TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil Disciplina: 33 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II Notas de Aula TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos) Bauru Julho/015

2 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 33 Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus de Bauru/SP. O texto apresenta as prescrições contidas na nova NBR 6118/014 ( Projeto de estruturas de concreto Procedimento ) para o projeto e dimensionamento de vigas de Concreto Armado submetidas à torção. Inicialmente são apresentadas diversas informações teóricas, como os casos e os valores mais comuns do momento de torção, a torção de equilíbrio e de compatibilidade, noções da torção simples, comportamento das vigas de Concreto Armado sob torção, analogia e formulação para a treliça espacial generalizada, formas de ruptura por torção, etc. Por último são apresentados três exemplos numéricos de aplicação. Os exemplos são completos e abrangem todos os cálculos necessários para o projeto de uma viga, como o dimensionamento à flexão e à força cortante, a ancoragem nos apoios e a disposição da armadura longitudinal com o cobrimento do diagrama de momentos fletores. Agradecimento a Éderson dos Santos Martins pela confecção de desenhos. Críticas e sugestões serão muito bem-vindas.

3 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO CASOS MAIS COMUNS CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT) TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À TORÇÃO SIMPLES ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO Ruptura por Tração Ruptura por Compressão Ruptura dos Cantos Ruptura da Ancoragem TORÇÃO SIMPLES - DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA Diagonais de Compressão Armadura longitudinal Estribos DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES À TORÇÃO UNIFORME NO ESTADO- LIMITE ÚLTIMO (ELU) SEGUNDO A NBR Geometria da Seção Resistente Torção de Compatibilidade Torção de Equilíbrio Armadura Mínima Solicitações Combinadas Flexão e Torção Torção e Força Cortante Fissuração Inclinada da Alma Disposições Construtivas Estribos Armadura Longitudinal MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO Exemplo Exemplo Exemplo QUESTIONÁRIO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ANEXO A - TABELAS ANEXO B - LISTAGENS DE RESULTADOS DOS PROGRAMAS GPLAN4 E PPLAN

4 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 1 1. INTRODUÇÃO Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo é denominado momento de torção, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção ocorre em eixos de transmissão. A torção simples, torção uniforme ou torção pura (não atuação simultânea com M e V), excetuando os eixos de transmissão, ocorre raramente na prática. Geralmente a torção ocorre combinada com momento fletor e força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados apenas pelo peso próprio do elemento estrutural. De modo aproximado, os princípios de dimensionamento para a torção simples são aplicados às vigas com atuação simultânea de momento fletor e força cortante (LEONHARDT e MÖNNIG, 198). Nas estruturas de concreto, a ligação monolítica entre as vigas e as lajes e entre vigas apoiadas em outras vigas, dá origem a momentos de torção, que, de modo geral, podem ser desprezados por não serem essenciais ao equilíbrio. Entretanto, no caso da chamada torção de equilíbrio, como se verá adiante, a consideração dos momentos torçores é imprescindível para garantir o equilíbrio do elemento estrutural. Desde o início do século passado numerosos estudos experimentais foram realizados em vigas de Concreto Armado sob solicitação de torção simples. Os resultados dos estudos justificaram o dimensionamento simplificado à torção, considerando-se as vigas com seção vazada (oca) e de parede fina, segundo as equações clássicas da Resistência dos Materiais, formuladas por BREDT. Assim como feito no dimensionamento de vigas à força cortante, na torção será feita também a analogia com uma treliça, porém espacial. A Treliça Generalizada, com ângulo variável de inclinação das diagonais comprimidas, é o modelo atualmente mais aceito internacionalmente. Como no dimensionamento para outros tipos de solicitação, as tensões de compressão serão absorvidas pelo concreto e as tensões de tração pelo aço, na forma de duas diferentes armaduras, uma longitudinal e outra transversal (estribos). A análise da torção em perfis abertos de paredes finas, com aplicação da torção de Vlassov ou Flexo- Torção, não será aqui apresentada por não fazer parte do programa da disciplina na graduação.. CASOS MAIS COMUNS Um caso comum de torção em vigas de Concreto Armado ocorre quando existe uma distância entre a linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado na Figura 1 e na Figura. Na Figura 1, a viga AB, estando obrigatoriamente engastada na extremidade B da viga BC, aplica nesta um momento de torção, que deve ser obrigatoriamente considerado no equilíbrio da viga BC. Na viga mostrada na Figura a torção existirá se as cargas F 1 e F forem diferentes. Essa situação pode ocorrer durante a fase de construção ou mesmo quando atuarem os carregamentos permanentes e variáveis, se estes forem diferentes nas estruturas que se apoiam na viga em forma de T invertido. O caso mais comum de torção ocorre com lajes em balanço, engastadas em vigas de apoio, como por exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de entrada de barracões, lojas, galpões, etc. (Figura 3 e Figura 4). O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes internas à construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de modo que a flexão na laje passa a ser torção na viga. A torção na viga torna-se flexão no pilar, devendo ser considerada no seu dimensionamento. C F 1 F F B A Figura 1 Viga em balanço com carregamento excêntrico. Figura Viga do tipo T invertido para apoio de estrutura de piso ou de cobertura.

5 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado Figura 3 Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço. C B C B B A A Figura 4 Viga contínua sob torção por efeito de laje em balanço. Um outro caso de torção em viga, de certa forma também comum nas construções, ocorre em vigas com mudança de direção, como mostrado na Figura 5. No ponto de mudança de direção um tramo aplica sobre o outro um momento de torção. A torção também ocorre em vigas curvas, com ou sem mudança de direção, como mostrado na Figura 6. Se a torção for necessária ao equilíbrio da viga e não for apropriadamente considerada no seu dimensionamento, intensa fissuração pode se desenvolver, prejudicando a segurança e a estética da construção. Figura 5 Torção em viga devido à mudança de direção.

6 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 3 Figura 6 Vigas curvas e com mudança de direção são solicitação por torção. 3. CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO Apresentam-se na Figura 7 até a Figura 11 os valores dos momentos de torção para alguns casos mais comuns na prática das estruturas, onde m representa o momento torçor externo aplicado, T o momento de torção solicitante e F a força concentrada. m T = - m Figura 7 Momento de torção concentrado aplicado na extremidade de viga em balanço. m m a a T = m T = - m Figura 8 Momento de torção aplicado à distância a das extremidades de viga biengastada.

7 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 4 m T = m T = m Figura 9 Momento de torção uniformemente distribuído em viga biengastada. m / / T = m T = m Figura 10 Momento de torção concentrado aplicado no centro de viga biengastada. m = F. e A B e F a b T = A m b T = m a B Figura 11 Momento de torção concentrado aplicado fora do centro do vão de viga biengastada.

8 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 5 4. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE A torção nas estruturas de concreto pode ser dividida em duas categorias: torção de equilíbrio e torção de compatibilidade. Na torção de equilíbrio, o momento de torção deve ser obrigatoriamente considerado, pois ele é necessário para o equilíbrio da estrutura. As estruturas mostradas na Figura 1 até a Figura 6 encontram-se solicitadas por torção de equilíbrio, devendo ser obrigatoriamente considerada. A torção de compatibilidade ocorre comumente nos sistemas estruturais, como por exemplo aquele mostrado na Figura 1, com uma laje engastada na viga de borda. A laje, ao tentar girar, aplica um momento de torção (m T) na viga, que tende a girar também, sendo impedida pela rigidez à flexão dos pilares. Surgem então momentos torçores solicitantes na viga e momentos fletores nos pilares. Quando a rigidez da viga à torção é pequena comparada à sua rigidez à flexão, a viga fissura e gira, permitindo o giro da laje também. Ocorre então uma compatibilização entre as deformações na viga e na laje, e como consequência os momentos torçores na viga diminuem bastante, podendo ser desprezados. m (Viga de borda) T m (Laje) m (Laje) E (Laje) Momento de dimensionamento da laje T (Viga de bordo) m = m T E (Laje) Mf (Pilar) T M f Figura 1 Torção de compatibilidade de laje com a viga de apoio. (LEONHARDT e MÖNNIG, 198). Um outro exemplo de torção de compatibilidade é aquele mostrado na Figura 13 e Figura 14. Como se observa na Figura 14, a viga AB apoia-se nas vigas CD e EF.

9 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 6 Figura 13 Esquema das vigas com os pilares. A Figura 15 mostra o caso das vigas de apoio CD e EF com rigidez à torção elevada. Neste caso não existe total liberdade de rotação para a viga AB nas suas extremidades, o que faz surgir os momentos de engastamento M A e M B, que, por outro lado, passam a ser momentos torçores concentrados e aplicados em A e B. Figura 14 Esquema estrutural (SÜSSEKIND, 1985).

10 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 7 Figura 15 Caso das vigas de apoio com elevada rigidez à torção. A intensidade dos momentos fletores e torçores depende das rigidezes relativas das vigas, ou seja, da rigidez à torção das vigas CD e EF e da rigidez à flexão da viga AB. Se a rigidez à torção das vigas CD e EF for zero, a viga AB fica livre para girar em A e B, levando a zero os momentos fletores M A e M B, e consequentemente também os momentos torçores (Figura 16). Nesta análise percebe-se que a torção é consequência da compatibilidade de deformações das vigas, daí a chamada torção de compatibilidade. Neste caso há o equilíbrio, embora sem se considerar a ligação monolítica da viga AB com as vigas CD e EF. Por outro lado, sob o efeito do momento de torção a viga irá fissurar, o que acarreta uma significativa diminuição na rigidez da viga à torção. Desse modo, as vigas CD e EF, ao fissurarem por efeito da torção proveniente da viga AB, têm sua rigidez à torção diminuída, diminuindo por consequência os momentos M A e T, o que leva ao aumento do momento fletor positivo da viga AB.

11 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 8 Figura 16 Caso de pequena rigidez à torção. Pode-se assim resumir que, a torção nas vigas deve ser considerada quando for necessária para o equilíbrio (torção de equilíbrio), e pode ser desconsiderada quando for de compatibilidade. Considerando-se o pavimento de um edifício constituído por lajes e vigas, além da torção de compatibilidade existente entre as vigas, a ligação monolítica entre as lajes e as vigas, como mostrado na Figura 1, também ocasiona o surgimento de momentos de torção nas vigas, de compatibilidade, não imprescindível ao equilíbrio do sistema, podendo assim serem desprezados também. Somado a isso, por imposição da arquitetura a largura das vigas varia normalmente de 1 a 0 cm, e para as alturas correntes das vigas (comumente até 60 cm), a rigidez à torção não é significativa, o que leva a valores baixos para a torção de compatibilidade, justificando a sua desconsideração. Outra análise que se faz é que, se as vigas CD e EF forem livres para girar nas extremidades, o momento de torção T será zero, ou seja, não existirá o momento de torção. Ou, por outro lado, e o que é mais comum na prática das estruturas, devido à ligação monolítica das vigas CD e EF com os pilares de apoio, se as vigas não podem girar e a rigidez à torção das vigas CD e EF é muito maior que a rigidez à flexão da viga AB, o momento fletor M A se aproxima do momento fletor de engastamento. Portanto, os momentos T e M A resultam do giro da viga AB em A e B, que deve ser compatível com o ângulo de torção das vigas CD e EF em A e B. 5. TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT) Numa barra de seção circular, como a indicada na Figura 17, submetida a momento de torção, com empenamento permitido (torção livre), surgem tensões principais inclinadas de 45 e 135 com o eixo longitudinal da barra. As trajetórias das tensões principais desenvolvem-se segundo uma curvatura helicoidal, em torno da barra. A trajetória das tensões principais de tração ocorre na direção da rotação e a compressão na direção contrária, ao longo de todo o perímetro da seção.

12 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 9 Figura 17 Trajetórias das tensões principais na seção circular. Se considerado um estado de tensão segundo a direção dos eixos longitudinal e transversal da seção, o momento de torção provoca o surgimento de tensões de cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais, simultaneamente, como mostrado na Figura 18, Figura 19 e Figura 0. T Figura 18 Tensões de cisalhamento numa barra de seção circular sob torção. a) b) c) Figura 19 Tensões devidas à torção: a) tensões de cisalhamento; b) tensões principais de tração e compressão; c) trajetória helicoidal das fissuras. (MACGREGOR, 1997).

13 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 10 T T 45 II I II I Figura 0 Tensões de cisalhamento e tensões principais na seção circular. A distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais circulares e quadradas ocorre como indicado na Figura 1. A tensão de cisalhamento é máxima nas superfícies externas da seção e zero nos vértices e no eixo que passa pelo centro de gravidade. Figura 1 Variação da tensão de cisalhamento na seção transversal. Por questão de simplicidade, as vigas de Concreto Armado sob momento de torção são dimensionadas como se fossem ocas e de parede fina. Ao desprezar a parte correspondente à área interna da seção o erro cometido não é significativo nem antieconômico, porque a espessura da casca ou parede é determinada de forma que represente uma seção com grande percentual de resistência ao momento de torção. Este procedimento resulta num acréscimo de segurança que não é excessivo, sendo, portanto, pouco antieconômico. 6. TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA T. Considere a seção vazada mostrada na Figura, com espessura t, submetida ao momento de torção

14 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 11 A I X A' T LINHA MÉDIA O x s s x d + ds s t dt + ds s s r A B da ds T -I X t Figura Seção vazada com parede fina (SÁNCHEZ, 001). Do equilíbrio estático da seção tem-se a igualdade da resultante das tensões com o momento de torção T que as originou: T t ds r Eq. 1 O produto. t (fluxo de cisalhamento ou de torção) é constante, e o produto ds. r é o dobro da área do triângulo OAB (d. A e), vindo: T t d A Eq. e torção: Da Eq. surge a tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede fina, devida ao momento de T Eq. 3 t A e com A e sendo a área interna compreendida pelo eixo da parede fina, como indicada na Figura 3. t A e Figura 3 Área A e da seção vazada. 7. COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À TORÇÃO SIMPLES LEONHARDT e MÖNNIG (198) descrevem os resultados de ensaios realizados por MÖRSCH, entre 1904 e 191. Foram estudados cilindros ocos à torção simples, sem armadura, com armadura

15 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 1 longitudinal, com armadura transversal, com ambas as armaduras e com armadura em forma de hélice, como mostrado na Figura 4. Os ensaios confirmaram que nas seções de Concreto Armado as tensões principais de tração e de compressão são inclinadas de 45 e com traçado helicoidal. Após o surgimento das fissuras de torção que se desenvolvem em forma de hélice, apenas uma casca externa e com pequena espessura colabora na resistência da seção à torção. Isso ficou evidenciado em ensaios de seções ocas ou cheias com armaduras idênticas, que apresentaram as mesmas deformações e tensões nas armaduras ,8 10, ,8 10,8 10,8 10, , ,7 Figura 4 Seções estudadas por MÖRSCH (LEONHARDT e MÖNNIG, 198). 40 A Tabela 1 apresenta os resultados experimentais obtidos, para o momento de fissuração (momento de torção correspondente à primeira fissura) e para o momento de torção na ruptura. Tabela 1 Momentos torçores de primeira fissura e de ruptura (kn.cm) de seções ocas ensaiadas por MÖRSCH. Seção Momento Torçor de Momento Torçor Primeira fissura de Ruptura Sem armaduras Com armadura longitudinal Com armadura transversal Com armaduras longitudinal e transversal Com armadura helicoidal 700 > 7000 * * A máquina de ensaio não levou a seção à ruptura Os ensaios demonstraram que: na seção oca sem armadura as fissuras são inclinadas a 45 e em forma de hélice; com somente uma armadura, seja longitudinal ou transversal, o aumento de resistência é muito pequeno e desprezível; com duas armaduras a resistência aumentou e, com armadura helicoidal, segundo a trajetória das tensões principais de tração, o aumento de resistência foi muito efetivo. Os valores contidos na Tabela 1 demonstram as observações. Fissuras inclinadas podem se desenvolver quando a tensão principal de tração alcança a resistência do concreto à tração, levando uma viga não armada à ruptura. Se a viga for armada com barras longitudinais e estribos fechados transversais, a viga pode resistir a um aumento de carga após a fissuração inicial.

16 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES Existem hoje basicamente duas teorias muito diferentes com o intuito de explicar o comportamento de uma viga sob torção. Uma delas é chamada de Flexão Esconsa (skew bending theory), e foi desenvolvida por LESSIG (1959) e atualizada por HSU (1968). A segunda teoria baseia-se na analogia da seção vazada (Teoria de Bredt) com uma treliça espacial, chamada de Treliça Generalizada. A teoria foi inicialmente elaborada por RAUSCH em 199, estando em uso por diversas normas até os dias de hoje. Como apresentado no item anterior os ensaios experimentais realizados mostraram que as seções cheias de concreto podem ser calculadas como seções vazadas de paredes finas. A Figura 5 mostra o modelo de uma seção cheia fissurada, sob torção simples. As tensões de compressão são resistidas pelo concreto da casca e as tensões de tração são resistidas pelo conjunto armadura longitudinal e armadura transversal (estribos). Fissuras R s,e C d C d C d R s C d C d C d R s C d C d C d R s R s,e R s Figura 5 Modelo resistente para a torção simples em viga de concreto fissurada. (LEONHARDT e MÖNNIG, 198). A treliça clássica inicialmente concebida admitia que a viga apresentasse fissuras inclinadas de 45 com o eixo longitudinal (Figura 6). Os banzos paralelos representam a armadura longitudinal, as diagonais comprimidas desenvolvem-se em hélice, com inclinação de 45, representando as bielas de compressão e os montantes verticais e horizontais representam estribos fechados a 90 com o eixo longitudinal da viga.

17 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 14 Esforços solicitantes no corte ll - ll C d /sen 45 C d /cos 45 M C d /sen 45 B C d /cos 45 ll Esforços nas barras do nó B R s estr m a = b a D 45 ll C d 45 R s,e R s R s,e C d 45 b m b m M T Barras tracionadas Diagonais comprimidas Figura 6 Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e transversal. (LEONHARDT e MÖNNIG, 198). 9. TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE A Figura 7 mostra as trajetórias das fissuras numa viga de concreto de seção retangular. As fissuras apresentam-se com trajetórias inclinadas de aproximadamente 45 com o eixo longitudinal da viga. T Figura 7 Trajetórias das fissuras na viga vazada de seção retangular. Quando o valor do momento fletor é elevado comparativamente ao momento de torção, a zona comprimida pelo momento fletor fica isenta de fissuras, como mostrado na Figura 8.

18 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 15 T M V Figura 8 Modelo para vigas com altos momentos fletores (LEONHARDT e MÖNNIG, 198). No caso da força cortante elevada, uma face vertical deverá ficar isenta de fissuras, sendo aquela onde as tensões de cisalhamento da torção e do esforço cortante têm sentidos contrários. Isso fica demonstrado nos modelos de treliça adotados, onde as diagonais comprimidas da treliça para o cortante opõem-se às diagonais tracionadas da treliça espacial da torção. As fissuras nesses casos apresentam-se contínuas, em forma de hélice e em três das quatro faces da viga. Numa face, onde as tensões de compressão superam a de tração, não surgem fissuras (Figura 9). T M V Figura 9 Modelo para vigas com altas forças cortantes (LEONHARDT e MÖNNIG, 198). 10. FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO Após a fissuração, a ruptura de uma viga sob torção pura pode ocorrer de alguns modos: escoamento dos estribos, da armadura longitudinal, ou escoamento de ambas as armaduras. No caso de vigas superarmadas à torção, o concreto comprimido compreendido entre as fissuras inclinadas pode esmagar pelo efeito das tensões principais de compressão, antes do escoamento das armaduras. Outros modos de ruptura podem também ocorrer, estando descritos a seguir Ruptura por Tração A ruptura brusca também pode ocorrer por efeito de torção, após o surgimento das primeiras fissuras. A ruptura brusca pode ser evitada pela colocação de uma armadura mínima, para resistir às tensões de tração por torção. Segundo LEONHARDT e MÖNNIG (198) sendo as armaduras longitudinal e transversal diferentes, a menor armadura determinará o tipo de ruptura. Uma pequena diferença nas armaduras, pode, no entanto, ser compensada por uma redistribuição de esforços. Ao contrário do esforço cortante, onde a inclinação do banzo comprimido pode diminuir a tração na alma da viga, na torção essa diminuição não pode ocorrer, dado que na analogia de treliça espacial não existe banzo comprimido inclinado. 10. Ruptura por Compressão Com armaduras colocadas longitudinalmente e transversalmente pode surgir forte empenamento das faces laterais, ocasionando tensões adicionais ao longo das bielas comprimidas, podendo ocorrer o seu esmagamento (Figura 30).

19 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 16 Compressão Tração C d T c 45 t T R c R s Superfície de dupla curvatura Figura 30 Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão. (LEONHARDT e MÖNNIG, 198) Ruptura dos Cantos A mudança de direção das tensões de compressão nos cantos, como indicado na Figura 31, origina uma força que pode levar ao rompimento dos cantos da viga. Os estribos e as barras longitudinais dos cantos contribuem para evitar essa forma de ruptura. Vigas com tensões de cisalhamento da torção muito elevadas devem ter o espaçamento dos estribos limitados a 10 cm para evitar essa forma de ruptura. Engastamento à torção T R c U R c U R c U R c Rompimento do canto U Estribo R c R c Figura 31 Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas. (LEONHARDT e MÖNNIG, 198) Ruptura da Ancoragem Esta forma de ruptura pode ocorrer por insuficiência da ancoragem do estribo, levando ao seu escorregamento, e pelo deslizamento das barras longitudinais. O cuidado na ancoragem das armaduras pode evitar essa forma de ruptura.

20 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado TORÇÃO SIMPLES - DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA Nas décadas de 60 e 70 a treliça clássica foi generalizada por LAMPERT, THÜRLIMANN e outros, com a admissão de ângulos variáveis () para a inclinação das bielas (Figura 3). O modelo de treliça generalizada é o atualmente adotado pelas principais normas internacionais, como ACI 318/11 e MC-90 do CEB (1990). A NBR também considera o modelo de treliça generalizada para o dimensionamento de vigas de Concreto Armado à torção, em concordância com a treliça plana generalizada concebida para a análise da força cortante. estribo A B barras longitudinais Cd R d Nó A A Rwd Rwd Cd R d bielas comprimidas C cotg D = inclinação da biela Y Z X Plano ABCD Cd sen C d sen T Sd C d sen y cotg cotg cotg y Cd sen Figura 3 Treliça espacial generalizada (LIMA et al., 000) Diagonais de Compressão Considerando-se o plano ABCD da treliça espacial generalizada indicada na Figura 3 e que os esforços internos resistentes devem igualar o esforço solicitante (T Sd), tem-se: TSd Cd sen Eq. 4 A força nas diagonais comprimidas surge da Eq. 4: C d TSd sen Eq. 5 com: C d = força na diagonal comprimida; T Sd = momento de torção de cálculo; = ângulo de inclinação da diagonal comprimida; = distância entre os banzos. 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento. NBR 6118, ABNT, 014, 38p.

21 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 18 A força de compressão C d nas diagonais atua sobre uma seção transversal de área: y. t = cos. t Eq. 6 com: t = espessura da casca ou da parede da seção oca; y = largura de influência da diagonal inclinada da treliça. Assim, substituindo a força C d da Eq. 5 por cd y t = cd cos. t, a tensão de compressão na diagonal ( cd) assume o valor: cd TSd cos. t sen cd T Sd cos. t sen cd T Sd t sen Eq. 7 como A e, determina-se a forma final para a tensão na diagonal de compressão: TSd cd Eq. 8 A t sen e A Eq. 3 pode ser escrita como: T Sd = t A e t. Da Eq. 3 reescrita na Eq. 8 fica: td cd Eq. 9 sen 11. Armadura longitudinal Conforme as forças indicadas no nó A da Figura 3, fazendo o equilíbrio de forças na direção x, temse: 4 d R d 4 C cos Eq. 10 Com R d = resultante em um banzo longitudinal. Como 4 Rd As fywd, substituindo na Eq. 10 fica: As fywd 4 Cd cos Eq. 11 Substituindo a Eq. 5 na Eq. 11 fica: A s f ywd TSd 4 cos sen Isolando a armadura longitudinal: TSd As cot g Eq. 1 f ywd Com o objetivo de evitar fissuração entre os vértices da seção vazada, a armadura deve ser distribuída no perímetro u e = 4, de modo que a taxa de armadura longitudinal por comprimento do eixo médio da seção vazada é:

22 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 19 As u e TSd f u ywd e TSd cot g f 4 ywd cot g ou As TSd cot g Eq. 13 u A f e e ywd As TSd Eq. 14 u A f tg e e ywd com: A s = área total da armadura longitudinal; A e = área interna delimitada pelo eixo da parede fina (ver Figura 3); u e = perímetro do contorno da área A e Estribos Na Figura 3, fazendo o equilíbrio do nó A na direção do eixo Z, tem-se: R wd = C d sen Eq. 15 onde R wd representa a força nos montantes verticais e horizontais da treliça espacial. Substituindo a Eq. 5 na Eq. 15 tem-se: R wd TSd TSd sen Eq. 16 sen Sendo s o espaçamento dos estribos e. cotg o comprimento de influência das barras transversais da treliça que representam os estribos (ver Figura 3), tem-se: R wd cotg As,90 fywd Eq. 17 s Igualando as Eq. 16 e Eq. 17 fica: cot g TSd As,90 fywd s Isolando a armadura transversal relativamente ao espaçamento s dos estribos: A s,90 s TSd cotg f ywd A s,90 s TSd tg A f e ywd Eq. 18 com A s,90 sendo a área de um ramo vertical ou horizontal do estribo vertical.

23 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 0 1. DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES À TORÇÃO UNIFORME NO ESTADO- LIMITE ÚLTIMO (ELU) SEGUNDO A NBR 6118 A NBR 6118 separa o estudo dos elementos lineares sujeitos à torção em Torção Uniforme (item ) e Torção em Perfis Abertos de Parede Fina (17.5.). No texto subsequente será considerado apenas o dimensionamento à torção uniforme. A norma pressupõe um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. As diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo de Esse modelo é o da treliça espacial generalizada, descrito anteriormente. O engenheiro projetista tem a liberdade de escolher o ângulo de inclinação das bielas de compressão, que deve ser igual ao ângulo adotado no dimensionamento da viga à força cortante. 1.1 Geometria da Seção Resistente No caso de seções poligonais convexas cheias (NBR 6118, ), a seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente h e dada por: A h e Eq. 19 u h e c 1 Eq. 0 onde: A = área da seção cheia; u = perímetro da seção cheia; c 1 = distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural. Caso A/u resulte menor que c 1, pode-se adotar h e = A/u b w c 1 e a superfície média da seção celular equivalente A e definida pelos eixos das armaduras do canto (respeitando o cobrimento exigido nos estribos). No item a norma também define como deve ser considerada a seção resistente de Seção Composta de Retângulos e de Seções Vazadas, e no item a Torção em Perfis Abertos de Parede Fina. 1. Torção de Compatibilidade No caso de torção de compatibilidade a NBR 6118 ( ) diz que é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha a capacidade adequada de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados. Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito à torção seja menor ou igual a h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, deve-se respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que: V Sd 0,7 V Rd Eq. 1 onde V Sd é a força cortante atuante no elemento e V Rd é a máxima força cortante admitida pela diagonal de compressão. 1.3 Torção de Equilíbrio Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais periféricos normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente [...] (NBR 6118, ). Admite-se satisfeita a resistência de um elemento estrutural à torção pura quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições ( ):

24 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 1 T Sd T Rd, T Sd T Rd,3 T Sd T Rd,4 onde: (T Rd, = limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto); (T Rd,3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural); (T Rd,4 = limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural). A resistência proveniente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida pela Eq. 8, fazendo a tensão de compressão na diagonal de concreto ficar limitada ao valor máximo dado por 0,5 v f cd. Assim, o máximo momento de torção que uma seção pode resistir, sem que ocorra o esmagamento das diagonais comprimidas é ( ): T Rd, = 0,5 v. f cd. A e. h e. sen Eq. com: v = 1 (f ck/50), f ck em MPa; = ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 3045; A e = área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada; h e = espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. Segundo a NBR 6118 ( ), a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural deve atender à expressão seguinte, semelhante à Eq. 18 já desenvolvida: T Rd,3 = (A s,90/s) f ywd A e cotg Eq. 3 donde, com T Sd = T Rd,3, calcula-se a área da armadura transversal: A s,90 s TSd tg A f e ywd Eq. 4 onde: A s,90 = área de um ramo do estribo, contido na área correspondente à parede equivalente; f ywd = resistência de cálculo de início de escoamento do aço da armadura passiva, limitada a 435 MPa. Para o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45 a Eq. 4 transforma-se em: A s,90 s TSd Eq. 5 A f e ywd Conforme a NBR 6118 ( ), a resistência decorrente da armadura longitudinal deve atender à expressão seguinte, já deduzida na Eq. 14: T Rd,4 = (A s /u e) A e f ywd tg Eq. 6 donde, com T Sd = T Rd,4, calcula-se a área de armadura longitudinal: A u s e A e T f Sd ywd tg Eq. 7 onde: A s = soma das áreas das barras longitudinais; u e = perímetro da área A e.

25 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado Para o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45 a Eq. 7 transforma-se em: A u T s Sd Eq. 8 e Ae fywd 1.4 Armadura Mínima Segundo a NBR 6118 (item ), sempre que a torção for de equilíbrio deverá existir armadura resistente aos esforços de tração, constituída por estribos verticais periféricos normais ao eixo do elemento e barras longitudinais, distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente (parede equivalente). A taxa geométrica mínima de armadura, com o propósito de evitar a ruptura brusca por tração, é: s sw As he u e f 0, Asw f bw s ct,m ywk, com f ywk 500 MPa. Eq. 9 A Eq. 9 prescrita pela NBR 6118 dá margem à dúvida porque a área de estribos A sw refere-se à força cortante, onde A sw representa a área total dos ramos verticais (normais ao eixo do elemento) do estribo. No caso da torção, onde geralmente os estribos têm apenas dois ramos, a área A s,90 dada na Eq. 4 representa a área de apenas um ramo vertical do estribo. Entendendo que a área de estribos mínima dada na Eq. 9 representa a área de apenas um ramo vertical do estribo, e por isso fazendo A sw = A s,90mín, a Eq. 9 fica escrita como: A s,mín h A e u w e s,90mín b s f 0, f f 0, f ct,m ywk ct,m ywk Eq. 30 com: A s,mín = área mínima de armadura longitudinal; A s,90mín = área mínima da seção transversal de um ramo vertical do estribo; u e = perímetro da área A e ; b w = largura média da alma; s = espaçamentos dos estribos verticais; f ct,m = resistência média à tração do concreto. f ywk = resistência de início de escoamento do aço da armadura ( 500 MPa). Na Eq. 30, isolando A s,90mín/s e A s,mín /u e fica: A A s,mín u e s,90mín s 0, f f ywk 0, f f ct,m ywk ct,m h e b w Eq. 31 Fazendo o espaçamento s e o perímetro u e iguais a 100 cm (1 m), as armaduras mínimas ficam: A s,mín 0 f f ct,m ywk h e Eq. 3

26 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 3 0 f As,90mín f ct,m ywk b w com: A s,mín e A s,90mín em cm /m; b w e h e em cm; f ywk e f ct,m em kn/cm ; ct,m 3 fck f 0,3, com f ck em MPa. 1.5 Solicitações Combinadas As solicitações combinadas com torção encontram-se descritas no item 17.7 da NBR Flexão e Torção Conforme a NBR 6118 (17.7.1): Nos elementos estruturais submetidos à torção e à flexão simples ou composta, as verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais, devendo-se atender ainda: - Armadura longitudinal: Na zona tracionada pela flexão, a armadura de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para solicitações normais, considerando-se em cada seção os esforços que agem concomitantemente. - Armadura longitudinal no banzo comprimido pela flexão: No banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva h e no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas. - Resistência do banzo comprimido: Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não pode superar os valores estabelecidos na Seção. Essa tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão tangencial de torção calculada por: Td Td Eq. 33 A h 1.5. Torção e Força Cortante e e Conforme a NBR 6118 (17.7.): Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto coincidentes para os dois esforços. Quando for utilizado o modelo I (ver ) para a força cortante, que subentende 45º, esse deve ser o valor considerado também para a torção. A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à expressão: V V Sd Rd TSd 1 Eq. 34 T Rd onde V Sd é a força cortante de cálculo e T Sd é o momento de torção de cálculo. A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para V Sd e T Sd. Nessa questão é importante salientar que: a área de armadura transversal calculada para a força cortante refere-se à área total, contando todos os ramos verticais do estribo. Já no caso da torção a área de armadura transversal calculada é apenas de um ramo vertical do estribo. Portanto, para cálculo da armadura transversal total deve-se tomar o cuidado de somar as áreas de apenas um ramo vertical do estribo, para ambos os esforços de força cortante e momento de torção.

27 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado Fissuração Inclinada da Alma Conforme a NBR 6118 (17.6), na verificação do estado-limite de fissuração inclinada da alma por solicitação combinada de força cortante com torção, Usualmente, não é necessário verificar a fissuração diagonal da alma de elementos estruturais de concreto. Em casos especiais, em que isso for considerado importante, deve-se limitar o espaçamento da armadura transversal a 15 cm. 1.7 Disposições Construtivas As disposições construtivas para a torção em vigas constam no item da NBR A armadura destinada a resistir aos esforços de tração provocados por torção deve ser constituída por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais paralelas ao mesmo eixo [...]. Os estribos e as barras da armadura longitudinal devem estar contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente. Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente (ver ). Para prevenir a ruptura dos cantos é necessário alojar quatro barras longitudinais nos vértices das seções retangulares. Segundo LEONHARDT e MÖNNIG (198), para seções de grandes dimensões é necessário distribuir a armadura longitudinal ao longo do perímetro da seção, a fim de limitar a fissuração Estribos Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as barras das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45. As seções poligonais devem conter, em cada vértice dos estribos de torção, pelo menos uma barra. (NBR 6118, ). As prescrições da NBR 6118 ( ) para o diâmetro e espaçamento dos estribos são as mesmas do dimensionamento à força cortante. Para o diâmetro: 5 mm bw t 10 Eq mm para barra lisa 4, mm para estribos formados por tela soldada onde b w é a largura da alma da viga. O espaçamento entre os estribos deve possibilitar a passagem da agulha do vibrador, a fim de garantir um bom adensamento do concreto. O espaçamento máximo deve atender as seguintes condições: - se V Sd 0,67 V Rd s máx = 0,6d 30 cm; - se V Sd > 0,67 V Rd s máx = 0,3 d 0 cm. Eq Armadura Longitudinal A armadura longitudinal de torção, de área total A s, pode ter arranjo distribuído ou concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação A s /u, onde u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área A s. Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal. (NBR 6118, ). As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo em 350 mm. Deve-se respeitar a relação A s / u, onde u é o trecho de perímetro da seção efetiva correspondente a cada barra ou feixe de barras de área A s, exigida pelo dimensionamento. (NBR 6118, ).

28 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO O momento de inércia à torção (J) e o módulo de inércia à torção (W t) de vigas com seção retangular podem ser calculados com base nas equações: 3 J j b h Eq. 37 Wt w b h Eq. 38 b n h onde: j = parâmetro dependente da relação n entre as dimensões dos lados do retângulo, conforme a Tabela ; b = menor dimensão da seção retangular; h = maior dimensão da seção retangular. Tabela Valores de w e j. n w j 0,0 0,333 0,333 0,1 0,31 0,31 0, 0,91 0,91 0,3 0,73 0,70 0,4 0,58 0,49 0,5 0,46 0,9 0,6 0,37 0,09 0,7 0,9 0,189 0,8 0,1 0,171 b 0,9 0,14 0,155 1,0 0,08 0,141 h h b 14. EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO Apresentam-se a seguir três exemplos numéricos de aplicação sobre o dimensionamento de vigas de Concreto Armado quando solicitadas à torção. Os cálculos abrangem também os dimensionamentos necessários à flexão, à força cortante, ancoragem nos apoios e cobrimento do diagrama de momentos fletores Exemplo 1 Uma viga em balanço, como mostrada na Figura 33 e Figura 34, suporta em sua extremidade livre uma outra viga, nela engastada, com uma força vertical concentrada (F) de 50 kn. As distâncias e dimensões das duas vigas (determinadas em um pré-dimensionamento) estão indicadas na planta de fôrma. As vigas têm como carregamento somente a força F e o peso próprio. Outras ações, como do vento por exemplo, são desprezadas. São conhecidos: edificação em área urbana de cidade situada distante de região litorânea e livre de outros meios agressivos, em classe II de agressividade ambiental (Tabela 6.1 da NBR 6118), o que leva ao concreto C5 (f ck = 5 MPa) no mínimo, relação a/c 0,60 (Tabela 7.1 da NBR 6118), c nom =,5 cm para c = 5 mm (Tabela 7. da NBR 6118) ; aço CA-50 ; conc = 5 kn/m 3 ; coeficientes de ponderação: c = f = 1,4 e s = 1,15.

29 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 6 V1 (35 x 50) F V (0 x 50) P1 35/60 V (0 x 50) 97,5 150 Figura 33 Perspectiva da estrutura com a força F aplicada. Figura 34 Planta de fôrma. RESOLUÇÃO A estrutura para sustentação da força F, composta pelas vigas V1 e V (Figura 34), é uma estrutura em balanço. A viga V deve ser considerada engastada perfeitamente na viga V1, e esta, por sua vez, deve ser engastada perfeitamente no pilar P1. A viga V1 tem momento de torção aplicado na extremidade livre, proveniente da flexão da viga V, e a torção é de equilíbrio, devendo ser obrigatoriamente considerada no dimensionamento da viga V1, sob pena de ruína caso desprezada. Todas as estruturas devem ser cuidadosamente analisadas e dimensionadas, mas estruturas em balanço, como a deste exemplo, devem ser objeto de especial atenção por parte do engenheiro. Ainda, devem ser bem executadas, sob risco de problemas graves conduzirem à ruína da estrutura. Os esforços solicitantes serão calculados de dois modos, primeiro considerando-se a atuação conjunta das vigas em um modelo de grelha, e segundo considerando-se as vigas individualmente, com o cálculo manual. Para resolução da grelha será utilizado o programa GPLAN4, de CORRÊA et al. (199). a) Cálculo dos esforços solicitantes como grelha A viga V (0 x 50) tem como vão efetivo e peso próprio: vão livre: o = 80 cm (da extremidade livre à face interna da V1), t1 / 35 / 17,5 cm a1 a 1 = 15 cm, (a = 0) 0,3 h 0, cm ef,v = o + a 1 = = 95 cm peso próprio: g pp,v = conc b w h = 5. 0,0. 0,50 =,5 kn/m A viga V1 (35 x 50) tem como vão efetivo e peso próprio: vão livre: o = 150 cm (da extremidade livre à face do pilar), O programa e o manual do GPLAN4 (ou GPLAN5 dependendo da versão do programa operacional) podem ser obtidos em:

30 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 7 t1 / 60 / 30 cm a1 a 1 = 15 cm, (a = 0) 0,3 h 0, cm ef,v1 = o + a 1 = = 165 cm peso próprio: g pp,v1 = 5. 0,35. 0,50 = 4,375 kn/m A Figura 35 mostra o esquema utilizado para a grelha, com a numeração dos nós e barras. Na barra () correspondente à viga V1 deve ser considerado o momento de inércia à torção, pois a torção que ocorre na viga V1 é de equilíbrio e não pode ser desprezada, ou seja, deve ser obrigatoriamente considerada no projeto da viga. A viga V não tem torção, e por isso não há necessidade de considerar inércia à torção. 3 O nó deve ser obrigatoriamente considerado um engaste perfeito, e os nós 1 e 3 não têm restrições nodais (são livres) Figura 35 Esquema da grelha, com distâncias e numeração dos nós e barras. 1 Supondo a viga trabalhando em serviço no estádio II (já fissurada), para o módulo de elasticidade do concreto será considerado o valor secante. O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118, item 8..8) 4 : E ci 5600 f = 1, = MPa =.800 kn/cm E ck com E = 1,0 para brita de granito (ou gnaisse). O módulo secante (E cs) é avaliado por: fck E cs = i E ci, com i 0,8 0, 1, i 0,8 0, 0,865 1,0 ok! 80 E cs = 0, =.415 kn/cm Para o módulo de elasticidade transversal (G - NBR 6118, item 8..9) pode-se considerar a relação: Ecs 415 Gc 1006,3 kn/cm,4,4 O momento de inércia à torção (J) foi calculado com a Eq. 37. Na Tabela, com n = 0,7 encontra-se o valor de 0,189 para j e: 3 Foi considerado apenas um pequeno valor (100) para a inércia à torção, por necessidade do programa computacional de grelha. 4 Também apresentado em: BASTOS, P.S.S. Materiais. Bauru, Universidade Estadual Paulista, Unesp, cap., set/014,

31 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 8 n b h ,7 50 J j b h 0, cm 4 3 O arquivo de dados de entrada no programa, apresentado a seguir, foi feito conforme o manual de utilização de CORRÊA et al. (199, ver nota ). OPTE,,,,,, TORCAO UNESP DISC. CONCRETO II TORÇÃO - EXEMPLO 1 NO 1,165,0,,0,95, 3,165,95, RES,1,1,1, BAR 1,1,3,1,1,,,3,,1, PROP 1,1,1000,08333,100,50,,1,1750,364583,405169,50, MATL 1,415,1006.3, FIMG CARR1 CBR 1,1,-.05,1,,1, ,1, CNO 1,-50, FIMC FIME Os resultados gerados pelo programa estão listados no Anexo B1. Os diagramas de esforços solicitantes característicos estão indicados na Figura 36. A flecha máxima para a grelha resultou igual a 0,5 cm, no nó 1, aceitável em função dos valores-limites indicados pela NBR ,6 5, T k (kn.cm) V k (kn) M k (kn.cm) Figura 36 Diagrama de esforços solicitantes característicos calculados conforme o modelo de grelha. 50 b) Dimensionamento da viga V (0 x 50) A título de exemplo e comparação com os esforços gerados com o modelo de grelha, as vigas V1 e V terão os esforços novamente calculados, agora considerando-as individualmente.

32 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 9 b1) Esforços solicitantes máximos A viga V, engastada na viga V1, tem o esquema estático e carregamento indicados na Figura 37. Força cortante no apoio (engaste perfeito): V =,5. 0, = 5,4 kn Momento fletor no apoio:,5 kn/m 50 kn,5 0,95 M 50 0, 95 M = 48,63 kn.m = kn.cm 5, V (kn) k Comparando os resultados dos esforços acima com aqueles obtidos no cálculo de grelha (Figura 36), nota-se que os esforços solicitantes na viga V são idênticos _ M (kn.cm) Figura 37 Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes na viga V. k b) Dimensionamento à flexão A NBR 6118 especifica que as vigas devem ter uma armadura de flexão mínima, calculada para um momento fletor mínimo, a qual deve ser comparada a uma outra área de armadura mínima, calculada segundo as taxas de armadura mínimas ( mín) apresentadas pela norma. A maior armadura calculada deve ser considerada como armadura mínima. A armadura mínima de flexão, para o momento fletor mínimo, é: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup f ctk,sup 3 ck 3 1,3 f 1,3. 0,3 f 1,3. 0,3 5 3,33 MPa 3 ct,m b h I cm W 0 I y cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) M d,mín = 0, ,333 =.0 kn.cm Dimensionamento da armadura longitudinal para o momento fletor mínimo: d bw d Kc = 19, 1 da Tabela A-1 tem-se K s = 0,03. M 0 Md 0 As Ks = 0,03 1, 11 cm d 46

33 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 30 Conforme a Tabela A-6, para seção retangular e concreto C5, a taxa mínima de armadura ( mín) deve ser de 0,15 % A c, portanto 5 : A s,mín = 0, = 1,50 cm > 1,11 cm A s,mín = 1,50 cm Momento fletor máximo atuante na viga V: M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. ( 4863) = kn.cm Considerando como altura útil d = h 4 cm = 50 4 = 46 cm: d bw d 0 46 Kc 6, M 6808 na Tabela A-1 tem-se: x = 0,14 0,45 (ok!), K s = 0,04 e dom.. 3 1, A s 0,04 3,55 cm A s,mín = 1,50 cm (ok!) 46 ( 16 mm 4,00 cm ou 3 1,5 3,75 cm ) Se adotados 3 1,5 em uma mesma camada, a distância livre entre as barras deve ser suficiente para a passagem da agulha do vibrador, para adensamento do concreto. Considerando vibrador com ag = 5 mm e t = 5 mm (diâmetro do estribo): acg,5,5 a h 50 a h 0,5 0,5 3.1,5 5,1 cm > 5 mm (ok!) 0 Posição do centro de gravidade da armadura: a cg =,5 + 0,5 + 1,5/ = 3,6 cm foi adotado 4 cm para cálculo da altura útil, coerente com o valor calculado. b3) Armadura de pele Como a viga não tem altura superior a 60 cm, a armadura de pele não é necessária, segundo a NBR Porém, a fim de evitar possíveis fissuras no concreto por efeito de retração, que podem surgir mesmo em vigas com altura de 50 cm, será colocada uma armadura de pele, com área de 0,05 % A c 6 em cada face da viga: A s,pele = 0, = 0,50 cm 4 4, mm (0,56 cm ) em cada face, distribuídos ao longo da altura (ver Figura 38). b4) Dimensionamento à força cortante A resolução da viga à força cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas e apresentadas em BASTOS (015) 7. Para a seção retangular da viga será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo 8 de 38 para a inclinação das diagonais de compressão, e o estribo será vertical. 5 Geralmente a armadura mínima resultante dos coeficientes da Tabela A-6 resulta maior que a armadura mínima calculada com o momento fletor mínimo. Porém, deve ser feita a verificação da maior armadura mínima. 6 Esta área da armadura de pele era indicada pela NBR 6118 de 1980, e corresponde à metade da armadura de pelo preconizada pela versão de 014 da norma. 7 BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 13 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/015, 74p. (

34 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 31 As forças cortantes atuantes são: V k = 5,4 kn.cm V Sd = f. V k = 1,4. 5,4 = 73,4 kn b4.1) Verificação das diagonais de compressão Da Tabela A-5 anexa, para o concreto C5, determina-se a força cortante máxima a que a viga pode ser submetida: V Rd = 0,87 bw. d. sen. cos = 0, sen 38. cos 38 = 388,3 kn VSd 73,4 VRd 388,3 kn ok! portanto, não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão. b4.) Cálculo da armadura transversal Da mesma Tabela A-5, para o concreto C5, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,040. bw. d. cotg V c 1 Com V c0 : 3 0,3 5 Vc 0 0,6 fctd bw d 0,6 0, ,8 kn 10.1,4 Como V Sd = 73,4 kn é maior que V c0, deve-se calcular V c1 com a equação: V c1 VRd VSd 388,3 73,4 Vc0 V c1 70,8 70, kn V V 388,3 70,8 Rd c0 V Sd,mín = 0, cotg 38 70, 117, 3kN V Sd 73,4 V 117,3 kn portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima. Sd, mín Para CA-50, a armadura transversal mínima é: 0 fct,m Asw,mín bw (cm 3 3 /m), com fct,m 0,3 fck 0,3 5, 56 MPa f A sw, mín ywk 0. 0,56 0,05 cm /m 50 b4.3) Detalhamento da armadura transversal - Diâmetro do estribo: 5 mm t b w/10 t 00/10 0 mm - Espaçamento máximo: 0,67 V Rd = 0, ,3 = 60, kn V Sd = 73,4 < 0,67 V Rd = 60, kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 46 = 7,6 cm Portanto, s máx = 7,6 cm 8 O Modelo de Cálculo II com = 38 conduz a uma armadura transversal muito próxima àquela resultante do Modelo de Cálculo I, onde é fixo em 45. O estudante deve fazer o cálculo aplicando o M. C. I, a fim de comparar os resultados.

35 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 3 Supondo estribo de dois ramos com diâmetro de 5 mm ( 5 0,40 cm ) tem-se: 0,40 0,005 s = 19,5 cm s máx = 7,6 cm ok! s b5) Ancoragem da armadura longitudinal negativa A armadura negativa de flexão deve ser cuidadosamente ancorada na viga V1, pois o equilíbrio da viga V depende do perfeito engastamento na V1. Uma ancoragem inadequada pode resultar em sérios riscos de ruptura (ruína) da viga V. Conforme apresentado na apostila de BASTOS (015) 9, o comprimento de ancoragem básico deve ser calculado. Na Tabela A-7 e na Tabela A-8, anexas nesta apostila, constam os comprimentos de ancoragem dos aços CA-50 e CA-60. Na Tabela A-7 (aço CA-50), para concreto C5, barra de diâmetro 1,5 mm em situação de má aderência, o comprimento de ancoragem básico (coluna sem gancho), resulta 67 cm. Considerando que a armadura negativa calculada foi 3,55 cm e que a armadura efetiva será composta por 3 1,5 (3,75 cm ), o comprimento de ancoragem corrigido, que leva em conta a diferença de áreas de armadura, é: b,corr b A A s,anc s,ef 3, ,4 cm b,mín = 10,0 cm (ok!) 3,75 b,corr A s,ef onde o comprimento de ancoragem mínimo é: r 5,5 b,mín 6 cm r = (D/) = 5 / = 5. 1,5/ = 3,1 cm (com D = diâmetro do pino de dobramento = 5, apresentado na Tabela A-10) r + 5,5 = 3,1 + 5,5. 1,5 = 10,0 cm > 6 cm b,mín = 10,0 cm b 35 cm VIGA DE APOIO 50 O comprimento de ancoragem efetivo da viga de apoio (V1) é a largura da viga menos a espessura do cobrimento: b,ef = b c = 35,5 = 3,5 cm. Verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido é maior que o comprimento de ancoragem efetivo: b,corr = 63,4 cm > b,ef = 3,5 cm. Não é possível fazer a ancoragem dessa forma na viga de apoio. Uma solução para tentar resolver o problema é fazer o gancho na extremidade das barras. O comprimento de ancoragem com gancho é: 0,7 63,4 44,4 cm b,mín = 10,0 cm ok! b,gancho 1 b,corr Verifica-se que o comprimento de ancoragem com gancho é superior ao comprimento de ancoragem efetivo ( b,gancho = 44,4 cm > b,ef = 3,5 cm), de modo que o gancho não resolve o problema. Uma solução possível na sequência é aumentar a armadura a ancorar para A s,corr, tal que: A s,corr 0,7 b 0,7 67 As,anc= 3,55 5, 1 cm 3,5 b,ef 3 1,5 + 1 grampo 10 = 3,75 + (. 0,80) = 5,35 cm A Figura 38 mostra o detalhamento completo das armaduras da viga V. O espaçamento dos estribos foi diminuído de 19,5 cm para 15 cm, a favor da segurança, com pequeno acréscimo no consumo de aço. A 9 BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 13 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), maio/015, 40p. (

36 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 33 armadura de pele, embora não obrigatória neste caso, foi adotada. As barras longitudinais inferiores (N5), porta-estribos construtivas, foram adotadas 8 mm. Para garantir uma melhor vinculação (engastamento) da viga V na V1, as barras N foram desenhadas na forma de um estribo fechado, para melhor ancoragem na viga V1. É importante que as barras N fiquem posicionadas sobre as barras longitudinais superiores negativas da viga V1, de modo a laçar as barras. V (0 x 50) N1-6 c/15 3N N3 4N4 4N N* - 3 1,5 C = N N3-10 C = 8 ( cam) 15 N4 - x 4 4, C = N5-8 C = 110 N1-6 5 mm C = 130 Figura 38 Detalhamento final com as armaduras da viga V. c) Cálculo e dimensionamento da viga V1 (35 x 50) A viga V1 deve estar obrigatoriamente engastada no pilar P1, como demonstrado no esquema estático (Figura 39). O carregamento consiste no próprio peso e nas ações provenientes da viga V (força vertical concentrada e momento torçor). c1) Esforços solicitantes máximos Força cortante: V k = 4,375. 1,65 + 5,4 = 59,6 kn Momento fletor: M k 4,375 1,65 5,4 1,65 M k = 9,4 kn.m = 9.4kN.cm

37 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 34 Momento de torção: 4,375 kn/m 5,4 kn T k = kn.cm (constante ao longo da viga) Verifica-se que os esforços solicitantes acima são idênticos com aqueles obtidos no cálculo segundo o modelo de grelha (Figura 36). P kn.cm 59,6 5,4 V (kn) k 94 _ M (kn.cm) k 4863 T (kn.cm) k Figura 39 Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes na viga V1. c) Dimensionamento à flexão A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup, f ctk,sup = 3,33 MPa (já calculado para a viga V) 3 b h I cm I W cm 3 y 5 no estádio I, para seção retangular y é tomado na meia altura da viga. M d,mín = 0, ,333 = kn.cm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: d bw d Kc = 19, 1 da Tabela A-1 tem-se K s = 0,03 M 3885 Md 3885 As Ks = 0,03 1, 94 cm d 46 Conforme a Tabela A-6, para seção retangular e concreto C5, a taxa mínima de armadura ( mín) deve ser de 0,15 % A c, portanto: A s,mín = 0, =,63 cm > 1,94 cm A s,mín =,63 cm O momento fletor solicitante característico máximo na viga V1 é 9.4 kn.cm. O momento fletor de cálculo é: M d = 1,4. ( 9.4) = kn.cm d bw d Kc 5, 7 M 1939

38 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 35 da Tabela A-1: x = 0,16 0,45 (ok!), K s = 0,05 e domínio , A s 0,05 7,03 cm A s,mín =,63 cm (ok!) 46 (5 1, ,05 cm ) Supondo t = 10 mm, o espaçamento livre entre as barras é: 35,5 1,0 51,5 1,0 a h 4, cm 5 espaço livre suficiente para a passagem da agulha do vibrador supondo ag = 5 mm. A posição do centro de gravidade da armadura é: a cg =,5 + 1,0 + 1,5/ = 4,1 cm,5,5 (foi adotado 4 cm para determinação da altura útil) a h c3) Armadura de pele A armadura de pele não é necessária porque a viga não tem altura superior a 60 cm. A armadura para a torção que será colocada nas faces laterais da viga poderá também contribuir para evitar fissuras por retração do concreto. c4) Dimensionamento à força cortante Como já feito para a viga V, no cálculo da armadura transversal será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo de 38, com aplicação de equações simplificadas para estribos verticais. V k = 59,6 kn.cm V Sd = f. V k = 1,4. 59,6 = 83,4 kn C4.1) Verificação das diagonais de compressão Na Tabela A-5, para o concreto C5, determina-se a força cortante máxima: V Rd = 0,87 bw. d. sen. cos = 0, sen 38. cos 38 = 679,5 kn VSd 83,4 VRd 679,5 kn ok! portanto, não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão. c4.) Cálculo da armadura transversal Da mesma Tabela A-5, para o concreto C5, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,040. bw. d. cotg V c 1 Com V c0 : 3 0,3 5 Vc 0 0,6 fctd bw d 0,6 0, ,9 kn 10.1,4 como V Sd = 83,4 kn < V c0 = 13,9 kn tem-se que V c1 = V c0 = 13,9 kn V Sd,mín = 0, cotg 38 13,9 06, 3kN V Sd 83,4 kn V 06,3 kn portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima. Sd, mín

39 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 36 A armadura mínima é: 0 fct,m Asw,mín bw (cm 3 3 /m), com fct,m 0,3 fck 0,3 5, 56 MPa f A sw, mín ywk 0. 0, ,58 cm /m 50 c4.3) Detalhamento da armadura transversal - Diâmetro do estribo: 5 mm t b w/10 t 350/10 35 mm - Espaçamento máximo entre os estribos: 0,67V Rd = 0, ,5 = 455,3 kn V Sd,máx = 83,4 < 455,3 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 46 = 7,6 cm Portanto, s máx = 7,6 cm - Espaçamento máximo entre os ramos verticais dos estribos: 0,0V Rd = 0,0. 679,5 = 135,9 kn V Sd,máx = 83,4 kn < 135,9 kn s = d 80 cm c5) Ancoragem da armadura longitudinal negativa A armadura longitudinal negativa calculada para a viga, de 7,03 cm, é a armadura a ancorar no pilar, que tem seção transversal 35/60. Para essa área, o arranjo de barras escolhido é composto de 5 1, , com área de 7,05 cm (A s,ef). Conforme a Tabela A-7, para concreto C5, CA-50 (barra de alta aderência) e situação de má aderência para a armadura negativa, o comprimento de ancoragem básico (sem gancho) é 67 cm para 1,5 mm (coluna sem gancho). Devido à diferença entre a área de armadura calculada e a efetiva, o comprimento de ancoragem pode ser corrigido para: b,corr b A A s,anc s,ef 7, ,8 cm 7,05 b,corr = 66,8 cm 10,0 cm ok! b,mín b,corr 66,8 A s, ef 50 O comprimento de ancoragem efetivo do pilar é: b,ef = b c = 60,5 = 57,5 cm c,5 b,ef 57,5 b 60 O comprimento de ancoragem mínimo também é o mesmo da viga V para 1,5 mm, b,mín = 10,0 cm. Verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido, sem gancho, é superior ao comprimento de ancoragem efetivo ( b,corr = 66,8 cm > b,ef = 57,5 cm), que não possibilita fazer a ancoragem reta no pilar. A primeira alternativa para resolver o problema é fazer gancho na extremidade das barras, reduzindo o comprimento corrigido para: b,gancho 0,7 66,8 46,8 cm O comprimento de ancoragem com gancho é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo ( b,gancho = 46,8 cm < b,ef = 57,5 cm), o que possibilita fazer a ancoragem no pilar, sem a necessidade de acréscimo de armadura. Conclui-se que a ancoragem pode ser feita com 5 1, , com gancho na extremidade das barras, adentrando as barras em 46,8 cm dentro do pilar. No entanto, a favor da segurança, a armadura negativa pode ser estendida no comprimento de b,ef dentro do pilar, como mostrado na Figura 40.

40 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 37 c6) Dimensionamento à torção O momento de torção característico (T k) é kn.cm e o momento de cálculo é: T Sd = 1, = kn.cm Segundo a NBR 6118, quando o comprimento do elemento sujeito à torção é menor ou igual a h, a força cortante atuante deve ser limitada, tal que V Sd 0,7V Rd. O comprimento da viga é o vão efetivo, de 165 cm, e a altura 50 cm. Verifica-se que: 165 >.50 = 100 cm, de modo que não há necessidade de limitar a força cortante ao valor-limite. c6.1) Verificação das diagonais comprimidas Área da seção transversal: A = b w. h = = cm Perímetro da seção transversal: u = (b w + h) = ( ) = 170 cm A Eq. 19 e Eq. 0 fornecem os limites para a espessura h e da parede fina: h e A ,3 cm e h e c 1 u 170 Supondo = 1,5 mm, t = 10 mm e com c nom =,5 cm tem-se: c 1 = / + t + c nom = 1,5/ + 1,0 +,5 = 4,15 cm c 1 cnom h e. 4,15 = 8,3 cm Portanto, os limites para h e são: 8,3 cm h e 10,3 cm. Será adotado h e = 10,0 cm. h e 10 b w 35 A área efetiva e o perímetro do eixo da parede fina são: A e = (b w h e). (h h e) = (35 10). (50 10) = cm h = 50 u e = [(b w h e) + (h h e)] = [(35 10) + (50 10)] = 130 cm he 10 O momento torçor máximo, determinado pela Eq., com ângulo (38) igual ao aplicado no cálculo da viga à força cortante 10 é: T Rd, = 0,5 v f cd A e h e sen = 0,5 (1 5/50). (,5/1,4) sen. 38 = kn.cm Para não ocorrer o esmagamento do concreto nas diagonais comprimidas de concreto, conforme a Eq. 33 deve-se ter: VSd TSd 1 V T Rd Rd Como calculado no item c4.1, os valores de V Rd e V Sd são 679,5 kn e 83,4 kn, respectivamente. Aplicando a Eq. 33 tem-se: 10 O ângulo deve ser igual ao utilizado no cálculo da armadura transversal para a força cortante.

41 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 38 83,4 679, ,0 1,0 ok! 7797 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento do concreto nas bielas de compressão. Caso resultasse valor superior à unidade, haveria a necessidade de se fazer alguma alteração. O aumento da largura ou da altura da viga são soluções comumente utilizadas na prática, sendo que o aumento da largura da viga é mais efetivo para aumentar a resistência à torção. Porém, há restrição no caso de viga embutida em parede, pois a viga pode ficar aparente com uma largura maior que a da parede. c6.) Cálculo das armaduras para torção As armaduras mínimas para torção, longitudinal e transversal, são (Eq. 3): A 0 f 0. 0,56 cm /m ct,m s,mín he 10 1, 03 fywk 50 0 fct,m 0. 0,56 As,90mín bw 35 3, 58 cm /m f 50 ywk 3 ck 3 com f 0,3 f 0,3 5, 56 MPa (resistência média do concreto à tração direta). ct,m Armadura longitudinal conforme a Eq. 7: A u s e A e T f Sd ywd ,100 cm /cm tg tg 38 1,15 com u e = 1 m = 100 cm A s = 10,0 cm /m A s,mín = 1,03 cm /m ok! Armadura transversal composta por estribos a 90 conforme a Eq. 4: As,90 TSd 6808 tg tg 38 0,061 cm s Ae f 50 /cm ywd ,15 com s = 1 m = 100 cm A s,90 = 6,1 cm /m A s,90mín = 3,58 cm /m ok! c6.3) Detalhamento das armaduras c6.3.1) Armadura longitudinal A área de armadura longitudinal a ser distribuída ao longo do vão da viga pode ser obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção. Como se observa nos diagramas de momentos fletores e momentos torçores (Figura 36 e Figura 39), por simplicidade pode ser analisada apenas a seção onde ocorrem simultaneamente os momentos máximos (M e T), que é a seção de apoio (engaste da viga no pilar). A armadura longitudinal total, determinada na seção de apoio, pode ser estendida ao longo de todo o vão, até a extremidade livre, a favor da segurança, dado que o momento fletor diminui. A armadura longitudinal total, considerando apenas a torção, é aquela relativa ao perímetro u e : As 0,100 cm /cm com u e = 130,0 cm: A s,tot = 0, ,0 = 13,03 cm u e Esta área deve ser distribuída nas quatro faces da seção retangular da viga, proporcionalmente, conforme a NBR 6118, e observe que relativamente a u e, que é o perímetro do eixo da parede fina, cuja espessura neste caso é h e.

42 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 39 Face superior: - da flexão: A s = 7,03 cm - da torção: A s = (b w h e) A s = (35 10) 0,100 =,51 cm - A s,total = 7,03 +,51 = 9,54 cm (8 1,5 10,00 cm ) Face inferior: - da flexão: A s = 0,00 cm - da torção: A s = (b w h e) A s = (35 10) 0,100 =,51 cm - A s,total =,51 cm (4 10 mm 3,0 cm ) Faces laterais: - A s,total = (h h e) A s = (50 10) 0,100 = 4,01 cm (5 10 mm 4,00 cm ) É importante ressaltar que devem ser dispostos 5 10 mm em ambas as faces laterais da viga. Esta armadura pode atuar também para restringir as fissuras no concreto por efeito de retração, não sendo necessário acrescentar armadura de pele, embora neste caso a norma não a exija, porque a viga não tem altura superior a 60 cm. Para uma conferência da armadura longitudinal de torção, pode-se determinar a armadura total em função da armadura calculada para as faces da viga: A s,tot = (,51 + 4,01) = 13,04 cm ok! c6.3.) Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas à força cortante e à torção. A armadura para a força cortante resultou igual à armadura mínima, de 0,0358 cm /cm. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima para a força cortante, para um ramo vertical, é 0,0358/ = 0,0179 cm/m, a armadura transversal total é: As,tot Asw,1ramo As, 90 s s s 0,0179 0,061 0,0791 cm /cm O diâmetro do estribo para a torção deve ser igual ou superior a 5 mm e inferior a b w/10 = 350/10 = 35 mm. Fazendo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 6,3 mm (1 6,3 mm 0,31 cm ) tem-se: 0,31 0,0791 s = 3,9 cm s máx = 7,6 cm ok! s O espaçamento resultou muito pequeno. Fazendo com diâmetro de 8 mm (1 8 mm 0,50 cm ) encontra-se: 0,50 0,0791 s = 6,3 cm s máx = 7,6 cm ok! s O espaçamento ainda está pequeno. Fazendo com diâmetro de 10 mm (1 10 mm 0,80 cm ) encontra-se: 0,80 0,0791 s = 10,1 cm s máx = 7,6 cm ok! s portanto, pode-se adotar estribo com dois ramos 10 mm c/10 cm. A Figura 40 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. Como visto, as armaduras para o momento fletor, para a força cortante e para a torção foram calculadas separadamente e somadas na fase final. O comprimento do gancho das barras N foi aumentado de 10 cm (8 = 8. 1,5 = 10,0 cm) para 40 cm, para garantir uma melhor ancoragem da armadura no pilar. Esta armadura substitui o arranjo de 5 1, , conforme definidos no item c.5. O espaçamento entre as barras longitudinais não deve superar 35 cm, o que ser verifica.

43 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 40 Como a viga V está apoiada na viga V1, convém posicionar as barras N da V sobre as barras N da V1, obedecendo ao cobrimento de concreto. Os ganchos nas extremidades dos estribos da V1 devem ser inclinados a 45, como prescrito pela NBR 6118, e com comprimento de 5 5 cm. V1 (35 x 50) 6 N N1-15 c/10 1 N3 1 N3 5 N4 5 N4 P N - 6 1,5 C = N5 30 a N3-1,5 C = 0 ( cam) 45 N4 - x 5 10 C = 0 N C = 0 N C = 160 Figura 40 Detalhamento final das armaduras da viga V Exemplo Este exemplo refere-se ao projeto estrutural de uma laje em balanço (marquise) engastada na viga de apoio. A marquise tem a função arquitetônica de proteger o hall de entrada de uma edificação. A Figura 41 mostra uma perspectiva da estrutura. A Figura 4 e a Figura 43 mostram a planta de fôrma da estrutura e o pórtico do qual a marquise faz parte. Este exemplo toma como base aquele apresentado em GIONGO (1994). Para a estrutura pede-se calcular e dimensionar as armaduras da viga V1. As seguintes informações são conhecidas: a) marquise (estrutura em balanço composta pela laje L3 e as vigas V, V3 e V6) acessível a pessoas apenas para serviços de construção e manutenção; b) o coeficiente de ponderação das ações permanentes e variáveis ( f) será tomado como 1,4 (Tabela 11.1 da NBR 6118). O coeficiente de ponderação do concreto ( c) será tomado como 1,4 e o do aço ( s) como 1,15 (Tabela 1.1 da NBR 6118); c) lajes e vigas da marquise em concreto aparente (sem revestimentos); d) sobre toda extensão da viga V1 há uma parede de alvenaria de bloco cerâmico de oito furos, com espessura final de 3 cm ( cm de revestimento de argamassa de cada lado), altura de,60 m, com peso específico ( alv) de 3, kn/m ; e) peso específico do concreto com armadura passiva: concr = 5 kn/m 3 ; f) espessura média de 3 cm para a camada de impermeabilização e regularização sobre a laje da marquise (L3), com argamassa de peso específico arg,imp = 1 kn/m 3 ; g) vigas V, V3 e V6 são consideradas sem função estrutural, como componentes da estética da marquise; h) classe II de agressividade ambiental (Tabela 6.1 da NBR 6118), o que leva ao concreto C5 (f ck = 5 MPa) no mínimo, e relação a/c 0,60 (Tabela 7.1 da NBR 6118), c nom =,5 cm para c = 5 mm (Tabela 7. da NBR 6118); i) aço CA-50; j) carga das lajes interna (L1 e L) na viga V1: p laje = 5,0 kn/m.

44 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 41 Figura 41 Perspectiva da estrutura V4 (0 x 35) V1 (19 x 40) Laje interna (L1) A V5 (0 x 35) Laje interna (L) 19 V7 (0 x 35) P1 19/30 P 19/30 P3 19/30 V3 (10 x 40) V (10 x 40) L3 (h = 10 cm) 140 V6 (10 x 40) 154,5 10 A Planta de Fôrma V3 V V L3 V4 40 P Corte A Figura 4 Planta de fôrma e corte da marquise A planta de fôrma da estrutura é desenhada com o observador posicionado no nível inferior à estrutura que se quer mostrar e olhando para cima. Como as vigas V1, V3 e V6 são invertidas, os traços de uma das faces das vigas estão desenhados com linha tracejada.

45 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 4 V (19 x 40) P1 19/30 60 P 19/30 P3 19/30 V1 (19 x 40) 40 tramo 1 tramo ,5 V (0 x 5) 5 Figura 43 Vista do pórtico com a viga V1. RESOLUÇÃO Como a laje (L3) da marquise em balanço está em um nível inferior ao das lajes internas (L1 e L) na edificação, não é possível considerar alguma vinculação entre as lajes, ou seja, a laje em balanço, não tendo continuidade física com as lajes internas, não pode ser considerada engastada nas lajes internas. A única alternativa neste caso é engastar a laje L3 na viga V1. A flexão na laje em balanço age como momento de torção externo aplicado uniformemente distribuído ao longo da viga V1, o que origina o esforço solicitante de momento de torção (T) na viga, o qual deve ser obrigatoriamente considerado no projeto e dimensionamento da V1, ainda que as lajes internas L1 e L restrinjam a torção aplicada na V1. Os momentos de torção (T) na viga V1 tornam-se momentos fletores atuantes nos pilares P1, P e P3, devendo ser computados no dimensionamento desses pilares. No caso de se desejar evitar a torção na viga V1, uma solução possível seria prolongar as vigas V4, V5 e V7 até a extremidade livre da laje L3 em balanço, que passariam a ser responsáveis pelo equilíbrio da laje. A laje, por sua vez, subdividida em duas, passaria a atuar como duas lajes apoiadas nas vigas de borda, sem engastamento na viga V1, e portanto, sem atuação de torção na viga. Outra solução seria o engastamento da laje L3 nas lajes internas L1 e L, possível apenas se as lajes estivessem com a face superior no mesmo nível, o que também eliminaria a torção na viga V1. Inicialmente será apresentado o dimensionamento da laje L3, e em seguida o dimensionamento da viga V1. a) Dimensionamento da laje L3 Na laje ocorrem ações uniformemente distribuídas na área da laje e linearmente distribuídas no contorno externo da laje, representadas pelas cargas das vigas V, V3 e V6. A altura da laje L3 é de 10 cm. a1) Ações uniformemente distribuídas na área As cargas atuantes na laje são as seguintes: - peso próprio: g pp = 5. 0,10 =,50 kn/m - impermeabilização: g imp = 1. 0,03 = 0,63 kn/m - ação variável: q = 0,5 kn/m (laje sem acesso público) - CARGA TOTAL (p) = 3,63 kn/m

46 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 43 a) Ações uniformemente distribuídas no contorno No contorno da laje L3 há a ação do peso próprio das vigas V, V3 e V6, em concreto aparente: - g pp,vigas = 5. 0,10. 0,30 = 0,75 kn/m a3) Cálculo dos esforços solicitantes A laje L3 está engastada na viga V1, e como a laje é armada em uma direção ( = y / x = 798/153 = 5, > ), os esforços solicitantes são calculados supondo-se a laje como viga de largura unitária (1 m), Figura 44. 0,75 kn Com vão livre o de 150 cm, o vão efetivo da laje é: 3,63 kn/m t1 / 19 / 9,5 cm a1 a 1 = 3 cm,(a = 0) 0,3 h 0,3 10 3cm ef = o + a 1 = = 153 cm Os esforços solicitantes máximos são: 3,63 1,53 M 0,75 1,48 5,36 kn.m/m V = (3,63. 1,53 + 0,75) = 6,30 kn/m 0, M (kn.cm/m) K V (kn/m) K 6,30 a4) Verificação da laje à força cortante Figura 44 Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes máximos na laje L3. A laje deve ser verificada quanto à necessidade ou não de armadura transversal. De modo geral as lajes maciças com cargas totais baixas, como neste caso, não requerem armadura transversal, e por isso, o cálculo não será apresentado. 1 a5) Determinação da armadura longitudinal de flexão na laje Considerando que a laje L3 terá uma argamassa de impermeabilização assentada na face superior, para proteção da laje e principalmente da armadura negativa, o cobrimento será considerado,0 cm. Supondo de 6,3 mm, a altura útil d é: d = h c / = 10,0 0,63/ = 7,7 cm A determinação da armadura principal negativa, posicionada perpendicularmente ao eixo longitudinal da viga V1 e junto à face superior da laje, considerando a altura útil d é: K c bw d M d 100 7,7 1, ,9 da Tabela A-1: x = 0,11 0,45 (ok!), K s = 0,04 e dom.. A s K s M d d 1, ,04,34 cm /m 7,7 ( 6,3 c/13,4 cm /m ver Tabela A-11) 1 Na apostila BASTOS, P.S.S. Lajes de concreto. Disciplina 117 Estruturas de Concreto I. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), mar/015, 115p. ( está apresentada a formulação da NBR 6118 para verificação de lajes maciças à força cortante.

47 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 44 A armadura negativa da laje, calculada como viga, considerando os valores contidos na Tabela A-6 e na Tabela A-9, para concreto C5, deve ter o valor mínimo de: 0,15 As,mín 0,15 % bw h ,50 cm /m < A s =,34 cm /m 100 O espaçamento máximo para laje armada em uma direção deve atender a: h 10 0 cm s s máx = 0 cm 0 cm Na direção secundária (perpendicular à direção principal), a laje armada em uma direção deve ter uma armadura de distribuição, de área: 0,As 0,,34 0,47 cm / m As,distr 0,9 cm / m A s,distr = 0,90 cm /m 0,5A 0,5 1,50 0,75 cm / m s,mín ( 4, c/15 cm 0,9 cm /m), obedecendo ao espaçamento máximo de 33 cm entre as barras. a6) Detalhamento das armaduras O detalhamento esquemático das armaduras dimensionadas está na Figura 45. Deve-se observar que a armadura principal da laje em balanço é posicionada junto à face superior, isto é, onde ocorrem as tensões normais de tração. A armadura principal da laje deve ser cuidadosamente ancorada na viga V1, onde está engastada. 13 O detalhe em gancho das barras N1 no interior da viga V1 garante a necessária ancoragem. A armadura inferior (barras N3) não é necessária ao equilíbrio da laje, podendo ser dispensada. No entanto, nas lajes em balanço a sua colocação pode ser útil para aumentar a segurança da laje numa eventual ruína, além de aumentar a ductilidade e diminuir a flecha da laje, que deve ser verificada no caso de um projeto completo. 14 N1 V1 N - 9 4, c/ 15 CORR N N1-61 6,3 c/ 13 C = N3-6 4, c/ 30 C = 165 Figura 45 Detalhamento esquemático das armaduras da laje. 13 A ancoragem da armadura principal da laje pode ser avaliada de modo semelhante às vigas. 14 A flecha da laje L3, por ser uma laje em balanço, deve ser cuidadosamente avaliada. Na apostila há a formulação e exemplos de aplicação: BASTOS, P.S.S. Lajes de concreto. Disciplina 117 Estruturas de Concreto I. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), mar/015, 115p. (

48 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 45 b) Dimensionamento da viga V1 Sobre a viga V1 atuam ações provenientes do peso próprio, da parede de alvenaria existente, das lajes internas L1 e L do edifício e da laje L3 em balanço (reação de apoio e momento fletor na seção de engastamento da laje, que leva à torção da viga). Todas essas ações são uniformemente distribuídas ao longo do comprimento da viga. b1) Ações a considerar - peso próprio: g pp = 5. 0,19. 0,40 = 1,90 kn/m - parede: g par = 3,.,60 = 8,3 kn/m - laje L3 (marquise): p laje = 6,30 kn/m - laje interna (L1 ou L): p laje = 5,0 kn/m - CARGA TOTAL (p) = 1,5 kn/m b) Esforços solicitantes internos O modelo adotado para o esquema estrutural da viga, para a determinação dos momentos fletores e torçores e forças cortantes, é aquele que considera a viga vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos (molas). Para a avaliação dos momentos torçores há que se considerar os dois tramos da viga engastados nos pilares P1, P e P3. A viga V1 é simétrica em geometria e carregamento, de modo que os vãos livres e efetivos dos dois tramos são iguais. vão livre: o = = 359 cm t1 / 30 / 15 cm a1 a 1 = 1 cm = a 0,3 h 0, cm ef = o + a 1 = = 383 cm O apoio intermediário da viga (pilar P) pode ser considerado como um apoio simples, pois de acordo com o esquema mostrado na Figura 43 tem-se que o comprimento de flambagem do lance inferior do pilar é e = 450 cm e e/4 = 450/4 = 11,5 cm. Como a dimensão do pilar na direção da viga (b int = 30 cm) é menor que e/4 (11,5 cm) pode considerar o pilar intermediário como um apoio simples. Caso b int resultasse maior que e/4, os dois tramos da viga deveriam ser considerados engastados no pilar P. A Figura 46 mostra o esquema estático da viga, com os carregamentos atuantes, vãos efetivos, numeração das barras e nós, etc. Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado algum programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa para cálculo de pórtico plano, chamado PPLAN4, de CORRÊA et al. (199). y 1,5 kn/m ,5 191, ,5 191,5 5 x Figura 46 Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras da viga V1. Considerando que os pilares extremos P1 e P3, nos quais a viga se encontra vinculada, estão engastados na estrutura de fundação (bloco de duas estacas e vigas baldrames), o coeficiente de rigidez do lance inferior do pilar será tomado como 4EI/ e. Quando o pilar for considerado apoiado na estrutura de

49 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 46 fundação, o coeficiente de rigidez poderá ser tomado como 3EI/ e. Pilares sobre blocos de uma estaca devem ser considerados simplesmente apoiados (articulados). A rigidez da mola que vincula a viga a esses pilares é avaliada por: K mola = K p,sup + K p,inf Supondo a viga trabalhando em serviço no estádio II (já fissurada), para o módulo de elasticidade do concreto será considerado o valor secante. O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118, item 8..8): E ci 5600 f = 1, = MPa = kn/cm E ck com E = 1, para brita de basalto (ou diabásio). O módulo secante (E cs) é avaliado por: fck E cs = i E ci, com i 0,8 0, 1, i 0,8 0, 0,865 1,0 ok! 80 E cs = 0, =.898 kn/cm O momento de inércia, dos lances inferior e superior do pilar, é: 3 b h I p,sup = I p,inf = cm Observe que a dimensão do pilar considerada ao cubo é aquela coincidente com a direção do eixo longitudinal da viga. Os coeficientes de rigidez dos lances inferior e superior do pilar são: K p,inf 4EI e kn.cm 4EI Kp,sup 300 e Rigidez da mola: kn.cm K mola = = kn.cm A viga em questão tem simetria de geometria e carregamento no pilar intermediário (nó 3). A viga pode, por simplicidade, ser calculada considerando-se apenas os nós 1, e 3, e as barras 1 e. Para isso deve-se fazer o nó 3 com restrição de rotação, além das restrições de apoio simples. Os resultados devem ser idênticos àqueles para a viga completa. O arquivo de dados de entrada no programa, considerando a simetria, tem o aspecto: OPTE,,,,,, UNESP DISC. CONCRETO II EXEMPLO V1 (19 x 40) NOGL 1,3,1,0,0,383,0, RES 1,1,1,,0,0,550600, 3,1,1,1, BARG 1,,1,1,1,,1,1,1,

50 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 47 PROP 1,1,760,101333,40, MATL 1,898, FIMG CARR1 CBRG 1,,1,1,-0.15,1, FIMC FIME A Figura 47 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores característicos máximos) obtidos no programa PPLAN4. A listagem dos resultados calculados pelo programa encontra-se no Anexo B. Na Figura 47 também estão incluídos os esforços de torção (T), provocados pelo momento fletor na laje em balanço (5,36 kn.m), que é momento de torção externo na viga. Os momentos de torção máximos nos apoios foram calculados considerando-se os tramos da viga biengastados. Conforme mostrado na Figura 47 os valores são: T k 5,36 3,83 10,6 kn.m = 1.06 kn.cm 5,36 kn.m 5,36 kn.m P1 P P3 3,83 m 3,83 m 10,6 10,6 T (kn.m) K 10,6 10,6 37,5 44,9 V (kn) K 44,9 37, ~ 17 ~ 5 + ~ M (kn.cm) K Figura 47 Diagramas de esforços solicitantes característicos. A flecha calculada pelo programa para o nó (0,06 cm) não é a flecha máxima no vão, mas é próxima a ela, de modo que serve como um indicativo da deslocabilidade da viga. 15 A flecha de 0,06 cm é muito pequena e desprezível, e muito inferior à flecha máxima permitida para a viga. b3) Dimensionamento das armaduras Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal, para os esforços solicitantes de força cortante e momentos fletores e torçores. 15 Um valor mais próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó (ver Figura 46).

51 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 48 b3.1) Armadura mínima de flexão Conforme a Tabela A-6, para seção retangular e concreto C5, a taxa mínima de armadura ( mín) deve ser de 0,15 % A c, portanto: A s,mín = 0, = 1,14 cm b3.) Armadura de pele A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. Para a viga com largura de 19 cm e a altura de 40 cm não devem surgir fissuras por efeito de retração do concreto. b3.3) Momento fletor negativo b3.3.1) Apoio interno (P) M k = kn.cm M d = f. M k = 1,4. ( 3.101) = kn.cm Por simplicidade e porque o momento fletor negativo no apoio do pilar P é pequeno, não será feita redução de M para δm. Para a altura da viga de 40 cm será adotada a altura útil de 36 cm. A laje em balanço (L3) está comprimida pelo momento fletor negativo, de modo que pode contribuir com a viga e forma uma viga de seção L. A largura colaborante proporcionada pela laje, conforme a NBR 6118, é: b 3 = 0,10 (0,6. 383) = 3 cm b f = b w + b 3 = = 4 cm 18 1,5 d bf d Kc = 1, 5 M 4341 Da Tabela A-1: x = x/d = 0,07 0,45 (ok!), K s = 0,04 e domínio. Ainda resulta que 0,8x < h f = 10 cm, e o cálculo é de seção L como se fosse retangular b f. h. Md 4341 As Ks = 0,04, 89 cm > A s,mín = 1,14 cm d mm 3,0 cm ou 1, ,00 cm No caso de se adotar 1, na primeira camada, a distância livre horizontal entre as barras deve ser superior a 5 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 6,3 mm, a distância livre resulta: 19,5 0,63.1,5 0,8 a h 4,7 cm distância mais que suficiente para a passagem da agulha do vibrador. A distância da base da viga ao CG da armadura é: a cg =,5 + 0,63 + 1,5/ = 3,76 cm 4 cm (valor adotado) b3.3.) Apoios extremos (P1 e P3) M k = kn.cm, e também seção L com b f = 4 cm M d = f. M k = 1,4. ( 1.18) =.366 kn.cm

52 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 49 e 0,8x < h f bf d Kc = 3, 0 Md 366 Tabela A-1: x = x/d = 0,04 0,45 (ok!), K s = 0,03, domínio, 10 Md 366 As Ks = 0,03 1, 51cm > A s,mín = 1,14 cm d mm 1,60 cm b3.3.3) Momento fletor máximo positivo M k = 1.58 kn.cm M d = f. M k = 1, =.15 kn.cm Considerando que as lajes internas (L1 e L) sejam também maciças de concreto, no dimensionamento ao momento fletor positivo máximo pode-se considerar a contribuição da laje para formar uma seção L, dado que a laje está comprimida: e 0,8x < h f b 1 = 0,10 (0,6. 383) = 3 cm b f = b w + b 1 = = 4 cm d bf d Kc = 11, 1 M 15 Tabela A-1: x = x/d = 0,08 0,45 (ok!), K s = 0,04, domínio, Md 15 As Ks = 0,04 1, 48 cm > A s,mín = 1,14 cm d mm 1,60 cm 10 b3.3.4) Armadura longitudinal máxima A soma das armaduras de tração e de compressão (A s + A s) não deve ter valor maior que 4 % A c, calculada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, as áreas de armadura longitudinais são pequenas e não superam a armadura máxima. b4) Dimensionamento da armadura transversal à força cortante A resolução da viga à força cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas em BASTOS (015). Será adotado o Modelo de Cálculo I ( = 45) para a inclinação da diagonais comprimidas. b4.1) Pilar interno P V k = 44,9 kn.cm V Sd = f. V k = 1,4. 44,9 = 6,9 kn a) Verificação das diagonais de compressão Da Tabela A-4, para o concreto C5, determina-se a força cortante máxima: V Rd = 0,43 b w d = 0, = 94,1 kn V Sd = 6,9 kn V Rd = 94,1 kn ok! não ocorrerá esmagamento do concreto nas diagonais de compressão. b) Cálculo da armadura transversal

53 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 50 Da mesma Tabela A-4, para o concreto C5, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,117 b w d = 0, = 80,0 kn V Sd = 6,9 kn < V Sd,mín = 80,0 kn portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima A armadura mínima é calculada pela equação: 0 fct,m Asw,mín bw (cm 3 3 /m), com fct,m 0,3 fck 0,3 5, 56 MPa f A sw, mín ywk 0. 0, ,95 cm /m 50 A força cortante de cálculo nos pilares extremos (V Sd = 5,5 kn) é também menor que a força cortante mínima, o que significa que a armadura mínima deve se estender ao longo dos dois tramos da viga V1. b4.) Detalhamento da armadura transversal a) Diâmetro do estribo: 5 mm t b w/10 t 190/10 19 mm b) Espaçamento máximo: 0,67 V Rd = 0,67. 94,1 = 197,0 kn V Sd,máx = 6,9 < 197,0 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 36 = 1,6 cm Portanto, s máx = 1,6 cm b5) Ancoragem das armaduras longitudinais b5.1) Armadura positiva nos pilares extremos P1 e P3 Como a viga tem simetria de carregamento e geometria, a ancoragem nos pilares P1 e P3 é idêntica. Valor da decalagem do diagrama de momentos fletores (a ) segundo o Modelo de Cálculo I, para estribos verticais: 16 d VSd,máx a d, com a 0,5d (V V ) Sd,máx c Na flexão simples, V c = V c0 = 0,6f ctd b w d = 0,6. 0, = 5,5 kn f a ctd fctk,inf 0,7 fct,m 0,7. 0,3 3 0,7. 0,3 3 fck = 5 1, 8 MPa = 0,18 kn/cm 1,4 36 c 5,5 18 (5,5 5,5) c c 5,5 0 resultou uma fração de valor indefinido, portanto, a = 18 cm, pois a 0,5d. A armadura a ancorar no apoio é: A a V 18 5,5 cm Sd s,anc = 0, 60 d f 50 yd 36 1,15 16 Ver BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 13 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), maio/015, 40p. (

54 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 51 A armadura calculada a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima: A s,anc 1 A 3 1 A 4 s,vão s,vão se M se M apoio apoio 0 ou negativo negativo e de de valor valor M M Mapoio Mvão apoio vão M. 366 kn.cm > M d,vão/ =.15/ = kn.cm d,apoio Portanto, A s,anc 1/4 A s,vão = 1,48/4 = 0,37 cm A s,anc = 0,60 cm 1/4 A s,vão = 0,37 cm ok! portanto, ancorar 0,60 cm A armadura positiva do vão adjacente é composta por 10 mm (1,60 cm ), que deverão ser obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, A s,ef = 1,60 cm > A s,anc = 0,60 cm. O comprimento de ancoragem mínimo no apoio ( b,mín) é: b,mín r 6 cm r = D/ = 5/ = 5. 1,0/ =,5 cm (com D determinado na Tabela A-10) r + 5,5 =,5 + 5,5. 1,0 = 8,0 cm > 6 cm b,mín = 8,0 cm O comprimento de ancoragem básico ( b), conforme a Tabela A-7, para barra com diâmetro de 10 mm, concreto C5, aço CA-50, região de boa aderência e sem gancho, é 38 cm. O comprimento de ancoragem corrigido é: As,anc 0,60 b,corr b 38 14,3 cm A 1,60 s,ef c,5 b,ef 7,5 b,corr 40 O comprimento de ancoragem efetivo no apoio é: b,ef = b c = 30,5 = 7,5 cm 14,3 A s, ef b 30 Verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho) é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo ( b,corr = 14,3 cm < b,ef = 7,5 cm). Isto significa que é possível fazer a ancoragem reta, no comprimento de 14,3 cm. A favor da segurança, as duas barras serão estendidas até a face externa do pilar, obedecido o cobrimento, como mostrado na Figura 50 (barras N5). 17 b5.) Armadura positiva no pilar intermediário P Estendendo 10 (1,60 cm ) da armadura longitudinal positiva até o pilar intermediário, esta armadura deve ser superior à mínima, dada por: M kn.cm > M d,vão/ =.15/ = kn.cm d,apoio 17 A favor da segurança, para uma melhor ancoragem, o gancho pode ser feito na extremidade das barras.

55 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 5 Portanto, A s, anc 1/4 A s,vão = 1,48/4 = 0,37 cm A s,ef = 1,60 cm > 1/4 A s,vão = 0,37 cm As duas barras de 10 mm devem se estender pelo menos 10 além da face do apoio. b5.3) Armadura negativa nos pilares extremos P1 e P3 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico da viga nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face externa do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35. Para diâmetro de 10 mm, o diâmetro de dobramento deve ser de 5, como indicado na Figura cm b6) Dimensionamento à torção Figura 48 Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos. O momento de torção característico (T k) é 1.06 kn.cm e o momento de cálculo é: T Sd = 1, = kn.cm A armadura transversal para a força cortante foi dimensionada segundo o Modelo de Cálculo I ( = 45 ), ângulo que também deve ser considerado no dimensionamento da viga à torção. b6.1) Verificação das diagonais comprimidas Área da seção transversal: A = b w. h = = 760 cm Perímetro da seção transversal: u = (b w + h) = ( ) = 118 cm A Eq. 19 e Eq. 0 fornecem os limites para a espessura h e da parede fina: h e A 760 6,4 cm e h e c 1 u 118 Com c =,5 cm e supondo = 1,5 mm e t = 8 mm tem-se: c 1 = / + t + c nom = 1,5/ + 0,8 +,5 = 3,95 cm h e c 1. 3,95 7,9 cm c 1 cnom Portanto, os limites para h e são: 7,9 cm h e 6,4 cm, ou seja: h e 6,4 cm e h e 7,9 cm. Não é possível adotar um valor para h e que atenda aos limites.

56 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 53 Neste caso, para resolver o problema, entre outras soluções, pode-se aumentar as dimensões da seção transversal da viga. As soluções podem ser determinadas fazendo h e = A/u = c 1 = 7,9 cm. Alterando a largura da viga de 19 para 6 cm, resulta 7,9 cm h e 7,9 cm, que resolve o problema, com a seção 6 x 40. Resta verificar se o projeto arquitetônico permite a viga com largura de 6 cm. No caso de manter a largura (19 cm) e alterar a altura da seção, é necessária a altura de 94 cm para resultar 7,9 cm h e 7,9 cm. Conclui-se, portanto, que aumentar a largura da viga é muito mais efetivo que aumentar a altura. Quando ocorre A/u < c 1 e não se deseja fazer alterações, a NBR 6118 permite adotar: bw 19 h e = A/u b w c 1 h e = A/u = 6,4 cm b w c 1 =19. 3,95 = 11, cm h e = 6,4 cm ok! A área A e é então definida pelos eixos das barras dos cantos (respeitando-se o cobrimento exigido nos estribos): A e = (b w c 1). (h c 1) = (19 7,9). (40 7,9) = 356,3 cm Neste caso, o perímetro da área equivalente A e é: h e 1 6,4 A e u e c he 6,4 c 1 h = 40 u e = [(b w c 1) + (h c 1)] = [(19 7,9) + (40 7,9)] = 86,4 cm O momento torçor máximo, determinado pela Eq., com ângulo (38) igual ao aplicado no cálculo da viga ao esforço cortante é: T Rd, = 0,5 v f cd A e h e sen = 0,5 (1 5/50). (,5/1,4) 356,3. 6,4. sen. 45 = 1.83,4 kn.cm Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 33 deve-se ter: VSd TSd 1 V T Rd Rd Como o momento de torção (T) tem valor máximo igual nos três apoios, a verificação das diagonais de compressão será feita para a força cortante máxima atuante na viga (V Sd,P = 6,9 kn no pilar P). A força cortante máxima calculada para a viga é V Rd = 94,1 kn, e substituindo os valores encontra-se: 6, ,9975 1,0 1,0 ok! 94,1 183,4 Como a equação foi satisfeita, não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão. b6.) Cálculo das armaduras As armaduras mínimas para torção, longitudinal e transversal, são (Eq. 3): A 0 f 0. 0,56 cm /m ct,m s,mín he 6,4 0, 66 fywk 50 0 fct,m 0. 0,56 As,90mín bw 19 1, 95 cm /m f 50 ywk

57 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 54 3 ck 3 com f 0,3 f 0,3 5, 56 MPa (resistência média do concreto à tração direta). ct,m Armadura longitudinal conforme a Eq. 7: A u s e A e T f Sd ywd ,0463 cm 50 /cm tg 356,3 tg 45 1,15 com s = 100 cm, A s = 4,63 cm /m A s,mín = 0,66 cm /m Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 4: ok! As,90 TSd 1436 tg tg 45 0,0463 cm s A f 50 /cm e ywd 356,3 1,15 com s = 100 cm, A s,90 = 4,63 cm /m A s,90mín = 1,95 cm /m ok! b6.3) Detalhamento das armaduras b6.3.1) Armadura longitudinal A área de armadura longitudinal, em cada face da seção retangular da viga, é obtida pela soma das armaduras longitudinais de flexão e de torção. Deve ser feita uma análise dos diagramas de momentos fletores e de momentos torçores, de forma a que a armadura longitudinal final cubra tanto os momentos fletores quanto os torçores, conforme suas variações ao longo dos tramos. Se analisados os diagramas mostrados na Figura 47, observa-se que o momento de torção máximo (T) ocorre nos apoios, e diminui em direção ao centro do tramo. Assim, por simplicidade, podem ser analisadas as seções correspondentes aos apoios (pilares), combinando-se as armaduras longitudinais de flexão e de torção nessas seções. Observe que a armadura longitudinal de torção foi calculada em função de u e, que neste caso não é o perímetro do eixo da parede fina, e sim o perímetro da área equivalente A e, delimitada pelos eixos das barras longitudinais dos cantos da seção transversal. Portanto, A e e u e foram calculados em função de c 1 (distância do centro da barra do canto à face da seção), e não em função de h e. Pilares P1 e P3: Face superior: - da flexão: A s = 1,51 cm - da torção: A s = (b w c 1) A s = (19 7,9) 0,0463 = 0,51 cm - A s,total = 1,51 + 0,51 =,0 cm (3 10 =,40 cm ) Face inferior: - da flexão: A s = 0,60 cm (A s,anc) - da torção: A s = (b w c 1) A s = (19 7,9) 0,0463 = 0,51 cm - A s,total = 0,60 + 0,51 = 1,11 cm (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do vão, que se estende até os apoios extremos - 10 mm 1,60 cm ) Faces laterais: - A s,total = (h c 1) A s = (40 7,9) 0,0463 = 1,49 cm (3 8 mm 1,50 cm ). Esta armadura contribui também para evitar possíveis fissuras causadas pela retração do concreto. A armadura longitudinal total, considerando apenas a torção, é aquela relativa ao perímetro u e : As 0,0463 u cm /cm com u e = 86,4 cm: A 0, ,4 4, 00 s, tot cm e

58 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 55 Para uma conferência, pode-se determinar a armadura total em função da armadura calculada para as faces da viga: A s,tot = (0,51 + 1,49) = 4,00 cm ok! Pilar P (ambos os tramos da viga adjacentes ao pilar, devido à simetria) Face superior: - da flexão: A s =,89 cm - da torção: A s = (19 7,9) 0,0463 = 0,51 cm - A s,total =,89 + 0,51 = 3,40 cm (3 1,5 3,75 cm ) Face inferior: - da flexão: A s = 0,37 cm (A s,anc) - da torção: A s = (19 7,9) 0,0463 = 0,51 cm - A s,total = 0,37 + 0,51 = 0,88 cm (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do vão, que se estende até o apoio intermediário - 10 mm 1,60 cm ) Faces laterais: - A s,total = (h h e) A s = (40 7,9) 0,0463 = 1,49 cm (3 8 mm 1,50 cm ) b6.3.) Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada com a soma das áreas relativas à força cortante e à torção. A armadura para a força cortante resultou igual à armadura mínima, de 0,0195 cm /cm, ao longo de toda a viga. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima relativa à força cortante para um ramo é 0,0195/ = 0,00975 cm/cm, a armadura transversal total é: As,tot sw,1ramo 90 s A s As, s 0, ,0463 = 0,0561 cm /cm onde A s,90 representa a área de um ramo vertical do estribo. O diâmetro do estribo deve ser superior a 5 mm e inferior a b w/10 = 190/10 = 19 mm. Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 5 mm (1 5 mm 0,0 cm ) tem-se: 0,0 s 0,0561 s = 3,7 cm < s máx = 1,6 cm (este espaçamento máximo é válido para a força cortante e para a torção). O espaçamento resultou muito pequeno. Considerando o estribo com diâmetro de 6,3 mm fica: 0,31 0,0561 s = 5,5 cm < s máx = 1,6 cm s O espaçamento também resultou pequeno. Considerando o estribo com diâmetro de 8 mm fica: 0,50 0,0561 s = 8,9 cm 9 cm < s máx = 1,6 cm s Portanto, pode-se dispor estribos 8 mm c/9 cm em toda a extensão dos vãos livres dos dois tramos da viga, a favor da segurança. A rigor, as regiões no centro dos tramos pode ter uma armadura transversal menor, onde os esforços solicitantes V e T são menores. A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1.

59 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 56 b7) Detalhamento da armadura longitudinal A decalagem (a ) do diagrama de momentos fletores de cálculo foi determinada como 18 cm (ver item b5.1). O cobrimento do diagrama de momentos fletores deve ser feito apenas para a armadura negativa no pilar P, porque as armaduras positivas dos vãos têm apenas duas barras, que devem se estender obrigatoriamente até os apoios. As armaduras longitudinais mostradas na Figura 49 consideram a flexão e a torção, ou seja, as armaduras somadas. Os comprimentos de ancoragem básicos (sem gancho) para barras 10 e 1,5 mm, em região de má aderência, aço CA-50 e concreto C5, conforme a Tabela A-7, são respectivamente 54 e 67 cm. A Figura 49 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. Como a viga é simétrica o cobrimento foi feito sobre um tramo apenas. 10 = 67 b face externa do pilar 3 1,5 A A 85 = 54 b ,5 a 18 centro do pilar P 18 B a B a cm Figura 49 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. As barras N5 foram estendidas até as faces do pilar intermediário (P) com o propósito de melhorar a ancoragem dessas barras, dado que elas trabalham também à torção.

60 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 57 V 1 (19 x 40) N1-40 c/9 N1-40 c/9 3 N3 P1 P A P3 x 3 N4 N5 35 N C = N3-3 1,5 C = 40 N C = N4 - x 3 8 CORR N mm C = 108 N5-10 C = 416 N5-10 C = 416 A Figura 50 Detalhamento final das armaduras da viga V Exemplo 3 A Figura 51, Figura 5 e Figura 53 mostram a estrutura em três dimensões, a planta de fôrma e um corte esquemático da estrutura de concreto de uma edificação com dois pavimentos. Essa estrutura já teve a viga VS1 dimensionada (BASTOS, 015) 18. Agora, a viga VS1 tem seu traçado modificado com o objetivo de introduzir esforços internos de torção, e para exemplificação e comparação, o concreto terá a resistência à compressão alterada para 35 MPa, ou seja, do concreto C5 para o C35. O propósito do exemplo é dimensionar e detalhar as armaduras das vigas VS1 e VS6, são conhecidos: - coeficientes de ponderação: c = f = 1,4 ; s = 1,15 ; - peso específico do Concreto Armado: conc = 5 kn/m 3 ; aço CA-50; - conforme NBR 610: argamassa de revestimento com arg,rev = 19 kn/m 3 e argamassa de contrapiso com arg,contr = 1 kn/m 3 ; - edificação em área urbana de cidade: classe II de agressividade ambiental, concreto C35 (f ck = 35 MPa), relação a/c 0,60, c nom =,5 cm para c = 5 mm. OBSERVAÇÕES: a) há uma parede de vedação em toda a extensão das vigas VS1 e VS6, constituída por blocos cerâmicos de oito furos (dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura final de 3 cm e altura de,40 m, com carga por metro quadrado de área de 3,0 kn/m, valor esse que considera os diferentes pesos específicos do bloco cerâmico e das argamassas de assentamento (1 cm) e de revestimento (1,5 cm) 19 ; b) a laje é do tipo pré-fabricada treliçada, com altura total de 16 cm e peso próprio de,33 kn/m ; c) ação variável (carga acidental da NBR q) nas lajes de,0 kn/m ; d) revestimento (piso final) em porcelanato sobre a laje, com piso = 0,0 kn/m ; e) espessura do revestimento inferior da laje = 1,5 cm; espessura do contrapiso = 3,0 cm; f) a ação do vento e os esforços solicitantes decorrentes serão desprezados por se tratar de uma edificação de baixa altura (apenas dois pavimentos), em região não sujeita a ventos de alta intensidade. 18 BASTOS, P.S.S. Vigas de concreto armado. Disciplina 13 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), jun/015, 56p. Disponível em 19 Valores encontrados em GIONGO, J.S. Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, Usp, Dep. de Estruturas

61 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 58 RESOLUÇÃO Figura 51 Perspectiva da estrutura. Todas as vigas do pavimento superior serão representadas segundo um modelo de grelha (Figura 55), para a determinação dos esforços solicitantes e deslocamentos verticais (flechas). As vigas serão consideradas vinculadas aos pilares extremos por meio de engastes elásticos. Devido à mudança de direção que existe nos tramos finais das vigas VS1 e VS6, entre os pilares P3 e P6, surgem esforços de torção nesses tramos. VS1 (19 x 60) P1 19/19 L1 P 19/30 P3 19/30 L VS (19 x 70) P4 19/30 P5 19/30 P6 19/30 53 VS4 (19 x 45) L3 VS3 (19 x 60) VS5 (19 x 45) L4 VS6 (19 x 60) P7 19/ P8 19/ P9 19/19 Figura 5 Planta de fôrma do pavimento superior com as vigas VS1 e VS6.

62 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 59 VC1 (19 x 60) cobertura P1 19/19 40 P 19/30 P3 19/30 VS1 (19 x 60) superior VS6 60 tramo 1 tramo tramo ,5 VB1 (19 x 30) 30 térreo Figura 53 Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1. a) Vãos efetivos Por questão de simplicidade e porque o erro cometido será pequeno e a favor da segurança, na discretização dos nós da grelha os apoios verticais (pilares) serão considerados no centro geométrico dos pilares. Essa simplificação leva a vãos para as vigas um pouco maiores que aqueles que resultariam caso se considerassem os vão efetivos exatos. O modelo de grelha está mostrado na Figura 55. b) Estimativa da altura das vigas A largura das vigas foi adotada igual à dimensão do bloco cerâmico de oito furos, assentado na posição deitada, ou seja, na dimensão de 19 cm. Para a estimativa da altura da viga VS1 foi aplicada a seguinte equação, relativa ao tramo de maior vão: ef 719 h 59,9 cm h = 60 cm 1 1 A viga VS6, embora não tenha as nervuras das lajes pré-fabricadas apoiadas sobre ela, terá a mesma seção transversal da VS1, isto é, 19 x 60 cm, porque no trabalho conjunto das duas vigas no trecho onde ocorre a mudança de direção, o tramo final da viga VS1 trabalhará de certa forma apoiando-se sobre o tramo final da VS6, o que vai acarretar uma alta solicitação de flexão nessa viga na seção sobre o pilar P6. Quanto à instabilidade lateral, como as vigas têm lajes apoiadas em toda a extensão dos vãos, a estabilidade está garantida. c) Cargas nas lajes e nas vigas Como se pode observar na Figura 5, existe o carregamento das lajes L1 e L sobre a viga VS1, pois as nervuras da laje nela se apoiam. Na viga VS6 as lajes L e L4 aplicam apenas uma pequena parcela de carga, dado que as nervuras das lajes não se apoiam sobre a viga. c1) Lajes Para as lajes de piso do pavimento superior considerou-se a laje do tipo pré-fabricada treliçada, com altura total de 16 cm e peso próprio de,33 kn/m. A carga total por m de área da laje é:

63 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 60 c) Viga VS1 - peso próprio: g pp =,33 kn/m - revestimento argam. inferior: g arg,rev = 19. 0,015 = 0,9 kn/m - arg. regularização (contrapiso): g arg,contr = 1. 0,03 = 0,63 kn/m - piso final (porcelanato): g piso = 0,0 kn/m - ação variável: q =,00 kn/m CARGA TOTAL: p = 5,45 kn/m Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda extensão (composta por blocos cerâmicos de oito furos, espessura final de 3 cm e altura de,40 m, e peso específico 3,0 kn/m ), da laje pré-fabricada com carga total de 5,45 kn/m e comprimento de 5,35 m (distância entre o centro da viga VS e a face externa da viga VS1), e o peso próprio da viga (com seção transversal de 19 x 60 cm), o carregamento total atuante nos tramos entre os pilares P1 e P3 é: - peso próprio: g pp = 5. 0,19. 0,60 =,85 kn/m - parede de alvenaria: g par = 3,0.,40 = 7,68 kn/m - laje: p laje = 5,45. (5,35/) = 14,51 kn/m CARGA TOTAL: P = 5,04 kn/m No tramo onde ocorre a mudança de direção, entre o pilar P3 e a viga VS6, com comprimento de 389 cm, a carga da laje na VS1 foi diminuída proporcionalmente à diminuição do comprimento das nervuras da laje (Figura 54). O vão entre o pilar P3 e a viga VS6 foi dividido ao meio para separar dois trechos de carga, com as nervuras da laje tendo os comprimentos médios de 474 cm e 341 cm. A carga da laje sobre a viga VS1 foi calculada segundo esses comprimentos médios. Relativamente ao comprimento de 474 cm foi considerada a carga de 3,7 kn/m, e de 0,09 kn/m no comprimento de 341 cm ,5 194,5 97,3 97,3 97,3 97,3 P 19/30 P3 19/30 direção das nervuras P5 19/30 P6 19/30 c3) Viga VS6 Figura 54 Comprimentos médios considerados para as nervuras da laje no tramo da viga VS1. A carga da laje na viga foi calculada como sendo a correspondente à largura de uma lajota, com 30 cm. A carga atuante na viga VS6 é: - peso próprio: g pp = 5. 0,19. 0,60 =,85 kn/m - parede de alvernaria: g par = 3,0.,40 = 7,68 kn/m - laje: g laje = 5,45. 0,30 = 1,64 kn/m CARGA TOTAL: p = 1,17 kn/m

64 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 61 d) Modelo de grelha para as vigas do pavimento O comprimento de flambagem ( e) dos pilares, considerados biarticulados (na base e no topo), é de 300 cm, e e/4 = 300/4 = 75 cm. Para a maior dimensão dos pilares na direção das vigas (b int) tem-se: b int = 30 cm < e/4 = 75 cm Portanto, os pilares intermediários podem ser considerados como apoios simples para as vigas. A NBR 6118 considera que as vigas contínuas, quando calculadas individualmente e separadas do restante da estrutura, tenham a vinculação obrigatoriamente considerada com os pilares extremos. Neste exemplo, as vigas serão consideradas vinculadas aos pilares extremos por meio de engastamentos elásticos (molas). O pilar P3 não será considerado como engaste elástico devido à continuidade da viga VS1 no pilar. Para determinação dos esforços solicitantes segundo o modelo de grelha pode ser utilizado algum programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa GLAN4, de CORRÊA et al. (199). Na Figura 55 mostra-se o modelo de grelha, representativo das vigas do pavimento superior, com a numeração dos nós e das barras. Os números externos no desenho indicam as propriedades das barras. No total são 16 nós e 19 barras. Alguns nós, posicionados no meio de algumas barras, foram introduzidos apenas para fornecerem uma indicação das flechas nas vigas y 16 x d1) Rigidez da mola Figura 55 Numeração dos nós, das barras, das propriedades das barras e indicação dos engastes elásticos nos pilares extremos. A rigidez da mola dos engastes elásticos pode ser avaliada pela equação: K mola = K p,sup + K p,inf Como os comprimentos de flambagem dos lances inferior e superior e a seção transversal dos pilares extremos são idênticos, as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais e valem: K p,sup = K p,inf = 4 EI A rigidez da mola vale portanto: e K mola 8 EI e

65 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 6 Supondo a viga trabalhando em serviço no estádio II (já fissurada), para o módulo de elasticidade do concreto será considerado o valor secante. O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118, item 8..8): E ci 5600 f = 1, = MPa = 3.975,6 kn/cm E ck com E = 1, para brita de basalto (ou diabásio). O módulo de elasticidade secante (E cs) é avaliado por: fck E cs = i E ci, com i 0,8 0, 1, i 0,8 0, 0,8875 1,0 ok! 80 E cs = 0, ,6 = 3.58 kn/cm Para o módulo de elasticidade transversal (G - NBR 6118, item 8..9) pode-se considerar a relação: Ecs 358 Gc kn/cm,4,4 O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P1, P7 e P9 (seção 19/19) é: I p,sup = I p,inf = cm 4 1 Rigidez da mola: 0 8 EI Kmola = kn.cm e O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P4 e P6 (seção 19/30), considerando a direção da viga VS, é: I p,sup = I p,inf = cm 4 8 EI Kmola 1 = kn.cm e O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P e P8 (seção 19/30), considerando a direção da viga VS5, é: I p,sup = I p,inf = cm 4 1 d) Arquivo de dados K mola 8 EI = kn.cm e Para o arquivo de dados de entrada da grelha seguiram-se as recomendações contidas no manual de utilização do programa computacional GPLAN4. 1 Para o módulo de elasticidade do concreto adotou-se o valor calculado de 3.58 kn/cm, e para o módulo de elasticidade transversal (G) o valor de kn/cm. 0 Se as dimensões e comprimento de flambagem dos pilares forem diferentes nos lances inferior e superior, os valores devem ser calculados individualmente para cada lance. 1 CORRÊA, M.R.S. ; RAMALHO, M.A. ; CEOTTO, L.H. Sistema PPLAN3/GPLAN3 Manual de utilização. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 199, 80p. Disponível em

66 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 63 Nas barras com mudança de direção (1, 13 e 14) é necessário considerar o momento de inércia à torção. Nas demais barras, onde a torção de compatibilidade, quando existir, pode ser desprezada, apenas um pequeno valor foi adotado para não causar problema no processamento do programa (foi considerado 100). Os momentos de inércia à torção (J) das barras 1, 13 e 14 foram calculados com a Eq. 37 e a Tabela, considerando a seção transversal 19 x 60 cm: n b h ,317 J j b h 0, cm 4 3 O arquivo de dados de entrada para o programa GPLAN4 tem o aspecto: OPTE,,,,,, UNESP - BAURU. TORÇÃO EM VIGAS EXEMPLO 3 GRELHA PAV. NOGP 1,5,1,0,0,1438,0, 6,10,5,0,53,1438,53, NOGL 11,1,1,1438,807,143.5,96.5, 13,15,1,0,1046,719,1046, NO 16,1049,1046, RESG 1,5,4,1,,,0,043418,043418, 6,10,4,1,0,,0,0,36568, 3,15,1,1,,0,0, , RES 13,1,,,0,043418,043418, 8,1, 16,1, BARG 1,4,1,1,1,,1,1,1, 5,8,1,6,1,7,1,,1, 9,11,1,13,1,14,1,1,1, 1,13,1,16,-4,1,-1,3,1, 16,17,1,1,5,6,7,4,1, 18,19,1,3,5,8,7,4,1, BAR 14,11,10,3,1, 15,10,5,1,1, PROP 1,1,1140,34000,100,60,,1,1330,543083,100,70, 3,1,1140,34000,109470,60, 4,1,855,14481,100,45, MATL 1,358,1470, FIMG CARR1 CBRG 1,4,1,1,-.504,1, 5,8,1,1,-.4003,1, 9,11,1,1,-.504,1, 14,15,1,1,-.117,1, 16,17,1,1,-.1194,1, 18,19,1,1,-.1357,1, CBR 1,1,-.37,1, 13,1,-.009,1, FIMC FIME

67 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 64 d3) Esforços solicitantes A Figura 56 e a Figura 57 mostram os diagramas de esforços solicitantes característicos (forças cortantes, momentos fletores e momentos torçores) obtidos no programa GPLAN4 para as vigas VS1 e VS6, respectivamente. A listagem completa dos resultados calculados pelo programa encontra-se no Anexo B3. A flecha calculada (deslocamentos z) pelo programa para os nós (0,3 cm), 7 (0,3 cm), 11 (0,5 cm), 1 (0,4 cm) e 14 (0,4 cm), embora não sendo exatamente as flechas máximas das vigas, servem como valores indicativos da deslocabilidade vertical. A maior flecha, de 0,5 cm no nó 11 é menor que a flecha máxima permitida pela NBR 6118, de 10 mm para a situação de Efeitos em elementos não estruturais, considerando que sobre a viga existirá uma parede de alvenaria. Conclui-se que a seção transversal adotada para a viga é suficiente. V (kn) k 79,6 64,1 64,0 barras 1 e 13 P1 P 100,4 18,5 36,0 P M k (kn.cm) ~35-63 barras 1 e P1 + ~130 P 3088 P T k (kn.cm) barras 1 e 13 P P Figura 56 Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS1.

68 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 65 7,4 P9 70,6 36,0 56, P6 barra 14 V (kn) k barra P9 ~ 355 P6 ~ M k (kn.cm) barra 14 P P6 T k (kn.cm) e) Armadura mínima de flexão Figura 57 Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS6. Conforme a Tabela A-6, para seção retangular e concreto C35, a taxa mínima de armadura ( mín) deve ser de 0,164 % A c, portanto: A s,mín = 0, = 1,87 cm f) Armadura de pele A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm (NBR 6118). No entanto, a fim de evitar fissuras de retração que possam surgir na viga, será colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % A c (área da armadura de pele conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga: A s,pele = 0, = 0,57 cm 4 4, mm 0,56 cm em cada face, distribuídos ao longo da altura (ver Figura 6). g) Dimensionamento das armaduras da viga VS1 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais, para os esforços solicitantes máximos de M, V e T. g1) Armadura longitudinal de flexão Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores máximos, positivos e negativos. A contribuição da capa (mesa) das lajes pré-fabricadas treliçadas não será considerada para formar seções L ou T, no dimensionamento à flexão. g1.1) Momento fletor negativo g1.1.1) Apoio pilar intermediário P Como o momento fletor negativo não é muito maior que o momento fletor máximo positivo no tramo esquerdo, por simplicidade não será feita a redução de M para δm, como permitida pela NBR 6118.

69 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 66 M k = kn.cm M d = f. M k = 1,4. ( 10600) = kn.cm Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 56 cm: d bw d Kc = 4, 0 M Da Tabela A-1: x = x/d = 0,16 0,45 (ok!), K s = 0,05 e dom.. Md As Ks = 0,05 6, 63 cm > A s,mín = 1,87 cm d ,5 mm (5,00 cm ) + 10 mm (1,60 cm ) 6,60 cm a h 4 1,5 10 Considerando que o vibrador de agulha que será aplicado no adensamento do concreto tenha agulha com diâmetro de 5 mm, a distância livre horizontal entre as barras da primeira fiada deve superar 5 mm. Supondo estribo com diâmetro de 6,3 mm e c =,5 cm, para o detalhamento mostrado a distância livre resulta: 19,5 0,63 4.1,5 a h,6 cm = 6 mm 3 distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador. g1.1.) Apoio pilar intermediário P3 Neste pilar, devido aos esforços de torção e mudança na direção dos tramos, ocorrem dois diferentes valores para o momento fletor negativo. O cálculo será feito para o maior valor, de kn.cm. M d = f. M k = 1,4. ( 3088) = 4.33 kn.cm d bw d Kc = 13, 8 M 433 Da Tabela A-1: x = x/d = 0,04 0,45 (ok!), K s = 0,03 e dom.. Md 433 As Ks = 0,03 1, 78 cm < A s,mín = 1,87 cm d mm mm =,10 cm g1.1.3) Apoio pilar extremo P1 M k = kn.cm M d = f. M k = 1,4. ( 3141) = kn.cm d bw d Kc = 13, 6 M 4397 Da Tabela A-1: x = x/d = 0,04 0,45 (ok!), K s = 0,03 e dom.. Md 4397 As Ks = 0,03 1, 81 cm < A s,mín = 1,87 cm d mm mm =,10 cm g1.1.4) Momento fletor positivo entre os pilares P1 e P

70 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 67 Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de espessura 4 cm, normalmente não se considera a contribuição dessa capa de pequena espessura para formar a mesa da seção T, de modo que a viga será calculada como seção retangular. M k = 9.51 kn.cm M d = f. M k = 1, = kn.cm d bw d Kc = 4, 5 M 1339 Da Tabela A-1: x = x/d = 0,14 0,45 (ok!), K s = 0,04 e dom.. Md 1339 As Ks = 0,04 5, 71 cm > A s,mín = 1,87 cm d ,5 = 6,5 cm 5 1,5 g1.1.5) Momento fletor positivo entre os pilares P e P3 Os momentos fletores no tramo entre os pilares P e P3 resultaram negativos no modelo de grelha (ver Figura 56). Neste caso, particularmente, é importante verificar a ocorrência de momento fletor positivo, conforme exige a NBR 6118, fazendo o tramo isolado, como mostrado na Figura 58. O pilar P3 será considerado apoio simples devido à mudança de direção dos tramos nesse pilar. 5,04 kn/m P P3 Figura 58 Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barra para obtenção do momento fletor positivo considerando engaste no apoio interno P da viga VS1. O arquivo de dados de entrada no programa PPLAN4 está apresentado a seguir. O relatório com os resultados encontra-se no Anexo B4. OPTE,,,,,, UNESP, BAURU/SP DISC. CONCRETO II - TORÇÃO MOMENTO POSITIVO ENTRE OS PILARES P E P3, COM ENGASTE NO PILAR P VS1 (19 x 60) NOGL 1,,1,0,0,330,0, RES 1,1,1,1,,1,1, BAR 1,1,,1,1, PROP 1,1,1140,34000,60, MATL 1,358, FIMG CARR1 CBR 1,1,-0.504,1, FIMC FIME

71 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 68 O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 58 resulta kn.cm. Esse momento deve ser considerado no dimensionamento da armadura longitudinal positiva do tramo. M k = kn.cm (ver Anexo B4) M d = 1, =.673 kn.cm d bw d Kc =, 3 M 673 Da Tabela A-1: x = x/d = 0,03 0,45 (ok!), K s = 0,03 e dom.. Md 673 As Ks = 0,03 1, 10 cm < A s,mín = 1,87 cm d mm mm =,10 cm g1.1.6) Momento fletor positivo à direita do pilar P3 M k = kn.cm M d = f. M k = 1, = kn.cm b w d K c = 7, 1 M d 8443 Da Tabela A-1: x = x/d = 0,09 0,45 (ok!), K s = 0,04 e dom.. Md 8443 As Ks = 0,04 3, 6 cm > A s,mín = 1,87 cm d ,5 = 3,75 cm g) Armadura transversal à força cortante 3 1,5 O dimensionamento à força cortante será feito com as equações simplificadas apresentadas em BASTOS (015). Será considerado o Modelo de Cálculo I ( = 45 - ângulo de inclinação das diagonais de compressão). O cálculo está apresentado apenas para a força cortante máxima na viga VS1. g.1) Tramo à esquerda do pilar intermediário P V k = 100,4 kn.cm V Sd = f. V k = 1,4. 100,4 = 140,6 kn g.1.1) Verificação das diagonais de compressão Na Tabela A-4, para o concreto C35 determina-se a força cortante máxima: V Rd = 0,58 b w d = 0, = 617,1 kn VSd 140,6 VRd 617,1 kn ok!, não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão. g.1.) Cálculo da armadura transversal Na Tabela A-4, para o concreto C35 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,147 b w d = 0, = 156,4 kn V 140,6 V 156,4 kn portanto, deve-se dispor a armadura mínima transversal. Sd Sd, mín

72 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 69 Como todas as demais forças cortantes atuantes são menores que V k de 100,4 kn, conclui-se que todos os tramos devem ter a armadura transversal mínima. A armadura mínima é calculada pela equação: 0 fct,m Asw,mín bw (cm /m), com f 0,3 3 3 ct,m fck 0,3 35 3, 1 MPa f A sw, mín ywk 0. 0,31 19,44 cm /m 50 g.1.3) Detalhamento da armadura transversal - Diâmetro do estribo: 5 mm t b w/10 t 190/10 19 mm - Espaçamento máximo: 0,67 V Rd = 0, ,1 = 413,5 kn V Sd = 140,6 < 413,5 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 56 = 33,6 cm portanto, s máx = 30 cm - Espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo: 0,0 V Rd = 0,0. 617,1 = 13,4 kn V Sd = 140,6 > 13,4 kn s t 0,6 d 35 cm 0,6 d = 0,6. 56 = 33,6 cm portanto, s t,máx = 33,6 cm g.1.4) Detalhamento da armadura transversal No tramo da viga VS1 do lado esquerdo do pilar P tem-se A sw = A sw,mín =,44 cm /m = 0,044 cm /cm. Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1 5 mm 0,0 cm ), tem-se: A sw 0,044 s cm /cm 0,40 0, s 044 s = 16,4 cm s máx = 30 cm (ok!) portanto, estribo 5 mm c/16 cm para os tramos. g3) Ancoragem das armaduras longitudinais g3.1) Armadura positiva no pilar extremo P1 A força cortante na viga na posição do pilar P1 é: V k = 79,6 kn V Sd = 1,4. 79,6 = 111,4 kn Valor da decalagem do diagrama de momentos fletores (a ) segundo o Modelo de Cálculo I, para estribos verticais: d VSd,máx a d, com a 0,5d (V V ) Sd,máx c Na flexão simples, V c = V c0 = 0,6f ctd b w d = 0,6. 0, = 10,1 kn f ctd fctk,inf 0,7 fct,m 0,7. 0,3 3 0,7. 0,3 3 fck = 35 1, 60 MPa = 0,160 kn/cm 1,4 c c c BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 13 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), maio/015, 40p. (

73 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado ,4 a 335,4 cm d = 56 cm portanto, a = 56 cm (111,4 10,1) A armadura a ancorar no apoio é: A s,anc a VSd 56 = d f 56 yd 111,4 50 1,15,56 cm A armadura a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima: A s,anc 1 A 3 1 A 4 s,vão s,vão se M se M apoio apoio 0 ou negativo negativo e de de valor valor M M Mapoio Mvão apoio vão M kn.cm < M d,vão/ = 13.39/ = kn.cm d,apoio Portanto, A s,anc 1/3 A s,vão = 5,71/3 = 1,90 cm A s,anc =,56 cm 1/3 A s,vão = 1,90 cm ok! Se resultar A s,anc menor que o valor mínimo, deve-se seguir nos cálculos com A s,anc igual ao valor mínimo (1/3 ou 1/4 do A s,vão). A armadura positiva do vão adjacente ao pilar é composta por 5 1,5 mm, onde 1,5 posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, podese considerar que 1,5 (,50 cm = A s,ef) atendem a área necessária a ancorar, de,56 cm. A armadura a ancorar deve penetrar no pilar no comprimento de ancoragem básico ( b). Conforme a Tabela A-7, o comprimento de ancoragem básico (sem gancho), para barra de diâmetro 1,5 mm, concreto C35, aço CA-50, em região de boa aderência, é 38 cm. O comprimento de ancoragem corrigido é: As,anc,56 b,corr b 38 38,9 cm A,50 s,ef b,corr As,ef O comprimento de ancoragem efetivo do apoio é: b,ef = b c = 19,5 = 16,5 cm O comprimento mínimo da ancoragem no apoio ( b,mín) é: r b,mín 6 cm r = 5/ = 5. 1,5/ = 3,1 cm (com D determinado na Tabela A-10) c b,ef b r + 5,5 = 3,1 + 5,5. 1,5 = 10,0 cm > 6 cm b,mín = 10,0 cm Tem-se que b,corr = 38,9 cm > b,mín = 10,0 cm ok!

74 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 71 Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido é superior ao comprimento de ancoragem efetivo ( b,corr = 38,9 cm > b,ef = 16,5 cm). Isto significa que não é possível fazer a ancoragem reta. A próxima tentativa de ancoragem é fazer o gancho na extremidade das barras. O comprimento de ancoragem, com gancho, é: b,gancho 0,7.38,9 7, cm Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o comprimento de ancoragem resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: ( b,gancho = 7, cm > b,ef = 16,5 cm). A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para A s,corr : A s,corr 0,7 b 0,7 38 As,anc=,56 4, 13 cm 16,5 b,ef Para atender a armadura corrigida pode-se estender mais duas barras das cinco barras da armadura positiva no vão, ou seja, A s,ef = 5,00 cm (4 1,5), o que atende com folga à armadura corrigida. Como uma alternativa a este arranjo, pode-se manter 1,5 (A s,ef =,50 cm ) da armadura longitudinal e acrescentar grampos complementares, com área de: A s,gr = A s,corr A s,ef = 4,13,50 = 1,63 cm (1 grampo: 10 mm 1,60 cm ) A armadura a ancorar fica com 1, ,10 cm. O detalhe da ancoragem está mostrado na Figura 59.,5 100 = 100 cm gr 10 cm 15,5 19 grampo 10 1,5 Figura 59 Detalhe da ancoragem nos pilares extremos. g3.) Armadura positiva nos pilares intermediários (internos) Estendendo 1,5 (dos vértices dos estribos) da armadura longitudinal positiva do vão até o pilar intermediário P (A s,anc =,50 cm ), esta armadura deve ser superior à armadura mínima a ancorar: M kn.cm > M d,vão/ = 13.39/ = kn.cm d,apoio Portanto, A s,anc 1/4 A s,vão = 5,71/4 = 1,43 cm A s,anc =,50 cm > 1/4 A s,vão = 1,43 cm ok! As duas barras de 1,5 mm devem se estender 10 além da face do pilar. No caso do tramo à esquerda do pilar P3, como o vão é pequeno, não há necessidade de interromper parte da armadura antes dos apoios, ou seja, pode-se estender até os apoios todas as barras da armadura longitudinal positiva ( ,10 cm ). Esta área deve ser superior à armadura mínima a ancorar, de 1/4 A s,vão = 1,10/4 = 0,8 cm.

75 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 7 Portanto, A s,anc =,10 cm > 1/4 A s,vão = 0,8 cm ok! No tramo à direita do pilar P3 tem-se: M kn.cm < M d,vão/ = 8.443/ = 4. kn.cm d,apoio Portanto, A s,anc 1/3 A s,vão = 3,6/3 = 1,1 cm ancorando as duas barras dos vértices dos estribos: 1,5 mm,50 cm, é atendida a área mínima de 1,1 cm. Para a força cortante V k = 100,4 kn no tramo à esquerda do pilar P, o valor da decalagem do diagrama de momentos fletores (a ), segundo o Modelo de Cálculo I, é: V Sd = 1,4. 100,4 = 140,6 kn d VSd,máx a d, com a 0,5d (V V ) Sd,máx c Na flexão simples, V c = V c0 = 0,6f ctd b w d = 0,6. 0, = 10,1 kn f ctd fctk,inf 0,7 fct,m 0,7. 0,3 3 0,7. 0,3 3 fck = 35 1, 60 MPa = 0,160 kn/cm 1,4 c c c ,6 a 10, cm d = 56 cm portanto, a = 56 cm (140,6 10,1) este valor, que é o máximo possível, será adotado para os demais tramos. g3.3) Armadura negativa no pilar extremo P1 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face externa do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35. O diâmetro de dobramento deve ser de 5 (para CA-50 e < 0 mm), como indicado na Figura cm g4) Dimensionamento à torção Figura 60 Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos. O tramo à direita do pilar P3 está submetido ao momento de torção característico (T k) de kn.cm. O momento de cálculo é: T Sd = γ f. T k = 1, =.6 kn.cm

76 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 73 g4.1) Verificação das diagonais comprimidas Área da seção transversal: A = b w. h = = cm Perímetro da seção transversal: u = (b w + h) = ( ) = 158 cm As Eq. 19 e 0 fornecem os limites para a espessura h e da parede fina: h e A ,cm e h e c 1 u 158 Sendo c =,5 cm e supondo = 1,5 mm e t = 8 mm encontra-se: c 1 = / + t + c nom = 1,5/ + 0,8 +,5 = 3,95 cm c 1 cnom h e c 1 =. 3,95 = 7,85 cm Portanto, os limites para h e são: 7,85 cm h e 7, cm, ou seja: h e 7, cm e h e 7,85 cm. Não é possível adotar um valor para h e que atenda aos limites. Neste caso, para resolver o problema, entre outras soluções, podese aumentar as dimensões da seção transversal da viga. A solução que melhor resolve o problema é aumentar a largura da viga. 3 Quando ocorre A/u < c 1, e não se deseja fazer alterações na viga, a NBR 6118 permite adotar: h e = A/u b w c 1 : h e = A/u = 7, cm b w c 1 = 19 7,85 = 11,15 cm ok! h e = 7, cm h e 7, A e ue b w 19 c 1 h = 60 A área A e deve ser definida pelos eixos das barras dos cantos (respeitando-se o cobrimento exigido nos estribos): A e = (b w c 1). (h c 1) = (19 7,85). (60 7,85) = 581,5 cm O perímetro da área equivalente neste caso é: u e = [(b w c 1) + (h c 1)] = [(19 7,85) + (60 7,85)] = 16,6 cm c 1 he 7, O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 3, com ângulo (45) igual ao aplicado no cálculo da viga à força cortante (Modelo de Cálculo I), é: T Rd, = 0,5 v f cd A e h e sen = 0,5 (1 35/50). (3,5/1,4) 581,5. 7,. sen. 45 = 4.500,8 kn.cm Para não ocorrer esmagamento do concreto nas bielas comprimidas, conforme a Eq. 33 deve-se ter: VSd TSd 1 V T Rd Rd Sendo V Rd = 617,1 kn e V Sd,máx = 89,6 kn (de V k = 64,0 kn do tramo direito no pilar P3), aplicando os valores numéricos na Eq. 33 fica: 89,6 6 0,65 1,0 ok! 617,1 4500,8 3 Ver o Exemplo.

77 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 74 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão. g4.) Cálculo das armaduras As armaduras mínimas para torção, longitudinal e transversal, são (Eq. 3): A 0 f 0. 0,31 cm /m ct,m s,mín he 7, 0, 9 fywk 50 0 fct,m 0. 0,31 As,90mín bw 19, 44 cm /m f 50 ywk 3 ck 3 com f 0,3 f 0,3 35 3, 1MPa (resistência média do concreto à tração direta). ct,m Armadura longitudinal conforme a Eq. 7: A u s e A e T f Sd ywd 6 0,0447 cm 50 /cm tg 581,5 tg 45 1,15 com u e = 100 cm, A s = 4,47 cm /m A s,mín = 0,9 cm /m Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 4: ok! As,90 TSd 6 tg tg 45 0,0447 cm s A f 50 /cm e ywd 581,5 1,15 com s = 100 cm, A s,90 = 4,47 cm /m A s,90mín =,44 cm /m ok! g4.3) Detalhamento das armaduras O diagrama de T k na Figura 56 mostra que as armaduras para torção devem ser mantidas obrigatoriamente constantes ao longo do tramo. g4.3.1) Armadura longitudinal A armadura longitudinal de torção pode ser combinada com a armadura longitudinal de flexão, considerando as seções onde ocorreram os momentos fletores máximos, no pilar P3 e no vão. A análise deve ser feita para cada uma das quatro faces da viga, mantendo-se a proporcionalidade de armadura. Seção adjacente ao pilar P3: Face superior: - da flexão: A s = 1,51 cm (armadura de flexão calculada para M k =.63 kn.cm) - da torção: A s = (b w c 1) A s = (19 7,85) 0,0447 = 0,50 cm - A s,total = 1,51 + 0,50 =,01 cm ( 1,5,50 cm ) Na região sob momento fletor negativo a resistência será proporcionada por 1,5, e no restante do tramo (sob momento fletor positivo) serão colocados 8 mm, que atendem com folga a armadura necessária para torção (0,50 cm ), e as barras trabalham também como porta-estribos.

78 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 75 Face inferior: - da flexão: A s = 1,1 cm (armadura mínima a ancorar no pilar P3) - da torção: A s = (b w c 1) A s = (19 7,85) 0,0447 = 0,50 cm - A s,total = 1,1 + 0,50 = 1,71 cm Esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva à direita do pilar P3, que será estendida do vão e ancorada no pilar: 3 1,5 mm 3,75 cm ). Faces laterais: - A s,total = (h c 1) A s = (60 7,85) 0,0447 =,33 cm (3 10 mm,40 cm ). Esta armadura, em cada face, deve estender-se do pilar P3 até a intersecção com a viga VS6; essa armadura contribui também para evitar possíveis fissuras por retração do concreto. Região do máximo momento fletor positivo Face superior: - da flexão: A s = 0,00 cm - da torção: A s = (19 7,85) 0,0447 = 0,50 cm - A s,total = 0,50 cm ( 8 1,00 cm ) Face inferior: - da flexão: A s = 3,6 cm - da torção: A s = (19 7,85) 0,0447 = 0,50 cm - A s,total = 3,6 + 0,50 = 4,1 cm (3 1, ,5 cm ) Faces laterais: - A s,total = (h c 1) A s = (60 7,85) 0,0447 =,33 cm (3 10 mm,40 cm ) Para uma conferência pode-se calcular a armadura longitudinal total, considerando apenas a torção, relativa ao perímetro u e : As 0,0447 u cm /cm com u e = 16,6 cm: A 0, ,6 5, 66 s, tot cm e A armadura total, em função das áreas calculadas para as faces da viga, é: A s,tot = (0,50 +,33) = 5,66 cm ok! g4.3.) Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas à força cortante e à torção. A armadura para a força cortante máxima entre o pilar P3 e a interseção com a viga VS6 resultou na armadura mínima, de 0,044 cm /cm. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área relativa à força cortante para um ramo é 0,044/ = 0,01 cm/m, a armadura transversal total é: As,total 90 s Asw,1ramo As, 0,01 0,0447 0,0569 cm /cm = 5,69 cm /m s s onde A s,90 representa a área de um ramo vertical do estribo. O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm. Supondo estribo fechado de dois ramos verticais com diâmetro de 6,3 mm (1 6,3 0,31 cm ) tem-se: 0,31 0,0569 s = 5,4 cm s que é um espaçamento muito pequeno. Alterando o diâmetro para 8 mm (1 8 0,50 cm ) tem-se:

79 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 76 0,50 s 0,0569 s = 8,8 cm s máx = 30 cm ok! Portanto, pode-se escolher estribo 8 mm c/9 cm. Na Figura 6 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1. g5) Detalhamento da armadura longitudinal Conforme os cálculos da decalagem a executados, pode-se considerar o valor de 56 cm (d) para todos os tramos, a ser aplicado no deslocamento do diagrama de momentos fletores de cálculo. Os comprimentos de ancoragem básicos, para concreto C35 e conforme a Tabela A-7 (colunas sem gancho), são: para 10 mm (43 cm para má aderência e 30 cm para boa aderência), e para 1,5 mm (54 cm para má aderência e 38 cm para boa aderência). A Figura 61 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positivas e negativas. A Figura 6 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito comumente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente na escala de 1:5 ou 1: P1 face do pilar a a 56 B 10 1, ,5 b A 1 1,5 1,5 1,5 1,5 A b 38 B a 10 1,5 54 a B A B 1,5 a , A a a 1,5 10 1,5 P a 56 1,5 P ,5 a 56 a , a Figura 61 Cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo da viga VS1.

80 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 77 VS 1 (19 x 60) N1-44 c/16 N1-19 c/16 N7 N4 N - 50 c/9 N P1 P P N6-1 8 C = 145 N3-10 C = 606 N4-1,5 C = N7-1,5 C = N5-8 C = 430 VS6 4N9 1N11 N15 4N9 N1 N5 N8-10 C = 30 ( cam) N10 3N10 N9 - x 4 4, C = N11-1 1,5 C = 398 ( cam) 3N17 1N N1-1,5 C = 583 N C = 340 N15-1,5 C = 74 N16-10 C = N10 - x 3 10 C = 530 N C = 340 N17-3 1,5 C = N C = 13 N C = N C = 148 Figura 6 Detalhamento final das armaduras da viga VS1. h) Dimensionamento das armaduras da viga VS6 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais para os esforços solicitantes internos máximos de M, V e T. h1) Armadura longitudinal de flexão h1.1) Apoio intermediário P6 M k = kn.cm M d = f. M k = 1,4. ( 1.300) = 17.0 kn.cm Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 55 cm: 5 1,5 d bw d Kc = 3, 4 M 170 Da Tabela A-1: x = x/d = 0,19 0,45 (ok!), K s = 0,05 e dom.. Md 170 As Ks = 0,05 7, 83 cm > A s,mín = 1,87 cm d , = 7,85 cm a h 10 Supondo que o concreto será adensado com um vibrador com diâmetro de agulha de 5 mm, a distância livre horizontal entre as barras longitudinais das camadas superiores deve ser superior a esse diâmetro. Considerando estribo com diâmetro de 5 mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre entre as barras da primeira camada resulta: a h 19,5 0,5 4.1,5,7 cm 3

81 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 78 distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador. Supondo que o centro de gravidade da armadura esteja posicionado 0,5 cm abaixo da face inferior das barras da primeira camada, a distância entre a face tracionada e o CG é: a cg =,5 + 0,5 + 1,5 + 0,5 = 4,8 cm (valor compatível com a altura útil d = 55 cm) h1.) Momento fletor positivo na extremidade direita M k =.84 kn.cm M d = f. M k = 1,4. 84 = kn.cm Com d = 56 cm: b w d K c = 15, 0 M d 3979 Da Tabela A-1: x = x/d = 0,04 0,45 (ok!), K s = 0,03 e dom.. Md 3979 As Ks = 0,03 1, 63 cm < A s,mín = 1,87 cm d ,10 cm h1.3) Momento fletor positivo entre os pilares P9 e P Para verificação do momento fletor positivo máximo na viga VS6, entre os pilares P9 e P6, será calculado o momento considerando o tramo engastado no pilar P6 e com engaste elástico no pilar P9 (Figura 63). A rigidez da mola relativa ao pilar P9, com seção 19/19 é de kn.cm, valor já determinado. y 1,17 kn/m P x P6 Figura 63 Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras para obtenção do momento fletor positivo considerando engaste perfeito no apoio intermediário (P6) da viga VS6. O arquivo de dados de entrada no programa PPLAN4 está apresentado a seguir. O relatório com os resultados encontra-se no Anexo B5. OPTE,,,,,, UNESP, BAURU/SP DISC. CONCRETO II - TORÇÃO MOMENTO POSITIVO ENTRE OS PILARES P9 E P6 VS6 (19 x 60) NOGL 1,,1,0,0,53,0, RES 1,1,1,,0,0,043418,,1,1,1, BAR 1,1,,1,1, PROP 1,1,1140,34000,60, MATL 1,358, FIMG CARR1

82 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 79 CBR 1,1,-0.117,1, FIMC FIME O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 59 resulta.19 kn.cm, muito superior ao valor de 453 kn.cm calculado segundo o modelo de grelha. Aliás, o tramo apresenta-se sob momentos fletores negativos em quase toda a extensão (ver Figura 57). No dimensionamento da armadura positiva do tramo deve ser considerado o maior valor, conforme indicado na NBR M k =.19 kn.cm M d = f. M k = 1,4. 19 =.981 kn.cm d bw d Kc = 0, 0 M 981 Da Tabela A-1: x = x/d = 0,03 0,45 (ok!), K s = 0,03 e dom.. Md 981 As Ks = 0,03 1, cm < A s,mín = 1,87 cm d ,10 cm h) Armadura transversal à força cortante Na viga VS6 a força cortante máxima é V k = 70,6 kn (V Sd = 98,8 kn), valor menor que a força cortante mínima calculada (V Sd,mín = 156,4 kn), o que leva à armadura transversal mínima em toda extensão da VS6 (A sw,mín =,44 cm /m). h3) Ancoragem das armaduras longitudinais h3.1) Armadura positiva no pilar extremo P9 No pilar extremo P9 existe um pequeno momento fletor positivo (453 kn.cm), para o qual deve existir uma armadura de flexão resistente. A armadura mínima de flexão do tramo adjacente ( ) pode ser estendida até o pilar e é mais do que suficiente para resistir a este momento fletor. Por simplicidade e a favor da segurança pode-se estender as três barras até o pilar P9, fazendo-se o gancho na extremidade das barras (ver Figura 65). h3.) Armadura positiva no pilar intermediário P6 A armadura mínima a ancorar no pilar, tomando o tramo à direita que está sob momento fletor positivo, é: M kn.cm > M d,vão/ = 3.979/ = kn.cm d,apoio Portanto, A s,anc 1/4 A s,vão = 1,63/4 = 0,41 cm As armaduras positivas de flexão dos dois tramos adjacentes ao pilar P6 ( ,10 cm ) atendem à armadura mínima a ancorar. As barras devem estender-se 10 além da face do pilar. Para a força cortante máxima de V k = 70,6 kn no pilar P6, o valor da decalagem do diagrama de momentos fletores (a ), segundo o Modelo de Cálculo I, é: V Sd = 1,4. 70,6 = 98,8 kn d VSd,máx a d, com a 0,5d (V V ) Sd,máx c

83 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 80 Na flexão simples, V c = V c0 = 0,6f ctd b w d = 0,6. 0, = 10,1 kn f ctd fctk,inf 0,7 fct,m 0,7. 0,3 3 0,7. 0,3 3 fck = 35 1, 60 MPa = 0,160 kn/cm 1,4 c c c Como V Sd é menor que V c0, deve ser tomado a 0,5d = 0,5. 56 = 8 cm, valor a ser adotado para os dois tramos adjacentes ao pilar P6. h4) Dimensionamento à torção No tramo final da VS6 ocorre o momento de torção característico (T k) de kn.cm, constante ao longo do tramo. O momento de cálculo é: T Sd = γ f. T k = 1, =.156 kn.cm Os valores de A e u são os mesmos já calculados para a viga VS1, pois a seção transversal é idêntica: A = cm e u = 158 cm. As Eq. 19 e 0 fornecem os limites para a espessura h e da parede fina: h e A ,cm e h e c 1 u 158 Sendo c =,5 cm e supondo = 1,5 mm e t = 8 mm encontra-se: c 1 = / + t + c nom = 1,5/ + 0,8 +,5 = 3,95 cm h e c 1 =. 3,95 = 7,85 cm c 1 cnom Portanto, os limites para h e são: 7,85 cm h e 7, cm, ou seja: h e 7, cm e h e 7,85 cm. Não é possível adotar um valor para h e que atenda aos limites. Neste caso, onde ocorreu A/u < c 1, foram apresentadas soluções nos exemplos anteriores para resolver o problema. Uma solução é fornecida pela NBR 6118, que permite adotar: e h 7, b w 19 c 1 h e = A/u b w c 1 h e = A/u = 7, cm b w c 1 = 19 7,85 = 11,15 cm h e = 7, cm ok! A e ue h = 60 A área A e é definida pelos eixos das barras dos cantos (respeitando o cobrimento exigido nos estribos): A e = (b w c 1). (h c 1) = (19 7,85). (60 7,85) = 581,5 cm O perímetro da área equivalente é: u e = [(b w c 1) + (h c 1)] = [(19 7,85) + (60 7,85)] = 16,6 cm c 1 he 7, O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 3, com ângulo (45) igual ao aplicado no cálculo da viga à força cortante, considerando o Modelo de Cálculo I, é: T Rd, = 0,5 v f cd A e h e sen = 0,5 (1 35/50). (3,5/1,4) 581,5. 7,. sen. 45 = 4.500,8 kn.cm Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 33 deve-se ter: VSd TSd 1 V T Rd Rd

84 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 81 Sendo V Rd = 617,1 kn e V Sd,máx = 1,4. 70,6 = 98,8 kn (força cortante máxima atuante no tramo com torção), aplicando os valores numéricos na Eq. 33 fica: 98, ,64 1,0 ok! 617,1 4500,8 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais de compressão. h4.1) Cálculo das armaduras As armaduras mínimas para torção, já calculadas para a viga VS1, são: A s,mín = 0,9 cm /m e A s,90mín =,44 cm /m Armadura longitudinal conforme a Eq. 7: A u s e A e T f Sd ywd 156 0,046 cm 50 /cm tg 581,5 tg 45 1,15 com u e = 100 cm, A s = 4,6 cm /m A s,mín = 0,9 cm /m Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 4: ok! As,90 TSd 156 tg tg 45 0,046 cm s A f 50 /cm e ywd 581,5 1,15 com s = 100 cm, A s,90 = 4,6 cm /m A s,90mín =,44 cm /m ok! h4.) Detalhamento das armaduras h4..1) Armadura longitudinal Analisando os diagramas de momentos fletores e momentos torçores, mostrados na Figura 57, observa-se que pode ser considerada somente a seção onde ocorre o momento fletor máximo negativo (no pilar P6), para calcular a armadura longitudinal combinada de modo a atender a ambos momentos. A área total de armadura pode então ser obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculadas para cada uma das quatro faces externas da viga: Face superior: - da flexão: A s = 7,83 cm - da torção: A s = (b w c 1) = (19 7,85) 0,046 = 0,47 cm - A s,total = 7,83 + 0,47 = 8,30 cm (5 1, ,65 cm ) Face inferior: - da flexão: A s = 0,41 cm (armadura mínima a ancorar no pilar P6) - da torção: A s = (b w c 1) = (19 7,85) 0,046 = 0,47 cm - A s,total = 0,41 + 0,47 = 0,88 cm Esta armadura será atendida pela armadura mínima positiva que se estende até o pilar ( ,10 cm ). Faces laterais: - A s,total = (h c 1) = (60 7,85) 0,046 =, cm (3 10 mm,40 cm ).

85 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 8 Esta armadura deverá se estender do pilar P6 até a intersecção com a viga VS1. h5.3.) Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas à força cortante e à torção. A armadura para a força cortante máxima entre o pilar P6 e a interseção com a viga VS1 resultou na armadura mínima, de 0,044 cm /cm. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área relativa à força cortante para um ramo é 0,044/ = 0,01 cm/m, a armadura transversal total é: As,total 90 s Asw,1ramo As, 0,01 0,046 0,0548 cm /cm = 5,48 cm /m s s Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 8 mm (1 8 0,50 cm ) tem-se: 0,50 0,0548 s = 9,1 cm s máx = 30 cm ok! s Portanto, pode-se dispor estribo 8 mm c/9 cm. Na Figura 65 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS6. h5) Detalhamento da armadura longitudinal O valor da decalagem (a ) para deslocamento do diagrama de momentos fletores de cálculo é 8 cm. O comprimento de ancoragem básico para barras 1,5 mm, em situação de má aderência, aço CA-50 e concreto C35, é 54 cm (coluna sem gancho). A Figura 64 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positivas e negativas , ,5 1,5 54 1,5 54 1,5 1,5 1,5 Figura 64 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. A Figura 65 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente na escala de 1:5 ou 1:0. Atenção máxima deve ser dispensada ao detalhamento final, pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada.

86 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 83 VS 6 (19 x 60) N1-31 c/16 N - 30 c/9 N4 N3 1N5 3N6 P9 P6 VS1 3N8 3N8 1N10 45 N3-1,5 C = N1 14 N4-1,5 C = N5-1 1,5 C = 80 ( cam) N C = 80 ( cam) N7 - x 4 4, C = 535 N8 - x 3 10 C = N mm C = 148 N mm C = N9-1 8 C = 545 N C = N11-10 C = 545 N1-10 C = Figura 65 Desenho com a armadura final da viga VS QUESTIONÁRIO 1ª) Comente sobre os casos mais comuns de torção nas estruturas das edificações. ª) O que são torção de equilíbrio e torção de compatibilidade? Cite exemplos. 3ª) Qual o valor do momento de torção solicitante no caso de viga biengastada sob solicitação de torção externa uniforme no tramo? 4ª) O que é torção de St. Venant? 5ª) Para uma seção circular, mostre numa figura como se configuram as tensões principais devidas à torção. 6ª) E como se configuram as tensões de cisalhamento devidas à torção? 7ª) Qual a equação que define a tensão de cisalhamento devida à torção para uma seção vazada? 8ª) Indique numa figura o que é a área A e e o perímetro u. 9ª) Verifique a eficiência alcançada pela viga em função dos diferentes arranjos para a armadura. 10ª) Por que uma viga de Concreto Armado retangular pode ser analisada à torção como se fosse oca e com espessura da casca constante? 11ª) Por que se pode fazer uma analogia da viga sob torção com uma treliça espacial? 1ª) Como se configura a treliça espacial generalizada? 13ª) Como se configuram as trajetórias das fissuras numa viga sob torção? 14ª) Explique resumidamente quais são as formas de ruptura de uma viga por torção. 15ª) Estude a dedução das equações desenvolvidas para a treliça espacial generalizada. 16ª) Como a norma define a espessura da casca da seção vazada? 17ª) Qual é a resistência proporcionada pelas diagonais comprimidas de concreto? 18ª) Como são as equações que definem as armaduras para a torção? 19ª) No caso de torção combinada com força cortante, como se verifica a biela comprimida de concreto? 0ª) Qual o objetivo de se dispor uma armadura mínima à torção? 1ª) Como é calculada a armadura mínima para a torção? ª) Qual o diâmetro mínimo e máximo para os estribos? Qual é o espaçamento máximo? 3ª) Por que os estribos para torção não podem ser abertos? 4ª) Como deve ser feita a distribuição da armadura longitudinal nas faces da viga?

87 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 84 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete and Commentary. ACI , 011, 503p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento. NBR 6118, ABNT, 014, 38p. BASTOS, P.S.S. Flexão normal simples - Vigas. Disciplina 117 Estruturas de Concreto I. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), fev/015, 78p. ( BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 13 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/015, 74p. ( BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 13 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), maio/015, 40p. ( BASTOS, P.S.S. Vigas de Concreto Armado. Disciplina 13 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, jun/015, 56p. ( COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Model Code 1990, MC-90, CEB-FIP, Bulletin D Information n. 04, Lausanne, CORRÊA, M.R.S. ; RAMALHO, M.A. ; CEOTTO, L.H. Sistema PPLAN4/GPLAN4 Manual de utilização. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 199, 80p. GIONGO, J.S. Concreto armado: Vigas submetidas a esforços de torção. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1996, 40p. GIONGO, J.S. Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, Usp, Dep. de Estruturas LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto Princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado, v. 1, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 198, 305p. LIMA, J.S. ; GUARDA, M.C. ; PINHEIRO, L.M. Análise de torção em vigas de acordo com a nova NBR In: 4 CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, IBRACON. Fortaleza, ago/000, CD-ROM, 16p. MACGREGOR, J.G. ; WIGHT, J.K. Reinforced concrete Mechanics and design. 4a ed., Upper Saddle River, Ed. Prentice Hall, 005, 113p. SÁNCHEZ, E. Dimensionamento à torção: novas prescrições normativas brasileiras. In: Nova normalização brasileira para o concreto estrutural. 001, p SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto, v. 1, 4 a ed., Porto Alegre, Ed. Globo, 1985, 376p. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 000, 38p.

88 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 85 LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto Princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado, v. 3, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 198, 73p. NAWY, E.G. Reinforced concrete A fundamental approach. Englewood Cliffs, Ed. Prentice Hall, 005, 5a. ed., 84p. SÁNCHEZ, E. Análise crítica do projeto de revisão da NB-1: Prescrições para o dimensionamento à torção. In: XXIX JORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERIA ESTRUCTURAL, 000, CD-ROM, 7p.

89 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 86 ANEXO A - TABELAS Tabela A-1 Valores de K c e K s para o aço CA-50 (para concretos do Grupo I de resistência f ck 50 MPa, c = 1,4, γ s = 1,15). x x d FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES K c (cm /kn) K s (cm /kn) Dom. C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50 0,01 137,8 103,4 8,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,03 0,0 69, 51,9 41,5 34,6 9,6 5,9 3,1 0,8 0,03 0,03 46,3 34,7 7,8 3, 19,8 17,4 15,4 13,9 0,03 0,04 34,9 6, 0,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,03 0,05 8,0 1,0 16,8 14,0 1,0 10,5 9,3 8,4 0,03 0,06 3,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,04 0,07 0, 15,1 1,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,04 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,04 0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,04 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,04 0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,04 0,1 1,0 9,0 7, 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,04 0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4, 3,7 3,3 0,04 0,14 10,4 7,8 6, 5, 4,5 3,9 3,5 3,1 0,04 0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4, 3,7 3,,9 0,04 0,16 9, 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1,7 0,05 0,17 8,7 6,5 5, 4,3 3,7 3,,9,6 0,05 0,18 8, 6, 4,9 4,1 3,5 3,1,7,5 0,05 0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4,9,6,3 0,05 0,0 7,5 5,6 4,5 3,7 3,,8,5, 0,05 0,1 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1,7,4,1 0,05 0, 6,8 5,1 4,1 3,4,9,6,3,1 0,05 0,3 6,6 4,9 3,9 3,3,8,5,,0 0,05 0,4 6,3 4,7 3,8 3,,7,4,1 1,9 0,05 0,5 6,1 4,6 3,7 3,1,6,3,0 1,8 0,06 0,6 5,9 4,4 3,5,9,5,,0 1,8 0,06 0,7 5,7 4,3 3,4,8,4,1 1,9 1,7 0,06 0,8 5,5 4,1 3,3,8,4,1 1,8 1,7 0,06 0,9 5,4 4,0 3,,7,3,0 1,8 1,6 0,06 0,30 5, 3,9 3,1,6, 1,9 1,7 1,6 0,06 0,31 5,1 3,8 3,0,5, 1,9 1,7 1,5 0,06 0,3 4,9 3,7 3,0,5,1 1,8 1,6 1,5 0,06 0,33 4,8 3,6,9,4,1 1,8 1,6 1,4 0,06 0,34 4,7 3,5,8,3,0 1,8 1,6 1,4 0,07 0,35 4,6 3,4,7,3,0 1,7 1,5 1,4 0,07 0,36 4,5 3,3,7, 1,9 1,7 1,5 1,3 0,07 0,37 4,4 3,3,6, 1,9 1,6 1,5 1,3 0,07 0,38 4,3 3,,6,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,07 0,40 4,1 3,1,5,0 1,8 1,5 1,4 1, 0,07 0,4 3,9,9,4,0 1,7 1,5 1,3 1, 0,08 0,44 3,8,8,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,08 0,45 3,7,8, 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,08 0,46 3,7,7, 1,8 1,6 1,4 1, 1,1 0,08 0,48 3,5,7,1 1,8 1,5 1,3 1, 1,1 0,08 0,50 3,4,6,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,09 0,5 3,3,5,0 1,7 1,4 1, 1,1 1,0 0,09 0,54 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 1,0 0,09 0,56 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,9 0,030 0,58 3,1,3 1,8 1,5 1,3 1, 1,0 0,9 0,030 0,60 3,0,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 0,6,9, 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 0,63,9, 1,7 1,5 1, 1,1 1,0 0,9 0,031 3

90 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 87 Tabela A- Área e massa linear de fios e barras de aço (NBR 7480). Diâmetro (mm) Massa (kg/m) Área (mm ) Perímetro (mm) Fios Barras,4-0,036 4,5 7,5 3,4-0,071 9,1 10,7 3,8-0,089 11,3 11,9 4, - 0,109 13,9 13, 4,6-0,130 16,6 14, ,154 19,6 17,5 5,5-0,187 3,8 17,3 6-0, 8,3 18,8-6,3 0,45 31, 19,8 6,4-0,53 3, 0,1 7-0,30 38,5, ,395 50,3 5,1 9,5-0,558 70,9 9, ,617 78,5 31,4-1,5 0,963 1,7 39,3-16 1,578 01,1 50,3-0, , 6,8 -, ,1 69,1-5 3, ,9 78,5-3 6, , 100,5-40 9, ,6 15,7

91 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 88 Tabela A-3 Área de aço e largura b w mínima. Diâm. A s (cm ) Número de barras (mm) b w (cm) As 0,14 0,8 0,4 0,56 0,70 0,84 0,98 1,1 1,6 1,40 4, Br b w Br As 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00 1,0 1,40 1,60 1,80,00 5 Br b w Br As 0,31 0,6 0,93 1,4 1,55 1,86,17,48,79 3,10 6,3 Br b w Br As 0,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 8 Br b w Br As 0,80 1,60,40 3,0 4,00 4,80 5,60 6,40 7,0 8,00 10 Br b w Br As 1,5,50 3,75 5,00 6,5 7,50 8,75 10,00 11,5 1,50 1,5 Br b w Br As,00 4,00 6,00 8,00 10,00 1,00 14,00 16,00 18,00 0,00 16 Br b w Br As 3,15 6,30 9,45 1,60 15,75 18,90,05 5,0 8,35 31,50 0 Br b w Br As 3,80 7,60 11,40 15,0 19,00,80 6,60 30,40 34,0 38,00 Br b w Br As 4,90 9,80 14,70 19,60 4,50 9,40 34,30 39,0 44,10 49,00 5 Br b w Br As 8,05 16,10 4,15 3,0 40,5 48,30 56,35 64,40 7,45 80,50 3 Br b w Br As 1,60 5,0 37,80 50,40 63,00 75,60 88,0 100,80 113,40 16,00 40 Br b w Br largura b w mínima: b w,mín = (c + t) + n o barras. + a h.mín (n o barras 1) c Ø t Br. 1 = brita 1 (d máx = 19 mm) ; Br. = brita (d máx = 5 mm) Valores adotados: t = 6,3 mm ; c nom =,0 cm Para c nom,0 cm, aumentar b w,mín conforme: c nom =,5 cm + 1,0 cm cm c nom = 3,0 cm +,0 cm ah,mín c nom = 3,5 cm + 3,0 cm c nom = 4,0 cm + 4,0 cm 1,d máx,agr Ø ah bw av

92 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 89 Tabela A-4 Equações simplificadas segundo o Modelo de Cálculo I para concretos do Grupo I. Modelo de Cálculo I (estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples). Concreto C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 bw = largura da viga, cm; d = altura útil, cm; V Rd (kn) V Sd,mín (kn) 0,35 bw d,101b d 0,43 bw d,117 b d 0,51bw d,13 b d 0,58 bw d,147 b d 0,65 bw d,160 b d 0,71bw d,173 b d 0,77 bw d,186 b d A sw (cm /m) V d Sd 0 w,55 0,17 bw V d Sd 0 w,55 0,0 bw V d Sd 0 w,55 0, bw V d Sd 0 w,55 0,5 bw V d Sd 0 w,55 0,7 bw V d Sd 0 w,55 0,9 bw V d 0 Sd w,55 0,31 bw VSd = força cortante de cálculo, kn; Tabela A-5 Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I. Modelo de Cálculo II (estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples) Concreto V Rd (kn) V Sd,mín (kn) A sw (cm /m) C0 C5 C30 C35 C40 C45 0,71bw. d.sen. cos 0,035. bw. d. cot g V c 1 0,87 bw. d.sen. cos 0,040. bw. d. cot g V c 1 1,0 bw. d.sen. cos 0,045. bw. d. cotg V c 1 1,16 bw. d.sen. cos 0,050. bw. d. cot g V c 1 1,30 bw. d.sen. cos 0,055. bw. d. cotg V c 1 1,4 bw. d.sen. cos 0,059. bw. d. cot g V c 1,55 tg V Sd d V c1 C50 1,54 bw. d.sen. cos 0,064. bw. d. cot g V c 1 bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kn; d = altura útil, cm; = ângulo de inclinação das bielas de compressão (); VC1 = força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça, kn;

93 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 90 Tabela A-6 Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tabela 17.3 da NBR 6118). Forma da seção Valores de mín (a) (%) Retan- 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,08 0,11 0,19 0,6 0,33 0,39 0,45 0,51 0,56 gular (a) Os valores de mín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, mín deve ser recalculado. mín = A s,mín/a c Tabela A-7 Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-50 nervurado. COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA A s,ef = A s,calc CA-50 nervurado (mm) Concreto C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 6, , , Valores de acordo com a NBR N o Superior: Má Aderência ; N o Inferior: Boa Aderência Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra A s,ef = área de armadura efetiva ; A s,calc = área de armadura calculada 0,3 b O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: b,mín mm c = 1,4 ; s = 1,15

94 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 91 Tabela A-8 Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-60 entalhado. COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA A s,ef = A s,calc CA-60 entalhado (mm) Concreto C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 3, , , Valores de acordo com a NBR N o Superior: Má Aderência ; N o Inferior: Boa Aderência Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra A s,ef = área de armadura efetiva ; A s,calc = área de armadura calculada 0,3 b O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: b,mín mm c = 1,4 ; s = 1,15

95 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 9 Tabela A-9 Valores mínimos para armaduras passivas aderentes em lajes (Tabela 19.1 da NBR 6118). Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas Armaduras negativas s mín Armaduras negativas de bordas sem continuidade s 0,67 mín Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções s 0,67 mín Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção s mín s/s 0 % da armadura principal Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção s/s 0,9 cm /m s 0,5 mín s = As/(bw h) Os valores de mín constam da Tabela A-6. Tabela A-10 Diâmetro dos pinos de dobramento (D) (Tabela 9.1 da NBR 6118). Bitola (mm) Tipo de aço CA-5 CA-50 CA-60 <

96 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 93 Tabela A-11 Área de armadura por metro de largura (cm /m). ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA (cm /m) Espaçamento Diâmetro Nominal (mm) (cm) 4, 5 6, ,5 5,77 4,00 6,30 10,00 16,00 5,00 5,5,5 3,64 5,73 9,09 14,55,73 6,31 3,33 5,5 8,33 13,33 0,83 6,5,13 3,08 4,85 7,69 1,31 19,3 7 1,98,86 4,50 7,14 11,43 17,86 7,5 1,85,67 4,0 6,67 10,67 16,67 8 1,73,50 3,94 6,5 10,00 15,63 8,5 1,63,35 3,71 5,88 9,41 14,71 9 1,54, 3,50 5,56 8,89 13,89 9,5 1,46,11 3,3 5,6 8,4 13, ,39,00 3,15 5,00 8,00 1, ,6 1,8,86 4,55 7,7 11,36 1 1,15 1,67,6 4,17 6,67 10,4 1,5 1,11 1,60,5 4,00 6,40 10, ,07 1,54,4 3,85 6,15 9,6 14 0,99 1,43,5 3,57 5,71 8, ,9 1,33,10 3,33 5,33 8, ,87 1,5 1,97 3,13 5,00 7, ,81 1,18 1,85,94 4,71 7,35 17,5 0,79 1,14 1,80,86 4,57 7, ,77 1,11 1,75,78 4,44 6, ,73 1,05 1,66,63 4,1 6,58 0 0,69 1,00 1,58,50 4,00 6,5 0,63 0,91 1,43,7 3,64 5,68 4 0,58 0,83 1,31,08 3,33 5,1 5 0,55 0,80 1,6,00 3,0 5,00 6 0,53 0,77 1,1 1,9 3,08 4,81 8 0,49 0,71 1,1 1,79,86 4, ,46 0,67 1,05 1,67,67 4, ,4 0,61 0,95 1,5,4 3,79 Elaborada por PINHEIRO (1994) Diâmetros especificados pela NBR 7480.

97 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 94 ANEXO B - LISTAGENS DE RESULTADOS DOS PROGRAMAS GPLAN4 E PPLAN4 B1) GRELHA DO EXEMPLO 1 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/9 PROJETO: TORCAO CLIENTE: UNESP DISC. CONCRETO II ============================ GRELHA: TORÇÃO - EXEMPLO 1 ============================ COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA E E E E E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM

98 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado E E E E GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO CARGA I CARGA F REL C/L REL I/L IDENT CBR CBR GERACAO DE CARGAS NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y IDENT CNO ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS... 1 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS... NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... 0 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO CORTANTE M FLETOR M TORCOR RESULTANTES NODAIS

99 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 96 NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L CORTANTE M FLETOR M TORCOR 1 0/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Analise completa - fim do processamento B) EXEMPLO VIGA V1 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/9 PROJETO: UNESP - DISC. CONCRETO II CLIENTE: EXEMPLO ============================ PORTICO: V1 (19 x 40) ============================

100 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 97 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R E E E CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM E E E GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT CBRG CBRG ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS... 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS... 3 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... 0

101 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 98 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 0/ / / / / / / / / / /

102 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 99 0/ / / / / / / / / / / Analise completa - fim do processamento - B3) GRELHA DO EXEMPLO 3 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/9 PROJETO: UNESP - BAURU. TORÇÃO EM VIGAS CLIENTE: EXEMPLO 3 ============================ GRELHA: GRELHA PAV. ============================ COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E CARACTERISTICAS DAS BARRAS

103 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 100 NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA E E E E E E E E E E E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM E E E E GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( GRELHA: GRELHA PAV. ) GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO CARGA I CARGA F REL C/L REL I/L IDENT CBRG CBRG CBRG CBRG CBRG CBRG

104 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado CBRG CBRG CBRG CBRG CBRG CBRG CBRG CBRG CBRG CBRG CBRG CBR CBR ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS... 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... 0 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO CORTANTE M FLETOR M TORCOR

105 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado RESULTANTES NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y

106 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L CORTANTE M FLETOR M TORCOR 1 0/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

107 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

108 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

109 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

110 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado / / Analise completa - fim do processamento B4) EXEMPLO 3 - VIGA VS1 ENTRE OS PILARES P E P3 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/9 PROJETO: UNESP, BAURU/SP DISC. CONCRETO II - TORÇÃO CLIENTE: MOMENTO POSITIVO ENTRE OS PILARES P E P3, COM ENGASTE NO PI ============================ PORTICO: VS1 (19 x 60) ============================ COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM E E E+00

111 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT CBR ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS... 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS... NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... 1 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS

112 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 109 BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 0/ / / / / / / / / / / Analise completa - fim do processamento - B5) EXEMPLO 3 - VIGA VS6 ENTRE OS PILARES P9 E P6 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/9 PROJETO: UNESP, BAURU/SP DISC. CONCRETO II - TORÇÃO CLIENTE: MOMENTO POSITIVO ENTRE OS PILARES P9 E P6 ============================ PORTICO: VS6 (19 x 60) ============================ COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R E E E CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR PROPRIEDADES DAS BARRAS

113 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado 110 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM E E E GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS6 (19 x 60) ) GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT CBR ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS... 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS... NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... 1 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS6 (19 x 60) ) DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR

114 UNESP, Bauru/SP - Torção em Vigas de Concreto Armado RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 0/ / / / / / / / / / / Analise completa - fim do processamento -