FLEXÃO NORMAL SIMPLES - VIGAS

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus e Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento e Engenharia Civil Disciplina: 117 - ESTRUTURAS DE CONCRETO I NOTAS DE AULA FLEXÃO NORMAL SIMPLES - VIGAS Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos) Bauru/SP novembro/010

APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo e servir como notas e aula na isciplina 188 Estruturas e Concreto I, o curso e Engenharia Civil a Faculae e Engenharia, a Universiae Estaual Paulista UNESP, Campus e Bauru/SP. O texto apresentao está e acoro com as prescrições contias na norma NBR 6118/003 ( Projeto e estruturas e concreto Proceimento ), conforme a versão corrigia e março e 004, para o projeto e imensionamento as vigas e concreto armao à flexão normal simples. A apostila apresenta o estuo as seções retangulares com armauras simples e upla e as seções T com armaura simples, para solicitação e flexão simples. Visano iniciar o cálculo prático as vigas os eifícios, são introuzios alguns tópicos aicionais, como o cálculo as cargas verticais sobre as vigas e algumas prescrições na norma para as vigas simples e contínuas. O texto constante esta apostila não inclui toos os tópicos relativos ao projeto as vigas, como o imensionamento aos esforços cortantes e aos momentos torçores, ancoragem nos apoios, etc. Nas apostilas a isciplina 1309 - Estruturas e Concreto II - esses temas serão aboraos. Quaisquer críticas e sugestões serão bem-vinas, pois assim a apostila poerá ser melhoraa. O autor agraece ao técnico Éerson os Santos Martins, pela confecção os esenhos.

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO... 1. DEFINIÇÃO DE VIGA... 1 3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE... 4. COMPARAÇÃO DOS DOMÍNIOS, 3 E 4... 5 5. HIPÓTESES DE CÁLCULO... 7 6. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES... 8 6.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO... 8 6. CÁLCULO COM COEFICIENTES K... 1 6.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS... 13 7. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA... 31 7.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO... 31 7. CÁLCULO MEDIANTE FÓRMULAS COM COEFICIENTES K... 35 7.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS... 36 8. SEÇÃO T... 43 8.1 LARGURA COLABORANTE... 50 8. SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES... 53 8..1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO... 53 8.. CÁLCULO COM EQUAÇÕES COM COEFICIENTES K... 56 8..3 EXEMPLOS NUMÉRICOS... 57 9. PRESCRIÇÕES GERAIS PARA AS VIGAS... 68 9.1 VÃO EFETIVO... 68 9. DEFINIÇÃO DA ALTURA E DA LARGURA... 68 9.3 CARGAS VERTICAIS NAS VIGAS... 69 9.3.1 Peso Próprio... 69 9.3. Parees... 70 9.3.3 Lajes... 70 9.3.4 Outras Vigas... 70 9.4 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS... 70 9.4.1 Armauras Longituinais Máximas e Mínimas... 70 9.4. Armaura Mínima e Tração... 71 1. 71 9.4.3 Armaura Longituinal Máxima... 71 9.4.4 Armaura e Pele... 7 9.5 ARMADURAS DE LIGAÇÃO MESA-ALMA... 7 9.6 ESPAÇAMENTO LIVRE ENTRE AS BARRAS... 73 10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS... 73 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 79 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR... 80 TABELAS ANEXAS... 81

1 FLEXÃO NORMAL SIMPLES - VIGAS 1. INTRODUÇÃO A flexão simples é efinia como a flexão sem força normal. Quano a flexão ocorre acompanhaa e força normal tem-se a flexão composta. Solicitações normais são aquelas cujos esforços solicitantes prouzem tensões normais (perpeniculares) às seções transversais os elementos estruturais. Os esforços que provocam tensões normais são o momento fletor (M) e a força normal (N). Nas estruturas e concreto armao são três os elementos estruturais mais importantes: as lajes, as vigas e os pilares. E ois esses elementos, as lajes e as vigas, são sumetias à flexão normal simples, embora possam também, eventualmente, estarem submetias à flexão composta. Por isso, o imensionamento e seções retangulares e seções T sob flexão normal simples é a ativiae iária mais comum aos engenheiros projetistas e estruturas e concreto armao (SANTOS, 1983). De moo que o estuo a flexão simples é muito importante. O estuo a flexão normal simples tem como objetivo proporcionar ao aluno o correto entenimento os mecanismos resistentes proporcionaos pelo concreto sob compressão e pelo aço sob tração, em seções retangulares e T, visano levá-lo a bem imensionar ou verificar a resistência essas seções. O equacionamento para a resolução os problemas a flexão simples é euzio em função e uas equações e equilíbrio a estática, e que proporciona as aqui chamaas equações teóricas, que poem ser facilmente implementaas para uso em programas computacionais. Também é apresentao o equacionamento com base em coeficientes tabelaos tipo K, largamente utilizao no Brasil. É importante esclarecer o aluno que no estuo esta apostila ele aprenerá a imensionar as seções transversais as vigas aos momentos fletores máximos, e fazer o etalhamento as armauras e flexão apenas na seção transversal corresponente. Nesta isciplina o estuo as vigas está apenas iniciano. O estuo completo as vigas simples ou contínuas, com imensionamentos aos esforços cortantes e momentos torçores, bem como o etalhamento completo e ancoragem as armauras, só será alcançao ao término a isciplina 13 - Estruturas e Concreto II. Além isso, outros tópicos relativos às vigas, como fissuração e flecha, serão estuaos na isciplina 158 Estruturas e Concreto IV.. DEFINIÇÃO DE VIGA São elementos lineares em que a flexão é preponerante (NBR 6118/03, item 14.4.1.1). Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longituinal supera em pelo menos três vezes a maior imensão a seção transversal, seno também enominaa barras.

3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE Consiere uma viga e concreto armao biapoiaa (Figura 1), submetia a uas forças concentraas P crescentes e e igual intensiae. A armaura é composta por armaura longituinal, resistente às tensões e tração provenientes a flexão, e armaura transversal, imensionaa para resistir aos esforços cortantes, composta por estribos verticais no lao esquero a viga e estribos e barras obraas no lao ireito a viga. A Figura a mostra as trajetórias as tensões principais e tração e e compressão a viga aina no estáio I. Observe que no trecho e flexão pura as trajetórias as tensões e compressão e e tração são paralelas ao eixo longituinal a viga. Nos emais trechos as trajetórias as tensões são inclinaas evio à influência os esforços cortantes. Enquanto a resistência à tração o concreto é superior às tensões principais e tração, não surgem fissuras na viga. As primeiras fissuras e flexão só surgem na região e máximos momentos fletores, no instante que as tensões e tração atuantes igualam e superam a resistência o concreto à tração na flexão (Figura b). Para este nível e carregamento a viga apresenta trechos fissuraos, no estáio II, e trechos não fissuraos, no estáio I. Note que a ireção ou inclinação as fissuras é aproximaamente perpenicular à ireção as tensões principais e tração, ou seja, a inclinação as fissuras epene a inclinação as tensões principais e tração. Por esta razão, na região e flexão pura, as fissuras são verticais. A Figura c mostra os iagramas e eformações e e tensões nas seções a e b a viga, nos estáios I e II, respectivamente. No estáio I a máxima tensão e compressão (σ c ) aina poe ser avaliaa e acoro com a lei e Hooke, o mesmo não valeno para o estáio II. Com o carregamento num patamar superior começam a surgir fissuras inclinaas nas proximiaes os apoios, por influência as forças cortantes atuano em conjunto com os momentos fletores. Essas fissuras inclinaas são chamaas e fissuras e cisalhamento (Figura ), que não é um termo aequao porque tensões e cisalhamento não ocorrem por ação exclusiva e força cortante. Sugerimos fissura e flexão com cortante. Com carga elevaa, a viga, em quase toa a sua extensão, apresenta-se no estáio II. Apenas nas proximiaes os apoios a viga permanece no estáio I. Armaura Transversal (somente estribos) P P Armaura Transversal (estribos e barras obraas) l + M + - V Figura 1 Viga biapoiaa e iagramas e esforços solicitantes. (LEONHARDT e MÖNNIG - 198).

3 a) tração compressão a b b) a b Estáio I Estáio II Estáio I Seção a-a εc σ c = e c E c Seção b-b ε c σ c c) ε s σt < σ ct,f ε s σ s b ) b Estáio II Seção b-b ε c σ c = f c e) ε s σ s > f y Figura - Comportamento resistente e uma viga biapoiaa. (LEONHARDT e MÖNNIG - 198). No caso e uma viga bi-apoiaa sob carregamento uniformemente istribuío, no estáio I, as tensões principais na altura a linha neutra (a meia altura a viga) apresentam inclinação e 45 (ou 135 ) em relação ao eixo longituinal a viga, como mostrao na Figura 3. Observe que nas regiões próximas aos apoios as trajetórias as tensões principais inclinam-se por influência as forças cortantes, manteno, no entanto, a perpeniculariae entre as trajetórias.

4 σ II σ I Direção e Direção e σ I σ II (tensões e tração) (tensões e compressão) + M x + - V Figura 3 - Trajetória as tensões principais e uma viga bi-apoiaa no estáio I sob carregamento uniformemente istribuío (LEONHARDT e MÖNNIG, 198). O carregamento inuz o surgimento e iferentes estaos e tensão nos infinitos pontos que compõem a viga, e que poem ser representaos por um conjunto e iferentes componentes, em função a orientação o sistema e eixos consieraos. Como exemplo, a Figura 4 mostra a representação os estaos e tensão em ois pontos a viga, conforme os eixos coorenaos x-y e os eixos principais. O estao e tensão seguno os eixos x-y efine as tensões normais σ x, as tensões σ y e as tensões e cisalhamento τ xy e τ yx. O estao e tensão seguno os eixos principais efinem as tensões principais e tração σ I e e compressão σ II. A tensão σ y poe ser em geral esprezaa, teno importância apenas nos trechos próximos à introução e cargas. O imensionamento as estruturas e concreto armao toma como base normalmente as tensões σ x e τ xy. X y X X ( + ) ( - ) x yx x y ( - ) II ( + ) I + y y = 0 y Figura 4 Componentes e tensão seguno os estaos e tensão relativos aos eixos principais e aos eixos nas ireções x e y (LEONHARDT e MÖNNIG, 198).

117 - Estruturas e Concreto I Flexão Normal Simples - Vigas 5 4. COMPARAÇÃO DOS DOMÍNIOS, 3 E 4 As eformações nos materiais componentes as vigas e concreto armao submetias à flexão simples encontram-se nos omínios e eformações, 3 ou 4, conforme efinios na NBR 6118/03 (item 17..). A análise as Figura 5 e Figura 6 permite fazer as seguintes consierações as vigas na flexão simples em relação aos omínios, 3 e 4: a) Domínio No omínio a eformação e alongamento na armaura tracionaa (ε s ) é fixa e igual a 10, e a eformação e encurtamento na fibra mais comprimia e concreto (ε c ) varia entre zero e 3,5 (0 ε c 3,5 ). Sob a eformação e 10 a tensão na armaura correspone à máxima permitia no aço (f y ), como se poe verificar no iagrama σ x ε o aço mostrao na Figura 6. No omínio, portanto, a armaura tracionaa é econômica, isto é, a máxima tensão possível no aço poe ser implementaa nessa armaura. Na questão relativa à segurança, a ruptura, se vier a ocorrer, será chamaa com aviso prévio, isto é, como a armaura continuará escoano além os 10, a fissuração na viga será intensa e ocorrerá antes e uma possível ruptura por esmagamento o concreto na região comprimia. A intensa fissuração será visível e funcionará como um aviso aos usuários o comportamento inaequao a viga, alertano-os, e moo que sejam tomaas meias visano a evacuação a construção, antes que uma possível ruptura possa vir a ocorrer. As vigas imensionaas no omínio são, por vezes, chamaas subarmaas. Embora esse termo conste na NBR 6118/03 ele não será utilizao neste texto, pois é inaequao, ano a falsa iéia e que a seção tem armaura insuficiente. Na verae, a seção no omínio tem a área e armaura necessária, nem mais nem menos. Conforme efinio na Eq. 31 o item 9.9 a apostila e Funamentos o Concreto Armao (BASTOS, 006), o valor e x lim é fixo e igual a 0,6. 0 3,5 B x lim 3 x 3lim A 10 A s Zona Útil ε y 4 Seção Superarmaa 0 Figura 5 Diagrama e eformações os omínios, 3 e 4.

6 σ s f y ε y Seções Superarmaas Zona Útil 10 ε s Figura 6 - Zonas e imensionamento em função a eformação no aço. b) Domínio 3 No omínio 3 a eformação e encurtamento na fibra mais comprimia correspone ao valor último ou máximo, e 3,5. A eformação e alongamento na armaura tracionaa varia entre ε y (eformação e início e escoamento o aço) e 10, o que significa que a armaura escoa e um certo valor. Verifica-se na Figura 6 que a tensão na armaura é a máxima permitia, igual a f y, pois qualquer que seja a eformação entre ε y e 10 (zona útil), a tensão será f y. Isso implica que, assim como no omínio, a armaura também é econômica no omínio 3. Neste omínio, portanto, tanto o concreto como o aço são aproveitaos ao máximo, ao contrário o omínio, one o concreto tem eformações menores que a máxima e 3,5. A ruptura no omínio 3 é também chamaa com aviso prévio, pois a armaura, ao escoar, acarretará fissuras visíveis na viga, antes que o concreto possa romper-se por esmagamento Quano a viga tem as eformações últimas e 3,5 no concreto e 10 na armaura alcançaas simultaneamente, costuma-se izer que a seção é normalmente armaa. A linha neutra coincie com o x lim, e a seção está no limite entre os omínios e 3. Na Tabela 1 constam os valores a eformação e início e escoamento o aço (ε y ), o limite a posição a linha neutra entre os omínios 3 e 4 (x 3lim ) e β x3lim, para os iferentes tipos e aço existentes para concreto armao. Tabela 1 - Valores e ε y, x 3lim e β x3lim em função a categoria o aço. AÇO ε y ( ) x 3lim β x3lim CA-5 laminao a quente 1,04 0,77 0,77 CA-50 laminao a quente,07 0,63 0,63 CA-60 trefilao a frio,48 0,59 0,59 c) Domínio 4 No omínio 4 a eformação e encurtamento na fibra mais comprimia está com o valor máximo e 3,5, e a armaura tracionaa não está escoano, pois a sua eformação é menor que ε y. Neste caso, conforme se poe notar no iagrama σ x ε o aço mostrao na Figura 6, a tensão

7 na armaura é menor que a máxima permitia. A armaura resulta, portanto, anti-econômica, pois não aproveita a máxima capaciae o aço. Diz-se então que a armaura está folgaa e a seção é chamaa superarmaa, como mostrao nas Figura 5 e Figura 6. O projeto as vigas no omínio 4 eve ser evitao, pois além a questão a economia a ruptura será o tipo frágil, ou sem aviso prévio, one o concreto rompe por compressão (ε c > 3,5 ), causano o colapso a estrutura antes a intensa fissuração provocaa pelo aumento o alongamento na armaura tracionaa. Como conclusão poe-se afirmar: Não se eve projetar as vigas à flexão simples no omínio 4, e sim nos omínios e 3, com preferência ao omínio 3 por ser mais econômico. 5. HIPÓTESES DE CÁLCULO Na eterminação os esforços resistentes e elementos fletios, como vigas, lajes e pilares, são amitias as seguintes hipóteses básicas (NBR 6118/03 item 17..): a) As seções transversais permanecem planas até a ruptura, com istribuição linear as eformações na seção; b) A eformação em caa barra e aço é a mesma o concreto no seu entorno. Essa proprieae ocorre ese que haja aerência entre o concreto e a barra e aço; c) No estao limite último (ELU) espreza-se obrigatoriamente a resistência o concreto à tração; ) O encurtamento e ruptura convencional o concreto nas seções não inteiramente comprimias é e 3,5 (omínios 3, 4 e 4a); e) O alongamento máximo permitio ao longo a armaura e tração é e 10, a fim e prevenir eformações plásticas excessivas; f) A istribuição as tensões e compressão no concreto ocorre seguno o iagrama tensãoeformação parábola-retângulo. Porém, é permitia a substituição esse iagrama pelo retangular simplificao, com altura y = 0,8x, e a mesma tensão e compressão σ c, como mostrao na Figura 7. 3,5 σc σ c h LN x y = 0,8 x Figura 7 Diagramas σ x ε parábola-retângulo e retangular simplificao para istribuição e tensões e compressão no concreto. A tensão e compressão no concreto (σ c ) é efinia como: f1) no caso a largura a seção, meia paralelamente à linha neutra, não iminuir a linha neutra em ireção à bora comprimia (Figura 8), a tensão é: 0,85f ck σ c = 0,85fc = (Eq. 1) γc

8 LN Figura 8 - Seções com tensão e compressão igual a 0,85 f c. f) em caso contrário, isto é, quano a seção iminui (Figura 9), a tensão é: 0,8f ck σ c = 0,8f c = (Eq. ) γ c LN Figura 9 - Seções com tensão e compressão igual a 0,8 f c. g) A tensão nas armauras é a corresponente à eformação eterminaa e acoro com as hipóteses anteriores e obtia nos iagramas tensão-eformação o aço (ver Figura 6). 6. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES Embora as vigas possam ter a seção transversal com qualquer forma geométrica, na maioria os casos a prática a seção é a retangular. Define-se viga com armaura simples a seção que necessita apenas e uma armaura longituinal resistente tracionaa. No entanto, por questões construtivas são colocaas barras longituinais também na região comprimia, para a amarração os estribos, não seno esta armaura consieraa no cálculo e flexão como armaura resistente, ou seja, na seção com armaura simples as tensões e compressão são resistias unicamente pelo concreto. No item 7 será estuaa a seção com armaura upla, que é aquela que necessita também e uma armaura resistente comprimia, além a armaura tracionaa. Na seqüência serão euzias as equações válias apenas para a seção retangular. As equações para outras formas geométricas a seção transversal poem ser euzias e moo semelhante à eução seguinte. 6.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO A formulação os esforços internos resistentes a seção é feita com base nas equações e equilíbrio as forças normais e os momentos fletores: - N = 0 - M = 0 (Eq. 9) A Figura 10 mostra a seção transversal e uma viga sob flexão simples, e forma retangular e solicitaa por momento fletor positivo, com largura b w e altura h, armaura A s e área

9 A c e concreto comprimio, elimitaa pela linha neutra (LN). A linha neutra é emarcaa pela istância x, contaa a partir a fibra mais comprimia a seção transversal. A altura útil é, consieraa a fibra mais comprimia até o centro e graviae a armaura longituinal tracionaa. O iagrama e eformações ao longo a altura a seção, com as eformações notáveis ε c (máxima eformação e encurtamento o concreto comprimio) e ε s (eformação e alongamento na armaura tracionaa) e o iagrama retangular simplificao e istribuição e tensões e compressão, com altura y = 0,8x, e as respectivas resultantes e tensão (R cc e R st ) estão também mostraos na Figura 10. ε c 0,85 f c σ c A' c R cc x y = 0,8x R cc h A s M LN - x z cc A s R st ε s R st b w Figura 10 Distribuição e tensões e eformações em viga e seção retangular com armaura simples. Para ilustrar melhor a forma e istribuição as tensões e compressão na seção, a Figura 11 mostra a seção transversal em perspectiva, com os iagramas parábola-retângulo e retangular simplificao, como apresentaos no item 5. O equacionamento apresentao a seguir será feito seguno o iagrama retangular simplificao, que conuz a equações mais simples e com resultaos muito próximos àqueles obtios com o iagrama parábola-retângulo. 0,85 f c 0,85 f c b w b w x x R LN LN A s cc 0,8x A s z R cc 0,4x R st Figura 11 Distribuição e tensões e compressão seguno os iagramas parábola-retângulo e retangular simplificao. a) Equilíbrio e Forças Normais Consierano que na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes, e que a força resultante as tensões e compressão no concreto eve estar em equilíbrio com a força resultante as tensões e tração na armaura A s, como inicaas na Figura 10, poe-se escrever: R st

10 R cc = R st (Eq. 10) R Tomano a Resistência os Materiais que σ =, a força resultante as tensões e A compressão no concreto, consierano o iagrama retangular simplificao, poe ser escrita como: R cc = σ c A' c Consierano a área e concreto comprimio (A c ) corresponente ao iagrama retangular simplificao com altura 0,8 x fica: R = 0,85 f cc cc c w 0,8 x b c w R = 0,68b x f (Eq. 11) e a força resultante as tensões e tração na armaura tracionaa: R st = σ A (Eq. 1) s s com σ s = tensão e cálculo na armaura tracionaa; A s = área e aço a armaura tracionaa. b) Equilíbrio e Momentos Fletores Consierano o equilíbrio e momentos fletores na seção, o momento fletor solicitante eve ser equilibrao por um momento fletor resistente, proporcionao pelo concreto comprimio e pela armaura tracionaa. Assumino valores e cálculo, por simpliciae e notação ambos os momentos fletores evem ser iguais ao momento fletor e cálculo M, tal que: M solic = M resist = M As forças resistentes internas, proporcionaas pelo concreto comprimio e pela armaura tracionaa, formam um binário oposto ao momento fletor solicitante, poeno ser escrito: M = R cc. z cc (Eq. 13) M = R st. z cc (Eq. 14) one: R cc. z cc = momento interno resistente, proporcionao pelo concreto comprimio; R st. z cc = o momento interno resistente, proporcionao pela armaura tracionaa. Com z cc = 0,4x e aplicano a Eq. 11 na Eq. 13 fica: M ( 0,4x) = 0,68b x f (Eq. 15) w c one: b w = largura a seção; x = posição a linha neutra; f c = resistência e cálculo o concreto à compressão; = altura útil.

11 M é efinio como o momento interno resistente proporcionao pelo concreto comprimio. O valor e M eve ser consierao em valor absoluto na Eq. 15. Substituino a Eq. 1 na Eq. 14 efine-se o momento interno resistente proporcionao pela armaura tracionaa: M ( 0,4x) = σ A (Eq. 16) s s Isolano a área e armaura tracionaa: A s = M σ (Eq. 17) s ( 0,4x) As Eq. 15 e 17 proporcionam o imensionamento as seções retangulares com armaura simples. Nota-se que são sete as variáveis contias nas uas equações, o que leva, portanto, na necessiae e se aotarem valores para cinco as sete variáveis. De moo geral, na prática fixam-se os materiais (concreto e aço) e a seção transversal, e o momento fletor solicitante geralmente é conhecio, ficano como incógnitas apenas a posição a linha neutra (x) e a área e armaura (A s ). Com a Eq. 15 etermina-se a posição x para a linha neutra, e comparano x com os valores x lim e x 3lim efini-se qual o omínio em que a viga se encontra (, 3 ou 4). Nos omínios ou 3 a tensão na armaura tracionaa (σ s ) é igual à máxima tensão possível, isto é, f y (ver iagramas nas Figura 5 e Figura 6). Definios x e σ s calcula-se a área e armaura tracionaa (A s ) com a Eq. 17. Se resultar o omínio 4, a seção everá ser imensionaa com armaura upla, como se verá no item 8. Caso não se queira imensionar a viga com armaura upla, alguma alteração eve ser feita e moo a tornar x x 3lim, e resultar, como conseqüência, os omínios ou 3. Portanto, algum parâmetro eve ser alterao para iminuir o valor e x. Conforme a Eq. 15 verifica-se que para iminuir x poe-se: - iminuir o valor o momento fletor solicitante (M ); - aumentar a largura ou a altura a viga (> ); - aumentar a resistência o concreto. Dessas possibiliaes, geralmente a mais viável e ser implementaa na prática é o aumento a altura a viga (h). Senão, resta aina estuar a possibiliae e fazer a armaura upla. No caso a seção transversal a viga for e apoio ou e ligação com outros elementos estruturais, há aina outras consierações a serem feitas. Seguno a NBR 6118/03 (item 14.6.4.3), a capaciae e rotação os elementos estruturais é função a posição a linha neutra no ELU. Quanto menor for x/, tanto maior será essa capaciae. Com o intuito e melhorar a uctiliae as vigas nessas situações, a norma impõe que a posição a linha neutra eve obeecer aos seguintes limites: a) β x = x/ 0,50 para concretos C35 ou e menor resistência (f ck 35 MPa); ou b) β x = x/ 0,40 para concretos superiores ao C35 (f ck > 35 MPa). (Eq. 18) Com esses limites eseja-se aumentar a uctiliae as vigas, que é a sua capaciae e alcançar maior eformação até a ruptura.

1 c) Permanência a Seção Plana Do iagrama e eformações mostrao na Figura 10 efine-se a relação entre as eformações e cálculo na armaura (ε s ) e no concreto corresponente à fibra mais comprimia: ε ε c s x = x (Eq. 19) Consierano-se a variável β x, que relaciona a posição a linha neutra com a altura útil, tem-se: x β x = (Eq. 0) Substituino x por β x. na Eq. 19 fica: ε c β x = (Eq. 1) εc + εs 6. CÁLCULO COM COEFICIENTES K Com o intuito e facilitar o cálculo manual, há muitos anos vem se ensinano no Brasil a utilização e tabelas com coeficientes K. Para iferentes posições a linha neutra, expressa pela relação β x = x/, são tabelaos coeficientes K c e K s, relativos à resistência o concreto e à tensão na armaura tracionaa. Os coeficientes K c e K s encontram-se apresentaos nas Tabela A-1 e Tabela A-, constantes o Anexo no final esta apostila. A Tabela A-1 é para apenas o aço CA-50 e a Tabela A- é para toos os tipos e aço para Concreto Armao. Consierano a Eq. 15, M = 0,68b w x fc ( 0,4x), substituino x por β x. encontramse: M = 0,68b β f 0,4β M w x c ( ) x ( 1 0, β ) = 0,68 bwβx fc 4 Introuzino o coeficiente K c : x bw M = K c 1 = 0,68β x fc 1 0,4β x (Eq. ) K com ( ) c Isolano o coeficiente K c tem-se: b w K c = (Eq. 3) M O coeficiente K c está apresentao na Tabela A-1. Observe na Eq. que K c epene a resistência o concreto à compressão (f c ) e a posição a linha neutra, expressa pela variável β x.

13 O coeficiente tabelao K s é efinio substituino-se x por β x. na Eq. 17: A s = M σ s ( 0,4x) A s = σ s M ( 1 0,4β ) x com K s = 1 σ (Eq. 4) s ( 1 0,4β ) x a área e armaura tracionaa A s, em função o coeficiente K s é: A s M = K s (Eq. 5) O coeficiente K s está apresentao na Tabela A-1. Observe que K s epene a tensão na armaura tracionaa (σ s ) e a posição a linha neutra, expressa por β x. 6.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS As vigas têm basicamente ois tipos e problemas para serem resolvios: e imensionamento e e verificação. Os três primeiros exemplos apresentaos são e imensionamento e os ois últimos são e verificação. O imensionamento consiste em se eterminar qual a armaura necessária para uma viga, seno previamente conhecios: os materiais, a seção transversal e o momento fletor solicitante. Esse tipo e cálculo normalmente é feito urante a fase e projeto as estruturas, para a sua futura construção. Nos problemas e verificação a incógnita principal é o máximo momento fletor que a seção poe resistir. Problemas e verificação normalmente ocorrem quano a viga pertence a uma construção já executaa e em utilização, e se eseja conhecer a capaciae e carga e uma viga. Para isso é necessário conhecer os materiais que compõem a viga, como a classe o concreto (f ck ), o tipo e aço, a quantiae e armaura e o seu posicionamento na seção transversal, as imensões a seção transversal, etc. Na grane maioria os casos a prática os problemas são e imensionamento, e esporaicamente ocorrem os problemas e verificação e, por este motivo, será aa maior ênfase aos problemas e imensionamento. Após o estuo os exemplos seguintes o aluno eve fazer os exercícios propostos no item 10. 1º) Para uma viga que tem ligação com outros elementos estruturais (Figura 1), calcular para o momento fletor máximo: a área e armaura longituinal e flexão e as eformações na fibra e concreto mais comprimia e na armaura e flexão tracionaa. São conhecios: M k,máx = 10.000 kn.cm h = 50 cm γ c = γ f = 1,4 ; γ s = 1,15 b w = 0 cm concreto C0 (f ck = 0 MPa) = 47 cm (altura útil) aço CA-50 c =,0 cm (cobrimento nominal) φ t = 5 mm (iâmetro o estribo) concreto com brita 1 ( máx = 19 mm)

14 A A h = 50 cm l ef M k,máx b w 0 cm Figura 1 - Viga bi-apoiaa. RESOLUÇÃO O problema é e imensionamento, aquele que mais ocorre no ia a ia o engenheiro estrutural. A incógnita principal é a área e armaura tracionaa (A s ), além a posição a linha neutra, aa pela variável x, que eve ser eterminaa primeiramente. A resolução será feita seguno as equações teóricas euzias o equilíbrio a seção (Eq. 15 e 17), e também com aplicação as equações com coeficientes tabelaos K. O momento fletor e cálculo é: M = γ f. Mk = 1,4.10000 = 14.000 kn.cm com γ f o coeficiente e segurança que majora os esforços solicitantes. O valor que elimita os omínios e 3 é ao por x lim, efinio na Eq. 30 a apostila e Funamentos o Concreto Armao (BASTOS, 006), seno x lim fixo e igual a 0,6: = 0,6 = 0,6. 47 1, cm x lim = A elimitação entre os omínios 3 e 4 é aa por x 3lim. Para o aço CA-50, conforme a Tabela A-1, x 3lim é: x 3lim = 0,63 = 0,63. 47 = 9,6 cm a) Resolução com as Equações Teóricas Com a Eq. 15 etermina-se a posição (x) a linha neutra para a seção: M = 0,68b x f ( 0,4x) 14000 = 0,68. 0 x ( 47 0,4x) w c x 117,5 x + 1801,8 = 0 x x 1 = 99,4 cm = 18,1 cm A primeira raiz não interessa, pois 99,4 cm > h = 50 cm. Portanto, x = 18,1 cm, como mostrao na Figura 13. Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, a posição a linha neutra eve ser meia a partir a bora superior comprimia. Observe que as uniaes aotaas para as variáveis a Eq. 15 foram o kn e o cm. Se outras uniaes iferentes forem aotaas eve-se tomar o cuiao e mantê-las em toas as variáveis. É importante observar que o momento fletor eve ser colocao na equação com o seu valor absoluto. O momento fletor positivo traciona a parte inferior a viga, e para resistir a ele é,0 1,4

15 colocaa uma armaura longituinal chamaa armaura positiva. No caso e momento fletor negativo é colocaa a armaura negativa, próxima à bora superior a viga. Comparano a posição a linha neutra (x) com os limites x lim e x 3lim etermina-se o omínio em que a viga se encontra: x = 1, cm < x = 18,1 cm < x 9,6 cm lim 3lim = Como a seção não é e apoio ou e ligação com outro elemento estrutural, o limite x/ 0,5 (para concretos até o C35 como neste exemplo) não necessita ser atenio. Como a linha neutra está no intervalo entre x lim e x 3lim, conforme a Figura 13, verifica-se que a viga está no omínio 3. Neste omínio a eformação na armaura varia e ε y (início e escoamento o aço) a 10 (ver Figura 5). Conforme o iagrama σ x ε o aço (Figura 6), a tensão nesta faixa e eformação é σ s = f y = f yk /γ s (para o aço CA-50, f yk = 50 kn/cm = 500 MPa). A área e armaura é calculaa pela Eq. 17: A s = M σ s ( 0,4x) 14000 A s = = 8,10 cm 50 ( 47 0,4.18,1 ) 1,15 x = 1, lim 50 47 LN A s x = 18,1 x = 9,6 3lim 0 Figura 13 - Posição a linha neutra na seção transversal e limites entre os omínios, 3 e 4. b) Resolução com Equações com Coeficientes K Nas equações o tipo K evem ser obrigatoriamente consieraas as uniaes e kn e cm para as variáveis. Primeiramente eve-se eterminar o coeficiente K c (Eq. 3): bw 0 47 K c = = = 3, M 14000 com K c = 3,, concreto C0 e aço CA-50, na Tabela A-1 eterminam-se os coeficientes β x = 0,38, K s = 0,07 e omínio 3. A posição a linha neutra fica eterminaa pela Eq. 0: x βx = x = β x. = 0,38. 47 = 17,9 cm A área e armaura (Eq. 5) resulta:

16 M 14000 As = Ks = 0,07 = 8, 04 cm 47 Comparano os resultaos obtios seguno as uas formulações verifica-se que os valores são muito próximos. c) Detalhamento a armaura na seção transversal Inicialmente eve-se comparar a armaura calculaa (A s = 8,10 cm ) com a armaura mínima longituinal prescrita pela NBR 6118/03. Conforme a Tabela, para concreto C0 e seção retangular, poe-se consierar a armaura mínima e flexão como: A s,mín = 0,15 % b w h = 0,0015. 0. 50 = 1,50 cm Verifica-se que a armaura calculaa e 8,10 cm é maior que a armaura mínima. Quano a armaura calculaa for menor que a armaura mínima, eve ser isposta a área a armaura mínima na seção transversal a viga. A escolha o iâmetro ou os iâmetros e o número e barras para atener à área e armaura calculaa amite iversas possibiliaes. Um ou mais iâmetros poem ser escolhios, preferencialmente iâmetros próximos entre si. A área e aço escolhia eve atener à área e armaura calculaa, preferencialmente com uma pequena folga, mas seguno sugestão o autor amite-se uma área até 5 % inferior à calculaa. O número e barras eve ser aquele que não resulte numa fissuração significativa na viga e nem ificulaes aicionais urante a confecção a armaura. A fissuração é iminuía quanto mais barras finas são utilizaas. Porém, eve-se cuiar para não ocorrer exageros. Para a área e armaura calculaa neste exemplo, e 8,10 cm, com auxílio as Tabela A- 3 e Tabela A-4, poem ser enumeraas as seguintes combinações: - 16 φ 8 mm = 8,00 cm ; - 10 φ 10 mm = 8,00 cm ; - 7 φ 1,5 mm = 8,75 cm ; - 4 φ 16 mm = 8,00 cm ; - 3 φ 16 mm + φ 1,5 mm = 8,50 cm ; - 3 φ 0 mm = 9,45 cm ; - φ 0 mm + 1 φ 16 mm = 8,30 cm ; - φ 0 mm + φ 1,5 mm = 8,80 cm. Outras combinações e número e barras e e iâmetros poem ser enumeraas. A escolha e uma as combinações listaas eve levar em conta os fatores: fissuração, faciliae e execução, porte a obra, número e camaas e barras, exeqüibiliae (largura a viga principalmente), entre outros. Detalhamentos com uma única camaa resultam seções mais resistentes que seções com uas ou mais camaas e barras, pois quanto mais próximo estiver o centro e graviae a armaura à bora tracionaa, maior será a resistência a seção. Define-se como camaa as barras que estão numa mesma linha paralela à linha e bora a seção. O menor número possível e camaas eve ser um os objetivos o etalhamento. Das combinações listaas, 16 φ 8 e 10 φ 10 evem ser escartaas porque o número e barras é excessivo, o que aumentaria o trabalho o armaor (operário responsável pela confecção as armauras nas construções). Por outro lao, as três últimas combinações, com o iâmetro e 0 mm, têm um número pequeno e barras, não seno o ieal para a fissuração, além o fato a barra e 0 mm representar maiores ificulaes no seu manuseio, confecção e ganchos, etc. Entre toas as combinações, as melhores alternativas são 7 φ 1,5 e 4 φ 16 mm, seno esta última

17 pior para a fissuração, mas que certamente ficará entro e valores máximos recomenaos pela NBR 6118/03. O estuo a fissuração nas vigas será apresentao na isciplina 1365 Estruturas e Concreto IV. Na escolha entre 7 φ 1,5 e 4 φ 16 mm eve-se também atentar para o porte a obra. Construções e pequeno porte evem ter especificaos iâmetros preferencialmente até 1,5 mm, pois a maioria elas não têm máquinas elétricas e corte e barras, one são cortaas com serras ou guilhotinas manuais, com capaciae e corte e barras até 1,5 mm. Guilhotinas maiores são praticamente inexistentes nas obras e pequeno porte. Além isso, as armauras são feitas por pereiros e ajuantes e não armaores profissionais. Não há também bancaas e trabalho aequaas para o obramento as barras. De moo que recomenamos iâmetros e até 1,5 mm para as obras e pequeno porte, e acima e 1,5 mm apenas para as obras e maior porte, com trabalho e armaores profissionais. Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, é extremamente importante que a armaura A s calculaa seja isposta na posição correta a viga, isto é, nas proximiaes a bora sob tensões e tração, que no caso em questão é a bora inferior. Um erro e posicionamento a armaura, como as barras serem colocaas na bora superior, poe resultar no sério comprometimento a viga em serviço, poeno-a levar inclusive ao colapso imeiatamente à retiraa os escoramentos. A isposição as barras entre os ramos verticais o estribo eve proporcionar uma istância livre entre as barras suficiente para a passagem o concreto, a fim e evitar o surgimento e nichos e concretagem, chamaos na prática e bicheira. Para isso, conforme apresentao no item 6.3 (Eq. 7), o espaçamento livre horizontal mínimo entre as barras é ao por: cm φ 1, eh,mín l máx,agr Quano as barras e uma mesma camaa têm iâmetros iferentes, a verificação o espaçamento livre mínimo (e h,mín ) entre as barras eve ser feita aplicano-se a Eq. 7 acima. Por outro lao, quano as barras a camaa têm o mesmo iâmetro, a verificação poe ser feita com auxílio a Tabela A-4, que mostra a Largura b w mínima para um ao cobrimento nominal (c). Determina-se a largura mínima na intersecção entre a coluna e a linha a tabela, corresponente ao número e barras a camaa e o iâmetro as barras, respectivamente. O valor para a largura e b w mínimo epene o iâmetro máximo a brita e maior imensão utilizaa no concreto. A Figura 14 mostra o etalhamento a armaura na seção transversal a viga, one foi aotaa a combinação 4 φ 16 mm (a combinação 7 φ 1,5 mm eve ser feita como ativiae o aluno). Para 4 φ 16 mm, na Tabela A-4 encontra-se a largura mínima e 19 cm para concreto com brita 1 e cobrimento e,0 cm. Como a largura a viga é 0 cm, maior que a largura mínima, é possível alojar as quatro barras numa única camaa, ateneno ao espaçamento livre mínimo. Além a armaura tracionaa A s evem ser ispostas também no mínimo uas barras na bora superior a seção, barras construtivas chamaas porta-estribos, que servem para a amarração os estribos a viga. Armauras construtivas são muito comuns nos elementos estruturais e concreto armao, auxiliam na confecção e montagem as armauras e colaboram com a resistência a peça, embora não sejam levaas em conta nos cálculos. A istância a, meia entre o centro e graviae a armaura tracionaa e a fibra mais tracionaa a seção transversal, neste caso é aa pela soma o cobrimento, o iâmetro o estribo e metae o iâmetro a armaura: a =,0 + 0,5 + 1,6/ = 3,3 cm

18 A altura útil, efinia como a istância entre o centro e graviae a armaura tracionaa à fibra mais comprimia a seção transversal, conforme o etalhamento a Figura 14 é: = h a = 50 3,3 = 46,7 cm O valor inicialmente aotao para a altura útil foi 47 cm. Existe, portanto, uma pequena iferença e 0,3 cm entre o valor inicialmente aotao e o valor real calculao em função o etalhamento escolhio. Pequenas iferenças, e até 1cm ou cm poem, e moo geral, serem esconsieraas em vigas e imensões correntes, não haveno a necessiae e se recalcular a armaura, pois a iferença e armaura geralmente é pequena. 50 4Ø16 (8,00 cm²) a 0 Figura 14 Detalhamento a armaura longituinal A s na seção transversal. ) Deformações na fibra mais comprimia (concreto) e na armaura tracionaa No omínio 3 a eformação e encurtamento na fibra e concreto mais comprimia é fixa e igual a 3,5. A eformação na armaura A s varia e ε y (,07 para o aço CA-50) a 10, poeno ser calculaa pela Eq. 19. Consierano = h a = 50 3,3 = 46,7 cm: ε ε c s x = x 3,5 18,1 = ε 46,7 18,1 s ε s = 5,5 A Figura 15 ilustra as eformações nos materiais e os omínios e 3 e eformação.

19 0 ε c 3,5 x lim x = 18,1 cm LN 3 x 3lim 4 10 5,5 ε ε =,07 y 0 Figura 15 Diagrama e omínios e eformações no concreto comprimio e na armaura tracionaa. º) Calcular a altura útil () e a armaura longituinal e flexão (A s ), para o máximo momento fletor positivo a viga e seção retangular, mostraa na Figura 16. Daos: concreto C5 φ t = 5 mm (iâmetro o estribo) aço CA-50 c =,5 cm b w = 0 cm concreto com brita 1 M k,máx = 1.570 kn.cm γ c = γ f = 1,4 ; γ s = 1,15 M k,máx = 1.570 kn.cm Figura 16 Esquema estático e iagrama e momentos fletores. RESOLUÇÃO Como a altura a viga não está fixaa, ao que a altura útil é uma incógnita, o problema amite infinitas soluções, tanto no omínio como no omínio 3. No omínio 4 não se amite o imensionamento, como já explicao. O problema é resolvio fixano-se a posição a linha neutra, isto é, aotano-se um valor para x, e para caa x aotao resulta um par / A s. A posição a linha neutra poe se estener até o limite entre os omínios 3 e 4, isto é, a posição a linha neutra (x) poe variar e zero a x 3lim. Com o objetivo e mostrar uas soluções entre as infinitas existentes, o exemplo será resolvio com a posição a linha neutra fixaa em

0 uas iferentes posições: no limite entre os omínios e 3 (x = x lim ) e 3 e 4 (x = x 3lim ) ver Figura 5. Ambas as soluções visam imensionar a viga com armaura simples, pois outras soluções possíveis com armaura upla não serão apresentaas neste exemplo. A resolução o exercício será feita seguno as equações o tipo K, ficano a resolução pelas equações teóricas como tarefa para o aluno. O cálculo pelas equações teóricas (Eq. 15 e 17) faz-se arbitrano valores para x (x lim e x 3lim por exemplo) na Eq. 15, one obtém-se um valor corresponente para. A área e armaura é calculaa então com a Eq. 17, teno toas as suas variáveis conhecias. O momento fletor e cálculo é: M = γ M = 1,4.1570 17.598 kn.cm f k = a) Linha neutra passano por x lim Com a linha neutra em x lim implica que β x = β xlim = 0,6 (ver Eq. 31 no item 10.9 a apostila Funamentos o Concreto Armao, e BASTOS, 006). Com β x = 0,6, na Tabela A-1 K c = 3,5 para concreto C5 e aço CA-50 encontram-se: Ks = 0,06 Com a Eq. 3 calcula-se a altura útil : bw Kc M 3,5.17598 K c = = = = 55,5 cm M bw 0 A área e armaura A s (Eq. 5) resulta: M 17598 55,5 A s = Ks = 0,06 = 8,4 cm Um arranjo possível e barras para a área calculaa é 3 φ 16 mm + φ 1,5 mm = 8,50 cm. Há várias outras combinações ou arranjos possíveis. A posição a linha neutra (x) poe ser obtia com a Eq. 0: x β x = x = x lim = βxlim = 0,6. 55,5 = 14,4 cm A Figura 17 mostra a posição a linha neutra, os omínios e o iagrama e eformações para a seção em análise. Observe que, com a linha neutra passano por x lim, a eformação e encurtamento no concreto comprimio (ε c ) é igual a 3,5, e a eformação e alongamento na armaura (ε s ) é igual a 10,0, ambas iguais aos máximos valores permitios pela NBR 6118/03.

1 0 3,5 ε = 3,5 c x lim x = 14,4 lim LN A' c 3 55,5 h A s ε s A s 10 ε y 0 Figura 17 Diagrama e omínios e eformações nos materiais com a linha neutra passano em x lim. A Figura 18 mostra o etalhamento a armaura na seção transversal. Como já observao no exercício anterior, é extremamente importante posicionar corretamente a armaura A s, ispono-a próxima à face tracionaa a seção, que neste caso é a face inferior, pois a viga está solicitaa por momento fletor positivo. Inicialmente, eve-se tentar colocar as cinco barras na primeira camaa, próxima à bora tracionaa. Como foram escolhios ois iâmetros iferentes para a armaura não é possível utilizar a Tabela A-4 para verificar a possibiliae e alojar as cinco barras numa única camaa. Neste caso, a verificação eve ser feita comparano o espaçamento livre existente entre as barras com o espaçamento mínimo preconizao pela NBR 6118/03. Consierano a barra e maior iâmetro e concreto com brita 1 ( máx,agr = 19 mm), o espaçamento mínimo entre as barras, conforme a Eq. 7 é: cm eh,mín φl = 1,6 cm e h,mín =,3 cm 1, máx,agr = 1, 1,9 =,3 cm O espaçamento livre existente entre as barras, consierano as cinco barras numa única camaa é: 0 [ (,5 + 0,5 + 1,5) + 3.1,6] e h = = 1,7 cm 4 Como e h = 1,7 < e h,mín =,3 cm, as cinco barras não poem ser alojaas numa única camaa. Como uma seguna tentativa uma barra φ 1,5 eve ser eslocaa para a seguna camaa (acima a primeira), o que resulta para e h : [ (,5 + 0,5) + 3.1,6 + 1,5] 0 e h = =,7 cm 3 Como e h =,7 > e h,mín =,3 cm, as quatro barras poem ser alojaas na primeira camaa. A barra φ 1,5 a seguna camaa fica amarraa num os ramos verticais os estribos.

c LN x = x = 14,4 lim 55,5 60 e =,7 h 3 Ø 16 a Ø 1,5 0 1ª cam. Figura 18 Detalhamento a armaura na seção transversal e posição a linha neutra em x = x lim. Não há a necessiae e eterminar a posição exata o centro e graviae a armaura A s, a posição aproximaa é suficiente, não conuzino a erro significativo. No exemplo, o centro e graviae poe ser tomao na linha que passa pela face superior as barras φ 16 mm. A istância (a) entre o centro e graviae (CG) a armaura longituinal tracionaa (A s ) à fibra mais tracionaa a seção neste caso é: a = c + φ t + φ l / =,5 + 0,5 + 1,6 = 4,6 cm A altura a viga é a soma a altura útil com a istância a: h = + a = 55,5 + 4,6 = 60,1 cm 60 cm Para as vigas recomena-se aotar alturas com valores múltiplos e 5 cm ou 10 cm. A armaura mínima e flexão, conforme a Tabela, é: A s,mín = s,mín 0,15% b A = 0,0015 0 60 = 1,80 cm A s = 8,4 cm > A s,mín = 1,80 cm w h ispor a armaura calculaa. b) Linha neutra passano por x 3lim Com a linha neutra em x 3lim implica que β x = β x3lim = 0,63 (ver Tabela 13 na apostila Funamentos o Concreto Armao, e BASTOS, 006). Com β x = 0,63, na Tabela A-1 para K c = 1,7 concreto C5 e aço CA-50, encontram-se: Ks = 0,031

3 Com a Eq. 3 calcula-se a altura útil : bw Kc M 1,7.17598 K c = = = = 38,7 cm M bw 0 A área e armaura A s (Eq. 5) resulta: M 17598 0,031 38,7 A s = Ks = = 14,10 cm Um arranjo e barras é composto por 7 φ 16 mm = 14,00 cm. Outros arranjos poem ser utilizaos. A posição a linha neutra (x) poe ser obtia com a Eq. 0: x β x = x = x3lim = βx3lim = 0,63. 38,7 = 4,4 cm A Figura 19 mostra a posição a linha neutra, os omínios e o iagrama e eformações para a seção em análise. Observe que, com a linha neutra passano por x 3lim, a eformação e encurtamento no concreto comprimio (ε c ) é igual a 3,5, e a eformação e alongamento na armaura (ε s ) é igual a ε y, igual a,07 para o aço CA-50 (ver Tabela 1). 0 3,5 ε = 3,5 c B x 3lim 4,4 A' c 3 x 3lim LN 38,7 h A s ε s A s 10 ε y 0 Figura 19 Diagrama e omínios e eformações nos materiais com a linha neutra passano em x 3lim. Na istribuição as sete barras φ 16 mm na seção transversal poe-se fazer uso Tabela A- 4, para se eterminar quantas camaas e barras são necessárias. O intuito é e alojar o maior número e barras numa primeira camaa. Na Tabela A-4 verifica-se que a largura b w mínima necessária para alojar 7 φ 16 mm é e 31 cm, maior que a largura existente, e 0 cm, não seno possível, portanto, alojar as sete barras. Cinco barras também não poem, já que b w,mín = 3 cm supera a largura existente. Mas quatro barras poem ser alojaas numa única camaa, como mostrao na Tabela A-4, a largura b w,mín e 0 cm é igual à largura a viga. As três outras barras restantes evem ser ispostas numa seguna camaa, posicionaas com o espaçamento livre mínimo (e v,mín ) relativo à face superior as barras a primeira camaa. Duas as três barras são amarraas nos ramos verticais os estribos, e a terceira barra poe ser colocaa no meio, apoiaa em pequenos segmentos e barra e aço com iâmetro iêntico ao o estribo, como mostrao na Figura 0.

4 O espaçamento livre mínimo vertical entre as barras, conforme a Eq. 8 é: cm ev,mín φl = 1,6 cm e v,mín =,0 cm 0,5 máx,agr = 0,5 1,9 = 1,0 cm De moo geral, o espaçamento livre entre camaas resulta igual a,0 cm. c A' c Ø t x = x = 4,4 3 lim 43,8 38,7 3 Ø 16 a 0,5 C.G. e v 4 Ø 16 0 Figura 0 Detalhamento a armaura na seção transversal e posição a linha neutra em x = x 3lim. Aotano-se a posição o centro e graviae a armaura e forma aproximaa, numa linha passano a 0,5 cm acima a superfície superior as barras φ 16 mm a primeira camaa, a istância a (istância o centro e graviae CG - a armaura longituinal tracionaa (A s ) à fibra mais tracionaa a seção) é: a =,5 + 0,5 + 1,6 + 0,5 = 5,1 cm Para a altura a viga resulta: h = + a = 38,7 + 5,1 = 43,8 cm A altura calculaa para a viga, e 43,8 cm não é uma meia parão e execução na prática as construções. É comum aotarem alturas múltiplas e 5 cm ou 10 cm para as vigas, o que levaria à altura e 45 cm. a3) Comparação os resultaos Os cálculos efetuaos com a linha neutra fixaa em x lim e x 3lim forneceram as soluções: a) x lim : h = 60 cm, A s = 8,4 cm ;

5 b) x 3lim : h = 45 cm, A s = 14,10 cm. Os resultaos permitem tecer as seguintes consierações: - quanto menor for o valor e x ou a profuniae a linha neutra entro a seção transversal, maior será a altura resultante para a viga e menor será a área e armaura tracionaa. Com a maior altura a seção o braço e alavanca z entre as forças resultantes internas também é maior, o que leva a menor necessiae e armaura; - as vigas imensionaas no omínio resultam vigas com maior altura e menor armaura que as vigas imensionaas no omínio 3; - a consieração anterior implica que as vigas imensionaas no omínio consomem maiores volumes e concreto e maiores quantiaes e fôrma, escoramento, mão-eobra, etc. Um estuo e custos eve constatar que o imensionamento no omínio resulta num custo maior que o imensionamento no omínio 3, apesar o menor consumo e aço proporcionao pelo omínio ; - outro aspecto importante é que o imensionamento no omínio 3, com vigas e menor altura, resultam vigas mais flexíveis, sujeitas a flechas e maior magnitue. 3º) Calcular a armaura A s e uma viga submetia à flexão simples, seno aos: concreto C5 c =,5 cm aço CA-50 φ t = 6,3 mm (iâmetro o estribo) h = 60 cm concreto com brita 1 b w = cm γ c = γ f = 1,4 ; γ s = 1,15 M k = - 15.000 kn.cm (momento fletor negativo no apoio a viga) RESOLUÇÃO Neste caso, como toas as variáveis estão fixaas, com exceção a posição a linha neutra (x) e a área e armaura A s, existe apenas uma solução, aa pelo par x - A s. A resolução é iniciaa pela eterminação e x e em seguia pelo cálculo e A s. A questão será resolvia utilizano-se as equações teóricas e também com as equações com coeficientes K. A altura útil não é conhecia porque não se conhece o arranjo a armaura na seção transversal. É necessário estimar, que é a altura a viga menos a istância entre o centro e graviae a armaura tracionaa e a fibra mais tracionaa (chamaa istância a). A istância a epene a armaura A s, a largura a viga, o iâmetro o estribo e principalmente a espessura o cobrimento e concreto, que, quanto maior, maior será a istância a. De moo geral, para as vigas correntes, o valor e a varia e 3 cm a 6 cm. A solução é aotar um valor para a e epois verificar o valor exato no etalhamento a armaura na seção transversal. Normalmente não é necessário recalcular a armaura para o valor e a eterminao no etalhamento, ao que a variação e armaura geralmente é pequena. Para a istância a esta questão será aotao o valor e 5 cm, e conseqüentemente é: = h 5 cm = 60 5 = 55 cm O cálculo será feito seguno as equações teóricas e o tipo K. O momento fletor e cálculo é: M = γ f Mk = 1,4.15000 = 1.000 kn.cm (o sinal o momento fletor negativo não eve ser consierao nos cálculos). a) Resolução com Equações Teóricas Os limites entre os omínios,3 e 4 são:

6 x lim = 0,6 = 0,6. 55 = 14,3 cm x 3lim = 0,63 = 0,63. 55 = 34,7 cm (para o aço CA-50) Com a Eq. 15 etermina-se a posição a linha neutra para a seção: M = 0,68b x f ( 0,4x) 1000 = 0,68. x ( 55 0,4x) x = 16, cm w c Comparano a posição a linha neutra (x) com os limites x lim e x 3lim etermina-se qual o omínio em que a viga se encontra: x,5 1,4 = 14,3 cm x = 16, cm x 34,7 cm a seção está no omínio 3. lim 3lim = Como a seção é e apoio a viga, os limites fornecios na Eq. 18 necessitam ser obeecios. Seno concreto C5 tem-se: x/ = 16,/55 = 0,9 < 0,5 como o limite foi atenio existe solução com armaura simples. A área e armaura é calculaa pela Eq. 17: A s = M σ s ( 0,4x) 1000 A s = = 9,95 cm 50 ( 55 0,4.16,) 1,15 b) Resolução com Equações com Coeficientes K A posição a linha neutra é eterminaa com o cálculo e K c (Eq. 3): bw. 55 K c = K c = = 3, M 1000 Observe que o momento fletor e cálculo (M ) é consierao com o seu valor absoluto no cálculo e K c. Com K c = 3,, para concreto C5 e aço CA-50 na Tabela A-1 encontram-se: K s = 0,06, β x = 0,9 e omínio 3. Para momento fletor negativo no apoio a viga, a norma limita a relação β x = x/ em 0,50 para o concreto C5, conforme mostrao na Eq. 18. A viga atene, portanto, a esta limitação, pois β x = 0,9 < 0,50. Isso significa que a seção poe ser imensionaa com armaura simples, sem necessiae e se fazer qualquer alteração nos aos iniciais. A área e armaura (Eq. 5) resulta: M 1000 A = 55 s = Ks = 0,06 9,93 cm (5 φ 16 mm = 10,00 cm ) A armaura mínima para a viga, conforme a Tabela, é: As,mín = 0,15% bw h A s,mín = 0,0015.. 60 = 1,98 cm A s > A s,mín = 1,98 cm

7 O etalhamento a armaura na seção transversal está mostrao na Figura 1. Como o momento fletor é negativo, a armaura eve obrigatoriamente ser isposta próxima à face superior tracionaa a seção. Seria um erro gravíssimo fazer o contrário, com a armaura A s no lao inferior a viga. Tanto no projeto quanto na execução as vigas, especial atenção eve ser aa a este etalhe. A posição o centro e graviae a armaura foi aotaa e forma aproximaa, a 5 mm a face inferior as barras a primeira camaa. Para vigas e pequeno porte não há a necessiae e se eterminar com rigor a posição exata o centro e graviae a armaura. Na istribuição as barras a armaura longituinal negativa nas seções transversais as vigas é importante eixar espaço suficiente entre as barras para a passagem a agulha o vibraor. Deve-se ter em mente qual o iâmetro a agulha o vibraor que será utilizao. Os iâmetros e agulha mais comuns utilizaos na prática são e 5 mm e 49 mm. De preferência o espaçamento entre as barras eve ser um pouco superior ao iâmetro a agulha, para permitir a penetração a agulha com faciliae, sem que se tenha que forçar a sua passagem. Para quatro e três barras na primeira camaa os espaçamentos livres horizontais entre as barras são: e, 4 [ (,5 + 0,63) + 4 1,6] = 3,1 cm 3 h = e, 3 [ (,5 + 0,63) + 3 1,6] = 5,5 cm h = Consierano o iâmetro a agulha o vibraor igual a 49 mm, verifica-se que evem ser ispostas apenas três barras na primeira camaa, e as uas outras na seguna camaa. O espaçamento livre mínimo horizontal entre as barras é (Eq. 7): cm eh,mín φl = 1,6 cm e h,mín =,3 cm 1, máx,agr = 1, 1,9 =,3 cm O espaçamento livre mínimo vertical entre as barras as camaas é (Eq. 8): cm ev,mín φl = 1,6 cm e v,mín =,0 cm 0,5 máx,agr = 0,5.1,9 =1,0 cm A istância entre o centro e graviae a armaura e a face tracionaa a viga, aotaa inicialmente como 5 cm, é: a =,5 + 0,63 + 1,6 + 0,5 = 5, cm

8 5 Ø 16 10,00 cm² 1ª cam. C.G. a a C.G. 0.5 e = cm v c Øt ª cam. 60 Figura 1 Detalhamento a armaura negativa na seção transversal. 4º) Daa a seção retangular e uma viga, como mostraa na Figura, calcular qual é o momento fletor amissível (e serviço). São conhecios: b w = 0 cm γ f = γ c = 1,4 h = 50 cm γ s = 1,15 = 46 cm A s = 8,00 cm concreto C0 aço CA-50 50 46 A = 8,00 cm² s 0 Figura Características a seção transversal. RESOLUÇÃO O problema agora não é e imensionamento, e sim e verificação. As variáveis a serem eterminaas são a posição a linha neutra (x) e o momento fletor e serviço ou amissível (M k ). A resolução eve ser feita por meio as equações teóricas. A primeira equação a consierar é a e equilíbrio as forças resultantes na seção transversal (Eq. 10). R cc = R st e 1): As resultantes e compressão no concreto comprimio e e tração na armaura são (Eq. 11 R = 0,85f R cc st = σ s A c s 0,8x b w

9 Inicialmente eve-se supor que a seção foi imensionaa nos omínios ou 3, one temse: σ f = γ yk s = f y = s 50 1,15 Aplicano a Eq. 10 etermina-se a posição a linha neutra (x): 0,85f 0,8 x b = σ c w s A s,0 50 0,85 0,8x. 0 = 8,00 x = 17,9 cm 1,4 1,15 É necessário verificar se a hipótese inicialmente consieraa a viga estar nos omínios ou 3 é veraeira, o que se faz comparano x com os valores limites x lim e x 3lim : x lim = 0,6 = 0,6. 46 = 1,0 cm x 3lim = 0,63 = 0,63. 46 = 9,0 cm x lim = 1,0 < x = 17,9 < x 3lim = 9,0 cm Verifica-se que a seção encontra-se no omínio 3, e realmente σ s é igual a f y. O momento fletor e serviço poe ser calculao pelas Eq. 15 ou 16: M = 0,68b x f ( 0,4x) ou M = A σ ( 0,4x) w c s s 50 1,4M k = 8,00 k 1,15 ( 46 0,4.17,9) M = 9.650 kn.cm Portanto, o momento fletor característico a que a seção poe resistir é 9.650 kn.cm (momento positivo). 5º) Determinar o máximo momento fletor que poe suportar uma viga com a seção mostraa na Figura 3. Daos: concreto C5 aço CA-50 A s = 9,45 cm 3 Ø 0 9,45 cm² γ c = γ f = 1,4 γ s = 1,15 = 36 cm 40 3 Figura 3 - Seção transversal a viga. RESOLUÇÃO 0

30 Como no exercício anterior, o problema é e verificação e a incógnita principal o problema é o momento fletor característico (M k ) a que a seção transversal poe resistir. Da equação e equilíbrio e forças normais (Eq. 10), tem-se o equilíbrio as forças resultantes: R cc = R st As resultantes e compressão no concreto comprimio e e tração na armaura são (Eq. 11 e 1): R = 0,85f 0,8x b cc c w R st = σ s A s Supono-se inicialmente que a seção foi imensionaa nos omínios ou 3, a tensão na armaura é: f yk 50 σ s = f y = = γ 1,15 s Aplicano a Eq. 10 etermina-se a posição a linha neutra (x): 0,85f 0,8 x b = σ c w s A s,5 50 0,85 0,8 x. 0 = 9,45 x = 16,9 cm 1,4 1,15 É necessário verificar se a hipótese inicialmente consieraa a viga estar nos omínios ou 3 é veraeira, o que se faz comparano x com os valores limites x lim e x 3lim. Para x lim tem-se: x lim = 0,6 = 0,6. 36 = 9,4 cm O valor e x 3lim poe variar em função a versão a norma que foi consieraa quano o cálculo e imensionamento a viga. Na NBR 6118/80 o valor para x 3lim era e 0,63 e na NBR 6118/03 o valor foi reuzio para 0,50 (para f ck 35 MPa) no caso e se tratar e seção e apoio a viga ou ocorrer ligação com outros elementos estruturais. Como a armaura é negativa é muito provável que se trate e seção e apoio. Deste moo tem-se: x 3lim = 0,63 = 0,63. 36 =,7 cm (NBR 6118/80) ou x 3lim = 0,50 = 0,50. 36 = 18,0 cm (NBR 6118/03). x lim = 9,4 < x = 16,9 < x 3lim =,7 cm ou 18,0 cm Verifica-se que, para qualquer que seja o valor e x 3lim consierao, a viga foi imensionaa no omínio 3, o que é muito comum e ocorrer na prática. Desse moo, a hipótese inicial foi confirmaa e realmente tem-se σ s = f y. O momento fletor e serviço poe ser calculao pelas Eq. 15 ou 16: M = 0,68bw x fc ( 0,4x) ou M = Asσs ( 0,4x) 50 = 9,45 ( 36 0,4.16,9) M = 8.581 kn.cm 1,4M k k 1,15 Portanto, o momento fletor característico a que a seção poe resistir é 8.581 kn.cm (momento negativo).

31 7. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA Define-se seção com armaura upla a seção que, além a armaura resistente tracionaa, contém também armaura longituinal resistente na região comprimia, ali colocaa para auxiliar o concreto na resistência às tensões e compressão. A armaura upla é um artifício que permite imensionar as seções cujas eformações encontram-se no omínio 4, sem que haja a necessiae e se alterar algum os parâmetros inicialmente aotaos. A seção com armaura upla surge como solução ao imensionamento anti-econômico e contra a segurança (ruptura frágil, sem aviso prévio) proporcionao pelo omínio 4. Este omínio é evitao alterano-se a posição a linha neutra para o limite entre os omínios 3 e 4, ou seja, com a linha neutra passano por x 3lim, no que resulta na máxima seção comprimia possível no omínio 3. Ao se fazer assim, a área e concreto comprimio não mais consieraa para a resistência a seção é compensaa pelo acréscimo e uma armaura longituinal próxima à bora comprimia, que irá auxiliar o concreto no trabalho e resistência às tensões e compressão. Por outro lao, os novos limites impostos pela NBR 6118/03 (item 14.6.4.3) para a posição a linha neutra (mostraos na Eq. 18), a fim e melhorar a uctiliae as estruturas nas regiões e apoio as vigas ou e ligação com outros elementos estruturais, são também motivos para a utilização e armaura upla. Quano a linha neutra excee os limites, ao invés e se aumentar a altura a seção, por exemplo, é geralmente possível manter toos os aos iniciais acrescentano uma armaura na região comprimia a viga, e esse moo não ultrapassar os limites impostos pela norma. Na maioria os casos a prática a necessiae e armaura upla surge nas seções sob momentos fletores negativos, nos apoios intermeiários as vigas contínuas. Como os momentos fletores negativos são significativamente maiores que os momentos fletores máximos positivos nos vãos, eles requerem seções transversais com alturas bem maiores que os momentos positivos. Mas fixar a altura as vigas em função os momentos negativos aumenta o seu custo, pois se na seção e apoio a altura fixaa é a ieal, nas seções os vãos a altura resulta exageraa. Daí que uma solução simples e econômica poe ser fixar a altura a viga e tal forma que resulte armaura upla nos apoios e armaura simples nos vãos. 7.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Do mesmo moo como feito na eução as equações para a seção com armaura simples, a formulação será esenvolvia com base nas uas equações e equilíbrio a estática (Eq. 9). A Figura 4 mostra a seção retangular e uma viga, com armaura tracionaa A s e armaura comprimia A s, submetia a momento fletor positivo. O iagrama e istribuição e tensões e compressão no concreto é aquele retangular simplificao, com altura 0,8x.

3 A' s A' c ' A' s R sc R cc ε c ε' s x y = 0,8x 0,85 f c σ c R sc R cc h A s M LN - x z sc z cc A s R st ε s R st b w Figura 4 - Seção retangular com armaura upla. a) Equilíbrio e Forças Normais Na flexão simples não ocorre a força normal, e forma que existem apenas as forças resultantes relativas aos esforços resistentes internos, que evem se equilibrar, e tal forma que: R + R = R (Eq. 6) cc sc st seno: R cc = força resultante e compressão proporcionaa pelo concreto comprimio; R sc = força resultante e compressão proporcionaa pela armaura comprimia; R st = força resultante e tração proporcionaa pela armaura tracionaa; σ s = tensão e cálculo na armaura comprimia; σ s = tensão e cálculo na armaura tracionaa. Consierano que R = σ. A, as forças resultantes, efinias com auxílio a Figura 4, são: R cc = 0,85 f c 0,8 x b w (Eq. 7) R sc = A s σ s (Eq. 8) R st = A s σ s (Eq. 9) b) Equilíbrio e Momentos Fletores O momento fletor solicitante tem que ser equilibrao pelo momento interno resistente, proporcionao pelo concreto comprimio e pelas armauras tracionaa e comprimia, que poem ser representaos pelo momento fletor e cálculo M : M solic = M resist = M Fazeno o equilíbrio e momentos fletores em torno a linha e ação a força resultante R st, o momento resistente à compressão será ao pelas forças resultantes e compressão multiplicaas pelas suas respectivas istâncias à linha e ação e R st (braços e alavanca z cc e z sc ): M = R cc. z cc + R sc. z sc Substituino R cc e R sc pelas Eq. 7 e 8 fica:

33 M = 0,85 f c 0,8 x b w (z cc ) + A' s σ' s (z sc ) Aplicano as istâncias z cc e z sc a equação torna-se: M = 0,68 b w x f c ( - 0,4x) + A' s σ' s ( - ') (Eq. 30) Com o intuito e facilitar o cálculo poe-se ecompor o momento fletor M em uas parcelas, como inicao na Figura 5, tal que: M = M 1 + M (Eq. 31) a) b) c) A' s A' s x 0,8x 0,4 x ' A s LN = + A s1 z = - 0,4x cc A s z = - ' sc A s = M = A M s1 1 + + A s M Figura 5 - Decomposição a seção com armaura upla. O momento fletor M 1 correspone ao primeiro termo a Eq. 30, cujo significao físico é o e ser o momento interno resistente proporcionao por uma parcela A s1 a armaura tracionaa e pela área e concreto comprimio com a maior altura possível, conforme esquema mostrao na Figura 5b. ( 0,4x) M1 = 0,68bw x fc (Eq. 3) O valor e x eve ser aotao conforme os critérios a NBR 6118/03 já apresentaos, haveno as seguintes possibiliaes: a) x = x 3lim (0,77 para o aço CA-5, 0,63 para CA-50 e 0,59 para CA-60) nas seções que não sejam e apoio a viga nem e ligação com outros elementos estruturais; b) x = 0,5 para concretos até C35 nas seções e apoio a viga ou e ligação com outros elementos estruturais; c) x = 0,4 para concretos e classes acima o C35 nas seções e apoio a viga ou e ligação com outros elementos estruturais.

34 Determinaa a primeira parcela M 1 o momento fletor total, poe-se calcular a seguna parcela como: M M M1 = (Eq. 33) A armaura comprimia A s equilibra a parcela A s a armaura tracionaa total (A s ), e surge o equilíbrio e momentos fletores na seção a Figura 5c, como a força resultante na armaura comprimia multiplicaa pela istância à armaura tracionaa: M = R sc. z sc Aplicano a Eq. 8 e R sc fica: ( ) M = A s σ s zsc = A s σ s Isolano a área e armaura comprimia: M A s = (Eq. 34) σ s ( ) A tensão σ s na armaura comprimia epene o tipo e aço e a posição essa armaura entro a seção transversal, expressa pela relação /, e a posição x assumia para a linha neutra, conforme um os três valores inicaos (x 3lim, 0,5 ou 0,4). Os valores para a tensão na armaura comprimia (σ s ) estão mostraos nas Tabela A-5, Tabela A-7 e Tabela A-9, em função a relação /, a posição assumia para a linha neutra e o tipo e aço. As parcelas A s1 e A s a armaura tracionaa resultam o equilíbrio e momentos fletores nas seções b e c inicaas na Figura 5. São aas pelas forças resultantes nas armauras tracionaas multiplicaas pelos respectivos braços e alavanca, isto é, a istância entre as resultantes que se equilibram na seção. Para a seção b a Figura 5: M1 = As1 σs zcc = As1 σs ( 0,4x) Isolano a parcela A s1 a armaura tracionaa: A s1 = M1 σ (Eq. 35) s ( 0,4x) Para a seção c a Figura 5: M = A σ z = A σ ( ) s s sc s s Isolano a parcela A s a armaura tracionaa: A s = M σ (Eq. 36) s ( ) A armaura total tracionaa é a soma a parcelas A s1 e A s :

35 one: A = A + A (Eq. 37) s s1 s A s1 = parcela a armaura tracionaa A s que equilibra o momento fletor resistente proporcionao pela área e concreto comprimio com altura x; A s = parcela a armaura tracionaa A s que equilibra o momento fletor resistente proporcionao pela armaura comprimia A' s. c) Permanência as Seções Planas Conforme o iagrama e eformações mostrao na Figura 4 efinem-se as relações entre as eformações e cálculo nas armauras tracionaa (ε s ) e comprimia (ε s ) e no concreto a fibra mais comprimia a seção. ε ε c s ε x c x = x ε s εs = = x x (Eq. 38) (Eq. 39) Assumino a relação entre a posição a linha neutra e a altura útil poe-se também escrever: x β x = ε c β x = (Eq. 40) εc + εs 7. CÁLCULO MEDIANTE FÓRMULAS COM COEFICIENTES K O cálculo e imensionamento as vigas à flexão simples poe ser feito com equações mais simples, fazeno-se uso os coeficientes K, como mostraos nas Tabela A-1 e Tabela A-. Inicialmente eve-se efinir qual será a posição a linha neutra na seção transversal. Se for seção e apoio ou e ligação com outro elemento estrutural, a variável β x será aotaa em função a classe o concreto: a) β x = x/ = 0,5 para concretos até C35; b) β x = x/ = 0,4 para concretos e resistência acima o C35. Se a seção não for e apoio ou e ligação, a posição a linha neutra poerá ser assumia passano por x 3lim, isto é, no limite entre os omínios 3 e 4. Para o aço CA-50 everá ser assumio, portanto, β x = 0,63. Definia a posição a linha neutra, eve-se eterminar os valores corresponentes e K clim e e K slim na Tabela A-1 ou Tabela A-, conheceno-se a classe o concreto e a categoria o aço. O momento fletor M 1 fica assim eterminao: bw 1 K c lim M = (Eq. 41)

36 A parcela M o momento total também fica eterminaa: M M M1 = (Eq. 4) A área total e armaura tracionaa fica eterminaa por: A s M1 M = Kslim + (Eq. 43) f y ( ) A área e armaura comprimia é: M A s = K s (Eq. 44) O coeficiente K s é o inverso a tensão na armaura comprimia, assumino iferentes valores em função a relação / e a posição aotaa para a linha neutra, que poe estar localizaa em x 3lim, 0,5 ou 0,4. Os valores e K s estão mostraos nas Tabela A-6, Tabela A-8 e Tabela A-10: 1 K s = (Eq. 45) σ s 7.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS 1º) Dimensionar e etalhar a armaura longituinal e flexão para o momento fletor negativo no apoio intermeiário e uma viga contínua, consierano os aos a seguir: b w = 0 cm h = 50 cm M k = - 15.700 kn.cm concreto C5 aço CA-50 c =,5 cm φ t = 6,3 mm brita 1 - M k RESOLUÇÃO O problema em questão é e imensionamento a área e armaura e as incógnitas são a posição a linha neutra (x) e a área e armaura (A s ). Inicialmente não se conhece o omínio e eformação a seção, o que significa que é uma incógnita se a seção será imensionaa com armaura simples ou upla. Para essa efinição é necessário eterminar x e o omínio em que a seção se encontra. O momento fletor e cálculo, em valor absoluto, é: M = γ f. M k = 1,4. 15700 = 1.980 kn.cm Como não se conhece o etalhamento a armaura, não é possível eterminar a altura útil, e moo que eve ser aotao inicialmente um valor para, que é igual a altura a viga menos a istância entre o centro e graviae a armaura tracionaa e a face tracionaa a seção (a ver Figura 6). Aotano a = 5 cm, resulta:

37 = h - 4 cm = 50-5 = 45 cm Para a istância entre o centro e graviae a armaura comprimia à face comprimia a seção será aotao o valor e 3 cm (ver Figura 6). Os limites entre os omínios, 3 e 4 são: x lim = 0,6 = 0,6. 45 = 11,7 cm x 3lim = 0,63 = 0,63. 45 = 8,4 cm (para o aço CA-50) a) Resolução com Equações Teóricas A posição a linha neutra (x) é eterminaa pela Eq. 15, com o valor absoluto e M : M = 0,68b w x f c ( 0,4x),5 1980 = 0,68. 0 x ( 45 0,4x) x = 6, cm 1,4 Observe que x lim = 11,7 < x = 6, < x 3lim = 8,4 cm, o que significa que a seção se encontra no omínio 3. A relação x/ é: x/ = 6,/45 = 0,58 Como a seção é e apoio eve-se ter, para o concreto C5, x/ 0,5. Para fazer a seção atener a este limite é necessário moificar algum os aos e entraa. Analisano a Eq. 15, que fornece x, verificam-se as seguintes alternativas: - iminuir a solicitação (M ); - aumentar as imensões a seção transversal, principalmente a altura (h); - aumentar a resistência o concreto (f ck ). Das alternativas listaas, e moo geral, a única que resulta exeqüível é o aumento a altura a seção. Diminuir a solicitação epene e outros fatores, como iminuir o carregamento, o vão, etc., o que geralmente é inviável. Aumentar a largura a seção também não é uma solução prática, pois normalmente as vigas são projetaas para ficarem completamente embutias nas parees. Não é usual também fazer os elementos estruturais e um mesmo pavimento com concretos e iferentes resistências. Uma outra solução, que será aotaa neste exemplo e será mostraa em seguia, é imensionar a seção com armaura upla, sem se fazer qualquer alteração nos aos e entraa iniciais. A nova posição para a linha neutra poe ser assumia em infinitos valores, até o limite e 0,5. Geralmente, assume-se o maior valor possível: x = 0,5 = 0,5. 45 =,5 cm Aplicano o novo valor e x na Eq. 3 etermina-se o valor para M 1 :

38 M1 = 0,68bw x fc ( 0,4x),5 = 0,68. 0.,5 1,4 ( 45 0,4.,5) 19.671 kn.cm M 1 = Aplicano a Eq. 33 etermina-se o valor a seguna parcela o momento fletor resistente: M = M - M 1 = 1980-19671 =.309 kn.cm Para CA-50 e / = 3/45 = 0,07, conforme a Tabela A-7 a tensão na armaura comprimia (σ s ) é 435 MPa = 43,5 kn/cm. Do momento fletor M, aplicano a Eq. 34, resulta a armaura comprimia: A s M = σ s ( ) 309 = = 1,6 cm ( φ 10 = 1,60 cm ) 43,5 ( 45 3) As áreas e armauras tracionaas são eterminaas com as Eq. 35 e 36, consierano que no omínio 3 a tensão σ s na armaura é igual a f y : M 1 A s1 = = = σs ( 0,4x) 50 ( 45 0,4.,5) M 1,15 19671 A s = = = σs ( ) 50 ( 45 3) 1,15 309 1,6 cm A área total e armaura tracionaa é: 1,57 cm A = A + A = 1,57 + 1,6 = 13,8 cm (3 φ 0 + φ 16 = 13,45 cm ) s s1 s b) Resolução com Equações com Coeficientes K O coeficiente K c é calculao pela Eq. 3: K bw 0. 45 c = = = M 1980 1,8 Na Tabela A-1, com concreto C5 e aço CA-50, verifica-se que a seção está no omínio 3 e β x = 0,58 > 0,5, o que não poe por se tratar e seção e apoio. Neste caso, uma solução para atener ao limite máximo, entre outras possíveis, é imensionar a seção com armaura upla. Com β x = 0,5, na Tabela A-1 encontram-se: K clim =,1 Kslim = 0,09 A primeira parcela o momento fletor resistente (Eq. 41) é:

39 M bw 0. 45 1 = = = Kclim,1 19.86 kn.cm A seguna parcela o momento fletor resistente (Eq. 4) é: M = M - M 1 = 1.980 1986 =.694 kn.cm 0,03. Com = 3 cm, e seno / = 3/45 = 0,07, para o CA-50 na Tabela A-8 tem-se K s = As áreas e armaura comprimia e tracionaa (Eq. 44 e 43) são: M 694 A s = K s = 0,03 = 1,48 cm ( φ 10 = 1,60 cm ) 45 3 A s = K slim M 1 + f y M ( ) 1986 694 = 0,09 + = 13,90 cm 45 50 ( 45 3) 1,15 O etalhamento as armauras na seção transversal está mostrao na Figura 6. Outros arranjos com número e barras e iâmetros iferentes poeriam ser utilizaos. Como já comentao em outros exemplos numéricos anteriores, é importante posicionar corretamente as armauras na seção transversal. Como o momento fletor solicitante é negativo a armaura tracionaa A s eve obrigatoriamente ser posicionaa próxima à bora superior a viga, seno esta chamaa armaura negativa, e a armaura comprimia (A s ) eve ser posicionaa na bora inferior, que está comprimia pelo momento fletor negativo. O valor foi inicialmente aotao igual a 3 cm. O seu valor, conforme o etalhamento a armaura: ' =,0 + 0,63 + 1,0/ = 3,1 cm O espaçamento vertical livre mínimo entre as faces as barras as primeira e seguna camaas a armaura negativa é (Eq. 8): cm ev,mín φl =,0 cm e v, mín =,0 cm 0,5máx,agr = 0,5.1,9 =1,0 cm

40 e h 50 a CG Ø 16 3 Ø 0 e v,mín a 1ª camaa 0,63,0 0,5 CG,0,0 ª camaa ' Ø 10 0 Figura 6 Detalhamento as armauras longituinais e flexão na seção transversal. A istância a, que efiniu a altura útil, foi aotaa inicialmente igual a 4 cm. Consierano aproximaamente que o centro e graviae a armaura está posicionao 0,5 cm abaixo a face inferior as barras a primeira camaa (ver Figura 6), a istância a seguno o etalhamento aotao resulta: a =,0 + 0,63 +,0 + 0,5 = 5,1 cm O valor e 5,0 cm previamente aotao para a é praticamente o valor resultante o etalhamento. Diferenças e até um ou ois centímetros no valor e a não justificam o recálculo as armauras, em função os acréscimos serem muito pequenos. A Tabela A-4 mostra que a largura mínima necessária para alojar 3 φ 0 mm numa única camaa é e 16 cm, menor que a largura existente, e 0 cm, o que mostra que é possível alojar as três barras. Isso fica confirmao pela comparação entre e h,mín (Eq. 8) e e h, como calculaos a seguir: cm eh,mín φl =,0 cm e h, mín =,3 cm 1,máx,agr = 1,.1,9 =,3 cm [ (,0 + 0,63) + 3.,0] 0 e h = = 4,37 cm > e h,mín =,3 cm A istância livre entre as barras a primeira camaa, e 4,37 cm, não é suficiente para a passagem o vibraor com iâmetro a agulha e 49 mm. Neste caso, eve-se utilizar uma agulha e menor iâmetro, como por exemplo 5 e 35 mm. º) Calcular e etalhar a armaura longituinal a seção e apoio e uma viga contínua (Figura 7), consierano: concreto C30 c =,5 cm

41 aço CA-50 φ t = 6,3 mm b w = 14 cm brita 1 h = 60 cm M k = - 18.500 kn.cm - 18.500 Figura 7 Valor o momento fletor negativo no apoio a viga contínua. RESOLUÇÃO O problema é e imensionamento como os anteriores, one as incógnitas são as áreas e armaura e a posição x a linha neutra. A resolução será feita com as equações o tipo K a título e exemplificação. Será inicialmente aotaa a istância a igual a 6 cm, o que resulta para a altura útil: = h - 6 cm = 60-6 = 54 cm O momento fletor e cálculo, em valor absoluto, é: M = γ f. M k = 1,4. 18500 = 5.900 kn.cm O coeficiente K c é calculao pela Eq. 3: K bw 14. 54 c = = = M 5900 1,6 Na Tabela A-1, com concreto C30 e aço CA-50, verifica-se que a seção está no omínio 3 e β x = 0,56 > 0,5, o que não poe por se tratar e seção e apoio. Neste caso, uma solução para atener ao limite máximo, entre outras possíveis, é imensionar a seção com armaura upla. Com β x = 0,5, na Tabela A-1 encontram-se: Kclim = 1,7 Kslim = 0,09 A primeira parcela o momento fletor resistente (Eq. 41) é: M bw 14. 54 1 = = = Kclim 1,7 4.014 kn.cm A seguna parcela o momento fletor resistente (Eq. 4) é: M = M - M 1 = 5.900 4.014 = 1.886 kn.cm

4 0,03. Aotano = 4 cm, e seno / = 4/54 = 0,07, para o CA-50 na Tabela A-8 tem-se K s = As áreas e armaura comprimia e tracionaa (Eq. 44 e 43) são: M 1886 A s = K s = 0,03 = 0,87 cm ( φ 8 mm = 1,00 cm ) 54 4 A s = K slim M 1 + f y M ( ) 4014 1886 = 0,09 + = 13,76 cm 54 50 ( 54 4) 1,15 A armaura mínima, e acoro com a Tabela, é: A s,mín = 0,173 % b w h = 0,00173. 14. 60 = 1,45 cm A s >> A s,mín Entre várias possibiliaes e arranjos e barras poe ser escolhio 3 φ 0 + φ 16 = 13,45 cm. O etalhamento as armauras na seção transversal está mostrao na Figura 8. A Tabela A-4 mostra que é possível alojar uas barras numa camaa, pois a largura mínima é 13 cm, menor que a largura existente e 14 cm. No entanto, a istância livre entre as barras eve proporcionar a passagem a agulha o vibraor. A istância livre entre as barras é: (,5 + 0,63 +,0) 3, 7 e h = 14 = cm A istância e 3,7 cm não possibilita a passagem a agulha com iâmetro e 49 mm. Neste caso eve-se utilizar uma agulha menor, com iâmetro e 5 mm por exemplo. A istância livre vertical entre as camaas é (Eq. 8): cm ev,mín φl =,0 cm e v,mín =,0 cm 0,5máx,agr = 0,5.1,9 =1,0 cm A istância a inicialmente aotaa como 6 cm, conforme o etalhamento escolhio, é: a =,5 + 0,63 +,0 +,0 = 7,1 cm A istância entre o centro e graviae a armaura comprimia à face comprimia, aotaa inicialmente como 4 cm, é: =,5 + 0,63 + 0,8/ = 3,5 cm

43 3 Ø 0 a CG Ø 16 60 ' 14 Ø 8 Figura 8 Detalhamento as armauras na seção transversal. 8. SEÇÃO T Teoricamente, as vigas poem ter seção com qualquer forma geométrica, porém, as vigas e seção retangular, as mais comuns são aquelas com forma e I e T. Nas estruturas o tipo prémolaas as vigas I, T e uplo T são bastante comuns (Figura 9). Figura 9 Seções pré-molaas em forma e V, I e uplo T. A seção T é assim chamaa porque a seção a viga tem a forma geométrica e um T, como mostraa na Figura 30. A seção T é composta pela nervura e pela mesa, que poe estar parcial ou totalmente comprimia. Poem ser o tipo pré-molaas, quano são fabricaas com a forma o T numa empresa, ou molaas no local, no caso e vigas retangulares que, com o trabalho conjunto com as lajes vizinhas, originam uma seção fictícia em forma e T.

44 b f h f h mesa nervura b w Figura 30 Notação a viga seção T. A seção T poe ser formaa também nas lajes o tipo pré-fabricaas e nervuraas (Figura 31), nas seções e pontes rooviárias (Figura 3), etc. MESA As As BLOCO (MATERIAL INERTE) NERVURA Figura 31 - Laje molaa no loção o tipo nervuraa. Figura 3 - Seção celular e pontes rooviárias. A seção T é bastante comum nas estruturas molaas no local quano as lajes o pavimento são o tipo maciça, one a seção T é imperceptível visualmente, mas surge o trabalho conjunto entre as vigas retangulares e as lajes vizinhas nela apoiaas. As tensões normais e compressão, provenientes a flexão, alcançam também as vizinhanças as lajes apoiaas nas vigas. A contribuição as lajes, porém, só poe ser consieraa quano as lajes estão comprimias pelas tensões normais a flexão. Se comprimia, a laje atua aumentano significativamente a área e concreto comprimio (A c ) a viga retangular. É muito importante observar que a laje eve estar obrigatoriamente no lao a viga, inferior ou superior, submetio às tensões normais e compressão. Se a laje estiver no lao

45 tracionao a sua contribuição à flexão não existirá, ao que não se consiera o concreto para resistir às tensões e tração. Neste caso consiera-se apenas a resistência proporcionaa pela seção retangular a viga. Levano em conta essas premissas, a Figura 33 mostra as situações e cálculo (seção T ou retangular) e uma viga contínua, associaa a lajes ajacentes, em função a posição a laje (inferior ou superior a viga) e o sinal o momento fletor. M máx. - - M máx. + - - M máx. + + + - SEÇÃO T SEÇÃO RETANG. SEÇÃO T SEÇÃO RETANG. SEÇÃO T SEÇÃO RETANG. Figura 33 Consieração e seção retangular ou T em viga contínua com lajes ajacentes nas boras inferior ou superior. Se as lajes estiverem apoiaas no lao superior a viga, o que ocorre na grane maioria os casos a prática, a seção T só é formaa nos momentos fletores positivos, pois na região os apoios intermeiários o momento fletor negativo traciona o lao superior a viga, e as lajes, tracionaas, não formam a seção T. Nas vigas invertias (quano as lajes são apoiaas no lao inferior as vigas) a situação é inversa à laje apoiaa no lao superior. De moo geral, os momentos fletores negativos nos apoios intermeiários as vigas contínuas são bem maiores que os momentos fletores positivos nos vãos, o que se configura num aspecto negativo para as vigas, levano-se em conta que normalmente as lajes encontram-se apoiaas no lao superior as vigas. Isto é, justamente nos maiores momentos fletores a seção T não é formaa, e forma-se apenas na região os momentos fletores menores, os positivos. Isso impõe normalmente que a altura as vigas é epenente os momentos fletores negativos, sem se falar as flechas nos vãos. A contribuição proporcionaa pelas lajes maciças, cuja altura varia normalmente e 7 cm a 1 cm, eve ser sempre verificaa. Nas lajes nervuraas e pré-fabricaas, porém, como a espessura a mesa (ou capa) tem normalmente apenas 4 cm, a contribuição a mesa é, e moo geral, esprezaa, e o cálculo as vigas é feito consierano-se apenas a seção retangular. As vantagens e se poer consierar a contribuição as lajes para formar seções T estão na possibiliae e vigas com menores alturas, economia e armaura e e fôrma, flechas menores, etc. A Figura 34 mostra uma planta e fôrma simples e uma construção e pequeno porte, suficiente porém para expor as iferentes situações que ocorrem na análise e se consierar ou não a contribuição as lajes para formar seções T ou L (as seções L são calculaas como T, como se verá aiante). A estrutura é formaa por três lajes e seis vigas, estano a laje L em balanço e a laje L3 invertia (apoiaa nas partes inferiores as vigas ao longo o seu contorno).

46 500 150 V100 (0 x 50) P1 0/0 P 0/0 300 L 1 h = 8 cm V101 (0 x 50) L h = 8 cm V105 (0 x 30) 300 V103 (0 x 50) L 3 h = 8 cm V10 (0 x 50) V104 (0 x 50) P3 0/0 P4 0/0 Figura 34- Planta e fôrma a estrutura. A forma a seção eve ser analisaa nas regiões ou posições one ocorrem os momentos fletores máximos, para os quais serão feitos os cálculos e imensionamento as vigas. Caa seção com momento máximo eve ser analisaa iniviualmente, isto é, momento fletor por momento fletor. Teno-se como conição básica que o momento fletor positivo traciona o lao inferior as vigas e comprime o lao superior, e que ocorre o contrário para os momentos fletores negativos, a pergunta básica que se fazer na análise, para caa momento fletor máximo, é: existe laje no lao comprimio? Na seqüência, as análises serão feitas nas seis vigas a planta e fôrma a Figura 34. As vigas serão consieraas isolaas e inepenentes entre si. a) V100 Na região o momento fletor positivo máximo (Figura 35) existe a laje L1 no lao superior a viga (ver Figura 34), como inicao no corte esquemático mostrao na planta e fôrma. Portanto, a laje está submetia a tensões normais e compressão, provenientes o momento fletor positivo na viga. Isso implica que, uma faixa a laje, ajacente à viga e seção retangular, poe ser consieraa auxiliano a viga resistir a essas tensões e compressão. Como existe apenas uma laje apoiaa na viga, a seção formaa é a e uma seção L, e não seção T. Como o erro cometio é pequeno, a seção L será simplificaamente calculaa como se fosse seção T, seguno o critério mostrao na Figura 36.

47 V 105 P 1 P M máx M máx - M máx + - Figura 35 Esquema estático e iagrama e momentos fletores a viga V100. b f b f Figura 36 Analogia e seção L com seção T. Na região o momento fletor negativo máximo (apoio no pilar P), que comprime o lao inferior a viga, não existem lajes apoiaas no lao inferior a viga. As lajes L1 e L estão tracionaas, e não poem, portanto, serem consieraas. Conclui-se que a seção resistente é apenas a seção retangular a viga (0 x 50). b) V101 Na região o momento fletor positivo máximo existem as lajes L1 e L3, seno a L1 comprimia e a L3 tracionaa. Portanto, a laje L3 eve ser esprezaa e a L1 poe ser consieraa formano uma seção L com a seção retangular a viga. No momento fletor negativo máximo, que ocorre no cruzamento com a viga V104, evem ser feitas uas análises, a primeira consierano apenas as lajes L1 e L e a seguna consierano apenas a laje L3. As lajes L1 e L, que estão apoiaas no lao superior a viga, são tracionaas pelo momento fletor negativo, não eveno ser consieraas. Por outro lao, a laje L3, que está no lao inferior, poe ser consieraa, pois está comprimia. No entanto, o momento fletor negativo ocorre também à ireita a viga V104 (ver iagrama e M f a V101 Figura 37), one não existe laje (ver Figura 34). O que ocorre então é que existe a seção L para os momentos negativos à esquera a viga V104 e à ireita esta viga existe apenas a seção retangular (0 x 50). Nesta situação, existirá uma armaura negativa e flexão menor (para a seção L) à esquera a V104 e outra maior (para a seção retangular) à ireita esta viga. Como na prática não é usual este tipo e etalhamento e armaura, com muança brusca e área e armaura negativa no apoio, costuma-se calcular e etalhar apenas a maior armaura (aquela a seção retangular). Portanto, a armaura fica a favor a segurança para o trecho a viga à esquera a V104.

48 V 105 V 103 V 104 + Figura 37 - Esquema estático e iagrama e momentos fletores a viga V101. - c) V10 Na região o momento fletor positivo máximo não existe laje comprimia (ver Figura 34 e Figura 38), pois a laje L3 está no lao tracionao a viga. A seção a ser consieraa, portanto, é a seção retangular 0 x 50. Nos momentos fletores negativos, resultantes e engastes elásticos, como nos apoios a V10, o imensionamento eve ser feito consierano a seção, retangular ou T, que originou a rigiez a mola consieraa no engaste elástico. P 3 P 4 - - + Figura 38 - Esquema estático e iagrama e momentos fletores a viga V10. ) V103 Nos momentos fletores negativos provenientes os engastes elásticos nos pilares P1 e P3 eve-se consierar a seção em função a rigiez a mola consieraa nos engastes elásticos, como já comentao. No momento fletor positivo máximo que existente na ligação com a viga V101 ocorrem a seção L e a seção retangular (Figura 39). A laje L3 é tracionaa pelo momento positivo, não poeno ser consieraa, o que leva à seção retangular. A laje L1, por outro lao, é comprimia pelo momento fletor, formano, portanto, uma seção L. Neste caso, com a seção retangular e um lao o momento máximo e a seção L o outro lao, opta-se pelo cálculo como seção retangular, que conuz à maior armaura.

49 V 101 P 3 P 1 - - + Figura 39 - Esquema estático e iagrama e momentos fletores a viga V103. e) V104 A análise a viga V104 (Figura 40) é semelhante à a viga V103. Seção retangular para os momentos fletores negativos nos apoios e para o momento fletor positivo máximo. V 101 P 4 P - - + Figura 40 - Esquema estático e iagrama e momentos fletores a viga V104. f) V105 A seção a ser consieraa no momento fletor positivo é a L, pois a laje L é comprimia por estar no lao superior a viga (Figura 41). V 101 V 100 Figura 41 - Esquema estático e iagrama e momentos fletores a viga V105. +

50 8.1 LARGURA COLABORANTE Define-se como largura colaborante a faixa a laje ajacente à viga que colabora para resistir às tensões normais e compressão. A largura colaborante não é constante ao longo o vão e epene e vários fatores: viga simples ou contínua, tipo e carga, vão, tipo e apoios, a relação h f /h, existência e vigas transversais, etc. A Figura 4 mostra as trajetórias as tensões principais e compressão nas lajes ajacentes à viga. Seção transversal h f h Pontos perigosos b w Trajetórias e tração Viga Trajetórias e compressão Figura 4 Trajetórias as tensões principais na viga T (Leonhart e Mönnig, 198). As tensões e compressão σ x na viga e nas lajes variam e intensiae, iminuino conforme se afastam a alma a viga (Figura 43). De moo iealizao as tensões são tomaas constantes na largura colaborante b f. b f b 1,e b w b 1, σ x σ x máx h f Linha neutra h x e x b w Figura 43 Distribuição as tensões e compressão σ x na alma e nas lajes a seção T. (Leonhart e Mönnig, 198).

51 Como as lajes se eformam menos que a alma a viga, a linha neutra mostra uma curvatura além a alma (Figura 44), seno várias as causas para tal curvatura. x σ x Tensão na bora superior Curva Linha neutra (curva) σ xmáx Figura 44 Distribuição as tensões e compressão σ x e trajetória a linha neutra na seção T. (Leonhart e Mönnig, 198). Seguno a NBR 6118/03 (item 14.6..), Quano a estrutura for moelaa sem a consieração automática a ação conjunta e lajes e vigas, esse efeito poe ser consierao meiante a aoção e uma largura colaborante a laje associaa à viga, compono uma seção T. A consieração a seção T poe ser feita para estabelecer as istribuições e esforços internos, tensões, eformações e eslocamentos a estrutura, e uma forma mais realista. A Figura 45 mostra os parâmetros a serem analisaos no estuo as seções T. b f b f b4 c b 3 b 1 c b míssula b 1 b 1 h f b w b w Figura 45 - Largura colaborante e vigas seção T. A largura colaborante b f eve ser aa pela largura a viga b w acrescia e no máximo 10 % a istância a entre pontos e momento fletor nulo, para caa lao a viga em que houver laje colaborante. A istância a assume os valores mostraos na Figura 46:

5 l l a = l a = 0,75 l l l a = 0,6 l a = l Figura 46 - Valores e a em função os vínculos a viga nos apoios. A largura colaborante é aa pela soma os coeficientes b 1, b w e b 3 (Figura 45), com b 1 e b 3 aos por: b 1 0,1 a 0,5 b 0,1 a b 3 (Eq. 46) b4 com b 3 seno a largura colaborante e lajes em balanço. Nos casos mais comuns a prática, que é a inexistência e mísulas, como inicao na viga à ireita a Figura 45, as larguras b 1 e b 3 são contaas a partir a largura b w ou a face a viga. No cálculo e b 1 geralmente o valor 0,1a é menor que a metae a istância b, pois a istância entre as vigas ajacentes normalmente não é pequena. Nas lajes nervuraas, geralmente a istância b 1 será aa pelo fator 0,5b. O valor b representa a istância entre a face a viga que se está consierano a seção T e a face a viga mais próxima, na ireção perpenicular à viga. A Figura 47 mostra uma planta e fôrma simples com o propósito e servir e exemplo nos cálculos a largura colaborante as vigas seção T ou L. A contribuição as lajes, meias pelas larguras b 1 e b 3, evem ser analisaas viga por viga, e vão por vão. Na planta e fôrma, como as lajes estão apoiaas no lao superior as vigas, as seções L ou T formaas só poem ser consieraas no cálculo os momentos fletores positivos, que comprimem as lajes. Nos momentos fletores negativos a seção e cálculo é a retangular. As larguras colaborantes evem ser calculaas para caa vão, iniviualmente. No caso a viga V4, a largura b f é aa pelos valores b 1 à esquera e b 1 à ireita a V4, que serão iguais, a menos que b interfira na efinição os valores e b 1.

53 l 1 l V1 b 1 b 1 L1 b 1 b 1 L l 3 b 1 b (V1/V) b (V1/V4) b 1 b (V3/V4) b (V4/V5) V3 V b 1 b1 V4 V5 b4 b 3 b 3 L3 Figura 47 Planta e fôrma com inicação as imensões para formar as seções L ou T. 8. SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES Assim como apresentao na seção retangular, a seção T com armaura simples é aquela que tem armaura resistente apenas na região tracionaa a viga, não haveno a necessiae e armaura comprimia. 8..1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO No estuo as seções T com a utilização o iagrama retangular simplificao com altura 0,8x (ver Figura 7) observa-se a existência e ois casos, em função a posição a linha neutra na seção transversal. 8..1.1 0,8 x h f No caso e se consierar o iagrama retangular simplificao, quano a altura 0,8x o iagrama é menor ou igual à altura a mesa, isto é, 0,8x h f (Figura 48), a seção A c sob tensões e compressão é retangular, com área b f. 0,8x. Quano assim ocorre, o cálculo a viga seção T poe ser feito como se a seção fosse retangular, porém, com largura b f (seção b f. h) ao invés e b w, aplicano-se as mesmas equações já esenvolvias para a seção retangular com armaura simples. Assim poe ser feito porque o concreto na região tracionaa não é consierao no imensionamento, e para a flexão não importa a sua inexistência em parte a área tracionaa. No caso e se consierar o iagrama σ x ε parábola-retângulo para a istribuição as tensões e compressão no concreto, a seção T calculaa como seção retangular ocorre até quano a linha neutra corta e mesa, ou seja, x h f.

54 0,8 x b f ε c A' c h f x 0,8 x LN 0,85 f c σ c R cc h z A s A s ε s R st b w Figura 48 Seção T com altura 0,8x h f calculaa como seção retangular b f. h. 8..1. 0,8 x > h f Quano 0,8x > h f ocorre a área a seção comprimia é iferente a retangular, seno composta pelos retângulos I, II e III, como mostrao na Figura 49. Por isto não é possível aplicar a formulação já esenvolvia para a seção retangular, e uma nova formulação eve ser esenvolvia e aplicaa. Na maioria os casos o cálculo e imensionamento as vigas seção T recai no caso one 0,8x h f e a seção é calculaa como se fosse retangular com seção b f. h. O caso one 0,8x > h f não é comum e raramente ocorre na prática. A fim e simplificar a eução as equações para a seção T efetiva, a seção será subiviia em uas seções equivalentes (Figura 49a). Na seção a Figura 49b, o concreto comprimio representao pela mesa é equilibrao por uma parcela A s1 a armaura tracionaa (A s ). A área comprimia a nervura é equilibraa pela seguna parcela A s a armaura A s (Figura 49c). a) Equilíbrio e Forças Normais Na flexão simples não ocorre a força normal solicitante, e moo que a força resultante no concreto comprimio eve equilibrar a força resultante na armaura tracionaa. R cc = R st (Eq. 47) seno: R cc = força resultante as tensões e compressão na área e concreto comprimio; R st = força resultante as tensões e tração na armaura A s. b) Equilíbrio e Momentos Fletores As forças internas resistentes, proporcionaas pelo concreto comprimio e pela armaura tracionaa, formam um binário oposto ao momento fletor solicitante, isto é: M solic = M resist = M

55 b f b - f b w II III II III I h f x 0,8x I h A s LN - 0,5 h = + - 0,4x A s 1 A s f bw bw bw M = M 1 + M A s = A s + A s 1 a) b) c) Figura 49 - Decomposição a seção T com armaura simples. Conforme a ecomposição a seção T em uas outras equivalentes, o momento fletor total é subiviio em uas parcelas M 1 e M, tal que: M = M + M (Eq. 48) 1 Do equilíbrio e momentos fletores na linha e ação a armaura A s1 na Figura 49b efine-se o momento resistente M 1 proporcionao pela armaura A s1 e pela mesa comprimia: M ( b b ) h 0,85f ( 0,5 ) = (Eq. 49) 1 f w f c h f Geralmente, aotam-se valores para toas as variáveis (b f,b w,h f,f c,) a Eq. 49, e moo que se poe calcular o valor e M 1. A seguna parcela o momento fletor total fica assim eterminaa a Eq. 48: M M M1 = (Eq. 50) A seção a Figura 49c é uma seção retangular com armaura simples, cujo equacionamento já foi esenvolvio na Eq. 15. Trocano M por M fica: ( 0,4x) M = 0,68bw x fc (Eq. 51) Conheceno-se os valores e M, b w, f c e, com a Eq. 51 é possível efinir a posição x a linha neutra e assim eterminar em qual omínio a seção T se encontra. Se ocorrer o omínio 4, recomena-se, a fim e evitar o imensionamento como seção superarmaa, aumentar a altura a viga, ou aotar alguma outra meia que resulte na alteração o omínio 4 para os omínios ou 3. Com o equilíbrio e momentos fletores em torno o centro e graviae as áreas comprimias e concreto nas seções b e c a Figura 49, e consierano o imensionamento nos omínios ou 3, one σ s = f y, as parcelas e armaura A s1 e A s são:

56 M ( 0,5 ) 1 σsas1 hf = A M 1 s1 = (Eq. 5) f y( 0,5h f ) ( 0,4x) M = σsas Com a área e armaura total seno: A s M = (Eq. 53) f y ( 0,4x) A = A + A (Eq. 54) s s1 s c) Permanência as seções planas Da semelhança e triângulos mostraos na Figura 48 poe-se efinir equações que relacionam as eformações na armaura tracionaa e no concreto corresponente à fibra mais comprimia, e moo semelhante àquelas já esenvolvias para a seção retangular. ε ε c s x = x (Eq. 55) ε c β x = (Eq. 56) εc + εs 8.. CÁLCULO COM EQUAÇÕES COM COEFICIENTES K Para a seção T poe-se utilizar também as tabelas elaboraas para a seção retangular. Inicialmente, verifica-se a posição a linha neutra, calculano K c com b f e : bf K c = (Eq. 57) M Com o valor e K c eterminam-se na Tabela A-1 ou Tabela A- os valores e β x e e K s. O valor e x é imeiato, conforme a Eq. 0: β x x = x = β x Com o iagrama retangular simplificao, se resultar 0,8x h f, o cálculo é feito como uma viga e seção retangular com largura b f e altura h. A armaura tracionaa é: A s M = Ks (Eq. 58) Se resultar 0,8x > h f, o imensionamento eve ser feito com as equações esenvolvias para a seção T. O valor e x inicialmente calculao pela Eq. 57 não é veraeiro e só serviu para efinir o imensionamento com o equacionamento esenvolvio para a seção T.

57 Para cálculo o momento resistente M 1, proporcionao pela área a mesa comprimia, aota-se 0,8x* = h f, ficano: * h f x = = 1,5 h f 0,8 A variável β x que relaciona x com fica: * 1,5h f β x = (Eq. 59) Com β * x etermina-se K * c na Tabela A-1 ou Tabela A- e: M 1 ( b b ) f w = (Eq. 60) * K c Determinao o momento resistente M 1, a seguna parcela e M é: M = M M1 Com o momento M etermina-se a posição x correta para a linha neutra, referente à seção retangular mostraa na Figura 49c: bw K c = (Eq. 61) M Com o valor e K c, na Tabela A-1 eterminam-se K s e o omínio em que a seção se encontra. Se ocorrer o omínio 4, recomena-se, a fim e evitar o imensionamento como seção superarmaa, aumentar a altura a viga, ou aotar alguma outra meia que resulte na alteração o omínio 4 para os omínios ou 3. Consierano o imensionamento nos omínios ou 3, a armaura tracionaa é: A = A + A A s s1 s M1 M = K (Eq. 63) f s ( 0,5h ) s + y f 8..3 EXEMPLOS NUMÉRICOS 1º) Dimensionar a armaura longituinal e flexão a viga com a seção transversal mostraa na Figura 50, seno aos:

58 concreto C0 aço CA-50 c =,5 cm γ s = 1,15 γ c = γ f = 1,4 M k = 15.000 kn.cm brita 1 φ t = 6,3 mm Seção não e apoio nem e ligação. 50 100 0 Figura 50 Dimensões a seção T. 8 RESOLUÇÃO Como exemplo e aplicação a resolução será feita seguno as equações teóricas euzias e também conforme as equações com coeficientes K. O momento fletor e cálculo é: M = γf. Mk = 1,4.15.000 = 1.000 kn.cm O valor e a (istância o centro e graviae a armaura tracionaa à face tracionaa a seção) será aotao como 5 cm, o que resulta na altura útil: = h - 5 cm = 50-5 = 45 cm Os valores limites entre os omínios, 3 e 4 para o aço CA-50 são: x lim = 0,6. 45 = 11,7 cm x 3lim = 0,63. 45 = 8,4 cm a) Equações Teóricas Inicialmente supõe-se que a seção T será calculaa como se fosse retangular b f. h e com 0,8x h f. Aplicano a Eq. 15 a seção retangular com b f no lugar e b w encontra-se a posição a linha neutra (x): M = 0,68b x f 0,4x f ( ) c,0 1000 = 0,68.100 x ( 45 0,4x) x = 5,0 cm 1,4 A altura o iagrama retangular simplificao e istribuição e tensões e compressão no concreto é: 0,8x = 0,8. 5,0 = 4,0 cm Como resultou 0,8x = 4 cm < h f = 8 cm, a hipótese inicial foi confirmaa, e a seção T poe ser imensionaa como se fosse seção retangular b f. h, com as equações para seção retangular. A verificação o omínio mostra que a seção T encontra-se no omínio, ao que: x = 5,0 cm < x lim = 11,7 cm A armaura calculaa como seção retangular é calculaa pela Eq. 17:

59 M 1000 = 11,3 cm (6 φ 16 = 1,00 cm ) A s = = f y ( 0,4x) 50 ( 45 0,4. 5,0) 1,15 A área e armaura mínima conforme a Tabela é: A s,mín = 0,15% b w h = 0,0015. 0. 50 = 1,50 cm A s > A s,mín b) Equações com Coeficientes K Com a Eq. 3, colocano-se b f ao invés e b w, supono-se que a seção T possa ser calculaa como seção retangular: K bf 100. 45 c = = = M 1000 9,6 Com C0 e CA-50, na Tabela A-1 eterminam-se os valores e β x = 0,11 e K s = 0,04 e omínio. Seno β x = x/, os valores e x e 0,8x são: x = β x. = 0,11. 45 = 5,0 cm 0,8x = 0,8. 5,0 = 4,0 cm < h f = 8 cm Como resultou 0,8 x < h f, a hipótese inicial foi confirmaa, ou seja, a seção T poe ser imensionaa como seção retangular b f. h. A armaura tracionaa resulta a Eq. 4: A = K M s s = 0,04 1000 45 A s = 11,0cm (6 φ 16 = 1,00 cm ) Como resultou o omínio, a eformação na armaura tracionaa é ε s = 10 e a eformação no concreto a fibra mais comprimia é (Eq. 55): ε ε c s εc 10 x = x 5,0 = 45 5,0 ε c = 1,5 (no omínio ε c eve estar entre zero e 3,5 ). O etalhamento a armaura longituinal e flexão está mostrao na Figura 51. Como o momento fletor é positivo, a armaura eve ser obrigatoriamente isposta no lao tracionao a viga, que é o lao inferior. A Tabela A-4 mostra quantas as seis barras φ 16 mm poem ser ispostas numa única camaa. Para quatro barras a largura b w mínima é e 0 cm, igual à largura

60 existente e 0 cm, seno possível portanto, alojar as quatro barras. As uas barras restantes evem ser colocaas na seguna camaa, amarraas nos ramos verticais os estribos. O espaçamento livre mínimo na ireção vertical entre as barras as uas camaas é: cm ev,mín φl = 1,6 cm e v,mín =,0 cm 0,5máx,agr = 0,5.1,9 =1,0 cm A istancia a entre o centro e graviae a armaura e a face tracionaa é: a =,5 + 0,63 + 1,6 + 0,5 = 5, cm 100 8 50 6 Ø 16 e v CG 0,5 a 0 Figura 51 Detalhamento a armaura longituinal na seção transversal. º) Dimensionar a armaura longituinal e flexão para a seção T mostraa na Figura 5, sabeno-se que: M k = 8.550 kn.cm concreto C5 aço CA-50 γ s = 1,15 γ c = γ f = 1,4 c =,5 cm φ t = 5 mm brita 1 Seção não e apoio nem e ligação. 45 18 7 30 Figura 5 Dimensões a seção transversal. RESOLUÇÃO Assim como o exemplo anterior, o problema é e imensionamento, one as uas incógnitas são a área e armaura A s e a posição a linha neutra (x). O momento fletor e cálculo é: M = γf Mk = 1,4. 8550 = 11.970 kn.cm Para a altura útil será aotao o valor:

61 = 30-5 = 5 cm Os limites entre os omínios, 3 e 4 para o aço CA-50 são: x lim = 0,6. 5 = 6,5 cm x 3lim = 0,63. 5 = 15,8 cm A resolução será feita seguno as equações teóricas e o tipo K. a) Equações Teóricas Inicialmente supõe-se que a seção T será calculaa como se fosse retangular b f. h e com 0,8x h f. Aplicano a Eq. 15 a seção retangular com b f no lugar e b w encontra-se a posição a linha neutra (x): M = 0,68b f x f c ( 0,4x),5 11970 = 0,68. 45 x ( 5 0,4x) x = 10,5 cm 1,4 0,8. 10,5 = 8,4 > h f = 7 cm Logo, a hipótese e seção retangular b f. h não é vália, pois a linha neutra corta a nervura b w e por isso o valor anterior calculao para x não é correto. Neste caso a seção eve ser imensionaa com as equações esenvolvias para a seção T. Inicialmente, calcula-se a parcela M 1 o momento fletor resistente (Eq. 49): M ( b b ) h 0,85f ( 0,5 ) 1 = f w f c h f,5 1,4 ( 45 18) 7. 0,85 ( 5 0,5. 7) 6.168 kn.cm M 1 = = A seguna parcela o momento resistente (Eq. 50) é: M = M M1 = 11.970 6.168 = 5.80 kn.cm Agora, a parcela M poe-se calcular a posição correta a linha neutra (Eq. 51): ( 0,4x) ( 5 0,4x) M = 0,68bw x fc,5 580 = 0,68.18 x x = 13,6 cm 1,4 A seção T está no omínio 3, como se verifica na comparação seguinte: x lim = 6,5 < x = 13,6 < x 3lim = 15,8 cm No omínio 3 a tensão na armaura tracionaa é igual a f y. As parcelas A s1 e A s a armaura são (Eq. 5 e 53):

6 M 1 A s1 = = = f y ( 0,5h f ) 50 ( 5 0,5. 7) M 1,15 6168 A s = = = f y ( 0,4x) 50 ( 5 0,4.13,6 ) 1,15 580 6,56 cm 6,76 cm A = A + A = 6,56 + 6,76 = 13,3 cm s s1 b) Equações com Coeficientes K s Com a Eq. 3 colocano-se b f ao invés e b w, supono-se que a seção T seja calculaa como seção retangular: K bf 45. 5 c = = = M 11970,3 Com C5 e CA-50, na Tabela A-1 etermina-se o valor e β x = 0,44. Com β x = x/, os valores para x e 0,8x são: x = β x. = 0,44. 5 = 11,0 cm 0,8x = 0,8. 11,0 = 8,8 cm > h f = 7 cm Portanto, com 0,8x > h f, a seção T eve ser imensionaa com as equações esenvolvias para a seção T. Calcula-se β x * referente à altura a mesa comprimia (Eq. 59): β x * = 1,5hf 1,5 7 = = 0, 35 5 Com β x * = 0,35 na Tabela A-1 encontra-se K c * =,7. Com K c * etermina-se a primeira parcela o momento fletor resistente M 1 (Eq. 60): ( bf bw ) = = ( ) 45 18 5 = 6. 136 M1 kn.cm * K,7 c A seguna parcela o momento resistente é (Eq. 61): M = M - M 1 = 11.970 6.136 = 5.834 kn.cm Com o momento M calcula-se a posição real x a linha neutra (Eq. 6): bw 18 5 K c = = = 1, 9 M 5834 β x = x. = 14,0 cm

63 Na Tabela A-1, com K c = 1,9, encontra-se o valor e K s = 0,030 e o omínio 3. A área e armaura é (Eq. 63): A M 1 s = + f y f K M s ( 0,5h ) 6136 5834 A s = + 0,030 50 ( 5 0,5 7) 5 1,15 A s = 13,56 cm (7 φ 16 = 14,00 cm ou 3 φ 0 + φ 16 = 13,45 cm ) O etalhamento a armaura longituinal e flexão está mostrao na Figura 53. A Tabela A-4 mostra que é possível colocar três barras φ 0 mm numa única camaa, pois a largura b w mínima é e 17 cm, menor que a largura existente e 18 cm. As uas barras restantes evem ser colocaas na seguna camaa, amarraas nos ramos verticais os estribos. O espaçamento livre mínimo na ireção vertical entre as barras as uas camaas é (Eq. 7): cm ev,mín φl =,0 cm e v,mín =,0 cm 0,5máx,agr = 0,5.1,9 =1,0 cm A istancia a entre o centro e graviae a armaura e a face tracionaa é: =,5 + 0,5 +,0 + 0,5 = 5,5 cm Ø 16 CG 3 Ø 0 a e h 18 Figura 53 Detalhamento a armaura longituinal na seção transversal. O etalhamento inicao na Figura 53 mostra uma alta taxa e armaura, em função a baixa altura a viga. Nesses casos eve-se verificar a fissuração na seção, o que será estuao na isciplina 1365 Estruturas e Concreto IV. O mais inicao seria aumentar a altura a viga, visano iminuir a quantiae e armaura longituinal tracionaa. 3º) Daa a laje nervuraa esquematizaa na Figura 54, imensionar a área e aço A s as nervuras.

64 b f b 1 b 1 4 9 bloco 10 50 10 Figura 54 Dimensões a laje nervuraa. São aos: concreto C30 brita 1 vão a as nervuras = 600 cm c =,0 cm M k = 1.350 kn.cm/nervura aço CA-50 RESOLUÇÃO Como o momento fletor solicitante é positivo e a mesa a laje nervuraa está comprimia pelo momento positivo, a seção formaa é e um T, para caa nervura. Se o momento fletor solicitante fosse negativo, a seção a consierar seria a retangular, ou seja, 10 x 9 cm. Conforme o esquema a laje mostrao na Figura 54 tem-se: b w = 10 cm ; h = 9 cm ; h f = 4 cm ; b = 50 cm O momento fletor e cálculo é: M = γ f Mk = 1,4.1350 = 1.890 kn.cm A largura colaborante é aa pelas imensões b 1 à esquera e à ireita as nervuras, conforme efinia na Eq. 46: 0,1 a = 0,1. 600 = 60 cm b1 b 1 = 5 cm 0,5b = 0,5. 50 = 5 cm A largura colaborante total a mesa é: b f = b w + b 1 = 10 +. 5 = 60 cm Nas lajes nervuraas geralmente a largura colaborante coincie com a istância entre os eixos as nervuras. Para a altura útil será aotao o valor: = h,5 cm = 9,5 = 6,5 cm O valor e K c (Eq. 15), com b f no lugar e b w, é: K bf 60. 6,5 c = = = M 1890,3

65 Com K c =,3, na Tabela A-1 encontram-se omínio, β x = 0,03 e K s = 0,03. A verificação se o cálculo a seção T se fará com as equações esenvolvias para a seção retangular ou para a seção T é feita comparano 0,8x com h f : x = βx. = 0,03. 6,5 = 0,8 cm 0,8 x = 0,8. 0,8 = 0,6 cm < h f = 4 cm Como 0,8x é menor que h f, a seção T eve ser calculaa como se fosse seção retangular, portanto, com as equações a seção retangular. A área e armaura tracionaa em caa nervura é: M 1890 = 1,64 cm ( φ 10 mm = 1,60 cm ) 6,5 A s Ks = 0,03 = O etalhamento a seção transversal as nervuras está mostrao na Figura 55. O espaçamento livre mínimo entre as barras eve ser (Eq. 7): cm eh,mín φl = 1,0 cm e h,mín =,3 cm 1,máx,agr = 1,.1,9 =,3 cm De moo geral, não há a necessiae e colocar estribos nas nervuras, e moo que o espaçamento livre existente entre as barras é: e h = 10 (,0 + 1,0) = 4,0 cm Portanto, e h > e h,mín, e poem ser ispostas as uas barras na largura a nervura. Ø 10 10 Figura 55 Detalhamento a armaura e flexão na seção transversal a nervura. 4º) Calcular o momento fletor amissível e serviço para a seção T inicaa na Figura 56. São conhecios o concreto C0 e o aço CA-50.

66 0 5 A = 5,0 cm² s 80 85 8 00 cm Figura 56 Dimensões a seção transversal e área e armaura tracionaa. RESOLUÇÃO O problema em questão é e verificação, one as incógnitas são a posição a linha neutra (x) e o máximo momento fletor que a seção poe resistir (M k ). Os cálculos evem ser feitos pelas equações teóricas, supono-se inicialmente que a seção T tenha sio calculaa como seção retangular. Como a armaura tracionaa A s está localizaa no lao superior a viga, o momento fletor solicitante tem sinal negativo, o qual comprime o lao inferior a viga. Portanto, a mesa inferior está comprimia e poe ser consieraa como formano uma seção T juntamente com a alma. Das equação e equilíbrio e forças resultantes no concreto comprimio e na armaura tracionaa (Eq. 10) tem-se: R cc = R st Supono que a seção tenha sio imensionaa nos omínios ou 3, a tensão na armaura tracionaa σ s é igual à máxima tensão possível no aço (f y ). A força resultante e tração na armaura é (Eq. 1): 50 R st = σsas = 5,0 = 1.096 kn 1,15 Para atener ao equilíbrio e forças resultantes eve-se ter R cc = R st = 1096 kn. Supono seção retangular a posição x a linha neutra é calculaa pela Eq. 11, com b f no lugar e b w :,0 R cc = 0,68bf x fc 1096 = 0,68. 00 x x = 5,6 cm 1,4 Verificação se a seção T foi calculaa como seção retangular: 0,8 x = 0,8. 5,6 = 4,5 < h f = 8 cm Como resultou 0,8x < h f, a seção T foi calculaa como retangular com seção b f. h. O valor calculao para x está correto. A verificação o omínio serve para confirmar se σ s é realmente igual a f y : x lim = 0,6. 80 = 0,8 cm

67 x 3lim = 0,63. 80 = 50,4 cm b w : Como x = 5,6 < x lim = 0,8 cm, a seção está no omínio e σ s é realmente igual a f y. O momento fletor máximo e serviço poe ser calculao pela Eq. 15 com b f no lugar e M = 0,68b f x f c ( 0,4x),0 1,4. M k = 0,68. 00. 5,6 ( 80 0,4. 5,6) M k = 60.431 kn.cm 1,4 Portanto, o momento fletor característico e serviço é - 60.431 kn.cm (momento negativo). 5º) Calcular o momento fletor máximo e serviço que a seção mostraa na Figura 57 poe resistir. São conhecios o concreto a viga (C30) e o aço (CA-50). 10 8 A = 0,80 cm² s 45 50 0 Figura 57 - Seção transversal com imensões (cm) e área e armaura e tração. 5 RESOLUÇÃO O problema em questão é e verificação (incógnitas x e M k ), como o exemplo anterior. Porém, como a armaura tracionaa está no lao inferior a viga, o momento fletor solicitante tem sinal positivo e, por isso, a mesa está comprimia e poe ser utilizaa no cálculo formano uma seção T junto com a alma. O cálculo eve ser iniciao buscano-se a posição a linha neutra, por meio a equação e equilíbrio as forças resultantes. São feitas as suposições e que a viga tenha sio imensionaa nos omínios ou 3 e que a seção T tenha sio calculaa como se fosse seção retangular b f. h. Da equação e equilíbrio e forças resultantes tem-se R cc = R st. Supono que a seção está no omínio ou 3 tem-se σ s = f y. A resultante e força na armaura tracionaa é: R A 50 = 0,80 1,15 st = σs s = 904 kn Supono seção retangular e o equilíbrio e resultantes, tem-se R cc R st = 904 kn. A posição a linha neutra é:

68 3,0 R cc = 0,68bf x fc 904 = 0,68.10 x x = 5, cm 1,4 Verificação se é seção retangular ou seção T: 0,8 x = 0,8. 5, = 4, < h f = 8 cm Portanto, a hipótese e seção retangular está confirmaa. O momento fletor máximo e serviço é: M = 0,68b x f 0,4x f c ( ) 3,0 1,4. Mk = 0,68.10. 5, ( 45 0,4. 5,) M k = 7.875 kn.cm 1,4 Portanto, o momento fletor e serviço é 7.875 kn.cm (momento positivo). 9. PRESCRIÇÕES GERAIS PARA AS VIGAS 9.1 VÃO EFETIVO O vão efetivo (NBR 6118/03, item 14.6..4), o qual substitui o chamao vão teórico a norma anterior (NBR 6118/80), poe ser calculao pela expressão: l = l + a + a (Eq. 66) ef 0 1 com: a t1 / 0,3 h 1 e t / a (Eq. 67) 0,3 h As imensões l 0, t 1, t e h estão inicaas na Figura 58. h t 1 l 0 t Figura 58 Dimensões consieraas no cálculo o vão efetivo as vigas. 9. DEFINIÇÃO DA ALTURA E DA LARGURA De moo geral, a preferência os engenheiros e arquitetos é que as vigas fiquem embutias nas parees e veação, e tal forma que não possam ser percebias visualmente. Para que isso ocorra, a largura as vigas eve ser escolhia em função a espessura final a paree, a qual epene basicamente as imensões e a posição e assentamento as uniaes e alvenaria

69 (tijolo maciço, bloco furao, etc.). Devem também ser consieraas as espessuras as argamassas e revestimento (emboço, reboco, etc.), nos ois laos a paree. Os revestimentos e argamassa no interior o Estao e São Paulo têm usualmente a espessura total e 1,5 cm a,0 cm. Existe no comércio uma infiniae e uniaes e alvenaria, com as imensões as mais variaas, tanto para os blocos cerâmicos e seis como para os e oito furos, como também para os tijolos maciços cerâmicos. Antes e se efinir a largura a viga é necessário, portanto, efinir o tipo e as imensões a uniae e alvenaria, levano-se em consieração a posição em que a uniae será assentaa. No caso e construções e pequeno porte, como casas, sobraos, barracões, etc., one é usual se construir primeiramente as parees e alvenaria, para em seguia serem construíos os pilares, as vigas e as lajes, é interessante escolher a largura as vigas igual à largura a paree sem os revestimentos, ou seja, igual à imensão a uniae que resulta na largura a paree. A altura as vigas epene e iversos fatores, seno os mais importantes o vão, o carregamento e a resistência o concreto. A altura eve ser suficiente para proporcionar resistência mecânica e baixa eformabiliae (flecha). Consierano por exemplo o esquema e uma viga como mostrao na Figura 59, para concretos o tipo C-0 e C-5 e construções e pequeno porte, uma inicação prática para a estimativa a altura as vigas e concreto armao é iviir o vão efetivo por oze, isto é: h 1 l ef,1 l ef, = e h = (Eq. 68) 1 1 Na estimativa a altura e vigas com concretos e resistência superior evem ser consieraos valores maiores que oze na Eq. 68. Vigas para eifícios e vários pavimentos, one as ações horizontais o vento impliquem esforços solicitantes consieráveis sobre a estrutura evem ter a altura efinia em função os esforços a que estarão submetias. h 1 h lef, 1 lef, Figura 59 Valores práticos para estimativa a altura as vigas. A altura as vigas eve ser preferencialmente moulaa e 5 em 5 cm, ou e 10 em 10 cm. A altura mínima inicaa é e 5 cm. Vigas contínuas evem ter a altura os vãos obeeceno uma certa paronização, a fim e evitar várias alturas iferentes. 9.3 CARGAS VERTICAIS NAS VIGAS Normalmente, as cargas (ações) atuantes nas vigas são provenientes e parees, e lajes, e outras vigas, e pilares e, sempre o peso próprio a viga. As cargas nas vigas evem ser analisaas e calculaas em caa vão a viga, trecho por trecho o vão se este conter trechos e carga iferentes. Nos próximos itens são etalhaos esses tipos e cargas verticais nas vigas. 9.3.1 Peso Próprio

70 O peso próprio e vigas com seção transversal constante é uma carga consieraa uniformemente istribuía ao longo o comprimento a viga, e eve sempre ser obrigatoriamente consierao. O seu valor é: g = b h γ (kn/m) (Eq. 64) pp w conc com: γ conc = 5 kn/m b w = largura a seção (m); h = altura a seção (m). 3 9.3. Parees Geralmente as parees têm espessura e altura constantes, quanto então a carga a paree poe ser consieraa uniformemente istribuía ao longo o seu comprimento. Seu valor é: g par = e h γ (kn/m) (Eq. 65) alv com: γ alv = peso específico a paree (kn/m 3 ); e = espessura final a paree (m); h = altura a paree (m). De acoro com a NBR 610, o peso específico é e 18 kn/m 3 para o tijolo maciço e 13 kn/m 3 para o bloco cerâmico furao. Aberturas e portas geralmente não são consieraas como trechos e carga. No caso e vitrôs, janelas e outros tipos e esquarias, evem ser verficaos os valores e carga por metro quarao a serem consieraos. Para janelas com viros poem ser consieraas as cargas e 0,5 a 1,0 kn/m. 9.3.3 Lajes As reações as lajes sobre as vigas e apoio evem ser conhecias. Importante é verificar se uma ou uas lajes escarregam a sua carga sobre a viga. As reações as lajes nas vigas e bora serão estuaas posteriormente nesta isciplina. 9.3.4 Outras Vigas Quano é possível efinir claramente qual viga serve e apoio e qual viga está apoiaa em outra, a carga concentraa na viga que serve e apoio é igual a reação e apoio aquela que está apoiaa. Em eterminaos pavimentos, a escolha e qual viga apóia-se sobre qual fica muito ifícil. A escolha erraa poe se tornar perigosa. Para contornar este problema, poe-se calcular os esforços e eslocamentos e toas as vigas por meio e uma grelha, com o auxílio e um programa e computaor. Desse moo, os resultaos são excelentes e muito próximos aos reais. 9.4 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS 9.4.1 Armauras Longituinais Máximas e Mínimas Nos itens 17.3.5 e 18 a NBR 6118/03 estabelece iversas prescrições relativas à armaura longituinal mínima e máxima e armaura e pele.

71 9.4. Armaura Mínima e Tração A armaura mínima e tração, em elementos estruturais armaos ou protenios eve ser eterminaa pelo imensionamento a seção a um momento fletor mínimo ao pela expressão a seguir, respeitaa a taxa mínima absoluta 0,15 %. M,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup (Eq. 3) one: W 0 = móulo e resistência a seção transversal bruta e concreto relativo à fibra mais tracionaa; f ctk,sup = resistência característica superior o concreto à tração: f ctk,sup = 1,3 f ct,m (Eq. 4) 3 com f = 0,3 f (MPa) (Eq. 5) ct,m ck O imensionamento para M,mín eve ser consierao atenio se forem respeitaas as taxas mínimas e armaura a Tabela. Forma a seção Tabela - Taxas mínimas e armaura e flexão para vigas. ω mín f ck Valores e ρ mín (%) (A s,mín /A c ) (1) 0 5 30 35 40 45 50 Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,01 0,30 0,59 0,88 T (mesa comprimia) T (mesa tracionaa) 0,04 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,04 0.9 0,55 Circular 0,070 0,30 0,88 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 (1) Os valores e ρ mín estabelecios nesta tabela pressupõem o uso e aço CA-50, γ c = 1,4 e γ s = 1,15. Caso esses fatores sejam iferentes, ρ mín eve ser recalculao com base no valor e ω mín ao. NOTA: Nas seções tipo T, a área a seção a ser consieraa eve ser caracterizaa pela alma acrescia a mesa colaborante. Em elementos estruturais superimensionaos poe ser utilizaa armaura menor que a mínima, com valor obtio a partir e um momento fletor igual ao obro e M. Neste caso, a eterminação os esforços solicitantes eve consierar e forma rigorosa toas as combinações possíveis e carregamento, assim como os efeitos e temperatura, eformações iferias e recalques e apoio. Deve-se ter aina especial cuiao com o iâmetro e espaçamento as armauras e limitação e fissuração. 9.4.3 Armaura Longituinal Máxima A soma as armauras e tração e e compressão (A s + A s ) não eve ter valor maior que 4 % A c, calculaa na região fora a zona e emenas.

7 9.4.4 Armaura e Pele Nas vigas com h > 60 cm, eve ser colocaa uma armaura lateral, chamaa armaura e pele (Figura 60), em caa face a alma a viga, composta por barras e alta aerência (η 1,5) e com espaçamento não maior que 0 cm, com área mínima igual a: A sp,face = 0,10 % A c,alma = 0,0010 b w. h (Eq. 6) Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, poe ser ispensaa a utilização a armaura e pele. e e h > 60 cm e e e e e e e e Figura 60 Disposição a armaura e pele A sp em caa face e com espaçamento e 0 cm na seção transversal e vigas com h > 60 cm. b w 9.5 ARMADURAS DE LIGAÇÃO MESA-ALMA Os planos e ligação entre mesas e almas ou talões e almas e vigas evem ser verificaos com relação aos efeitos tangenciais ecorrentes as variações e tensões normais ao longo o comprimento a viga, tanto sob o aspecto e resistência o concreto, quanto as armauras necessárias para absorver as trações ecorrentes esses efeitos. b f >1,5 cm /m h f h b w Figura 61 Armaura transversal à alma em seções transversais com mesa. As armauras e flexão a laje, existentes no plano e ligação, poem ser consieraas como parte a armaura e ligação, complementano-se a iferença entre ambas, se necessário. A

73 seção transversal mínima essa armaura, esteneno-se por toa a largura útil e ancoraa na alma, eve ser e 1,5 cm por metro (Figura 61). 9.6 ESPAÇAMENTO LIVRE ENTRE AS BARRAS A fim e se garantir que o concreto penetre com faciliae entro a fôrma e envolva completamente as barras e aço as armauras, a NBR 6118/03 estabelece os seguintes espaçamentos livres mínimos entre as barras (Figura 6): - numa mesma camaa horizontal cm eh,mín φl (Eq. 7) 1, máx,agr - numa mesma fila vertical cm ev,mín φl (Eq. 8) 0,5 máx,agr one: e h,mín = espaçamento livre horizontal mínimo entre uas barras a mesma camaa; e v,mín = espaçamento livre vertical mínimo entre uas barras e camaas iferentes; máx,agr = iâmetro máximo o agregao graúo utilizao no concreto. c Ø t Ø l e v e h b w Figura 6 Espaçamentos livres mínimos entre as barras e aço. 10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1º) Para a viga contínua a Figura 63, amitia com seção transversal constante nos ois vãos, eterminar e A s para o apoio central B, e tal moo que se tenha a mínima altura e armaura simples. Detalhar a seção transversal e calcular as eformações máximas no concreto e no aço. Para a seção sob o máximo momento fletor característico positivo e 5.750 kn.cm imensionar a armaura e flexão, consierano a altura útil eterminaa anteriormente.

74 Calcule as eformações nos materiais. Verifique e analise os omínios e eformações para essa seção e para a seção o apoio B. Daos: b w = 14 cm γ c = γ f = 1,4 φ t = 5 mm C5 γ s = 1,15 brita 1 CA-50 c =,5 cm 35 KN/m A B C 300 400 M máx = 7.000 kn.cm - M k + M máx = 1.50 M = 5.70 máx + ( KN.cm) Figura 63 - Esquema estático e iagrama e momentos fletores. º) Conhecio o momento fletor característico M k = -.400 kn.cm, calcular e etalhar a armaura longituinal e flexão para uma viga balrame com largura b w = 15 cm e altura h = 30 cm. São aos: γ c = γ f = 1,4 C0 CA-50 γ s = 1,15 c =? φ t = 5 mm brita 1 Nota: estuar como é eterminao o valor o cobrimento nominal. Aotar um valor para a resolução o exercício. 3º) Dimensionar a viga o Exercício consierano que o momento fletor característico seja negativo e valor 3.100 kn.cm. 4º) Dao o momento fletor M k = 5.000 kn.cm e a seção transversal (b w = 15 cm ; h = 40 cm), calcular e etalhar a armaura longituinal. Daos: γ c = γ f = 1,4 c = 3,0 cm γ s = 1,15 φ t = 5 mm C5 brita 1 CA-50 5º) Dimensionar a viga o Exercício 4 consierano que o momento fletor característico seja 8.500 kn.cm. 6º) Calcular e A s como viga com armaura simples, conforme as uas situações seguintes: a) altura mínima; b) fixao ε s = 10 e menor altura possível. Detalhar a seção transversal, posicionano a linha neutra. Compare os resultaos obtios. Daos:

75 b w = 50 cm γ c = γ f = 1,4 φ t = 8 mm M k = 49.000 kn.cm γ s = 1,15 brita 1 C30 c =,5 cm CA-50 Não é seção e apoio nem há ligação com outros elementos estruturais. 7º) Para a viga a Figura 64 já executaa, calcular o máximo momento fletor amissível. São conhecios: b w = 1 cm = 36 cm h = 40 cm γ c = γ f = 1,4 γ s = 1,15 Ø 1,5 CA-50 40 C0 A s = φ 1,5 mm 1 Figura 64 - Viga executaa. 8º) Dimensionar e etalhar a armaura longituinal e flexão para a seção transversal a viga mostraa na Figura 65, seno aos: M k = 10.000 kn.cm C30 CA-50 γ c = γ f = 1,4 γ s = 1,15 φ t = 6,3 mm brita 1 c =,5 cm 7 43 10 50 0 Figura 65 - Dimensões (cm) a seção T. 9º) Dimensionar a armaura longituinal a viga a Figura 66 e calcular as eformações no concreto e no aço. São aos: M k = 9.000 kn.cm C35 CA-50 φ t = 5 mm brita 1 c =,5 cm γ c = γ f = 1,4 γ s = 1,15 100 8 40 1 Figura 66 Dimensões (cm) a seção T.

76 10º) Dimensionar a armaura longituinal a viga a Figura 67 e calcular as eformações no concreto e no aço. São aos: M k = 9.000 kn.cm 40 C5 CA-50 7 φ t = 5 mm brita 1 40 c =,5 cm γ c = γ f = 1,4 γ s = 1,15 1 Figura 67 Dimensões (cm) a seção T. 11º) Dimensionar e etalhar a armaura e flexão as nervuras a laje nervuraa inicaa na Figura 68, conheceno o momento fletor por nervura e M k = 4.500 kn.cm. 5 30 1 46 1 Figura 68- Dimensões (cm) a laje nervuraa. Daos: CA-50 brita 1 C35 γ c = γ f = 1,4 γ s = 1,15 c =,0 cm vão a as nervuras: 7,5 m 1º) Dimensionar e etalhar a armaura longituinal a viga mostraa na Figura 69. Daos: M k = - 65.000 kn.cm C5 CA-50 φ t = 10 mm brita 1 c =,5 cm γ c = 1,4 γ f = 1,4 γ s = 1,15 15 50 15 45 5 80 90 Figura 69 - Seção transversal.

77 13º) Calcular os esforços solicitantes máximos e imensionar e etalhar as armauras e flexão as vigas a estrutura mostraa na Figura 70. 30 30 30 A P1 0/30 V100 (0x50),0 KN/m,0 KN/m,0 KN/m P 0/30 A 500 3, KN/m h = 8 cm 6,1 KN/m 6,1 KN/m h = 8 cm 6,1 KN/m 6,1 KN/m h = 8 cm 3, KN/m V10 (0x40),0 KN/m V101 (0x50) V103 (1x40) V104 (1x40),0 KN/m,0 KN/m V105 (0x40) P3 0/30 P4 0/30 Figura 70 Planta e fôrma o pavimento (meias em cm). Daos: C5 CA-50 γ c = γ f = 1,4 γ s = 1,15 φ t = 6,3 mm para as vigas V100 e V101 c =,5 cm φ t = 5 mm para as vigas V10 a V105 brita 1 γ paree = 3,0 kn/m para paree com espessura final e 3 cm γ concr. = 5 kn/m 3 γ ivis. = 0,5 kn/m Supor parees sem aberturas e 3 cm e espessura final e altura e 3,0 m, e tijolo baiano (bloco cerâmico e oito furos), sobre as vigas V100, V101, V10 e V105. Sobre as vigas V103 e V104 supor ivisórias sem aberturas, com altura e,0 m. Consierar, quano possível, a contribuição as lajes maciças no imensionamento as vigas. 14º) Daa a planta e fôrma a Figura 71, imensionar e etalhar as armauras longituinais para as seções mais solicitaas as vigas.

78 P1 0/50 V100 (0x50) B P 0/50 5,0 KN/m A V10 (0x50) 3, KN/m V101 (1x50) h = 9 cm 5,0 KN/m 3, KN/m V103 (0x50) A 300 630 B PLANTA DE FÔRMA V100 0 590 0 CORTE A V10 CORTE B 96 50 Figura 71 - Planta e fôrma e cortes. Daos: C0 CA-50 γ c = γ f = 1,4 γ s = 1,15 φ t = 5 mm para toas as vigas brita 1 γ concr. = 5 kn/m 3 c = 3,0 cm γ paree = 13 kn/m 3 para tijolos cerâmicos furaos Supor a existência e uma paree (sem abertura), e tijolo ou bloco cerâmico e oito furos (baiano), com 3 cm e espessura final e altura e,8 m, sobre a viga V100. Além e outras cargas, as vigas V101, V10 e V103 evem ser calculaas com uma carga e parapeito e,0 kn/m, ao longo os seus comprimentos. Consierar, quano possível, a contribuição as lajes maciças no imensionamento as vigas. 15º) Daa a planta e fôrma a Figura 7, imensionar e etalhar as armauras e flexão as seções mais solicitaas as vigas. Daos gerais: C30 CA-50 φ t = 5 mm brita 1 c = 3,0 cm γ c = γ f = 1,4

79 γ s = 1,15 γ concr. = 5 kn/m 3 γ paree = 18 kn/m 3 para tijolos cerâmicos maciços Supor a existência e parees sem aberturas, e tijolo maciço, com 5 cm e espessura final e altura e,8 m, ao longo o comprimento total as vigas V10, V103 e V104 e ao longo o primeiro tramo as vigas V100 e V101. As vigas a marquise evem ser calculaas com uma carga e parapeito e,0 kn/m, ao longo os seus comprimentos. Consierar, quano possível, a contribuição as lajes maciças no imensionamento as vigas. 500 150 V100 (0 x ) P 0/0 300 P1 0/0 5,0 KN/m L 1 h = 8 cm 1,0 KN/m 5,0 KN/m 4,0 KN/m,0 KN/m L h = 8 cm V105 (0 x ) V101 (0 x ) 1,5 KN/m,0 KN/m 1,5 KN/m 300 V103 (0 x ) 5,0 KN/m L 3 h = 8 cm V10 (0 x ) 1,0 KN/m 5,0 KN/m V104 (0 x ) P3 0/0 P4 0/0 Figura 7 - Planta e fôrma o pavimento. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e estruturas e concreto Proceimento, NBR 6118. Rio e Janeiro, ABNT, 003, 170p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução e estruturas e concreto armao, NBR 6118. Rio e Janeiro, ABNT, 1980, 76p. BASTOS, P.S.S. Funamentos o concreto armao. Notas e aula, Disciplina 188 Estruturas e Concreto I. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculae e Engenharia - Universiae Estaual Paulista - UNESP, agosto/004, 60p. (www.feb.unesp.br/~pbastos).

80 LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções e concreto Princípios básicos o imensionamento e estruturas e concreto armao, v. 1. Rio e Janeiro, E. Interciência, 198, 305p. RÜSCH, H. Concreto armao e protenio Proprieaes os materiais e imensionamento. Rio e Janeiro, E. Campus, 1981, 396p. SANTOS, L.M. Cálculo e Concreto Armao, v.l, São Paulo, E. LMS, 1983, 541p. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Builing coe requirements for structural concrete, ACI 318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Moel Coe 1990: final raft. Bulletim D Information, n.03, 04 e 05, jul., 1991. EUROPEAN COMMITTEE STANDARDIZATION. Eurocoe Design of concrete structures. Part 1: General rules an rules for builings. Lonon, BSI, 199. FUSCO, P.B. Técnica e armar as estruturas e concreto. São Paulo, E. Pini, 000, 38p. FUSCO, P.B. Estruturas e concreto - Solicitações normais. Rio e Janeiro, e. Guanabara Dois, 1981, 464p. MACGREGOR, J.G. Reinforce concrete Mechanics an esign. 3a e., Upper Sale River, E. Prentice Hall, 1997, 939p. NAWY, E.G. Reinforce concrete A funamental approach. Englewoo Cliffs, E. Prentice Hall, 1985, 701p. PFEIL, W. Concreto armao, v. 1//3, 5 a e., Rio e Janeiro, E. Livros Técnicos e Científicos, 1989. SÜSSEKIND, J.C. Curso e concreto, v. 1 e, 4 a e., Porto Alegre, E. Globo, 1985.

81 TABELAS ANEXAS Tabela A-1 Valores e K c e K s para o aço CA-50; Tabela A- Valores e K c e K s para os aços CA-5, CA-50 e CA-60; Tabela A-3 Área e massa linear e fios e barras e aço; Tabela A-4 Área e aço e largura b w mínima; Tabela A-5 Tensão e eformação na armaura para iferentes relações / para a linha neutra em x 3lim ; Tabela A-6 Deformação e coeficiente K s para iferentes relações / para a linha neutra em x 3lim ; Tabela A-7 Tensão e eformação na armaura para iferentes relações / para a linha neutra em 0,5; Tabela A-8 Deformação e coeficiente K s para iferentes relações / para a linha neutra em 0,5; Tabela A-9 Tensão e eformação na armaura para iferentes relações / para a linha neutra em 0,4; Tabela A-10 Deformação e coeficiente K s para iferentes relações / para a linha neutra em 0,4;

8 Tabela A-1 Valores e K c e K s para o aço CA-50. FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES β x K c (cm /kn) K s (cm /kn) x = Dom. C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50 0,01 137,8 103,4 8,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,03 0,0 69, 51,9 41,5 34,6 9,6 5,9 3,1 0,8 0,03 0,03 46,3 34,7 7,8 3, 19,8 17,4 15,4 13,9 0,03 0,04 34,9 6, 0,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,03 0,05 8,0 1,0 16,8 14,0 1,0 10,5 9,3 8,4 0,03 0,06 3,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,04 0,07 0, 15,1 1,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,04 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,04 0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,04 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,04 0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,04 0,1 1,0 9,0 7, 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,04 0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4, 3,7 3,3 0,04 0,14 10,4 7,8 6, 5, 4,5 3,9 3,5 3,1 0,04 0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4, 3,7 3,,9 0,04 0,16 9, 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1,7 0,05 0,17 8,7 6,5 5, 4,3 3,7 3,,9,6 0,05 0,18 8, 6, 4,9 4,1 3,5 3,1,7,5 0,05 0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4,9,6,3 0,05 0,0 7,5 5,6 4,5 3,7 3,,8,5, 0,05 0,1 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1,7,4,1 0,05 0, 6,8 5,1 4,1 3,4,9,6,3,1 0,05 0,3 6,6 4,9 3,9 3,3,8,5,,0 0,05 0,4 6,3 4,7 3,8 3,,7,4,1 1,9 0,05 0,5 6,1 4,6 3,7 3,1,6,3,0 1,8 0,06 0,6 5,9 4,4 3,5,9,5,,0 1,8 0,06 0,7 5,7 4,3 3,4,8,4,1 1,9 1,7 0,06 0,8 5,5 4,1 3,3,8,4,1 1,8 1,7 0,06 0,9 5,4 4,0 3,,7,3,0 1,8 1,6 0,06 0,30 5, 3,9 3,1,6, 1,9 1,7 1,6 0,06 0,31 5,1 3,8 3,0,5, 1,9 1,7 1,5 0,06 0,3 4,9 3,7 3,0,5,1 1,8 1,6 1,5 0,06 0,33 4,8 3,6,9,4,1 1,8 1,6 1,4 0,06 0,34 4,7 3,5,8,3,0 1,8 1,6 1,4 0,07 0,35 4,6 3,4,7,3,0 1,7 1,5 1,4 0,07 0,36 4,5 3,3,7, 1,9 1,7 1,5 1,3 0,07 0,37 4,4 3,3,6, 1,9 1,6 1,5 1,3 0,07 0,38 4,3 3,,6,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,07 0,40 4,1 3,1,5,0 1,8 1,5 1,4 1, 0,07 0,4 3,9,9,4,0 1,7 1,5 1,3 1, 0,08 0,44 3,8,8,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,08 0,45 3,7,8, 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,08 0,46 3,7,7, 1,8 1,6 1,4 1, 1,1 0,08 0,48 3,5,7,1 1,8 1,5 1,3 1, 1,1 0,08 0,50 3,4,6,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,09 0,5 3,3,5,0 1,7 1,4 1, 1,1 1,0 0,09 0,54 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 1,0 0,09 0,56 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,9 0,030 0,58 3,1,3 1,8 1,5 1,3 1, 1,0 0,9 0,030 0,60 3,0,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 0,6,9, 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 0,63,9, 1,7 1,5 1, 1,1 1,0 0,9 0,031 3

83 x β x = Tabela A- Valores e K c e K s para os aços CA-5, CA-50 e CA-60. FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES K c (cm /kn) K s (cm /kn) C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 CA-5 CA-50 CA-60 Dom. 0,01 137,8 103,4 8,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,046 0,03 0,019 0,0 69, 51,9 41,5 34,6 9,6 5,9 3,1 0,8 0,046 0,03 0,019 0,03 46,3 34,7 7,8 3, 19,8 17,4 15,4 13,9 0,047 0,03 0,019 0,04 34,9 6, 0,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,03 0,019 0,05 8,0 1,0 16,8 14,0 1,0 10,5 9,3 8,4 0,047 0,03 0,00 0,06 3,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,047 0,04 0,00 0,07 0, 15,1 1,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,047 0,04 0,00 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,04 0,00 0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,048 0,04 0,00 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,04 0,00 0,1 1,0 9,0 7, 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,04 0,00 0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4, 3,7 3,3 0,049 0,04 0,00 0,14 10,4 7,8 6, 5, 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,04 0,00 0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4, 3,7 3,,9 0,049 0,04 0,00 0,16 9, 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1,7 0,049 0,05 0,00 0,17 8,7 6,5 5, 4,3 3,7 3,,9,6 0,049 0,05 0,01 0,18 8, 6, 4,9 4,1 3,5 3,1,7,5 0,050 0,05 0,01 0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4,9,6,3 0,050 0,05 0,01 0,0 7,5 5,6 4,5 3,7 3,,8,5, 0,050 0,05 0,01 0,1 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1,7,4,1 0,050 0,05 0,01 0, 6,8 5,1 4,1 3,4,9,6,3,1 0,050 0,05 0,01 0,3 6,6 4,9 3,9 3,3,8,5,,0 0,051 0,05 0,01 0,4 6,3 4,7 3,8 3,,7,4,1 1,9 0,051 0,05 0,01 0,5 6,1 4,6 3,7 3,1,6,3,0 1,8 0,051 0,06 0,01 0,6 5,9 4,4 3,5,9,5,,0 1,8 0,051 0,06 0,01 0,7 5,7 4,3 3,4,8,4,1 1,9 1,7 0,05 0,06 0,01 0,8 5,5 4,1 3,3,8,4,1 1,8 1,7 0,05 0,06 0,0 0,9 5,4 4,0 3,,7,3,0 1,8 1,6 0,05 0,06 0,0 0,30 5, 3,9 3,1,6, 1,9 1,7 1,6 0,05 0,06 0,0 0,31 5,1 3,8 3,0,5, 1,9 1,7 1,5 0,053 0,06 0,0 0,3 4,9 3,7 3,0,5,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,06 0,0 0,33 4,8 3,6,9,4,1 1,8 1,6 1,4 0,053 0,06 0,0 0,34 4,7 3,5,8,3,0 1,8 1,6 1,4 0,053 0,07 0,0 0,35 4,6 3,4,7,3,0 1,7 1,5 1,4 0,053 0,07 0,0 0,36 4,5 3,3,7, 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,07 0,0 0,37 4,4 3,3,6, 1,9 1,6 1,5 1,3 0,054 0,07 0,0 0,38 4,3 3,,6,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,07 0,03 0,40 4,1 3,1,5,0 1,8 1,5 1,4 1, 0,055 0,07 0,03 0,4 3,9,9,4,0 1,7 1,5 1,3 1, 0,055 0,08 0,03 0,44 3,8,8,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,08 0,03 0,45 3,7,8, 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,056 0,08 0,03 0,46 3,7,7, 1,8 1,6 1,4 1, 1,1 0,056 0,08 0,03 0,48 3,5,7,1 1,8 1,5 1,3 1, 1,1 0,057 0,08 0,04 0,50 3,4,6,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,058 0,09 0,04 0,5 3,3,5,0 1,7 1,4 1, 1,1 1,0 0,058 0,09 0,04 0,54 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 1,0 0,059 0,09 0,04 0,56 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,9 0,059 0,030 0,05 0,58 3,1,3 1,8 1,5 1,3 1, 1,0 0,9 0,060 0,030 0,05 0,59 3,0,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,060 0,030 0,05 060 30 3 18 15 13 11 10 09 0 061 0 030 0 05 0,6,9, 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,05 0,63,9, 1,7 1,5 1, 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,06 0,64,9, 1,7 1,4 1, 1,1 1,0 0,9 0,06 0,031 0,06 0,66,8,1 1,7 1,4 1, 1,1 0,9 0,8 0,063 0,031 0,06 0,70,7,0 1,6 1,4 1, 1,0 0,9 0,8 0,064 0,03 0,07 0,74,6,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,065 0,033 0,07 0,77,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,066 0,033 0,08 3 4

84 Tabela A-3 Área e massa linear e fios e barras e aço (NBR 7480/96). Diâmetro (mm) Massa Área Perímetro Fios Barras (kg/m) (mm ) (mm),4-0,036 4,5 7,5 3,4-0,071 9,1 10,7 3,8-0,089 11,3 11,9 4, - 0,109 13,9 13, 4,6-0,130 16,6 14,5 5 5 0,154 19,6 17,5 5,5-0,187 3,8 17,3 6-0, 8,3 18,8-6,3 0,45 31, 19,8 6,4-0,53 3, 0,1 7-0,30 38,5,0 8 8 0,395 50,3 5,1 9,5-0,558 70,9 9,8 10 10 0,617 78,5 31,4-1,5 0,963 1,7 39,3-16 1,578 01,1 50,3-0,466 314, 6,8 -,984 380,1 69,1-5 3,853 490,9 78,5-3 6,313 804, 100,5-40 9,865 156,6 15,7

85 Tabela A-4 Área e aço e largura b w mínima. Diâm. A s (cm ) Número e barras (mm) b w (cm) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 As 0,14 0,8 0,4 0,56 0,70 0,84 0,98 1,1 1,6 1,40 4, Br. 1-8 11 14 16 19 5 7 30 b w Br. - 9 13 16 19 3 6 30 33 36 As 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00 1,0 1,40 1,60 1,80,00 5 Br. 1-9 11 14 17 0 5 8 31 b w Br. - 9 13 16 0 3 7 30 34 37 As 0,31 0,6 0,93 1,4 1,55 1,86,17,48,79 3,10 6,3 Br. 1-9 1 15 18 0 3 6 9 3 b w Br. - 10 13 17 0 4 8 31 35 39 As 0,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 8 Br. 1-9 1 15 18 1 5 8 31 34 b w Br. - 10 14 17 1 5 9 33 36 40 As 0,80 1,60,40 3,0 4,00 4,80 5,60 6,40 7,0 8,00 10 Br. 1-10 13 16 19 3 6 9 33 36 b w Br. - 10 14 18 6 30 34 38 4 As 1,5,50 3,75 5,00 6,5 7,50 8,75 10,00 11,5 1,50 1,5 Br. 1-10 14 17 1 4 8 31 35 38 b w Br. - 11 15 19 4 8 3 36 41 45 As,00 4,00 6,00 8,00 10,00 1,00 14,00 16,00 18,00 0,00 16 Br. 1-11 15 19 6 30 34 38 4 b w Br. - 11 16 1 5 30 34 39 44 48 As 3,15 6,30 9,45 1,60 15,75 18,90,05 5,0 8,35 31,50 0 Br. 1-1 16 0 4 9 33 37 4 46 b w Br. - 1 17 7 3 37 4 47 5 As 3,80 7,60 11,40 15,0 19,00,80 6,60 30,40 34,0 38,00 Br. 1-1 16 1 5 30 34 39 43 48 b w Br. - 13 18 3 8 33 39 44 49 54 As 4,90 9,80 14,70 19,60 4,50 9,40 34,30 39,0 44,10 49,00 5 Br. 1-13 18 3 8 33 38 43 48 53 b w Br. - 13 19 4 30 35 41 46 5 57 As 8,05 16,10 4,15 3,0 40,5 48,30 56,35 64,40 7,45 80,50 3 Br. 1-15 1 8 34 40 47 53 60 66 b w Br. - 15 1 8 34 40 47 53 60 66 As 1,60 5,0 37,80 50,40 63,00 75,60 88,0 100,80 113,40 16,00 40 Br. 1-17 5 33 41 49 57 65 73 81 b w Br. - 17 5 33 41 49 57 65 73 81 largura b w mínima: b w,mín = (c + φ t ) + n o barras. φ l + e h.mín (n o barras 1) Øt c Br. 1 = brita 1 ( máx = 19 mm) ; Br. = brita ( máx = 5 mm) Valores aotaos: φ t = 6,3 mm ; c nom =,0 cm e h,mín Para c nom,0 cm, aumentar b w,mín conforme: l c nom =,5 cm + 1,0 cm cm c nom = 3,0 cm +,0 cm c nom = 3,5 cm + 3,0 cm eh,mín φl c nom = 4,0 cm + 4,0 cm b 1, w,mín máx,agr

86 Tabela A-5 Tensão e eformação na armaura comprimia para iferentes relações / para a linha neutra em x 3lim. '/ Deformação ε s ( ) Tensão (MPa) CA-5 CA-50 CA-60 CA-5 CA-50 CA-60 0,05 3,7 3, 3,0 51,7 0,10 3,05,94,90 51,7 0,15,8,66,60 435,0 51,7 17,4 0,0,59,39,30 484,5 0,5,37,11,00 41,6 0,30,14 1,83 1,70 384, 358,6 Tabela A-6 Deformação e coeficiente K s para iferentes relações / para a linha neutra em x 3lim. '/ Deformação ε s ( ) K s =1/σ s (1/kN/cm ) CA-5 CA-50 CA-60 CA-5 CA-50 CA-60 0,05 3,7 3, 3,0 0,019 0,10 3,05,94,90 0,019 0,15,8,66,60 0,03 0,019 0,046 0,0,59,39,30 0,01 0,5,37,11,00 0,04 0,30,14 1,83 1,70 0,06 0,08 x 3lim ' ε c = 3,5 ε' s ε s h ε = s ε y

87 Tabela A-7 Tensão e eformação na armaura comprimia para iferentes relações / para a linha neutra em 0,5. '/ Deformação ε s ( ) Tensão (MPa) CA-5 CA-50 CA-60 CA-5 CA-50 CA-60 0,05 3,15 3,15 3,15 51,7 0,10,80,80,80 51,7 435,0 0,15,45,45,45 515,4 17,4 0,0,10,10,10 441,8 0,5 1,75 1,75 1,75 367,6 368, 0,30 1,40 1,40 1,40 94,1 94,5 Tabela A-8 Deformação e coeficiente K s para iferentes relações / para a linha neutra em 0,5. '/ Deformação ε s ( ) K s =1/σ s (1/kN/cm ) CA-5 CA-50 CA-60 CA-5 CA-50 CA-60 0,05 3,15 3,15 3,15 0,019 0,10,80,80,80 0,019 0,03 0,15,45,45,45 0,019 0,046 0,0,10,10,10 0,03 0,5 1,75 1,75 1,75 0,07 0,07 0,30 1,40 1,40 1,40 0,034 0,034 ' x = 0,5 ε c = 3,5 ε ' s 3,5 ε s 3,5

88 Tabela A-9 Tensão e eformação na armaura comprimia para iferentes relações / para a linha neutra em 0,4. '/ Deformação ε s ( ) Tensão (MPa) CA-5 CA-50 CA-60 CA-5 CA-50 CA-60 0,05 3,06 3,06 3,06 51,7 0,10,63,63,63 435,0 51,7 0,15,19,19,19 17,4 460, 0,0 1,75 1,75 1,75 367,6 368, 0,5 1,31 1,31 1,31 75,7 76,1 0,30 0,87 0,87 0,87 183,8 183,8 184,1 Tabela A-10 Deformação e coeficiente K s para iferentes relações / para a linha neutra em 0,4. '/ Deformação ε s ( ) K s =1/σ s (1/kN/cm ) CA-5 CA-50 CA-60 CA-5 CA-50 CA-60 0,05 3,06 3,06 3,06 0,019 0,10,63,63,63 0,03 0,019 0,15,19,19,19 0,046 0,0 0,0 1,75 1,75 1,75 0,07 0,07 0,5 1,31 1,31 1,31 0,036 0,036 0,30 0,87 0,87 0,87 0,054 0,054 0,054 ε c = 3,5 ' 5,5 x = 0,4 ε' s ε s = 5,5