MSc Alexandre stácio Féo Associação ducacional Dom Bosco - Faculdade de ngenharia de Resende Caixa Postal: 8.698/87 - CP: 75-97 - Resende - RJ Brasil Professor e Doutorando de ngenharia aefeo@yahoo.com.br Resumo: Será apresentado neste trabalho o Método de Jacobi, muito utilizado para encontrar os autovalores de uma matriz real e simétrica. Através deste, visa-se entender melhor o desenvolvimento teórico do Método de Jacobi, a fim de construir um programa específico para implementação do mesmo, através do Matlab. Muitos dos métodos para resolução do autoproblema, para uma matriz A de forma geral, dependem da aplicação de uma série de transformações similares, que convertem A em uma matriz de forma especial. Vale ressaltar que, neste método, utilizam-se as transformações unitárias elementares. Palavras-Chave: Autovalores, Matriz, Método de Jacobi. INTRODUÇÃO Através deste trabalho, visamos entender melhor o desenvolvimento teórico do Método de Jacobi, a fim de construir um programa específico para implementação do mesmo, através do Matlab. Muitos dos métodos para resolução do autoproblema, para uma matriz A de forma geral, dependem da aplicação de uma série de transformações similares que convertem A em uma matriz de forma especial. Neste método, usaremos as transformações unitárias elementares, conforme Lima Jr. (005). OBJTIVO Abordagem teórica sobre a determinação dos autovalores de uma matriz real e simétrica, usando o Método de Jacobi; xemplificação do método com o auxílio de exemplo resolvido, através do uso da programação utilizando Matlab. DSNVOLVIMNTO No Método de Jacobi (846), a matriz original é transformada para a forma diagonal por uma sucessão de rotações planas. No sentido exato, o número de rotações planas necessárias para produzir a forma diagonal é infinito. Isto será esperado desde que não possamos, em geral, resolver uma equação polinomial em um número finito de passos. Na prática, o processo é terminado quando os elementos fora da diagonal forem desprezíveis de acordo com a precisão desejada. Para uma real matriz simétrica, usamos reais rotações planas. Segundo Wilinson (965), a matriz original será representada por A 0, podemos, então, descrever o processo de Jacobi como se segue, ou seja, uma sucessão de matrizes A produzidas tal que satisfaçam q. () abaixo: T A = T A T () Onde a matriz T é determinada pelas regras a seguir, conforme qs. () a (9). Vale T ressaltar que utilizamos a anotação da equação, e não, conforme a análise geral adotada em outros trabalhos anteriores. T A T II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT 005 096
Suponha o elemento fora da diagonal de A -, de módulo máximo, e que está dentro da posição (p, q). ntão, T corresponde a uma rotação dentro do plano (p, q), e o ângulo da rotação é escolhido para reduzir o elemento de (p, q), A -l, a zero. Sendo assim, temos, conforme Wilinson (965:66-67): T = T = cos θ, T = T = senθ () pp qq pq qp T = ( i p, q ), T = 0 i j (3) ij Onde assumimos que aquele p é menor que q. A difere de A - único em filas e colunas, e p e q, assim como todos os A, são simétricos. Os valores modificados são definidos por: ( ) ( ) ( ) ( ) a =+ a cos θ + a senθ = a, i p, q ip ip iq pi (4) ( ) ( ) ( ) ( ) a = a sinθ + a cos θ = a, i p, q iq ip iq qi (5) ( ) ( ) ( ) ( ) a = a cos θ + a cosθ senθ + a sen θ (6) pp pp pq qq ( ) ( ) ( ) ( ) a = a sen θ a cosθ senθ + a cos θ (7) qq pp pq qq ( ) ( ) ( ) ( ) ( a a a )cos sen a = θ θ + (cos θ sen θ ) (8) pq qq pp pq ( ) ( ) ( ) ( ) ( a a a )cos sen a = θ θ + (cos θ sen θ ) (9) qp qq pp pq ntão, desde que ( ) a pq seja zero, teremos: ( ) ( ) ( ) tanθ a /( a a ), pq pp qq = (0) Vale ressaltar que sempre levaremos a assumir valores na faixa de: θ 0.5 π (), se ( ) ( ) a = a, então o ângulo assumirá o seguinte valor: pp qq De acordo com o sinal de ( ) a pq. θ = ± π 4 Assumindo que ( ) a pq, neste caso, ao contrário, a diagonalização estará completa. 0 Ainda para Wilinson (965), se cada ângulo é definido pela equação, então: ( λ ) A diag conforme i () Onde λ i são os autovalores de A 0, e, conseqüentemente, de todos A. screvemos: 097 II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT 005
( ( ) ) A diag a = + (3) Onde é a matriz simétrica dos elementos fora da diagonal. Para Wilinson (965), pode se dizer que: Das qs. (4) e (5), temos: 0 conforme diag. (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a ( ) ip + a iq = aip + a iq, (5) i p, q i p, q Isso uma vez que a soma dos quadrados dos elementos fora da diagonal, excluindo os elementos (p, q) e (q, p) permaneçam constantes. Portanto, estes dois últimos elementos tornam-se zero, e tem-se: ( ) ( ), (6) apq = Desde que ( a ) pq seja o elemento de de módulo máximo, então: ( ) ( ) 0. / n n / n n (7) A desigualdade da equação 7 fornece a equação para a razão de convergência, fazendo: N = / n n (8) ( ) ntão: rn r rn / N 0 < e 0. (9) Certamente, pode-se dizer que: rn < e 0, quando r > ln( / e ), (0) A tende a uma matriz diagonal fixa. Assim, continuamos a iteração até, finalmente: < ε. () Nota-se, desta forma, que o processo é essencialmente iterativo, como um elemento que é reduzido a zero, através de uma rotação. m geral, é feito não zero através de rotações subseqüentes. XMPLO RSOLVIDO Seja 0.653 0.65 0.003 A = 0.65 0.405 0.005 0.003 0.005 0.3 e ε < e-8 098 II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT 005
Por ser uma matriz 3x3 é fácil, algebricamente, encontrarmos os autovalores. Resolvendo o sistema algebricamente encontraremos (Wilinson, 965:74): λ =0.3 λ =0.837 λ =0.780 3 Vamos verificar agora, através do Método de Jacobi, com o uso do programa elaborado (Lima Jr., 005), se os resultados convergirão para os valores encontrados algebricamente. A matriz 0 0 T = 0 0 0 0 0 corresponde à rotação no plano (p, q), e o ângulo ao de rotação. Após a primeira interação, teremos, conforme qs. (), (3) e (0): θ = 0.53[ rad ] e T = T = cosθ = 0.868, T = T = senθ = 0.5055 pp qq pq qp Resultando num plano de rotação T: ntão, fazendo o teste de convergência: T = ( i p, q ), T = 0 i j ij 0.868-0.5055 0.0000 T= 0.5055 0.868 0.0000 0.0000 0.0000.0000 0.66 > ε = 0.0000000 Desta forma, teremos, após a primeira interação, a matriz A como: 0.7800 0.0000 0.0053 A = 0.0000 0.837 0.009 0.0053 0.009 0.3 Teremos, após a ª interação, os seguintes dados:.0000 0.0000 0.0094 θ = 0.0094[ rad ] T = 0.0000.0000 0.0000 0.780 0.0000 0.0000 0.0094 0.0000.0000 A= 0.0000 0.837 0.009 convergência = 0.0000636 > 0.0000000 0.0000 0.009 0.3 Após a 5ª interação, teremos, finalmente: 099 II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT 005
.0000 0.0000 0.0000 θ = 8.766e 00 [ rad ] T = 0.0000.0000 0.0000 0.780 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000.0000 A= 0.0000 0.838 0.0000 convergência = 4.4 e 050> 0.0000000 0.0000 0.009 0.30 Sendo assim, podemos dizer que os autovalores encontrados são os elementos da diagonal da matriz A acima mostrada. Isto é: 0.780 λ = 0.838 0.30 Portanto, os autovalores da matriz A são: λ = 0.303, λ = 0.8378 e λ 3 = 0.78009 Que, após cinco interações, resultará na eficiência de convergência do método em questão, pois vemos que os valores realmente se aproximam, cada vez mais, dos valores encontrados algebricamente. CONCLUSÃO Concluiu-se que a determinação dos autovalores de uma matriz real e simétrica, usando o Método de Jacobi, é de fácil compreensão e simples implementação computacional. BIBLIOGRAFIA LIMA Jr., J. J., 005. Notas de Aula. Métodos Matemáticos para Sistemas Mecânicos. PPG- IM, UNIFI. WILKINSON, J. H., 965 The Algebraic igenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford, London: 66p. 00 II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT 005