MONÔMIOS E POLINÔMIOS
Problema: Observa as figuras. 6-9 6 4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo. Resolução: Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo podemos formar a seguinte equação: 9 4 36 No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efetuar. Portanto, torna-se necessário estudar novas epressões e suas operações que nos permitam dar resposta a alguns problemas.
POLINÔMIOS 1 6 a 3 3 7 4 y 4y 3
y 4y 3 y 4y 3 No polinômio, às parcelas,, e chamam-se termos ou monômios. Um polinômio é uma soma algébrica de vários monômios. Eemplos: y 4y 4 4 30 7y 4y 7y Binômio, porque é constituído por dois monómios. Trinômio porque é constituído por 3 monómios
MONÓMIOS Um monômio é uma epressão que pode ser constituída por um número ou por um produto de números em que alguns podem ser representados por letras. Eemplos: M 3 -y 6 3 y 4 Curiosidade: Monômio é uma palavra de origem grega, derivada de monos, que significa único. Monômio significa único termo. y 4 1 4 y 1 4 y Nota: Num monômio não aparecem adições nem subtrações.
Constituição de um monômio Eemplo: -7y 3 Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e uma parte literal (y 3 ). Eercício: Completa a tabela seguinte: Monômio Coeficiente Parte literal 10 z 6 5yz 89 yz
Eemplo I Como escrever corretamente um monômio? a A área do maior retângulo da figura ao lado pode ser dada pela epressão: a mas deve escrever-se: a Eemplo II Observa a figura: Qual a sua área? 7 = 14
O produto de dois monômios é um monômio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais. Convencionou-se que para escrever um produto de vários fatores (um monômio) escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por eemplo: Monômio 5 y Escrita correcta 5y 5ba3 p ab 15ab 3q 6pq 3 a b 3 6a b
6 6a 6a 3 6a 6a 3 b 5 6a b Grau de um monômio grau 0 grau 1 grau grau 3 grau 4 grau 7 Então, como se determina o grau de um monômio? O grau de um monômio é igual à soma dos epoentes da parte literal.
Completa a tabela: Monômios Grau 3 7y 3 y 8 3 7 4 y Considera o seguinte polinômio: Monômios semelhantes 6 4 7 9 4 e Este polinômio é constituído por 4 monômios, 7, 4 e 9. 6 4 Os monômios 7 e 4 são semelhantes. Monômios semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal.
4 6 4 Os monômios e não são semelhantes porque não têm a mesma parte literal. Grau de um polinómio 6 5 1 Consideremos o polinômio. 4 O grau deste polinômio é 4. Chama-se grau de um polinômio ao maior grau dos monômios que o constituem.
Adição algébrica de polinômios Nos monómios as letras representam números e as operações têm as mesmas propriedades que as operações com números. Por eemplo: Tal como na aritmética, é possível simplificar epressões quando estas têm termos semelhantes. Aritmética Álgebra 3 3 3 3 a b b a ab ba ou ab ba Propriedade comutativa 3 5 3 5 a b c a b c 3 5 3 5 a bc ab c Propriedade associativa
Tal como na aritmética, é possível simplificar epressões quando estas têm termos semelhantes. Aritmética Álgebra 3 + 3 + 3 + 3 = 43 a + a + a + a =4a = 4a 54 + 64 = 114 37 + 7 + 47 = 97 5a + 6a = 11a 3a + a + 4a = 9a A soma de vários monômios semelhantes é um monômio semelhante com coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes dos monômios das parcelas.
Eemplos: 1. O polinômio 6 4 7 9 4 6 4 3 9 Polinômio reduzido porque não tem termos semelhantes. Transforma num polinômio reduzido os seguintes polinômios: 6y 3 y 5 7y 3 y 3y 10 4 4 6 7y 9 4y 1 4 15 3y 1 3 3 6y y 5 7y y 3y 10 3 13y y 5y 15
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Produto de um monômio por um polinómio
b a c A área é dada pela epressão: bc ab c b a b c a b ab bc b b c b bc Como escrever corretamente, sem utilizar parênteses, área do maior retângulo da figura? bc b c b b b c b b b bc
Para multiplicar um monômio por um polinômio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se o monômio por cada um dos termos do polinômio. 3 3 1 6 6
Multiplicação de polinômios A figura representa um retângulo. +8 + A epressão que representa a sua área é: 8 Produto de dois polinômios Como transformar esta epressão num polinômio reduzido?
8 1.ª processo:.ª processo: 8 8 8 16 10 16 8 8 16 10 16 10 16 Polinômio reduzido Epressão que representa a área do rectângulo dado. Para multiplicar polinômios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polinómio.
Eercício: Transforma num polinômio reduzido: 3 5 1 y 6 4 3 3 10 1 y 3 1 100,4 y y 3 1 1 4 53 1 3
CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO
Entre todos os produtos de polinómios há dois casos que têm um interesse particular, não só pela sua aplicação a muitas situações, como pela sua ligação à geometria. Já vimos que um polinômio com dois termos, ou seja, com dois monômios, também se pode chamar BINÔMIO. 5 5 5 Se é um binômio, então representa o quadrado de um binômio.
Eemplos Quadrado de binômio: ( + 6) = + 6 + 6 = + 1 + 36 (5 + 3) = 5 + 5 3 + (3) = 5 + 30 + 9 (y + ) = y + y + () = y + 4y + 4 (7a + 3b) = (7a) + 7a 3b + (3b) = 49a + 4ab + 9b
Eemplos Quadrado de um binômio (a - 5b) = a - a 5b + (5b) = a - 10ab + 5b 1 1 1 1 4 3 3 3 93 4
Diferença de quadrados
De um modo geral, a ba b a ab abb a b Quadrado do 1.º termo Quadrado do.º termo a b a b a b É importante ler a igualdade nos dois sentidos.
Repara que: Cada epressão dada é um produto de dois binômios, que só diferem num sinal. Têm um termo em comum e o outro é simétrico. O sinal, -, da diferença fica associado ao quadrado do termo que tem sinal diferente. A epressão que se obteve em cada caso é uma diferença de quadrados. 9 9 3 3 3 3 64 5 64 8 8 5 8 5 8 5 9 5 1 9 5 3 5 3 5 1 3 5 1 3 5 1 y y y y y y Observa :
Diferença de quadrados Mais Eemplos 9 = 3 = ( + 3)( 3) 16 4a 4 a 4 a 4 a 1 y 1 y 1 y 1 y 4 9 3 3 3
Geometricamente:
As igualdades a b a ab b a ba b a b são casos particulares da multiplicação de polinómios. Chamam-se por isso, CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO.
Resumo Quadrado de um binômio: + + a b a b a b a ab b Diferença de Quadrados: a b a b a b 3
Eercício 1 Escreve um polinômio equivalente a: 7 4 Resolução: 7 4 49 56 16
Eercício Escreve um polinômio equivalente a: a 7 3 Resolução: a a 4a 4 7 3 49 1 9
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES Recordar A+B é uma soma A e B são parcelas A B é um produto A e B são os factores Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto de fatores. Para decompor um polinômio em fatores, aplicando a propriedade distributiva, procuram-se os fatores comuns e colocam-se em evidência.
Já sabem transformar produtos em somas algébricas, agora pretende-se que façam o contrário. A Propriedade distributiva na decomposição em factores Distribuímos o factor a pelas parcelas b c ab ac a PRODUTO SOMA Colocamos em evidência o factor comum a ab ac a b c SOMA PRODUTO Acabamos de transformar a soma num produto de fatores fatoração do polinômio.
Fatorar a seguinte epressão: (4+5y) 4+5y =...... Fator comum Epressão obtida suprimindo o fator comum Se multiplicares o fator comum pela epressão dada, terás de obter a epressão inicial. Caso contrário, a epressão está mal fatorada. = 4+5y Colocamos em evidência o fator.
Mais eemplos: 10 10 y 10 10 10y 10 y y 4 16 4 4 y 3 5 y 3 3 10y y 3 5 3 10y 3b 6b 3bb 3b 3b b y y y
Os casos notáveis e a decomposição em fatores a b Diferença de quadrados a b a b 5 5 5 1m 1m1m 9 16 34 34 5 5 5 4 9 c c c 3 3
Lei do anulamento do produto Reparem que: 40 00 0 0 0 5 6 0 Um produto é nulo se e só se (sse) pelo menos um dos seus fatores é nulo. Assim, se o produto de dois (ou mais) fatores é zero, então, pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja, A B 0 A 0 B 0 Nota: O símbolo lê-se ou. Esta propriedade é conhecida pela LEI DO ANULAMENTO DO PODUTO.
A lei do anulamento do produto permite resolver equações de grau superior ao primeiro. Mas, será possível aplicar a lei do anulamento do produto na resolução de qualquer equação? Atenção, para aplicar a lei do anulamento do produto na resolução de equações, é necessário que: A epressão de um dos membros seja um produto de fatores; O outro membro seja zero. ( 4)( 7) 0
( 4)( 7) 0 ( 4) 0 ( 7) 0 Conseguirás descobrir mentalmente as soluções? 4 7 S 7 4 7,4 Ao aplicar esta lei, obtemos uma disjunção de duas condições, a que corresponde a reunião de dois conjuntos-solução.
( 74)( ) 0 0 74 0 0 0 74 1 ( 74)( ) 0 74 0 0 74 1
5 10 0 Para aplicar a lei do anulamento do produto, é necessário factorizar o 1.º membro da equação. 5 10 0 5 0 5 0 0 0 S.={0, } 5 10 6 0 Nota: é uma equação de grau, completa (porque tem o termo de grau, de grau um e de grau zero). Está escrita na forma canónica.
1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 4 4 S.={-1/} -0,5 é raiz dupla
0 49 14 1) (3 16 3 3 0 3 0 3 0 3 3 0 9 4 9 4 3 3 4 9 4 9 9 4 Resolve, por dois processos diferentes, as equações seguintes. ou
Problema: Observa as figuras. 6 4 6 9 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo. 9 4 36 Um voluntário?!