FESP Faculdade de Engenharia São Paulo Avaliação: A2 Data: 15/set/ 2014 CE2 Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. Duração: 85 minutos Nome: Matrícula ORIENTAÇÕES PARA PROVA a b c Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a 0 adotar a 10; para b 0 adotar b 10; para c 0 adotar c 10; a b c 1 a QUESTÃO (valor: 3,0 pontos) Dimensione as condições de contorno mais econômicas que atendem aos critérios de resistência e estabilidade da haste de aço A-36 de 1,0 metro de comprimento. Sabe-se que não há custo por extremidade livre e que uma extremidade apoiada custa metade de uma extremidade engastada. Não devem ser dimensionados travamentos. Dados: Módulo de elasticidade: E 200 000 MPa (NBR 8800, 2008. Item 4.5.2.9.a) Resistência ao escoamento do aço: σ e 250 MPa (NBR 8800, 2008. Tabela A.2) CONDIÇÕES DE CONTORNO E FORMULÁRIO A π d2 4 I π d4 64 r I A λ K L r Tabela E1 (NBR 8800, ABNT 2008) σ cr π2 E λ 2 1
SOLUÇÃO As condições de contorno são determinadas pelo coeficiente de flambagem, portanto o valor de K será o parâmetro para o dimensionamento mais econômico. Raio de giração: r I π d 4 A 64 π d 2 d 4 4 Tensão crítica de flambagem: σ cr π2 E λ 2 e λ K L r temos σ cr π2 E (K L r ) 2 Isolando o valor de K: K 2 π2 E σ cr ( L 2 r ) K π 2 E σ cr ( 4 L d ) 2 A tensão de trabalho deve ser o valor de tensão limite antes que ocorra a flambagem, portanto: π 2 E K 2 P 4 L ( π d2 ( 4 ) d ) K máx π d2 8 L E π P O valor do coeficiente de flambagem encontrado é o valor máximo para dimensionar as condições de contorno devido à translação horizontal e rotação. A flambagem é influenciada apenas pelas restrições devido à translação horizontal (ortogonal ao eixo longitudinal da haste) e a rotação, portanto não devem ser impostas restrições devido à translação vertical. A partir do K máx, as condições de contorno a serem adotadas são: Para K máx 1,0 Para 1,0 > K máx 0,7 Adotar K 1,0 (restringir apenas translação horizontal nos dois apoios) Adotar K 0,7 (restringir translação horizontal nos dois apoios e rotação em um apoio) Para 0,7 > K máx 0,5 Para K máx < 0,5 Adotar K 0,5 (restringir translação horizontal e rotação nos dois apoios) Haste não atende ao critério de estabilidade sem travamentos Deve ser verificada se a tensão de escoamento é superior a tensão crítica de flambagem. A menor área possível, de acordo com o número de matrícula, ocorre quando temos c 1 com área igual a 2,011 10 4 m². A maior carga de trabalho ocorre quando temos b 0, pois assim b 10 e carga de trabalho será igual a 30 kn. Neste caso, a tensão de trabalho, a qual foi utilizada para tensão crítica de flambagem, será igual a 149,21 MPa. Portanto, a tensão crítica de flambagem será sempre inferior a tensão de escoamento. 2
2 a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Desenhe a Linha de Influência de Momentos na Seção S da viga abaixo. Não é necessário demonstrar os cálculos intermediários, apenas preencha a Tabela e desenhe a LIM S. Divida cada vão em quatro partes para preencher a Tabela. Usar três casas decimais. Inércia constante. VÃO AB VÃO BC Posição da Carga Móvel P 1,0 kn a b Lvão E D MA MB MC MS [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (Coluna a e b da Tabela se referem às distâncias entre a posição da Carga Móvel e os apoios do vão carregado, conforme fórmulas dos Termos de Carga). FORMULÁRIO Coeficientes de Propagação: α AB L AB 2 (L AB + L BC ) α BC L BC α CB L CB 2 (L CB + L BA ) α BA L BA Momentos nos apoios do vão AB carregado: (Para obter os momentos do vão BC carregado, as fórmulas abaixo devem ser adaptadas conforme exposto em aula) M A α BA 1 (α BA α AB ) (α AB ) M B Termos de Carga α AB 1 (α AB α ) (α BA BA ) L 2 (L + b) 3 L 2 (L + a)
SOLUÇÃO Inicialmente deve-se calcular os Coeficientes de Propagação da viga. O apoio C não possui engastamento, assim a propagação do momento M B para M C, quando o vão AB está carregado, deve ser igual a zero, portanto: α BC 0 O apoio A não possui engastamento, assim a propagação do momento M B para M A, quando o vão BC está carregado, deve ser igual a zero, portanto: α BA 0 Os demais coeficientes devem ser calculados a partir da fórmula de Coeficiente de Propagação presente no formulário. Como exemplo adotaremos a matrícula 19758 a 0 7 b 0 5 c 0 8 Para a matrícula 19758 temos a seguinte dimensão da viga: Os coeficientes de propagação são: α AB L AB 4 b 4 5 20,0 m L BC 4 c 4 8 32,0 m L AB 2 (L AB + L BC ) α BC L BC 20 2 (20 + 32) 0 32 0,192 Portanto temos: α CB L CB 2 (L CB + L BA ) α BA L BA 32 2 (32 + 20) 0 20 0,308 4
Foi imposto que cada vão fosse dividido em quatro partes para determinação dos valores da Linha de Influência na seção S (LIM s ). Para o vão AB teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 5,0 m ( L AB 4 Posições da Carga Móvel no Vão AB: 0, 5, 10, 15 e 20. 5,0 m) Para o vão BC teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 8,0 m ( L BC 4 Posições da Carga Móvel no Vão BC: 20, 28, 36, 44 e 52. Portanto, a primeira coluna pode ser preenchida: 8,0 m) VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1,0 kn [m] 0 5 10 15 20 20 28 36 44 52 Os valores a e b representam a distância entre a carga e os apoios do vão L carregado, conforme fórmula dos Termos de Carga. Assim os valores a, b e L podem ser preenchidos diretamente: VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1,0 kn a b Lvão [m] [m] [m] [m] 0 0 20 20 5 5 15 20 10 10 10 20 15 15 5 20 20 20 0 20 20 0 32 32 28 8 24 32 36 16 16 32 44 24 8 32 52 32 0 32 5
Termos de Carga e Momentos em B para vão AB carregado: Quando a carga está na posição 0 (sobre o apoio A) e na posição 20 (sobre o apoio B), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 5: M B L 2 (L + b) 1 5 15 20 2 (20 + 15) 6,563 knm α AB 1 (α AB α ) (α BA BA L 2 (L + a) 1 5 15 20 2 (20 + 5) 4,688 knm ) 0,192 (0 6,563 4,688) 0,900 knm 1 (0,192 0) Posição 10: M B α AB 1 (α AB α ) (α BA BA 1 10 10 L 2 (L + b) 20 2 (20 + 10) 7,500 knm 1 10 10 L 2 (L + a) 20 2 (20 + 10) 7,500 knm ) 0,192 (0 7,500 7,500) 1,440 knm 1 (0,192 0) Posição 15: M B α AB 1 (α AB α ) (α BA BA L 2 (L + b) 1 15 5 20 2 (20 + 5) 4,688 knm L 2 (L + a) 1 15 5 20 2 (20 + 15) 6,563 knm ) 0,192 (0 4,688 6,563) 1,260 knm 1 (0,192 0) Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão AB está carregado: VÃO 1 Posição da Carga Móvel Q 1,0 kn a b Lvão E D MA MB MC [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] 0 0 20 20 0 0 0 0 0 5 5 15 20 6,563 4,688 0-0,900 0 10 10 10 20 7,500 7,500 0-1,440 0 15 15 5 20 4,688 6,563 0-1,260 0 20 20 0 20 0 0 0 0 0 6
Termos de carga para vão BC carregado: Quando a carga está na posição 20 (sobre o apoio B) e na posição 52 (sobre o apoio C), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 28: L 2 (L + b) 1 8 24 32 2 (32 + 24) 10,500 knm M B α CB 1 (α CB α BC ) (α BC L 2 (L + a) 1 8 24 32 2 (32 + 8) 7,500 knm ) 0,308 (0 7,500 10,500) 3,234 knm 1 (0,308 0) Posição 36: 1 16 16 L 2 (L + b) 32 2 (32 + 16) 12,000 knm M B α CB 1 (α CB α BC ) (α BC 1 16 16 L 2 (L + a) 32 2 (32 + 16) 12,000 knm ) 0,308 (0 12,000 12,000) 3,696 knm 1 (0,308 0) Posição 44: L 2 (L + b) 1 24 8 32 2 (32 + 8) 7,500 knm M B α CB 1 (α CB α BC ) (α BC L 2 (L + a) 1 24 8 32 2 (32 + 24) 10,500 knm ) 0,308 (0 10,500 7,500) 2,310 knm 1 (0,308 0) Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão BC está carregado: VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1,0 kn a b Lvão E D MA MB MC [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] 0 0 20 20 0 0 0 0 0 5 5 15 20 6,563 4,688 0-0,900 0 10 10 10 20 7,500 7,500 0-1,440 0 15 15 5 20 4,688 6,563 0-1,260 0 20 20 0 20 0 0 0 0 0 20 0 32 32 0 0 0 0 0 28 8 24 32 10,500 7,500 0-3,234 0 36 16 16 32 12,000 12,000 0-3,696 0 44 24 8 32 7,500 10,500 0-2,310 0 52 32 0 32 0 0 0 0 0 7
Para determinação dos Momentos na seção S, deve-se considerar dois casos: Caso 1: Quando Vão AB está carregado Nessa condição, o vão BC está descarregado, portanto o diagrama de Momentos no vão descarregado é uma reta. Desta forma o valor do Momento no vão BC será sempre: M(x) M B + ( M C M B ) x L BC Sendo x a seção de interesse, temos x 8,0 m (um quarto do vão) para a Seção S. Ou pela relação entre os triângulos M B BC e M s SC, temos: M S 3 4 M B Desta forma, podemos preencher os valores na do M s Tabela quando o vão AB está carregado. Caso 2: Quando Vão BC está carregado A partir da teoria de Estabilidade I, temos o equilíbrio da viga BC: Para equilíbrio à rotação no Ponto C, temos: +(V B,dir L BC ) M B P b 0 Portanto: Então o Momento em S é: V B,dir +M B + P b L BC M B + b 32 M S V B,dir 8,0 M B ( M B + b 32 ) 8,0 M B 8
Para posição 28 (b 24 e M B 3,234 )* M S ( M B + b 32 ) 8,0 M 3,234 + 24 B ( ) 8,0 3,234 3,575 knm 32 *Obs.: Os valores de M B e P devem ser inseridos na fórmula em valores absolutos, pois os sinais já foram considerados no cálculo do equilíbrio à rotação no ponto C devido ao sentido apresentado no esquema estrutural da viga BC. (Equilíbrio em C: +(V B,dir L BC ) M B P b 0) Para posição 36 (b 16 e M B 3,696 ) M S ( M B + b 32 ) 8,0 M 3,696 + 16 B ( ) 8,0 3,696 1,228 knm 32 Para posição 44 (b 8 e M B 2,310 ) M S ( M B + b 32 ) 8,0 M B ( 2,310 + 8 ) 8,0 2,310 0,268 knm 32 Preenchendo a Tabela com os valores obtidos, temos: VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1,0 kn a b Lvão E D MA MB MC MS [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] 0 0 20 20 0 0 0 0 0 0 5 5 15 20 6,563 4,688 0-0,900 0-0,675 10 10 10 20 7,500 7,500 0-1,440 0-1,080 15 15 5 20 4,688 6,563 0-1,260 0-0,945 20 20 0 20 0 0 0 0 0 0 20 0 32 32 0 0 0 0 0 0 28 8 24 32 10,500 7,500 0-3,234 0 3,575 36 16 16 32 12,000 12,000 0-3,696 0 1,228 44 24 8 32 7,500 10,500 0-2,310 0 0,268 52 32 0 32 0 0 0 0 0 0 Com os valores obtidos na Tabela, pode-se desenhar a Linha de Influência de Momentos em S: 9
3 a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Pela Analogia de Mohr, determine o diagrama de momentos fletores da viga de inércia constante abaixo. Unidades SI. TABELA DE CONVERSÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA VIGA REAL PARA VIGA CONJUGADA 10
SOLUÇÃO Carregamento da viga conjugada: Equilíbrio à rotação em B: ( M B EI L BC 2 ) L BC 3 + (M C EI L BC 2 ) 2 L BC 0 3 M c M B 2 Portanto o valor do momento em C será sempre metade do valor do momento em B. Para o equilíbrio em A, como exemplo, adotaremos a matrícula 19758 a 0 7 b 0 5 c 0 8 Para a matrícula 19758 temos a seguinte dimensão da viga: L AB 5 + b 5 + 5 10,0 m L BC 2 + b 2 + 5 7,0 m P 5 c 5 8 40,0 kn 11
Carregamento da viga conjugada: Equilíbrio em A + ( 64 EI 2,0 2 ) (2,0 2 3 ) + (64 EI 8,0 8,0 ) (2,0 + 2 3 ) + ( M B 2 EI 7,0 2 ) (10 + 7,0 2 3 ) ( M B EI 10,0 2 ) (10,0 2 3 ) (M B EI 7,0 7,0 ) (10,0 + 2 3 ) 0 +85,33 + 1194,67 + 25,67 M B 33,33 M B 43,17 M B 0 1280,00 50,83 M B 0 M B 25,18 knm Momento no ponto de aplicação da carga: M c M B 2 25,18 12,59 knm 2 M 64 25,18 5 58,96 knm 12