UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO Álgebra de Boole Disciplina: Lógica Professora Dr.ª: Donizete Ritter
A Matemática Discreta e Lógica torna-se importante ao incluir os indivíduos no mundo lógico, pois a lógica está presente nos mais diversos lugares e aspectos, e assim define Moretto (2007, p.3) a lógica como: (...) uma correção do pensamento, isto é, ela nos ensina a usar corretamente o raciocínio. Pensar em lógica significa ordenar o pensamento. (...) A lógica está presente no nosso cotidiano, nas nossas ações, quando falamos ou escrevemos (...).
Sendo a lógica um estilo de raciocínio, é possível compará-la com uma arte, a arte de pensar, sem que para isso seja necessário ser um filósofo. A lógica está muito relacionada com o pensamento e estamos interessados em como é possível fazer a máquina pensar. Como sabemos essas máquinas, os computadores digitais binários são projetados para armazenar e manipular informações representadas apenas por dois algarismos ou dígitos distintos, 0 e 1.
Álgebra de Boole HISTÓRIA A Álgebra de Boole e aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo da filosofia. Álgebra Booleana é uma área da matemática que trata de regras e elementos de lógica. O nome booleana é uma retribuição da comunidade científica ao matemático inglês George Boole (1815-1864), que desenvolveu uma análise matemática sobre a Lógica e em 1854 publicou um livro no qual propôs os princípios básicos dessa álgebra.
Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho Uma Análise Matemática da Lógica. Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de Mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".
DEFINIÇÃO DE ÁLGEBRA DE BOOLE A Álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados e teoremas. Usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um dentre dois valores, zero (0) ou um (1). Trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR e conhecido como soma lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, as operações de interseção e união da teoria dos conjuntos.
Tais princípios baseiam-se em um sistema de álgebra (álgebra das proposições) onde se pode determinar se uma sentença é falsa ou verdadeira utilizando-se para isso as funções ou operadores lógicos: E, OU e NÃO (AND, OR, NOT). Assim, choveu ontem à tarde é um proposição (pode ser falsa ou verdadeira). Porém algumas proposições são compostas de subproposições ligadas por conectivos, no nosso caso representado pelos operadores lógicos: e, ou e não. No caso dessas proposições, o operador lógico usado é que definirá o valor lógico (se verdadeiro ou falso).
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA DE BOOLE O postulado básico da álgebra de Boole é a existência de uma variável booleana tal que: x 0 x=1 x 1 x=0 A álgebra de Boole é um sistema algébrico que consiste do conjunto {0,1}, duas operações binárias chamadas OR (operador: +) e AND (.) e uma operação unária NOT. A operação OR é chamada de soma lógica ou união, a operação AND é conhecida por produto lógico ou interseção e a operação NOT é dita complementação ou ainda inversão (não confundir com a soma de números binários).
George Boole estabeleceu dois princípios fundamentais em que assenta a lógica booleana, e que são: princípio da não contradição: "Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa. princípio do terceiro excluído: "Uma proposição só pode tomar um dos dois valores possíveis - ou é verdadeira ou é falsa - não sendo possível terceira hipótese"
Como já foi referido, Boole desenvolveu a sua álgebra a partir de duas grandezas: falso e verdadeiro. Também os computadores digitais fazem uso de sinais binários (0 e 1). Estes sinais pretendem representar os níveis de tensão, isto é, o 0 significa que não há passagem de corrente elétrica e 1 significa passagem de corrente elétrica. Daqui, podemos fazer a analogia entre a linguagem dos computadores e a álgebra de Boole da seguinte forma:0/falso/não passa corrente elétrica, 1/Verdadeiro/Passa corrente elétrica.
Operadores: As variáveis booleanas são representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... Operadores Booleanos Fundamentais: AND, OR e NOT.
Operador AND (interseção). Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. A conjunção é representada pela conectiva "." (ponto, como se fosse a multiplicação pois também é designada por produto lógico). Considerando todos os "arranjos" possíveis dos valores lógicos de duas proposições, A e B, podemos estabelecer a "tabela de verdade" que apresenta os resultados possíveis da conjunção lógica.
Símbolo Lógico: Tabela Verdade:
Operador OR (união). Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1. A disjunção inclusiva é representada pela conectiva "+" (sinal de soma, pois representa a adição lógica). A tabela de verdade desta operação lógica é:
Símbolo Lógico: Tabela Verdade:
Operador NOT (inversor). Definição: A operação de complementação de uma variável e implementada através da troca do valar lógico da referida variável. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:
Operadores Booleanos Secundários: NAND, NOR, XOR E XNOR
Operador NAND: Definição: A porta NAND (NÃO E) equivale a uma porta AND seguida por uma porta NOT, isto é, ela produz uma saída que é o inverso da saída produzida pela porta AND. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:
Operador NOR: Definição: A porta NOR equivale a uma porta OR seguida por uma porta NOT, isto é, ela produz uma saída que é o inverso da saída produzida pela porta OR. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:
Operador XOR (OU exclusivo) Definição: A operação lógica XOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes). Símbolo Lógico: Tabela Verdade:
Operador XNOR (negativo de OU exclusivo) Definição: A operação lógica XNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:
PROPRIEDADES BÁSICAS Sendo x uma variável booleana, então: A álgebra booleana é comutativa e associativa com relação às duas operações binárias. Sendo x, y, z variáveis booleanas, então:
Na álgebra booleana, a soma é distributiva sobre o produto e o produto é distributivo sobre a soma, Notemos que estas propriedades apresentam-se aos pares e que em cada par, uma equação pode ser obtida da outra mediante a troca de 1 por 0 e 0 por 1 além de permutarmos os AND s pelos OR s. Isto é conhecido como princípio da dualidade da álgebra de Boole (obs: todas estas expressões podem ser provadas por indução finita, bastando provar uma equação e a sua dual estará provada).
PORTAS LÓGICAS Portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos que operam um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma e somente uma saída, a qual é dependente da função implementada no circuito. Existem 7 Portas Lógicas e são elas:
TABELAS OPERACIONAIS Semelhante às tabelas verdade da Lógica das Proposições, podemos construir as tabelas operacionais para a álgebra booleana. Nestas últimas os valores lógicos são os dígitos 0 e 1.
CIRCUITO LÓGICO Todas as complexas operações de um computador não são mais do que simples operações aritméticas e lógicas básicas, como somar bits, complementar bits, comparar e mover bits. Estas operações são usadas para controlar a forma como o processador trata os dados, acede à memória e gera resultados. Todas estas funções do processador são fisicamente realizadas por circuitos eletrônicos, chamados circuitos lógicos. Assim sendo, um computador digital não é mais do que um "aglomerado" de circuitos lógicos. Quando se deseja construir um circuito lógico relativamente simples, faz-se uso de um circuito integrado.
IMPLEMENTANDO CIRCUITOS A PARTIR DE EXPRESSÃO BOOLENAS É possível desenhar um circuito lógico que executa uma função booleana qualquer, ou seja, pode-se desenhar um circuito a partir de sua expressão características. O método para a resolução consiste em se identificar as portas lógicas na expressão e desenhá-las com as respectivas ligações, a partir das variáveis de entrada deve-se sempre respeitar a hierarquia das funções da aritmética elementar, ou seja, a solução inicia-se primeiramente pelos parênteses.
Para exemplificar, será obtido o circuito que executa a expressão X= ( A+B ). ( B+C ): Essa expressão mostra que os termos A+B e B+C são entradas de portas AND, e cada um deles é gerado por portas OR independentemente. Exemplo de um circuito a partir de uma expressão booleana.
TABELAS VERDADE OBTIDAS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS Uma maneira de se fazer o estudo de uma função booleana é a utilização da tabela verdade. Para extrair a tabela da verdade de uma expressão devem-se seguir alguns procedimentos: 1º) Montar o quadro de possibilidades; 2º) Montar colunas para os vários membros da equação; 3º) Preencher estas colunas com os seus resultados; 4º) montar uma coluna para o resultado final e 5º) Preencher esta coluna com os resultados finais.
Para exemplificar este processo, utiliza-se a expressão X=A.B.C + A. D + A.B.D, a expressão contém 4 variáveis: A, B, C e D, logo, existem 16 possibilidade de combinações de entrada, para as quatro variáveis, o número de linhas da tabela é 2 4 =16 linhas, na tabela a seguir veja que na coluna um o valor 0 e 1 se repete 8 vezes cada um, enquanto na coluna dois se repete 4 vezes, na três duas vezes e na coluna quatro uma vez cada um. Desta forma, monta-se o quadro de possibilidade com quatro variáveis de entrada, três colunas auxiliares, sendo uma para cada membro da expressão, e uma coluna para resultado final. Exemplo de tabela verdade obtida de expressão booleana.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002 CEFETES, Circuitos e Sistemas Digitais. Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo. Disponível em:< ftp://ftp.cefetes.br/.../apostila%20com%20base%20no%20livro%20-%20...>. Acesso em: 02 de julho de 2014. DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4ª Ed. São Paulo: Atlas, 1995. FAGOTTO, Eric. Álgebra de Boole. Disponível em:< www.las.ic.unicamp.br/edmar/puc/2006/cl/cl-algboole-eric.pdf >. Acesso em: 02 de julho de 2014. MORETTO, A. Lógica da Matemática. Centro Universitário Leonardo da Vinci Indaial: Grupo UNIASSELVI, 2007. SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da computação. Rio de Janeiro: Elsevier, 2002.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO VALE DO TELES PIRES DEPARTAMENTO DE COMPUTAÇÃO Álgebra de Boole Disciplina: Matemática Discreta e Lógica Docente: Donizete Ritter