Apresentação A matemática é geralmente considerada uma ciência a parte, desligada da realidade, vivendo na penumbra de um gabinete fechado, onde não entram ruídos do mundo exterior, nem o sol, nem os clamores do homem. Porém, isso só em parte é verdadeiro. Bento de Jesus Caraça (1901-1948), matemático português Ao longo da vida escolar de cada um de vocês, muitas vezes devem ter se deparado com a pergunta para que vou utilizar isso em minha vida?, costumeiramente feita quando surge algum conteúdo de matemática que foge muito da tradicional aritmética do colégio. Porém, ao contrário do que se pensa, a matemática surgiu por uma necessidade maior, uma ferramenta pela qual o homem buscou entender e quantificar a natureza. Desde as primeiras contagens de rebanhos feitas com pedras, os primeiros cálculos, até os problemas que requerem as estruturas matemático-computacionais mais complexas, a matemática desenvolveu-se, buscando atender essas necessidades da maneira mais precisa e simples, sem fugir ao rigor que a que se exige. A matemática não é um fim em si, e sim a toda a construção do meio. Tudo é matemática! Este material foi elaborado ao longo de todo o ano de 2014, revisado e atualizado quanto a erros de tipografia ou conceituais, além do acréscimo de alguns itens. Está estruturado em tópicos teóricos e suas definições formais, partindo para a resolução de aplicações e exemplos, exercícios de treino para serem feitos em sala de aula, e listas de exercício ao fim de cada capítulo. É desejo maior que você se dedique ao máximo, para que não só você consiga uma vaga numa universidade e num curso de sua preferência, mas que veja a matemática de outra forma, longe do pedantismo que por muito tempo condicionamo-nos a ter sobre ela. Um bom ano para todos nós! Diego Medeiros Prof. Diego Medeiros Escola Preparatória da UFABC 1
PORCENTAGEM 1 INTRODUÇÃO Vamos supor as seguintes situações: O preço de uma mercadoria sofreu um aumento de R$ 0,00. Na sua opinião esse aumento é grande ou pequeno? Na compre de uma mercadoria, obtive um desconto de R$ 0,00. Na sua opinião esse é um desconto grande ou pequeno? Para responder a essas perguntas, precisamos saber qual era o preço da mercadoria antes do aumento ou do desconto. Nas duas situações, se a mercadoria em questão custasse R$ 5000,00, é claro que o aumento ou o desconto seria considerado pequeno. No entanto, se custasse R$ 500,00, tanto o aumento como o desconto seriam considerados muito grandes. Podemos então inferir que um aumento ou um desconto de R$ 0,00 depende do valor com o qual estamos comparando. Uma maneira bastante utilizada na vida diária para comparar os dois valores é a porcentagem. 2 porcentagem A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer por um cento. Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como Grande liquidação de verão: 40 por cento de desconto em todos os artigos significa que você tem um desconto de 40 reais para cada reais do preço de um artigo. Isto nos leva a estabelecer uma notação: Toda razão porcentagem a, na qual b =, chama-se b Assim, 40 por cento é o mesmo que 40. Em lugar da expressão por cento, podemos usar o símbolo %. Assim, 40% = 40. a Uma razão, mesmo com b b, também pode ser escrita na forma de %. Por exemplo: Escrever 1 na forma de %. 2 Vamos escrever uma razão equivalente à razão dada e que tenha denominador. 1 50 50 2 50 Escrever 3 na forma de %. 8 50% Observando que 8 não é fator de, vamos escrever a forma decimal de 3 8 dividindo 3 por 8: 0,375 37,5% 3 375 10 37,5 8 0 10 Um desconto de 7 reais sobre um preço de reais representa quanto % de desconto? 7 Inicialmente, temos a razão. Podemos escrever essa fração em forma de porcentagem de duas formas distintas: Usando frações equivalentes: 7 4 28 4 28% Escrevendo a forma decimal: 7 28 0, 28 28% Logo, representa 28% de desconto. 2 Prof. Diego Medeiros - Escola Preparatória da UFABC
Para calcular porcentagens de valores, basta lembrar que a porcentagem é uma fração, logo, também obedece às regras: basta multiplicar a fração pelo valor desejado. Por exemplo, se quisermos calcular % de 200, teríamos: 2 00 2 50 Ou ainda, na forma decimal, teremos: 0, 200 50 EXERCÍCIOS DE TREINO 1. Paulo é um jogador de basquete que acerta, em média, 75% dos arremessos que faz à cesta. Qual é o significado dessa afirmação? 2. Numa pesquisa de opinião sobre determinado programa musical produzido por um canal de televisão, foram entrevistados 400 pessoas. O resultado da pesquisa está descrito abaixo: Ótimo: 168 Bom: 148 Regular: 40 Ruim: 24 Não assistiram: 20 Escreva a porcentagem correspondente a cada uma das opiniões. 3. Um aumento de 90 reais sobre um preço de 200 reais representa quantos % de aumento? 4. Um aluno acertou 38 das 50 questões que tinha pra resolver. Esses acertos representam quantos %? 5. Escreva a porcentagem correspondente a cada uma das seguintes razões: a) 3 5 d) 3 10 b) 17 20 e) 5 8 c) 9 4 f) 5 2 3 aumentos e descontos As porcentagens são instrumentos eficientes para problemas que envolvam algum tipo de aumento ou desconto em algum tipo de grandeza. Para tanto, devemos ter em mente a seguinte informação: Toda grandeza em sua forma integral equivale a % Vamos considerar duas situações problema: Suponhamos que queremos saber qual é o valor de uma grandeza x após um aumento de a%. Vamos analisar o aumento: x a% x x 1 a% a x1 a Repare que o aumento simplesmente é 1, vezes a grandeza em questão. Por exemplo, se quisermos saber quanto é 300, aumentado em 15%, teríamos: a x 1 300 1 3001 0, 3001, 375 Um pensamento análogo pode ser aplicado para um desconto de d%: x d% x x 1 d% d x1 Se quiséssemos saber quanto seria 300, descontado em %, teríamos: d x 1 300 1 3001 0, 300 0, 75 2 Prof. Diego Medeiros - Escola Preparatória da UFABC 3
EXERCÍCIOS DE TREINO 6. Calcule 41% de 54000 votos 7. Sobre o preço de um armário embutido há um imposto chamado Imposto sobre Produtos Industrializados (IPI), que corresponde a 11% do preço do armário. 8. Um par de sapatos custa 58 reais e sofre um aumento de 20%. Durante uma promoção, a loja passa a oferecer o sapato com 20% de desconto para pagamento à vista. Qual é o preço desse sapato durante a promoção? 9. Francisco vendeu uma moto por 1680 reais. Com isso ele teve um lucro de 12%. Quanto ele pagou pela moto? 10. A área de um retângulo, como você já sabe, é obtida multiplicando-se o comprimento pela largura. Um retângulo tem 40 cm de comprimento por cm de largura. Se você aumentar o comprimento em % e a largura em 20%, a área do novo retângulo aumentará de quanto % em relação ao retângulo original? 11. Adriano paga, como prestação de um carro R$ 1200,00 por mês. Neste mês, ele atrasou o pagamento e teve de pagar 8% de multa sobre o valor da prestação. Quanto ele pagou por essa multa? 12. Para visitar seus avós, um motorista tem de percorrer 380 quilômetros. Consultando um mapa rodoviário, o motorista decide por um itinerário 17% mais longo. Que distância ele irá percorrer por esse novo itinerário? 13. Uma máquina que fazia 80 fotocópias por minuto foi substituída, por conta de um defeito por outra que é 30% mais lenta. Quantas fotocópias a nova máquina faz em 1 minuto? E em 30 segundos? 4 outros problemas Em um jogo de basquete, Oscar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%. Quantos lances livres ele acertou? Este problema se resume em calcular 20% de 65. Sabemos que 65 65% 0, 65. Temos então 0,6520 13 lances livres. Durante o ano de 2014, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual é a porcentagem correspondente aos jogos que essa equipe venceu? Temos que somente calcular a razão entre os jogos vencidos e os jogos disputados, para expressar a porcentagem: 63 0,84 84% 75 Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas. Qual era a porcentagem de figurinhas repetidas? Vamos calcular quantas figurinhas eram repetidas: 60 45 15 Podemos enfim calcular a razão entre o número de figurinhas repetidas e o total de figurinhas: 15 0, % 60 Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse número representa 56% do número de alunos que estudam nesse colégio. Quantos alunos estudam, ao todo, nessa escola? Sabemos ao fim que 56% do total de alunos de alunos do colégio é igual a 1400 alunos. Representando o total por T, temos: 56 T 1400 0,56T 1400 T 1400 0,56 T 00 4 Prof. Diego Medeiros - Escola Preparatória da UFABC
Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei então R$76,50 pelo objeto. Nessas condições, qual o preço original desse objeto? Como obtive 15%, paguei o correspondente a % 15% 85%. Seguimos o mesmo processo do exemplo anterior. Vamos escrever o preço original por x. 85 x 76,50 0,85x 76,50 x 76,50 0,85 x 90 Uma indústria empregava 720 funcionários. Neste ano, o número de funcionários aumentou em 35%. Quantos funcionários há agora? O número inicial de funcionários correspondia a %. Como houve um aumento de 35%, o novo número de funcionários corresponde a % 35% 135%. Logo, temos: 135% de 720 = 135 720 1,35 720 972 EXERCÍCIOS DE TREINO 14. Quando o preço de um objeto aumenta de ¼ sobre o preço anterior, a quantos % corresponde esse aumento? 15. O desconto do INSS corresponde a 9,5% do salário de uma pessoa. A quanto corresponde esse desconto para quem tem um salário de 1620 reais? 16. Por aquecimento, o comprimento de uma barra de ferro aumenta em 7/20 em relação ao valor inicial. Qual é o aumento do comprimento em relação ao valor inicial? 17. Um recipiente contém uma mistura de leite natural e leite de soja, num total de 200 litros. Sabese que 50 litros são de leite natural. Quantos litros de leite de soja devem ser acrescentados à mistura para que a quantidade de leite natural represente 20% do total? 18. O volume de uma caixa d água em forma de bloco retangular é calculado pelo produto de suas três dimensões. Uma caixa d água tem 3,5 m de comprimento, 2,5 m de largura e 2,0 m de altura e contém água até 80% de sua capacidade total. Quantos litros de água faltam para encher completamente esta caixa? (1m³ = 0 l) 19. A área de um quadrado é dada pelo quadrado da medida do lado. Um quadrado tem 9,0 cm de lado e sua área corresponde a 45% da área de um retângulo. Nessas condições, qual é a área do retângulo? Se o retângulo tivesse 18 cm de comprimento, qual seria sua largura? 20. Qual é o número decimal que representa 50% do quadrado de 10%? LISTA DE EXERCÍCIOS 1. (ENEM 2011) Em março de 2010, o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) reajustou os valores de bolsas de estudo concedidas a alunos de iniciação científica, que passaram a receber RS 360,00 mensais, um aumento de 20% com relação ao que era pago até então. O órgão concedia 29 mil bolsas de iniciação científica até 2009, e esse número aumentou em 48% em 2010. O Globo. 11 mar. 2010 Caso o CNPq decidisse não aumentar o valor dos pagamentos aos bolsistas, utilizando o montante destinado a tal aumento para incrementar ainda mais o número de bolsas de iniciação científica no país, quantas bolsas a mais que em 2009, aproximadamente, poderiam ser oferecidas em 2010? a) 5,8 mil b) 13,9 mil c) 22,5 mil d) 51,5 mil e) 94,4 mil Prof. Diego Medeiros - Escola Preparatória da UFABC 5
2. (ENEM 2010) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. b) 4 doses. c) 6 doses. d) 8 doses. e) 10 doses. 3. (ENEM 2010) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodiesel ao óleo diesel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodiesel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodiesel, bem como possibilita a redução da importação de diesel de petróleo. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado). Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodiesel ao diesel, serão consumidos 9 milhões de litros de biodiesel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final diesel/biodiesel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodiesel com a adição de 3%? a) 27,75 milhões de litros. b) 37,00 milhões de litros. c) 231, milhões de litros. d) 693,75 milhões de litros. e) 888,00 milhões de litros. 4. (UFMG) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4 200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem a) R$ 3 672,00. b) R$ 3 780,00. c) R$ 3 792,00. d) R$ 3 900,00. 5. (FUVEST) A porcentagem de fumantes de uma cidade é de 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12800. Calcule a) o número de fumantes da cidade b) o número de habitantes da cidade 6. (ENEM 2000) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 6 Prof. Diego Medeiros - Escola Preparatória da UFABC
7. (ENEM 2000) O Brasil, em 1997, com cerca de 6 160 10 habitantes, apresentou um consumo da ordem de 0000 TEP (tonelada equivalente de petróleo), proveniente das mais diversas fontes primárias. O grupo, com renda familiar de mais de 20 salários-mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza cerca de 10% da energia total consumida no país. O grupo com renda familiar de até três salários mínimos representa 50% da população e consome 30% do total de energia. Com base nessas informações, pode-se concluir que o consumo médio de energia para um indivíduo do grupo de renda superior é x vezes maior do que para um indivíduo do grupo de renda inferior. O valor aproximado de x é: a) 2,1 b) 3,3 c) 6,3 d) 10,5 e) 12,7 8. (ENEM 2001) A padronização insuficiente e a ausência de controle na fabricação também podem resultar em perdas significativas de energia através das paredes da geladeira. Essas perdas, em função da espessura das paredes, para geladeiras e condições de uso típicas, são apresentadas na tabela: Espessura das paredes Perda mensal térmica (cm) (kwh) 2 65 4 35 6 10 15 Considerando uma família típica, com consumo mensal de 200 kwh, a perda térmica pelas paredes de uma geladeira com 4 cm de espessura, relativamente a outra de 10 cm, corresponde a uma porcentagem do consumo total de eletricidade da ordem de: a) 30% b) 20% c) 10% d) 5% e) 1% 9. (ENEM 2001) Em muitas regiões do Estado do amazonas, o volume de madeira de uma árvore é avaliado de acordo com uma das práticas dessas regiões: I) Dá-se uma volta completa no tronco com um barbante II) O barbante é dobrado duas vezes pela ponta. O comprimento dessa dobra é medido. III) O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal considerando o tronco como um cilindro perfeito. A diferença entre essas duas medidas é praticamente equivalente às perdas da madeira no processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que as perdas são da ordem de: a) 30% b) 22% c) 15% d) 12% e) 5% 10. (ENEM 2001) Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme figura a seguir: Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, ao andar livremente pelo município, encontrar-se na área de alguma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente: a) 20% b) % c) 30% d) 35% e) 40% 11. (ENEM 2001) Nas últimas eleições presidenciais de um determinado país, onde 9% dos eleitores votaram em branco e 11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% dos votos válidos. Não são considerados válidos os votos em branco e nulos. Prof. Diego Medeiros - Escola Preparatória da UFABC 7
Pode-se afirmar que o vencedor obteve, de fato, de todos os eleitores um percentual de votos da ordem de: a) 38% b) 41% c) 44% d) 41% e) 47% 12. (ENEM 2002) A capa de uma revista de grande circulação trazia a seguinte informação: O BRASILEIRO DIZ QUE É FELIZ NA CAMA, MAS DEBAIXO DOS LENÇÓIS 47% NÃO SENTEM VONTADE DE FAZER SEXO. O texto abaixo, no entanto, adaptado da mesma reportagem, mostra que o dado acima está errado: Outro problema predominante feminino é a falta de desejo 35% das mulheres não sentem vontade nenhuma de ter relações. Já entre os homens, apenas 12% se queixam da falta de desejo. Considerando que o número de homens seja igual ao de mulheres na população, a porcentagem aproximada de brasileiros que não sentem vontade de fazer sexo, de acordo com reportagem, é de: a) 12% b) 24% c) 29% d) 35% e) 50% 14. (ENEM 2004) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns dos itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos familiares com rendas mensais bem diferentes: Tipo de despesa Renda até R$400,00 Renda maior ou igual a R$ 6000,00 Habitação 37% 23% Alimentação 33% 9% Transporte 8% 17% Saúde 4% 6% Educação 0,3% 5% Outros 17,7% 40% Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$ 6000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente: a) dez vezes maiores b) quatro vezes maiores c) equivalentes d) três vezes menores e) nove vezes menores 13. (ENEM 2004) Antes de uma eleição para prefeito, certo instituto realizou uma pesquisa em que foi consultado um significativo número de eleitores, dos quais 36% reponderam que iriam votar no candidato X; 33% no candidato Y e 31% no candidato Z. A margem de erro estimada para cada um desses valores é de 3% para mais ou para menos. Os técnicos do instituto concluíram que, se confirmado o resultado da pesquisa: a) Apenas o candidato X poderia vencer, e nesse caso teria 39% do total de votos. b) Apenas os candidatos X e Y teriam chance de vitória. c) O candidato poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre o candidato X. d) O candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no máximo, 1% sobre X. e) O candidato Z poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre o candidato Y. 8 Prof. Diego Medeiros - Escola Preparatória da UFABC