92 Figura 5.27 Frequências próprias e respectivos modos de vibração do pórtico irregular
5.2.1 Resposta para uma Direcção fixa 5.2.1.1 Projecção em e O estudo dos esforços e sua interacção nesta estrutura, através de uma análise direccional, para uma direcção fixa, é feito de forma análoga ao que foi feito para os outros exemplos, ou seja, manteve-se a acção e repetiu-se todo o processo de cálculo da determinação das superfícies de interacção e sua combinação. Na análise de resultados, apenas houve alterações nas direcções de actuação do sismo que se verificou necessário considerar. Nesta estrutura, pelo facto de não apresentar bissimetria, não é suficiente uma análise com a acção sísmica a actuar apenas de 0 a 90 como se verificou nos exemplos anteriores. Achou-se então necessário acrescentar direcções de actuação do sismo contidas entre os 90 e os 180 sendo esta última segundo x tal como 0. 93
Acção Sísmica a 0 A Figura 5.28 apresenta a interacção de esforços com a acção sísmica a actuar a 0. Figura 5.28 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Na Tabela 5.22 apresentam-se os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo. Note-se que foi desprezado, pois este é aproximadamente nulo. Tabela 5.22 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0 no Pórtico Irregular [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 81,16-610,66 - -81,08 610,84 - -81,16 610,81-81,08-610,84 - Note-se que neste exemplo, com a acção sísmica a actuar a 0, é agora o momento flector que se aproxima a 0, uma vez que foram trocadas as direcções principais de inércia do pilar no qual estão a ser avaliados os esforços. Observando os dois esforços presentes na secção do pilar, verifica-se muito pouca interacção entre o par de esforços como se pode analisar na Figura 5.28. 94
Acção Sísmica a 30 A Figura 5.29 apresenta a interacção de esforços para um sismo a actuar segundo 30 da direcção x. Figura 5.29 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] A Tabela 5.23 apresenta os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.23 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30 no Pórtico Irregular [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 102,50-500,54-140,41-99,95 514,43 125,27-95,63 416,17 149,55-102,46 498,73 141,38 99,95-514,43-125,27 95,63-416,17-149,55 Da análise da Figura 5.30 verifica-se que, com o sismo a actuar a 30, verifica-se alguma interacção de esforços entre os três pares de esforços, e. 95
Acção Sísmica a 45 Apresenta-se na Figura 5.30 a interacção entre os vários esforços para um sismo a actuar a 45 da direcção x. Figura 5.30 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo apresentam-se na Tabela 5.24. Tabela 5.24 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 45 no Pórtico Irregular [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 104,93-391,88-203,04-99,55 415,81 173,35-100,47 326,25 211,43-104,90 390,38 203,93 99,55-415,81-173,35 100,47-326,25-211,43 Da observação da Figura 5.30 verifica-se alguma interacção entre os três pares de esforços, semelhante ao que se verificou para o sismo a actuar a 30. 96
Acção Sísmica a 60 A Figura 5.31 apresenta a interacção de esforços com a acção sísmica a actuar a 60. Figura 5.31 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Na Tabela 5.25 estão descritos os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.25 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 60 no Pórtico Irregular [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 101,33-262,27-252,85-91,51 295,43 203,36-98,82 215,51 258,91-101,30 262,34 253,20 91,51-295,43-203,36 98,82-215,51-258,91 Da análise na Figura 5.31 verifica-se interacção dos três pares de esforços, com maior realce para o aumento de interacção em relação às direcções de actuação do sismo analisadas anteriormente, que se justifica pelo aumento de em detrimento de. 97
Acção Sísmica a 90 A Figura 5.32 expõe a interacção de esforços para a acção sísmica a actuar segundo y. Figura 5.32 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] A Tabela 5.26 expõe os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.26 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 90 no Pórtico Irregular [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 78,22 22,83-297,47 73,05 134,78-291,83-77,73-63,95 298,89-78,16-9,60 296,25-73,05-134,78 291,83 77,73 63,95-298,89 Aqui, ao contrário dos exemplos anteriores verifica-se interacção entre os três pares de esforços para acção sísmica a actuar a 90, dando destaque aos que envolvem, que apesar da acção sísmica actuar sobre a direcção principal de inércia do pilar, verificam-se esforços consideráveis de, fazendo com que haja interacção com os outros esforços. 98
Acção Sísmica a 120 A Figura 5.33 apresenta a interacção de esforços para uma acção sísmica actuante a 120. Figura 5.33 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 120 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Na Tabela 5.27 estão expostos os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.27 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 120 no Pórtico Irregular [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 46,90 169,30-231,89 25,53 356,31-229,94-42,28-306,03 258,78-46,78-156,98 229,22-25,53-356,31 229,94 42,28 306,03-258,78 Para o sismo a actuar a 120 nota-se uma redução dos valores de, no entanto verifica-se interacção dos três pares de esforços. 99
Acção Sísmica a 135 Na Figura 5.34 está apresentada a interacção de esforços para uma acção sísmica para o sismo a 135. Figura 5.34 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 135 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] A Tabela 5.28 apresenta os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.28 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 135 no Pórtico Irregular [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 40,68-164,41-50,62-5,50 467,65-184,84-17,74-401,53 211,25-40,37 174,07 49,42 5,50-467,65 184,84 17,74 401,53-211,25 Em relação ao sismo a actuar a 120, nota-se aqui menos interacção e mais interacção. Verifica-se ainda uma curva de interacção quase horizontal, transmitindo a informação que para os maiores valores de, os valores de apresentam uma grande variação. 100
Acção Sísmica a 150 A Figura 5.35 apresenta a interacção de esforço para a acção sísmica a actuar a 150. Figura 5.35 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 150 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] A Tabela 5.29 apresenta os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo: Tabela 5.29 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 150 no Pórtico Irregular [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] [kn] [knm] [knm] 49,07-475,38 69,99-5,50 551,62-129,64-48,21-469,54 149,33-48,88-30,55 96,73 38,80-551,62 129,64 48,21 469,54-149,33 Da análise da interacção de esforços para o sismo a actuar a 150 verifica-se interacção entre os três pares de esforços, verificando-se uma maior interacção no par de esforços de forma considerável. 101
5.2.1.2 Simulação através do MN Tal como foi feito para os exemplos anteriores, recorreu-se ao MN a fim de avaliar a credibilidade dos resultados obtidos através da análise direccional de esforços. A secção de actuação dos esforços manteve-se assim como o número de amostras utilizadas na simulação com que se correu o método. Os resultados máximos obtidos para fins de análise apresentam-se descritos na Tabela 5.30. Tabela 5.30 - Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o Pórtico irregular Direcção de actuação do sismo 0 72,82 546,07-30 93,67 460,60 131,97 45 98,30 381,97 192,87 60 93,21 272,40 230,42 90 70,04 117,85 264,58 120 39,03 330,02 233,99 135 32,34 421,92 189,10 150 40,53 494,49 133,77 5.2.1.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000) Para além da simulação pelo MN, utilizou-se ainda a ferramenta SAP2000 com a combinação modal CQC, sendo um dos métodos mais usados recorrentemente. Note-se que neste exemplo, das combinações modais mais usuais, a CQC é a que apresenta melhores resultados visto a proximidade das frequências próprias nesta estrutura. Aplicou-se então o espectro de resposta correspondente à função de densidade espectral de potência aplicada nos outros métodos, tal como foi efectuado para os outros exemplos. Obtendose assim os resultados descritos na Tabela 5.31. 102
Tabela 5.31 - Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000 Direcção de actuação do sismo 0 74,78 465,66 64,07 30 83,48 442,70 161,58 45 83,44 394,55 195,34 60 83,23 324,94 215,86 90 72,23 226,27 212,55 120 48,31 367,95 215,80 135 42,75 425,84 195,20 150 51,66 458,95 161,30 5.2.2 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida Como foi efectuado para os exemplos anteriores, também neste exemplo se achou relevante determinar a superfície de interacção de dimensionamento da secção do pilar em estudo. Como já foi referido, neste exemplo, estudar a acção sísmica a actuar entre 0 e 90 não é suficiente devido à irregularidade imposta nesta estrutura. Foi portanto necessário aplicar a acção sísmica sobre um intervalo de direcções entre 0 e 180, obtendo assim as superfícies de interacção entre os três pares de esforços, como se pode analisar nas Figuras 5.36, 5.37 e 5.38 e ainda a interacção entre os três esforços que se apresenta na Figura 5.39. 103
Figura 5.36 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura 5.37 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro] 104
Figura 5.38 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons.metro] Figura 5.39 - Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro] 105