5 Transformadas de Laplace

5 Transformadas de Laplace 5.1 Introdução às Transformadas de Laplace 4 5.2 Transformadas de Laplace definição 5 5.2 Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 Sinal exponencial 6 Exemplo 5.1 7 Sinal impulso unitário u o (t) 7 Sinal degrau unitário u 1 (t) 8 Sinal rampa unitária u 2 (t) 9 Sinal semi-parabólico u 3 (t) 9 Os demais sinais singulares u n (t) 10 Os sinais seno e co-seno 10 5.4 Propriedades da Transformada de Laplace 11 Homogeneidade 11 Aditividade 11 Linearidade 11 Sinal transladado ( time shifting ) 11 Sinal multiplicado por exponencial e -at 11 Derivadas 12 Integral 13 Mudança de escala do tempo ( time scaling ) 13 1

Sinal multiplicado por t 14 Sinal multiplicado por 1/t 14 Convolução 14 5.5 Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF) 15 Teorema do Valor Inicial (TVI) 15 Teorema do Valor Final (TVF) 15 Exemplo 5.2 15 Exemplo 5.3 16 Exemplo 5.4 16 Exemplo 5.5 17 Exemplo 5.6 17 5.6 Alguns exemplos de Transformadas de Laplace 18 Exemplo 5.7 18 Exemplo 5.8 18 Exemplo 5.9 19 Exemplo 5.10 19 Exemplo 5.11 20 Exemplo 5.12 21 Exemplo 5.13 21 Exemplo 5.14 21 Exemplo 5.15 23 Exemplo 5.16 24 Exemplo 5.17 25 5.7 Tabela da Transformada de Laplace de alguns sinais conhecidos 26 5.8 A Transformada Inversa de Laplace 27 Caso 1 Pólos reais e distintos 28 Caso 2 Pólos complexos conjugados 28 Caso 1 Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) 28 2

Exemplo 5.18 30 Exemplo 5.19 31 Exemplo 5.20 31 Exemplo 5.21 33 5.9 Solução EDO usando Transformadas de Laplace 34 Exemplo 5.22 35 Exemplo 5.23 37 Exemplo 5.24 38 5.10 A reposta impulsional h(t) e H(s) 39 Exemplo 5.25 40 Exemplo 5.26 42 Exemplo 5.27 43 3

Transformadas de Laplace 5.1 Introdução às Transformadas de Laplace Neste capítulo estudaremos as Transformadas de Laplace. Elas apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável s que é um complexo, s = σ + jω. A Transformada de Laplace foi desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827). Fig. 5.1 Pierre Simon Laplace (1749-1827), francês. 4

5.2 Transformadas de Laplace definição Considere um sinal contínuo x(t) x(t) C {conjunto dos números complexos} ou seja, o sinal x(t) pode ter valores complexos, i.e., valores com parte real e com parte imaginária. A Transformada de Laplace deste sinal x(t), normalmente simbolizada por: permite expressar o sinal x(t) como: L { x(t) } ou X(s) L xt Xs xt dt eq. (5.1) A eq. (5.1) acima é chamada de transformada unilateral pois é definida para sinais x(t) onde x(t) = 0 para t < 0 e é a definição de Transformada de Laplace adoptada aqui pois é esta a que tem maior aplicação para sistemas dinâmicos. Fig. 5.2 Um sinal x(t) com valor nulo para t < 0 [i.e., x(t) = 0 para t < 0]. Além desta definição de Transformada de Laplace unilateral (para t 0) que adoptamos aqui, há também a Transformada de Laplace bilateral (definida para t, ou seja: t < 0 e t 0). 5

5.3 Transformadas de Laplace de alguns sinais conhecidos Sinal exponencial Como primeiro exemplo vamos utilizar o sinal exponencial xt u t eq. (5.2) Para um dado valor de a este sinal xt da eq. (5.2) está bem definido e assume o valor 0 ( zero ) à esquerda da origem pois está multiplicado pelo degrau unitário u 1 (t). Entretanto muitas vezes apenas escrevemos xt, t 0 e já fica subentendido que é nulo para t < 0. O sinal x(t) dado pela eq. (5.2) assume diferentes formas dependendo do valor de a. Se a > 0, x(t) é um sinal exponencial decrescente; se a < 0, x(t) é um sinal exponencial crescente; se a = 0; x(t) é um sinal degrau unitário. Os gráficos destes sinais podem ser vistos nas figuras 5.3 e 5.4. xt u t, a 0 xt u t, a 0 Fig. 5.3 Os sinais x(t) = e -at u 1 (t), para a > 0, exponencial decrescente (à esquerda), e para a < 0, exponencial crescente (à direita). xt u t, a 0 Fig. 5.4 O sinal x(t) = e -at u 1 (t), a = 0 (degrau unitário). 6

Calculando a Transformada de Laplace de x(t), pela definição [eq. (5.1)], temos que: L xt Xs e dt dt 1 s a 1 s a ou seja, Transformada de Laplace de um sinal exponencial é dada por: L 1 s a eq. (5.3) Exemplo 5.1: Considere os sinais xt,, t 0 (decrescente) e yt,, t 0 (crescente). Logo, as Transformadas de Laplace destes sinais são: Xs, e Ys, Sinal impulso unitário x(t) = u o (t) Para o sinal impulso unitário, usando novamente a definição da Transformada de Laplace [eq. (5.1)], temos: L xt Xs u t dt e agora, usando eq. (3.10) para a convolução acima de com o impulso unitário u t, L xt 1 Fig. 5.5 O sinal x(t) = u o (t), (impulso unitário). Logo, Transformada de Laplace do impulso unitário u o (t) é dada por: L u t 1 eq. (5.4) 7

Sinal degrau unitário u 1 (t) Embora já visto acima como caso particular do sinal xt, para t 0, vamos considerar novamente, agora como um sinal da família dos sinais singulares: x(t) = u 1 (t) Fig. 5.6 O sinal x(t) = u 1 (t), degrau unitário. Novamente, pela definição da Transformada de Laplace [eq. (5.1)], temos que: L xt Xs u t dt 1 s 1 s Logo, Transformada de Laplace do degrau unitário u 1 (t) é dada por: L u 1 s eq. (5.5) De forma semelhante pode-se calcular a Transformada de Laplace de outros sinais conhecidos como: u t, a rampa unitária, e demais sinais singulares contínuos: u t, u t,, u t, assim como também do seno, do co-seno, etc. sen ωt, cos ωt, sen ωt, cos ωt, etc. 8

Sinal rampa unitária u t x(t) = u 2 (t) Fig. 5.7 O sinal x(t) = u 2 (t), rampa unitária. e a Transformada de Laplace L xt Xs é dada por: L u t 1 s eq. (5.6) Sinal semi-parabólico u t x(t) = u 3 (t) Fig. 5.8 O sinal x(t) = u 3 (t), sinal semi-parabólico. A Transformada de Laplace L xt Xs é dada por: L u t Xs 1 s 9

Os demais sinais singulares Os resultados anteriores, para u t, impulso, u t, degrau, u t, rampa e u t, semi-parábola podem facilmente serem generalizados para toda a família de sinais singulares contínuos u t, n 0 vistos no capítulo 3: xt u t, n 0 A Transformada de Laplace L xt Xs é dada por: L u 1 s eq. (5.7) Sinais seno e co-seno x(t) = sen ωt u 1 (t) x(t) = cos ωt u 1 (t) Fig. 5.9 Os sinais x(t) = sen ω t u 1 (t) (à esquerda), e x(t) = cos ω t u 1 (t) (à direita). A Transformada de Laplace do seno é dada por: L sen ωt ω s ω eq. (5.8) e a Transformada de Laplace do co-seno é dada por: L cos ωt s s ω eq. (5.9) 10

5.4 Propriedades da Transformada de Laplace Muitas das propriedades que aqui mostramos são análogas às vistas anteriormente para Série de Fourier (capítulo 5) e Transformadas de Fourier (capítulo 6). Considere que x(t), x 1 (t) e x 2 (t) são sinais contínuos. Homogeneidade: L k xt k L xt Aditividade: L x t x t L x t + L x t Linearidade: Como já vimos em anteriormente, a linearidade é a propriedade da aditividade e da homogeneidade juntas: L x t β x t α L x t + β L x t Sinal transladado ( time shifting ): L xt a u t a e -as L xt = e -as X(s) Sinal multiplicado por exponencial e -at : L xt Xs a onde X(s) = L xt. Estas duas últimas propriedades são duais uma da outra pois: enquanto uma diz que a transformada do sinal transladado fica multiplicada por uma exponencial, a outra diz que a transformada de um sinal multiplicado por uma exponencial é um sinal transladado. 11

Derivadas: L xt s Xs x0 eq. (5.10) L xt s Xs s x0 x0 M eq. (5.10a) L dn dt n xt s n Xs s n1 x0 s x 0 x 0 eq. (5.10b) Os termos x0, s x0, x 0, etc nas fórmulas acima são chamados de resíduos. Note que se x(t) tem condições iniciais nulas, isto é, se x0 0, x0 0, x0 0,, etc. então os resíduos são todos nulos e derivar (em t) equivale a multiplicar por s (no domínio s, da frequência, de Laplace). Isto é, neste caso: L L xt s Xs xt s Xs M eq. (5.11) L x t s Xs Na verdade os resíduos aparecem porque tomamos a Transformada de Laplace unilateral. No caso da Transformada de Laplace bilateral não há resíduos e as transformadas das derivadas têm o resultado das equações em eq. (5.11). Entretanto, na Transformada de Laplace unilateral, que estamos considerando aqui, somente no caso em que as condições iniciais são nulas é que isso ocorre, isto é, somente no caso em que x0 0, x0 0, x0 0, é que as equações em eq. (5.11) são válidas. 12

Integral: L xt dt Xs s 1 s xt dt Aqui os resíduos são diferentes do caso da derivada. Entretanto, da mesma forma que derivar (em t) equivale a multiplicar por s (no domínio da frequência), sob certas condições integrar (em t) equivale a dividir por s (no domínio da frequência). Ou seja, se xt dt 0 Então a propriedade torna-se: L xt dt 1 s Xs. Mudança de escala do tempo ( time scaling ): L x t α Xα s, α 0 α Se o eixo da variável t for encolhido (0 < α < 1), então a Transformada de Laplace de x(t) ficará esticada (em s). Se o eixo da variável t for esticado (α > 1) então a Transformada de Laplace de x(t) ficará encolhida (em s). Equivalentemente, esta propriedade pode ser escrita como L xkt 1 k X, k 0 13

Sinal multiplicado por t L t xt dxs ds Novamente aqui temos uma dualidade. Esta última propriedade e a propriedade da derivada são duais uma da outra pois: enquanto uma diz que a transformada da derivada de x(t) é X(s) vezes s, a outra diz que a transformada de x(t) vezes t é a derivada de X(s). Sinal multiplicado por 1/t L 1 t xt Xsds Mais uma vez aqui temos uma dualidade. Esta última propriedade é dual da propriedade da integral pois, enquanto uma diz que a transformada da integral de x(t) é X(s) dividido por s, a outra diz que a transformada de x(t) dividido por t é um integral de X(s). Convolução L x 1 t x 2 t X 1 s X 2 s eq. (5.12) Portanto, a Transformada de Laplace da convolução de dois sinais x 1 (t) e x 2 (t) é o produto das transformadas X 1 (s) e X 2 (s) destes dois sinais. Recorde-se que a definição de convolução entre dois sinais x 1 (t) e x 2 (t) (capítulo 4, secções 4.3 e 4.4): x t x t x t τ x τ dτ x τx t τdτ eq. (5.13) Ou seja, a Transformada de Laplace transforma esta conta complicada da eq. (5.13) em uma simples multiplicação, eq. (5.12). 14

5.5 Teorema do Valor Inicial (TVI) e Teorema do Valor Final (TVF) Os teoremas do valor inicial (TVI) e do valor final (TVF) permitem que se descubra o valor inicial x(0 + ) e o valor final x( ) dos sinais x(t) cuja Transformada de Laplace X(s) sejam conhecidas. Teorema do Valor Inicial (TVI) x0 lim xt lim s Xs eq. (5.14) Teorema do Valor Final (TVF) x lim xt lim s Xs eq. (5.15) Exemplo 5.2: Considere o sinal exponencial decrescente xt u t, a 0, cuja Transformada de Laplace é dada por: Xs 1 s a Aplicando-se os teoremas TVI e TVF das equações eq. (5.14) e eq. (5.15) obtemos: x0 lim s Xs lim s s s 1 s a 1 e x lim s0 s Xs lim s0 s s a 0 que estão de acordo com o esperado pois x0 1 e x lim 0. 15

Exemplo 5.3: Considere o sinal x(t) cuja Transformada de Laplace é dada por: Xs 4s 1 s 2s Aplicando-se os teoremas TVI e TVF das equações eq. (5.14) e eq. (5.15) obtemos: x0 lim s Xs lim s 4s 1 s s ss 2 lim s 4s 1 s 2 4 ou seja, x lim s0 s Xs lim s0 s 4s 1 ss 2 lim s0 4s 1 s 2 1 2 x0 4 e x 0,5 Exemplo 5.4: Considere o sinal x(t) cuja Transformada de Laplace é dada por: Xs 3 s 2s Aplicando-se os teoremas TVI e TVF das equações eq. (5.14) e eq. (5.15) obtemos: x0 lim s Xs lim s s s 3 ss 2 lim s 3 s 2 0 ou seja, x lim s0 s Xs lim s0 s 3 ss 2 lim s0 3 s 2 3 2 x0 0 e x 1,5 16

Exemplo 5.5: Considere o sinal da rampa unitária xt u t, cuja Transformada de Laplace é dada pela eq. (5.6): Xs 1 s Aplicando-se os teoremas TVI e TVF das equações eq. (5.14) e eq. (5.15) obtemos: x0 lim s Xs lim s 1 s s s 2 lim s 1 s 0 x lim s Xs lim s 1 s0 s0 s 2 lim s0 que estão de acordo com o esperado pois 1 s x0 u 0 0 e x u Exemplo 5.6: Considere o sinal exponencial x(t) cuja Transformada de Laplace é dada por: Xs 1 s s 1 Aplicando-se os teoremas TVI e TVF das equações eq. (5.14) e eq. (5.15) obtemos: x0 lim s Xs lim s 1 s s 1 lim s s s 1 0 x lim s Xs lim s 1 s s 1 lim s s s 1 0 ou seja, x0 0 e x 0 17

5.6 Alguns exemplos de Transformadas de Laplace Exemplo 5.7: Considere o sinal da figura 5.8. x(t) = 2 u o (t a) A Transformada de Laplace deste sinal é dada por: X(s) = 2 e -as. O resultado acima é facilmente obtido aplicando-se as propriedades da homogeneidade e da translação ( time shifting ) visto que L u t 1. Fig. 5.10 O sinal x(t) = 2 u o (t a). Exemplo 5.8: Considere o sinal da figura 5.9. Escrevendo este sinal em termos de sinais singulares obtemos: 2 x(t) = u1(t a) 3 E portanto a Transformada de Laplace é dada por: X(s) as 2e = 3s Fig. 5.11 O sinal x(t) = ( 2/3) u 1 (t a). O resultado é obtido facilmente ao aplicar as propriedades da homogeneidade e da translação ( time shifting ) visto que L u t 1/. 18

Exemplo 5.9: Considere o sinal x(t) da figura 5.10. Escrevendo este sinal em termos de sinais singulares obtemos: (t) = u (t) u (t 1) u (t 3) x 2 2 1 E portanto a Transformada de Laplace é dada por: X(s) = 1 2 s e s s 2 e s 2s O resultado é obtido facilmente visto que L u t 1/, que L u t 1/s e aplicando-se as propriedades da aditividade e da translação ( time shifting ). Fig. 5.12 O sinal x(t) Exemplo 5.10: Já vimos na secção anterior que a Transformada de Laplace do degrau unitário u 1 (t) é dada pela eq. (5.5): L u t 1 s Também vimos no capítulo 2 (Sinais Singulares) que a derivada do degrau u 1 (t) é o impulso u o (t): du1(t) u o (t) = dt e que u 1 (0 - ) = 0, ou seja a condição inicial para u 1 (t) é nula. Portanto, aplicando-se a propriedade da derivada para as Transformada de Laplace temos que: L u t s L u t u 0 s 1 s 0 1 ou seja, L u t 1, da eq. (5.4), como era de se esperar. Semelhantemente, as Transformadas de Laplace de todos os sinais singulares u t, n 1 podem ser calculadas recursivamente e obtendo-se os já conhecidos resultados: L u t 1 s, L u t 1 s,, L u t 1 s. 19

L u t s L u t u 0 s 1 s 0 1 s L u t s L u t u 0 s 1 s 0 1 s L u t s L u t u 0 1 s s 0 1 s Exemplo 5.11: Olhando no sentido inverso do exemplo anterior podemos calcular as Transformadas de Laplace dos sinais singulares aplicando-se a propriedade da integral. Como e como u n (t) t = u n 1 (t)dt, n então u t dt 0, n L u t L u t dt 1 s L u n1t 1 s 1 s 1 s n 1 s n1 0 t u n1t dt t0 ou seja, L u t 1 s Da eq. (5.7), como era de se esperar. 20

Exemplo 5.12: Considere o sinal x(t) da figura 5.13. Escrevendo este sinal em termos de sinais singulares obtemos: x(t) = a u1 (t + 2). Nitidamente x(t) 0 para valores de t < 0. Portanto, este sinal não tem Transformada de Laplace unilateral conforme definida na eq. (5.1). Fig. 5.13 O sinal x(t) ) = a u 1 (t+2). Exemplo 5.13: Considere o sinal x(t) da figura 5.14. Este sinal em termos de sinais singulares tem a expressão: x(t) = a u1(2 t) Mas nitidamente aqui também x(t) 0 para valores de t < 0. Fig. 5.14 O sinal x(t) = a u 1 (2 t). Portanto, aqui novamente, este sinal não possui Transformada de Laplace unilateral conforme definida na eq. (5.1). Exemplo 5.14: Considere o sinal exponencial x t u t cuja Transformada de Laplace é dada pela eq. (5.3): L x t X s 21 1 s 1 Se o eixo t for esticado de 5 vezes (por uma mudança de escala), este sinal se torna em x 2 (t), também exponencial:

x t x t 5. u t cuja Transformada de Laplace é dada por (usando a transformada da exponencial) L x t X s L 1 1 5 Fig. 5.15 Os sinais x t u t e x t. u t são de certa forma o mesmo sinal escritos em escalas de tempo diferentes. Um tem o eixo dos t 5 vezes mas esticado que o outro. Usando a propriedade da mudança de escala ( time scaling ) obtemos o mesmo X 2 (s) obtido acima: L x t X s 5 X5 s 5 5 1 1 1 5 22

Exemplo 5.15: Considere o sinal sinusoidal xt sen ωt u t cuja Transformada de Laplace é dada por [usando a transformada do seno eq. (5.8)] L xt Xs ω s ω eq. (5.16) vamos calcular a Transformada de Laplace co-seno, isto é, do sinal y(t) yt cos ωt u t usando apenas as propriedades da Transformada de Laplace. Primeiramente, como a derivada do seno é o co-seno, ou melhor, d dt sen ωt ω cos ωt então, usando a propriedade da derivada para Transformada de Laplace, eq. (5.10), temos que: L xt ω L cos ωt sen0 ω L cos ωt eq. (5.17) Por outro lado, usando novamente a propriedade da derivada para Transformada de Laplace, mas agora para a eq. (5.16), temos que: L d dt xt s ω s ω ω s s 2 ω 2 eq. (5.18) e agora, comparando a eq. (5.17) com a eq. (5.18) concluímos que transformada do co-seno é dada por: L cos ωt L yt Ys s s ω que corresponde à eq. (5.9) que foi calculada pela definição de Transformada de Laplace. 23

Exemplo 5.16: Os sinais cujas Transformadas de Laplace são mostrados na eq. (5.19) podem ser vistos como sinais singulares [ u 1 (t) = 1, u 2 (t)/2 = t, u 3 (t)/6 = t 2,, u 3 (t)/n! = t n ] multiplicados por exponencial ou, alternativamente, como o sinal exponencial multiplicado por t, por t 2, por t 3, L 1 s a L t 1 s a L t 2 s a eq. (5.19) L t L t 6 s a n! s a As relações da eq. (5.19) podem ser demonstradas de duas formas diferentes: i) aplicando-se a propriedade da multiplicação por exponencial para os sinais singulares u n (t) (degrau, rampa, etc.) divididos por n! pois, como já visto anteriormente na eq. (3.19), ou, alternativamente, u t t n!, t 0, n 0, 1, 2, 3, ii) aplicando-se recursivamente a propriedade do sinal multiplicado por t para o sinal exponencial. 24

Exemplo 5.17: Sinais oscilatórios amortecidos do tipo seno ou co-seno multiplicados por exponenciais decrescentes são comuns em sistemas estáveis. Considere o caso do seno amortecido: xt sen ωt u t Fig. 5.16 O sinal oscilatório amortecido xt senωt u t. Aplicando-se a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facilmente obtêmse: ω Xs s a ω Considere agora o caso do co-seno amortecido: xt cos ωt u t Aplicando-se novamente a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facilmente obtêm-se: Xs s a s a ω 25

5.7 Tabela da Transformada de Laplace de alguns sinais conhecidos x(t) X(s) = L { x(t) } x(t) = u o (t) Xs 1 x(t) = u 1 (t) x(t) = u 2 (t) x(t) = u 3 (t) x(t) = u n (t) Xs 1 s Xs 1 s Xs 1 s Xs 1 s x(t) = e at u 1 (t) Xs 1 s a x(t) = t e at u 1 (t) x(t) = t 2 e at u 1 (t) x(t) = t 3 e at u 1 (t) x(t) = t n e at u 1 (t) x(t) = sen ωt u 1 (t) x(t) = cos ωt u 1 (t) x(t) = e at sen ωt u 1 (t) x(t) = e at cos ωt u 1 (t) Xs Xs Xs Xs 1 s a 2 s a 3! s a n! s a ω Xs s ω s Xs s ω ω Xs s a ω s a Xs s a ω 26

5.8 Transformada Inversa de Laplace Nesta secção vamos desenvolver as técnicas de encontrar o sinal x(t) cuja Transformada de Laplace X(s) é conhecida. Ou seja, vamos calcular a Transformada inversa de Laplace de X(s). L Xs xt As Transformadas de Laplace dos principais sinais de interesse para sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fracção racional, ou seja, uma fracção do tipo: eq. (5.20) onde p(s) e q(s) são polinómios. Conforme podemos observar na tabela da secção anterior, as Transformadas de Laplace de muitos sinais vêm todas na forma eq. (5.20) onde p(s) e q(s) são polinómios menores, isto é, do primeiro ou segundo grau. Note também que em muitos casos p(s), o polinómio do numerador, tem apenas o termo independente (i.e., uma constante) p(s) = 1, p(s) = 2, p(s) = 3!, p(s) = n!, ou p(s) = ω. Em outras situações p(s) é um polinómio do primeiro grau: p(s) = s ou p(s) = (s + a). Sinais mais complexos são a combinação linear de sinais que aparecem na tabela da secção anterior e também apresentam transformadas do tipo eq. (5.20) e devem ser desmembrados em fracções parciais menores para obtermos a transformada inversa. Esse processo de desmembrar o X(s) na forma de fracção eq. (5.20) é chamada de expansão em fracções parciais. Vamos apresentar, através de exemplos, três casos de expansão em fracções parciais. A fracção racional da eq. (5.20) é a função de transferência de um sistema; as raízes do polinómio q(s) do denominador são chamadas de pólos. Os três casos que veremos são: pólos reais e distintos, pólos complexos e pólos múltiplos. Os demais casos serão apenas combinações destes 3 casos, como veremos nos exemplos da próxima secção. 27

Caso 1 Pólos reais e distintos: No caso de pólos reais e distintos q(s) pode ser factorado em s = a, s = b, qs s a s b e a expansão em fracções parciais deve ser da seguinte forma: eq. (5.21) Caso 2 Pólos complexos conjugados: No caso de pólos complexos conjugados, então q(s) pode ser expresso como: qs as bs c com Δ b 4ac 0 e a expansão em fracções parciais deve ser da seguinte forma: eq. (5.22) Caso 3 Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.): No caso de pólos múltiplos (i.e., pólos duplos, triplos, etc.), então q(s) pode ser expresso como: qs s a e a expansão em fracções parciais deve ser da seguinte forma: eq. (5.23) 28

Uma vez escrita nas formas eq. (5.21), eq. (5.22) e eq. (5.23), ou combinações destas, torna-se fácil achar a transformada inversa de Laplace fracção a fracção, com o uso da propriedade da linearidade e da tabela da secção anterior. Por exemplo, no caso da eq. (5.21): L A s a A L B s b B No caso da eq. (5.22), ela pode ser reescrita como As B as bs c As as bs c B as bs c As s α ω B ω ω s α ω e o cálculo das transformadas inversas L As s α ω e L B ω s α ω não é difícil de ser feito dando como resultado sinais do tipo e xt A cos ωt u t xt B ω sen ωt u t respectivamente. 29

No caso da eq. (5.23): L A s a A 2 t L B s a B t L C s a C Exemplo 5.18: Xs s 3 s 1s 2 eq. (5.24) Este é um caso de pólos reais e distintos. Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções parciais: Xs A s 1 B s 2 A Bs 2A B s 1s 2 e igualando o numerador A Bs 2A B com (s + 3), o numerador de X(s) na eq. (5.24), temos que: cuja solução é dada por e portanto, A B 1 2A B 3 A 2 B 1 30

xt L 2 1 L 1 2 2, t 0 Exemplo 5.19: Xs 2s 7s 7 s 1s 2 Aqui observamos que grau denominador e do numerador são o mesmo. Então, dividindo-se facilmente obtemos que Xs 2 s 3 s 1s 2 mas e L 2 2 u t L s 3 s 1s 2 já foi calculado no exemplo anterior (Exemplo 5.18), logo: xt 2 u t 2, t 0 Exemplo 5.20: Xs s 1 ss s 1 eq. (5.25) Este é um caso de combinação de um pólo real distinto (s = 0) e um par de pólos complexos. Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções parciais: 31

J. A. M. Felippe de Souza 5 Transformadas de Laplace Xs A s Bs C s s 1 A Bs A Cs A ss s 1 e igualando o numerador B As C As A com (s + 1), o numerador de X(s) em eq. (5.25), temos que: A B 0 A C 1 A 1 cuja solução é dada por A 1 B 1 C 0 e portanto, Xs 1 s s s s 1 1 s s 1 2 s 1 2 3 4 1 2 s 1 2 3 4 logo xt L 1 s L L 1 s L 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 L 1 3 L 1 1 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 e usando a tabela da secção anterior facilmente encontramos: 32

xt 1. cos 3 2 t 1 3. sen 3 2 t, t 0 1. cos 0.866t 0.578. sen0.866t, t 0 Exemplo 5.21: Xs s 2s 3 s 1 eq. (5.26) Este é um caso de um pólo múltiplo (s = 1, triplo neste caso). Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções parciais: Xs A s 1 B s 1 C s 1 A Bs 1 Cs 1 s 1 A B C B 2Cs Cs s 1 e igualando o numerador A B C B 2Cs Cs com o numerador de X(s) em eq. (5.26) temos que: 3 2 2 1 cuja solução é dada por 2 0 1 33

e portanto, Xs cuja transformada inversa é: 2 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 xt L 1 s 1 L 1 1 s 1 1, 0 5.9 Solução de equações diferenciais ordinárias (EDO) usando Transformada Laplace As Transformadas de Laplace são muito úteis na resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) transformando-as em equações algébricas no domínio s (também chamado domínio da frequência ) de fácil solução. O principal problema deixa de ser as equações diferenciais e passa a ser a transformada inversa de Laplace. As propriedades das derivadas para Transformada de Laplace [equações eq. (5.10) eq. (5.11)] são as mais importantes para a resolução de EDO. EDO descrevem a dinâmica de sistemas contínuos onde x(t) é a entrada ( input ) e y(t) é a saída ( output ). Normalmente, a entrada x(t) é conhecida assim como as condições iniciais da saída y(t), isto é, y(0), y [0], y [0], etc. e deseja-se calcular a saída y(t), a solução da EDO. O número de condições iniciais necessárias para resolver a EDO é a ordem da própria equação de diferencial (que é a ordem do sistema). Logo, se for de 1ª ordem, precisase de y(0); se for de 2ª ordem, precisa-se de y(0) e y (0), e assim por diante. 34

Exemplo 5.22: Considere a equação diferencial ordinária (EDO) com x(t) = u 1 (t) = degrau unitário e condições iniciais nulas, isto é, y(0)=0 e y (0)=0: y + 3y(t) = 2x(t) eq. (5.27) y(0)=0 e y (0)=0 x(t) = u 1 (t) = degrau unitário Fazendo-se a Transformada de Laplace dos termos da eq. (5.27) obtém-se: s Ys 3Ys 2 Xs ou seja, e portanto, s 3 Ys 2 Xs Ys Xs eq. (5.28) e, como x(t) = u 1 (t) = degrau unitário, temos que X(s) = 1/s, logo: s 3 Ys 2 s que é uma equação algébrica em s e cuja solução é: Ys 2 s s 3 Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s). yt L 1 Ys Este é um caso de um pólo real (distinto) s = 0 e um par de pólos complexos, raízes de s 3 0. Para achar a transformada inversa de Laplace de Y(s) fazemos a expansão em fracções parciais: 35

yt 2 3 1 cos 3 t, t 0 J. A. M. Felippe de Souza 5 Transformadas de Laplace Ys A s Bs C s 3 A Bs Cs 3A ss 3 e igualando o numerador A Bs Cs 3A com 2, o numerador de Y(s), temos que cuja solução é dada por A B 0 C 0 3A 2 A B 2 3 e portanto, C 0 Xs 2 3 s 2 3s s 3 2 3 1 s 2 3 s s 3 logo xt L 2 3 1 s L 2 3 s s 3 2 3 L 1 s L s s 2 3 2 e usando a tabela da secção 5.7 a solução da EDO é encontrada: 36

Exemplo 5.23: Considere a equação diferencial ordinária (EDO) homogénea (ou seja, x(t) = 0, caso de sistemas livres, que não têm input ) e condições iniciais: y(0) = 0 e y (0) = 4. y + 5y + 9y(t) = x(t) = 0 eq. (5.29) y(0) = 0 e y (0) = 4; x(t) = 0 Fazendo-se a Transformada de Laplace da eq. (5.29) termo a termo obtém-se: s Ys s y0 y0 5sYs 5y0 9Ys 0 logo, e portanto, s Ys 4 5sYs 9Ys 0 s 5s 9 Ys 4 que é uma equação algébrica em s e cuja solução é: Ys 4 s 5s 9 Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s). yt L 1 Ys Este é um caso de um par de pólos complexos, raízes de s 5s 9 0. Para achar a transformada inversa de Laplace de Y(s) fazemos a expansão em fracções parciais: Ys 4 s 2,5 2,75 2,412 1,658 s 2,5 1,658 logo yt L 2,412 1,658 s 2,5 1,658 1,658 2,412 L s 2,5 1,658 37

e usando a tabela da secção 5.7, a solução da EDO é encontrada: yt 2,412, sen 1,658 t, t 0 Exemplo 5.24: Considere a equação diferencial ordinária (EDO) abaixo onde x(t) = u 1 (t) = degrau unitário, e as condições iniciais são: y(0) = 1 e y (0) = 0. y + y + y(t) = x(t) eq. (5.29a) y(0) = 1 e y (0) = 0; x(t) = u 1 (t) Fazendo-se a Transformada de Laplace da eq. (5.29a) termo a termo obtém-se: s Ys s y0 y0 sys y0 Ys Xs logo, e portanto, s Ys s sys 1 Ys 1 s s s 1 Ys s 1 s que é uma equação algébrica em s e cuja solução é: Ys s 1 ss s 1 que é a mesma equação eq. (5.26) já vista anteriormente no Exemplo 5.20. A solução y(t) desta EDO é a transformada inversa de Laplace de Y(s): yt L 1 Ys já foi calculada no Exemplo 5.20 e é dada em eq. (5.26), ou seja, yt 1. cos 0.866t 0.578. sen0.866t, t 0 38

5.10 A resposta impulsional h(t) e H(s) Note que para acharmos a Transformada inversa de Y(s), na eq. (5.27), era necessário conhecer x(t), ou melhor, X(s). Equações de diferenciais como as das eq. (5.27) ou eq. (5.29) descrevem a dinâmica de sistemas em que x(t) é a entrada, y(t) é a saída do sistema. Fig. 5.17 Diagrama de bloco esquemático de um sistema com entrada x(t), saída y(t) e resposta impulsional h(t). Conforme visto no capítulo 4 (Sistemas), a resposta impulsional ( impulse response ) h(t) será a resposta y(t) de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) quando a entrada x(t) for um impulso u o (t), como ilustra a figura 5.18. Fig. 5.18 Diagrama de bloco esquemático da resposta impulsional h(t), a saída do sistema quando a entrada é o impulso u o (t). Um resultado clássico da teoria de sistemas, que vimos na secção 4.3, é que a saída y(t) de um sistema é a convolução entre h(t) e x(t), ou seja y (t) = h(t) * x(t) isto é, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma da integral de convolução, eq. (4.5): + y (t) = h(t τ) x( τ) dτ= h( τ) x(t τ) dτ. Usando a propriedade da convolução para a Transformada de Laplace, eq. (5.12), ou seja, a transformada da convolução é o produto das transformadas, temos então que: Y(s) + = H(s) X(s) eq. (5.30) 39

o que permite redesenhar o diagrama acima da Fig. 5.17 na forma mostrada na Fig. 5.19. Fig. 5.19 Diagrama de bloco esquemático de um sistema com entrada X(s), saída Y(s) e resposta impulsional H(s). Como a Transformada de Laplace do impulso unitário u o (t) é igual a 1, ou seja: L {u o (t)} = 1 conforme já visto, eq. (5.4), então quando a entrada x(t) é um impulso unitário u o (t), i.e., x(t) = u o (t) teremos que X(s) = 1 e portanto, pela eq. (5.30), Y(s) = H(s) 1, isto é, Y(s) = H(s), o que implica y(t) = h(t), isto é, a saída y(t) se torna a resposta impulsional, como seria de se esperar. Exemplo 5.25: Retomando o sistema do Exemplo 5.22, se imaginarmos que a equação diferencial eq. (5.27) descreve a dinâmica de um sistema, então, comparando a eq. (5.28) com a eq. (5.30) obtemos 2 Hs s 3 Isto é consistente com a definição de h(t) e H(s) (resposta impulsional do sistema), pois se a entrada x(t) for o degrau unitário, como era no Exemplo 5.22, x(t) = u 1 (t) então X(s) = 1/s e, pela eq. (5.30), temos que: 40

Ys Hs 1 s 2 ss 3 ou seja, o mesmo Y(s) que foi obtido no Exemplo 5.22 e que permitiu calcular a saída do sistema y(t) yt L 1 Ys Fig. 5.20 Sistema com entrada x(t), saída y(t) e resposta impulsional h(t). Entretanto, se a entrada do sistema fosse x(t) = u o (t) então X(s) = 1 e, pela eq. (5.30), temos que: Ys Hs 2 s 3 ou seja, a saída y(t) = h(t), conforme a própria definição da resposta impulsional h(t). A expressão deste h(t) é então achada fazendo-se ou seja, ht L Hs L Ys ht yt L 2 s 3 L 2 3 3 s 3 e agora, pela propriedade da homogeneidade da Transformada de Laplace e usandose a tabela da secção 5.7, temos que a resposta impulsional é: ht yt 2 3 sen 3t, t 0 41

Observe que os pólos do sistema, raízes do polinómio q(s) do denominador de H(s), ou seja: qs s 3, s 3. Exemplo 5.26: No caso do Exemplo 5.23, a equação diferencial eq. (5.29), que descreve a dinâmica deste sistema, é na verdade onde x(t) = 0 pois a entrada deste sistema é nula. y + 5y + 9 y(t) = x(t) eq. (5.31) Agora, assumindo condições iniciais nulas, i.e., y(0) = 0 e y (0) = 0, e fazendo a Transformada de Laplace da equação eq. (5.31) termo a termo, facilmente obtém-se: s 2 Y(s) + 5sY(s) + 9Y(s) = X(s) o que nos fornece: Ys 1 s 5s 9 Xs que, novamente, comparando com a equação eq. (5.30) nos dá: Hs 1 s 5s 9 a resposta impulsional do sistema. Portanto, a resposta impulsional H(s) pode ser sempre obtida a partir da equação diferencial que descreve o sistema fazendo-se condições iniciais nulas. Além disso, os pólos do sistema são as raízes do polinómio qs s 5s 9 que se encontra no denominador de H(s), que são: s = 2,5 ± 1,658 j 42

Para se achar h(t) temos que calcular a Transformada inversa: ht L 1 Hs Reescrevendo q(s) como qs s 5s 9 s 2,5 2 2,75 e substituindo no denominador de H(s), temos Hs 1 s 2,5 2,75 0,603 1,658 s 2,5 1,658 logo, ht L 0,603 1,658 s 2,5 1,658 1,658 0,603 L s 2,5 1,658 e usando a tabela da secção 5.7, nos dá: ht 0,603, sen 1,658 t, t 0 Fig. 5.21 Sistema com entrada x(t), saída y(t) e resposta impulsional h(t). Exemplo 5.27: No caso do Exemplo 5.24, a equação diferencial eq. (5.29a), que descreve a dinâmica deste sistema, é y + y + y(t) = x(t) eq. (5.32) 43

Agora, assumindo condições iniciais nulas, i.e., y(0) = 0 e y (0) = 0, e fazendo a Transformada de Laplace da equação eq. (5.31) termo a termo, facilmente obtém-se: s Ys sys Ys Xs o que nos fornece: Ys 1 s s 1 Xs que, novamente, comparando com a equação eq. (5.30) nos dá: Hs 1 s s 1 a resposta impulsional do sistema. Mais uma vez a resposta impulsional H(s) foi obtida a partir da EDO que descreve o sistema fazendo-se condições iniciais nulas. Os pólos deste sistema são as raízes do polinómio qs s s 1 que se encontra no denominador de H(s), que são: s = 0,5 ± 0,866 j Para se achar h(t) temos que calcular a Transformada inversa: Reescrevendo q(s) como ht L 1 Hs qs s s 1 s 0,5 2 0,866 2 e substituindo no denominador de H(s), temos logo, Hs 1 s 0,5 0,866 0,866 ht 1,1547 L s 0,5 0,866 e usando a tabela da secção 5.7, nos dá: ht 1,1547, sen 0,866 t, t 0 44