TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil Disciplina: ESTRUTURAS DE CONCRETO II Notas de Aula TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS ([email protected]) Bauru Maio/005

2 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 1309 Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus de Bauru/SP. O texto apresenta as prescrições contidas na nova NBR 6118/03 ( Projeto de estruturas de concreto Procedimento versão corrigida de março/004) para o projeto e dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas à torção. Procurou-se desenvolver a apostila de forma a mais completa possível. Inicialmente são apresentadas diversas informações teóricas, como os casos e os valores mais comuns do momento de torção, a torção de equilíbrio e de compatibilidade, noções da torção simples, comportamento das vigas de concreto armado sob torção, analogia e formulação para a treliça espacial generalizada, formas de ruptura por torção, etc. Por último são apresentados três exemplos numéricos de aplicação. Os exemplos são completos e abrangem todos os cálculos necessários para o projeto de uma viga, como o dimensionamento à flexão e ao esforço cortante, a ancoragem nos apoios e a disposição da armadura longitudinal com o cobrimento do diagrama de momentos fletores. Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser melhorada. Agradecimento especial ao técnico Éderson dos Santos Martins, pela confecção de vários desenhos.

3 SUMÁRIO Pág. 1. INTRODUÇÃO CASOS MAIS COMUNS CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT) TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À TORÇÃO SIMPLES ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO Ruptura por Tração Ruptura por Compressão Ruptura dos Cantos Ruptura da Ancoragem DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA À TORÇÃO SIMPLES Bielas de Concreto Armadura longitudinal Estribos DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/004 NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO Geometria da Seção Resistente Torção de Compatibilidade Torção de Equilíbrio Armadura Mínima Solicitações Combinadas Flexão e Torção Torção e Força Cortante Disposições Construtivas Fissuração Diagonal da Alma Estribos Armadura Longitudinal MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO QUESTIONÁRIO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 79 ANEXO A... 80

4 ANEXO B1 - GRELHA DO EXEMPLO ANEXO B - EXEMPLO PPLAN ANEXO B3 - GRELHA DO EXEMPLO ANEXO B4 - VIGA VS1 ISOLADA ANEXO B5 - VIGA VS6 ISOLADA... 96

5 1 TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 1. INTRODUÇÃO Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo é denominado momento de torção, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção ocorre em eixos de transmissão. A torção simples, torção uniforme ou torção pura (não atuação simultânea com M e V), excetuando os eixos de transmissão, ocorre raramente na prática. Geralmente a torção ocorre combinada com momento fletor e força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados apenas pelo peso próprio do elemento estrutural. De modo aproximado, os princípios de dimensionamento para a torção simples são aplicados às vigas com atuação simultânea de momento fletor e força cortante (LEONHARDT & MÖNNIG, 198). Nas estruturas de concreto, a ligação monolítica entre as vigas e as lajes e entre vigas apoiadas em outras vigas, dá origem a momentos de torção, que, de modo geral, podem ser desprezados por não serem essenciais ao equilíbrio. Entretanto, no caso da chamada torção de equilíbrio, como se verá adiante, a consideração dos momentos torçores é imprescindível para garantir o equilíbrio do elemento estrutural. Desde o início do século passado numerosos estudos experimentais foram realizados em vigas de concreto armado sob solicitação de torção simples. Os resultados dos estudos justificaram o dimensionamento simplificado à torção, considerando-se as vigas com seção vazada (oca) e de parede fina, segundo as equações clássicas da Resistência dos Materiais, formuladas por BREDT. Assim como feito no dimensionamento das vigas ao esforço cortante na torção será feita também a analogia com uma treliça, espacial porém. A Treliça Generalizada, com ângulo θ variável de inclinação das diagonais comprimidas, é o modelo atualmente mais aceito internacionalmente. Como no dimensionamento para outros tipos de solicitação, as tensões de compressão serão absorvidas pelo concreto e as tensões de tração pelo aço, na forma de duas diferentes armaduras, uma longitudinal e outra transversal (estribos). A análise da torção em perfis abertos de paredes finas, com aplicação da torção de Vlassov ou Flexo-Torção, não será apresentada nesta apostila por não fazer parte do programa da disciplina na graduação em engenharia civil.. CASOS MAIS COMUNS Um caso comum de torção em vigas de concreto armado ocorre quando existe uma distância entre a linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado nas Figuras 1 e. Na Figura 1, a viga AB, estando obrigatoriamente engastada na extremidade B da viga BC, aplica nesta um momento de torção, que deve ser obrigatoriamente considerado no equilíbrio da viga BC. Na viga mostrada na Figura a torção existirá se as cargas F 1 e F forem diferentes. Essa situação pode ocorrer durante a fase de construção ou mesmo quando atuarem os carregamentos permanentes e variáveis, se estes forem diferentes nas estruturas que se apóiam na viga em forma de T invertido. O caso mais comum de torção ocorre com lajes em balanço, engastadas em vigas de apoio, como por exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de entrada de barracões, lojas, galpões, etc. (Figuras 3 e 4). O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes internas à construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de modo que a flexão na laje passa a ser torção na viga. A torção na viga torna-se flexão no pilar, devendo ser considerada no seu dimensionamento.

6 C F 1 F F B A Figura 1 Viga em balanço com carregamento excêntrico. Figura Viga do tipo T invertido para apoio de estrutura de piso ou de cobertura. Figura 3 Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço. C B C B B A A Figura 4 Viga contínua sob torção por efeito de laje em balanço.

7 3 Um outro caso de torção em viga, de certa forma também comum nas construções, ocorre em vigas com mudança de direção, como mostrado na Figura 5. No ponto de mudança de direção um tramo aplica sobre o outro um momento de torção. A torção também ocorre em vigas curvas, com ou sem mudança de direção, como mostrado na Figura 6. Se a torção for necessária ao equilíbrio da viga e não for apropriadamente considerada no seu dimensionamento, intensa fissuração pode se desenvolver, prejudicando a segurança e a estética da construção. Figura 5 Torção em viga devido à mudança de direção. Figura 6 Vigas curvas e com mudança de direção são solicitação por torção. 3. CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO Apresentam-se nas Figuras 7 a 11 os valores dos momentos de torção para alguns casos mais comuns na prática das estruturas, onde m representa o momento torçor externo aplicado, T o momento de torção solicitante e F a força concentrada.

8 4 m T = - m Figura 7 Momento de torção concentrado aplicado na extremidade de viga em balanço. m m a a l T = m T = - m Figura 8 Momento de torção aplicado à distância a das extremidades de viga biengastada. m l T = ml T = m l Figura 9 Momento de torção uniformemente distribuído em viga biengastada.

9 5 m l / l/ l T = m T = m Figura 10 Momento de torção concentrado aplicado no centro de viga biengastada. m = F. e A B e F a l b T = A m b l T = m a B l Figura 11 Momento de torção concentrado aplicado fora do centro do vão de viga biengastada. 4. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE A torção nas estruturas de concreto pode ser dividida em duas categorias: torção de equilíbrio e torção de compatibilidade. Na torção de equilíbrio, o momento de torção deve ser obrigatoriamente considerado, pois ele é necessário para o equilíbrio da estrutura. As estruturas mostradas nas Figuras 1 a 6 encontramse solicitadas por torção de equilíbrio, devendo ser obrigatoriamente considerada. A torção de compatibilidade ocorre comumente nos sistemas estruturais, como por exemplo aquele mostrado na Figura 1, com uma laje engastada na viga de borda. A laje, ao tentar girar, aplica um momento de torção (m T ) na viga, que tende a girar também, sendo impedida pela rigidez à flexão dos pilares. Surgem então momentos torçores solicitantes na viga e momentos fletores nos pilares. Quando a rigidez da viga à torção é pequena comparada à sua rigidez à flexão, a viga fissura e gira, permitindo o giro da laje também. Ocorre então uma compatibilização entre as deformações na viga e na laje, e como conseqüência os momentos torçores na viga diminuem bastante, podendo ser desprezados.

10 6 T m (Viga de borda) m (Laje) m (Laje) E (Laje) Momento de dimensionamento da laje T (Viga de bordo) m = m T E (Laje) Mf (Pilar) T M f Figura 1 Torção de compatibilidade de laje com a viga de apoio. (LEONHARDT & MÖNNIG, 198). Um outro exemplo de torção de compatibilidade é aquele mostrado nas Figuras 13 e 14. Como se observa na Figura 14, a viga AB apóia-se nas vigas CD e EF. Figura 13 Esquema das vigas com os pilares. A Figura 15 mostra o caso das vigas de apoio CD e EF com rigidez à torção elevada. Neste caso não existe total liberdade de rotação para a viga AB nas suas extremidades, o que faz surgir os momentos de engastamento M A e M B, que, por outro lado, passam a ser momentos torçores concentrados e aplicados em A e B.

11 7 Figura 14 Esquema estrutural (SÜSSEKIND, 1985). Figura 15 Caso das vigas de apoio com elevada rigidez à torção. A intensidade dos momentos fletores e torçores depende das rigidezes relativas das vigas, ou seja, da rigidez à torção das vigas CD e EF e da rigidez à flexão da viga AB. Se a rigidez à torção das vigas CD e EF for zero, a viga AB fica livre para girar em A e B, levando a zero os momentos fletores M A e M B, e conseqüentemente também os momentos torçores (Figura 16). Nesta análise percebe-se que a torção é conseqüência da compatibilidade de deformações das vigas, daí a chamada torção de compatibilidade. Neste caso há o equilíbrio, embora sem se considerar a ligação monolítica da viga AB com as vigas CD e EF.

12 8 Por outro lado, sob o efeito do momento de torção a viga irá fissurar, o que acarreta uma significativa diminuição na rigidez da viga à torção. Desse modo, as vigas CD e EF, ao fissurarem por efeito da torção proveniente da viga AB, têm sua rigidez à torção diminuída, diminuindo por conseqüência os momentos M A e T, o que leva ao aumento do momento fletor positivo da viga AB. Figura 16 Caso de pequena rigidez à torção. Pode-se assim resumir que, a torção nas vigas deve ser considerada quando for necessária para o equilíbrio (torção de equilíbrio), e pode ser desconsiderada quando for de compatibilidade. Considerando-se o pavimento de um edifício constituído por lajes e vigas, além da torção de compatibilidade existente entre as vigas, a ligação monolítica entre as lajes e as vigas, como mostrado na Figura 1, também ocasiona o surgimento de momentos de torção nas vigas, de compatibilidade, não imprescindível ao equilíbrio do sistema, podendo assim serem desprezados também. Somado a isso, por imposição da arquitetura a largura das vigas varia normalmente de 10 a 0 cm, e para as alturas correntes das vigas (comumente até 60 cm), a rigidez à torção não é significativa, o que leva a valores baixos para a torção de compatibilidade, justificando a sua desconsideração. Outra análise que se faz é que, se as vigas CD e EF forem livres para girar nas extremidades, o momento de torção T será zero, ou seja, não existirá o momento de torção. Ou, por outro lado, e o que é mais comum na prática das estruturas, devido à ligação monolítica das vigas CD e EF com os pilares de apoio, se as vigas não podem girar e a rigidez à torção das vigas CD e EF é muito maior que a rigidez à flexão da viga AB, o momento fletor M A se aproxima do momento fletor de engastamento. Portanto, os momentos T e M A resultam do giro da viga AB em A e B, que deve ser compatível com o ângulo de torção das vigas CD e EF em A e B.

13 9 5. TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT) Numa barra de seção circular, como a indicada na Figura 17, submetida a momento de torção, com empenamento permitido (torção livre), surgem tensões principais inclinadas de 45 e 135 com o eixo longitudinal da barra. As trajetórias das tensões principais desenvolvem-se segundo uma curvatura helicoidal, em torno da barra. A trajetória das tensões principais de tração ocorre na direção da rotação e a compressão na direção contrária, ao longo de toda o perímetro da seção. Figura 17 Trajetórias das tensões principais na seção circular. Se considerado um estado de tensão segundo a direção dos eixos longitudinal e transversal da seção, o momento de torção provoca o surgimento de tensões de cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais, simultaneamente, como mostrado nas Figuras 18, 19 e 0. τ τ Figura 18 Tensões de cisalhamento numa barra de seção circular sob torção.

14 10 a) b) c) Figura 19 Tensões devidas à torção: a) tensões de cisalhamento; b) tensões principais de tração e compressão; c) trajetória helicoidal das fissuras. (MACGREGOR, 1997). T T 45 II I I II Figura 0 Tensões de cisalhamento e tensões principais na seção circular. A distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais circulares e quadradas ocorre como indicado na Figura 1. A tensão de cisalhamento é máxima nas superfícies externas da seção e zero nos vértices e no eixo que passa pelo centro de gravidade. Figura 1 Variação da tensão de cisalhamento na seção transversal.

15 11 Por questão de simplicidade, as vigas de concreto armado sob momento de torção são dimensionadas como se fossem ocas e de parede fina. Ao desprezar a parte correspondente à área interna da seção o erro cometido não é significativo nem antieconômico, porque a espessura da casca ou parede é determinada de forma que represente uma seção com grande percentual de resistência ao momento de torção. Este procedimento resulta num acréscimo de segurança que não é excessivo, sendo, portanto, pouco antieconômico. 6. TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA Considere a seção vazada mostrada na Figura, com espessura t, submetida ao momento de torção T. A I X A' T LINHA MÉDIA O x s s x d + ds s t dt + ds s s r A B da ds T -I X t Figura Seção vazada com parede fina (SÁNCHEZ, 001). Do equilíbrio estático da seção tem-se a igualdade da resultante das tensões τ com o momento de torção T que as originou: T = ( τ t ds ) r (Eq. 1) O produto τ. t (fluxo de cisalhamento ou de torção) é constante, e o produto ds. r é o dobro da área do triângulo OAB (d. A e ), vindo: T = τ t d Ae (Eq. ) Da Eq. surge a tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede fina, devida ao momento de torção: T τ = (Eq. 3) t A e com A e sendo a área interna compreendida pelo eixo da parede fina, como indicada na Figura 3.

16 1 t A e Figura 3 Área A e da seção vazada. 7. COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À TORÇÃO SIMPLES LEONHARDT & MÖNNIG (198) descrevem os resultados de ensaios realizados por MÖRSCH, entre 1904 e 191. Foram estudados cilindros ocos à torção simples, sem armadura, com armadura longitudinal, com armadura transversal, com ambas as armaduras e com armadura em forma de hélice, como mostrado na Figura 4. Os ensaios confirmaram que nas seções de concreto armado as tensões principais de tração e de compressão são inclinadas de 45 e com traçado helicoidal. Após o surgimento das fissuras de torção que se desenvolvem em forma de hélice, apenas uma casca externa e com pequena espessura colabora na resistência da seção à torção. Isso ficou evidenciado em ensaios de seções ocas ou cheias com armaduras idênticas, que apresentaram as mesmas deformações e tensões nas armaduras. φ 10 φ 10 φ 10 10,8 10,8 φ 10 10,8 10,8 10,8 10,8 φ , Figura 4 Seções estudadas por MÖRSCH (LEONHARDT & MÖNNIG, 198). 10,7 40 A Tabela 1 apresenta os resultados experimentais obtidos, para o momento fletor de fissuração (momento fletor correspondente à primeira fissura) e para o momento fletor de ruptura.

17 13 Tabela 1 Momentos fletores de primeira fissura e de ruptura (MPm) de seções ocas ensaiadas por MÖRSCH. Seção Momento Fletor Momento Fletor de Primeira fissura de Ruptura Sem armaduras,33,33 Com armadura longitudinal,33,38 Com armadura transversal,50,50 Com armaduras longitudinal e transversal,47 3,78 Com armadura helicoidal,70 > 7,00 * * A máquina de ensaio não levou a seção à ruptura Os ensaios demonstraram que: na seção oca sem armadura as fissuras são inclinadas a 45 e em forma de hélice; com somente uma armadura, seja longitudinal ou transversal, o aumento de resistência é muito pequeno e desprezível; com duas armaduras a resistência aumentou e, com armadura helicoidal, segundo a trajetória das tensões principais de tração, o aumento de resistência foi muito efetivo. Os valores contidos na Tabela 1 demonstram as observações. Fissuras inclinadas podem se desenvolver quando a tensão principal de tração alcança a resistência do concreto à tração, levando uma viga não armada à ruptura. Se a viga for armada com barras longitudinais e estribos fechados transversais, a viga pode resistir a um aumento de carga após a fissuração inicial. 8. ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES Existem hoje basicamente duas teorias muito diferentes com o intuito de explicar o comportamento de uma viga sob torção. Uma delas é chamada de Flexão Esconsa (skew bending theory), e foi desenvolvida por LESSIG (1959) e atualizada por HSU (1968). A segunda teoria baseia-se na analogia da seção vazada (Teoria de Bredt) com uma treliça espacial, chamada de Treliça Generalizada. A teoria foi inicialmente elaborada por RAUSCH em 199, estando em uso por diversas normas até os dias de hoje. Como apresentado no item anterior os ensaios experimentais realizados mostraram que as seções cheias de concreto podem ser calculadas como seções vazadas de paredes finas. A Figura 5 mostra o modelo de uma seção cheia fissurada, sob torção simples. As tensões de compressão são resistidas pelo concreto da casca e as tensões de tração são resistidas pelo conjunto armadura longitudinal e armadura transversal (estribos). Fissuras R s,e C d C d C d R sl C d C d C d R sl C d C d C d R sl R s,e R sl Figura 5 Modelo resistente para a torção simples em viga de concreto fissurada. (LEONHARDT & MÖNNIG, 198).

18 14 A treliça clássica inicialmente concebida admitia que a viga apresentasse fissuras inclinadas de 45 com o eixo longitudinal (Figura 6). Os banzos paralelos representam a armadura longitudinal, as diagonais comprimidas desenvolvem-se em hélice, com inclinação de 45, representando as bielas de compressão e os montantes verticais e horizontais representam estribos fechados a 90 com o eixo longitudinal da viga. Esforços solicitantes no corte ll - ll C d /sen 45 C d /cos 45 M C d /sen 45 B C d /cos 45 ll Esforços nas barras do nó B R sl estr m a = b a D 45 ll C d 45 R s,e R sl R s,e C d 45 b m b m M T Barras tracionadas Diagonais comprimidas Figura 6 Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e transversal (LEONHARDT & MÖNNIG, 198). 9. TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE A Figura 7 mostra as trajetórias das fissuras numa viga de concreto de seção retangular. As fissuras apresentam-se com trajetórias inclinadas de aproximadamente 45 com o eixo longitudinal da viga. T Figura 7 Trajetórias das fissuras na viga vazada de seção retangular.

19 15 Quando o valor do momento fletor é elevado comparativamente ao momento de torção, a zona comprimida pelo momento fletor fica isenta de fissuras, como mostrado na Figura 8. T M V Figura 8 Modelo para vigas com altos momentos fletores (LEONHARDT & MÖNNIG, 198). No caso da força cortante elevada, uma face vertical deverá ficar isenta de fissuras, sendo aquela onde as tensões de cisalhamento da torção e do esforço cortante têm sentidos contrários. Isso fica demonstrado nos modelos de treliça adotados, onde as diagonais comprimidas da treliça para o cortante opõem-se às diagonais tracionadas da treliça espacial da torção. As fissuras nesses casos apresentam-se contínuas, em forma de hélice e em três das quatro faces da viga. Numa face, onde as tensões de compressão superam a de tração, não surgem fissuras (Figura 9). T M V Figura 9 Modelo para vigas com altas forças cortantes (LEONHARDT & MÖNNIG, 198). 10. FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO Após a fissuração, a ruptura de uma viga sob torção pura pode ocorrer de alguns modos: escoamento dos estribos, da armadura longitudinal, ou escoamento de ambas as armaduras. No caso de vigas superarmadas à torção, o concreto comprimido compreendido entre as fissuras inclinadas pode esmagar pelo efeito das tensões principais de compressão, antes do escoamento das armaduras. Outros modos de ruptura podem também ocorrer, estando descritos a seguir Ruptura por Tração A ruptura brusca também pode ocorrer por efeito de torção, após o surgimento das primeiras fissuras. A ruptura brusca pode ser evitada pela colocação de uma armadura mínima, para resistir às tensões de tração por torção. Segundo LEONHARDT & MÖNNIG (198) sendo as armaduras longitudinal e transversal diferentes, a menor armadura determinará o tipo de ruptura. Uma pequena diferença nas armaduras, pode, no entanto, ser compensada por uma redistribuição de esforços.

20 16 Ao contrário do esforço cortante, onde a inclinação do banzo comprimido pode diminuir a tração na alma da viga, na torção essa diminuição não pode ocorrer, dado que na analogia de treliça espacial não existe banzo comprimido inclinado. 10. Ruptura por Compressão Com armaduras colocadas longitudinalmente e transversalmente pode surgir forte empenamento das faces laterais, ocasionando tensões adicionais ao longo das bielas comprimidas, podendo ocorrer o seu esmagamento (Figura 30). Compressão Tração C d T c 45 t T R c R s Superfície de dupla curvatura Figura 30 Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão. (LEONHARDT & MÖNNIG, 198) Ruptura dos Cantos A mudança de direção das tensões de compressão nos cantos, como indicado na Figura 31, origina uma força que pode levar ao rompimento dos cantos da viga. Os estribos e as barras longitudinais dos cantos contribuem para evitar essa forma de ruptura. Vigas com tensões de cisalhamento da torção muito elevadas devem ter o espaçamento dos estribos limitados a 10 cm para evitar essa forma de ruptura. Engastamento à torção T R c U R c U R c U R c Rompimento do canto U Estribo R c R c Figura 31 Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas. (LEONHARDT & MÖNNIG, 198).

21 lcotg lcotg Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado Ruptura da Ancoragem Esta forma de ruptura pode ocorrer por insuficiência da ancoragem do estribo, levando ao seu escorregamento, e pelo deslizamento das barras longitudinais. O cuidado na ancoragem das armaduras pode evitar essa forma de ruptura. 11. TORÇÃO SIMPLES - DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA Nas décadas de 60 e 70 a treliça clássica foi generalizada por LAMPERT, THÜRLIMANN e outros, com a admissão de ângulos variáveis (θ) para a inclinação das bielas (Figura 3). O modelo de treliça generalizada é o atualmente adotado pelas principais normas internacionais, como ACI 318/95 e MC-90 do CEB (1990). A NBR 6118/03 também considera o modelo de treliça generalizada para o dimensionamento de vigas de concreto armado à torção, em concordância com a treliça plana generalizada concebida para a análise da força cortante. A Estribo B Barras Longitudinais Cd R ld NÓ A A Rwd Rwd Cd R ld Bielas Comprimidas C l cotg D = inclinação da biela l l Y Z X PLANO ABCD Cdsen l Cd sen Cd sen lcotg y y Cdsen l Figura 3 Treliça espacial generalizada (LIMA et al., 000) Diagonais de Compressão Considerando-se o plano ABCD da treliça espacial generalizada indicada na Figura 3 e que os esforços internos resistentes devem igualar o esforço solicitante (T Sd ), tem-se: TSd = Cd sen θ l (Eq. 4)

22 18 A força nas diagonais comprimidas surge da Eq. 4: TSd Cd = l sen θ (Eq. 5) com: C d = força na diagonal comprimida; T Sd = momento de torção de cálculo; θ = ângulo de inclinação da diagonal comprimida; l = distância entre os banzos. A força de compressão C d nas diagonais atua sobre uma seção transversal de área: y. t = lcos θ. t (Eq. 6) com: t = espessura da casca ou da parede da seção oca; y = largura de influência da diagonal inclinada da treliça. Assim, substituindo a força C d da Eq. 5 por σ cd y t = σ cd l cos θ. t, a tensão de compressão na diagonal (σ cd ) assume o valor: σ cd TSd l cosθ. t = l sen θ σ cd = T Sd ( l cosθ. t) l sen θ σ cd = l T Sd t sen θ (Eq. 7) como l = A determina-se a forma final para a tensão na diagonal de compressão: e TSd σcd = (Eq. 8) A t sen θ e A Eq. 3 pode ser escrita como: T Sd = τ t A e t. Da Eq. 3 reescrita na Eq. 8 fica: τ σ = td cd (Eq. 9) sen θ 11. Armadura longitudinal Conforme as forças indicadas no nó A da Figura 3, fazendo o equilíbrio de forças na direção x, tem-se: 4 d R l d = 4 C cosθ (Eq. 10) com R l d = resultante em um banzo longitudinal. Como 4 R l d = Asl f ywd, substituindo na Eq. 10 fica:

23 19 Asl f ywd = 4 Cd cos θ (Eq. 11) Substituindo a Eq. 5 na Eq. 11 fica: A sl f ywd = TSd 4 θ l sen θ cos Isolando a armadura longitudinal: TSd Asl = cot g θ (Eq. 1) l f ywd Com o objetivo de evitar fissuração entre os vértices da seção vazada, a armadura deve ser distribuída no perímetro u e = 4 l, de modo que a taxa de armadura longitudinal por comprimento do eixo médio da seção vazada é: A u sl e TSd TSd = cot g θ = cot g θ l f u l f 4 l ywd e ywd ou Asl TSd = cot g θ (Eq. 13) u A f e e ywd A u sl e = A e T f Sd ywd tg θ (Eq. 14) com: A sl = área total da armadura longitudinal; A e = área interna delimitada pelo eixo da parede fina (ver Figura 3); u e = perímetro do contorno da área A e Estribos Na Figura 3, fazendo o equilíbrio do nó A na direção do eixo Z, tem-se: R wd = C d sen θ (Eq. 15) onde R wd representa a força nos montantes verticais e horizontais da treliça espacial. Substituindo a Eq. 5 na Eq. 15 tem-se: R TSd TSd = sen θ (Eq. 16) l sen θ l wd = Sendo s o espaçamento dos estribos e l cot g θ o comprimento de influência das barras transversais da treliça que representam os estribos (ver Figura 3), tem-se: R wd cot g θ = l A s s,90 f ywd (Eq. 17)

24 0 Igualando as Eq. 16 e 17 fica: l cot g θ TSd As,90 f ywd = s l Isolando a armadura transversal relativamente ao espaçamento s dos estribos: As,90 TSd = s l l cot g θ f ywd A s s,90 TSd = tg θ A f e ywd (Eq. 18) com A s,90 sendo a área de um ramo vertical ou horizontal do estribo vertical. 1. DIMENSIONAMENTO DA TORÇÃO UNIFORME NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) SEGUNDO A NBR 6118/03 A norma separa o estudo dos elementos lineares sujeitos à torção em Torção Uniforme e Torção em Perfis Abertos de Parede Fina (item 17.5). No texto subseqüente será considerado o dimensionamento apenas dos elementos lineares sujeitos à torção uniforme. A norma pressupõe um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. As diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo de 30 θ 45. Esse modelo é o da treliça espacial generalizada, descrito anteriormente. O projetista tem a liberdade de escolher o ângulo de inclinação das bielas de compressão, que deve estar coerente com o ângulo adotado no dimensionamento da viga à força cortante. 1.1 Geometria da Seção Resistente No caso de seções poligonais convexas cheias, a seção vazada equivalente terá a espessura da parede equivalente (h e ) dada por: A h e (Eq. 19) u h e c 1 (Eq. 0) onde: A = área da seção cheia; u = perímetro da seção cheia; c 1 = distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural. O item da NBR 6118/03 também define como deve ser considerada a seção resistente de Seções Compostas por Retângulos e de Seções Vazadas.

25 1 1. Torção de Compatibilidade No caso de torção de compatibilidade a norma diz que é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha a adequada capacidade de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados. No caso de elementos sob torção com comprimento menor ou igual a duas vezes a altura ( h), com o objetivo de possibilitar a adaptação plástica, a norma recomenda que a peça tenha a armadura mínima à torção e à força cortante de cálculo limitada a: com: V Sd 0,7 V Rd (Eq. 1) V Rd = 0,7 α v. f cd. b w. d. sen θ (Eq. ) 1.3 Torção de Equilíbrio Elementos sujeitos à torção de equilíbrio devem possuir armaduras longitudinal e transversal (estribos fechados e verticais), destinados a resistir aos esforços de tração. Admite-se satisfeita a resistência de um elemento estrutural à torção pura quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições: T Sd T Rd, T Sd T Rd,3 T Sd T Rd,4 (T Rd, = limite dado pela resistência das diagonais comprimidas do concreto); (T Rd,3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural); (T Rd,4 = limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural). A resistência proveniente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida pela Eq. 8, fazendo a tensão de compressão na diagonal de concreto ficar limitada ao valor máximo dado por 0,5 α v f cd. Assim, o máximo momento de torção que uma seção pode resistir, sem que ocorra o esmagamento das diagonais comprimidas é: T Rd, = 0,50. α v. f cd. A e. h e. sen θ (Eq. 3) com: α v = 1 (f ck /50), f ck em MPa; θ = ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30 θ 45 ; A e = área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada; h e = espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. Segundo a NBR 6118/03, a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural deve atender à expressão seguinte, semelhante à Eq. 18 já desenvolvida: T Rd,3 = (A s,90 /s) f ywd A e cotg θ (Eq. 4) donde, com T Sd = T Rd,3, calcula-se a área da armadura transversal: A s s,90 TSd = tg θ A f e ywd (Eq. 5)

26 onde: A s,90 = área de um ramo do estribo; f ywd = resistência de cálculo do aço da armadura, limitada a 435 MPa. em: Para o ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45 a Eq. 5 transforma-se A T s,90 Sd = (Eq. 6) s Ae f ywd Conforme a NBR 6118/03, a resistência decorrente da armadura longitudinal deve atender à expressão seguinte, já deduzida na Eq. 14: T Rd,4 = (A sl /u e ) A e f ywd tg θ (Eq. 7) donde, com T Sd = T Rd,4, calcula-se a área da armadura longitudinal: A u sl e = A e T f Sd ywd tg θ (Eq. 8) onde: A sl = soma da área das barras longitudinais; u e = perímetro da área A e. em: Para o ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45 a Eq. 8 transforma-se A T = u A f sl Sd (Eq. 9) e e ywd 1.4 Armadura Mínima Segundo a NBR 6118/03 (item ), sempre que a torção for de equilíbrio deverá existir armadura resistente aos esforços de tração, constituída por estribos verticais e barras longitudinais distribuídas na área correspondente à parede equivalente ao longo do perímetro da seção resistente. A taxa geométrica mínima de armadura é: ρ A A f sw sl ct,m sl = ρsw = = 0, (Eq. 30) bw s bw u e f ywk A Eq. 30 prescrita pela NBR 6118/03 dá margem à dúvida porque a área de estribos A sw refere-se ao esforço cortante, onde A sw representa a área total do estribo. No caso da torção geralmente os estribos têm apenas dois ramos e A s,90, calculada pela Eq. 5, representa a área de apenas um ramo do estribo. Nosso entendimento é que a área de estribos mínima dada pela Eq. 30 deve representar a área de apenas um ramo do estribo, e por isso a notação será alterada para A s,90mín, ficando a Eq. 30 escrita como: As,90mín Asl,mín fct,m ρsl,mín = ρs,90mín = = 0, (Eq. 31) b s b u f w w e ywk com: ρ sl, mín = taxa mínima de armadura longitudinal;

27 3 ρ s,90mín = taxa mínima de armadura transversal, composta por estribos verticais; A s,90mín = área da seção transversal de um ramo do estribo vertical; As l,mín = área mínima de armadura longitudinal; b w = largura média da alma; s = espaçamentos dos estribos verticais; u e = perímetro da área A e ; f ct,m = resistência média à tração do concreto. f ywk = resistência de início de escoamento do aço da armadura transversal. Na Eq. 31, isolando A s,90mín /s e A l / u fica: s,mín e A s,90mín s A = u sl,mín e 0, f f ywk ct,m b w (Eq. 3) Fazendo o espaçamento s e o perímetro u e iguais a 100 cm (1 m), a armadura mínima fica: 0 fct,m A s,90mín = Asl,mín = bw (Eq. 33) f ywk com: A s,90mín e As l, mín em cm /m; b w em cm; f ywk e f ct,m em kn/cm ; f = 0,3, com f ck e f ct,m em MPa. ct,m 3 fck 1.5 Solicitações Combinadas Flexão e Torção Nos elementos estruturais submetidos à torção e à flexão simples ou composta, as verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais, devendo-se atender ainda: - na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser acrescentada à armadura longitudinal necessária para flexão; - no banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva h e e no trecho de comprimento u e correspondente à barra ou feixe de barras consideradas; - nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar o valor 0,85 f cd. Esta tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão tangencial de torção, calculada por: τ Td = T d / A e h e (Eq. 34)

28 Torção e Força Cortante Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto (θ) coincidentes para os dois esforços. Na utilização do modelo de cálculo I para a força cortante, subentende-se a consideração de θ igual a 45º também para a torção. A resistência à compressão diagonal no concreto será satisfeita se atendida a expressão: V V Sd Rd TSd + 1 (Eq. 35) T Rd onde V Sd é a força cortante de cálculo e T Sd é o momento de torção de cálculo. A armadura transversal total pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para V Sd e T Sd. Nessa questão é importante salientar que: a área de armadura transversal calculada para o esforço cortante refere-se à área total, contando todos os ramos verticais do estribo. Já no caso da torção a área de armadura transversal calculada é apenas de um ramo do estribo. Portanto, para cálculo da armadura transversal total deve-se tomar o cuidado de somar as áreas de apenas um ramo do estribo, para ambos os esforços de cortante e torção. 1.6 Disposições Construtivas As disposições construtivas para a torção constam no item da NBR 6118/03. A armadura destinada a resistir aos esforços de tração provocados por torção deve ser constituída por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais paralelas ao mesmo eixo. Os estribos e as barras da armadura longitudinal devem estar contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente. Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente. Para prevenir a ruptura dos cantos é necessário alojar quatro barras longitudinais nos vértices das seções retangulares. Segundo LEONHARDT & MÖNNIG (198), para seções de grandes dimensões é necessário distribuir a armadura longitudinal ao longo do perímetro da seção, a fim de limitar a fissuração Fissuração Diagonal da Alma Usualmente não é necessário verificar a fissuração diagonal da alma de elementos estruturais de concreto. Em casos especiais em que isso for considerado importante deve-se limitar o espaçamento da armadura transversal a 15 cm Estribos Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as barras das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º. O diâmetro do estribo deve atender a:

29 5 5 mm b w < φt 10 (Eq. 36) 1 mm para barra lisa 4, mm para estribos formados por tela soldada O espaçamento entre os estribos deve possibilitar a passagem da agulha do vibrador, a fim de garantir o perfeito adensamento do concreto. O espaçamento máximo deve atender as seguintes condições: - se V Sd 0,67 V Rd s máx = 0,6 d 30 cm; - se V Sd 0,67 V Rd s máx = 0,3 d 0 cm. (Eq. 37) Armadura Longitudinal As barras longitudinais da armadura de torção, de área total A sl, podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35 cm. Deve-se respeitar e manter constante a relação A sl / u e, onde u e é o trecho de perímetro da seção efetiva correspondente a cada barra ou feixe de barras de área A sl, exigida pelo dimensionamento. Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal. 13. MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO O momento de inércia à torção (J) e o módulo de inércia à torção (W t ) de vigas com seção retangular podem ser calculados com base nas equações: 3 J = j b h (Eq. 38) W t = w b h (Eq. 39) b n = h onde: j = parâmetro dependente da relação n entre as dimensões dos lados do retângulo, conforme a Tabela ; b = menor dimensão da seção retangular; h = maior dimensão da seção retangular.

30 6 Tabela Valores de w e j. n w j 0,0 0,333 0,333 0,1 0,31 0,31 0, 0,91 0,91 0,3 0,73 0,70 0,4 0,58 0,49 0,5 0,46 0,9 0,6 0,37 0,09 0,7 0,9 0,189 0,8 0,1 0,171 b 0,9 0,14 0,155 1,0 0,08 0,141 h h b 14. EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO Apresentam-se a seguir três exemplos numéricos de aplicação sobre o dimensionamento de vigas de concreto armado sob solicitação de torção. Os cálculos são completos, abrangendo todos os dimensionamentos necessários para o projeto de uma viga (flexão, esforço cortante, ancoragem nos apoios e cobrimento do diagrama de momentos fletores pela armadura longitudinal) EXEMPLO 1 Uma viga em balanço, como mostrada na Figura 33, suporta em sua extremidade uma outra viga, nela engastada, com uma carga concentrada característica de 50 kn em sua extremidade. As distâncias e dimensões adotadas para as duas vigas estão indicadas na planta de fôrma (Figura 34). As vigas têm como carregamento somente a carga F e o peso próprio. São conhecidos: C5 ; CA-50 ; c nom =,5 cm ; γ c = γ f = 1,4 ; γ s = 1,15. V1 (35 x 50) F V (0 x 50) P1 35/60 V (0 x 50) 97,5 150 Figura 33 Perspectiva da estrutura com a força F aplicada. Figura 34 Planta de fôrma.

31 7 RESOLUÇÃO Os esforços solicitantes serão calculados de dois modos, primeiro considerando-se a atuação conjunta das vigas como uma grelha, e segundo considerando-se as vigas individualmente. Para cálculo da grelha foi utilizado o programa GPLAN4, de CORRÊA et al. (199). a) Cálculo dos esforços como grelha Vão efetivo e peso próprio da viga V: l ef,v = l o + a 1 = = 95 cm Vão livre: l o = 80 cm t1 / = 35 / = 17,5 cm a1 a 1 = 15 cm 0,3 h = 0,3 50 = 15 cm Peso próprio: g pp,v = 5. 0,0. 0,50 =,5 kn/m Vão efetivo e peso próprio da viga V1: Vão livre: l o = 150 cm t1 / = 60 / = 30 cm a1 a 1 = 15 cm 0,3 h = 0,3 50 = 15 cm l ef,v1 = l o + a 1 = = 165 cm Peso próprio: g pp,v1 = 5. 0,35. 0,50 = 4,375 kn/m A Figura 35 mostra o esquema utilizado para a grelha, com a numeração dos nós e das barras. Na barra correspondente à viga V1 () deve ser considerado o momento de inércia à torção. O nó deve ser obrigatoriamente considerado um engaste perfeito, e os nós 1 e 3 não têm restrições nodais Figura 35 Esquema da grelha. 1 Para o módulo de elasticidade do concreto (módulo de deformação longitudinal) será considerado o valor secante. O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/03, item 8..8): Eci = 5600 fck = = MPa =.800 kn/cm O módulo de elasticidade secante (E cs ) vale: E cs = 0,85 E ci = 0, =.380 kn/cm

32 8 Para o módulo de elasticidade transversal (G) pode-se utilizar 0,0 E cs, o que resulta 476 kn/cm. Para a grelha em questão foi adotado um valor um pouco superior, de 480 kn/cm. O momento de inércia à torção (J) foi calculado com a Eq. 38. Na Tabela, com n = 0,7 encontra-se o valor de 0,189 para j e: b 35 n = = = 0,7 h J = j b h = 0, = cm 4 O arquivo de dados para entrada no programa, apresentado a seguir, foi feito conforme o manual de utilização do programa (CORRÊA et al., 199) e o manual com diretrizes para a sua aplicação, de BASTOS (1995). OPTE,0,,0,0,, TORCAO CONCRETO II EXEMPLO 1 NO 1,165,0,,0,95, 3,165,95, RES,1,1,1, BAR 1,1,3,1,1,,,3,,1, PROP 1,1,1000,08333,100,50,,1,1750,364583,405169,50, MATL 1,380,480, FIMG CARR1 CBR 1,1,-.05,1,,1, ,1, CNO 1,-50, FIMC FIME Os resultados gerados pelo programa estão listados no Anexo B1. Os diagramas de esforços solicitantes característicos estão indicados na Figura 36. A flecha máxima para a grelha resultou igual a 0,5 cm, no nó 1, menor que os valores limites indicados pela NBR 6118/ ,6 5, T k (kn.cm) V k (kn) M k (kn.cm) Figura 36 Diagrama de esforços solicitantes característicos calculados como grelha. 50

33 9 b) Cálculo dos esforços e dimensionamento da viga V (0 x 50) A título de exemplo e comparação com os esforços da grelha, as vigas terão os esforços novamente calculados, agora considerando-as individualmente. A viga V deve estar obrigatoriamente engastada na viga V1. Seu esquema estático e carregamento estão indicados na Figura 37. b1) Esforços solicitantes máximos V =,5. 0, = 5,4 kn,5 kn/m 50 kn,5 0,95 M = ,95 M = 48,63 kn.m = kn.cm Comparando os resultados dos esforços acima com aqueles obtidos no cálculo de grelha (Figura 36), nota-se que os esforços solicitantes na viga V são idênticos. 5, _ V (kn) k M (kn.cm) Figura 37 Esquema estático, carregamento e esforços na viga V. k b) Dimensionamento à flexão A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup f 3 3 ctk,sup ct,m ck = = 1,3 f = 1,3. 0,3 f = 1,3. 0,3 5 3,33 MPa 3 3 b h I = = = cm I W 0 = = = 8333 cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) y 5 M d,mín = 0, ,333 =.0 kn.cm Dimensionamento da armadura longitudinal para o momento fletor mínimo: bw d K c = = = 19, 1 da Tabela A1 anexa tem-se K s = 0,03. Md 0 Md 0 As = Ks = 0,03 = 1, 11 cm d 46 Conforme a Tabela da apostila de Vigas (BASTOS, 005) para seção retangular e concreto C5, a taxa mínima de armadura (ρ mín ) deve ser de 0,15 % A c, portanto: A s,mín = 0, = 1,50 cm > 1,11 cm ( φ 10 mm = 1,60 cm ) Momento fletor máximo na viga: M k = kn.cm M d = 1, = kn.cm 0 46 K c = = 6, 6808

34 30 na Tabela A1 anexa tem-se: β x = 0,14, K s = 0,04 e dom A s = 0,04 = 3,55 cm A s,mín = 1,50 cm 46 ( φ 16 mm = 4,00 cm ou 3 φ 1,5 = 3,75 cm ) Se adotados 3 φ 1,5 a distância livre entre as três barras da armadura negativa deve ser suficiente para a passagem da agulha do vibrador.,5 3 φ 1,5 50,5 0 b3) Armadura de pele De acordo com a NBR 6118/03, a armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar possíveis fissuras de retração que possam surgir em vigas com altura de 50 cm ou superior, será colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % A c (área da armadura de pele conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga: A s,pele = 0, = 0,50 cm 4 φ 4, mm (0,56 cm ) em cada face, distribuídos ao longo da altura. b4) Dimensionamento ao esforço cortante A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas e apresentadas em BASTOS (005). Para a seção retangular da viga será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38 para a inclinação das diagonais de compressão. V k = 5,4 kn.cm V Sd = γ f. V k = 1,4. 5,4 = 73,4 kn b4.1) Verificação das diagonais de compressão Da Tabela 3 da apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 005), para o concreto C5, determina-se a força cortante última ou máxima: V Rd = 0,87 bw. d. sen θ. cos θ = 0, sen 38. cos 38 = 388,3 kn = 73,4 < V = 388,3 kn não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. VSd Rd b4.) Cálculo da armadura transversal Da mesma Tabela 3 da apostila de Cortante, para o concreto C5 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,040. bw. d. cot g θ + V c 1 VRd VSd Vc1 = Vc0 V V Rd c0 Com V c0 : 3 0,3 5 Vc 0 = 0,6 f ctd b w d = 0,6 0, = 70,8 KN 10.1,4 388,3 73,4 V c 1 = 70,8 = 70, kn 388,3 70,8

35 31 V Sd,mín = 0, cot g , = 117, 3kN VSd = 73,4 < VSd, mín = 117,3 kn portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima. A armadura transversal mínima é calculada pela equação: 0 fctm A sw,mín = bw (cm 3 3 /m), com f ctm = 0, 3 f ck = 0, 3 5 =, 56 MPa f A ywk 0. 0, 56 = cm /m 50 sw, mín =, b4.3) Detalhamento da armadura transversal - Diâmetro do estribo: 5 mm φ t b w /10 φ t 00/10 0 mm - Espaçamento máximo: 0,67 V Rd = 0, ,3 = 60, kn V Sd = 73,4 < 0,67 V Rd = 60, kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 46 = 7,6 cm Portanto, s 7,6 cm Supondo estribo de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se: 0, 40 = 0, 005 s = 19,5 cm s máx = 7,6 cm s b5) Ancoragem da armadura longitudinal negativa A armadura negativa deve ser cuidadosamente ancorada na viga V1, pois nela está engastada. A ancoragem inadequada pode resultar em sérios riscos de ruptura da viga. Conforme apresentado na apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 005) o comprimento de ancoragem básico deve ser calculado. Nas Tabelas A e A3 anexas nesta apostila constam os comprimentos de ancoragem básicos para os aços CA-50 e CA-60. Para concreto C5, aço CA-50 (Tabela A), situação de má aderência e barra de diâmetro 1,5 mm o comprimento de ancoragem básico, sem gancho, resulta 67 cm. Considerando que a armadura negativa calculada foi 3,55 cm e que a armadura efetiva será composta por 3 φ 1,5 (3,75 cm ), o comprimento de ancoragem corrigido, que leva em conta a diferença de áreas de armaduras, é: lb,corr As,anc 3,55 l b,corr = l b = 67 = 63,4 cm l b,mín = 10,0 cm A 3,75 A s,ef s,ef O comprimento de ancoragem mínimo é: r + 5,5 φ l b,mín 6 cm r = (D/) = 5 φ/ = 5. 1,5/ = 3,1 cm r + 5,5 φ = 3,1 + 5,5. 1,5 = 10,0 cm > 6 cm b 35 cm VIGA DE APOIO 50 l b,mín = 10,0 cm O comprimento de ancoragem efetivo da viga de apoio é a largura de viga menos a espessura do cobrimento: l b,ef = b c = 35,5 = 3,5 cm. Verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido é maior que o comprimento de ancoragem efetivo: l b,corr = 63,4 cm > l b,ef = 3,5 cm. Não é possível fazer a ancoragem dessa forma na viga de apoio. Uma solução para tentar resolver o problema é fazer o gancho nas extremidades das barras. O comprimento de ancoragem necessário com gancho é:

36 3 l = 0,7 63,4 b,gancho α1 b,corr = = l 44,4 cm l b,mín = 10,0 cm Verifica-se que o comprimento de ancoragem com gancho é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,gancho = 44,4 cm > l b,ef = 3,5 cm). Se a armadura a ancorar for aumentada para A s,corr fica: A s,corr 0,7 l 0,7 67 b = As,anc = 3,55 = 5, 1 l b,ef 3,5 cm 3 φ 1,5 + 1 grampo φ 10 = 5,35 cm A Figura 38 mostra o detalhamento completo da armadura da viga V. O espaçamento dos estribos foi diminuído de 19,5 cm para 15 cm, a favor da segurança e com pequeno acréscimo no consumo de aço. A armadura de pele, embora não obrigatória neste caso, foi adotada. As barras longitudinais inferiores, porta-estribos, foram adotadas φ 8 mm. V (0 x 50) N1-6 c/15 3N N3 4N4 4N N* - 3 φ 1,5 C = N N3 - φ 10 C = 8 ( cam) 15 N4 - x 4 φ 4, C = N5 - φ 8 C = 110 * N sobre N da V1 N1-6 φ 5 mm C = 130 Figura 38 Armadura final da viga V.

37 33 c) Cálculo e dimensionamento da viga V1 (35 x 50) A viga V1 deve estar obrigatoriamente engastada no pilar P1, como demonstrado no esquema estático (Figura 39). O carregamento consiste no seu próprio peso e nas ações provenientes da viga V (reação de apoio e momento torçor). c1) Esforços solicitantes máximos V k = 4,375. 1,65 + 5,4 = 59,6 kn 4,375 kn/m 5,4 kn 4,375 1,65 M k = + 5,4 1,65 M k = 9,4 kn.m = 9.4kN.cm P kn.cm T k = kn.cm Verifica-se que os esforços solicitantes acima são idênticos com aqueles obtidos no cálculo de grelha (Figura 36). 59,6 5,4 V (kn) 94 _ k M (kn.cm) k 4863 T (kn.cm) k Figura 39 Esquema estático, carregamento e esforços na viga V1. c) Dimensionamento á flexão A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup, f ctk,sup = 3,33 MPa 3 3 b h I = = = cm I W 0 = = = cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) y 5 M d,mín = 0, ,333 = kn.cm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: bw d K c = = = 19, 1 da Tabela A1 anexa tem-se K s = 0,03. Md 3885 Md 3885 As = Ks = 0,03 = 1, 94 cm d 46 Conforme a Tabela da apostila de Vigas (BASTOS, 005) para seção retangular e concreto C5, a taxa mínima de armadura (ρ mín ) deve ser de 0,15 % A c, portanto: A s,mín = 0, =,63 cm > 1,94 cm ( φ 1,5 mm =,50 cm ) O momento fletor solicitante característico na viga V1 é 9.4 kn.cm. O momento fletor de cálculo é: M d = 1, = kn.cm K c = = 5,7 1939

38 34 na Tabela A1 anexa tem-se: β x = 0,16, K s = 0,05 e domínio A s = 0,05 = 7,03 cm A s,mín =,63 cm 46 (5 φ 1,5 + 1 φ 10 = 7,05 cm ) 1 φ 10 e h 5 φ 1,5 O espaçamento livre entre as barras é: 35 [ (,5 + 0,63) + 5 1,5 + 1,0] e h = = 4,3 cm 5 (espaço livre suficiente para a passagem da agulha do vibrador, φ ag = 5 mm).,5, c3) Armadura de pele De acordo com a NBR 611/03, a armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar possíveis fissuras de retração que possam surgir em vigas com altura de 50 cm, deve ser colocada uma armadura de pele com essa finalidade. A armadura para a torção que será colocada nas faces laterais da viga terá também a função de armadura de pele. c4) Dimensionamento ao esforço cortante Para a seção retangular será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38, conforme a apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 005). V k = 59,6 kn.cm V Sd = γ f. V k = 1,4. 59,6 = 83,4 kn C4.1) Verificação das diagonais de compressão Na Tabela 3 da apostila de Cortante, para o concreto C5 determina-se a força cortante última ou máxima: V Rd = 0,87 b w. d. sen θ. cos θ = 0, sen 38. cos 38 = 679,5 kn = 83,4 < V = 679,5 kn não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. VSd Rd c4.) Cálculo da armadura transversal Da mesma Tabela 3, para o concreto C5, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,040. b w. d. cot g θ + V c 1 VRd VSd Vc1 = Vc0 V V Rd c0 Com V c0 : 3 0,3 5 Vc 0 = 0,6 f ctd b w d = 0,6 0, = 13,9 KN 10.1,4 679,5 83,4 V c 1 = 13,9 = 13,9 kn 679,5 13,9

39 35 V Sd,mín = 0, cot g ,9 = 15, 3 kn VSd = 83,4 < VSd, mín = 15,3 kn portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima. A armadura mínima é calculada pela equação: 0 fctm A sw,mín = bw (cm 3 3 /m), com f ctm = 0, 3 f ck = 0, 3 5 =, 56 MPa f A ywk 0. 0,56 =. 35 3,58 cm /m 50 sw, mín = c4.3) Detalhamento da armadura transversal - Diâmetro do estribo: 5 mm φ t b w /10 φ t 350/10 35 mm - Espaçamento máximo: 0,67 V Rd = 0, ,5 = 455,3 kn V Sd,máx = 83,4 < 455,3 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 46 = 7,6 cm Portanto, s 7,6 cm c5) Ancoragem da armadura longitudinal negativa A armadura negativa da viga (5 φ 1,5 + 1 φ 10) deve ancorar no pilar P1, que tem seção transversal 35/60. Conforme a Tabela A anexa, com concreto C5, CA-50 (barra de alta aderência) e situação de má aderência para a armadura negativa, o comprimento de ancoragem básico (sem gancho) é 67 cm para φ 1,5 mm. O comprimento de ancoragem mínimo também é o mesmo da viga V para φ 1,5 mm, l b,mín = 10,0 cm. O comprimento de ancoragem corrigido, considerando a armadura a ancorar de 7,03 cm e a armadura efetiva composta por 5 φ 1,5 + 1 φ 10 (7,05 cm ), sem gancho, é: l A 7,03 = 67 7,05 s,anc b,corr = l b = As,ef 67,0 cm l b,corr = 67,0 cm l b,mín = 10,0 cm O comprimento de ancoragem efetivo é: l b,corr 67,1 A s, ef 50 l b,ef = b c = 60,5 = 57,5 cm c,5 l b,ef 57,5 b 60 Verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido, sem gancho, é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,corr = 67 cm > l b,ef = 57,5 cm), que não possibilita fazer a ancoragem reta no pilar. A primeira alternativa para resolver o problema é fazer gancho nas extremidades das barras, reduzindo o comprimento corrigido para: l b,gancho = 0,7 67,0 = 46,9 cm O comprimento de ancoragem necessário, com gancho, é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,gancho = 46,9 cm < l b,ef = 57,5 cm), o que possibilita fazer a ancoragem no pilar, sem a necessidade de acréscimo de armadura. A favor da segurança, a armadura negativa pode ser estendida até próximo à face do pilar, no comprimento de l b,ef (Figura 40).

40 36 c6) Dimensionamento à torção O momento de torção característico (T k ) é kn.cm e o momento de cálculo é: T Sd = 1, = kn.cm c6.1) Verificação das diagonais comprimidas Área da seção transversal: A = b w. h = = cm Perímetro da seção transversal: u = (b w + h) = ( ) = 170 cm As Eq. 19 e 0 fornecem os limites para a espessura h e da parede fina: A 1750 h e = = 10,3 cm e h e c 1 u 170 c 1 Supondo φ l = 1,5 mm e φ t = 8 mm, com c nom =,5 cm tem-se: c 1 = φ l / + φ t + c nom = 1,5/ + 0,8 +,5 = 3,93 cm c nom h e. 3,93 = 7,9 cm b w Portanto, os limites para h e são: 7,9 cm h e 10,3 cm. Será adotado h e = 10,0 cm. h e A área efetiva e o perímetro da parede fina são: A e = (b w h e ). (h h e ) = (35 10). (50 10) = cm h u e = [(b w h e ) + (h h e )] = [(35 10) + (50 10)] u e = 130 cm h e O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 3, com ângulo θ (38 ) igual ao aplicado no cálculo da viga ao esforço cortante é: T Rd, = 0,5 α v f cd A e h e sen θ = 0,5 (1 5/50). (,5/1,4) sen. 38 = kn.cm Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 deve-se ter: VSd TSd + 1 V T Rd Rd Como calculado no item c4.1, os valores de V Rd e V Sd são 679,5 kn e 83,4 kn, respectivamente. Aplicando a Eq. 34 tem-se: 83, = 1,0 1,0 679,5 7797

41 37 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. Caso resultasse valor superior à unidade, haveria a necessidade de se fazer alguma mudança. O aumento da largura ou da altura da viga são soluções comumente utilizadas na prática. c6.) Cálculo das armaduras para torção A armadura mínima transversal já foi calculada no dimensionamento da viga ao esforço cortante (item c4.), sendo 3,58 cm /m. Esta armadura é a mínima também para a torção, tanto para a armadura transversal como para a longitudinal, como mostrado na Eq. 3. Armadura transversal composta por estribos a 90 conforme a Eq. 5: As,90 TSd = tg θ s A f A, 90 s e ywd 6808 = tg 38 0,061 cm /cm = 6,1 cm /m ,15 s = A, 90 s = 6,1 cm /m A s,90mín = 3,58 cm /m s Armadura longitudinal conforme a Eq. 8: A u = A e T f ywd 6808 = tg θ ,15 s l Sd = e tg 38 0,100 cm /cm A s l = 10,0 cm u /m A 3, 58 s l, mín = cm /m e c6.3) Detalhamento das armaduras c6.3.1) Armadura longitudinal A área total de armadura longitudinal é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada para cada uma das quatro faces da viga, como: Face superior: - da flexão A s = 7,03 cm - da torção A s = (b w h e ) A sl = (35 10) 0,100 =,51 cm - A s,total = 7,03 +,51 = 9,54 cm (8 φ 1,5 = 10,00 cm ) Face inferior: - da flexão A s = 0,00 cm - da torção A s = (b w h e ) A sl = (35 10) 0,100 =,51 cm - A s,total =,51 cm ( φ 1,5 mm =,50 cm ) Faces laterais: - A s,total = (h h e ) A sl = (50 10) 0,100 = 4,01 cm (5 φ 10 mm = 4,00 cm ). É importante ressaltar que devem ser dispostos 5 φ 10 mm em ambas as faces laterais da viga. Esta armadura pode atuar também para evitar as fissuras por retração do concreto, não sendo necessário acrescentar armadura de pele, embora a norma não exija porque a viga não tem altura superior a 60 cm.

42 38 c6.3.) Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à torção. A armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de 0,0358 cm /cm. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante para um ramo é 0,0358/ = 0,0179 cm/m, a armadura transversal total é: As,total Asw,1ramo As, 90 = + = 0, ,061 = 0,0791cm /cm = 7,91 cm /m s s s onde A s,90 representa a área de um ramo do estribo. O diâmetro do estribo para a torção deve ser igual ou superior a 5 mm e inferior a b w /10 = 350/10 = 35 mm. Fazendo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 6,3 mm tem-se: 0,31 = 0,0791 s = 3,9 cm s máx = 7,6 cm s O espaçamento resultou muito pequeno. Fazendo com diâmetro de 8 mm encontra-se: 0,50 = 0,0791 s = 6,3 cm s máx = 7,6 cm s O espaçamento ainda está pequeno. Fazendo com diâmetro de 10 mm encontra-se: 0,80 = 0,0791 s = 10,1 cm s máx = 7,6 cm s A Figura 40 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. Como visto, as armaduras para o momento fletor, para o esforço cortante e para a torção foram calculadas separadamente e somadas no final. O comprimento do gancho das barras N foi aumentado de 10 cm para 40 cm, para garantir uma melhor ancoragem da armadura no pilar. V1 (35 x 50) 6 N N1-15 c/10 1 N3 1 N3 5 N4 P N - 6 φ 1,5 C = 4 N5 30 a N3 - φ 1,5 C = 0 ( cam) 45 N4 - x 5 φ 10 C = 0 N5 - φ 1,5 C = 0 N1-15 φ 10 C = 160 Figura 40 Armadura final da viga V1.

43 39 Como a viga V está apoiada na viga V1 convém posicionar as barras N da V sobre as barras N da V1. Os ganchos nas extremidades dos estribos da V1 devem ser inclinados a 45, como prescrito pela NBR 6118/03, e com comprimento de 5 φ 5 cm. 14. EXEMPLO Este exemplo refere-se ao projeto estrutural de uma laje em balanço (marquise) engastada na viga de apoio. A marquise tem a função arquitetônica de proteger a entrada de uma construção. A Figura 41 mostra uma perspectiva da estrutura. As Figuras 4 e 43 mostram a planta de fôrma da estrutura e o pórtico do qual a marquise faz parte. Este exemplo tomou como base aquele encontrado em GIONGO (1994). Para a estrutura pede-se calcular e dimensionar as armaduras da viga V1. NOTA: A planta de fôrma da estrutura é desenhada com o observador posicionado no nível inferior à estrutura que se quer mostrar e olhando para cima. Como as vigas V1, V3 e V6 são invertidas, os traços de uma das faces das vigas estão desenhados com linha tracejada. As seguintes informações são conhecidas: a) marquise acessível a pessoas apenas para serviços de construção e manutenção; b) o coeficiente de segurança das ações permanentes e variáveis (γ f ) será tomado como 1,4 (tabela 11.1 NBR 6118/03). O coeficiente de segurança do concreto (γ c ) será tomado como 1,4; c) lajes e vigas em concreto aparente (sem revestimentos); d) sobre a viga V1 há uma parede de alvenaria de bloco cerâmico furado (γ alv = 13 kn/m 3 ), com espessura final de 3 cm e altura de,6 m; e) γ concr = 5 kn/m 3, γ imperm = 1 kn/m 3 ; f) espessura média de 3 cm para a camada de impermeabilização e regularização sobre a laje da marquise; g) vigas V, V3 e V6 sem função estrutural; h) classe II de agressividade ambiental (tabela 6.1 da NBR 6118/03); i) concreto C5 (tabela 7.1 da NBR 6118/03); aço CA-50; j) cobrimento nominal de,0 cm (item da NBR 6118/03); k) carga da laje interna na viga V1 (p laje = 5,0 kn/m). Figura 41 Perspectiva da estrutura.

44 V4 (0 x 35) V1 (0 x 40) Laje interna A V5 (0 x 35) Laje interna 0 V7 (0 x 35) V3 (10 x 40) P1 0/30 P 0/30 h = 10 cm 140 P3 0/30 V6 (10 x 40) 155 V (10 x 40) 10 A Corte A V V V1 40 P Figura 4 Planta de fôrma e corte da marquise. V (0 x 40) P1 0/30 60 P 0/30 P3 0/30 V1 (0 x 40) 40 tramo 1 tramo ,5 V (0 x 5) 5 Figura 43 Vista do pórtico com a viga V1.

45 41 RESOLUÇÃO Como a laje em balanço está num nível inferior ao da laje interna à construção, não é indicado considerar alguma vinculação entre as duas lajes, de modo que a laje em balanço deve ser considerada engastada na viga V1, onde se apóia. A flexão na laje passa a ser torção na viga, devendo ser obrigatoriamente considerada. No cálculo dos pilares também deve ser computada a flexão originária da torção na viga V1. Caso se quisesse evitar esforços de torção na viga V1 uma solução para isso seria prolongar as vigas V4, V5 e V7 até a extremidade livre da laje em balanço. Que proporcionam a devida resistência e equilíbrio da marquise. A laje da marquise passaria a ser uma simples laje apoiada nas quatro vigas de borda e armada em uma direção, sem engastamento na viga V1, e portanto, sem torção. O engastamento da laje em balanço da marquise nas lajes internas da construção seria possível, desde que ambas as lajes estivessem no mesmo nível superior, o que também eliminaria a torção na viga V1. a) Dimensionamento da laje da marquise Na laje da marquise ocorrem ações uniformemente distribuídas na área da laje e linearmente distribuídas no contorno externo da marquise, representadas pelas vigas V, V3 e V6. a1) Ações uniformemente distribuídas As cargas atuantes na laje são as seguintes: - peso próprio g pp = 5. 0,10 =,50 kn/m - impermeabilização g imp = 1. 0,03 = 0,63 kn/m - ação variável q = 0,5 kn/m (laje sem acesso público) - CARGA TOTAL - p = 3,63 kn/m a) Ações uniformemente distribuídas no contorno No contorno da laje há a ação do peso próprio das vigas V, V3 e V6, em concreto aparente: - g pp,vigas = 5. 0,10. 0,30 = 0,75 kn/m a3) Cálculo das solicitações Não havendo a possibilidade de engastamento da laje da marquise com as lajes internas do edifício, a laje em balanço deve ser obrigatoriamente engastada na viga V1. Como a laje é armada em uma direção, os esforços solicitantes são calculados supondo-se a laje como viga de largura unitária (1 m), Figura 44. Vão efetivo da laje: l ef = l o + a 1 = = 153 cm Vão livre: l o = 150 cm 0,75 kn 3,63 kn/m 5 t1 / = 0/ = 10 cm a1 a 1 = 3 cm 0,3 h = 0,3 10 = 3 cm Os esforços solicitantes máximos são: 3,63 1,53 M = + 0,75 1,48 = 5,36 kn.m/m V = 3,63. 1,53 + 0,75 = 6,30 kn/m 0, M (kn.cm/m) K 6,30 V (kn/m) K Figura 44 Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes máximos.

46 4 a4) Verificação da laje à força cortante A laje deve ser verificada quanto à necessidade ou não de armadura transversal. De modo geral as lajes maciças com cargas baixas, como neste caso, não requerem esse tipo de armadura transversal, e por isso, o cálculo não será apresentado. a5) Determinação da armadura de flexão na laje A determinação da armadura principal negativa, posicionada perpendicularmente ao eixo longitudinal da viga V1 e junto à face superior da laje, considerando a altura útil d é: d = h (c + φ/) = 10 (,0 + 0,63/) = 7,7 cm 100 7,7 K c = = 7,9 da Tabela A1 anexa tem-se K s = 0,04 1, ,4 536 A s = 0,04 =,34 cm /m (φ 6,3 c/13 =,4 cm /m) 7,7 A armadura negativa das lajes, segundo as tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/03 deve ter o valor mínimo de: 0,15 As,mín = 0,15 % bw h = = 1,50cm /m < A s =,34 cm /m 100 O espaçamento máximo para laje armada em uma direção deve atender a: h = 10 = 0 cm s s 0 cm 0 cm As lajes armadas em uma direção devem ter, posicionada na direção secundária, uma armadura de distribuição de área igual a 1/5 da área da armadura principal, com o espaçamento máximo de 33 cm (A s,sec =,34/5 = 0,47 cm /m - φ 4, c/8 cm = 0,49 cm /m). a6) Detalhamento das armaduras O detalhamento esquemático das armaduras dimensionadas está na Figura 45. Deve-se observar que a armadura principal da laje em balanço é posicionada junto à face superior, isto é, onde ocorrem as tensões longitudinais de tração. A armadura principal da laje deve ser cuidadosamente ancorada na viga onde está engastada. O detalhe das barras N1 no interior da viga V1 garante a necessária ancoragem. A armadura inferior (barras N3) não é necessária ao equilíbrio da laje, podendo ser dispensada. Nas lajes em balanço, no entanto, a sua colocação pode ser útil para aumentar a segurança da laje numa eventual ruptura, além de aumentar a sua ductilidade e diminuir a flecha, que deve ser verificada no caso de um projeto completo. N1 V1 N - 6 φ 4, c/ 5 CORR N N1-61 φ 6,3 c/ 13 C = N3-6 φ 4, c/ 30 C = 165 Figura 45 Detalhamento esquemático das armaduras da laje.

47 43 b) Dimensionamento da viga V1 Sobre a viga V1 atuam ações provenientes do seu peso próprio, da parede de alvenaria existente sobre ela, das lajes internas do edifício e da laje em balanço (reação de apoio e momento fletor na seção de engastamento da laje, que leva à torção da viga). Todas essas ações são uniformemente distribuídas ao longo do comprimento da viga. b1) Ações a considerar - peso próprio g pp = 5. 0,0. 0,40 =,00 kn/m - parede g par = 13. 0,3.,60 = 7,77 kn/m - laje externa (marquise) p laje = 6,30 kn/m - laje interna p laje = 5,0 kn/m - CARGA TOTAL p = 1,07 kn/m b) Esforços solicitantes O modelo adotado para o esquema estrutural da viga, para a determinação dos momentos fletores e torçores e forças cortante, é aquele que considera a viga vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos (molas). Para a avaliação dos momentos torçores há que se considerar os dois tramos da viga engastados nos pilares P1, P e P3. Os vãos efetivos da viga são: l ef = l o + a 1 = = 383 cm Vão livre: l o = 359 cm ( ) t1 / = 30/ = 15 cm a1 a 1 = 1 cm 0,3 h = 0,3 40 = 1 cm O apoio interno da viga (pilar P) pode ser considerado como um apoio simples, pois de acordo com o esquema mostrado na Figura 43 tem-se que o comprimento de flambagem do lance inferior do pilar é l e = 450 cm e l e /4 = 450/4 = 11,5 cm. Como a dimensão do pilar na direção da viga (b int = 30 cm) é menor que l e /4 (11,5 cm) deve-se considerar o pilar interno como um apoio simples. A viga deveria ser considerada engastada no pilar P caso b int resultasse maior que l e /4. A Figura 46 mostra o esquema estático da viga, com os carregamentos atuantes, vãos efetivos, numeração das barras e nós, etc. Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado algum programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa para cálculo de pórtico plano, chamado PPLAN4, de CORRÊA et al. (199). y 1,07 kn/m x 191,5 191,5 191,5 191,5 383 Figura 46 - Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras da viga V Considerando que os pilares extremos P1 e P3, nos quais a viga se encontra vinculada, estão engastados na estrutura de fundação (bloco de duas estacas e vigas baldrames), o coeficiente de rigidez do lance inferior do pilar será tomado como 4EI/l e. Quando o pilar for considerado apoiado na estrutura de fundação, o coeficiente de rigidez poderá ser tomado como 3EI/l e. Pilares sobre blocos de uma estaca devem ser considerados apoiados.

48 44 A rigidez da mola que vincula a viga a esses pilares é avaliada por: K mola = K p,sup + K p,inf O módulo de elasticidade do concreto tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/03, item 8..8): Eci = 5600 fck = = MPa =.800 kn/cm O módulo de elasticidade secante (E cs ) vale: E cs = 0,85 E ci = 0, =.380 kn/cm O momento de inércia dos lances inferior e superior do pilar é: 3 3 b h I p,sup = I p,inf = = = cm Observe que a dimensão do pilar considerada ao cubo é aquela coincidente com a direção longitudinal da viga. Os coeficientes de rigidez dos lances inferior e superior do pilar são: K p,inf = = kn.cm K p,sup = = kn.cm 300 Rigidez da mola: K mola = = kn.cm Para os coeficientes de mola foram considerados os comprimentos de flambagem do pilar, e não a metade deles como preconizado pela NBR 6118/03. A viga em questão tem simetria de geometria e carregamento no pilar interno (nó 3). A viga pode, por simplicidade, ser calculada considerando-se apenas os nós 1, e 3, e as barras 1 e. Para isso deve-se fazer o nó 3 com restrição de rotação, além das restrições de apoio simples. Os resultados devem ser idênticos aqueles para a viga completa. O arquivo de dados de entrada no programa, considerando a simetria, tem o aspecto: OPTE,0,,0,0,, CONCRETO II EXEMPLO V 1 (0 x 40) NOGL 1,3,1,0,0,383,0, RES 1,1,1,,0,0,380000, 3,1,1,1, BARG 1,,1,1,1,,1,1,1, PROP 1,1,800,106667,40, MATL 1,380, FIMG CARR1 CBRG 1,,1,1,-0.107,1, FIMC FIME

49 45 A Figura 47 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores característicos máximos) obtidos no programa PPLAN4. A listagem dos resultados calculados pelo programa encontra-se no Anexo B. Na Figura 47 também estão incluídos os esforços de torção, provocados pelo momento fletor na laje em balanço (5,36 kn.m), que é momento de torção solicitante na viga. Os momentos de torção máximos nos apoios foram calculados considerando-se os tramos da viga biengastados. Conforme mostrado na Figura 47 os valores são: 5,36 3,83 T k = = 10,6 kn.m = 1.06 kn.cm 5,36 kn.m 5,36 kn.m P1 P P3 3,83 m 3,83 m 10,6 10,6 10,6 T (kn.m) K 10,6 35,0 45,7 45,7 V (kn) K 35,0 ~ ~ 57 + ~ 90 - M (kn.cm) K Figura 47 Diagramas de esforços solicitantes característicos. A flecha calculada pelo programa para o nó (0,07 cm) não é a flecha máxima no vão, mas é próxima a ela, de modo que serve como um indicativo da deslocabilidade da viga. Um valor mais próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó indicado na Figura 46. A flecha de 0,07 cm é muito pequena e com certeza inferior à flecha máxima permitida para a viga. b3) Dimensionamento das armaduras Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal, para os esforços solicitantes de força cortante, momentos fletores e torçores. b3.1) Armadura mínima de flexão A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup f 3 3 ctk,sup ct,m ck = = 1,3 f = 1,3. 0,3 f = 1,3. 0,3 5 3,33 MPa

50 b h I = = = cm I W 0 = = = 5333 cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) y 0 M d,mín = 0, ,333 = 1.41 kn.cm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: bw d K c = = = 19, 3 da Tabela A1 anexa tem-se K s = 0,03. Md 141 Md 141 As = Ks = 0,03 = 0, 88 cm d 37 Conforme a Tabela da apostila de Vigas (BASTOS, 005) para seção retangular e concreto C5, a taxa mínima de armadura (ρ mín ) deve ser de 0,15 % A c, portanto: A s,mín = 0, = 1,0 cm > 0,88 cm ( φ 10 mm = 1,60 cm ) b3.) Armadura de pele A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. Para a viga com largura de 0 cm e a altura de 40 cm não devem surgir fissuras por retração. b3.3) Momento fletor negativo b3.3.1) Apoio interno (P) M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (- 3.54) = kn.cm Para a altura da viga de 40 cm será adotada a altura útil de 37 cm. A largura colaborante da laje em balanço para formar uma seção L com a viga, conforme o item da NBR 6118/03, é: b 3 = 0,10 (0,6. 383) = 3 cm b f = b w + b 3 = = 43 cm bf d K c = = = 1, 9 M 4556 d Da Tabela A1 anexa tem-se: β x = x/d = 0,06 0,50, K s = 0,04 e domínio. Md 4556 As = Ks = 0,04 =, 95 cm > A s,mín = 1,0 cm d 37 4 φ 10 mm = 3,0 cm ou φ 1,5 + 1 φ 8 = 3,00 cm No caso de se adotar 4 φ 10 na primeira camada, a distância livre horizontal entre as barras deve ser superior a 5 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 6,3 mm, para 4 φ 10 mm a distância livre resulta: 0 [ (,0 + 0,63) + 4.1,0] e h = = 3,6 cm 3 distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador. b3.3.) Apoios extremos (P1 e P3) M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (- 1.18) = kn.cm

51 47 bf d K c = = = 34, 5 Md 1705 Md 1705 As = Ks = 0,03 = 1, 06 cm < A s,mín = 1,0 cm d 37 φ 10 mm = 1,60 cm b3.3.3) Momento fletor máximo positivo M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1, =.366 kn.cm Na seção do máximo momento positivo pode-se considerar a contribuição da laje interna para formar uma seção L, dado que a laje está comprimida: b 1 = 0,10 (0,6. 383) = 3 cm b f = b w + b 1 = = 43 cm bf d K c = = = 4, 5 Md 366 Md 366 As = Ks = 0,03 = 1, 47 cm > A s,mín = 1,0 cm d 37 φ 10 mm = 1,60 cm b3.3.4) Armadura longitudinal máxima A soma das armaduras de tração e de compressão (A s + A s ) não deve ter valor maior que 4 % A c, calculada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, as taxas de armadura longitudinais são pequenas e não superam a taxa de armadura máxima. b4) Dimensionamento da armadura transversal ao esforço cortante A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas e apresentadas na apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 005). Será adotado o Modelo de Cálculo II com ângulo θ de 38 para a inclinação da diagonais comprimidas, valor esse intermediário entre seção retangular e seção T. b4.1) Pilar interno P V k = 45,7 kn.cm V Sd = γ f. V k = 1,4. 45,7 = 64,0 kn a) Verificação das diagonais de compressão Da Tabela 3 da apostila de Cortante em Viga, para o concreto C5, determina-se a força cortante última ou máxima: V Rd = 0,87 bw. d. sen θ. cos θ = 0, sen 38. cos 38 = 31,3 kn V Sd = 64,0 kn < V Rd = 31,3 kn não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. b) Cálculo da armadura transversal Da mesma Tabela 3, para o concreto C5, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,040. bw. d. cot g θ + V c 1 VRd VSd Vc1 = Vc0 V V Rd c0

52 48 Com V c0 : 3 0,3 5 Vc 0 = 0,6 fctd bw d = 0,6 0, = 56,9 KN 10.1,4 31,3 64,0 V c 1 = 56,9 = 55,3 kn 31,3 56,9 V Sd,mín = 0, cotg ,3 = 93, kn V Sd = 64,0 kn < V Sd,mín = 93, kn portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima A armadura mínima é calculada pela equação: 0 fctm A sw,mín = bw (cm 3 3 /m), com f ctm = 0, 3 f ck = 0, 3 5 =, 56 MPa f A ywk 0. 0, 56 = cm /m 50 sw, mín =, A força cortante de cálculo nos pilares extremos (V Sd = 49,0 kn) é também menor que a força cortante mínima, o que significa que a armadura mínima deve se estender ao longo dos dois tramos livres da viga V1. b4.) Detalhamento da armadura transversal a) Diâmetro do estribo: 5 mm φ t b w /10 φ t 00/10 0 mm b) Espaçamento máximo: 0,67 V Rd = 0,67. 31,3 = 09, kn V Sd,máx = 64,0 < 09, kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 37 =, cm Portanto, s cm b5) Ancoragem das armaduras longitudinais b5.1) Armadura positiva nos pilares extremos P1 e P3 Como a viga tem simetria de carregamento e geometria, a ancoragem nos pilares P1 e P3 é idêntica. O valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (a l ) segundo o modelo de cálculo II, com V Sd = 49,0 kn é: a l = 0,5 d (cot g θ cot g α) = 0,5. 37 (cotg 38 cotg 90) a l = 3,6 cm 0,5 d = 0,5. 37 = 18,5 cm Conforme a Eq. 18 da apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 005), a armadura a ancorar no apoio, com N Sd nula, é: 1 a l 1 3,6 As,anc = VSd + NSd = 49,0 = 0, 7cm f yd d ,15 A armadura calculada a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima, dada pelas relações: 1 M vão As,vão se Mapoio = 0 ou negativo e Mapoio 3 As,anc 1 M vão As,vão se Mapoio = negativo e Mapoio > 4 M d,apoio = kn.cm > M d,vão / =.366/ = kn.cm Portanto, A s, anc 1/4 A s,vão = 1,47/4 = 0,37 cm

53 49 A s, anc = 0,7 cm > 1/4 A s,vão = 0,37 cm portanto, ancorar 0,7 cm A armadura positiva do vão adjacente é composta por φ 10 mm, que deverão ser obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, A s,ef = φ 10 = 1,60 cm > A s, anc = 0,7 cm. O comprimento de ancoragem mínimo no apoio (l b,mín ) é: r + 5,5 φ l b,mín 6 cm r = D/ = 5φ/ = 5. 1,0/ =,5 cm (com D determinado na Tabela 1 da apostila de Ancoragem e Emendas) r + 5,5φ =,5 + 5,5. 1,0 = 8,0 cm > 6 cm l b,mín = 8,0 cm O comprimento de ancoragem básico (l b ), conforme a Tabela A, para barra com diâmetro de 10 mm, concreto C5, aço CA-50, região de boa aderência e sem gancho é 38 cm. O comprimento de ancoragem corrigido é: As,anc 0,7 l b,corr = l b = 38 = 17,1 cm A 1,60 s,ef c,0 lb,ef 8 40 l b,corr 17,1 O comprimento de ancoragem efetivo é: l b,ef = b c = 30 = 8 cm A s, ef b 30 Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho) é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,corr = 17,1 cm < l b,ef = 8 cm). Isto significa que é possível fazer a ancoragem sem gancho, no comprimento de 17 cm. A favor da segurança pode-se estender as duas barras até próximo à face externa do pilar e fazer o gancho para a ancoragem ficar mais eficiente, como mostrado na Figura 50 (barras N5). b5.) Armadura positiva no pilar interno P Estendendo φ 10 (1,60 cm ) da armadura longitudinal positiva até o pilar interno, esta armadura deve ser superior à mínima, dada por: M d,apoio = kn.cm > M d,vão / =.366/ = kn.cm Portanto, A s, anc 1/4 A s,vão = 1,47/4 = 0,37 cm A s,ef = 1,60 cm > 1/4 A s,vão = 0,37 cm As duas barras de 10 mm devem se estender pelo menos 10φ além da face do apoio. b5.3) Armadura negativa nos pilares extremos P1 e P3 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser de 5φ, como indicado na Figura 48.

54 50 φ10 5 φ 35 φ 35 cm Figura 48 Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos. b6) Dimensionamento à torção O momento de torção característico (T k ) é 1.06 kn.cm e o momento de cálculo é: T Sd = 1, = kn.cm b6.1) Verificação das diagonais comprimidas Como a torção tem o mesmo valor máximo nos três pilares de apoio, a verificação das diagonais de compressão será feita para o esforço cortante máximo na viga (pilar P), a favor da segurança. Área da seção transversal: A = b w. h = = 800 cm Perímetro da seção transversal: u = (b w + h) = (0 + 40) = 10 cm As Eq. 19 e 0 fornecem os limites para a espessura h e da parede fina: A 800 h e = = 6,7 cm e h e c 1 u 10 Com c =,0 cm e supondo φ l = 1,5 mm e φ t = 6,3 tem-se: c 1 = φ l / + φ t + c nom = 1,5/ + 0,63 +,0 = 3,6 cm h e. 3,6 = 6,5 cm Portanto, os limites para h e são: 6,5 cm h e 6,7 cm Será adotado h e = 6,5 cm. A e = (b w h e ). (h h e ) = (0 6,5). (40 6,5) = 45,3 cm u e = [(b w h e ) + (h h e )] = [(0 6,5) + (40 6,5)] = 94 cm O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 3, com ângulo θ (38 ) igual ao aplicado no cálculo da viga ao esforço cortante é: T Rd, = 0,5 α v f cd A e h e sen θ = 0,5 (1 5/50). (,5/1,4) 45,3. 6,5. sen. 38 =.9 kn.cm Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 deve-se ter: VSd TSd + 1 V T Rd Rd

55 51 A força cortante máxima calculada para a viga é V Rd = 31,3 kn e a força cortante atuante é V Sd,P = 64,0 kn. Substituindo os valores encontra-se: 64,0 31, = 0,83 1,0 9 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. b6.) Cálculo das armaduras As armaduras mínimas, transversal e longitudinal para a torção são iguais à armadura mínima para o esforço cortante (ver Eq. 3) e já foram calculadas, com valor de,05 cm /m. Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 5: A s s,90 TSd 1436 = tg θ = tg 38 = 0,085 cm /cm A f 50 e ywd 45,3 1,15 A, 90 s =,85cm /m A s,90mín =,05 cm /m s Armadura longitudinal conforme a Eq. 8: A l TSd 1436 = = u A f tg 50 e e ywd θ 45,3 tg 38 1,15 A s l = 4,67 cm u /m A, 05 s l, mín = cm /m s = e b6.3) Detalhamento das armaduras 0,0467 cm /cm b6.3.1) Armadura longitudinal A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada para cada uma das quatro faces externas da viga. As diferentes regiões com as maiores armaduras ao longo dos vãos da viga devem ser analisadas. Pilares P1 e P3: Face superior: - da flexão A s = 1,06 cm - da torção A s = (b w h e ) A sl = (0 6,5) 0,0467 = 0,63 cm - A s,total = 1,06 + 0,63 = 1,69 cm ( φ 10 = 1,60 cm ) Face inferior: - da flexão A s = 0,00 cm - da torção A s = (0 6,5) 0,0467 = 0,63 cm - A s,total = 0,63 cm (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do vão, que se estende até o apoio externo - φ 10 mm = 1,60 cm ) Faces laterais: - A s,total = (h h e ) A sl = (40 6,5) 0,0467 = 1,56 cm (3 φ 8 mm = 1,50 cm ). Esta armadura contribui também para evitar possíveis fissuras causadas pela retração do concreto.

56 5 Pilar P (ambos os lados) Face superior: - da flexão A s =,95 cm - da torção A s = (0 6,5) 0,0468 = 0,63 cm - A s,total =,95 + 0,63 = 3,58 cm (3 φ 1,5 = 3,75 cm ) Face inferior: - da flexão A s = 0,00 cm - da torção A s = (0 6,5) 0,0467 = 0,63 cm - A s,total = 0,63 cm (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do vão, que se estende até o apoio interno - φ 10 mm = 1,60 cm ) Faces laterais: - A s,total = (40 6,5) 0,0467 = 1,56 cm (3 φ 8 mm = 1,50 cm ). - b6.3.) Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à torção. A armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de 0,005 cm /cm, ao longo de toda a viga. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante para um ramo é 0,005/ = 0,0103 cm/m, a armadura transversal total é: As,total 90 s Asw,1ramo As, = + = 0, ,085 = 0,0388 cm /cm = 3,88 cm /m s s onde A s,90 representa a área de um ramo do estribo. O diâmetro do estribo deve ser superior a 5 mm e inferior a b w /10 = 00/10 = 0 mm. Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 5 mm (1 φ 5 mm = 0,0 cm ) tem-se: 0,0 = 0,0388 s s = 5, cm < s máx = cm (este espaçamento máximo vale para o cortante e para a torção). fica: O espaçamento resultou muito pequeno. Considerando o estribo com diâmetro de 6,3 mm 0,31 = 0,0388 s = 8,0 cm < s máx = cm s Por questão de simplicidade e a favor da segurança pode-se dispor estribos φ 6,3 c/8 em toda a extensão do vão livre da viga. A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. b7) Detalhamento da armadura longitudinal O deslocamento (a l ) do diagrama de momentos fletores de cálculo foi determinado como 3,6 cm (ver item b5.1). O cobrimento do diagrama de momentos fletores deve ser feito apenas para a armadura negativa no pilar P, já que as armaduras positivas dos vãos têm apenas duas barras, que devem se estender obrigatoriamente até os apoios. Os comprimentos de ancoragem básicos (sem gancho) para barras φ 8, 10 e 1,5 mm, em região de má aderência, aço CA-50 e concreto C5, conforme a Tabela A- anexa são respectivamente 43 cm, 54 cm e 67 cm.

57 53 A Figura 49 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. Como a viga é simétrica o cobrimento foi feito sobre um tramo apenas. No pilar interno P foi considerada a armadura calculada para a flexão ( φ 1,5 + 1 φ 8 mm). Porém, no detalhamento final a barra φ 8 foi trocada por φ 1,5 por imposição da área necessária à torção. A armadura positiva, composta por apenas φ 10 mm, é estendida até os dois apoios l b = 43 l b = 67 1 φ 8 face externa do pilar 86 l b = φ A A φ 1,5 A φ φ a l B a l B a l φ 10 centro do pilar P Figura 49 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. As barras N6 foram estendidas até as faces do pilar interno com o propósito de melhorar a ancoragem dessas barras, dado que elas trabalham também à torção. V 1 (0 x 40) N1-45 c/8 N1-45 c/8 3 N3 P1 P A P3 x 3 N4 N5 35 N - φ 10 C = N3-3 φ 1,5 C = 50 N - φ 10 C = N1-90 φ 6,3 mm C = 114 N4 - x 3 φ 8 CORR 10 N5 - φ 10 C = 417 N5 - φ 10 C = 417 A Figura 50 Detalhamento das armaduras finais da viga V1. 10

58 EXEMPLO 3 As Figuras 51, 5 e 53 mostram a estrutura em três dimensões, a planta de fôrma e um corte esquemático da estrutura de concreto de uma construção com dois pavimentos. Essa estrutura já teve a viga VS1 calculada e mostrada na apostila de Vigas de Edifícios (BASTOS, 005). Agora, a viga VS1 teve seu traçado modificado com o objetivo de introduzir esforços de torção, para este terceiro exemplo numérico de aplicação. Para as vigas VS1 e VS6 pede-se projetar e detalhar as suas armaduras. São conhecidos: concreto C0, aço CA-50, γ c = γ f = 1,4, γ s = 1,15, c nom =,0 cm, γ rev = 19 kn/m 3, γ contr = 1 kn/m 3, γ conc = 5 kn/m 3, γ alv = 13 kn/m 3. OBSERVAÇÕES: a) há uma parede de vedação em toda a extensão das vigas, constituída por blocos cerâmicos de oito furos (dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura final de 3 cm e altura de,40m; b) laje do tipo pré-fabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de,33 kn/m ; c) ação variável (q) nas lajes de,0 kn/m ; d) piso cerâmico sobre as lajes, com γ piso = 0,15 kn/m ; e) espessura do revestimento inferior da laje = 1,5 cm; espessura do contrapiso = 3,0 cm. Figura 51 Perspectiva da estrutura. RESOLUÇÃO Todas as vigas do pavimento superior serão representadas em um modelo de grelha, para assim se determinarem os esforços solicitantes e os deslocamentos verticais (flechas). As vigas serão consideradas vinculadas aos pilares extremos por meio de engastes elásticos. Devido à mudança de direção que existe nas vigas VS1 e VS6 entre os pilares P3 e P6, surgem esforços de torção nas vigas nesses trechos.

59 55 VS1 (19 x 60) P1 19/19 P 19/30 P3 19/ VS (19 x 70) P4 19/30 P5 19/30 P6 19/30 53 VS4 (19 x 45) VS3 (19 x 60) VS5 (19 x 45) VS6 (19 x 60) P7 19/ P8 19/ P9 19/19 Figura 5 Planta de fôrma do pavimento superior com as vigas VS1 e VS6. VC1 (19 x 60) P1 19/19 40 P 19/30 P3 19/30 VS1 (19 x 60) VS6 60 tramo 1 tramo tramo ,5 VB1 (19 x 30) 30 Figura 53 Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1.

60 56 a) Vãos efetivos a1) Lajes O vão efetivo da laje pré-fabricada é de centro a centro dos apoios dos trilhos ou nervuras, portanto, igual a 53 cm. a) Vigas Por questão de simplicidade e porque o erro cometido será pequeno e a favor da segurança, na discretização dos nós da grelha os apoios verticais (pilares) serão considerados no centro geométrico dos pilares. Essa simplificação leva a vãos para as vigas um pouco maiores que aqueles que resultariam caso se considerassem os vão efetivos. b) Estimativa da altura das vigas A largura das vigas foi adotada igual à dimensão do bloco cerâmico de oito furos assentado na posição deitada, ou seja, na dimensão de 19 cm. Sendo o concreto do tipo C0, para a estimativa da altura da viga VS1 foi aplicada a seguinte equação, relativa ao seu maior vão: ef 719 h = l = = 59,9 cm h = 60 cm 1 1 A viga VS6 terá a mesma seção transversal da VS1, isto é, 19 x 60 cm. Como as vigas têm lajes apoiadas em toda a extensão dos vãos, a estabilidade lateral está garantida. c) Cargas na laje e nas vigas Como se pode observar na Figura 5, existe o carregamento da laje pré-fabricada sobre a viga VS1, pois as nervuras da laje nela se apóiam. Na viga VS6 a laje aplica apenas uma pequena parcela de carga, dado que as nervuras da laje não se apóiam nessa viga. c1) Lajes Para a laje de piso do pavimento superior considerou-se a laje do tipo pré-fabricada treliçada, com altura total de 16 cm e peso próprio de,33 kn/m. A carga total por m da área da laje é: - peso próprio: g pp =,33 kn/m - revestimento teto: g rev = 19. 0,015 = 0,9 kn/m - contrapiso: g contr = 1. 0,03 = 0,63 kn/m - piso: g piso = 0,15 kn/m - ação variável: q =,00 kn/m CARGA TOTAL: p = 5,40 kn/m c) Viga VS1 Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda a sua extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kn/m 3, com espessura final de 3 cm e altura de,40 m), da laje pré-fabricada com carga total de 5,40 kn/m, e o peso próprio da viga (com seção transversal de 19 x 60 cm), o carregamento total atuante nos vãos entre os pilares P1 e P3 é: - peso próprio: g pp = 5. 0,19. 0,60 =,85 kn/m - parede: g par = 13. 0,3.,40 = 7,18 kn/m - laje: p laje = 5,40. (5,3/) = 14,1 kn/m CARGA TOTAL: P = 4,15 kn/m

61 57 No trecho onde ocorre a mudança de direção, entre o pilar P3 e a viga VS6, a carga da laje na VS1 foi diminuída proporcionalmente à diminuição do comprimento das nervuras da laje. O vão entre o pilar P6 e a viga VS6 foi dividido ao meio para separar dois trechos de carga, com as nervuras da laje tendo os comprimentos médios de 474 cm e 341 cm. A carga da laje foi calculada segundo esses comprimentos médios (Figura 54) P 19/30 P3 19/ P5 19/30 P6 19/30 Figura 54 Comprimentos médios considerados para as nervuras da laje no final da viga VS1. c3) Viga VS6 A carga da laje na viga foi calculada como sendo a correspondente à metade da largura da lajota (30 cm). A carga atuante na viga VS6 é: - peso próprio: g pp = 5. 0,19. 0,60 =,85 kn/m - parede: g par = 13. 0,3.,40 = 7,18 kn/m - laje: g laje = 5,40. (0,30/) = 0,81 kn/m CARGA TOTAL: p = 10,84 kn/m d) Modelo de grelha para as vigas do pavimento Os pilares internos das vigas podem ser considerados como apoios simples em função da largura dos pilares ser menor que um quarto do comprimento de flambagem dos pilares: comprimento de flambagem do pilar (l e ) = 300 cm; l e /4 = 300/4 = 75 cm largura do apoio (b int ) = 19 cm < l e /4 = 75 cm A NBR 6118/03 considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os pilares extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, as vigas serão consideradas vinculadas aos pilares extremos por meio de engastamentos elásticos (molas). No pilar P3 não se considerou a mola devido à continuidade das vigas VS1 e VS6 neste pilar. Para determinação dos esforços solicitantes na grelha pode ser utilizado algum programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado GLAN4, de CORRÊA et al. (199). Na Figura 55 mostra-se o modelo de grelha representativo do pavimento superior, com a numeração dos nós e das barras. Os números externos ao modelo são as propriedades das barras. No total são 16 nós e 19 barras. Alguns nós no meio das barras não são necessários ao modelo; foram introduzidos apenas para fornecerem uma indicação das flechas nas vigas.

62 y 16 x Figura 55 Numeração dos nós, das barras e das propriedades das barras. d1) Rigidez da mola A rigidez da mola pode ser avaliada pela equação: K mola = K p,sup + K p,inf Como os comprimentos de flambagem dos lances inferior e superior e a seção transversal dos pilares extremos são idênticos, as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais e valem: 4 EI K p,sup = K p,inf = l e 8 EI A rigidez da mola vale portanto: K mola = l No cálculo da rigidez das molas será tomado o comprimento de flambagem dos pilares e não a metade como preconizado pela NBR 6118/03. O módulo de elasticidade do concreto tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/03, item 8..8): Eci = 5600 fck = = MPa =.504,4 kn/cm O módulo de elasticidade secante (E cs ) é: E cs = 0,85 E ci = 0, ,4 = 18,7 kn/cm O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P1, P7 e P9 é: I p,sup = I p,inf = = cm 4 1 Rigidez da mola: 8 EI K mola = l = 8. 18, = kn.cm e e

63 59 O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P4 e P6 é: I p,sup = I p,inf = = cm 4 1 Rigidez da mola: 8 EI K mola = l = 8. 18, = kn.cm e O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P e P8 é: I p,sup = I p,inf = = cm 4 1 Rigidez da mola: 8 EI 8. 18, K mola = = = kn.cm l 300 d) Arquivo de dados e Para o arquivo de dados da grelha seguiram-se as recomendações contidas no manual de utilização do programa GPLAN4 e no Manual para sua utilização (BASTOS, 1995). Para o módulo de elasticidade do concreto adotou-se o valor de.18 kn/cm. Para o módulo de elasticidade transversal (G) pode-se utilizar 0,0 E cs, o que resulta 476 kn/cm. Para a grelha em questão foi adotado um valor um pouco superior, de 480 kn/cm. Nas barras com mudança de direção (1, 13 e 14) é necessário considerar o momento de inércia à torção. Nas demais barras, sem torção, apenas um valor pequeno deve ser adotado, como 100 por exemplo. Os momentos de inércia à torção (J) das barras 1, 13 e 14 foram calculados com a Eq. 38 e a Tabela, considerando a seção transversal 19 x 60 cm: b 19 n = = = 0,317 h J = j b h = 0, = cm 4 O arquivo de dados de entrada para o programa GPLAN4 tem o aspecto: OPTE,0,,0,0,, TORCAO EXEMPLO 3 - COM MOLAS GRELHA PAV. NOGP 1,5,1,0,0,1438,0, 6,10,5,0,53,1438,53, NOGL 11,1,1,1438,807,144,95, 13,15,1,0,1046,719,1046, NO 16,1049,1046, RESG 1,5,4,1,,,0,616476,616476, 6,10,4,1,0,,0,0,973384, 3,15,1,1,,0,0,46718, RES

64 60 13,1,,,0,616476,616476, 8,1, 16,1, BARG 1,4,1,1,1,,1,1,1, 5,8,1,6,1,7,1,,1, 9,11,1,13,1,14,1,1,1, 1,13,1,16,-4,1,-1,3,1, 16,17,1,1,5,6,7,4,1, 18,19,1,3,5,8,7,4,1, BAR 14,11,10,3,1, 15,10,5,1,1, PROP 1,1,1140,34000,100,60,,1,1330,543083,100,70, 3,1,1140,34000,109470,60, 4,1,855,14481,100,45, MATL 1,18,480, FIMG CARR1 CBRG 1,4,1,1,-.415,1, 5,8,1,1,-.3844,1, 9,11,1,1,-.415,1, 14,15,1,1,-.1084,1, 16,17,1,1,-.1057,1, 18,19,1,1,-.1138,1, CBR 1,1,-.83,1, 13,1,-.196,1, FIMC FIME d3) Esforços solicitantes As Figuras 56 e 57 mostram os diagramas de esforços solicitantes característicos (forças cortantes, momentos fletores e momentos torçores) obtidos no programa GPLAN4 para as vigas VS1 e VS6, respectivamente. A listagem completa dos resultados calculados pelo programa encontra-se no Anexo B3. A flecha calculada pelo programa para os nós (0,43 cm), 7 (0,44 cm), 14 (0,60 cm), 11 (1,04 cm) e 1 (0,69 cm), embora não sendo as flechas máximas da viga, servem como indicativos da deslocabilidade da viga. A maior flecha, de 1,04 cm no nó 11 é muito próxima à máxima permitida pela NBR 6118/03.

65 61 V (kn) k 74, 66, 58, Barras 1 e 13 P1 P 99,5 13,5 37,9 P M k (kn.cm) ~ Barras 1 e P1 + ~130 P 101 P T k (kn.cm) Barras 1 e 13 P P Figura 56 Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS1.,4 P9 68,7 54,3 P6 37,9 Barra 14 V (kn) k P9 ~ 416 P Barra 14 M k (kn.cm) Barra 14 P6 P T k (kn.cm) Figura 57 Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS6.

66 6 Com relação aos momentos fletores positivos é importante analisar os vãos entre os pilares P e P3 da viga VS1 e o vão entre os pilares P9 e P6 da viga VS6. Na Figura 58 encontra-se o esquema para obtenção do momento fletor máximo positivo na viga VS1, no tramo entre os pilares P e P3. 4,15 kn/m Figura 58 Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barra para obtenção do momento fletor positivo considerando engaste no apoio interno P da viga VS1. O arquivo de dados de entrada para o programa PPLAN4 tem o aspecto apresentado abaixo e a listagem dos resultados encontra-se no Anexo B4. OPTE,0,,0,0,, CONCRETO II - TORCAO MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO VS 1 (19 x 60) NOGL 1,,1,0,0,330,0, RES 1,1,1,1,,1,1, BAR 1,1,,1,1, PROP 1,1,1140,34000,60, MATL 1,18, FIMG CARR1 CBR 1,1,-0.415,1, FIMC FIME O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 58, conforme o arquivo de dados acima, resultou kn.cm. Esse momento positivo deve ser considerado no dimensionamento do tramo, que no modelo de grelha apresentou somente momentos fletores negativos. Para verificação do máximo momento fletor positivo na viga VS6, entre os pilares P9 e P6, será calculado o momento considerando o vão engastado no pilar P6 e com engaste elástico no pilar P9 (Figura 59). Na rigidez da mola do engaste elástico será considerado apenas o lance inferior do pilar, considerando que o lance superior do pilar ainda não esteja construído. O momento de inércia do lance inferior do pilar P9 é: 3 3 b h I p,sup = I p,inf = = = cm Rigidez da mola: 4 EI K mola = l = 4. 18, = kn.cm e

67 63 y 10,84 kn/m 1 1 x 53 Figura 59 Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras para obtenção do momento fletor positivo considerando engaste no apoio interno da viga VS6. O arquivo de dados de entrada para o programa PPLAN4 tem o aspecto apresentado abaixo e a listagem dos resultados encontra-se nos Anexos. OPTE,0,,0,0,, CONCRETO II - TORÇÃO MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO VS 6 (19 x 60) NOGL 1,,1,0,0,53,0, RES 1,1,,0,30838,,1,1,1, BAR 1,1,1,,1,1, PROP 1,1,1140,34000,60, MATL 1,18, FIMG CARR1 CBR 1,1, ,1, FIMC FIME O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 59, conforme o arquivo de dados acima, resulta.03 kn.cm, muito superior ao valor de 37 kn.cm calculado para a viga contínua (Figura 57). No dimensionamento da armadura positiva do tramo deve ser considerado o maior valor entre os dois. e) Armadura mínima de flexão Para a seção transversal 19 x 60 cm a armadura mínima de flexão é: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup f 3 3 ctk,sup ct,m ck = = 1,3 f = 1,3. 0,3 f = 1,3. 0,3 0,87 MPa 3 3 b h I = = = cm I W 0 = = = cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) y 30 M d,mín = 0, ,87 =.617 kn.cm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo:

68 64 bw d K c = =, 0 Md 617 Md 617 As = Ks = 0,03 = 1, 09 cm d 55 = da Tabela A1 anexa tem-se K s = 0,03. Conforme a Tabela da apostila de Vigas (BASTOS, 005) para seção retangular e concreto C0, a taxa mínima de armadura (ρ mín ) deve ser de 0,15 % A c, portanto: A s,mín = 0, = 1,71 cm > 1,09 cm ( φ 10 mm = 1,60 cm ) f) Armadura de pele A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com altura superior a 50 cm, será colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % A c (área da armadura de pele conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga: A s,pele = 0, = 0,57 cm 4 φ 4, mm = 0,56 cm em cada face, distribuídos ao longo da altura (ver Figura 63). g) Dimensionamento das armaduras da viga VS1 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais, para os esforços solicitantes de M, V e T. g1) Armadura longitudinal de flexão Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores máximos, positivos e negativos. g1.1) Momento fletor negativo g1.1.1) Apoio interno P M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. ( ) = kn.cm Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 56 cm: bw d K c = = = 3, 9 Md Da Tabela A1 anexa tem-se: β x = x/d = 0,30 0,50, K s = 0,06 e domínio 3. Md As = Ks = 0,06 = 7, 03 cm d 56 6 φ 1,5 mm = 7,50 cm e h 6 φ 1,5 A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 5 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5 mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta: 19 [ (, 0 + 0, 5) , ] e h = = 3, 0 cm 3 distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador com φ ag = 5 mm.

69 65 g1.1.) Apoio interno P3 Neste pilar, devido aos esforços de torção, ocorrem dois diferentes valores para o momento fletor negativo. O cálculo será feito para o maior valor, de.101 kn.cm. M d = γ f. M k = 1,4. (-.101) = kn.cm bw d K c = = = 1, 0 φ10 M 941 d Da Tabela A1 anexa tem-se: β x = x/d = 0,05 0,50, K s = 0,04 e domínio. Md 101 As = Ks = 0,04 = 1, 4 cm < A s,mín d 57 (A s,mín = 1,71 cm φ 10 mm) g1.1.3) Apoio extremo P1 M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (- 1.71) = kn.cm M d =.409 < M d,mín =.617 kn.cm A s = A s,mín = 1,71 cm φ 10 mm φ10 g1.1.4) Momento fletor positivo entre os pilares P1 e P M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1, = kn.cm Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de espessura 4,0 cm, normalmente não se considera a contribuição dessa capa de pequena espessura para formar a mesa da seção T, de modo que a viga deve ser então calculada como seção retangular. bw d K c = = = 4, 6 M d Da Tabela A1 anexa tem-se: β x = x/d = 0,5, K s = 0,06 e domínio. Md As = Ks = 0,06 = 6, 15 cm d 57 3 φ 16 = 6,00 cm ou 5 φ 1,5 = 6,5 cm (arranjo indicado para construções de pequeno porte). 5 φ 1,5 g1.1.5) Momento fletor positivo entre os pilares P e P3 M k = kn.cm (ver listagem de resultados no Anexo B5) M d = 1, =.577 kn.cm < M d,mín =.617 A s = A s,mín = 1,71 cm φ 10 mm φ 10

70 66 g1.1.6) Momento fletor positivo à direita do pilar P3 M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1, = kn.cm bw d K c = = = 7, 8 Md 7890 Da Tabela A1 anexa tem-se: β x = x/d = 0,14, K s = 0,04 e domínio. Md 7890 As = Ks = 0,04 = 3, 3 cm d 57 3 φ 1,5 = 3,75 cm 3 φ 1,5 g) Armadura transversal ao esforço cortante O dimensionamento ao esforço cortante será feito com as equações simplificadas apresentadas na apostila de Cortante em Vigas, de BASTOS (005). Sendo a seção retangular será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de inclinação das diagonais de 38. O cálculo está apresentado apenas para a força cortante máxima na viga VS1; para as demais forças cortantes a armadura está apenas indicada. g.1) Pilar interno P V k = 99,5 kn.cm V Sd = γ f. V k = 1,4. 99,5 = 139,3 kn g.1.1) Verificação das diagonais de compressão Para o concreto C0 determina-se a força cortante última ou máxima: V Rd = 0,71 bw. d. sen θ. cos θ = 0, sen 38. cos 38 = 366,5 kn VSd = 139,3 < VRd = 366,5 kn não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão g.1.) Cálculo da armadura transversal Para o concreto C0 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,035. bw. d. cot g θ + V c 1 VRd VSd Vc1 = Vc0 V V Rd c0 Com V c0 : 3 0,3 0 Vc 0 = 0,6 fctd bw d = 0,6 0, = 70,6 KN 10.1,4 366,5 139,3 V c 1 = 70,6 = 54, kn 366,5 70,6 V Sd,mín = 0, cot g , = 101, 9 kn VSd = 139,3 > VSd, mín = 101,9 kn portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ V Sd Da equação para A sw na Tabela 3 da apostila de Cortante em Vigas (concreto C0): ( VSd Vc1 ) ( 139,3 54,) A sw =,55 tg θ =,55 tg 38 = 3,03 cm /m d 56 A armadura mínima é calculada pela equação:

71 67 0 f ctm A sw,mín = bw (cm 3 3 /m), com fctm 0,3 fck = 0,3 0 =, 1 f ywk = MPa 0. 0,1 A sw, mín =.19 = 1,68 cm /m 50 Como A sw = 3,03 cm /m > A sw,mín = 1,68 cm /m, deve-se dispor a armadura transversal calculada. g.1.3) Detalhamento da armadura transversal - Diâmetro do estribo: 5 mm φ t b w /10 φ t 190/10 19 mm - Espaçamento máximo: 0,67 V Rd = 0, ,5 = 45,6 kn V Sd = 139,3 < 45,6 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 56 = 33,6 cm Portanto, s 30 cm - Espaçamento transversal entre os ramos do estribo: 0,0 V Rd = 0,0. 366,5 = 73,3 kn V Sd = 139,3 > 73,3 kn s 0,6 d 35 cm 0,6 d = 0,6. 56 = 33,6 cm Portanto, s 33,6 cm g.1.4) Detalhamento da armadura transversal No pilar P tem-se A sw = 3,03 cm. Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1φ 5 mm = 0,0 cm ), tem-se: A sw 0,0303 s = cm /cm 0,40 = 0, s 0303 s = 13, cm s máx = 30 cm Para a armadura mínima de 1,68 cm /m, considerando o mesmo estribo, tem-se: A sw 0,0168 s = cm /cm 0,40 = 0, s 0168 s = 3,8 cm s máx = 30 cm Para as demais forças cortantes ao longo da viga VS1 as armaduras transversais são mostradas na Tabela 3. Apenas no lado esquerdo do pilar P a armadura transversal é maior que a mínima. Tabela 3 Forças cortantes (kn) e armaduras (cm /m) ao longo da viga VS1. Pilar V k V Sd A sw P1 74, 103,9 1,70 P 66, 9,3 1,68 P3 58, 81,5 1,68 P3 13,5 18,9 1,68 Intersecção VS6 37,9 53,1 1,68 g3) Ancoragem das armaduras longitudinais g3.1) Armadura positiva no pilar extremo P1 V k = 74, kn V Sd = 1,4. 74, = 103,9 kn Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (a l ) segundo o modelo de cálculo II: a l = 0,5 d (cot g θ cot g α) = 0,5. 57 (cotg 38 cotg 90) a l = 36,5 cm 0,5 d = 0,5. 57 = 8,5 cm

72 68 Conforme a Eq. 19 da apostila de Ancoragem e Emendas, a armadura a ancorar no apoio é: 1 a l 1 36,5 As,anc = VSd = 103,9 = 1, 53 cm f yd d ,15 A armadura calculada a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima, é dada por: 1 M vão As,vão se Mapoio = 0 ou negativo e Mapoio 3 As,anc 1 M vão As,vão se Mapoio = negativo e Mapoio > 4 M d,apoio = kn.cm < M d,vão / = / = kn.cm Portanto, A s, anc 1/3 A s,vão = 6,15/3 =,05 cm A s, anc = 1,53 cm < 1/3 A s,vão =,05 cm Portanto, deve-se ancorar A s, anc =,05 cm, valor mínimo a ancorar no pilar P1. A armadura positiva do vão adjacente ao pilar é composta por 5 φ 1,5 mm, onde φ 1,5 mm posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, A s,ef = φ 1,5 mm =,50 cm. O comprimento mínimo da ancoragem no apoio (l b,mín ) é: r + 5,5 φ l b,mín 6 cm r = 5φ/ = 5. 1,5/ = 3,1 cm (com D determinado na Tabela 1 na apostila de Ancoragem e Emendas) r + 5,5φ = 3,1 + 5,5. 1,5 = 10,0 cm > 6 cm l b,mín = 10,0 cm O comprimento de ancoragem básico, sem gancho, para barra de diâmetro 1,5 mm, concreto C0, aço CA-50, região de boa aderência é 55 cm. O comprimento de ancoragem corrigido, sem gancho é: As,anc,05 l b,corr = l b = 55 = 45,1 cm A,50 s,ef c l b,corr lb,ef A s,ef O comprimento de ancoragem efetivo do apoio é: l b,ef = b c = 19 = 17 cm b Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho) é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (l b,corr = 45,1 cm > l b,ef = 17 cm). Isto significa que não é possível fazer a ancoragem sem gancho. A próxima tentativa de ancoragem é fazer o gancho. O comprimento de ancoragem, com gancho, é: l b,gancho = 0,7. 45,1 = 31,6cm Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o comprimento de ancoragem resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: (l b,gancho = 31,6 cm > l b,ef = 17 cm).

73 69 A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para A s,corr, como definido pela Eq. 5 da apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 005), ou colocar grampos: 0,7 l b 0,7 55 As,corr = As,anc =,05 = 4, 64 cm l 17 b,ef Para atender a armadura corrigida pode-se estender mais duas barras das cinco barras da armadura positiva no vão, o que leva a A s,ef = 4 φ 1,5 = 5,00 cm, o que atende à armadura necessária corrigida. Como uma alternativa ao arranjo anterior pode-se manter as duas barras φ 1,5 da armadura efetiva longitudinal e acrescentar dois grampos complementares, com área de: A s,gr = 4,64,50 =,14 cm ( grampos: 4 φ 8 =,00 cm ) A armadura a ancorar fica com φ 1,5 + 4 φ 8 = 4,50 cm. O detalhe da ancoragem está mostrado na Figura 60.,0 100 φ = 80 cm gr 10 cm 16, 19 Grampos φ 1,5 Figura 60 Detalhe da ancoragem nos pilares extremos. g3.) Armadura positiva nos pilares internos Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender à armadura mínima e estender 10φ além da face do apoio. g3.3) Armadura negativa no pilar extremo P1 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser de 5φ, como indicado na Figura 61.

74 70 φ 10 5 φ 35 φ 35 cm Figura 61 Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos. g4) Dimensionamento à torção O momento de torção característico (T k ) é kn.cm e o momento de cálculo é: T Sd = 1, = kn.cm g4.1) Verificação das diagonais comprimidas Área da seção transversal: A = b w. h = = 1140 cm Perímetro da seção transversal: u = (b w + h) = ( ) = 158 cm As Eq. 19 e 0 fornecem os limites para a espessura h e da parede fina: A 1140 h e = = 7, cm e h e c 1 u 158 Sendo c =,0 cm e supondo φ l = 1,5 mm e φ t = 5 mm encontra-se: c 1 = φ l / + φ t + c nom = 1,5/ + 0,5 +,0 = 3,15 cm h e. 3,15 = 6,3 cm Portanto, os limites para h e são: 6,3 cm h e 7, cm. Será adotado h e = 7,0 cm. A e = (b w h e ). (h h e ) = (19 7). (60 7) = 636 cm O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 3, com ângulo θ (38 ) igual ao aplicado no cálculo da viga ao esforço cortante é: T Rd, = 0,5 α v f cd A e h e sen θ = 0,5 (1 0/50). (,0/1,4) ,0. sen. 38 =.838,7 kn.cm Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 deve-se ter: VSd TSd + 1 V T Rd Rd

75 71 Sendo V Rd = 366,5 kn e V Sd,máx = 81,5 kn, aplicando os valores numéricos na Eq. 34 fica: 81,5 366,5 1539,0 + = 0,76 1,0 838,7 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. g4.) Cálculo das armaduras As armaduras mínimas, transversal e longitudinal, já foram calculadas no dimensionamento da viga ao cortante, e valem 1,68 cm /m. Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 5: A s s,90 TSd 1539 = tg θ = tg 38 = 0,017 cm /cm A f 50 e ywd 636 1,15 A, 90 s =,17 cm /m A s,90mín = 1,68 cm /m s Armadura longitudinal conforme a Eq. 8: As l TSd 1539 = = = 0,0356 cm /cm u A f tg 50 e e ywd θ 636 tg 38 1,15 A s l u = 3,56 cm /m A 1, 68 s l, mín = cm /m e g4.3) Detalhamento das armaduras g4.3.1) Armadura longitudinal A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada para cada uma das quatro faces da viga. Pilar P3: Face superior: - da flexão A s = 1,4 cm - da torção A s = (b w h e ) A sl = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm - A s,total = 1,4 + 0,43 = 1,67 cm ( φ 10 = 1,60 cm ) Face inferior: - da flexão A s = 0,00 cm - da torção A s = (b w h e ) A sl = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm - A s,total = 0,43 cm Esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva à direita do pilar P3, que se estende até o pilar - φ 1,5 mm =,50 cm ). Faces laterais: - A s,total = (h h e ) A sl = (60 7) 0,0356 = 1,89 cm (4 φ 8 mm =,00 cm ). Esta armadura, em cada face, deverá se estender do pilar P3 até a intersecção com a viga VS6; a armadura contribui também para evitar possíveis fissuras por retração do concreto.

76 7 Região do máximo momento positivo Face superior: - da flexão A s = 0,00 cm - da torção A s = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm - A s,total = 0,43 cm ( φ 8 = 1,00 cm ) Face inferior: - da flexão A s = 3,3 cm - da torção A s = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm - A s,total = 3,3 + 0,43 = 3,75 cm (3 φ 1,5 mm = 3,75 cm ) Faces laterais: - A s,total = (h h e ) A sl = (60 7) 0,0356 = 1,89 cm (4 φ 8 mm =,00 cm ). g4.3.) Armadura transversal A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à torção. A armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P3 e a interseção com a viga VS6 resultou na armadura mínima, de 0,0168 cm /cm. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante para um ramo é 0,0168/ = 0,0084 cm/m, a armadura transversal total é: As,total 90 s Asw,1ramo As, = + = 0, ,017 = 0,0301cm /cm = 3,01 cm /m s s onde A s,90 representa a área de um ramo do estribo. O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm. Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 6,3 mm (1 φ 6,3 mm = 0,31 cm ) tem-se: 0,31 = 0,0301 s = 10,3 cm < s máx = 30 cm s Na Figura 63 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1. g5) Detalhamento da armadura longitudinal Segundo o modelo de cálculo II o deslocamento (a l ) do diagrama de momentos fletores resultou 36 cm. O comprimento de ancoragem básico para barras φ 1,5 mm em situação de má aderência e concreto C0 consta da Tabela A e vale 78 cm. A Figura 6 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa. A Figura 63 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito comumente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente nas escalas de 1:5 ou 1:0.

77 φ 1, ,5 1, φ1,5 1,5 φ 10 φ 1,5 1, ,5 1,5 61 B 10 φ 1,5 A 10 φ 1,5 151 l b 54 1 φ 1,5 φ 1,5 φ 1,5 A 10 φ 1,5 l b 54 B 10 φ 1, ,5 φ 1,5 1 φ 1, ,5 Figura 6 Cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo da viga VS1. VS 1 (19 x 60) 35 N1-6 c/3 N1-8 c/ N1-13 c/3 P1 P P3 N3 - φ 10 C = N4 - φ 1,5 C = N6 - φ 1,5 C = N7 - φ 1,5 C = 30 ( cam) N8 - x 4 φ 4, C = N - 4 c/10 N5 - φ 8 C = 414 VS6 40 N6 N4 N7 4N8 4N8 1N10 N13 N N9 - x 4 φ 8 C = N10-1 φ 1,5 C = 343 ( cam) N11 - φ 1,5 C = N1-47 φ 5 C = 15 N - 4 φ 6,3 C = 15 N1-1 φ 1,5 C = N13 - φ 1,5 C = 74 N14 - φ 10 C = 340 N16 - φ 8 C = 174 N15 - φ 1,5 C = Figura 63 Desenho final das armaduras da viga VS1. h) Dimensionamento das armaduras da viga VS6 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais para os esforços de M, V e T. h1) Armadura longitudinal de flexão Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores máximos, positivos e negativos.

78 74 h1.1) Apoio interno P6 M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. ( ) = kn.cm Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 56 cm: bw d ,5 K c = = = 3, Md Da Tabela A1 anexa tem-se: β x = x/d = 0,38 0,50, K s = 0,07 e domínio 3. Md As = Ks = 0,07 = 8, 98 cm d 55,5 7 φ 1,5 mm = 8,75 cm e h 7 φ 1,5 Deve-se ter β x = x/d 0,50. Neste caso, com β x = x/d = 0,38 o limite está satisfeito, o que deve garantir a necessária ductilidade à viga nesta seção. A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 5 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5 mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta: [ (, 0 + 0, 5) , ] 19 e h = = 3, 0 cm 3 distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador. h1.) Momento positivo na extremidade da viga M k = kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (1.940) =.716 kn.cm bw d K c = = =, 7 Md 716 Da Tabela A1 anexa tem-se K s = 0,04 e dom.. Md 716 As = Ks = 0,04 = 1, 14 cm < A s,mín d 57 (A s,mín = 1,71 cm φ 10 mm) φ10 h1.3) Momento fletor positivo entre os pilares P6 e P9 M k =.03 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4..03 =.83 kn.cm bw d K c = = = 1, 8 Md 83 Da Tabela A1 tem-se K s = 0,04. Md 83 As = Ks = 0,04 = 1, 19 cm < A s,mín d 57 (A s,mín = 1,71 cm φ 10 mm) φ 10 h) Armadura transversal ao esforço cortante Na viga VS6 o esforço cortante máximo é V Sd = 96, kn, valor menor que a força cortante mínima, o que leva à armadura transversal mínima (A sw,mín = 1,68 cm /m estribo φ 5 c/ 3 cm) na viga.

79 75 h3) Ancoragem das armaduras longitudinais O esforço cortante no pilar P9 é pequeno (,4 kn) e existe também um pequeno momento fletor positivo (37 kn.cm). A armadura mínima de flexão do vão adjacente ( φ 10 mm) é suficiente para resistir a este momento. A favor da segurança deve-se ancorar as duas barras no pilar P9 fazendo-se o gancho. h4) Armadura positiva no pilar interno Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender a armadura mínima e estender 10φ além da face do apoio. h5) Dimensionamento à torção O momento de torção característico (T k ) é kn.cm e o momento de cálculo: T Sd = 1, = kn.cm Este momento torçor é um pouco menor e muito próximo daquele encontrado para o trecho final da viga VS1 (T d = kn.cm). Desse modo, como a seção transversal é a mesma, será adotada a mesma armadura de torção calculada para a viga VS1. A 90 Estribos: s, = 0, 017 cm /cm =,17 cm /m A s,90mín = 1,68 cm /m s As Armadura longitudinal: l = 0, 0356 u cm /cm = 3,56 cm /m A 1, 68 s l, mín = cm /m e h5.) Detalhamento das armaduras h5..1) Armadura longitudinal A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculadas para cada uma das quatro faces externas da viga. Face superior: - da flexão A s = 8,98 cm - da torção A s = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm - A s,total = 8,98 + 0,43 = 9,41 cm (7 φ 1,5 + 1 φ10 = 9,55 cm ) Face inferior: - da flexão A s = 0,00 cm - da torção A s = (19 7) 0,0356 = 0,43 cm - A s,total = 0,43 cm Esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva que se estende até o apoio - φ 10 mm = 1,60 cm ) Faces laterais: - A s,total = (60 7) 0,0356 = 1,89 cm (4 φ 8 mm =,00 cm ). Esta armadura deverá se estender do pilar P6 até a intersecção com a viga VS1. h5.3.) Armadura transversal A área total de estribos é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à torção. A armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P6 e a interseção com a viga VS1 resultou na armadura mínima, de 0,0168 cm /cm. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante para um ramo é 0,0168/ = 0,0084 cm/m, a armadura transversal total é igual à da viga VS1:

80 76 As,total 90 s Asw,1ramo As, = + = 0, ,017 = 0,0301cm /cm = 3,01 cm /m s s O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm. Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 5 mm (1 φ 5 mm = 0,0 cm ) tem-se: 0,0 = 0,0301 s = 6,6 cm < s máx = 30 cm s O espaçamento resultou pequeno. Alterando o diâmetro para 6,3 mm (1 φ 6,3 mm = 0,31 cm ) tem-se: 0,31 = 0,0301 s = 10,3 cm < s máx = 30 cm s Na Figura 65 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1. h6) Detalhamento da armadura longitudinal Como já calculado o deslocamento do diagrama de momentos fletores de cálculo é 36 cm. O comprimento de ancoragem básico para barras φ 1,5 mm em situação de má aderência e concreto C0 é 78 cm. A Figura 64 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa ,5 3 φ 1,5 A A 78 1,5 1,5 A 1,5 B φ 1,5 φ 1,5 B 1,5 78 1,5 B Figura 64 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. A Figura 65 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente na escala de 1:5 ou 1:0. Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento final, pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada.

81 77 VS 6 (19 x 60) N1 - c/3 N - 7 c/10 N4 N3 1N6 3N5 P9 P6 VS1 4N8 4N8 40 N3 - φ 1,5 C = N4 - φ 1,5 C = N N5-3 φ 1,5 C = 310 ( cam) N7 - x 4 φ 4, C = 535 N6-1 φ 10 C = 99 ( cam) N8 - x 4 φ 8 C = N1 - φ 5 mm C = 15 N - 7 φ 6,3 mm C = N9 - φ 10 C = 545 N10 - φ 10 C = Figura 65 Desenho com a armadura final da viga VS QUESTIONÁRIO 1ª) Comente sobre os casos mais comuns de torção nas construções. ª) O que são torção de equilíbrio e torção de compatibilidade? Cite exemplos. 3ª) Qual o valor do momento de torção solicitante no caso de viga biengastada sob solicitação de torção externa uniforme no vão? 4ª) O que é torção de St. Venant? 5ª) Para uma seção circular, mostre numa figura como se configuram as tensões principais devidas à torção. 6ª) E como se configuram as tensões de cisalhamento devidas à torção? 7ª) Qual a equação que define a tensão de cisalhamento devida à torção para uma seção vazada? 8ª) Indique numa figura o que é a área A e e o perímetro u. 9ª) Verifique a eficiência alcançada pela viga em função dos diferentes arranjos para a armadura. 10ª) Por que uma viga de concreto armado retangular pode ser analisada à torção como se fosse oca e com espessura da casca constante? 11ª) Por que se pode fazer uma analogia da viga sob torção com uma treliça espacial? 1ª) Como se configura a treliça espacial generalizada? 13ª) Como se configuram as trajetórias das fissuras numa viga sob torção e flexão? 14ª) Explique resumidamente quais são as formas de ruptura de uma viga por torção. 15ª) Estude a dedução das equações desenvolvidas para a treliça espacial generalizada. 16ª) Como a norma define a espessura da casca da seção vazada? 17ª) Qual é a resistência proporcionada pelas diagonais comprimidas de concreto? 18ª) Como são as equações que definem as armaduras para a torção? 19ª) No caso de torção combinada com cortante, como se verifica a biela de concreto comprimido? 0ª) Qual o objetivo de se dispor uma armadura mínima à torção? 1ª) Como é calculada a armadura mínima para a torção?

82 78 ª) Qual o diâmetro mínimo e máximo para os estribos? Qual é o espaçamento máximo? 3ª) Por que os estribos para torção não podem ser abertos? 4ª) Como deve ser feita a distribuição da armadura longitudinal nas faces da viga? REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete, ACI 318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento - NBR Rio de Janeiro, ABNT, mar/003, 170p. BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante. Disciplina 1309 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/005, 55p. wwwp.feb.unesp.br/pbastos. BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 1309 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, abril/005, 37p. wwwp.feb.unesp.br/pbastos. BASTOS, P.S.S. Vigas de edifícios. Disciplina 1309 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, abril/005, 4p. wwwp.feb.unesp.br/pbastos. BASTOS, P.S.S. Programa GPLAN3 Diretrizes para o desenvolvimento de modelos de grelhas. Disciplina 1365 Estruturas de Concreto IV. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, set/1995, 6p. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Model Code 1990, MC-90, CEB-FIP, Bulletin D Information n. 04, Lausanne, CORRÊA, M.R.S. ; RAMALHO, M.A. ; CEOTTO, L.H. Sistema PPLAN4/GPLAN4 Manual de utilização. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 199, 80p. GIONGO, J.S. Concreto armado: Vigas submetidas a esforços de torção. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1996, 40p. LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto Princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado, v. 1, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 198, 305p. LIMA, J.S. ; GUARDA, M.C. ; PINHEIRO, L.M. Análise de torção em vigas de acordo com a nova NBR In: 4 CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, IBRACON. Fortaleza, ago/000, CD-ROM, 16p. MACGREGOR, J.G. Reinforced concrete Mechanics and design. 3a ed., Upper Saddle River, Ed. Prentice Hall, 1997, 939p.

83 79 SÁNCHEZ, E. Dimensionamento à torção: novas prescrições normativas brasileiras. In: Nova normalização brasileira para o concreto estrutural. 001, p SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto, v. 1, 4 a ed., Porto Alegre, Ed. Globo, 1985, 376p. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 000, 38p. LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto Princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado, v. 3, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 198, 73p. NAWY, E.G. Reinforced concrete A fundamental approach. Englewood Cliffs, Ed. Prentice Hall, 1985, 701p. PINHEIRO, L.M. Concreto armado Tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, SÁNCHEZ, E. Análise crítica do projeto de revisão da NB-1: Prescrições para o dimensionamento à torção. In: XXIX JORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERIA ESTRUCTURAL, 000, CD-ROM, 7p.

84 80 ANEXO A Tabela A1 Valores de K c e K s para o aço CA-50. FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES K c (cm /kn) K s (cm x /kn) x = Dom. d C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50 0,01 137,8 103,4 8,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,03 0,0 69, 51,9 41,5 34,6 9,6 5,9 3,1 0,8 0,03 0,03 46,3 34,7 7,8 3, 19,8 17,4 15,4 13,9 0,03 0,04 34,9 6, 0,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,03 0,05 8,0 1,0 16,8 14,0 1,0 10,5 9,3 8,4 0,03 0,06 3,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,04 0,07 0, 15,1 1,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,04 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,04 0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,04 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,04 0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,04 0,1 1,0 9,0 7, 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,04 0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4, 3,7 3,3 0,04 0,14 10,4 7,8 6, 5, 4,5 3,9 3,5 3,1 0,04 0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4, 3,7 3,,9 0,04 0,16 9, 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1,7 0,05 0,17 8,7 6,5 5, 4,3 3,7 3,,9,6 0,05 0,18 8, 6, 4,9 4,1 3,5 3,1,7,5 0,05 0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4,9,6,3 0,05 0,0 7,5 5,6 4,5 3,7 3,,8,5, 0,05 0,1 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1,7,4,1 0,05 0, 6,8 5,1 4,1 3,4,9,6,3,1 0,05 0,3 6,6 4,9 3,9 3,3,8,5,,0 0,05 0,4 6,3 4,7 3,8 3,,7,4,1 1,9 0,05 0,5 6,1 4,6 3,7 3,1,6,3,0 1,8 0,06 0,6 5,9 4,4 3,5,9,5,,0 1,8 0,06 0,7 5,7 4,3 3,4,8,4,1 1,9 1,7 0,06 0,8 5,5 4,1 3,3,8,4,1 1,8 1,7 0,06 0,9 5,4 4,0 3,,7,3,0 1,8 1,6 0,06 0,30 5, 3,9 3,1,6, 1,9 1,7 1,6 0,06 0,31 5,1 3,8 3,0,5, 1,9 1,7 1,5 0,06 0,3 4,9 3,7 3,0,5,1 1,8 1,6 1,5 0,06 0,33 4,8 3,6,9,4,1 1,8 1,6 1,4 0,06 0,34 4,7 3,5,8,3,0 1,8 1,6 1,4 0,07 0,35 4,6 3,4,7,3,0 1,7 1,5 1,4 0,07 0,36 4,5 3,3,7, 1,9 1,7 1,5 1,3 0,07 0,37 4,4 3,3,6, 1,9 1,6 1,5 1,3 0,07 0,38 4,3 3,,6,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,07 0,40 4,1 3,1,5,0 1,8 1,5 1,4 1, 0,07 3 0,4 3,9,9,4,0 1,7 1,5 1,3 1, 0,08 0,44 3,8,8,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,08 0,45 3,7,8, 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,08 0,46 3,7,7, 1,8 1,6 1,4 1, 1,1 0,08 0,48 3,5,7,1 1,8 1,5 1,3 1, 1,1 0,08 0,50 3,4,6,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,09 0,5 3,3,5,0 1,7 1,4 1, 1,1 1,0 0,09 0,54 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 1,0 0,09 0,56 3,,4 1,9 1,6 1,4 1, 1,1 0,9 0,030 0,58 3,1,3 1,8 1,5 1,3 1, 1,0 0,9 0,030 0,60 3,0,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 0,6,9, 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 0,63,9, 1,7 1,5 1, 1,1 1,0 0,9 0,031

85 81 Tabela A Comprimento de ancoragem l b para CA-50 nervurado. TABELA A COMPRIMENTO DE ANCORAGEM l b (cm) PARA A s,ef = A s,calc CA-50 nervurado Concreto φ C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 (mm) Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 6, , , Valores de acordo com a NBR 6118/03 N o Superior: Má Aderência ; N o Inferior: Boa Aderência l b Sem e Com ganchos nas extremidades A s,ef = área de armadura efetiva ; A s,calc = área de armadura calculada 0,3 l b O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: l b,mín 10 φ 100 mm γ c = 1,4 ; γ s = 1,15

86 8 Tabela A3 Comprimento de ancoragem l b para CA-60 entalhado. TABELA A3 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM l b (cm) PARA A s,ef = A s,calc CA-60 entalhado Concreto φ C15 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 (mm) Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 3, , , Valores de acordo com a NBR 6118/03 N o Superior: Má Aderência ; N o Inferior: Boa Aderência l b Sem e Com ganchos nas extremidades A s,ef = área de armadura efetiva ; A s,calc = área de armadura calculada 0,3 l b O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: l b,mín 10 φ 100 mm γ c = 1,4 ; γ s = 1,15

87 83 ANEXO B LISTAGENS DE RESULTADOS DOS PROGRAMAS GPLAN4 E PPLAN4 B1) GRELHA DO EXEMPLO 1 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/9 PROJETO: TORCAO CLIENTE: CONCRETO II ============================ GRELHA: EXEMPLO 1 ============================ COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA E E E E E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM E E E E+00

88 84 CARREGAMENTO: CARR1 (GRELHA: EXEMPLO 1 ) DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO CORTANTE M FLETOR M TORCOR RESULTANTES NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L CORTANTE M FLETOR M TORCOR 1 0/ / / / / / / / / / / / / / / /

89 85 5/ / / / / / Analise completa - fim do processamento B) EXEMPLO PPLAN4 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/9 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: EXEMPLO ============================ PORTICO: V 1 (0 x 40) ============================ COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R E E E CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM E E E+00

90 86 CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: V 1 (0 x 40) ) DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 0/ / / / / / / / / / / / / / / /

91 87 5/ / / / / / B3) GRELHA DO EXEMPLO 3 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/9 PROJETO: TORCAO CLIENTE: EXEMPLO 3 - COM MOLAS ============================ GRELHA: GRELHA PAV. ============================ COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR

92 PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA E E E E E E E E E E E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM E E E E+00 CARREGAMENTO: CARR1 (GRELHA: GRELHA PAV. ) DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y

93 89 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO CORTANTE M FLETOR M TORCOR

94 90 RESULTANTES NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L CORTANTE M FLETOR M TORCOR 1 0/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

95 91 3 6/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

96 9 8 9/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

97 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

98 / / / / / / / / Analise completa - fim do processamento B4) VIGA VS1 ISOLADA ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/9 PROJETO: CONCRETO II - TORCAO CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO ============================ PORTICO: VS 1 (19 x 60) ============================ COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM E E E+00

99 95 CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS 1 (19 x 60) ) DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 0/ / / / / / / / / / /

100 96 B5) VIGA VS6 ISOLADA ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/9 PROJETO: CONCRETO II - TORCAO CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO ============================ PORTICO: VS 6 (19 x 60) ============================ COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R E E E CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP E E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM E E E+00 CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS 6 (19 x 60) ) DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO

101 97 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y ERRO PERCENTUAL % ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 0/ / / / / / / / / / /