AULA 02 PORCENTAGEM E MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 Cursinho Pré-Vestibular da UFSCar São Carlos Matemática Professora Elvira e Monitores Ana Carolina e Bruno AULA 02 PORCENTAGEM E MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos envolvidos: Sistemas de numeração; Porcentagem; Juros simples; Conceitos relacionados: Juros composto; Sistemas de numeração Existem vários sistemas de numeração presentes no nosso dia-a-dia. Por exemplo, o sistema de numeração babilônico, que utiliza a base 60 para a formação de seus numerais. Utilizamos este sistema para a contagem de horas, pois depois de 60 segundos, temos um minuto, e depois de 60 minutos, temos uma hora. O mais utilizado, sem dúvidas, é o sistema de numeração em base. Mas o que são sistemas de numeração? Um sistema de numeração é um modo de representação numérica na qual o valor de cada algarismo depende da sua posição relativa na composição do número. O valor do número é a soma de cada algarismo que o compõe, considerando a posição em que o mesmo se encontra. Exemplificando o número 42 em dois sistemas de numeração temos no sistema de numeração decimal, com base, a representação da quantidade 42, enquanto que no sistema de numeração com base 6, o valor 26. Como o valor 42 pode não representar a quantidade 42? Observe o número 42, expresso no sistema de numeração decimal: 42 = = = 42 O 4 está na posição das dezenas, e o 2 na posição das unidades. Logo, o 4 representa a quantidade de 40 unidades e o 2, de 2 unidades. Conta-se, da esquerda para a direita, a partir da posição 0, a multiplicação do valor na posição pela base elevada a esta posição, por isso, temos 0 multiplicando o algarismo na posição 0, e 1 multiplicando o algarismo na posição 1. Já em um sistema de numeração com base 6, por exemplo, temos a representação da quantidade: 42 = = = 26 Como a base é 6, o 4 representa a quantidade de 24 unidades, pois o algarismo 4 está na posição 1 e multiplica a base 6 elevada a 1, e o algarismo 2 representa a quantidade 2, pois está na posição 0 e multiplica a base 6 elevada a 0. Representação de quantidades em porcentagem O sistema de numeração decimal é o tipo de representação que usamos hoje para expressar quantidades, medidas e códigos (por exemplo, o andamento de um download de um filme, a temperatura de um ambiente em graus Celsius, a sua nota no vestibular, o valor da sua conta de consumo de energia elétrica, etc.) e para realizar operações matemáticas. Logo, como contamos e representamos a maioria das coisas de nosso dia-a-dia no sistema de Aula 03 Porcentagem e Matemática financeira 1

2 numeração decimal, a nossa percepção de quantidade é mais fácil quando consideramos tais quantidades na base. Daí a importância da porcentagem. quantidade de água potável disponível, em relação a toda a água disponível no planeta? Para que entendamos melhor tal vantagem da representação de quantidades em porcentagem, ou seja, comparando partes de um todo que foi repartido em partes iguais, enumeraremos alguns exemplos que usamos no nosso dia-a-dia. Quando estamos copiando algum arquivo no nosso computador para um pen drive, por exemplo, o progresso da cópia é dado em porcentagem, representado numericamente e de forma gráfica também, com uma barra de progresso. Terra comparada a uma bola de basquete, a esquerda, e a água disponível no planeta comparada a uma bola de tênis de mesa, a direita, e ao lado, a água disponível para consumo humano. Fazendo a porcentagem da água disponível para o consumo em relação a toda a água do planeta Terra, temos X% = (,5 ) = 0,75% 1386 A sua percepção do quanto a cópia já foi concluída é melhor se eu disser que já foram copiadas 14 partes das que devem ser copiadas, ou seja, 14%, ou que já foram copiados 0,51GB de 3,36GB do tamanho total do arquivo? Outro exemplo interessante é a noção da quantidade de água disponível no planeta Terra. Pense em uma bola de basquete. Se a Terra fosse do tamanho dessa bola, toda a água do planeta caberia em uma bola de tênis de mesa. Não é mais fácil comparar quantidades desconhecidas com aquilo que conhecemos? Se eu dissesse que há uma estimativa de que temos,5 milhões de km 3 ( litros) de volume de água disponível para consumo humano dos 1386 milhões km 3 (isso daria litros) de toda a água no planeta Terra, você teria noção dessa Logo, aproximadamente, apenas 0,75% de toda a água disponível no planeta é potável e apta ao consumo humano. Não é mais fácil perceber que, se eu dividisse toda a água do plante em partes, menos de uma parte dessas é potável, em relação aos dados de volume dados anteriormente dessas mesmas quantidades? Dada a demonstração da vantagem da representação de quantidades em porcentagem, iremos agora nos aprofundar em algumas operações em que elas são aplicadas. Porcentagem Por definição, porcentagem é uma fração de denominador. Assim, ao escrevermos X%, estamos representando o número X/. p p % = Aula 03 Porcentagem e Matemática financeira 14

3 lguns exemplos da representação de porcentagem em numeração decimal: a) 34% = 34/ = 0,34 b) 342% = 342/ = 3,42 c) 0% = 0/ = Representar um valor em porcentagem Para representarmos um valor x em relação a outro valor y, em porcentagem, ou seja, qual a porcentagem p de x em relação a y, dividimos y em partes, multiplicamos pela porcentagem que queremos encontrar p, e igualamos a x. Escrevendo isso em forma de equação: y p = x A Se desenvolvermos esta expressão isolando p, temos que: x p = y x=y (p/) Ou seja, para encontrar o valor x, dada uma porcentagem p de um valor y, basta multiplicamos y pela porcentagem p. Qual é o valor de 30% de 150? Ou seja, qual é o valor da porcentagem 30% em relação a 150. Para isso, devemos apenas multiplicar o valor 150 pela porcentagem 30%, ou seja: x=30% * 150 = (30/)*150=4500/=45 Ou seja, 30% de 150 é 45. maior parte das aplicações de porcentagem, sem dúvida, estão na matemática financeira. Sempre vemos em lojas os dizeres de que seus produtos estão em promoção, geralmente com a representação da quantidade de descontos em porcentagem. Aumento e desconto Ou seja, para encontrar a porcentagem p de um valor x em relação a um valor y, dividimos x por y e multiplicamos por. Qual é a porcentagem de 30 em relação a 40? p = 30 = = 75% 40 Ou seja, 30 representam 75% de 40. Encontrar o valor da porcenagem Agora, e se queremos descobrir quanto é o valor x, expresso em porcentagem p em relação a y? Para isso, multiplicamos y pela porcentagem p e, assim, teremos x. Da mesma expressão anterior, temos: Descontos em uma loja de departamento em porcentagem. Para refletir: com um desconto de 50%, pagaríamos a metade do preço anterior ao desconto? Além de descontos em lojas, vemos também várias notícias de aumento, expressas em porcentagem. Aula 03 Porcentagem e Matemática financeira 15

4 3,00 + % 3,00 = 3,00 + 3,00 = 3,00 (1 + ) 1 = 3,00 ( + ) = 3,00 ( ) = 3,00 1,1 = 3,30 Logo, aumentar um valor x de p%, equivale a multiplica-lo por (1 + p%). Notícia de aumento de preço da gasolina, disponível em Acesso em 03/04/2016. Desconto a) Diminuir um valor x de p% equivale a multiplicalo por ( - p)%. Supondo que o valor do litro da gasolina era de R$ 3,30, e foi diminuído em %, qual será o novo valor? ( )% 3,30 = 90% 3,30 = = R$ 2, ,30 Ou seja, R$3,30 - %*R$3,30 é igual a R$2,97. 3,3 % 3,30 = 3,30 3,30 = 3,30 (1 ) Notícia da bolsa de valores, disponível em -avanca-17-em-marco-e-lidera-ranking-de- 90 = 3,30 ( ) = 3,3 ( ) investimentos, Acesso em 03/04/2016. = 3,30 0,9 = R$2,97 Veremos agora como são aplicados os aumentos e descontos em relação a um valor inicial. Aumento a) Aumentar um valor x de p% equivale a multiplica-lo por ( + p)%. Supondo que o valor do litro da gasolina era de R$ 3,00, e foi aumentada em %, qual será o novo valor? Logo, diminuir um valor x de p%, equivale a multiplica-lo por (1 p%). Observe que, na prática, são aplicados apenas descontos situados entre 0% e %. Descontos negativos (maiores que %, ou seja, p > ) não existem na prática. Aumentos e descontos sucessivos Observe, a partir dos exemplos de aumento e desconto, que aplicado um aumento de % em 1 ( + )% 3,00 = 1% 3 = 3,00 R$3,00, chegamos ao valor de R$3,30. Depois, = R$ 3,30 aplicamos em desconto de % em R$3,30, e chegamos ao valor de R$2,97, e não os R$3,00 Ou seja, R$3,00 + %*R$3,00 é igual a R$3,30. anteriores. Isso deve-se ao fato de que, alterando o valor, mesmo mantendo as mesmas porcentagens, o valor das porcentagens também serão diferentes (% de R$3,00 é R$0,30, Aula 02 Porcentagem e Matemática financeira 16

5 enquanto que % de R$3,30 é R$0,33). Observe os exemplos de descontos e aumentos sucessivos. a) Dois aumentos sucessivos de % equivalem a um único aumento de 21% (e não de 20%), pois: 1 1 ( + )% [( + )%] x = x Vejamos um exemplo. 121 = x = 121% x = ( + 21)% x b) Dois descontos sucessivos de % equivalem a um único desconto de 19% (e não de 20%), pois: ( )% [( )%] x = A taxa i e o tempo t referem-se sempre à mesma unidade de tempo, qualquer que seja ela (dias, semanas, meses, anos). E geralmente, para efeito de cálculo, o ano é considerado de 12 meses de 30 dias cada um. Quais são os juros simples de um montante de R$7200,00, empregado a % ao ano, num período de 5 anos? Sabe-se que 90 x j = C t i% = = R$ 3600,00 = x = 81% x Logo, o rendimento em regime de juros simples é de R$ 3600,00. = ( 19)% x Exercícios propostos c) Um aumento de % seguido de um desconto 1) Os 0,021% de 3 correspondem a de % equivale a um único desconto de 1%, pois: 90 1 ( )% [( + )%] x = x a) 0, b) 0,00063 = x = 99% x c) 0,007 = ( 1)% x Este é o caso que aconteceu na comparação dos dois exemplos de aumento e desconto dados. Juros simples Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Denominamos juros simples aqueles que são calculados sempre a partir do capital inicial. Os juros simples são, portanto, diretamente proporcionais ao capital inicial e ao tempo de aplicação. Assim sendo um capital C, aplicado a uma taxa de i% ao mês, durante t meses, rende juros j, tais que j = C t i% = C t i d) 0,063 e) 0,07 2) (ENEM 2013) O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 20 (adaptado). Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de a) R$ 900,00 b) R$ 1200,00 c) R$ 2,00 d) R$ 3900,00 e) R$ 5,00 3) Uma enquete, realizada em março de 20, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram três as alternativas Aula 02 Porcentagem e Matemática financeira 17

6 possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico: b) R$625,00; 40g c) R$6,25; 4kg d) R$625,00; 4kg e) R$62,50; 400g 8) (FUVEST) Uma certa mercadoria, que custava R$12,50, teve um aumento, passando a custar R$13,50. O aumento sobre o preço antigo é de Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam NÃO à enquete? a) Menos de 23. b) Mais de 23 e menos de 25. c) Mais de 50 e menos de 75. d) Mais de e menos de 190. e) Mais de ) (UFRN) 25% da terça parte de 26 é igual a a) 7695 b) 855 c) 769,5 d) 94,5 e) 85,5 05) (FUVEST) (%) 2 = a) % b) 20% c) 5% d) 1% e) 0,1% 6) (FUVEST) O salário de Antônio é igual a 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$500,00. O salário de Antônio é a) R$ 5500,00 b) R$ 45000,00 c) R$ 4000,00 d) R$ 4500,00 e) R$ 3500,00 7) Sabe-se que R$ 50,00 são 8% de x e que 120 gramas representam 3% de y. Os valores de x e y são respectivamente a) R$625,00; 3,6kg a) 1% b) % c) 12,5% d) 8% e),8% 9) Qual montante teremos em 4 meses se aplicarmos um capital inicial de R$5.000,00 a um juros simples de 5% ao mês? a) R$5250,00 b) R$5500,00 c) R$5750,00 d) R$6000,00 ) (VUNESP-SP) Num balancete de uma empresa consta que certo capital foi aplicado a uma taxa de 30% ao ano durante 8 meses, rendendo juros simples no valor de R$ 192,00. O capital aplicado foi de a) R$288,00 b) R$880,00 c) R$960,00 d) R$2880,00 Vestibulares ) (ENEM) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ ,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso. Aula 02 Porcentagem e Matemática financeira 18

7 Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de a) 2075,00. b) 2093,00. c) 2138,00. d) 2255,00. e) 2300,00. 2) A taxa de analfabetismo representa a porcentagem da população com idade de 15 anos ou mais que é considerada analfabeta. A tabela indica alguns dados estatísticos referentes a um município. Enem ) Enem- Caderno amarelo- Questão 149- Cinco marcas de pão integral apresentam as seguintes concentrações de fibras (massa de fibra por massa de pão): Marca A: 2g de fibras a cada 50 g de pão; Marca B: 5 g de fibras a cada 40 g de pão; Marca C: 5g de fibras a cada g de pão; Marca D: 6g de fibras a cada 90 g de pão; Marca E: 7g de fibras a cada 70g de pão. Recomenda-se a ingestão de pão que possuir a maior concentração de fibras; A marca escolhida é: Do total de pessoas desse município com menos de 15 anos de idade, 250 podem ser consideradas alfabetizadas. Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que, da população total desse município, são alfabetizados a) 76,1%. b) 66,5%. c) 94,5%. d) 89,0%. e) 71,1%. 3) Uma imobiliária exige dos novos locatários de imóveis o pagamento, ao final do primeiro mês no imóvel, de uma taxa, junto com a primeira mensalidade de aluguel. Rafael alugou um imóvel nessa imobiliária e pagou R$ 900,00 ao final do primeiro mês. No período de um ano de ocupação do imóvel, ele contabilizou gastos totais de R$ 6.950,00 com a locação do imóvel. Na situação descrita, a taxa paga foi de a) R$ 450,00 b) R$ 250,00 c) R$ 300,00 d) R$ 350,00 e) R$ 550,00 2) Caderno amarelo-questão 156- Uma pessoa comercializa picolés. No segundo dia de certo evento ela comprou 4 caixas de picolés, pagando R$ 16,00 a caixa com 20 picolés para revendê-los no evento. No dia anterior, ela havia comprado a mesma quantidade de picolés, pagando a mesma quantia, e obtendo um lucro de R$ 40,00 (obtido exclusivamente pela diferença entre o valor de venda e o de compra dos picolés) com a venda de todos os picolés que possuía. Pesquisando o perfil público que estará presente no evento, a pessoa avalia que será possível obter um lucro 20% maior do que o obtido com a venda no primeiro dia do evento. Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os picolés disponíveis foram vendidos no segundo dia, o valor de venda de cada picolé, no segundo dia, deve ser : a)r$ 0,96 b)1 c)1,4 d)1,5 e)1,56 Gabarito Exercícios propostos 1) B 2)B 3) C 4)E 5)D 6)D 7)D 8)D 9)D C Vestibulares ) D 2) A 3) D Enem ) A marca B 2) C Aula 02 Porcentagem e Matemática financeira 19